§31. Пара сил. Момент сили. Умова рівноваги тіла, що має вісь обертання.
До тепер, говорячи про механічну та динамічну рівновагу тіла, ми мали на увазі, що це тіло знаходиться під дією так званої збіжної системи сил, тобто такої системи одночасно діючих на тіло сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці. По суті це означає, що ми вивчали статику матеріальної точки, тобто ту частину статики в якій тіло можна вважати матеріальною точкою, а діючі на нього сили, можна замінити однією рівнодійною силою. Силою, яка надає тілу поступального руху.
Однак, далеко не всяка діюча на тіло система сил є збіжною і далеко не всяку сукупність сил можна замінити рівнодійною. Наприклад, якщо на тіло діють дві рівні за величиною і протилежні за напрямком сили F1 і F2 які не лежать на одній прямій (мал.71), то замінити цю систему сил відповідною рівнодійною, не можливо. Дійсно. Формально визначивши рівнодійну сил F1 і F2 ми отримаємо нульову величину: F1 + F2= 0. Та чи означає це, що загальна механічна дія сил F1 і F2 є нульовою? Очевидно що ні. Адже дана система сил надає або намагається надати тілу певного обертального руху.
Мал.71. Пару сил не можливо замінити рівнодійною силою. Пара сил надає тілу не поступального, а обертального руху.
Систему двох рівних за величиною і протилежних за напрямком сил, які не лежать на одній прямій і спільно діють на одне і те ж тіло, називають парою сил (або парою). Пара сил надає (або намагається надати) тілу обертального руху. Пару сил не можливо замінити або зрівноважити однією силою. Пару сил можна замінити чи зрівноважити лише іншою парою сил.
Ви можете заперечити в тому сенсі, що в певних випадках тіло може обертатись під дією лише однієї сили. Наприклад, відчиняючи двері (мал.72а), ми прикладаємо лише одну силу яка і надає їм обертального руху. Або коли наприклад, за допомогою гайкового ключа ми закручуємо болт чи гайку (мал.72б), то це закручування здійснюємо шляхом прикладання однієї сили. Дійсно. На перший погляд здається, що двері та гайкові ключі обертаються під дією лише однієї сили. Насправді ж, одна сила не може змусити тіло обертатись. Це може зробити лише пара сил. І якщо двері та гайкові ключі обертаються, то це тільки тому, що на них діють дві рівні за величиною і протилежні за напрямком сили які і утворюють відповідну пару. При цьому не важко збагнути, що другою силою пари є та реакція опори, яка виникає в петлях дверей або в точках дотику болта з елементами нерухомої конструкції.
Мал.72. Якщо тіло обертається, то це означає, що на нього діє пара сил.
Загалом же, тіло яке має нерухому вісь обертання може рухатись лише обертально. І це обертання створює відповідна пара сил. Інша справа, що однією з цих сил може бути та реакція опори яка виникає в нерухомій осі обертання.
Основною характеристикою пари сил, або тієї сили що діє на тіло з нерухомою віссю обертання, є фізична величина яка називається моментом сили або моментом пари сил.
Момент сили – це фізична величина, яка характеризує обертальну дію сили (пари сил) і яка дорівнює добутку цієї сили F на плече її дії d, тобто найкоротшу відстань між лінією дії сили та віссю обертання тіла.
Позначається: М
Визначальне рівняння: М=F·d
Одиниця вимірювання: [М] = Н∙м, (ньютон-метр).
Із аналізу рівняння М=F·d ясно, що момент сили залежить як від величини самої сили F, так і від величини плеча її дії d. При цьому величина плеча дії сили залежить як від точки прикладання сили, так і від напрямку її дії. Наприклад, прикладаючи одну і ту ж силу в різних точках руків’я гайкового ключа (мал.73а), ми отримаємо різні моменти сили: Fh2>Fh1. Різні тому, що плечі дії цих сил є різними h2>h1. З іншого боку, точки прикладання сили можуть бути однаковими, а моменти цих сил – різними. Наприклад в зображених на мал.73б,в ситуаціях, точки прикладання сили F є однаковими. А от створювані цими силами моменти є різними. Різними тому, що плечі дії сил різні. Бо плече дії сили, це не відстань від точки прикладання сили до осі обертання тіла. Плече сили – найкоротша відстань від лінії дії сили до осі обертання тіла.
Мал.73. Плече сили, це найкоротша відстань від лінії дії сили до осі обертання тіла.
Потрібно зауважити, що момент сили – величина векторна. Однак, зважаючи на те, що в межах програми загальноосвітньої школи вивчають лише плоскі системи сил, момент сили можна вважати величиною скалярною, тобто такою яка характеризується абсолютною величиною та знаком. При цьому, знак моменту сили зазвичай визначають за правилом: якщо сила обертає (або намагається обертати) тіло за годинниковою стрілкою, то момент сили додатній (мал.74а), а якщо проти годинникової стрілки – від’ємний (мал.74б).
а) б)
Мал.74. Якщо сила (пара сил) обертає тіло за годинниковою стрілкою, то момент сили додатній, а якщо проти годинникової стрілки – від’ємний.
Коли ми стверджували, що тіло буде знаходитись в стані механічної рівноваги тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил дорівнює нулю (∑F=0), то мали на увазі, що система діючих на тіло сил є збіжною, і що тому рівновага тіла є так би мовити поступальною. В загальному ж випадку, система діючих на тіло сил може бути довільною. І ця довільна система сил може надавати тілу не лише поступального руху, а й руху обертального. В такій ситуації основний закон статики (загальна умова рівноваги тіла) набуває вигляду: тіло буде знаходитись в стані повної механічної рівноваги (спрощено кажучи, не буде рухатись ані поступально ані обертально) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та моментів цих сил дорівнюють нулю, тобто за умови:
∑F =0; ∑M=0.
Оскільки те тіло яке має нерухому вісь обертання, поступально не рухається і рухатись не може, то векторна сума діючих на нього зовнішніх сил гарантовано дорівнює нулю. А це означає, що для такого тіла умова рівноваги набуває вигляду: тіло з нерухомою віссю обертання, буде знаходитись в стані обертальної рівноваги (обертального спокою), тоді і тільки тоді, коли сума діючих на нього моментів сил дорівнює нулю, тобто за умови: ∑М=0.
