Оптика

Розділ 5. Оптика.

§17. З історії наукових поглядів на природу світла.

Тема 5.1. Геометрична оптика.

§18. Загальні основи геометричної оптики.

§19. Загальні відомості про дзеркала.

§20. Заломлення світла. Повне внутрішнє відбивання світла.

§21. Загальні відомості про лінзи.

§22. Графічне та алгебраїчне визначення параметрів тих зображень які формують лінзи. Формула лінзи.

§23. Оптичні прилади.

. Тема 5.2. Хвильова оптика.

§24. Загальні відомості про хвилі загалом та світлові хвилі зокрема.

§25. Принцип Гюйгенса. Закони поширення, відбивання та заломлення світла в хвильовій оптиці.

§26. Про відчуття кольору та про те, чому навколишній світ різнобарвний.

§27. Інтерференція світла.

§28. Застосування інтерференції. Інтерферометри. Просвітлення оптики.

§29. Дифракція світла.

§30. Поляризація світла.

§31. Дисперсія світла.

§32. Види спектрів. Спектральний аналіз.

§33. Шкала електромагнітних хвиль.

. Тема5.3. Квантова оптика.

§34. Від теорії теплового випромінювання до квантової оптики.

§35. Фотон та його властивості.

§36. Фотоелектричні ефекти.

§37. Фотохімічні реакції.

§38. Люмінесценція. Оптичний квантовий генератор (лазер).

§39. Тиск світла. Корпускулярно-хвильовий дуалізм світла.

. Тема 5.4. Фотометрія.

§40. Основні фотометричні величини та одиниці їх вимірювання.

§41. Освітленість. Закони освітленості.

Розділ 5. Оптика.

Оптика (від грец. optos – видимий), це розділ фізики в якому вивчається все різноманіття тих явищ які пов’язані з випромінюванням, поширенням та різноманітними проявами світла. Іншими словами, оптика – наука про світло.

Ясно, що в оптиці основним поняттям та основним об’єктом наукових досліджень є світло (видиме світло). Що ж таке «світло»??? Відповідаючи на це запитання можна сказати наступне.

Природа влаштована таким дивним чином, що її найпростіші об’єкти є найскладнішими. Найскладнішими в тому сенсі, що надзвичайно складно, а іноді і просто неможливо, наочно пояснити як влаштовані і на що схожі ці об’єкти. Одним з таких елементарно простих і в той же час надскладних об’єктів є світло. Адже світло, в мільярди разів простіше за те скло через яке воно потрапляє у вашу кімнату. І тим не менше, на питання «що таке світло?» відповідають чотири великі розділи «Оптики», а по суті – чотири науки. При цьому: Геометрична оптика обгрунтовано стверджує, що світло – це потік світлових променів. Хвильова оптика, не менш обгрунтовано наполягає на тому, що світло – це потік світлових (електромагнітних) хвиль. Квантова оптика безумовно доводить, що світло – це потік світлових частинок (фотонів). А фотометрія наполягає на тому, що світло – це потік світлової енергії. Іншими словами:

. потік світлових променів

світло потік світлової енергії

. потік світлових хвиль

. потік світлових частинок

При цьому, кожне з цих тверджень в тій чи іншій мірі правильне і в тій чи іншій мірі неповне. Більше того, деякі з цих тверджень є явно парадоксальними, тобто такими, що суперечать логіці здорового глузду. Скажімо важко, а то й неможливо уявити об’єкт який би одночасно був променем, хвилею і частинкою. Бо промінь – це щось пряме, а хвиля – це щось хвилясте. Бо хвиля – це щось неперервне і певним чином розподілене у просторі, а частинка – це щось дискретне і зосереджене в певному місці. І уявити те, що є частинкою-хвилею-променем одночасно, практично не можливо. Бо нічого подібного в тому макросвіті який ми бачимо, відчуваємо та аналізуємо, просто не існує.

І тим не менше, світло реально існує і має той набір властивостей який має. Бо в одних обставинах веде себе як потік променів, в інших – як потік хвиль, а в третіх – як потік частинок. І можна скільки завгодно розказувати, що вам це не подобається, що такого не може бути, що це суперечить здоровому глузду. Однак від цього реальність не стане іншою, а властивості світла не стануть такими, що нам подобаються та не суперечать нашому «здоровому глузду». Вивченню цього парадоксального, надважливого та надцікавого об’єкту і присвячено той розділ фізики який називається оптикою.

§17. З історії наукових поглядів на природу світла.

Що таке світло? Як воно влаштовано? Звідки з’являється і куди зникає? Як розповсюджується в просторі та речовині? Чому одні предмети прозорі, а інші – не прозорі. Чому одні тіла червоні, другі – зелені, а треті – білі. Як утворюються веселки, міражі та зображення в дзеркалах? Ці та їм подібні запитання бентежили уяву багатьох видатних людей минулого. Однак жодну з своїх загально відомих таємниць Природа не оберігала так затято, як таємницю світла.

Перша більш менш обгрунтована гіпотеза про суть того що називають світлом, а точніше про суть механізму наших зорових відчуттів, з’явилася за декілька століть до нашої ери. Її автором був відомий давньогрецький математик Евклід ( ~ 300р. до н.е.). В першому постулаті його знаменитої геометрії стверджується: «Ті світлові промені які випромінюють очі, розповсюджуються прямолінійно». Іншими словами, згідно з Евклідом, світло представляє собою певні світлові промені які випромінюються нашими очима і за допомогою яких ми «обмацуємо» навколишні предмети. Результатом цього «обмацування» є наші зорові відчуття.

Сьогодні, погляди давньогрецьких вчених здаються наївними. Однак, не будемо надто категоричними. Адже світло належить до числа тих об’єктів, глибинну суть яких не легко зрозуміти, а тим більше пояснити. Навіть сьогодні, коли про світло ми знаємо все, або майже все, більшість з нас навряд чи зможе пояснити, що таке світло. Тому те, що здається наївним сьогодні, скоріш за все, це не результат об’єктивного аналізу, а наслідок нашої завищеної самооцінки.

Та якби там не було, а протягом двох тисячоліть, людство не спромоглося придумати нічого більш розумного за теорію світлових променів. Щоправда, з плином часу прийшло розуміння того, що світлові промені випромінюються не очима людини, а тим чи іншим джерелом світла. Втім, теорія світлових променів по суті не пояснювала що ж таке світло. Не пояснювала що представляють собою світлові промені, звідки вони беруться і куди зникають, з чого складаються і чи складаються з чогось взагалі.

Лише в другій половині 17-го століття, наукові погляди на природу світла починають кардинально змінюватись. При цьому майже одночасно виникли дві наукові гіпотези, історичне протистояння яких значною мірою визначило не лише розвиток науки про світло, а й науки загалом.

З незапам’ятних часів було відомо, що світло поширюється прямолінійно, тобто таким чином, що тіні предметів є чіткими і такими, які в точності відображають їх геометричну форму. Ситуація була схожою на таку, коли предмет знаходиться в потоці дрібних частинок і тому залишає відповідну чітку тінь. З часів Евкліда знали і про те, що на межі двох оптично різних середовищ світлові промені відбиваються і що при цьому кут відбивання променя дорівнює куту його падіння (закон відбивання світла). Дзеркальне відбивання світла було схожим на відбивання пружних кульок від рівної твердої поверхні.

Мал.57. При відбиванні, світло веде себе як потік пружних кульок, які відбиваються від рівної твердої поверхні.

Прямолінійність поширення світла, закон його відбивання, можливість розповсюдження як у вакуумі так і в речовинному середовищі, та деякі інші факти, безумовно вказували на те, що світло – це потік надзвичайно дрібненьких світлових частинок. Ці частинки випромінюються джерелом світла, летять прямолінійно, а на межі двох оптично різних середовищ можуть як відбиватись так і заломлюватись, тобто проникаючи в нове середовище, змінювати напрям свого руху. Ці частинки можуть мати різні масово-кінематичні параметри і тому викликають у людини відчуття різного кольору. Крім цього, світлові частинки є носіями певної кількості енергії і тому можуть призводити до тих чи інших енергетичних проявів, зокрема теплових, зорових, хімічних, механічних, тощо.

Подібні погляди на природу світла отримали назву корпускулярної теорії (від лат. corpusculum – частинка). Своє найбільш повне та довершене викладення, корпускулярна теорія світла отримала в працях видатного англійського фізика Ісаака Ньютона (1643–1727), зокрема в його фундаментальному трактаті «Оптика» (1704).

Корпускулярна теорія світла мала той недолік, що не могла кількісно пояснити ті властивості світла які прийнято називати інтерференцією та дифракцією. Крім цього, ця теорія погано узгоджувалась з фактом того, що при взаємному перетинанні, світлові потоки не заважають один одному. Втім, пояснюючи даний факт, завжди можна сказати, що світлові корпускули настільки дрібненькі, що практично не взаємодіють між собою.

Мал.58. При взаємному перетинанні, світлові потоки не взаємодіють між собою.

Факт того, що світлові потоки при взаємному перетинанні не заважають один одному, та ті притаманні світлу явища які прийнято називати інтерференцією і дифракцією світла, вказували на те, що світло має певні хвильові властивості. Виходячи з цього, деякі вчені і зокрема голландський фізик Христіан Гюйгенс (1622–1695) стверджували: світло – це потік хвиль, які поширюються в особливому пружному середовищі яке називається ефіром. (В міфах давньої Греції, ефіром називали те особливе повітря яким дихали боги на вершині Олімпу). Ці хвилі можуть мати різну довжину і тому викликати у людини відчуття різного кольору. На межі двох різних середовищ ці хвилі можуть як відбиватись так і заломлюватись. Як і будь які хвилі, вони поширюються незалежно одна від одної і тому світлові потоки не заважають один одному.

Щоправда, хвильова теорія світла, погано узгоджувалась з тим, що в потоці світлових хвиль, перешкода залишає чітку тінь. Втім, пояснюючи даний факт, завжди можна сказати, що світлові хвилі є надзвичайно короткими і що тому їх огинальні (дифракційні) властивості є малопомітними. (Зрештою, так воно і є). Якщо ж говорити про основний недолік хвильової теорії Гюйгенса, то він полягав в тому, що ця теорія передбачала наявність у Всесвіті особливого речовинного середовища (ефіру), існування якого не підтверджувалось жодним експериментальним фактом.

Таким чином, в кінці 17-го, на початку 18-го століть, в фізиці виникла ситуація, коли одні і ті ж явища пояснювались по різному. І не просто по різному, а виходячи з різних, по суті діаметрально протилежних, базових тверджень. Ясно, що в такій ситуації неминуче виникало жорстке протистояння між прихильниками різних наукових концепцій.

Потрібно зауважити, що Ньютон хоча і був творцем корпускулярної теорії світла, явно не заперечував факту того, що відомі фізичні властивості світла можна пояснити і на основі хвильової теорії. У своїх наукових працях, він уникав категоричних висловлювань на користь тієї чи іншої теорії. І якщо сьогодні ми говоримо, що геніальний Ньютон був противником хвильової теорії світла, то це тільки тому, що він з усією очевидністю розумів: те пружне середовище (ефір) про неминучість існування якого говорила хвильова теорія Гюйгенса, повинно мати такий набір діаметрально протилежних властивостей, які не можуть бути реалізованими навіть в найфантастичнішій речовині.

Дійсно. Відомо, що швидкість поширення хвиль в тому чи іншому речовинному середовищі залежить від пружних властивостей цього середовища, а по суті, від його густини. Наприклад швидкість розповсюдження звукових хвиль в повітрі становить 0,34км/с, у воді – 1,5км/с, а в сталі – 6км/с. При цьому виникає питання: а наскільки пружним (а відповідно густим) має бути середовище, щоб забезпечити швидкість поширення хвиль 300000км/с?

З іншого боку, в тому середовищі яке забезпечує надшвидке поширення світлових хвиль і яке називається ефіром, протягом мільярдів років безупинно обертаються планети та їх супутники. А це означає, що відповідне середовище має бути практично пустим і таким що не має пружних властивостей.

Таким чином, те середовище про неминучість існування якого говорила хвильова теорія Гюйгенса, з одного боку мало б бути безмежно густим (ρ→∞), а з іншого – безмежно пустим (ρ→0).

