КІНЕМАТИКА

 

§3. Кінематика. Основні поняття кінематики.

§4. Просторово-часові параметри поступального руху.

§5. Швидкість. Середня швидкість.

§6. Загальні відомості про прискорення.

§7. Рівняння руху – основний закон кінематики.

§8. Графічний метод розв’язування задач кінематики.

§9. Вільне падіння тіл. Рух тіла кинутого вертикально.

§10. Рух тіла кинутого горизонтально та під кутом до горизонту.

§11. Рух матеріальної точки по колу. Доцентрове прискорення.

§12. Основні поняття, величини та закони кінематики обертального руху.

§13. Розв’язування задач. Тема: Кінематика обертального руху.

§14. Кінематика. Узагальнююче повторення.

 

Тема 1.1.   Кінематика.

 

§ 3. Кінематика. Основні поняття кінематики.

 

Кінематика (від грецького «kinematos» – рух) – це розділ механіки, в якому вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл, без врахування їх мас та діючих на них сил. Іншими словами, в кінематиці вивчають параметри та закономірності механічного руху і не вивчають причини цього руху, а також не враховують фізичні властивості рухомого тіла. До числа основних понять кінематики, тобто тих загальних слів (термінів) які є термінологічною основою кінематики і суть яких треба знати, відносяться: механічний рух, поступальний рух, обертальний рух, матеріальна точка, абсолютно тверде тіло, система відліку, траєкторія, відносність руху.

          Механічний рух – це такий рух (процес), при якому тіло як єдине ціле, або певні цілісні фрагменти цього тіла, переміщується відносно інших тіл. Розрізняють дві прості різновидності механічного руху: рух поступальний та рух обертальний. Поступальний рух – це такий механічний рух, при якому будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі. Наприклад, якщо книга рухається поверхнею стола таким чином, що будь яка з її бічних сторін залишається паралельними самі собі, то рух книги є поступальним. Він буде поступальним навіть тоді, коли книга не змінюватиме своєї кутової орієнтації, рухаючись по колу, або будь-якій іншій складній кривій. Якщо в процесі руху будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі, то це тіло рухається поступально.

 

Мал.3. В процесі поступального руху тіла, будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі.

Характерною та практично важливою особливістю поступального руху тіла є факт того, що при такому русі, всі точки тіла рухаються однаково. Однаково в тому сенсі, що мають однакові траєкторії руху, за однакові проміжки часу проходять однакові відстані, мають однакові миттєві і середні швидкості, однакові прискорення, тощо. А це означає, що описуючи поступальний рух тіла, нема потреби описувати рух кожної його окремої точки. Достатньо охарактеризувати рух будь-якої з цих точок, наприклад, центру маси тіла. Зважаючи на ці обставини, описуючи поступальний рух тіла, це тіло зазвичай замінюють його спрощеною (ідеалізованою) моделлю, яку прийняти називати матеріальною точкою.

Матеріальна точка, це така умовна точка, якою теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли розмірами, формою та внутрішнім устроєм цього тіла можна знехтувати. Матеріальна точка зберігає лише одну механічну характеристику реального тіла – його масу. При цьому положення матеріальної точки практично завжди співпадає з положенням центру мас відповідного тіла. Представляючи реальне тіло у вигляді матеріальної точки, ми абстрагуємося від несуттєвих в умовах даної задачі характеристик тіла і зосереджуємо свою увагу на його суттєво важливих характеристиках. В кінематиці такими характеристиками є час руху, траєкторія руху, швидкість руху, прискорення, пройдений шлях, тощо.

Потрібно підкреслити, що визначаючись з тим, можна чи не можна дане тіло вважати матеріальною точкою, в першу чергу враховують не реальні розміри тіла, а характер його руху та характер тих запитань які поставлені в даній задачі. Наприклад, якщо книга поступально рухається поверхнею стола і ми говоримо про швидкість її руху, її прискорення, пройдений шлях, то цю книгу можна вважати матеріальною точкою. Адже при поступальному русі всі точки книги проходять однаковий шлях, рухаються з однаковими швидкостями та з однаковими прискореннями. Якщо ж описуючи положення книги, ми говоримо про її координати, то скоріш за все цю книгу не можна вважати матеріальною точкою. Адже в масштабах стола, різні точки мають суттєво різні координати. Та як би там не було, а зазвичай в кінематиці поступального руху, тіла представляють у вигляді відповідних матеріальних точок.

Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання. Наприклад, обертально рухаються стрілка годинника, колесо автомобіля, двері класної кімнати, тощо. Звичайно за умови, що годинник «іде», колесо крутиться, двері відчиняються.

 

Мал.4. В процесі обертального руху тіла, всі його точки описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій (осі обертання).

При обертальному русі різновіддалені від осі обертання точки тіла, рухаються суттєво по-різному: мають різні траєкторії руху, різні пройдені шляхи, різні лінійні швидкості, різні прискорення, тощо. А це означає, що обертальний рух тіла не можна описати, охарактеризувавши рух його однієї точки. Описуючи обертальний рух тіла, це тіло зазвичай представляють не у вигляді матеріальної точки, а у вигляді так званого абсолютно твердого тіла. Абсолютно тверде тіло, це таке умовне тіло, яким теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли його механічними деформаціями можна знехтувати.

В загальному випадку механічний рух тіла представляє собою певну комбінацію поступального і обертального рухів. Наприклад, коли ви кидаєте камінь, або б’єте футбольного м’яча, то скоріш за все рухи цих тіл будуть поступально-обертальними. Або, наприклад, якщо автомобіль їде прямолінійною дорогою, то його корпус рухається поступально, колеса – поступально-обертально, а рух поршнів двигуна є певною комбінацією двох поступальних рухів. Якщо ж рельєф дороги складний, то всі ці руху стають набагато складнішими. Але яким би складним не був механічний рух тіла, його завжди можна представити як певну комбінацію двох простих рухів: поступального і обертального. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності поступального і обертального руху можна описати та спрогнозувати будь-який найскладніший механічний рух.

 

Мал.5. В загальному випадку рух тіла є поступально-обертальним.

Зважаючи на ці обставини та реалізуючи базовий методологічний принцип науки – від простого до складного, від часткового до загального, механіку загалом і кінематику зокрема, розділяють на дві частини  механіка поступального руху (механіка матеріальної точки) та механіка обертального руху. І потрібно зауважити, що у відповідності з програмою загальноосвітньої школи, левову частину навчальних годин відведено вивченню механіки матеріальної точки, тобто механіки поступального руху.

Напевно ви чули про те, що будь-який механічний рух є відносним. Факт цієї відносності закарбовано в самому визначені механічного руху. Механічний рух, це такий рух при якому тіло переміщується відносно інших тіл. Автомобіль рухається відносно дороги. Поршень автомобільного двигуна рухається як відносно двигуна так і відносно тієї дороги якою їде автомобіль. Дорога разом з Землею рухається відносно Сонця, разом з Сонячною системою – відносно центру Галактики і т.д. При цьому рух поршня відносно двигуна автомобіля, суттєво відрізняється від руху того ж поршня відносно дороги.

По суті, твердження про те, що механічний рух є відносним означає, що різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж тіла можуть бачити суттєво різні рухи. Дійсно. Уявіть собі велосипед, який з певною постійною швидкістю рухається прямолінійною дорогою. Уявіть, що за певним елементом цього велосипеда, наприклад, за штуцером колеса (мал.6) спостерігають три спостерігачі. При цьому перший сидить на рамі велосипеда, другий – на землі, а третій – на самому колесі.