Потрібно зауважити, що формула ∑М=0 є справедливою в незалежності від того, відносно якої точки тіла ви визначаєте діючі на нього моменти сил. Однак, якщо цією точкою буде не точка осі обертання тіла, то в цьому випадку потрібно враховувати і ту силу, яка виникає в осі обертання і яка називається реакцією опори. Зважаючи на ці обставини, застосовуючи формулу ∑М=0, в якості тієї точки відносно якої визначаються моменти сил, ми будемо обирати точку осі обертання тіла. Адже в цьому випадку момент реакції опори дорівнює нулю (поясніть чому).
Задача. На основі аналізу малюнку, визначте величину тієї сили F яку треба прикласти на краю стержня масою 4кг і довжиною 80см, щоб урівноважити вантаж масою 5кг.
Дано: Рішення.
m1=5кг Виконуємо малюнок на якому вказуємо діючі на тіло
m2=4кг сили та плечі дії цих сил. (Нагадаємо, прийнято вважати, що
l=80cм діюча на тіло сила тяжіння, діє на центр маси відповідного
l1=20см тіла, в нашому випадку на точку, яка є геометричним центром
F = ? стержня).
l=80см
l2=40см F
l1=20см
Fт1=m1g Fт2=m2g
Записуємо умову рівноваги тіла: ∑М=0. В умовах нашої задачі:
∑М= Fт1·ℓ1 + Fт2·ℓ2 – F·ℓ = 0. Звідси, F·ℓ = Fт1·ℓ1 + Fт2·ℓ2.
Звідси, F = (Fт1· ℓ1 + Fт2·ℓ2)/ℓ. Або F = (m1gℓ1 + m2gℓ2)/ℓ.
Розрахунки: F = (5кг10м/с220см + 4кг10м/с240см)/80см = 32,5кг(м/с2)=32,5Н
Відповідь: F = 32,5Н.
Контрольні запитання.
1.Яку систему сил називають збіжною?
2. Чи може збіжна система сил надати тілу обертального руху?
3. Що називають парою сил?
4. Чи можна замінити пару сил рівнодійною силою? Чому?
5. Що називають моментом сили?
6. Який момент сили називають додатнім, а який від’ємним?
7. Що називають плечем дії сили? Від чого залежить це плече?
8. Чому ручки дверей ставлять на гранично великій відстані від осі їх обертання?
Вправа №25.
1.На основі аналізу малюнку визначте величини тих сил які в окремості потрібно прикладати в точках А, В, С, забезпечуючи рівновагу лінійки. Вага тягарця 2Н.
2. На основі аналізу малюнку визначте масу m2, якщо m1=2кг.
3. На основі аналізу малюнку визначте масу m3, якщо m1=2кг, m2=3кг. Масою стержня знехтувати.
4. Розв’язати попередню задачу за умови, що маса стержня 5кг.
5. На основі аналізу малюнку визначити масу стержня, якщо маса вантажу10кг.
6. На основі аналізу малюнку визначте, чи буде стержень в стані обертальної рівноваги?
7. На основі аналізу малюнку визначте величину тієї сили яку потрібно прикласти в точці А, для забезпечення обертальної рівноваги стержня.
§32. Важелі.
Одним з найпростіших і в той же час дуже важливих механічних приладів є важіль. Важіль – це прилад, який представляє собою довге тверде тіло, що може обертатись навколо відносно нерухомої точки, яку називають точкою опори.
Так чи інакше важелі застосовувались з незапам’ятних часів. Скажімо, коли використовуючи підручну палицю, прадавня людина зрушувала з місця важкий камінь, то вона фактично застосовувала важіль. Якщо ж говорити про історично зафіксовані факти системного застосування важелів, то вони відносяться до періоду будівництва великих єгипетських пірамід (приблизно 4600 років тому).
Мал.75. Люди використовували важелі з прадавніх часів.
Напевно першим хто дослідив важіль як науковець, хто пояснив його принцип дії та основні властивості, був видатний давньогрецький вчений (механік, математик, інженер, винахідник) Архімед (287-212 р.р. до н.е.). Саме Архімеду належить крилатий вираз: «Дайте мені точку опори і я підніму Землю».
Зазвичай важіль застосовується для підсилення силової дії. Таке підсилення відбувається за рахунок того, що плече дії «вхідної» сили, тобто тієї сили яку ми прикладаємо до важеля і яка потребує підсилення, значно більше за плече дії сили «вихідної». Дійсно. Якщо сила F1 (мал.76) має плече d1, а сила F2 – плече d2, то у відповідності з умовою рівноваги даного тіла (важеля) F1d1=F2d2. А це означає, що коли плече дії сили F1 буде більшим за плече дії сили F2 () то у відповідну кількість разів сила F2 буде більшою за силу F1: F2=F1(d1/d2).
З (d1>d2)ншого боку було б дивним та неприроднім, якби за допомогою важеля ми отримували виграш в силі, що називається «безкоштовно», тобто не програючи в чомусь іншому. І очевидно, що цим «іншим» є програш в тому переміщенні яке спричиняє підсилена сила. Дійсно. З геометричних міркувань (дивись мал.76) випливає, що виграючи в силі (F2=nF1 де n=d1/d2=h1/h2) ми в таку ж кількість разів програємо в тому переміщенні яке здійснює ця сила (h2=h1/n).
Мал.76. Важіль – механізм який підсилює силову дію. При цьому, виграючи в силі (F2>F1), ми неминуче програємо у відстані (h2<h1).
Про те, що «безкоштовних» виграшів у силі не буває, вчені знали ще з стародавніх часів. Досліджуючи властивості важеля, Архімед сформулював правило, яке стосувалось всіх простих механізмів і в якому стверджувалось: у скільки разів виграєш в силі, у стільки ж разів програєш у відстані. Це правило прийнято називати золотим правилом механіки. По суті, золоте правило механіки є одним з перших формулювань базового закону сучасної науки – закону збереження енергії.