Розуміючи глибинну суть тих протиріч які закладені в тому міфічному середовищі що називається ефіром, Ньютон заявляв: «Я не знаю, чим є ефір!». Виходячи з цього, та враховуючи факт того, що без наявності пружного середовища, хвильова теорія Гюйгенса втрачає будь який сенс, Ньютон був прихильником корпускулярної теорії світла.

Не важко збагнути, що авторитет Ньютона та переконливість його наукових аргументів, схиляли переважну більшість тогочасних вчених до того, що світло – це потік наддрібних світлових частинок (корпускул). Однак в науці достовірність теорій визначається не авторитетом її автора, а тим наскільки точно її передбачення співпадають з експериментальними фактами. А ці факти безумовно вказували на те, що певні властивості світла не можливо кількісно пояснити на основі ньютонівської корпускулярної теорії.

Ще в середині 17-го століття італійський фізик Франческо Грімальді (1618–1663) експериментально з’ясував, що світлу притаманні властивості, які прийнято називати інтерференцією та дифракцією. Грімальді дослідив та описав ці властивості. Однак його дослідження та пояснення були не надто переконливими. Тому більшість вчених не сприйняли їх як такі, що варті уваги. Ньютон не був серед цих вчених. Він дослідив відомі прояви інтерференції та дифракції світла і дійшов висновку, що ці явища цілком прийнятно (у всякому разі на описовому рівні) можна пояснити на основі корпускулярної теорії.

Лише на початку 19-го століття англійський фізик Томас Юнг (1773–1829) та французький фізик Огюстен Френель (1788–1827), незалежно один від одного всебічно дослідили та кількісно пояснили інтерференцію і дифракцію світла. При цьому пояснили на основі хвильової теорії Гюйгенса. Крім цього були відкриті та досліджені інші явища, зокрема явище поляризації світла, які безумовно доводили, що світло – це потік світлових хвиль.

Експериментальні і теоретичні дослідження Юнга, Френеля та деяких інших вчених, призвели до того, що на середину 19-го століття хвильова теорія світла представляла собою струнку, математично та логічно довершену конструкцію, яка бездоганно пояснювала всі відомі на той час оптичні явища. Однак, ця математично бездоганна конструкція базувалась на хиткому ефірному піску. Адже як і в часи Ньютона, фантастичні властивості ефіру залишались нерозкритою науковою таємницею. Крім цього, міфічний ефір жодним чином не проявляв себе. Намагаючись довести факт існування ефіру вчені вигадували різноманітні прилади та способи реєстрації. Придумували найдивовижніші експерименти. Але всі їх зусилля були марними.

Ситуація кардинально змінилась лише після того, як геніальний Джеймс Максвел (1831–1879) створив теорію електромагнітного поля. Розпочинаючи роботу над цією теорією, Максвел був далеким від тих пристрастей що вирували в оптиці. Його метою було створити таку наукову теорію яка б пояснювала механізм електромагнітних взаємодій. Однак, після того як теорія була створена з’ясувалося, що згідно з нею в Природі мають існувати такі об’єкти як електромагнітні хвилі, і що властивості цих хвиль в точності аналогічні властивостям світлових хвиль. Цей факт безумовно вказував на те, що світло – це одна з різновидностей електромагнітних хвиль.

Електромагнітні хвилі мають ту особливість, що для їх поширення не потрібне певне пружне середовище. Адже ці хвилі представляють собою енергетичне збурення того що називають електромагнітним полем, а по суті енергетичним збуренням простору (пустоти).

Таким чином загадка ефіру була розгадана. Ефір не проявляв себе тому, що його просто не існує. Хвильова теорія світла перемогла. І здавалося, перемогла назавжди. Втім, не поспішайте з висновками. Природа влаштована набагато складніше, ніж ми схильні про це думати. Не встигли прихильники хвильової концепції насолодитись тріумфом перемоги, як світло почало підносити нові сюрпризи.

В 1887 році німецький фізик Генріх Герц (1857–1894) відкрив явище, яке прийнято називати зовнішнім фотоефектом. Суть цього явища полягала в тому, що в потоці світла, негативно заряджена металева пластинка, інтенсивно розряджалася, тобто втрачала свої надлишкові електрони. Сам по собі цей факт не міг похитнути устої хвильової теорії світла. Адже світлові хвилі є носіями певної кількості енергії. Надаючи цю енергію електронам речовини, хвилі цілком закономірно можуть спричиняти відрив цих електронів від відповідної речовини.

Однак, подальші дослідження показали, що інтенсивність фотоефекту залежить не лише від інтенсивності світлового потоку, а й від кольору (довжини хвилі) падаючого випромінювання. Більше того з’ясувалося, що завжди існує певна межа, за якою фотоефект не відбувається. Наприклад, пластинка літію в потоці голубого, синього та фіолетового світла втрачає електрони, а в потоці зеленого, жовтого, оранжевого та червоного – не втрачає їх. При цьому навіть найпотужніший потік світла цих кольорів не призводить до вильоту електронів з літію. Даний факт явно суперечив класичним уявленням про світло як про потік неперервних електромагнітних хвиль. Навіть якщо виходити з того, що енергія червоної хвилі менша за енергію хвилі фіолетової, залишається не зрозумілим, чому десять, сто чи мільйон червоних хвиль не можуть зробите те, що робить одна фіолетова.

Певний час прояви фотоефекту не мали наукового пояснення. Перший крок на шляху вирішення цієї проблеми зробив німецький фізик Макс Планк (1858–1947). В 1900 році, теоретично досліджуючи розподіл енергії в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла, Планк з’ясував, що електромагнітні хвилі випромінюються та поглинаються певними неподільними порціями (квантами). Виходячи з цього, інший німецький фізик Альберт Ейнштейн (1879–1955) дав наступне пояснення фотоефекту.

Це пояснення полягало в тому, що для відриву електрона від речовини, потрібно виконати певну роботу виходу, тобто надати електрону певну кількість енергії. При цьому, ця енергія має надаватися одномоментно, тобто за один раз. Адже якщо величина наданої енергії буде недостатньо великою, то енергетично збурений електрон «підстрибне» і повернеться в речовину. Це означає, що той світловий квант, енергія якого менша за роботу виходу електрона, не може вибити електрон з речовини. Електрон залишиться в речовині навіть в тому випадку якщо відчує дію багатьох тисяч подібних квантів. Намагатись вибити електрон такими квантами, це все рівно ніби намагатись розірвати мотузку міцність якої 100Н, силою в 50Н. Ви можете скільки завгодно разів дискретно прикладати цю силу, а мотузка залишиться цілою. Можна як завгодно інтенсивно опромінювати літій квантами червоного світла, але вони не зможуть вибити бодай один електрон. Не зможуть тому, що діють дискретно і що енергія кожного з них менша за роботу виходу електрона з літію. Для того щоб електрон відірвати від літію, потрібні більш енергійні кванти, наприклад кванти синього чи фіолетового світла.

Таким чином, фотоефект та деякі інші явища, зокрема ефект Комптона, фотохімічні реакції, тощо, безумовно доводили: світло – це потік світлових частинок.

Зважаючи на вище сказане, неминуче виникає закономірне питання: «Так що ж таке світло – частинка чи хвиля???». Розмірковуючи над цим питанням, вчені дійшли висновку: устрій та властивості світла не можливо пояснити за допомогою простих, наочних моделей як то частинка або хвиля. Вони зрозуміли, світло – це щось таке, що одночасно є як частинкою так і хвилею. Щось таке, що в процесі поширення веде себе як потік електромагнітних хвиль, а в процесі взаємодії з іншими фізичними об’єктами – як потік неподільних електромагнітних частинок.

А оскільки довжина світлових частинок-хвиль є надзвичайно малою (~10^–7м), то в багатьох практично важливих випадках, їх потік можна представити як певний набір світлових променів, тобто тих умовних ліній вздовж яких поширюються частинки-хвилі.

Таким чином, історичну суперечку Ньютона і Гюйгенса завершено. Завершено тим, що корпускулярні та хвильові ідеї злились в єдину квантово-хвильову теорію світла. Теорію, яка не лише пояснила все різноманіття відомих світлових явищ, а й стала невід’ємною, органічною складовою сучасної фізики.

Завершуючи розмову про історію еволюційного розвитку наукових поглядів на природу світла, представимо цю історію у вигляді узагальнюючої таблиці. Таблиці, яка наочно ілюструє основні етапи цієї цікавої та повчальної історії.

. 17 століття
Ньютон – світло, це потік частинок		Гюйгенс – світло, це потік хвиль
переносить енергію; викликає зорові відчуття; відбивається та заломлюється
+ не потрібне середовище+ поширюється прямолінійно+ авторитет Ньютона	.>	+ світлові потоки не заважають один одному
. 19 століття
	.=	Юнг, Френель+ інтерференція+ дифракція+ поляризація
	.>	Максвел+ світло – це потікелектромагнітних хвиль
. 20 століття
Планк, Ейнштейн+ фотоефект+ фотохімічні реакції+ ефект Комптона	.=
Світло: при взаємодії з речовиною – потік частинок, при поширенні – потік електромагнітних хвиль

Мал.59. Основні етапи еволюції наукових поглядів на природу світла.

Контрольні запитання.

В чому суть корпускулярної теорії Ньютона? Які сильні та слабкі сторони цієї теорії?
В чому суть хвильової теорії Гюйгенса? Які сильні та слабкі сторони цієї теорії?
Чому Ньютон стверджував: «Я не знаю, чим є ефір»?
Який внесок в розвиток оптики зробили Юнг та Френель?
Які твердження теорії Максвела доводять, що світло – це одна з різновидностей електромагнітних хвиль?
Що представляє собою електромагнітна хвиля?
Яка основна відмінність світлового ефіру від електромагнітного поля?
Як сучасна наука відповідає на питання «що таке світло»?

Тема 5.1. Геометрична оптика.

§18. Загальні основи геометричної оптики.

З основами геометричної оптики ви ознайомилися в процесі попереднього вивчення фізики. Тому наразі гранично стисло згадаємо ці основи, та доповнимо їх новими знаннями.

Геометрична оптика – це розділ оптики, в якому світло представляють як

потік світлових променів і в якому вивчають ті явища і ті прилади суть та принцип дії яких пояснюється виходячи з того, що світло це потік променів.

Мал.60. В геометричній оптиці світло представляють як потік світлових променів.

Світловий промінь (промінь) – це умовна лінія, яка вказує на напрям поширення тієї світлової енергії що випромінюється певним джерелом світла. По суті світловий промінь є тією гранично спрощеною (ідеалізованою) фізичною моделлю світла, застосування якої дозволяє пояснити широке різноманіття оптичних явищ, та загальний устрій і принцип дії великого різноманіття оптичних приладів, починаючи від дзеркал, оптичних призм та лінз, і закінчуючи телескопами, мікроскопами, біноклями, фотооб’єктивами, тощо.

Важливим поняттям оптики загалом і геометричної оптики зокрема є джерело світла. Зазвичай, джерелом світла прийнято вважати будь який природний або штучний об’єкт в якому той чи інший вид енергії перетворюється на енергію видимого світла. Звідси ясно, що Сонце, зірки, блискавка, багаття, полумя свічки, спіраль лампочки розжарювання, монітор комп’ютера, тіло світлячка є джерелами світла. А планети, дерева, столи, будинки, книги, люди – джерелами світла не являються.

Однак, в багатьох галузях науки, в тому числі і в геометричній оптиці, джерелами світла вважають всі тіла що випромінюють світло. А це означає, що джерелами світла є не лише ті об’єкти які дійсно генерують світлову енергію, а й всі видимі тіла. Наприклад, пояснюючи яким чином ми бачимо своє відображення в дзеркалі, виходять з того, що будь яке видиме тіло загалом і кожна його точка зокрема є певними джерелами світла, яке відбиваючись від поверхні дзеркала утворює те зображення яке ми бачимо.

Зважаючи на вище сказане, можна дати наступне визначення. Джерелом світла (в геометричній оптиці) називають будь який об’єкт що є джерелом генерованого або відбитого світла. Це означає, що в геометричній оптиці джерелами світла вважають не лише ті об’єкти які дійсно генерують світлову енергію, а й всі видимі тіла.