Кожен із спостерігачів дивиться на один і той же об’єкт (штуцер колеса) та описує його поведінку. Аналізуючи побачене, перший буде стверджувати, що штуцер рухається по колу. Другий, буде запевняти, що штуцер рухається певною кривою, яку прийнято називати циклоїдою. Третій же буде наполягати на тому, що штуцер не рухається. Не рухається тому, що розташування (положення) штуцера відносно елементів колеса велосипеда, а отже і відносно третього спостерігача, з плином часу залишається незмінним. І як це не дивно, але кожен з спостерігачів абсолютно правий. Адже відносно рами велосипеда штуцер дійсно рухається по колу, відносно дороги – по циклоїді, а відносно елементів колеса – не рухається взагалі.

Мал.6. Різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж об’єкту можуть бачити суттєво різні рухи.

Із вище сказаного ясно, що описуючи механічний рух тіла, необхідно чітко вказати, в якій системі відліку описується цей рух. Адже в різних системах відліку один і той же рух може виглядати по різному. Скажімо, якщо не вказати ту систему відліку в якій описується рух штуцера, то можна як завгодно довго та як завгодно запекло сперечатись стосовно того, як рухається штуцер – по колу, по циклоїді чи якось інакше. І кінця краю цій суперечці не буде.

Звичайно, якщо в тому чи іншому контексті, або в умові тієї чи іншої задачі не вказана система відліку, то скоріш за все, це означає що цією системою є та, що жорстко з’єднана з умовно нерухомою землею. Наприклад, коли ми говоримо, що будинок не рухається, то маємо на увазі що він не рухається відносно землі. Або, якщо ми стверджуємо, що автомобіль рухається з швидкістю 90 км/год, то скоріш за все маємо на увазі його швидкість відносно дороги. При цьому відносно іншого автомобіля ця швидкість може бути іншою.

Говорячи про систему відліку мають на увазі взаємопов’язану сукупність (систему) трьох складових: точки відліку, системи координат та вимірювача часу (годинник, секундомір, тощо). Ця сукупність дозволяє однозначно описати просторово-часові параметри руху тіла. Це означає, що система відліку не лише визначає «адресу» (координати) рухомої точки, а й вказує на те в який момент часу ця «адреса»  зафіксована.

Система відліку – це взаємопов’язана сукупність точки відліку, системи координат та вимірювача часу, яка застосовується для того, щоб кількісно описати механічний рух матеріальної точки (тіла) в цій системі. Система координат – це взаємопов’язана сукупність осей системи координат з вказаним на цих осях масштабом вимірювань. Точка відліку – це така умовно нерухома точка, яка є центром (нулевою точкою) відповідної системи координат. Задати систему координат означає: 1) вказати точку відліку даної системи; 2) задати просторову орієнтацію осей системи координат; 3) на кожній осі координат вказати масштаб вимірювань.

Розташування (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат, однозначно визначається її координатами. При цьому, якщо мова йде про одновимірну (лінійну) систему координат (мал.7а), то в ній місцезнаходження матеріальної точки характеризується однією координатою М(х). В двовимірній (плоскій) системі координат (мал.7б), розташування точки характеризується двома координатами М(х;y), а в тривимірній (об’ємній, мал.7в) – трьома М(х;y;z).

Мал.7. Системи відліку, це сукупність точки відліку, системи координат та вимірювача часу.

Лінію яку описує матеріальна точка в процесі свого руху в вибраній системі відліку називають траєкторією. В різних системах відліку траєкторія руху однієї і тієї ж матеріальної точки може бути суттєво різною. Наприклад, в системі відліку пов’язаною з землею, траєкторією руху велосипедного штуцера (мал.6) є сукупність послідовних циклоїд. В системі ж відліку пов’язаною з рамою велосипеда, цієї траєкторією буде сукупність співпадаючих кіл. А в системі відліку пов’язаній з колесом велосипеда – нерухома точка.

За формою траєкторії, механічні рухи поділяються на прямолінійні та криволінійні. Прямолінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою пряму лінію. Криволінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою криву лінію. Наприклад рух вертикально падаючого тіла (мал.8б) є прямолінійним, а рух тіла кинутого горизонтально (мал.8г) – криволінійним. Криволінійним є і рух тіла кинутого вертикально вгору (мал.8в). Його криволінійність полягає в тому, що відповідна траєкторія представляє собою ламану яка складається з двох прямолінійних відрізків.

Мал.8. За формою траєкторії, поступальні рухи поділяються на прямолінійні (б) та криволінійні (в; г)

Та якою б криволінійною не була траєкторія руху тіла, її завжди можна представити як певну сукупність послідовних прямолінійних відрізків. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності прямолінійного руху матеріальної точки, можна описати будь-який криволінійний рух. Виходячи з цього, вивченню параметрів та закономірностей прямолінійного руху ми будемо приділяти особливу увагу.

Контрольні запитання.

1.Який рух називають поступальним? Яка особливість цього руху?

2. За яких умов рух тіла по колу буде поступальним. Чи є рух Землі навколо Сонця поступальним? Чому?

3. Який рух називають обертальним? Чи можна описуючи обертальний рух тіла, представляти це тіло у вигляді матеріальної точки? Чому?

4. Що називають матеріальною точкою? Які критерії є визначальними при з’ясуванні того, можна чи не можна дане тіло вважати матеріальною точкою?

5. Що означає твердження: механічний рух є відносним? Наведіть приклади.

6. Які частини велосипеда підчас рівномірного руху описують прямолінійні, а які криволінійні траєкторії відносно дороги?

7. Що означає задати систему координат?

8. Чим система відліку відрізняється від системи координат? Яка з цих систем є більш загальною?

9. Що називають траєкторією і чи є траєкторія руху матеріальної точки відносною? Наведіть приклади.

10. Траєкторії руху двох тіл перетинаються. Чи означає це що тіла зіштовхуються? Поясніть.

Вправа 3.

1.Три тіла рухаються з швидкостями v₁ = 36см/год, v₂ = 0,01м/с, v₃ = 10мм/с. Порівняйте ці швидкості.

2. За 5год 30хв велосипедист проїхав шлях 99км. З якою середньою швидкістю рухався велосипедист?

3. Протягом 30хв автомобіль рухався зі швидкістю 72км/год. Який шлях за цей час проїхав автомобіль?

4. Один велосипедист протягом 12с рухався зі швидкістю 6м/с, а другий велосипедист проїхав ту саму ділянку за 9с. Яка середня швидкість другого велосипедиста на цій ділянці шляху?

5. На основі аналізу малюнку (а) визначити координати точок А;В;С;D.

6. На основі аналізу графіку руху тіла (мал. б), визначити його координати в момент часу 0с; 2с; 3с; 5с; 8с.

а)    б)

7. Пасажир потягу, що рухається з постійною швидкістю, підкидає вертикально вгору яблуко і ловить його. Намалюйте траєкторію руху яблука відносно: а) пасажира який сидить поруч; б) людини, яка стоїть на пероні вокзалу.

8. У змаганнях з бігу беруть участь 4 учні, які можуть бігти зі швидкостями 6м/с, 20км/год, 360м/хв, 0,35км/хв. Хто переможе і хто прибіжить останнім?