Певні важільні системи можна побачити в найрізноманітніших сучасних приладах, починаючи від дитячих гойдалок, весел, шлагбаумів та ножиць і закінчуючи елементами піднімально-транспортних механізмів, автомобілів, кораблів, літаків, тощо. Деякі приклади простих важільних систем представлені на мал.77.
Мал.77. Деякі приклади простих важільних систем.
Все різноманіття важелів можна розділити на два типи. Важелями першого типу називають такі важелі, в яких точки прикладання сил знаходяться по різні сторони від точки опори, при цьому напрямки моментів цих сил є взаємно протилежними: одна сила намагається повернути важіль за годинниковою стрілкою, а інша – проти годинникової стрілки (мал.78а). Важелями другого типу називають такі важелі, в яких точки прикладання сил знаходяться по один бік від точки опори, при цьому напрямки моментів цих сил є взаємно протилежними (мал.78б). Потрібно зауважити, що діючим на важіль силам зовсім не обов’язково бути паралельними. Наприклад, на мал.78в представлено важіль другого типу, в якого напрямки діючих на нього сил не є паралельними. Однак ці напрямки завжди такі, що одна сила прагне повернути важіль за годинниковою стрілкою, а інша – проти годинникової стрілки.
Мал.78. Різноманіття важелів можна розділити на важелі першого (а) та другого типу (б, в).
Певні важільні системи можна побачити не лише в штучно створених приладах, а й в організмах живих істот, зокрема в організмі людини. Наприклад ліктьова кістка руки, ліктьовий суглоб та той м’яз який називають біцепсом (мал.79а) утворюють важільну систему, яка забезпечує рухливість ліктьової частини руки. Аналогічне можна сказати і про ступню ноги (мал.79в), рухливість якої забезпечує важільна система елементами якої є кістки стопи, великогомілкова кістка та ахілесове сухожилля. Або наприклад череп людини (мал.79б), у поєднанні з кістками шийного відділу хребта та ремінним м’язом, утворюють важільну систему яка забезпечує рухливість голови.
Мал.79. Приклади важільних систем людського тіла.
Завершуючи розмову про важелі, розглянемо питання про те, наскільки реальним є вислів Архімеда: «Дайте мені точку опори і я підніму Землю»? Ясно, що мова йде про певну гіпотетичну задачу, гіпотетичне рішення якої базується на властивостях того простого механізму який називається важелем.
Припустимо, що у Всесвіті є така точка спираючись на яку Архімед мігби підняти Землю. Припустимо, що знайшовся такий надзвичайно довгий, надміцний, невагомий стержень, за допомогою якого Архімед міг би підняти Землю. Припустимо, що Земля має такі маленькі розміри, які дозволять розмістити її на короткій частині важеля, плече якої d=1м. Запитується, плече якої довжини (D) повинен мати важіль, щоб Архімед прикладаючи силу еквівалентну масі m=60кг, міг би підняти Землю маса якої M=60·1023кг? На яку відстань (H) має переміститися той кінець стержня на який буде тиснути Архімед, щоб Земля піднялася на h=1см? Скільки часу знадобиться Архімеду, щоб постійно рухаючись з швидкістю 1м/с подолати цю відстань?
Мал.80. Дайте мені точку опори і я підніму Землю.
Рішення.
Оскільки маса Землі 60·1023кг, то для того щоб сила еквімалентна масі 60кг, зрушила Землю, знадобиться важіль плечі якого знаходяться у співвідношенні: D/d=M/m=60·1023кг/60кг=1·1023разів. Таким чином, якщо довжина короткого плеча важеля становитиме 1м, то довжина його довгого плеча має дорівнювати D=d·1023=1·1023м. Для порівняння, відстань від Землі до Сонця 1,49·1011м, тобто в 670 000 000 000 разів менша.
Тепер давайте визначимо ту відстань (H) на яку Архімед, постійно тиснучи на свій край важеля з силою 600Н повинен перемістити цей край, щоб Земля піднялась на h=1см. А цю відстань можна визначити із співвідношення: Н/h=D/d. Звідси H=hD/d=1см1·1023=1·1021м. А це всього в 6 700 000 000 разів більше за відстань від Землі до Сонця.
Скільки ж часу знадобиться Архімеду, щоб постійно рухаючись з швидкістю 1м/с подолати цей шлях? А цей час визначити не складно: t=H/v=1·1021м/1(м/с)=1·1021с= 1·1021/365·24·60·60=31,7·1012років. А це всього у 2300 разів більше за вік нашого Всесвіту.
Висновки зробіть самі.
Контрольні запитання.
1.Поясніть принцип дії важеля.
2. Чи означає факт підсилення важелем силової дії, що це підсилення є «безкоштовним»?
3. Що стверджується в золотому правелі механіки?
4. Які важелі називаються важелями першого типу? Наведіть приклади.
5. Які важелі називаються важелями другого типу? Наведіть приклади.
6. Як направлені діючі на важіль сили?
7. Поясніть принцип дії тієї важільної системи, яка представлена на мал.79а.
8. Важелями якого типу є ті, що представлені на мал.79?
Вправа №25.
1.За допомогою гострозубців перекушують цвях. Відстань від осі обертання гострозубців до цвяха 2см, а до точки прикладання сили руки 16см. Рука стискає гострозубці з силою 200Н. Яка сила діє на цвях.
2. На кінцях важеля діють сили 40Н і 240Н, відстань від точки опори до меншої сили 6см. Визначте довжину важеля, якщо він перебуває в рівновазі.
3. На кінцях важеля діють сили 2Н і 18Н. Довжина важеля 1м. Де буде точка опори, якщо важіль перебуває у рівновазі?
4. До точки 1 прикріплено вантаж масою 2кг. Якої маси вантаж треба закріпити в точці 2, щоб важіль був у рівновазі. Маса важеля 4кг.
5. На основі аналізу малюнка визначте величину тієї сили яка діє на біцепс руки що утримує гирю масою 2кг.