Варто зауважити, що про поширення світлових променів можна говорити лише в тому випадку, якщо відповідне середовище є оптично прозорим. Оптично прозорим називають таке середовище, в якому процес поширення світла не супроводжується значним перетворенням світлової енергії в енергію теплового руху частинок середовища. Оптично прозорими є повітря, скло, вода, лід, алмаз, переважна більшість газів та значну кількість рідин. Ідеально ж оптично прозорим «середовищем» є вакуум. Оптично непрозорим називають таке середовище, яке поглинає ту світлову енергію що потрапляє в це середовище, або відбиває цю енергію. Скажімо темна тканина непрозора тому, що поглинає світло, а дзеркало непрозоре тому, що світло відбиває.

Поділ середовищ на оптично прозорі та оптично непрозорі є досить умовним. Наприклад метали, цілком обгрунтовано вважаються оптично непрозорими. Однак, якщо мова йде про надтонкі металеві плівки, то їх з не меншим обгрунтуванням можна вважати оптично прозорими. Або наприклад, вода є оптично прозорою. Однак, якщо мова йде про великі товщі води, то вони можуть бути оптично непрозорими. Скажімо шар води товщиною 100м поглинає 99% світлової енергії.

Теоретичною основою геометричної оптики є три базові твердження, які називаються законами геометричної оптики:

1) закон прямолінійного поширення світла;

2) закон відбивання світла;

3) закон заломлення світла.

Закон прямолінійного поширення світла – це закон, в якому стверджується: в оптично прозорих, однорідних середовищах, світлові промені поширюються прямолінійно.

Говорячи про закон прямолінійного поширення світла, варто зауважити, що у відповідності з цим законом, світлові промені поширюються прямолінійно не завжди, а лише в тих середовищах які є оптично однорідними, тобто такими, оптичні властивості яких в усіх точках однакові. Якщо ж середовище оптично неоднорідне, то відповідно не прямолінійним буде і хід світлових променів.

Наприклад атмосфера Землі має певну шаристу структуру, різні шари якої суттєво відрізняються температурою, густиною, хімічним складом, а відповідно і оптичними властивостями. Результатом цих відмінностей є факт того, що те світло яке потрапляє на земну поверхню від Сонця, Місяця, зірок та інших космічних об’єктів, в процесі проходження черуз атмосферу Земілі, суттєво відхиляється від прямолінійної траєкторії руху. Це явище називають атмосферною рефракцією світла.

Одним з результатів атмосферної рефракції світла, є факт того, що Сонце видимо з’являється над лінією горизонту на декілька хвилин раніше, а заходить на декілька хвилин пізніше, порівняно з тим, якби Земля не мала атмосфери. А це означає, що завдяки атмосферній рефракції світла, тривалість дня на Землі дещо більша за ту, якою б вона була за відсутності земної атмосфери.

Мал.61. Атмосфера Землі не є оптично однорідною і тому в ній, світлові промені певним чином відхиляються від прямолінійної траєкторії.

Ще однією загально відомою, але в реальності не надто поширеною групою оптичних явищ, які обумовлені викривленням світлових променів в атмосферному повітрі, є міражі. Міражі виникають в тих ситуаціях, коли сусідні шари атмосферного повітря, мають достатньо різкі перепади температур.

Наприклад якщо приповерхневий шар повітря є гарячим, а повітря над ним відносно холодним, то можна спостерігати так званий нижній міраж (мал.62а). Прикладом нижнього міражу є ілюзія того, що в спекотний день на горизонті автостради, спостерігаються неіснуючі калюжі води, які фактично є відображенням фрагментів неба. Це відображення обумовлене тим викривленням світлових променів, яке відбувається на межі гарячого приповерхневого повітря та того відносно прохолодного повітря що знаходиться над ним.

Якщо ж нижній шар повітря є холодним, а верхній значно теплішим, то за певних додаткових умов, можна спостерігати так званий верхній міраж, який є відображенням тих об’єктів які знаходяться за лінією горизонту (мал.62б). Втім, верхні міражі, це досить рідкісне явище.

Мал.62. Міражі є результатом того заломлення світлових променів яке відбувається на межі різно нагрітих шарів атмосферного повітря.

Напевно ви зустрічалися з ситуаціями, коли предмети навколишнього світу відображаються у тихих водах річок, озер, ставків чи калюж. В такому випадку ви спостерігали явище, яке називається відбиванням світла. Відбивання світла – це явище, суть якого полягає в тому, що на межі двох оптично різних середовищ, частина світлового потоку відбивається від цієї межі і змінюючи напрям свого поширення повертається в попереднє середовище.

Експериментальні дослідження показують, що відбивання світла відбувається у відповідності з законом відбивання світла. В цьому законі стверджується: на межі двох оптично різних середовищ світлові промені відбиваються, при цьому: 1) проміннь падаючий, промінь відбитий і перпендикуляр до поверхні в точці падіння променя, лежать в одній площині; 2) кут відбивання променя (β) дорівнює куту його падіння (α): β = α. (Нагадаємо, кут падіння (α) та кут відбивання (β), є тими кутами, які утворюють відповідно падаючий та відбитий промені з перпендикуляром до відбивної поверхні, проведеним в точці падіння променя)

Мал.63. Кут відбивання світла (β) завжди дорівнює куту його падіння (α): β = α.

Закон відбивання світла іноді формулюють наступним чином: на межі двох оптично різних середовищ світлові промені відбиваються, при цьому кут падіння променя дорівнює куту його відбивання: α = β. Таке формулювання закону є неправильним. Неправильним по перше тому, що з точки падіння променя можна провести безліч променів для яких виконується співвідношення β = α. Насправді ж реально відбитим буде лише один з цих променів. І цей єдино правильний промінь буде знаходитися в тій площині що є перпендикулярною відбивній поверхні.

Крім цього, суттєвою помилкою вище наведеного неправильного формулювання закону є те, що в ньому стверджується: «при відбиванні світла, кут падіння променя дорівнює куту його відбивання: α = β». В контексті того що називають законом, це означає: кут падіння променя залежить від кута його відбивання: α = ƒ(β). Насправді ж кут падіння променя залежить не від кута відбивання, а від взаємного розташування джерела світла, відбивної поверхні та точки падіння променя. А от кут відбивання променя, дійсно залежить від куту його падіння. І цю залежність відображає формулювання: кут відбивання променя дорівнює куту його падіння: β = α.

Мал.64. Кут падіння променя (α) залежить не від кута його відбивання (β), а від взаємного розташування джерела світла, відбивної поверхні та точки падіння променя.

Явище відбивання світла демонструють і досліджують на прикладі так званих оптично рівних (дзеркальних) поверхонь. Однак світло відбивається не лише від оптично рівних, а й від будь яких інших поверхонь. Пояснюючи чим відрізняється оптично рівні (дзеркальні) повенхні від оптично нерівних (недзеркальних), можна сказати наступне.

Напевно ви погодитесь з тим, що дзеркальні поверхні є гладенькими, а недзеркальні – шорсткими. Можливо погодитесь і з тим, що шляхом шліфування та полірування однорідну тверду, недзеркальну поверхню можна перетворити на поверхню дзеркальну. Власне дзеркальна поверхня тим і відрізняється від недзеркальної, що величина її мікронерівностей є гранично малою. Саме величина наявних на поверхні мікронерівностей і є тим критерієм який дозволяє відрізнити дзеркальну (оптично рівну) поверхню від недзеркальної (оптично нерівної).

Мал.65. Дзеркальність чи недзеркальність поверхні визначається величиною її мікронерівностей.

Загально прийнятими є наступні визначення. Оптично ріною називають таку поверхню, розміри мікронерівностей якої не перевищують довжини світлової хвилі (δ ≤ 7,6·10^–7м, на практиці δ < 1·10^–6м = 0,001мм). Оптично рівну відбивну поверхню, зазвичай називають дзеркальною. Оптично нерівною (недзеркальною) називають таку поверхню, розміри мікронерівностей якої суттєво більші за довжину світлової хвилі (δ > 1·10^–6м).

Оптично рівні та оптично нерівні поверхні, відбивають світло суттєво по різному. По різному в тому сенсі, що початково паралельні промені відбиваючись від оптично рівної поверхні залишаються паралельними, а відбиваючись від оптично нерівної поверхні – стають безладно розсіяними. Зазвичай, відбивання світла від оптично рівної поверхні називають дзеркальним, а відбивання від поверхні оптично нерівної – розсіянм або дифузним.

Мал.66. Оптично рівні (а) та оптично нерівні (б) поверхні відбивають світло суттєво по різному.

Факт того, що кожен фрагмент оптично нерівної поверхні відбиває світло у всіх можливих напрямках, по суті означає, що розсіяно відбите світло несе інформацію не про джерело первинного світла, а про той предмет від якого це світло відбивається. Тому дивлячись на шорстку поверхню, ми бачимо саму поверхню, а не відбите в ній джерело світла. Якщо ж мова йде про оптично рівну (дзеркальну) поверхню, то відбите нею світло фактично несе інформацію не про саму поверхню, а про джерело первинного світла. Власне тому, дивлячись в дзеркало ми бачимо не його поверхню, а зображення тих предметів, світло яких відбивається в ньому.

Факт того, що поведінка тих світлових променів які падають на оптично рівну поверхню є прогнозованою (строго визначеною), корисно застосовується в найрізноманітніших оптичних приладах, зокрема дзеркалах, оптичних призмах, лінзах та їх комбінаціях (мікроскопи, телескопи, біноклі, фотообʼєктиви, тощо). А це означає, що робочі поверхні цих приладів мають бути оптично рівними.

Варто зауважити, що терміни «оптично рівна поверхня» та «геометрично рівна поверхня» є суттєво різними. Скажімо, поверхня стіни геометрично рівна, а оптично не рівна. Натомість поверхня опуклої лінзи – геометрично не рівна, а оптично рівна.

Задача 1. Вранці сонячні промені падають під кутом 10° до горизонту. Під яким кутом до лінії горизонту треба розмістити плоске дзеркало, щоб відбиті промені освітлювали дно глибокого колодязя?

Дано:

α = 10°

φ = ?

Рішення.

Оскільки відбитий промінь має бути вертикальним, а отже перпендикулярним до лінії горизонту, то модна стверджувати, що загальний кут між падаючим на відбитим променями, має дорівнювати 90° + α = 100°. А оскільки кут падіння променя дорівнює куту його відбивання, то можна стверджувати, що між перпендикуляром до поверхні дзеркала та вертикально відбитим променем має бути кут 100°/2 = 50°. А це означає, що площина дзеркала має бути нахиленою до падаючого променя під кутом 90° – 50° = 40°, а до лінії горизонту – під кутом φ = 40° + 10° = 50°

Відповідь: φ = 50°

Задача 2. Опівдні сонячні промені падають під кутом 50° до лінії горизонту. Як треба розмістити плоске дзеркало, аби відбиті промені були горизонтальними?

Дано:

α = 50°

β = ?

Рішення. Оскільки в умові задачі чітко не вказано напрям горизонтально відбитого променя (направо чи наліво, на південь чи на північ), то можливі два варіанти рішення цієї задачі.

Варіант 1.

а) б)

Із аналізу малюнків ясно, що загальний кут між падаючим та відбитим променями дорівнює 180° – 50° = 130°. А це означає, що між перпендикуліром по поверхні дзеркала та падаючим і відбитим променями має бути кут 130°/2 = 65°. При цьому ясно, що кут між горизонтально відбитим променем та поверхнею дзеркала має становити β = 90° – 65° = 25°.

Відповідь: β = 25°.

Варіант 2.

В зображеній на малюнку ситуації, кут α = 50° є кутом між падаючим та відбитим променями. А це означає, що між перпендикуляром по поверхні дзеркала та падаючим і відбитим променями має бути кут 50°/2 = 25°. При цьому ясно, що кут між горизонтально відбитим променем та поверхнею дзеркала має становити β = 90° – 25° = 65°.

Відповідь: β = 65°.

Контрольні запитання.

За яких умов виконується закон прямолінійності поширення світла?
Поясніть суть атмосферної рефракції світла.
Чому тривалість дня на Землі дещо більша за ту, якою б вона була за відсутності земної атмосфери?
За яких умов можуть спостерігатися міражі?
Чи є правильним наступне формулювання закону? «На межі двох оптично різних середовищ, світлові промені відбиваються. При цьому, кут падіння променя дорівнює куту його відбивання: α = β». Чому?
Від чого залежить кут падіння променя?
Чим відрізняється оптично рівні та оптично нерівноі поверхні?
Який термін «оптично рівна повенхня» чи «дзеркальна поверхня» є більш загальним?
Чому робочі поверхні оптичних приладів мають бути оптично рівними?