9. Відстань від Землі до Сонця 150млн. км. Скільки часу потрібно променю світла, щоб подолати цю відстань? Швидкість світла 300 000км/с.

 

§ 4. Просторово-часові параметри поступального руху.

 

До числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час (t), координата (x), пройдений шлях (s) швидкість (v), прискорення (a).

              Час – це фізична величина, яка характеризує тривалість подій (явищ, процесів, рухів, тощо) і яка дорівнює цій тривалості.

Позначається:  t

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [t] = с, (секунда)

Твердження про те, що час немає визначального рівняння по суті означає, що час належить до числа тих базових фізичних величин, одиниці вимірювання яких за домовленістю прийнято вважати основними. В механіці такими базовими величинами є час (t), довжина (ℓ) і маса (m).

Коли ми говоримо про координату матеріальної точки (тіла), то маємо на увазі певну величину, яка однозначно визначає місцезнаходження (положення) даної матеріальної точки в заданій системі координат. При цьому потрібно зауважити, що координата, це не просто число яке визначає положення матеріальної точки в вибраній системі координат. Координата, це відстань від точки відліку системи координат до даної точки, виміряній вздовж відповідної осі системи координат. Наприклад, в зображеній на мал.6а лінійній системі координат, автобус має координату (300), а вантажний автомобіль (–100). Це означає, що відносно точки відліку системи координат, автобус знаходиться на відстані 300м в додатному напрямку осі х, а автомобіль – на відстані 100м у від’ємному напрямку цієї осі. Або наприклад, в зображеній на мал.6б плоскій системі координат, трактор має координати А(300;100). Це означає, що для потрапляння в точку розташування трактора потрібно пройти 300м вздовж додатного напрямку осі 0Х, а потім пройти 100м вздовж додатного напрямку осі 0У.

а) б)

Мал.9. Координата точки дорівнює відстані від точки відліку системи координат до даної точки, виміряній вздовж відповідної осі системи координат.

Зважаючи на вище сказане можна дати наступне визначення.

Координата – це фізична величина, яка характеризує положення (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат і яка дорівнює відстані від точки відліку цієї системи до проекції даної точки на відповідну вісь координат.

Позначається: х

Визначальне рівняння: х =ℓ_х

Одиниця вимірювання: [х] = м, (метр)

Оскільки координата, пройдений шлях, переміщення, висота, ширина, товщина, діаметр, радіус, периметр, діагональ, тощо, це різновидності тієї фізичної величини яка називається довжина, то буде не зайвим визначити і цю величину.

Довжина – це фізична величина, яка характеризує відстань між двома точками, виміряну вздовж певної лінії і яка дорівнює цій відстані.

Позначається: ℓ

Визначальне рівняння: нема

Одиниця вимірювання: [ℓ] = м, (метр).

Пройдений шлях – це фізична величина, яка характеризує пройдений матеріальною точкою (тілом) шлях і яка дорівнює довжині тієї траєкторії яку описує ця точка в процесі відповідного руху.

Позначається: s

Визначальне рівняння: s = ℓ_тр

Одиниця вимірювання: [s] = м, (метр).

Наприклад, в зображеній на мал.10 ситуації, бджола в процесі перельоту від однієї квітки до іншої, рухається певною криволінійною траєкторією. При цьому довжина цієї траєкторії і є тим пройденим шляхом який характеризує відповідний рух.

Мал.10. Пройдений шлях, це відстань між двома точками, виміряна вздовж траєкторії руху тіла (матеріальної точки.

Оскільки будь яку криволінійну траєкторію можна представити у вигляді певної сукупності прямолінійних відрізків, то вивчення параметрів та закономірностей криволінійного руху по суті зводиться до вивчення параметрів та закономірностей прямолінійного руху. А для такого руху рівняння s=ℓ_тр набуває вигляду s=∆х,  де ∆х = х_к – х_п.

 Нагадаємо. В науці загалом і в фізиці зокрема, символом ∆ – дельта (∆х, ∆t, ∆v, ∆m і т.д.) позначають різницю між кінцевим та початковим значенням відповідних величин: ∆х = х_к – х_п; ∆t = t_к – t_п; ∆v = v_к – v_п; ∆m = m_к – m_п  і т.д.

Ілюструючи можливості та межі застосуванні формули s=∆х, розглянемо декілька простих ситуацій. Припустимо, що в заданій системі відліку точки А і В мають координати А(–300); В(200). Виходячи з цього, визначимо пройдений тілом шлях при його переміщенні: a) з точки А в точку В; б) з точки В в точку А; в) з точки А в точку В, а потім знову в точку А.

.          А                                                                                              В               х(м)

———♦———————————————♦—————————♦————→

.       −300         −200            −100                0             100             200

Із аналізу малюнка ясно, що при переміщенні    А → В пройдений тілом шлях становить s₁ = 500м, при переміщенні В → А: s₂ = 500м, при переміщенні А → В → А: s₃ = 500 + 500= 1000м.

Тепер, застосуємо формулу s = ∆х та отримаємо відповідні результати так би мовити теоретичним шляхом:

s₁ = ∆x= х_к – х_п = (200) – (–300) = 500 м

s₂ = ∆x= х_к – х_п = (–300) – (200) = –500 м

s₃ = ∆x= х_к – х_п = (–300) – (–300) = 0 м

Не важко бачити, що останній результат явно суперечить реальному стану речей. Це пояснюється тим, що формула s=∆x є справедливою лише для прямолінійних ділянок руху. Рух же тіла за маршрутом А→В→А є криволінійним. І тому пройдений тілом шлях потрібно визначати не за формулою s=∆х, а за формулою s = ℓ_тр = |s₁| + |s₂|  + …  + |s_N| ,  де  N – кількість тих послідовних прямолінійних відрізків які утворюють відповідну криволінійну траєкторію. Наприклад, в умовах нашої задачі s = |s₁| + |s₂|  = |500| + |–500| = 1000 м 

Таким чином, застосовуючи визначальне рівняння s=∆х потрібно пам’ятати, що воно є справедливим лише для прямолінійної ділянки руху. Втім, в котре наголошуємо, що будь-який криволінійний рух, завжди можна представити як певну сукупність прямолінійних відрізків.

Потрібно зауважити, що рівняння s=∆х не лише визначає величину пройденого тілом прямолінійного шляху, а й вказує на той напрямок в якому цей шлях пройдено. Наприклад, при переміщенні з точки А в точку В тіло рухається в додатному напрямку і тому s₁= +500м. Коли ж тіло переміщується з точки В в точку А, то воно рухається у від’ємному напрямку і тому s₂ =–500м.

В механіці наряду з пройденим шляхом, часто застосовують величину яка називається переміщення (позначається s). На відміну від пройденого шляху (s), переміщення (s) є величиною векторною, і такою що дорівнює тому направленому відрізку (вектору), який з’єднує точки початкового та кінцевого положення матеріальної точки. Наприклад від свого будинку до школи ви можете йти різними шляхами (мал.11). При цьому траєкторії вашого руху і пройдені шляхи, будуть різними. Натомість ваше переміщення від будинку до школи завжди буде однаковим, і таким що дорівнює виміряній по прямій відстані від будинку до школи.

Мал.11. Пройдені шляхи різні, а переміщення – однакові.