6. Відомо що маса слона 5т, а маса мухи 0,1г. Якої довжини має бути довше плече важіля, щоб муха зрівноважила слона. Довдина того плеча на якому стоїть слон 2м. Масу важеля не враховувати. На скільки має опуститися муха, щоб слон піднявся на 10см?
7. На землі лежить балка масою 80кг. Яку силу потрібно прикласти, щоб підняти один кінець цієї балки.
8. Щоб підняти один кінець труби що лежить на землі, потрібно прикласти силу 400Н. Яка маса труби
§33. Механічні блоки та їх системи.
До числа найбільш розповсюджених простих механізмів, окрім важелів, відносяться різноманітні блоки. Блок – це прилад (механізм), який представляє собою круглий шків що має вісь обертання і по жолобу якого проходить елемент гнучкого зв’язку (канат, мотузка, трос, ланцюг, тощо). Якщо в процесі руху вантажу вісь блоку залишається нерухомою (мал.81а), то блок називається нерухомим. А якщо в процесі руху вантажу вісь блоку рухається разом з вантажем (мал.81б), то відповідний блок називають рухомим.
Мал.81. Загальний устрій та найпростіші застосування блоку.
Оскільки шків блоку вільно обертається, то силовий натяг перекинутого через нього канату на вході та на виході шківа має бути однаковим. Власне ця однаковість випливає з умови обертальної рівноваги шківа. Дійсно. Під дією двох різнонаправлених сил F1 і F2 (мал.82а), шків буде знаходитись в стані обертальної рівноваги за умови, що момент тієї сили яка обертає шків за годинниковою стрілкою (M2=F2R) дорівнює моменту тієї сили яка обертає його проти годинникової стрілки (M1=F1R), тобто за умови F2R=F1R, де R – радіус шківа. А це можливо лише тоді, якщо F2=F1.
І потрібно зауважити, що натяг перекинутого через шків канату, не залежить від того, в якому напрямку цей канат натягують (мал.82б). А це означає, що нерухомий блок, не даючи виграшу в силі, дозволяє змінювати напрям цієї сили. Вже цей факт, робить подібні механізми потрібними та загальновживаними.
Мал.82. Нерухомий блок, не даючи виграшу в силі, дозволяє змінювати напрям цієї сили.
Але можливості блоків не вичерпуються лише зміною напрямку дії сили. В цьому не важко переконатись на прикладі системи яка складається з рухомого та нерухомого блоків (мал.83а). Не важко бачити, що в такій системі на рухомий блок, а отже і на те тіло яке він піднімає, діють дві рівні за величиною співнаправлені сили. А це означає, що натягуючи канат з силою F, на осі рухомого блоку ми отримаємо вдвічі більше тягове зусилля. Якщо ж в системі буде два рухомих блоки (мал.83б), то та загальна вага яку підніматиме ця система, буде у 4 рази більшою за величину тієї сили з якою натягують канат. Загалом же, додавання до системи кожного додаткового рухомого блоку, збільшує загальну вантажопід’ємність системи на 2F, де F – сила натягу канату.
Мал.83. Кожний рухомий блок, збільшує вантажопід’ємність системи на 2F, де F – сила натягу канату.
Втім, потрібно мати на увазі, що загальна вантажопід’ємність системи рухомих та нерухомих блоків залежить не лише від числа рухомих блоків в ній, а й від місця закріплення нерухомого кінця канату. При цьому, якщо цей кінець кріпиться до нерухомої опори (мал.83а,б; 84а,б), то загальна вантажопід’ємність системи n рухомих блоків дорівнює 2nF. Якщо ж нерухомий кінець канату кріпиться до рухомої опори, тобто тієї опори яка рухається разом з рухомими блоками (мал.84в), то в цьому випадку загальна вантажопід’ємність системи n блоків дорівнює (2n+1)F. Дійсно. Оскільки сила натягу канату в усіх його точках однакова, то в зображеній на мал.84в системі, на рухому опору діють п’ять рівних за величиною співнаправлених сил, кожна з яких дорівнює силі натягу канату. При цьому величина результуючої сили становить (2n+1)F.
Мал.84. Загальна вантажопід’ємність системи блоків, залежить не лише від числа рухомих блоків в ній, а й від місця закріплення нерухомого кінця канату.
Ясно, що у вище наведених ситуаціях, отриманий виграш в силі не може бути «безкоштовним». Платою за цей виграш є неминучий програш в пройденому шляху. Дійсно. Для того, щоб за допомогою представленого на мал.83а рухомого блоку, підняти вантаж на l метрів, потрібно на l метрів зменшити довжину як правої так і лівої частин того канату який піднімає блок. А це означає, що той робітник який тягне канат з силою F, повинен прикладаючи цю силу протягнути 2l метрів канату. Якщо ж система блоків дозволяє збільшити піднімальну силу в 4 рази (мал.83б), то відповідно в 4 рази зменшується та висота на яку піднімається вантаж (порівняно з довжиною переміщеного канату).
Таким чином, виграючи в тій силі яка піднімає вантаж, ми неминуче та у відповідну кількість разів програємо у тій висоті на яку піднімається вантаж. Що ж, Природу не можливо обманути: у скільки разів виграєш в силі, у стільки ж разів програєш в пройденому шляху (золоте правило механіки).
На практиці часто застосовують системи блоків, які називаються поліспастами. Поліспаст (мал.85) представляє собою систему двох складних блоків, кожен з яких складається з n шківів які мають спільний корпус та спільну вісь обертання. При цьому, один блок є нерухомою частиною поліспасти, а інший – його рухомою частиною. Принцип дії цієї системи полягає в наступному. Якщо до вільного кінця канату, який почергово огинає шківи рухомого та нерухомого блоків, прикласти силу F, то натяг всіх частин цього канату буде однаковим і чисельно рівним силі F. А це означає, що на рухомий блок системи діятимуть 2n однакових співнаправлених сил F, які можуть зрівноважити (підняти) результуючу силу Fрез=2nF, де n – кількість шківів в рухомій частині поліспасти. Втім, формула Fрез=2nF є справедливою лише в тому випадку, якщо нерухомий кінець канату кріпиться до нерухомої частини поліспасти (мал.85б,г,д). Якщо ж нерухомий кінець канату кріпиться до рухомої частини поліспасти (85а,в), то в цьому випадку Fрез=(2n+1)F.