Вправа 18.

1. На якому з малюнків правильно позначено кут падіння променя?

2. Накресліть у зошиті кожний малюнок та доповніть його відповідним відбитим чи падаючим променем.

3. Накресліть у зошиті заданий малюнок і добудуйте падаючі та відбиті промені (промені відбиваються від усіх трьох дзеркал).

4. Промінь світла падає на плоске дзеркало під кутом 35° до його поверхні. Чому дорівнює кут між падаючим променем і відбитим?

5. Кут між падаючим променем і плоским дзеркалом дорівнює куту між падаючим променем і відбитим. Чому дорівнює кут падіння променя?

6. Промінь світла падає на дзеркало перепендикулярно. На який кут відхилиться відбитий промінь від падаючого, якщо дзеркало повернути на 20°?

7. Сонячне світло падає під кутом 50° до земної поверхні. Як треба розташувати плоске дзеркало, щоб відбите від нього сонячне світло освітлювало дно колодязя?

8. Промені, що йдуть від Сонця утворюють з горизонтом кут 30°. Як за допомогою плоского дзеркала направити їх паралельно лінії горизонту?

9. На розташоване під кутом 50° до горизонту дзеркало, падає спрямований вертикально вниз промінь світла і відбивається. Який кут утворює відбитий промінь з горизонтом?

§19. Загальні відомості про дзеркала.Загально відомим оптичним приладом, принцип дії якого базується на законі відбивання світла, є дзеркало. Дзеркало – це оптичний прилад, який представляє собою оптично рівну, відбивну (дзеркальну) поверхню, що має певну, геометрично правильну форму. Цією геометрично правильною формою може бути фрагмент площини, сфери, циліндра, тора, еліпсоїда, параболоїда, тощо.Складовими частинами звичайного дзеркала є лист скла, внутрішня поверхня якого покрита тонким шаром металу, який власне і є тією дзеркальною поверхнею що відбиває світло. Цим металом зазвичай є алюміній, срібло, або так звана амальгама (сплав ртуті з іншими металами). Від пошкоджень та корозії, дзеркальний шар металу з одного боку захищає скло, а з іншого – шар спеціальної фарби чи іншого покриття.

Мал.67. Схема загального устрою звичайного дзеркала.Найпростішою та найбільш поширеною різновидністю дзеркал є дзеркала плоскі, тобто такі, відбивною поверхнею яких є фрагмент площини. Пояснюючи принцип дії плоского дзеркала, розглянемо конкретну ситуацію. Припустимо, що відрізок МN – це поске дзеркало, а точка S – точкове джерело світла (мал.68). Візьмемо ряд довільних променів що виходять з точки S та застосовуючи закон відбивання світла, побудуємо відповідні відбиті промені.Не важко бачити, що дзеркально відбиті промені певним чином розходяться. При цьому розходяться так, що їх уявні задзеркальні продовження перетинаються в одній і тій же точці – точці S₁. По суті це означає, що будь який спостерігач, дивлячись в дзеркало, візуально зафіксує, що всі промені виходять з точки S₁ і що тому точка S₁ є точковим джерелом світла.

Мал.68. Дивлячись в дзеркало, спостерігач бачить точку S не там де вона є в реальності, а в певній точці зазеркалля.Характеризуючи те зображення яке створює плоске дзеркало, говорять що воно пряме, геометрично рівне, уявне та дзеркально симетричне. Коли говорять що зображення пряме, то це означає що воно не перевернуте, і що в зображені, як і в оригіналі верх є верхом, а низ – низом. Коли говорять що зображення геометрично рівне, то це означає, що воно не більше і не менше за оригінал, а в точності дорівнює цьому оригіналу. Коли говорять що зображення уявне, то мають на увазі, що відповідне зображення отримано в результаті уявного перетинання відбитих або заломлених променів, і що в реальності ці промені у відповідних точках зображення не перетинаються.

Коли говорять, що зображення дзеркально симетричне, то мають на увазі не лише те, що відповідні точки тіла та його зображення симетричні відносно площини дзеркала, а й факт того що дзеркальне зображення є оберненим. Оберненим в тому сенсі, що предмет та його зображення «дивляться» в протилежні сторони, і що тому, ті елементи зображення які для оригіналу є правими, для дзеркального зображення будуть лівими і навпаки.

Мал.69. Відображення в плоскому дзеркалі є прямим, геометрично рівним, уявним та дзеркально симетричним.

Оскільки те зображення яке дає плоске дзеркало є симетричним відносно площини дзеркала, то на практиці, зображення будь якої точки, визначають не шляхом побудови великої кількості падаючих та відбитих променів, а шляхом проведення того променя, що є перпендикулярним до площини дзеркала. При цьому зображення точки, буде на зазеркальному продовженні перпендикулярного променя та на симетричній відстані від площини дзеркала. І варто зауважити, що перпендикулярному до площини дзеркала променю, зовсім не обовязково реально проходити через дзеркало. Дзеркальне відображення точки, в будь якому випадку буде на перпендикулярному до площини дзеркала промені і на симетричній від цієї площини відстані.

Мал.70. Зображення предмету є дзеркально симетричним цьому предмету і ця симетричність не залежить ні від розмірів дзеркала ні від розмірів предмету.

Таким чином, у відповідності з законами геометричної оптики та з реальною практикою, відображення предмету в плоскому дзеркалі є дзеркально симетричним. І ця симетричність не залежить ні від реальних розмірів дзеркала, ні від реальних розмірів предмету. Інша справа, з яких точок простору і в якому об’ємі, це зображення можна бачити. А ці точки і цей об’єм характеризує так звана область бачення. Областю бачення називають ту частину простору, в межах якої можна повністю або частково бачити зображення даного предмету в даному дзеркалі.

Визначаючи область бачення певної точки в дзеркалі обмежених розмірів, із цієї точки до країв дзеркала проводять два падаючі промені та застосовуючи закон відбивання світла будують їм відповідні відбиті промені. Область між цими відбитими променями і є областю бачення даної точки в даному дзеркалі.

На практиці, напрямки відбитих променів визначають не шляхом вимірювання кутів падіння та відкладання їм відповідних кутів відбивання, а шляхом проведення променя від точки дзеркального зображення (Sꞌ) до точки падіння відповідного променя (K, L). Точка ж дзеркального відображення заданої точки, визначається дуже просто: через задану точку S проводиться перпендикуляр до лінії дзеркала (або до продовження цієї лінії), а точку зображення (Sꞌ) позначають як таку, що знаходиться на тій же відстані від лінії дзеркала як і точка S. Наприклад:

Задача 1. На малюнку зображено предмет ВС і дзеркало NM. Визначте ту ділянку простору, з якої зображення ВС видно повністю.

Рішення: Зображення відрізку ВС в дзеркалі NM буде видно в тій області простору, яка є спільною між областями бачення точок В і С. Тому, вище описаним способом графічно визначаємо області бачення точок В і С. При цьому, перетин цих областей і буде тією областю простору з якої відрізок ВС повністю видно в дзеркалі NM.

Відповідь: З будь якої точки того простору, який на мал.2б позначено оранжевим кольором, зображення відрізку ВС видно повністю.

Задача 2. В кімнаті вертикально висить дзеркало, верхній край якого знаходиться на рівні маківки голови людини, ріст якої 180см. Якої мінімальної довжини має бути дзеркало, щоб людина бачила себе у повний ріст?

Рішення. Оскільки зображення людини в дзеркалі, знаходиться на тій же відстані як і сама людина, то трикутники ABC і ADE є подібними. А оскільки АВ = ВD то ВС = (DЕ)/2 = 180см/2 = 90см.

Відповідь: мінімальна довжина дзеркала 90см.

В різноманітних оптичних системах, наряду з плоскими дзеркалами часто застосовують і дзеркала криві, тобто такі, відбивна поверхня яких є частиною тієї чи іншої викривленої поверхні, зокрема сфери, циліндра, тора, еліпсоїда, параболоїда, тощо. Найпростішою різноводністю кривих дзеркал є дзеркала сферичні. Відбивною поверхнею таких дзеркал є певна частина (сегмент) сфери.

Сферичні дзеркала поділяються на опуклі (розсіювальні) та увігнуті (збиральні). Опуклими (розсіювальними) називають такі сферичні дзеркала, відбивна поверхня яких є опуклою, тобто вигнутою в напрямку світлового потоку (мал.71а). Опуклі дзеркала розсіюють світлові промені таким чином, що їх уявні продовження перетинаються в одній точці яка називається фокусом опуклого дзеркала. При цьому фокус опуклого дзеркала є уявним, тобто таким в якому відбиті дзеркалом промені перетинаються лише уявно (в реальності не перетинаються).

Увігнутими (збиральними) називають такі сферичні дзеркала, відбивна поверхня яких є увігнутою, тобто вигнутою в напрямку від світлового потоку (мал.71б). Увігнуті дзеркала збирають світлові промені в одній точці яка називається фокусом увігнутого дзеркала. При цьому фокус увігнутого дзеркала є дійсним, тобто таким в якому відбиті дзеркалом промені дійсно перетинаються.

Мал.71. Сферичні дзеркала поділяються на опуклі (розсіювальні) та увігнуті (збиральні).

Основними геометричними характеристиками сферичних дзеркал є. Оптичний центр дзеркала – точка, яка є геометричним центром тієї сфери, сегментом якої є дане дзеркало (точка О). Полюс дзеркала – точка поверхні дзеркала яка є вершиною того сегменту, що утворює відповідне дзеркало (точка М). Головна оптична вісь дзеркала – пряма, що проходить через оптичний центр та полюс дзеркала (пряма ОМ). Фокус дзеркала (головний фокус дзеркала) – точка в якій дійсно або уявно перетинаються ті відбиті дзеркалом промені, що є паралельними його головній оптичній осі (точка F). Фокусна відстань дзеркала – відстань від полюса дзеркала до його фокуса (відрізок ƒ). Радіус дзеркала – радіус тієї сфери, сигментом якої є дане дзеркало (відрізок R).

Збиральні властивості увігнутих та розсіювальні властивості опуклих сферичних дзеркал, є закономірним результатом їх геометричної форми та дії закону відбивання світла. В цьому не важко переконатися якщо, дотримуючись закону відбивання світла, визначити хід тих променів, що відбиваються від поверхні увігнутого та опуклого дзеркал (мал.91). При цьому можна довести, що фокусна відстань дзеркала (ƒ) дорівнює половині його радіуса: ƒ = R/2.

Мал.72. Оптичні властивості сферичних дзеркал, є закономірним результатом їх геометричної форми та дії закону відбивання світла.

Варто зауважити, що твердження про те, що після дзеркального відбивання всі паралельні промені перетинаються в дійсному або уявному фокусі сферичного дзеркала, не є безумовно правильними. Фактично це твердження справедливі лише для так званих параксиальних (приосевих) променів, тобто тих променів які знаходяться на відносно невеликій відстані від головної оптичної осі дзеркала. В реальності ж, по мірі віддалення падаючих променів від головної оптичної осі дзеркала, точка перетинання відповідних променів з цією віссю, певним чином відхиляється від тієї точки яку називають фокусом дзеркала. По суті це означає, що те зображення яке утворює сферичне дзеркало буде певним чином викривленим (деформованим).

Застосовуючи закон відбивання світла, можна побудувати дзеркальне зображення будь якої світлової точки, а отже і будь якого тіла. При цьому вибір падаючих на дзеркало променів може бути довільним. Однак на практиці, із всього різноманіття можливих променів обирають ті, хід яких є загально відомим. Для сферичних дзеркал цими базовими променями є:

1 – якщо падаючий промінь паралельний головній оптичній осі дзеркала, то промінь відбитий дійсно (для збиральних дзеркал) або уявно (для розсіювальних дзеркал) проходить через фокус дзеркала;

2 – якщо падаючий промінь дійсно (для збиральних дзеркал) або уявно (для розсіювальних дзеркал) проходить через фокус дзеркала, то промінь відбитий буде паралельним його головній оптичній осі.

Мал.73. Для побудови зображення будь якої точки, достатньо знати поведінку двох базових променів.

Варто зауважити, що в якості базових часто застосовують ще два промені, поведінка якого є загально відомою: 3 – якщо падаючий промінь дійсно (для збиральних дзеркал) або уявно (для розсіювальних дзеркал) проходить через оптичний центр дзеркала, то відбитий промінь є зворотним до падаючого; 4 – якщо падаючий промінь проходить через полюс дзеркала, то промінь відбитий є йому симетричним відносно головної оптичної осі. Приклади застосування цих променів представлені на мал.74.