Або якщо наприклад, ви вибігли поганяти з товаришами м’яча і через годину повернулися додому, то траєкторія вашого руху за цю годину буде дуже складною, а пройдений шлях – відповідно великим. При цьому ваше переміщення за вище вказану годину буде нульовим. Адже на початку і вкінці відповідної години ваше місцезнаходження (координата) буде одним і тим же.

Якщо ж мова йде про прямолінійний рух, то в цьому випадку пройдений тілом шлях (s) і модуль (числове значення) його переміщення (|s|) будуть чисельно рівними (s=|s|). Втім, навіть в цьому випадку не слід забувати, що пройдений шлях – це величина скалярна, тобто така яка характеризується лише числовою величиною, а переміщення – це величина векторна, тобто така що характеризується як величиною так напрямком.

а) б)

Мал.12. При криволінійному русі (а) числові значення пройденого шляху та переміщення є різними (s≠|s|), а при прямолінійному русі (б) – однаковими (s=|s|).

Задача. Турист пройшов 3км на північ, а потім 4км на схід. Визначити пройдений туристом шлях та величину (модуль) його переміщення. Задачу розв’язати графічно та алгебраїчно.

Графічне (геометричне) рішення. У вибраному масштабі (наприклад, 1см на малюнку відповідає 1км пройденого шляху), з дотриманням правил геометричних побудов та з застосуванням відповідного обладнання (в даному випадку лінійки), виконуємо відповідні геометричні побудови (дивись мал.). Вимірюємо довжину вектора переміщення (АС) та у відповідності з масштабом побудов, переводимо цю довжину у відповідне значення переміщення. В умовах нашої задачі |s| = |AC| ≈ 5км.

Основною перевагою графічного рішення задачі є простота та наочність цього рішення. А основним недоліком графічного рішення задачі є необхідність точних геометричних побудов та відсутність гарантованої точності результату. Адже точність цього результату залежить як від масштабу та точності геометричних побудов так і від точності відповідних вимірювань.

Алгебраїчне рішення. Оскільки в умовах даної задачі (дивись мал.) відрізок АС є діагоналлю прямокутного трикутника АВС, де АВ=3км, ВС=4км, та враховуючи що у відповідності з теоремою Піфагора (АС)²=(АВ)²+(ВС)² = 3²+4² = 9+16 = 25, можна записати |s| = |AC| =√25 = 5км.

Основна перевага алгебраїчного рішення задачі полягає в гарантованій точності отриманого результату. А основний недолік цього рішення – потребує певного рівня знань. В даному випадку потрібно знати теорему Піфагора та мати уявлення про те, що називають квадратним коренем числа.

Контрольні запитання.

1.Назвіть основні фізичні величини кінематики поступального руху.

2. Дайте визначення термінам довжина, координата та пройдений шлях. Чим схожі та чим відрізняються ці величини?

3. Чому довжина не має визначального рівняння?

4. Що в науці позначають символом Δ (дельта): Δх; Δt; Δm; тощо?

5. В яких випадках пройдений шлях визначають за формулою s=ℓ_тр, а в яких s=Δх?

6. Що означає твердження: переміщення – величина векторна?

7. Чи може модуль переміщення бути більшим за відповідний пройдений шлях? Дорівнювати пройденому шляху?

8. Пройдений тілом шлях становить 10км. При цьому його переміщення дорівнює нулю. Що це означає?

Вправа №4.

1.М’яч упав з висоти 4м і відбившись від підлоги був зловлений на висоті 1м. Визначити пройдений м’ячем шлях та його переміщення?

2. Матеріальна точка рухалась за маршрутом 1→2→3→4 (дивись мал.). Визначити пройдений нею шлях та величину переміщення.

3. Відстань між пунктами А і В по прямій лінії 4км. Людина проходить цю відстань туди і назад за 2 години. Чому дорівнює шлях і модуль переміщення людини за 1 годину? За 2 години?

4. Гвинтокрил, пролетівши в горизонтальному польоті по прямій 6км, повернув на 90º і пролетів ще 8км. Визначити шлях і модуль переміщення гвинтокрила. Задачу розв’язати графічно та алгебраїчно.

5. Турист пройшов спочатку 400м на північний захід, потім 500м на схід і ще 300м на північ. Визначити графічно модуль переміщення туриста.

6. Матеріальна точка переміщувалась за маршрутом А→В→С. Графічним методом визначте пройдений точкою шлях та її переміщення, якщо виражені в метрах координати точок: А(–30, 30), В(20, 20), С(–20, –20).

7. Мотоцикліст, рухаючись ареною цирку, проїжджає коло радіусу 13м за 8с. Визначте шлях і модуль переміщення мотоцикліста: а) за 4с руху; б) за 8с руху.

 

§ 5. Швидкість. Середня швидкість.

 

Швидкість – це фізична величина, яка характеризує швидкість поступального руху тіла (матеріальної точки), і яка дорівнює відношенню вектора того переміщення Δх яке здійснило тіло за гранично малий проміжок часу Δt, до величини цього проміжку часу.

Позначається: v

Визначальне рівняння: v=∆x/∆t

Одиниця вимірювання: [v] = м/с,  (метр за секунду).

Відразу ж зауважимо, що формула v=∆x/∆t, є базовим визначальним рівнянням швидкості, яке справедливе для будь яких ситуацій, і яке за різних обставин може набувати різного вигляду. Наприклад, якщо мова йде про прямолінійний рух, тобто такий рух в процесі якого напрям швидкості не змінюється, то рівняння v=∆x/∆t, набуває вигляду v=∆x/∆t. Різниця між цими рівняннями в тому, що перше (v=∆x/∆t) дозволяє визначати як величину так і напрям швидкості, а друге (v=∆x/∆t) – лише величину швидкості. Втім, якщо мова йде про прямолінійний рух, то в цьому випадку напрям швидкості є визначеним і таким, що співпадає з напрямком руху тіла.

Оскільки в подальшому ми будемо говорити про прямолінійний рух матеріальної точки, то в якості визначального рівняння швидкості, будемо застосовувати формулу v=∆x/∆t. Фізичний зміст цієї формули полягає в наступному. Якщо в початковий момент часу t_п тіло знаходилось в точці з координатою х_п, а в кінцевий момент часу t_к – в точці з координатою х_к, то це означає, що за час Δt= t_к – t_п тіло перемістилось на відстань Δх= х_к – х_п і тому швидкість цього тіла v=Δx/Δt. При цьому потрібно мати на увазі, що в тих випадках коли швидкість змінюється за величиною, той проміжок часу (Δt=t_к–t_п) якому відповідає певна зміна координати тіла (Δх=х_к–х_п), потрібно брати гранично малим (Δt→0)

 

.               х_п                                 Δх                              х_к                           х(м)

————♦——————————————————♦—————————→

.               t_п                                 Δt                                t_к                            t(c)

.

Мал.13. Якщо за час Δt тіло (матеріальна точка) переміщується на відстань Δх, то швидкість цього тіла v=Δx/Δt.

Якщо ж мова йде про рівномірно-прямолінійний рух, тобто такий рух, швидкість якого не змінюється ні за величиною ні за напрямком, то в цьому випадку рівняння v=∆x/∆t набуває звичного для нас вигляду v=s/t Дійсно, для прямолінійно-рівномірного руху, визначальне рівняння пройденого шляху має вигляд s=Δx, а зважаючи на те, що той проміжок часу за який тіло проходить шлях s ми зазвичай позначаємо не Δt, а просто t (якщо t_п=0, то Δt=t_к–t_п= t_к=t) рівняння v=∆x/∆t набуває вигляду v=s/t. При цьому потрібно мати на увазі, що при рівномірно-прямолінійному русі (v=const), той проміжок часу (Δt=t) якому відповідає певна зміна координати тіла (Δх=s), може бути яким завгодно.