Мал.85. Загальний вигляд деяких поліспаст.
Поліспасти є важливими частинами механізмів підйому та зміни вильоту стріли різноманітних підйомно-транспортних засобів. Вони використовуються для підйому та опускання вантажів в автомайстернях, на будівництві, на річковому та морському транспорті. В альпінізмі поліспасти застосовують для натягування канатів, для підйому вантажів, постраждалих людей, тощо.
На завершення зауважимо, що визначаючи вантажопідйомність блоків та їх систем, треба враховувати не лише кількість рухомох блоків та місце закріплення нерухомого кінця канату, а й загальну вагу рухомих блоків. Крім цього, в реальних умовах між шківом та віссю його обертання діють певні сили тертя, які протидіють обертанню шківа, а отже певним чином зменшують вихідний натяг канату. Та якби там не було, а якщо в умовах задачі не наголошується на необхідності врахування ваги блоків та наявних сил тертя, то це означає, що враховувати цю вагу і ці сили не потрібно.
Задача. Який виграш у силі дає зображена на малюнку система блоків? Чому дорівнює сила натягу мотузки b, якщо маса вантажу 40кг?
Рішення. Будемо виходити з того, що натяг суцільної мотузки в усіх її точках однаковий. Зважаючи на це, можна стверджувати:
1) Оскільки натяг мотузки с дорівнює силі F, то на рухомий блок с діє сила 2F.
2) Оскільки натяг мотузки b дорівнює силі 2F, то на рухомий блок b діє силa 2(2F)=4F.
3) Оскільки натяг мотузки a дорівнює силі 4F, то на рухомий блок a діє силa 2(4F)=8F.
Таким чином, дана система блоків забезпечує 8 разовий виграш в силі. А це означає, що ту силу тяжіння яка діє на вантаж масою 40кг і яка дорівнює 400Н, зрівноважить сила F=400H/8=50H. При цьому, враховуючи що напяг мотузки b дорівнює 2F, можна стверджувати що величина цього натягу 100Н.
Контрольні запитання.
1.З яких деталей складається механічний блок?
2. Який блок називають нерухомим, а який – рухомим?
3. Поясніть яким чином зображена на мал.83а система нерухомого та рухомого блоків, забезпечує подвійний виграш в силі?
4. Чи може подвійний виграш в силі забезпечити лише один рухомий блок?
5. Як працює золоте правило мехатіки, в зображених на мал.83 системах блоків?
6. Зображені на мал.84а,б системи блоків забезпечують чотирьох кратний виграш у силі. Які переваги та які недоліки кожної із цих схем?
7. Чи може система яка складається з двох рухомих та двох нерухомиж блоків забезпечити пятикратний виграш у силі. Якщо може, то як?
8. Що називають поліспастом? Наведіть прикладизастосування поліспастів.
Вправа №26.
1. Який вантаж можна підняти за допомогою рухомого блоку вага якого 20Н, прикладаючи до вільного кінця мотузки силу 210Н?
2. Яка сила забезпечить рівномірне піднімання вантажу?
3. Який виграш у силі забезпечують зображені на малюнку системи блоків?
4. Який виграш у силі забезпечують зображені на малюнку системи блоків?
5. На основі аналізу малюнку визначте масу вантажу 2, якщо маса вантажу 1 дорівнює 20кг, а система перебуває в рівновазі.
6. Маса третього вантажу 20кг. Яка маса першого та другого вантажів. На скільки піднімуться ці вантажі, при опусканні третього вантажу на 1м?
7. За допомогою рухомого блока піднімають вантаж прикладаючи силу 100Н. Визначте силу тертя, якщо вага блоку 20Н, а вага вантажу 165Н.
§34. Розв’язування задач. Тема: Рівновага тіла, що має вісь обертання.
Алгоритм розв’язку задач на рівновагу тіла, що має нерухому вісь обертання є наступним:
1.Уважно прочитати умову задачі та з’ясувати її фізичну суть.
2. Зробити стислий запис цієї умови.
3. Обов’язково виконати малюнок на якому вказати всі діючі на тіло сили та плече дії кожної з них.
4. Записати умову обертальної рівноваги тіла, тобто рівняння ∑М=0.
5. Розв’язавши це рівняння, визначити невідому величину.
Потрібно зауважити, що формула ∑М=0 є справедливою в незалежності від того, відносно якої точки тіла ви визначаєте діючі на нього моменти сил. Однак, якщо цією точкою буде не точка осі обертання тіла, то в цьому випадку потрібно враховувати і ту силу, яка виникає в цій осі і яка називається реакцією опори. Зважаючи на ці обставини, застосовуючи формулу ∑М=0, в якості тієї точки відносно якої визначаються моменти сил, ми будемо обирати точку осі обертання тіла. Адже в цьому випадку момент реакції опори дорівнює нулю (поясніть чому).
Доречно сказати і про те, що рішення далеко не всіх задач на рівновагу тіла яке має вісь обертання, базуються на застосуванні формули ∑М=0. Скажімо, розв’язуючи задачі на рівновагу механічних блоків, зазвичай застосовують не базову формулу ∑М=0, а твердження про те, що в системі шківів які вільно обертаються, сила натягу канату (нитки, мотузки, троса, тощо) в усіх точках є однаковою. Втім, потрібно розуміти, що ця однаковість, є прямим наслідком того, що сума моментів тих сил які діють на шків дорівнює нулю, тобто прямим наслідком умови обертальної рівноваги шківа: ΣМ=0.
Задача 1. Відомо що маса слона 5т, а маса мухи 0,1г. Якої довжини має бути довше плече важіля, щоб муха зрівноважила слона. Довдина того плеча на якому стоїть слон 2м. Масу важеля не враховувати. На скільки має опуститися муха, щоб слон піднявся на 10см?