Мал.74. Визначаючи параметри зображення, використовують систему найзручніших променів.

Виконуючи геометричні побудови можна показати, що параметри зображення предмету в збиральному (увігнутому) дзеркалі, визначально залежать від відстані (ℓ) цього предмету до полюса дзеркала. А ця залежність є наступною:

якщо ℓ > 2ƒ, то зображення дійсне, перевернуте, зменшене;

якщо ℓ = 2ƒ, то зображення дійсне, перевернуте, рівне;

якщо ƒ < ℓ < 2ƒ, то зображення дійсне, перевернуте, збільшене;

якщо ℓ = ƒ, то зображення відсутнє (відбиті промені є паралельними, а отже такими, що ніде не перетинаються);

якщо ℓ < ƒ, то зображення уявне, пряме, збільшене.

Деякі з подібних побудов представлені на мал.75.

Мал.75. Параметри зображення предмету в збиральному дзеркалі, визначально залежать від відстані між предметом і дзеркалом.

Якщо ж мова йде про розсіювальні (опуклі) дзеркала, то в незалежності від відстані між педметом і дзеркалом, зображення предмету є уявним, прямим, зменшеним. При цьому по мірі наближення предмету до дзеркала, його уявне зменшене зображення поступово збільшується, а по мірі віддалення – відповідно зменшується. Факт того, що опуклі дзеркала дають зменшені зображення, по суті означає, що на невеликій площі опуклого дзеркала, може міститися відносно велика кількість зорової інформації. Прикладом корисного застосування даного факту, є ті великі та малі опуклі дзеркала, які сприяють безпеці руху на дорогах.

Мал.76. Опуклі дзеркала сприяють безпеці руху на дорогах.

Факт того, що увігнуті (збиральні) дзеркала збирають великий потік світлової інформації в околицях певної точки (фокуса дзеркала), корисно застосовується в різноманітних оптичних системах, зокрема в дзеркальних телескопах. З іншого боку, факт того, що падаючий та відбитий промені взаємно обернені, вказує на те, що розташувавши точкове джерело світла в фокусі вгнутого дзеркала, на виході можна отримати направлений потік паралельних променів. Цю обставину застосовують в різноманітних прожекторах, ліхтарях, автомобільних фарах, тощо.

Мал.77. Деякі приклади застосувань вгнутих (збиральних) дзеркал.

Втім, потрібно мати на увазі, що сферичне дзеркало практично не може створити строго направлений світловий потік. Не може головним чином тому, що в сферичному дзеркалі паралельно направленими стають лише приосеві (параксиальні) промені. Крім цього, фокус сферичного дзеркала зазвичай знаходиться за межами геометричних обрисів тіла дзеркала. А це означає, що велика частина того світлового потоку який створює розміщене в фокусі дзеркала джерело світла, не буде потрапляти на тіло дзеркала, а відповідно не буде спрямовуватись в потрібному напрямку. Строго направлені світлові потоки створюють за допомогою спеціальних вгнутих дзеркал, які називаються параболічними (мал.78б).

Мал.78. Строго направлені світлові потоки створюють за допомогою параболічних дзеркал.

Контрольні запитання

На основі аналізу мал.88 поясніть принцип дії плоского дзеркала.
Що означає твердження: дзеркальне відображення є уявним?
Що означає твердження: відображення в плоскому дзеркалі є дзеркально симетричним?
Чому опуклі дзеркала називають розсіювальними, а увігнуті – збиральними?
Чому фокус вгнутого дзеркала є дійсним, а опуклого – уявним?
Точкове джерело світла знаходиться в фокусі вгнутого сферичного дзеркала. Чи створить ця система строго направлений світловий потік? Чому?
Які промені є базовими при побудові зображень в сферичних дзеркалах?
За яких умов тіло немає зображення у вгнутому сферичному дзеркалі?
З якою метою на транспортних засобах встановлюють опуклі дзеркала?

Вправа 19.

Перекресліть кожний малюнок у зошит та побудуйте зображення олівця у відповідному дзеркалі.

2. Перекресліть малюнок у зошит та побудуйте дзеркальне зображення точок А, В, С у плоскому дзеркалі.

3. Визначте ту ділянку простору, з якої в заданому дзеркалі вектор АВ видно повністю.

4. Визначте ту ділянку простору, з якої в заданому дзеркалі трикутник АВС видно повністю.

5. Шляхом геометричних побудов визначте параметри зображення стержня у вгнутому сферичному дзеркалі радіус якого 6см. Висота стержня 2см, а відстань до полюса дзеркала а) 8см; б) 6см; в) 4см; г) 3см; д) 2см. Описати характер тих змін які відбуваються в процесі наближення стержня до дзеркала.

6. Шляхом геометричних побудов визначте параметри зображення стержня в опуклому сферичному дзеркалі, радіус якого 6см. Висота стержня 2см, а відстань до полюса дзеркала а) 8см; б) 6см; в) 4см; г) 3см; д) 2см. Описати характер тих змін які відбуваються в процесі наближення стержня до дзеркала.

7. У скільки разів збільшиться зображення предмету висотою 2см в сферичному вгнутому дзеркалі радіус якого 8см, якщо предмет знаходиться на відстані 5см від полюса дзеркала? Задачу розв’язати графічно.

8. Промінь відбивається від поверхні 1 і падає на поверхню 2. Яким буде кут падіння променя на поверхню 2.

§20. Закон заломлення світла. Повне внутрішнє відбивання світла.

Дослідження показують, що на межі двох оптично різних, прозорих середовищ, наприклад повітря – скло, повітря – вода, вода – скло, скло – повітря, тощо, світлові промені частково відбиваються, а частково заломлюються, тобто проникаючи в нове середовище змінюють напрям свого поширення. Заломлення світла – це явище, суть якого полягає в тому, що на межі двох оптично різних, прозорих середовищ, частина світлового потоку проникає в нове середовище і змінюючи напрям свого руху (заломлюючись) продовжує поширюватись в цьому новому середовищі.

Мал.79. На межі двох опитично різних, прозорих середовищ, світло частково відбивається, а частково проникає в нове середовище, змінюючи при цьому напрям свого поширення.

Дослідження показують, що між кутом падіння променя (α) та кутом його заломлення (γ), існує певне співвідношення, відображенням якого є закон заломлення світла. Нагадаємо, кут падіння (α) та кут заломлення (γ), є тими кутами, які утворюють відповідно падаючий та заломлений промені з перпендикуляром до відбивної поверхні, проведеним в точці падіння променя.

Закон заломлення світла, це закон в якому стверджується: на межі двох оптично різних та оптично прозорих середовищ, світлові промені заломлюються, тобто проникаючи в нове середовище змінюють напрям свого поширення. При цьому: 1) промінь падаючий, промінь заломлений та перпиндикуляр до поверхні в точці падіння променя, лежать в одній площині; 2) відношення синуса кута падіння променя (sinα) до синусу кута його заломлення (sinγ) для даної пари середовищ є постійною величиною, яка називається показником заломлення світла. Іншими словами: sinα/sinγ = n = const, де n – показник заломлення світла першого середовища відносно другого.

Мал.80. Між кутом падіння променя (α) та кутом його заломлення (γ) існує співвідношення sinα/sinγ = n = const.

Показник заломлення світла певним чином характеризує оптичні властивості даного оптично прозорого середовища відносно іншого оптично прозорого середовища. А якщо цим іншим середовищем є вакуум, то відповідний показник заломлення називають абсолютним.

Абсолютний показник заломлення світла, це фізична величина, яка характеризує оптичні властивості даного оптично прозорого середовища і яка з одного боку дорівнює відношенню синусу кута падіння променя до синусу кута його заломлення (sinα/sinγ), за умови переходу світла з вакууму в дане середовище, а з іншого – показує, у скільки разів швидкість світла в даному середовищі (v) менша за швидкість світла у вакуумі (с = 3·10⁸м/с).

Позначається: n

Визначальне рівняння: n = sinα/sinγ = c/v

Одиниця вимірювання: [n] = – , безрозмірна величина (рази).

Абсолютний показник заломлення світла визначається експериментально і записується у відповідну таблицю, наприклад таку:

Речовина	n	Речовина	n
Повітря	1,0003	Скло *	1,52
Вода	1,33	Лід	1,31
Гліцерін	1,47	Камяна сіль	1,54
Олія кедрова	1,52	Цукор	1,56
Олія сонячникова	1,47	Сапфір, рубін	1,77
Спирт етиловий	1,36	Алмаз	2,42

*) Для різних сортів скла паказник заломлення світла може бути суттєво різним і знаходиться в межах від 1,46 до 2,1. Однак якщо говорити про звичайне віконне скло, то його показник заломлення усереднено дорівнює 1,52.

Оскільки абсолютні показники заломлення світла повітря (n = 1,0003) та вакууму (n = 1,000000) є практично однаковими, то на практиці абсолютний показник заломлення даного середовища і його показник заломлення відносно повітря, прийнято вважати чисельно рівними.

Варто зауважити, що причиною заломлення світла є факт того, що в різних середовищах швидкість поширення світла є різною. При цьому, показник заломлення світла фактично показує, у скільки разів швидкість світла в першому середовищі (v₁) більша за швидкість світла в другому середовищі (v₂), тобто n₁₂ = v₁/v₂. При цьому першим вважають те середовище в якому знаходиться падаючий промінь, а другим – те, в якому знаходиться промінь заломлений. А це означає, що якщо при переході світла з повітря (вакууму) в скло показник заломлення n₁₂ = с/v = 1,52, то при зворотному переході, цей показник дорівнює n₂₁ = v/с = 1/1,52 = 0,66.

Порівнюючи оптичні властивості двох прозорих середовищ говорять, що те з них яке має більше значення абсолютного показника заломлення є оптично більш густим, а те яке має менше значення абсолютного показника заломлення – оптично менш густим. Наприклад алмаз (n = 2,42) оптично густіший за скло (n = 1,52), скло оптично густіше за воду (n = 1,33), а вода оптично густіша за повітря (n = 1,0003).

Побутовими проявами заломлення світла є факти того, що частково занурені у воду предмети здаються зламаними, видима глибина водойм здається меншою за реальну, видиме розташування предметів у воді не співпадає з їх реальним розташуванням, тощо.

Мал.81. Деякі побутові прояви заломлення світла.

Говорячи про закон заломлення світла, буде не зайвим сказати і про те, що у відповідності з цим законом та експериментальними фактами, промінь падаючий та промінь заломлений є взаємно оборотними. Це означає, що коли падаючий промінь направити шляхом заломленого, то відповідний заломлений промінь піде шляхом падаючого.

а) б)

Мал.82. Промінь падаючий і промінь заломлений – взаємно оборотні.

Не важко бачити, що при переході світла із води у повітря, тобто з оптично більш густого середовища в оптично менш густе, кут заломлення світла γ більший за кут його падіння: γ ˃ α. Ясно, що в такій ситуації при певному граничному куті падіння (α = α_гр) кут заломлення світлових променів становитеме 90º, і що при більших кутах падіння, величина кута заломлення має бути більшою за 90º. По суті це означає шо при певних кутах падіння (α ≥ α_гр) увесь світловий потік, повністю відбиватиметься від межі двох оптично прозорих середовищ. Таке відбивання називають повним внутрішнім відбиванням світла.

Повне внутрішнє відбивання світла, це явище, суть якого полягає в тому, що при певних кутах падіння (α ≥ α_гр) те світло яке поширюється в оптично більш густому середовищі, повністю відбивається від межі з оптично менш густим середовищем.

Мал.83. При певних кутах падіння (α ≥ α_гр) те світло яке поширюється в оптично більш густому середовищі, повністю відбивається від межі з оптично менш густим середовищам.

Той найменший кут падіння при якому відбувається повне внутрішнє відбивання світла, називають граничним кутом повного відбивання (позначається α_гр). Вимірювання показують, що відносно повітря, кут повного відбивання світла становить:

– для води (n = 1,33) α_гр = 49º;

– для скла (n = 1,52) α_гр = 41º;

– для алмазу (n = 2,42) α_гр = 24º.