Таким чином, в загальному випадку визначальне рівняння швидкості має вигляд v=∆x/∆t. При цьому для прямолінійного руху, тобто такого руху в процесі якого напрям швидкості залишається незмінним, це рівняння набуває вигляду v=∆x/∆t. Якщо ж мова йде про прямолінійно-рівномірний рух, тобто такий рух в процесі якого величина і напрям швидкості залишаються незмінними, то в цьому випадку визначальне рівняння швидкості записують у вигляді v=s/t. Іншими словами:

– в загальному випадку v=∆x/∆t;

– для прямолінійного руху v=∆x/∆t;

– для прямолінійно-рівномірного руху v=s/t.

Зазвичай, терміном швидкість позначають швидкість тіла в даний момент часу, тобто його миттєву швидкість. Але окрім миттєвої швидкості, існує багато різновидностей певним чином усереднених швидкостей: середня шляхова швидкість, середня швидкість переміщення, середня арифметична швидкість, середня квадратична швидкість, тощо.

В кінематиці поступального руху ми будемо говорити лише про одну різновидність усередненої швидкості – середню шляхову швидкість, яку будемо називати просто: середня швидкість. Наприклад коли ми говоримо, що з Києва до Чернігова автомобіль рухався з швидкістю 60км/год, то маємо на увазі середню шляхову швидкість цього руху. Адже в залежності від ситуації на дорозі, на певних ділянках руху автомобіль прискорювався, на певних – пригальмовував, на одних ділянках рухався швидше, на інших – повільніше, а на деяких – взагалі зупинявся. Тому швидкість 60км/год є тією усередненою швидкістю, яка дорівнює відношенню пройденого автомобілем загального шляху (s), до того загального проміжку часу (t) за який цей шлях було пройдено (v_с= s/t).

          Середня швидкість (середня шляхова швидкість) – це та усереднена швидкість з якою тіло долає певну ділянку шляху і яка дорівнює відношенню пройденого тілом загального шляху s, до того загального проміжку часу t, за який цей шлях пройдено.

Позначається: v_с

Визначальне рівняння: v_с= s/t

Одиниця вимірювання: [v_с] = м/с,  метр за секунду.

На відміну від швидкості тіла в даний момент часу (миттєвої швидкості), середня шляхова швидкість є величиною скалярною, тобто такою яка характеризується лише числовим значенням.

Задача 1. За представленим на малюнку графіком руху птаха, визначити його швидкість на кожній ділянці шляху, та середню швидкість на всьому шляху.

Рішення. На основі аналізу малюнку можна стверджувати, що рух птаха складається з трьох ділянок. При цьому:

Ділянка №1: t₁ = Δt₁ = 50c – 0c =50c; ℓ₁ = Δx₁ = 1500м – 0м = 1500м;

v₁ = ℓ₁/t₁ = 1500м/50с = 30м/с.

Ділянка №2: t₂ = Δt₂ = 150c – 50c =100c; ℓ₂ = Δx₂ = 1500м – 1500м = 0м;

v₁ = ℓ₂/t₂ = 0м/100с = 0м/с.

Ділянка №3: t₃ = Δt₃ = 300c – 150c =150c; ℓ₃ = Δx₃ = 3000м – 1500м = 1500м;

v₃ = ℓ₃/t₃ = 1500м/150с = 10м/с.

Середня швидкість: v_c = (ℓ₁+ℓ₂+ℓ₃)/(t₁+t₂+t₃) = 3000м/300с =10м/с.

Задача 2. Велосипедист півтори години їхав зі швидкістю 20км/год. Потім велосипед зламався і останній кілометр велосипедист пройшов пішки за 30хв. Визначити середню швидкість велосипедиста на всьому шляху.

Дано:                                            Рішення:

v₁ = 20км/год                  Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі

t₁ = 1,5год                        важливі деталі умови нашої задачі.

t₂ = 30хв = 0,5год            Оскільки за визначенням v_c = s/t, та враховуючи,

ℓ₂ = 1км                            що в умовах нашої задачі s = ℓ₁+ℓ₂, t = t₁+t₂,

v_c = ?                                 можна записати v_c = (ℓ₁+ℓ₂)/(t₁+t₂), де ℓ₁=?

Оскільки v₁ = ℓ₁/t₁, то ℓ₁ = v₁·t₁ = 20(км/год)1,5год = 30км.

Таким чином v_c = (ℓ₁+ℓ₂)/(t₁+t₂) = (30км+1км)/(1,5год+0,5год) = 15,5км/год.

Відповідь: v_c = 15,5км/год.

Задача 3. Першу половину шляху автомобіль проїхав зі швидкістю 10м/с, а другу – з швидкістю 20м/с. Визначити середню швидкість автомобіля на всьому шляху.

Загальні зауваження. Дана задача є класичним прикладом того, як на перший погляд очевидно проста задача, насправді виявляється не такою вже й простою. Дійсно. На перший погляд здається, що в даній задачі середню швидкість автомобіля потрібно визначати за формулою v_c=(v₁+v₂)/2=15м/с. Насправді ж, таке рішення є неправильним. Неправильним, по-перше тому, що в якості розрахункового рівняння, ми абсолютно необґрунтовано вибрали сумнівну формулу, яка не входить до числа базових формул кінематики і яка лише на перший погляд здається очевидно правильною. По-друге, навіть якби формула v_c=(v₁+v₂)/2 виявилась правильною, тобто такою яка в умовах даної задачі дає правильну відповідь, її необґрунтоване застосування в якості розрахункового рівняння, потрібно визнати неправомірним. Адже розрахункове рівняння треба не придумувати і не списувати, а теоретично доводити на основі відомих базових формул та аналізу умов конкретної задачі. А тією базовою формулою за якою визначається середня швидкість, є її визначальне рівняння v_с=s/t. Враховуючи вище сказане, розв’яжемо задачу так, як це потрібно, тобто дотримуючись загально прийнятого порядку розв’язування задач.

Дано:                                        Аналіз

s₁ = s₂ = s/2             Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі важливі

v₁ = 10м/с               моменти умови даної задачі. А цими моментами є:

v₂ =20м/с               1) ми маємо дві ділянки руху, довжина кожної з яких s/2;

v_c=?                        2) нам відомі швидкості руху тіла на кожній ділянці.

.                  s₁=s/2                           s₂=s/2                                      х(м)

——♦—————————♦—————————♦———————→

.                  v₁=10м/с                     v₂=20м/с                                v(м/с)

За визначенням  v_c=s/t,  де s=?  t=?

Загальні зауваження. На перший погляд, в умовах даної задачі, визначити середню швидкість автомобіля за формулою v_c=s/t неможливо. Адже ми не знаємо ані довжини того шляху s який проїхав автомобіль, ані того часу t, за який цей шлях було подолано. І якби ми дійсно спробували визначити числові значення s і t  з тією метою, щоб підставивши їх у формулу v_с=s/t отримати правильний результат, то такого результату ми б не отримали.