Дано: СІ Рішення:
m1 = 0,1г 1·10-4кг Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі
m2 = 5т 5·103кг діючі на тіло важеля сили та плече дії кожної
d2 = 2м – з них.
h2 = 10см 0,1м Записуємо умову обертальної рівноваги важеля:
d1 = ? ΣМ = F2d2 – F1d1 = m2gd2 – m1gd1 = 0.
h1 = ? Звідси випливає m1gd1 – m2gd2, звідси
d1 = d2m2/m1 = 2м5·103кг/1·10-4кг = 10·107м = 100·106м.
Для порівняння: радіус Землі 6,37·106м.
Із геометричних міркувань ясно: h2/h1 = d2/d1. Звідси випливає
h1 = h2d1/d2 = 0,1м100·106м/2м = 5·106м
Відповідь: d1 = 100·106м; h1 = 5·106м.
Задача 2. На землі лежить труба довжиною 2м і масою 100кг. Яку силу треба прикласти, щоб підняти трубу за один з її кінців?
Дано: Рішення:
l = 2м Коли трубу починають піднімати за один кінець, то вона по суті
m = 100кг перетворюється на важіль точкою опори якого є другий кінець
F = ? труби. При цьому на трубу (окрім реакції опори) діють дві вертикальні, протилежно направлені сили: сила тяжіння і та сила, що піннімає трубу. Зважаючи на вище сказане виконуємо відповідний малюнок та записуємо умову обертальної рівноваги труби:
∑М = Fт l/2 – Fl = mgl/2 – Fl = 0. Звідси випливає Fl = mgl/2,
звідси F = mgl/2l = mg/2.
Розрахунки F = 100кг10м/с2/2 = 500Н.
Відповідь: F = 500Н.
Задача 3. До країв важеля довжиною 2м підвісили вантажі масою 15кг і 10кг. На якій відстані від середини важеля треба встановити точку опори, щоб важіль перебував у рівновазі?
Дано: Рішення:
l = 2м Виконуємо малюнок на якому позначаємо діючі на важіль
m1 = 15кг сили F1=m1g=150Н, F2=m2g=100Н, та приблизне розташування
m2 = 10кг точки опори (т.О), яке ясна річ буде ближчим до більшої сили.
х = ? Позначимо відстань від центру мас важеля до точки опори х.
Зважаючи на напрямки дії сил та знаки створюваних ними моментів, записуємо умову обертальної рівноваги важеля:
∑М = F2(l/2 + x) – F1(l/2 – x) = 0
Або, F2l/2 + F2x – F1l/2 + F1x = 0
Або, F2x + F1x = F1l/2 – F2l/2
Або, x(F2 + F1) = (l/2)(F1 – F2)
Або, x = (l/2)(F1 – F2)/(F1 + F2)
Розрахунки: х = (2м/2)(150Н – 100Н)/(150Н + 100Н) = 0,2м
Відповідь: х = 0,2м.
Задача 4. Важіль, довжина якого 90см (дивись мал.) перебуває в рівновазі. На якій відстані від осі обертання важеля (т.О) підвішено вантаж2? Маса вантажів m1=8кг; m2=12кг.
Дано: Рішення:
m1 = 8кг Оскільки той рухомий блок на якому висить вантаж 1
m2 = 12кг утримується в рівновазі двома рівними, співнаправленими
l = 90см силами, то величина однієї з цих сил дорівнює половині від
х = ? сили тяжіння вантажу: F = Fт1/2= m1g/2= 8кг10м/с2/2=40Н.
А оскільки натяг перекинутої через блоки мотузки у всіх точках однаковий, то можна стверджувати, що на точку А діє вертикальна сила F=40Н.
Таким чином обертальну рівновагу важеля забезпечують дві сили F=40Н та Fт2=m2g=12кг10м/с2=120Н. Позначивши відстань від осі обертання важеля (т.О) до точки прикладання сили Fт2 через х, запишемо умову обертальної рівноваги важеля:
∑М = Fl – Fт2x = 0. Звідси Fт2x = Fl. Звідси x = Fl/Fт2.
Розрахунки: х = 40Н90см/120Н = 30см.
Відповідь: х = 30см.
Задача 5. Якою є маса кожного з вантажів, зображених на малюнку, якщо їх загальна маса 50кг?
Дано: Рішення:
m1+m2=50кг На основі аналізу малюнку запишемо умову обертальної
d1/d2=8/2=4/1 рівноваги важеля:
m1 = ? ∑М = F2d2 – F1d1 = m2gd2 – m1gd1 = 0. Звідси m2gd2 = m1gd1.
m2 = ? Оскільки числові значення величин d1 та d2 є невідомими, а
відомим є лише їх співвідношення (d1/d2=4), то рівняння m2gd2 = m1gd1 доречно записати у вигляді m1gd1/m2gd2=1. Звідси випливає, що 4m1/m2=1, або m2=4m1.Таким чином, ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими:
m1+m2=50кг
m2=4m1.
Розв’язуючи цю систему отримаємо: m1+4m1=50кг, або 5m1=50кг, звідси m1=50кг/5=10кг. m2=4m1=4·10кг=40кг.
Відповідь: m1=10кг; m2=40кг.
Вправа №27.
1.Щоб підняти один кінець труби що лежить на землі, потрібно прикласти силу 400Н. Яка маса труби
2. До кінців важеля довжиною 1м підвішені вантажі масою 6кг і 14кг. Де потрібно встановити опору, щоб вантажі перебували у рівновазі?
3. Маса вантажу 2 – 2кг, маса вантажу 3 – 6кг, якою є маса вантажу 1, якщо важіль перебуває в рівновазі?
4. Якою є маса кожного з зображених на малюнку вантажів, якщо один з них важчий за інший на 160Н?
5.Маса зображених на малюнку вантажу 1 – 2кг, маса вантажу 2 – 14кг. Якою є маса важеля, якщо він перебуває у рівновазі?
6. На основі аналізу малюнку, визначте масу вантажу 2, якщо маса вантажу 1 дорівнює 40кг. Система перебуває у рівновазі.