Повне відбивання світла, корисно застосовують в багатьох приладах, зокрема в оптичних призмах. Оптична призма, це прилад, який представляє собою оптично прозоре тіло, робочі поверхні якого геометрично та оптично рівні. Геометрична форма оптичної призми може бути різною. При цьому, в залежності від цієї форми та відносної просторової орієнтації, призма може виконувати певний набір функцій.

Мал.84. Геометрична форма та функціональні можливості оптичних призм можуть бути різними.

Принцип дії та функціональні можливості оптичної призми розглянемо на прикладі рівнобедреної прямокутно–трикутної призми. В залежності від просторової орієнтації, ця призма може виконувати ряд оптичних функцій. Наприклад. Якщо призма розташована так як показано на мал.85а, то вона виконує функцію певним чином розташованого плоского дзеркала. Дійсно. За такого розташування призми, паралельні промені 1 і 2 падають на вертикальну поверхню під кутом 0º. При цьому, практично не відбиваючись і не заломлюючись, прормені проникають в скляне тіло призми. Поширюючись в склі, промені під кутом 45º падають на похилу поверхню. А оскільки кут падіння променів більший за граничний кут повного відбивання скла (45º > 41º), то ці промені дзеркально відбиваються і під кутом 0º падають на горизонтальну поверхню. Практично не відбиваючись і не заломлюючись цією поверхнею, промені виходять з скляного тіла призми. Виходять, зберігаючи свою паралельність. А це означає, що за заданого розташування, призма не змінюючи параметрів зображення, змінює хід променів на 90º. Іншими словами, призма виконує роль плоского дзеркала яке розташоване під кутом 45º до напрямку поширення світлових променів.

Мал.85. В залежності від просторової орієнтації, одна і та ж призма може виконуватии рід фупнкцій.

Аналогічним чином можна довести, що в ситуації 85б, дана призма виконує функції двох плоских дзеркал, які змінюють хід променів на 360º і перевертають вхідне зображення. Не важко довести і те, що в ситуації 85в, призма виконує функції двох заломлюючих поверхонь і одного плоского дзеркала та дозволяє, не змінюючи загального ходу променів, перевернати вхідне зображення.

Таким чином, в залежності від просторової орієнтації, одна і та ж рівнобедрена прямокутно–трикутна призма, може виконувати ряд функцій, зокрема: функцію певним чином розташованого плоского дзеркала, або функцію системи двох плоских дзеркал, або функцію дзеркала та двох заломлюючих поверхонь. При цьому, практично важливою особливістю призматичних дзеркал є факт того, що вони не мають спеціального шару відбивного матеріалу. А отже не потребують нанесення та захисту цього матеріалу, не бояться корозійного впливу навколишнього середовища, тощо. Крім цього, в залежності від просторової орієнтації, робоча поверхня оптичної призми може бути дзеркальною, напівдзеркальною чи оптичнор прозорою.

Із вище сказаного ясно, що оптична призма, це важливий багатофункціональний оптичний прилад. Прилад, який широко застосовується в багатьох більш складнох оптичних системах, зокрема біноклях, перескопах, мікроскопах, кутовимірювальних візирах, тощо.

Мал.86. Призми є складовими елементами більш складних оптичних систем, зокрема: а)біноклів, б) пирескопів.

Однією з важливих та надзвичайно перспективних сфер застосування повного відбивання світла є так звана волоконна оптика. Оптичними волокнами називають тонкі оптично прозорі волокна, які дозволяють передавати світлові потоки та світлову інформацію криволінійними траєкторіями. Принцип дії оптичного волокна полягає в наступному. Те світло, яке на вході потрапляє всередину оптично прозорого волокна, багаторазово відбиваючись від його поверхневого шару (шару який контактує з оптично менш густим середовищем) досягає вихідного зрізу цього волокна.

Мал.87. В оптичному волокні повне відбивання світла забезпечує рух світла за заданою траєкторією.

Зазвичай в волоконно–оптичних приладах застосовують не окремі оптичні волокна, а їх певну сукупність яку прийнято називати оптоволоконними кабелями. Оптоволоконний кабель, це прилад, який забезпечує криволінійний рух світлових потоків та світлової інформації і який представляє собою сукупність великої кількості щільно упакованих оптичних волокон.

Пояснюючи загальний устрій та принцип дії оптичних приладів, потрібно мати на увазі, що по мірі збільшення кута падіння променів, кількість того світла яке відбивається від оптично рівної прозорої поверхні стає все більшою і більшою, а кількість світла яке проникає в нове середовище стає відповідно меншою. Якщо ж кут падіння світла дорівнює нулю (α = 0°), то світло практично не відбиваючись проникає в нове оптично прозоре середовище. Іншими словами, якщо потік світла є перпендикулярним до оптично рівної прозорої поверхні, то він практично не відбиваючись потрапляє в нове середовище.

Мал.88. При збільшенні кута падіння, кількість відбитого світла поступово збільшується, а кількість заломленого – відповідно зменшується.

Задача 1. Промінь світла падає під кутом 60° з повітря на поверхню деякого прозорого середовища. При цьому, заломлений промінь зміщується на 15° від свого початкового напрямку. Визначте швидкість світла в другому середовищі, якщо у повітрі вона становить 3·10⁸м/с.

Дано:

α = 60°

φ = 15°

v₁ = 310⁸м/с

v₂ = ?

Рішення. Виконуємо малюнок на якому відображаємо наявну ситуацію. У відповідності з законом заломлення світла sinα/sinγ = v₁/v₂, звідси випливає v₂= v₁sinγ/sinα. Із аналізу малюнку ясно, що γ + φ = α і тому γ = α – φ = 60°– 15°= 45°. Таким чином v₂= v₁sinγ/sinα = v₁sin45φ/sin60°.

Розрахунки: v₂=3·10⁸(м/с)0,71/0,87 = 2,45·10⁸м/с.

Відповідь: v₂= 2,45·10⁸м/с.

Задача 2. Шляхом геометричних побудов покажіть хід променя через скляну плоско паралельну пластину товщиною 20мм, якщо відомо, що кут падіння променя 50º, а кут його заломлення 30º. Визначте величину паралельного зміщення променя на виході з пластини.

Дано:

d = 20мм

α = 50º

γ = 30º

ℓ = ?

Рішення. З застосуванням лінійки і транспортира та з дотриманням масштабу і правил геометричних побудов, виконуємо малюнок на якому d = 20мм; α = 50º; γ = 30º.

Оскільки у відповідності з законами геометричної оптики, падаючий і заломлений промені взаємно оборотні, то можна стверджувати, що на виході з плоско паралельної пластини кут виходу променя буде дорівнювати куту його входу. А це означає, що вихідний промінь буде паралельним вхідному, але зміщеним відносно нього на певну відстань ℓ. Величину цієї відстані визначаємо експериментально, тобто шляхом вимірювання. А це вимірювання показує, що ℓ≈8мм. (Потрібно зауважити, що з метою отримання більш точних результатів, масштаб побудов можна збільшити, наприклад товщину пластинки взяти не 20мм а 40мм.

Відповідь: ℓ ≈ 8мм.

Задача 3. На дні склянки, заповненої водою на 10см, лежить монета. На якій відстані від поверхні води бачить монету спостерігач?

Дано:

Н = 10см

n = 1,33

h = ?

Рішення: Виконуємо малюнок який відображає наявну ситуацію. Розглянемо хід вузького пучка відбитих сонячних променів, що йдуть від точки А (монети) на дні склянки. Ці промені після заломлення, потрапляють в око спостерігача і створюють уявне зображення точки А в точці А₁. Із геометричного аналізу трикутників АВС та А₁ВС випливає, що tgα = BC/H; tgγ = BC/h. Звідси BC = Htgα; BC = htgγ, звідси htgγ = Htgα, звідси h = Htgα/tgγ. А оскільки мова йде про ті промені які потрапляють в око спостерігача, то ясно, що кути α і γ є гранично малими. А зважаючи на те, що синуси і тангенси малих кутів практично однакові, можна записати tgα/tgγ = sinα/sinγ = 1/n.

Таким чином: h = H/n = 10см/1,33 = 7,5см.

Відповідь: h = 7,5см.

Контрольні запитання.

1. Що означає твердження: на межі оптично різних прозорих середовищ світло заломлюється?
Чому при переході світла з одного оптично прозорого середовища в інше прозоре середовище, світло заломлюється?
Яке середовище називають оптично більш густим, а яке – оптично менш густим?
За яких умор відбувається повне внутрішнє відбивання світла?
Для скла граничний кут повного відбивання дорівнює 41°. Що це означає?
Поясніть поведінку світлових променів в зображених на мал.104 ситуаціях.
Які функції виконує рівнобедрена прямокутно-трикутна призма в а) біноклі; б) перископі (мал.105).
Які переваги призматичного дзеркала над звичайним?
Поясніть принцип дії оптичного волокна.
Світло падає на оптично рівну скляну поверхню. Від чого залежить співвідношенні між кількістю відбитого та заломленого світла? Якою є ця залежність?

Вправа 20.

На якому з малюнків зображено промінь який переходить з оптично більш густого середовища в оптично менш густе.

2. Перекресліть кожний малюнок у зошит. Вважаючи що середовище 1 має більшу оптичну густину, для кожного випадку побудуйте відсутній на малюнку падаючий або заломлений промінь. Позначте кут падіння та кут заломлення.

Для кожної представленої на малюнку ситуації, вкажіть напрямки відбитих та заломлених променів (верхнє середовище повітря, нижнє – вода).

4. Промінь світла падає на поверхню розподілу двох прозорих середовищ під кутом 35º і заломлюється під кутом 25º. Чому дорівнюватиме кут заломлення цього променя, якщо він падатиме під кутом 50º?

5. Шляхом геометричних побудов покажіть хід променя через скляну плоско паралельну пластину товщиною 20мм, якщо відомо, що кут падіння променя 60º, а кут його заломлення 45º. Визначте величину паралельного зміщення променя на виході з пластини.

6. Попередню задачу, розв’яжіть не графічно, а алгебраїчно.

7. На дні водойми глибиною 60см лежить монета. Хлопчик тримаючи палицю під кутом 45º намагається влучити в монету. На якій відстані від монети палиця вткнеться в дно водойми?

8. Якщо дивитися зверху на неглибоку водойму з чистою водою, то дно добре видно, проте глибина водойми здається меншою. У скільки разів?

§21. Загальні відомості про лінзи.

Важливим прикладом практичного застосування закону заломлення світла є оптичні лінзи. Лінза (оптична лінза), це прилад, який представляє собою оптично прозоре тіло обмежене двома оптично рівними криволінійними або криволінійною та плоскою, поверхнями і який визначеним чином формує відповідне оптичне зображеня. За зовнішніми ознаками та характером поведінки заломлених променів, лінзи поділяються на збиральні або опуклі та розсіювальні або вгнуті.

Збиральними (опуклими) називають такі лінзи, які будучи розташованими в оптично менш густому середовищі, збирають початково паралельні промені в околицях певної точки, яку називають фокусом лінзи. Характерною зовнішньою ознакою збиральних лінз є їх опуклість, тобто факт того, що центральна частина лінзи, товща за краєву.

Розсіювальними (увігнутими) називають такі лінзи, які будучи розташованими в оптично менш густому середовищі, розсіюють початково паралельні промені, причому розсіюють таким чином, що їх уявні продовження перетинаються в околицях певної точки, яку називають фокусом розсіювальної лінзи. Характерною зовнішньою ознакою розсіювальних лінз є їх увігнутість, яка проявляється в тому, що центральна частина розсіювальної лінзи тонша за краєву.

Мал.89. За зовнішніми ознаками та характером поведінки заломлених променів, лінзи поділяються на збиральні (опуклі) та розсіювальні (увігнуті).

До числа основних геометричних характеристик оптичної лінзи відносяться: головна оптична вісь лінзи, оптичний центр лінзи, оптична площина лінзи, фокус (F) та фокусна відстань (ƒ) лінзи, оптична сила лінзи (D). Головна оптична вісь лінзи, це пряма, що є віссю симетрії тих поверхонь які утворюють лінзу, та є перпендикулярною до цих поверхонь. Оптичний центр лінзи – точка, яка занаходиться в близьких околицях геометричного центру лінзи, лежить на її головній оптичній і є такою, при проходженні через яку, падаючий промінь не змінює напрям свого руху. Оптична площина лінзи – площина яка проходить через оптичний центр лінзи та є перпендикулярною до її головної оптичної осі.