І тим не менше дана задача має гарантовано однозначне рішення. Це рішення можливе тому, що в процесі математичних перетворень, одна з невідомих величин (в даному випадку s) скорочується. Тому, коли ви будете мати справу з подібними ситуаціями, то не поспішайте опускати руки, а шукайте можливості того, щоб в процесі математичних перетворень, одна із зайвих невідомих величин скоротилась. А як правило, такі можливості існують. Адже зазвичай, вам задають такі задачі, які мають певне рішення.

Отже, повернемося до нашої задачі.

За визначенням  v_c=s/t,  де s=?  t=?

Проаналізуємо умову задачі і спробуємо виразити невідомі величини (s; t)

через відомі (v₁; v₂).

За умовою задачі:  s = s₁ + s₂,  де    s₁=s/2;      s₂=s/2

.                                   t = t₁ + t₂,   де      t₁=?         t₂ =?

По суті це означає, що в умовах нашої задачі, величини t₁ і t₂ потрібно виразити через v та s. А оскільки, для рівномірного руху v=s/t, то

v₁=s₁/t₁=s/2t₁, звідси   t₁=s/2v₁;

v₂=s₂/t₂=s/2t₂, звідси   t₂=s/2v₂.

Враховуючи вище сказане, можна записати:

v_c = s/t = s/(t₁+t₂) = s/(s/2v₁+s/2v₂) = 2v₁v₂/(v₁+v₂);

Таким чином: v_c=2v₁v₂/(v₁+v₂).

Розрахунки: v_c= 2·10(м/с)·20(м/с)/[10(м/с)+20(м/с)] =13,3м/с.

Відповідь: v_c=13,3м/с.

Контрольні запитання.

1.Що означає твердження: «швидкість – величина векторна»?

2. Чим відрізняється формула v=∆x/∆t від формули v=∆x/∆t?

3. Чи відрізняються записи v=const і v=const? Якщо відрізняються то чим?

4. За якої умови Δt=t?

5. Чи суперечать формули v=∆x/∆t та v= s/t одна одній?

6. Відстань від Києва до Черкас автомобіль проїхав зі швидкістю 60км/год. Про яку швидкість іде мова? Поясніть.

7. Якщо тіло рухається прямолінійно і рівномірно, то чи відрізняються числові значення його миттєвої і середньої швидкостей?

8. Антилопа розвиває швидкість 25м/с, лев – 80км/год, а зебра – 1км/хв. У кого з них швидкість найбільша.

Вправа №5.

1.Турист пройшов 5км за 1,5год, а потім ще 2км за 30хв. Яка середня швидкість туриста на всьому шляху?

2. Турист за 25хв пройшов 1,2км, потім півгодини відпочивав, а далі пробіг ще 800м за 5хв. Яка середня швидкість туриста на всьому шляху?

3. Автомобіль проїхав 72км зі швидкістю 20м/с, а потім ще 108км – за 3год. Яка середня швидкість автомобіля на всьому шляху?

4. За заданими графіками руху (червона, синя, зелена прямі), визначити відповідні швидкості руху.

5. За представленим на малюнку графіком руху, визначити швидкість руху на кожній ділянці шляху, та середню швидкість на всьому шляху.

    

до задачі 4                                                  до задачі 5

6. Потяг довжиною 140м рівномірно рухається по мосту зі швидкістю 18км/годЗа який час він повністю перетне міст, якщо довжина мосту 360 м.

7. Автомобіль першу половину шляху проїхав з швидкістю 60км/год, а другу половину – зі швидкістю 90км/год. Визначте середню швидкість автомобіля на всьому шляху.

8. Третину шляху велосипедист проїхав зі швидкістю 20км/год, а решту шляху – зі швидкістю 10км/год. Визначити середню швидкість велосипедиста на всьому шляху.

9. Першу половину часу автомобіль рухався зі швидкістю 10 м/с, а другу половину часу – з швидкістю 20 м/с. Визначити середню швидкість автомобіля за увесь час руху.

 

§ 6. Загальні відомості про прискорення.

 

          Якщо швидкість тіла так чи інакше змінюється, то говорять що воно рухається з прискоренням. Прискорення – це фізична величина, яка характеризує зміну швидкості руху тіла, і яка дорівнює відношенню тієї зміни швидкості Δv, що відбулася за проміжок часу Δt, до величини цього проміжку часу.

Позначається: а

Визначальне рівняння: а=∆v/∆t,

Одиниця вимірювання: [a] = м/с²,  метр за секунду в квадраті.

Оскільки швидкість, величина векторна, то вона може змінюватись як за величиною, так і за напрямком. Наприклад якщо рух тіла є прямолінійним, то його швидкість може змінюватись тільки за величиною (збільшуватись або зменшуватись). Якщо ж тіло рухається по колу, то його швидкість може змінюватись як за величиною так і за напрямком. При цьому, за напрямком вона змінюється обов’язково. Зважаючи на ці обставини, розрізняють дві різновидності прискорення:

1) Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за величиною і яке визначається за формулою а=∆v/∆t, або а=(v_к–v₀)/t.

2) Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке визначається за формулою а_д=v²/R. Це прискорення називають доцентровим і про нього ми поговоримо вивчаючи тему «Рух матеріальної точки по колу».

В подальшому терміном «прискорення» ми будемо позначати те прискорення яке характеризує зміну швидкості за величиною, і яке визначається за формулою а=(v_к–v₀)/t.Це прискорення завжди направлено вздовж лінії швидкості руху тіла. При цьому, якщо величина швидкості зростає (v↑), то вектори швидкості та прискорення співнаправлені, а якщо швидкість зменшується (v↓) – то ці напрямки протинаправлені. Наприклад, коли автомобіль рушає з місця (мал.14а), то його швидкість збільшується  (v↑) і тому напрям того прискорення з яким рухається автомобіль, співпадає з напрямком його руху (з напрямком швидкості). Якщо ж автомобіль гальмує (мал.14б), то його швидкість зменшується (v↓) і тому напрям того прискорення з яким рухається автомобіль, протилежний до напрямку його руху (протилежний до напрямку швидкості руху автомобіля).

.                               а)                                                                б)

Мал.14. Якщо швидкість автомобіля збільшується, то вектори a і v співнаправлені, а якщо зменшується – то протинаправлені.

Крім цього, потрібно мати на увазі, що коли рухаючись з постійним прискоренням (а=соnst), тіло збільшує свою швидкість, то відповідний рух називають рівноприскореним. При цьому говорять, що тіло має додатне прискорення (а>0). Якщо ж швидкість тіла зменшується, то відповідний рух називають рівносповільненим, а відповідне прискорення – від’ємним (а<0).

Мал.15. При рівноприскореному русі тіло має додатне прискорення (а>0), а при рівносповільненому русі – від’ємне (а<0).

Із визначального рівняння прискорення а=(v_к–v₀)/t, з усією очевидністю випливає, що при рівноприскореному русі (а=соnst) швидкість тіла можна визначити за формулою v_к=v₀+at або v=v₀+at, де v₀ – початкова швидкість тіла. Дійсно, оскільки а = (v_к – v₀)/t, то розкривши дужки отримаємо а = v_k/t – v₀/t. Звідси випливає v_к/t=v₀/t+а, або v_к=v₀+at. Зазвичай формулу v=v₀+at називають рівнянням швидкості.

          Таким чином, на практиці швидкість прямолінійного руху тіла визначають за формулами:

1) при рівномірному русі (v=const),   v = s/t;

2) при рівноприскореному русі (а=const),  v = v₀+at.