7. Під дією сили F=9Н тіло масою М починає рухатись з прискоренням 2м/с2 (дивись малюнок). Яка маса цього вантажу, якщо m=0,25кг? Всіма видами тертя знехтувати.
§35. Основи механіки рідин та газів. Тиск. Атмосферний тиск.
Механіка рідин та газів – це розділ механіки, в якому вивчають механічні властивості рідин і газів, параметри, закономірності та причини їх механічного руху, а також закономірності їх механічної взаємодії з твердими тілами. Однією з основних фізичних величин механіки рідин і газів є тиск.
Тиск – це фізична величина, яка характеризує усереднену силове дію, що припадає на одиницю площі поверхні і яка дорівнює відношенню діючої на дану поверхню сили F до площі цієї поверхні S.
Позначається: р
Визначальне рівняння: р=F/S
Одиниця вимірювання: [р]=Н/м2=Па, паскаль.
Паскаль – це одиниця вимірювання тиску, яка дорівнює такому тиску який чинить сила в 1Н, будучи рівномірно розподіленою по поверхні площею 1м2. Наприклад, якщо 102г води (Fт=mg=0,102кг∙9,8м/с2=1Н), рівномірно розподілити поверхнею площа якої 1м2, то тиск води на цю поверхню становитиме один паскаль. Ясно, що такий тиск є відносно незначним.
На поверхні тиснуть не лише тверді тіла та рідини, а й гази. Скажімо, над кожним об’єктом земної поверхні знаходиться шар атмосферного повітря який створює певний атмосферний тиск. Першим хто визначив величину цього тиску, був італійський вчений Еванджеліста Торрічеллі (1608-1647). Дослідження Торрічеллі були пов’язані з вирішенням однієї нагальної технічної проблеми. Суть проблеми полягала в тому, що тогочасні водяні насоси “відмовлялись” піднімати воду на висоту більшу за десять метрів. При цьому виникало закономірне запитання – чому? Відповідаючи на це запитання проведемо та проаналізуємо наступний експеримент (мал.86). Опустивши вхідний отвір медичного шприцу у воду, та піднімаючи його поршень, ви неодмінно з’ясуєте, що простір під поршнем заповнюється водою. Заповнюється тому, що поверхня води знаходиться під постійною дією зовнішнього атмосферного тиску. Тому, коли в процесі піднімання поршня, над певною ділянкою води утворюється безповітряний простір, то зовнішній атмосферний тиск змушує воду заповнювати цей простір.
Мал.86. В процесі піднімання поршня, вода під дією зовнішнього атмосферного тиску, заповнює безповітряний простір.
Розуміючи факт того, що причиною піднімання води за поршнем є дія атмосферного тиску, Торрічеллі розмірковував приблизно так. Якщо атмосферний тиск здатний піднімати воду на приблизно десятиметрову висоту, то напевно у 13,6 разів важчу ртуть він підніме на висоту яка буде в 13,6 разів меншою, тобто на висоту меншу за 1м. Виходячи з таких міркувань, Торрічеллі взяв запаяну з одного краю скляну трубку довжина якої була близькою до одного метра і заповнив її ртуттю. Потім, він закрив вільний кінець трубки, перевернув її та вертикально опустивши в чашку з ртуттю відкрив попередньо закритий отвір (мал.87). При цьому, частина ртуті вилилась в чашку, а висота тієї ртуті що залишилась в трубці становила приблизно 76см.
Мал.87. В 1643р. Торрічеллі експериментально довів можливість існування пустоти та факт існування атмосферного тиску.
Сучасні вимірювання показують, що на рівні моря (світового океану), усереднена величина атмосферного тиску дорівнює 760мм.рт.ст. Цей тиск прийнято називати нормальним атмосферним тиском. Ясно, що по мірі збільшення висоти над рівнем моря, шар того атмосферного повітря яке знаходиться над цією висотою зменшується, а тому відповідно зменшується і величина атмосферного тиску. При цьому дослідження показують, що на висотах які не перевищують 2км над рівнем моря, зміна висоти на 12м в середньому супроводжується зміною атмосферного тиску на 1мм.рт.ст. (міліметрів ртутного стовпчика). Загальна ж картина залежності атмосферного тиску від висоти представлена на малюнку 88.
Мал.88. Залежність атмосферного тиску від висоти.
Знаючи величину атмосферного тиску виміряну в міліметрах ртутного стовпчика, не важко визначити цю величину в паскалях. Дійсно. Виходячи з визначального рівняння р=F/S, можна довести, що ваговий тиск рідини визначається за формулою р=ρgh; ( p=F/S=Fт/S=mg/S=ρVg/S=ρShg/S=ρgh), де ρ – густина рідини, g – прискорення вільного падіння, h – висота рідини над заданим рівнем. Оскільки густина ртуті ρ=13,6∙103кг/м3, то
р = 760мм.рт.ст.= 13,6∙103кг/м3∙9,8м/с2∙0,760м = 101∙103Па. Таким чином, тиск в одну атмосферу становить 101кПа (точніше 101325Па). А це еквівалентно тому якби на горизонтальну поверхню площею 1м2 поставили вантаж масою 10,3 тон !!!
Ви можете запитати, а чому знаходячись під постійною дією такого величезного тиску, ми практично не відчуваємо його? До речі, однією з причин того, чому люди довгий час відмовлялися визнавати факт існування атмосферного тиску, була та, що вони не могли зрозуміти, чому за наявності такого величезного тиску, ми не відчуваємо його силової дії. А й дійсно, чому? Перш ніж відповісти на це запитання, візьміть аркуш паперу і тримаючи його в горизонтальному положенні запитайте себе, – чому під дією величезного атмосферного тиску, тонкий папір навіть не прогинається? Правильно! Це пояснюється тим, що атмосферне повітря рівномірно тисне з усіх сторін, зокрема як зверху так і знизу. А це означає, що результуюча силова дія цього тиску є нулевою.