Ту точку в якій дійсно або уявно перетинаються заломлені лінзою промені, називають фокусом лінзи (головним фокусом лінзи). При цьому мається на увазі, що падаючі на лінзу промені є паралельними її головній оптичній осі. Якщо у відповідній точці заломлені промені дійсно перетинаються, то фокус є дійсним, а якщо заломлені промені у відповідній точці перетинаються уявно, то фокус є уявним. Наприклад в збиральних лінзах фокус є дійсним, а в розсіювальних – уявним. Відстань від фокусу лінзи до її оптичного центру називають фокусною відстанню лінзи (позн.ƒ).

а) б)

Мал.90. Умовне позначення та основні геометричні характеристики лінзи

На практиці, заломлювальні властивості оптичної лінзи характеризують величиною яка називається оптичною силою лінзи. Оптична сила лінзи, це фізична величина, яка характеризує заломлювальні властивості опричної лінзи і яка обернена до її фокусної відстані.

Позначається: D

Визначальне рівняння: D = 1/ƒ

Одиниця вимірювання: [D] = 1/м = дп, діоптрія.

Прийнято вважати, що оптична сила збиральної лінзи є дадатною (D > 0), а оптична сила розсіювальної лінзи – від’ємною (D < 0). Наприклад, Якщо D = +2дп, то це означає: збиральна лінза має фокусну відстань 0,5м (ƒ = 1/D = 1/2дп = 0,5м). Якщо D = –0,5дп, то це означає: розсіювальна лінза має фокусну відстань 2м (ƒ = 1/D = 1/0,5дп = 2м).

Заломлювальні властивості лінзи, а відповідно і її фокусна відстань (ƒ) та оптична сила (D = 1/ƒ), визначально залежать від ступеню опуклості (увігнутості) лінзи. При цьому чим більш опуклою (чим більш увігнутою) є лінза, тим менша її фокусна відстань і навпаки.

Мал.91. Чим більш опукла лінза, тим менша її фокусна відстань і навпаки.

Варто зауважити, що твердження: «всі початково паралельні промені, після проходження через лінзу, дійсно або уявно перетинаються в певній точці, яку називають фокусом лінзи», в точності справедливе лише для так званих параксиальних, тобто приосевих променів. Власне по відношенню до таких променів і визначають ті параметри які називають фокусом лінзи та її фокусною відстанню. Загалом же, по мірі віддалення падаючих променів від головної оптичної осі лінзи, точка перетину відповідних заломлених променів (фокус лінзи) поступово зміщується в напрямку оптичного центру лінзи.

Мал.92. В реальній лінзі, по мірі віддалення падаючих променів від її оптичної осі, точка перетину відповідних заломлених променів поступово зміщується в напрямку оптичного центру лінзи.

Прямим наслідком факту того, що широкий потік початково паралельних променів фокусується не в певній геометричній точці, а в певних околицях цієї точки, є відповідне спотворення (викривлення) того зображення яке формує лінза. Це об’єктивне спотворення зображення називають сферичною аберацією лінзи (від лат. aberratio – відхилення). Сферичною аберацією називають таке спотворення зображення, яке визначальним чином залежить від геометричних параметрів лінзи і виникає в результаті того, що лінза знаходиться в широкому потоці непараксіальних світлових променів.

Сферична аберація суттєво погіршує оптичні властивості лінз. Негативні прояви цього явища зменшують різними методами, зокрема шляхом створення таких оптичних систем, в яких сферичні аберації різних елементів системи взаємно компенсуються. Скажімо, зображена на мал.93 система збиральної та розсіювальної лінз, за певного вибору кривизни їх робочих поверхонь, забезпечує чітке фокусування широкого потоку світлових променів.

Мал.93. Певне поєднання збиральної та розсіювальної лінз, запобігає їх сферичній аберації.

Застосовуючи закон заломлення світла (sinα/sinγ = n₁₂), можна визначити хід будь якого променя в будь якій лінзі, призмі чи іншому оптичному приладі. Однак, практичне застосування цього закону є надзвичайно складним. Наприклад, в зображеній на мал.94 ситуації, прогнозуючи поведінку падаючого на призму променя, потрібно: 1) виміряти величину кута α₁; 2) застосовуючи формулу γ₁ = arcsin(sinα₁/n₁₂), визначити величину кута γ₁; 3) занаючи величини кутів γ₁ і φ, визначити величину кута α₂; 4) застосовуючи формулу γ₂ = arcsin(sinα₂/n₂₁), визначити величину кута γ₂.

Мал.94. Застосовуючи закон заломлення світла (sinα/sinγ = n₁₂), можна визначити хід будь якого променя в будь якому оптичному приладі. Однак, практичне застосування цього закону є надзвичайно складним.

Зважаючи на ці обставини, параметри того зображення яке створює лінза, визначають на основі певного набору базових променів, поведінка яких є загальновідомою. Хід цих базових променів є наступним:

1 – якщо падаючий промінь проходить через оптичний центр лінзи, то промінь заломлений є прямим продовженням падаючого променя;

2 – якщо падаючий промінь паралельний головній оптичній осі лінзи, то промінь заломлений дійсно (для збиральних) або уявно (для розсіювальних) проходить через фокус лінзи;

Мал.95. На практиці побудову того зображення яке дає лінза виконують за допомогою двох базових променів.

Загальні зауваження.

1. При геометричних побудовах тих зображень які дають лінзи, часто використовують ще один (третій) базовий промінь: 3 – якщо падаючий промінь дійсно або уявно проходить через допоміжний фокус лінзи, то заломлений промінь є паралельним головній оптичній осі цієї лінзи.

Застосування такого променя є цілком прийнятним. Однак має той недолік, що суттєво ускладнює та заплутує систему тих термінів, які характеризують параметри лінзи. Зокрема передбачає дискусію про те, який фокус є головним, а який допоміжним, який передній, а який задній, чому в збиральній лінзі допоміжний фокус з переднім, а в розсіювальній – заднім, тощо. Уникаючи подібних (по суті нікчемних) дискусій, в своїх геометричних побудовах ми будемо використовувати лише два базових промені, а саме 1 і 2.

2. При практичній реалізації графічного методу визначення параметрів зображень, часто зустрічаються ситуації коли лінійні розміри предмету більші за лінійні розміри тієї лінзи яка формує зображення цього предмету. Подібні ситуації не повинні змінювати логіку ваших геометричних побудов. Адже параметри того зображення яке формує лінза, не залежать від того потрапляє чи не потрапляє на неї той паралельний промінь який виходить з крайньої точки тіла і який після заломлення має пройти через фокус лінзи. Бо це зображення формує не один і не два промені, а вся незліченна сукупність тих променів які виходять з усіх точок тіла. І ця сукупність сформує зображення предмету там, де воно є і має бути у відповідності з законами геометричної оптики. А це означає, що визначаючи параметри зображення, ви можете використовувати будь які зручні для вас промені, в тому числі і ті, які в реальності не проходять крізь лінзу. Головне щоб хід цих променів був визначений у відповідності з законами геометричної оптики. До речі, при геометричних побудовах, тією умовною площиною (на малюнку лінією) на межі якої промінь змінює напрям свого руху (заломлюється), є оптична площина лінзи.

Мал.96. Визначаючи параметри зображення, ви можете використовувати будь які зручні для вас промені, в тому числі і ті, які в реальності не проходять крізь лінзу.

Ілюструючи можливості графічного методу визначення параметрів тих зображень які створюють збиральні і розсіювальні лінзи, а заодно і досліджуючи властивості самих лінз, розглянемо конкретні ситуації.

1.Предмет розташований на відстані яка більша за подвійну фокусну відстань збиральної лінзи: ℓ > 2ƒ.

Результат побудов: зображення предмету є дійсним, перевернутим, зменшеним. Подібна ситуація реалізується наприклад, в оптичній системі ока людини, яка фокусує зображення віддалених предметів на сітківці ока.

2. Предмет розташований на відстані ℓ = 2ƒ.

Результат побудов: зображення предмету є дійсним, перевернутим, рівним. Подібна ситуація не має практичного застосування. Адже зазвичай лінзи застосовуються для отримання збільшених або зменшених зображень.

3. Предмет розташований на відстані ƒ < ℓ < 2ƒ.

Результат побудов: зображення предмету є дійсним, перевернутим, збільшеним. Такі зображення створюють на екранах різноманітні проекційні апарати.

4. Предмет розташований на відстані ℓ = ƒ.

Результат побудов: за такого розташування, заломлені лінзою промені будуть паралельними, а отже такими, які ніде не перетинаються. А це означає, що у цьому випадку ані дійсного, ані уявного зображення лінза не створює.

5. Предмет розташований на відстані ℓ < ƒ.

Результат побудов: зображення предмету є уявним, прямим, збільшеним. Подібна ситуація реалізується в тих практично важливих випадках коли збиральну лінзу ми використовуємо в якості так званого збільшувального скла (лупи).

6. Зображення які дає розсіювальна лінза.

Результат побудов: в незалежності від відстані між предметом та розсіювальною лінзою, створюване лінзою зобрадення предмету є уявним, зменшеним і прямим.

Говорячи про дійсні та уявні зображення, потрібно мати на увазі, що ті дійсні зображення які створюють збиральні лінзи, ми бачимо лише у вигляді їх відображення на сторонньому екрані, або в тому випадку, якщо цим екраном є сітківка ока. Якщо ж говорити про ті зображення які називаються уявними, то спостерігач бачить ці зображення в незалежності від того що створює уявне зображення, плоске дзеркало, опукле дзеркало, збиральна лінза чи лінза розсіювальна, і в незалежності від того на якій відстані від цього зображення знаходиться спостерігач. Умовно кажучи, дійсні зображення «бачить» екран, а уявні – спостерігач.

Мал.97. Дійсні зображення «бачить» екран, а уявні – спостерігач.

На завершення зауважити, що коли ми стверджуємо, що опуклі лінзи є збиральними, а увігнуті – розсіювальними, то маємо на увазі, що оптична густина того матеріалу з якого виготовлена лінза (зазвичай скло n = 1,52) більша за оптичну густину того середовища в якому знаходиться лінза (зазвичай повітря n = 1,0003). Однак закони геометричної оптики стверджують, а експериментальні факти це підтверджують, що при зворотній ситуації, властивості лінз будуть зворотніми. Наприклад, якщо розташованій у воді повітряній бульбашці надати форму опуклої лінзи, то ця лінза буде розсіювальною, а відповідна вгнута лінза – збиральною.

Мал.98. В оптично більш густому середовищі, збиральна лінза стає розсіювальною, а розсіювальна – збиральною.

Контрольні запитання.

Які лінзи називають збаральними? Чому їх друга назва – опуклі?
Які лінзи називають розсіювальними? Чому їх друга назва – увігнуті?
Чому фокус збиральної лінзи є дійсним, а розсіювальної – уявним?
Що характеризує і чому дорівнює оптична сила лінзи?
Від чого залежить оптична сила лінзи?
В чому суть сферичної абберації світла?
Чи може опукла лінза бути розсіювальною, а вгнута – збиральною? Якщо може, то за яких умов?
Опишіть принцип дії приладу який називається лупа.
Що означає твердження: дійсні зображення «бачить» екран, а уявні – спостерігач.

Вправа 21.

Яка з лінз має більшу оптичну силу?

2. Оптична сила лінзи дорівнює: а) +4дп; б) +0,4дп; в) –3дп; г) –0,25дп. Які це лінзи і яка їх фокусна відстань.

3. Перекресліть малюнок у зошит і для кожного випадку побудуйте зображення предмету у відповідній лінзі. Охарактеризуйте це зображення.

а)

б)

в)

4. Шляхом геометричних побудов та вимірювань, визначити параметри зображення вертикального відрізка висотою 1,5см, в збиральній лінзі фокусна відстань якої 3см. Відстань від предмету до оптичного центру лінзи: а) 8см; б) 6см; в) 4см; г) 3см; д) 2см. (⁎)

5. Шляхом геометричних побудов та вимірювань, визначити параметри зображення вертикального відрізки висотою 4см, в розсіювальній лінзі фокусна відстань якої 4см. Відстань від предмету до оптичного центру лінзи: а) 10см; б) 8см; в) 6см; г) 4см; д) 2см. (⁎)

(⁎) – Рішення задач 4 і 5, передбачає не лише загальну відповідь на кшталт: зображення предмету є дійсним, перевернутим, зменшеним, а й отримані шляхом точних побудов та вимірювань конкретні відповіді, зокрема: висота зображення hꞌ =, відстань від лінзи до зображення ℓꞌ = .