Можна довести, що при рівноприскореному русі, між величиною прискорення тіла (а), його початковою (v₀) і кінцевою (v_к) швидкістю, та пройденим шляхом (s), існує співвідношення s=(v_к²–v₀²)/2a. Формула s=(v_к²–v₀²)/2a не входить до переліку базових формул кінематики, адже не є ані визначальним рівнянням певної фізичної величини, ані математичним формулюванням певного закону. Однак, зважаючи на загальність та практичну значимість цієї формули, її зазвичай застосовують як одну з базових формул кінематики. В подальшому достовірність формули s=(v_к²–v₀²)/2a буде доведена, адже ця формула є похідною від основного кінематики – рівняння руху. На разі ж просто запам’ятайте s=(v_к²–v₀²)/2a.

Задача 1. Автомобіль що рухається зі швидкістю 108км/год, в процесі гальмування зупинився через 10с. З яким прискоренням рухався автомобіль?

Дано:                     СІ                   Рішення:

v₀ = 108км/год    30м/с         За визначенням а = (v_к – v₀)/t

v_к = 0м/с                 –              В умовах нашої задачі

t  = 10с                    –               а = (0м/с – 30м/с)/10с = –3м/с²,

а = ?                                        де знак «–» вказує на те, що рух автомобіля

.                                                 є рівносповільненим.

.                                                 Відповідь: а = –3м/с².

Задача 2. За заданим графіком швидкості руху тіла, визначити його прискорення на кожній ділянці шляху.

Рішення. На основі аналізу заданого графіку швидкості можна стверджувати, що даний рух складається з трьох ділянок. При цьому:

Ділянка №1: Δt₁ = 3c – 0c = 3c; Δv₁ = 3м/с – 0м/с = 3м/с;

а₁ = Δv₁/Δt₁ = 3(м/с)/3с = 1м/с²;

рівняння швидкості: v₁ = v₀ + at = 0 + 1t = 1t

Ділянка №2: Δt₂ = 5c – 3c = 2c; Δv₂ = 3м/с – 3м/с = 0м/с;

а₂ = Δv₂/Δt₂ = 0(м/с)/2с = 0м/с²;

рівняння швидкості: v₂ = v₀ + at = 3 + 0t = 3

Ділянка №3: Δt₃ = 7c – 5c = 2c; Δv₃ = 0м/с – 3м/с = –3м/с;

а₃ = Δv₃/Δt₃ = –3(м/с)/2с = –1,5м/с², де знак «–» вказує на те, що рух тіла є рівносповільненим (швидкість руху зменшується);

рівняння швидкості: v₃ = v₀ + at = 3 – 1,5t.

          Задача 3. Автомобіль на ділянці шляху 50м розганяється до швидкості 72км/год. Який час розгону та яке прискорення автомобіля?

Дано:                 СІ                             Рішення:

s = 50м                –               Виходячи з того, що s=(v_к²–v₀²)/2a, можна записати

v₀ = 0м/с              –              а=(v_к²–v₀²)/2s = [(20м/с)² – (0м/с)²]/2·50м = 4м/с².

v_к = 72км/год    20м/с        Оскільки за визначенням а = (v_к – v₀)/t, то

t = ?                                      t = (v_к – v₀)/a = (20м/с – 0м/с)/4м/с² = 5с.

a = ?                                     Відповідь: а = 4м/с²; t = 5c.

Зауваження. В рішенні задачі, ви повинні не лише записувати голі формули, а й робити відповідні письмові коментарі до них. Звичайно, ці коментарі мають бути максимально стислими, але такими, що чітко відображають логіку ваших міркувань. Наприклад: Виходячи з того, що ….   та враховуючи, що…… можна записати ….Або:     Оскільки …   ,    то …

Контрольні запитання.

1.Що характеризує прискорення?

2. Чому розрізняють дві різновидності прискорення?

3. Яка з формул а=∆v/∆t чи а=∆v/∆t є більш загальною? Чому?

4. В якому випадку вектори швидкості і прискорення є співнаправленими, а в якому протинаправленими?

5. Прискорення тіла дорівнює –2м/с². Що це означає?

6. Потяг відходить від станції. Як направлене його прискорення?

7. Потяг починає гальмувати. Як направлене його прискорення?

8. Рух ліфта можна розділити на три ділянки: 1) розгін, 2)рівномірний рух, 3) зупинка. Які напрямки швидкості і прискорення на кожній ділянці руху ліфта, якщо: а) ліфт рухається вгору; б) ліфт рухається вниз.

Вправа №6.

1.За 5с швидкість тіла зросла з 2м/с до 6м/с. Визначити прискорення тіла.

2. Яку швидкість матиме тіло через 20с від початку руху, якщо воно рухається з прискоренням 0,2 м/с²?

3. За який час автомобіль, рухаючись з прискореннями 0,2 м/с² збільшить свою швидкість від 10м/с до 20м/с ?

4. Автобус рухаючись з прискоренням 2м/с², зупинився через 3с. Визначити швидкість автобуса на початку гальмування.

5. Автомобіль рухається під ухил з прискоренням 0,4м/с². Яку швидкість матиме автомобіль через 10с, якщо його початкова швидкість 36км/год?

6. З яким прискоренням рухався автомобіль під час аварійного гальмування, якщо його швидкість перед гальмуванням становила 72км/год, а гальмівний шлях дорівнює 20м? Скільки часу пройшло до його зупинки?

7. Куля, що летить зі швидкістю 300 м/с потрапляючи в земляний вал проникає в нього на глибину 36 см. З яким прискоренням і скільки часу рухалась куля в земляному валу?

8. За заданим графіком швидкості руху тіла, визначити його прискорення на кожній ділянці руху. Запишіть рівняння швидкості для кожної ділянки руху.

 

 

§ 7. Рівняння руху – основний закон кінематики.

 

          Нагадаємо, до числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час (t), координата (х=ℓ_х), пройдений шлях (s=∆x), швидкість (v=∆x/∆t) та прискорення (а=∆v/∆t). Якщо ж говорити про основний закон кінематики поступального руху, то він називається рівнянням руху. Рівняння руху – це закон, в якому стверджується: в загальному випадку, прямолінійний рух матеріальної точки можна описати рівнянням:

х = х₀ + v₀t + (а/2)t²

де  х – координата матеріальної точки в момент часу t,

х₀  – початкова координата точки, тобто її координата в момент часу t=0,

v₀ – початкова швидкість матеріальної точки,

а – прискорення матеріальної точки.

Потрібно зауважити, що в рівнянні х=х₀+v₀t+(а/2)t² арифметичний знак (плюс чи мінус) кожного доданку визначається із умов конкретної задачі. А це означає, що в загальному випадку рівняння руху має вигляд х=±х₀ ±v₀t±(а/2)t².

Не буде перебільшенням сказати, що знаючи рівняння руху х=х₀+v₀t+(a/2)t² та визначальні рівняння базових фізичних величин кінематики (s=∆x, v=∆x/∆t, а=∆v/∆t), можна розв’язати практично будь-яку задачу кінематики. У всякому разі ті задачі, складність яких не виходить за межі програми загальноосвітньої школи.