Подібна ситуація характерна не лише для аркушів паперу, а й для таких надскладних об’єктів як живі організми. Адже ці організми складаються з клітин, які представляють собою тонку оболонку наповнену водою та певною кількістю надскладних органічних молекул. При цьому, тиск внутріклітинної рідини практично не відрізняється від зовнішнього атмосферного тиску. А це означає, що результуюча силова дія цих тисків є практично нулевою. Більше того, живий організм, це певна саморегульована система, в якій зміна зовнішнього тиску автоматично призводить до відповідної зміни внутріклітинного тиску. Про можливості такого саморегулювання говорить той факт, що треновані аквалангісти здатні пірнати на стометрову глибину. А це означає, що їх організм витримує десятикратне тискове перевантаження.
Якщо ж говорити про ті зміни атмосферного тиску які відбуваються в самій атмосфері, то вони відносно не значні і зазвичай повільні. Тому здорові люди практично не відчувають коливань атмосферного тиску. Однак іноді, особливо у людей похилого віку, організм не встигає за відносно швидкими змінами атмосферного тиску, що призводить до певних больових відчуттів. І ви напевно чули, як іноді люди бідкаються, що на зміну погоди у них болить голова, “крутять” ноги, тощо.
Прилади, які безпосередньо вимірюють атмосферний тиск називаються барометрами ( від грец. barus – важкий, metros – міряти). Першим барометром був той прилад яким Торрічеллі виміряв атмосферний тиск. Подібні барометри називаються ртутними. Сучасні ртутні барометри є еталонними вимірювачами атмосферного тиску, тобто тими базовими приладами за якими налаштовують та перевіряють всі інші барометри. Однак з практичної точки зору ртутні барометри мають ряд суттєвих недоліків. По-перше, ртутні барометри досить громіздкі та масивні. По-друге, ці прилади потребують обережного поводження з ними (їх не можна нахиляти, перевертати, піддавати значним ударним навантаженням, тощо). По-третє (і це головне), ртуть – це отруйна та шкідлива речовина, заборонена для вільного використання. Тому в науковій практиці, а тим більше у побуті, атмосферний тиск вимірюють механічними барометрами які часто називають барометрами-анероїдами тобто безрідинними барометрами. Основним вимірювальним елементом такого приладу (мал.89) є герметична коробка (К) внутрішній тиск якої незмінний і значно менший атмосферного. Однією з сторін цієї коробки є гофрована пружна мембрана (М), рівновага якої підтримується пружиною (П). При зміні зовнішнього тиску, мембрана деформується, що призводить до відповідного відхилення стрілки приладу.
мал.89. Механічний барометр: а) принципова схема; б) загальний вигляд.
Оскільки атмосферний тиск певним чином залежить від висоти, то барометром можна вимірювати не лише атмосферний тиск, а й висоту над рівнем моря, наприклад висоту польоту літака, гелікоптера, тощо. Барометр за шкалою якого визначають висоту над рівнем моря називають барометричним альтиметром (від лат. altus – високо).
Коли ми говоримо про тиск повітря в футбольному м’ячі, тиск в шинах автомобіля, тиск газу в газопроводі чи води у водопроводі, то маємо на увазі не тиск так би мовити “взагалі”, а те наскільки даний тиск перевищує атмосферний. Навіть в тому випадку, коли ми стверджуємо, що шар води створює на дно відкритої посудини певний тиск, то фактично мова йде про певний надатмосферний тиск. Адже сама вода знаходиться під тиском в одну атмосферу. Із вище сказаного ясно, що на практиці нас зазвичай цікавить той надатмосферний тиск який існує в тій чи іншій ситуації. Прилади які вимірюють не атмосферний тиск, а те на скільки наявний тиск рідини або газу відрізняється від атмосферного, називаються манометрами (від грец. manos – не густий).
Існує багато різновидностей манометрів. При цьому, в технічній практиці найбільш поширеними є так звані деформаційні манометри і зокрема ті з них, в яких чутливим елементом є спеціальна манометрична трубка (мал.90а). Ця трубка представляє собою з одного краю запаяну, суттєво сплющену металеву трубку зігнуту у вигляді напівкільця. Коли в манометричну трубку надходить зовнішній тиск (тиск який вимірюють), то вона деформується і відповідним чином відхиляє стрілку приладу. Деформація кільцеподібної трубки відбувається тому, що при одному і тому ж внутрішньому тиску, на поверхню більшого радіусу, а отже і більшої площі, діє більша сила.
мал.90. Деформаційний манометр (а); рідинний манометр (б).
В лабораторній практиці часто застосовують рідинні манометри (мал.90б). Вони представляють собою відкриту U-подібну скляну трубку частково заповнену рідиною. Коли в одне з колін цієї трубки надходить той тиск який потрібно виміряти, то рівень рідини відповідним чином змінюється. За цією зміною і визначають величину тиску.
Задача.
Контрольні запитання.
1.Тиск в один паскаль, це багато чи мало.
2. Відомо, що атмосферний тиск становить 760мм.рт.ст. Яким є цей тиск виміряний в паскалях та в метрах водяного стовпчика?
3. Вантаж якої маси потрібно поставити на стіл площа поверхні якого 1м2, щоб він відчув тиск в одну атмосферу.
4. Чому ми практично не відчуваємо дію атмосферного тиску?
5. Чому в рідинних барометрах використовують ртуть а не воду?
6. Чому в побуті застосовують не ртутні, а механічні барометри?
7. Поясніть загальний устрій та принцип дії механічного барометра (мал.74)
8. Яким приладом, барометром чи манометром, вимірюють тиск в шинах автомобіля? Чому?
Вправа №28.
1.Людина стоїть на підлозі. Як зміниться тиск на підлогу після того як людина підніме одну ногу?
2. Площа дна каструлі 20дм2. На скільки збільшиться тиск каструлі на стіл, якщо в неї налити воду об’ємом 4л.
3. Площа різального краю лопати становить 70мм2. Який тиск створює лопата на ґрунт, якщо людина діє на лопату з силою 210Н?
4. Порівняйте тиски які чинять на поверхню снігу турист і лижник, якщо маса кожного з них 80кг. При цьому площа підошви туриста 220см2, а площа лижі 1800см2.