§22. Графічне та алгебраїчне визначення параметрів тих зображень які формують лінзи. Формула лінзи.

В попередньому параграфі ми графічно розв’язували ті задачі в яких одна з крайніх точок тіла лежить на головній оптичній осі лінзи, а саме тіло є перпендикулярним до цієї осі. Але ті загальні правила які ми застосовували при розв’язуванні цих простих задач, дозволяють розв’язувати і значно складніші задачі. Просто в складніших задачах потрібно визначати параметри не однієї точки, а більшої їх кількості. Власне про подібні задачі ми і поговоримо. Крім цього, поговоримо і про те, як аналогічні задачі розв’язуються не шляхом геометричних побудов (графічне рішення), а шляхом алгебраїчних розрахунків (алгебраїчне рішення).

Розширюючи наші навички графічного визначення параметрів тих зображень які утворюють збиральні та розсіювальні лінзи, розглянемо ряд конкретних ситуацій.

Задача 1. Шляхом геометричних побудов визначити параметри зображення тіла.

Загальні зауваження. Одна з переваг графічного рішення задачі полягає в тому, що воно є наочним і зазвичай таким, що не потребує додаткових пояснень. Наприклад рішення всіх нище наведених задач полягає в тому, що із крайніх точок наявного тіла проводять два базові промені, які після їх заломлення перетинаються в певній точці яка і є точкою відповідного зображення.

1) Зображення предмету: дійсне, збільшене, перевернуте.

2) Зображення предмету є дійсним, зменшеним, перевернутим.

3) Зображення предмету є дійсним, рівним, перевернутим.

4) Зображення предмету є уявним, прямим, зменшеним).

5) Зображення предмету: уявне, пряме, зменшене.

6) Зображення предмету є дійсним, при цьому кутова орієнтація та розміри зображення визначаються індивідуально.

Задача 2. На малюнку показано головну оптичну вісь лінзи (KN), світлову току S та її зображення S₁. Визначити розташування оптичного центру та фокусу лінзи, тип лінзи і тип зображення.

Рішення. 1. Оскільки світлова точка та її зображення знаходяться на тій прямій, яка проходить через оптичний центр лінзи, то провівши пряму SS₁ та визначивши точку її перетину з головною оптичною віссю лінзи (точка О), ми фактично визначаємо оптичний центр лінзи.

2. Оскільки оптична площина лінзи перпендикулярна до її головної оптичної осі, то провівши через точку О пряму (площину) яка перпендикулярна до цієї осі, ми визначаємо положення оптичної осі (площини) лінзи, тобто тієї умовної лінії на якій відбувається зміна напрямку поширення променя.

Із аналізу малюнку видно, що точки S і S₁ знаходяться по різні боки лінзи, а це можливо лише в тому випадку якщо відповідна лінза збиральна.

4. Оскільки той промінь який виходить з точки S і є паралельним головній оптичній осі лізи, після заломлення проходить як через фокус цієї лінзи, так і через зображення точки S, тобто через точку S₁, то виконавши відповідну побудову, ми визначаємо місцезнаходження фокусу лінзи (точка F).

Оскільки ті базові промені які виходять з точки S, дійсно перетинаються в точці S₁, то відповідне зображення є дійсним.

Вивчаючи фізику, ми постійно стикалися з ситуаціями, коли одну і ту ж задачу можна розв’язати по різному. І в цьому сенсі задачі геометричної оптики не є винятком. Адже параметри тих зображення які утворюють збиральні та розсіювальні лінзи, можна отримати не лише шляхом геометричних побудов (графічне рішення задачі), а й шляхом алгебраїчних розрахунків (алгебраїчне рішення задачі). Однією з основ цього (алгебраїчного) рішення, є так звана формула лінзи.

Аналізуючи ту геометричну картину яку утворюють базові промені при їх проходженні через збиральну чи розсіювальну лінзи, можна довести, що між відстанню від предмету до лінзи ℓ, відстанню від лінзи до зображення предмету ℓꞌ та фокусною відстанню лінзи ƒ, існує співвідношенням 1/ℓ + 1/ℓꞌ = 1/ƒ. Це співвідношення називають формулою лінзи.

Мал.99. Відстань від предмету до лінзи ℓ, від лінзи до зображення предмету ℓꞌ та фокусна відстань лінзи ƒ, зв’язані співвідношенням 1/ℓ + 1/ℓꞌ = 1/ƒ, (на малюнку ℓ = х, ℓ′= у).

Загальні зауваження. Невідомо чому, але фактом є те, що в переважній більшості вітчизняних підручників, відстань від предмету до лінзи позначають літерою d, відстань від лінзи до зображення предмету – літерою ƒ, а фокусну відстань, як і точки переднього та заднього фокусів, позначають єдиною літерою F. При цьому формула лінзи записують у вигляді: 1/d + 1/ƒ = 1/F.

Ми не будемо дотримуватися цієї м’яко кажучи абсурдної традиції. Тому у відповідності з елементарною логікою, та загально науковою практикою, відстань від предмету до лінзи будемо позначати літерою ℓ, відстань від лінзи до зображення предмету – літерою ℓꞌ, фокусну відстань – літерою ƒ, висоту предлету – літерою h, а висоту зображення предмету – літерою hꞌ. При цьому формулу лінзи будемо записувати в загально прийнятому в науці вигляді: 1/ℓ + 1/ℓꞌ = 1/ƒ, або 1/ℓ + 1/ℓꞌ = D, де D = 1/ƒ – оптична сила лінзи.

В процесі вивчення фізики, ви неодноразово переконувалися в тому, що одну і ту ж задачу можна розв’язати як алгебраїчним так і графічним методом. І в цьому сенсі, задачі геометричної оптики не є винятком. Наприклад до тепер, задачі на визначення параметрів тих зображень які створюють збиральні і розсіювальні лінзи ми розв’язували графічно. Суть же цих розв’язків полягала в тому, що знаючи координати заданої точки В(ℓ, h) та характер поведінки базових променів, шляхом геометричних побудов, визначаються координати зображення цієї точки В₁(ℓꞌ, hꞌ).

Мал.100. Графічне рішення: за заданими координатами точки В(ℓ, h), шляхом геометричних побудов визначаються координати зображення цієї точки В₁(ℓꞌ, hꞌ).

Як це не парадоксально, але подібні задачі можна розв’язувати не лише шляхом геометричних побудов (графічне рішення), а й шляхом алгебраїчних розрахунків (алгебраїчне рішення). А ці розрахунки мають бути такими, що дозволяють за заданими координатами точки (ℓ, h), та відомою фокусною відстанню лінзи (ƒ), визначати координати (ℓꞌ, hꞌ) зображення відповідної точки. Іншими словами, алгебраїчне рішення задачі має базуватися на двох формулах, в яких невідомі величини (ℓꞌ і hꞌ) виражаються через відомі (ℓ, h, ƒ).

Одна з цих формул, з усією очевидністю випливає з формули лінзи. Дійсно, оскільки 1/ℓ + 1/ℓꞌ = 1/ƒ, то 1/ℓ′ = 1/ƒ – 1/ℓ = (ℓ–ƒ)/ƒ∙ℓ, звідси ℓ′ = ƒ∙ℓ/(ℓ–ƒ). Друга формула, з неменшою очевидністю випливає з елементарних геометричних міркувань. Дійсно. Із подібності трикутників ОАВ і ОА₁В₁ (мал.119) випливає, що АВ/А₁В₁ = АО/ОА₁. Іншими словами h/hꞌ = ℓ/ℓꞌ, звідси hꞌ = h∙ℓ′/ℓ. А враховуючи, що ℓ′ = ƒ∙ℓ/(ℓ–ƒ), можна записати hꞌ = h∙ƒ∙ℓ/ℓ∙(ℓ–ƒ) = h∙ƒ/(ℓ–ƒ).

Таким чином, знаючи координати заданої точки (ℓ, h) та фокусну відстань лінзи (ƒ), координати зображення цієї точки визначаються за системою формул

ℓ′ = ƒ∙ℓ/(ℓ–ƒ),

hꞌ = h∙ƒ/(ℓ–ƒ).

Застосовуючи дані формули та аналізуючи отримані результати, керуються наступними правилами знаків:

Фокусна відстань збиральної лінзи є додатньою ƒ = «+», а фокусна відстань розсіювальної лінзи – від’ємною ƒ = «–».
Якщо ℓʹ = «+», то зображення дійсне, а якщо ℓʹ = «–», то зображення уявне.
Якщо h i hʹ мають однакові знаки, то зображення перевернуте, а якщо ці знаки є різними – то пряме.

Важливою частиною успішного засвоєння навчального матеріалу попереднього параграфу, було виконання вправи 29 і зокрема задач 4 і 5. Ця важливість стане ще більш очевидною, якщо зважити на те, що саме на прикладі цих задач ми продемонструємо суть та можливості їх алгебраїчного рішення, а за одно, порівняємо результати алгебраїчного і графічного рішень, та зробимо відповідні висновки.

Задача 3. Шляхом алгебраїчних розрахунків, визначити параметри зображення вертикального відрізка висотою 1,5см, в збиральній лінзі фокусна відстань якої 3см. Відстань від предмету до оптичного центру лінзи: а) 8см; б) 6см; в) 4см; г) 3см; д) 2см.

Дано:

ƒ = 3см;

h = 1,5см;

ℓ₁= 8см;

ℓ₂= 6см;

ℓ₃= 4см;

ℓ₄= 3см;

ℓ₅= 2см.

Визначити та охарактеризувати параметри зображення.

Рішення. Застосовуючи формули ℓʹ = ℓƒ/(ℓ–ƒ); hʹ = hƒ/(ℓ–ƒ), визначаємо координати (ℓ′, h′) зображення вершини заданого відрізку і на основі вище сформульованих правил знаків, характеризуємо відповідне зображення.

1) ℓ₁ʹ = 8·3/(8–3) = 4,8см; h₁ʹ = 1,5·3/(8–3) = 0,9см.

Зображення: дійсне (ℓʹ = «+»), зменшене (h′ < h), перевернуте (h i hʹ мають однакові знаки).

2) ℓ₂ʹ = 6·3/(6–3) = 6,0см; h₂ʹ = 1,5·3/(6–3) = 1,5см.

Зображення: дійсне (ℓʹ = «+»), рівне (h′ = h), перевернуте (h i hʹ мають однакові знаки).

3) ℓ₃ʹ = 4·3/(4–3) = 12,0см; h₃ʹ = 1,5·3/(4–3) = 4,5см.

Зображення: дійсне (ℓʹ = «+»), збільшене (h′ > h), перевернуте (h i hʹ мають однакові знаки).

4) ℓ₄ʹ = 3·3/(3–3) = ∞см; h₄ʹ = 1,5·3/(3–3) = ∞см.

Предмет не має зображення (зображення розчиняється в безкінечності).

5) ℓ₅ʹ = 2·3/(2–3) = –6,0см; h₅ʹ = 1,5·3/(2–3) = –4,5см.

Зображення: уявне (ℓʹ = «–»), збільшене (h′ > h), пряме (h i hʹ мають різні знаки).

Задача 4. Шляхом алгебраїчних розрахунків, визначити параметри зображення вертикильного відрізку висотою 4см, в розсіювальній лінзі фокусна відстань якої 4см. Відстань від предмету до оптичного центру лінзи: а) 10см; б) 8см; в) 6см; г) 4см; д) 2см.

На малюнку АО = ℓ, А₁О = ℓ′, FO = ƒ.

Дано:

ƒ = –4см;

h = 4см;

ℓ₁= 10см;

ℓ₂= 8см;

ℓ₃= 6см;

ℓ₄= 4см;

ℓ₅= 2см.

Визначити та охарактеризувати параметри зображення.

Рішення. Застосовуючи формули ℓʹ = ℓƒ/(ℓ–ƒ); hʹ = hƒ/(ℓ–ƒ), визначаємо координати (ℓ′, h′) зображення вершини заданого відрізку в кожній з заданих ситуацій, і на основі вище сформульованих правил знаків, характеризуємо відповідне зображення.

1) ℓ₁ʹ = 10(–4)/(10+4) = –2,86см; h₁ʹ = 4(–4)/(10+4) = –1,14см.