Втім, в фізиці не достатньо знати формули. В фізиці набагато важливіше бачити за цими формулами реальні події та їх параметри. Наприклад, в математиці рівняння х = 200 –10t + 0,2t² це просто квадратне рівняння, яке в загальному випадку має два рішення і яке графічно можна представити у вигляді відповідної параболи. В фізиці, все те що вивчалося в математиці ви маєте знати та вміти застосовувати на практиці. Однак цього зовсім не достатньо для розв’язування задач фізики. Адже в фізиці за кожним рівнянням, за кожною цифрою, за кожною буквою та за кожним знаком, ви маєте бачити реальні події та їх характеристики.

Скажімо, просто поглянувши на рівняння х = 200 –10t + 0,2t², та розуміючи що це рівняння руху, тобто рівняння вигляду х=х₀+v₀t+(а/2)t², ви відразу ж уявляєте наступну ситуацію. В момент часу t=0, дане тіло знаходиться в точці з координатою 200м і рухається у від’ємному напрямку з швидкістю 10м/с. При цьому величина цієї швидкості зменшується (зменшується тому, що знаки (напрямки) швидкості та прискорення є протилежними), а числове значення прискорення становить 0,4м/с². (Сподіваюсь, ви розумієте: якщо а/2=0,2 то а=0,2·2=0,4).

Таким чином, основі порівняльного аналізу рівнянь

х = х₀ + v₀t + (а/2)t²,

х = 200 –10t + 0,2t²,

можна стверджувати:

х₀= 200м;   v₀= –10м/с;   а = 0,4м/с²;   v↓

Загальні зауваження. Якщо в поясненнях до рівняння руху не вказані одиниці вимірювання відповідних величин, то потрібно вважати що цими одиницями є основні одиниці міжнародної системи (СІ):

[x]=м;  [v]=м/с;  [a]=м/с².

Задача 1. За заданим рівнянням руху дати загальну характеристику цього руху.

x₁ = –200 +15t – 0,4t²:    х₀ = –200м;  v₀ = 15м/с;  а = –0,8м/с²;  v↓

x₂ = 100 – 8t – 0,1t²:       х₀ = 100м;    v₀ = –8м/с;   а = –0,2м/с²;  v↑

х₃ = 5 + 4t :                     х₀ = 5м;        v₀ = 4м/с;   а = 0м/с²;  v = const

x₄ = –5t:                          х₀ = 0м;        v₀ = –5м/с;   а = 0м/с²;  v = const

x₄ = 200 – 0,5t²:              х₀ = 200м;    v₀ = 0м/с;   а = –1м/с²;   v↑

x₅ = –100:                        х₀ = –100м;  v₀ = 0м/с;  а = 0м/с²;  не рухається

Зверніть увагу, ми просто дивимося на рівняння руху і отримуємо з нього достатньо велику кількість інформації. Тепер уявіть, скільки інформації можна отримати на основі математичного та логічного аналізу цього рівняння. Ілюструючи лише малу частину цих інформаційних можливостей, розглянемо конкретну задачу.

Задача 2. За заданим рівнянням руху  х = 100 + 12t – 0,4t²:

1) дати загальну характеристику руху тіла;

2) визначити пройдений тілом шлях за десять секунд;

3) визначити пройдений тілом шлях за десяту секунду

4) записати  рівняння швидкості руху тіла та визначити цю швидкість через 10с;

5) визначити де і коли тіло зупиниться;

6) визначити в який момент часу тіло буде в точці з координатою 150м;

7) визначити в який момент часу тіло буде в точці з координатою 200м.

Відповідаючи на кожне з поставлених запитань можна сказати наступне.

1.Дати загальну характеристику руху тіла: х₀ =? v₀=? а =? малюнок.

Із порівняльного аналізу рівнянь

х = х₀ + v₀t + (а/2)t² та

х=100 +12t – 0,4t²,  ясно:

х₀ =100м; v₀ = 12м/с; а = –0,8м/с²;  v↓.

.                                            а←——♦———→ v↓

———•————————————•———————————•——→х(м)

.          0                                          100                                       200

2. Визначити пройдений тілом шлях за десять секунд: s(10)=?

Оскільки за визначенням s=∆х=х_к –х_п

та враховуючи що в умовах даної задачі

х_п = х₀ = 100м

х_к = х(10) = 100 + 12(10) – 0,4(10)² = 180м, можна записати

s(10)= х(10) – х₀ = 180 – 100 = 60м.

3. Визначити пройдений тілом шлях за десяту секунду: s(10_ту)=?

Сподіваюсь ви розумієте, що в даному випадку потрібно визначити той шлях, який пройде тіло за одну, а саме за десяту секунду. При цьому не важко збагнути, що десятою секундою є та, що між дев’ятою і десятою, тобто s(10_ту)= х(10) – х(9).

Оскільки х(10) = 180м, а х(9) = 100 + 12(9) – 0,4(9)² = 100+108–32,4=175,6м, то

s(10_ту)= х(10) – х(9) = 180 – 175,6 = 4,4м

4. Записати рівняння швидкості руху тіла та визначити цю швидкість через 10с

Оскільки при рівноприскореному русі v=v₀+at, то в умовах нашої задачі (v₀=12м/с, а = –0,8м/с²) можна записати v=12 – 0,8t.

Якщо t=10c, то  v(10)= 12 – 0,8(10) = 4м/с.

5. Визначити, де і коли тіло зупиниться: х_зуп =? t_зуп=?

Оскільки в момент зупинки швидкість тіла дорівнює нулю (v=0), то можна записати: якщо t=t_зуп, то  v = 12 – 0,8t_зуп = 0, звідси   t_зуп = 12/0,8=15c

А це означає, що  х_зуп =х(15)= 100+12(15) – 0,4(15)²  = 100+180–90 = 190м.

6. Визначити в який момент часу тіло буде в точці з координатою 150м: х=150м, t=?

Для х=150м задане рівняння руху набуває вигляду

150=100 +12t – 0,4t²,  або –50 +12t – 0,4t² = 0,  або –0,4t² + 12t – 50 = 0.

Таким чином, ми маємо стандартне квадратне рівняння, тобто рівняння вигляду аt²+вt+с=0, яке в загальному випадку має два рішення: t_1,2 =[–b ± √(b² – 4ac)]/2a.

В умовах нашої задачі:

t_1,2 = [–12 ± √(12² – 4∙(–0,4)∙(–50))]/2(–0,4) = –12 ± √(144–80)/(–0,8) =

= (–12 ± √64)/(–0,8) = (–12 ± 8)/(–0,8)

Звідси   t₁= 5с;    t₂= 25 с.

Отриманий результат означає, що в точці з координатою х=150м дане тіло побуває двічі: t₁= 5с; t₂= 25с. І це закономірно. Адже через 15с від моменту початку відліку часу, наше тіло в точці з координатою х=190м запинилось і з того моменту почало рухатись у зворотньому напрямку.

7. Визначити в який момент часу тіло буде в точці з координатою 200м: х=200м, t=?

Із попереднього рішення задачі відомо, що в точці з координатою х=200м, наше тіло ніколи не було і не буде. Що ж, подивимся що з його приводу скаже рівняння руху. А для х=200м, це рівняння набуває вигляду:

200=100 +12t – 0,4t²,  або –100 +12t – 0,4t² = 0,  або –0,4t² + 12t – 100 = 0, тому

t_1,2 = [–12 ± √(12² – 4∙(–0,4)∙(–100))]/2(–0,4) = –12 ± √(144–160)/(–0,8) =

= (–12 ± √(–16)/(–0,8);

Оскільки квадратного кореня з від’ємного числа (√–16) не існує, то не існує і такого моменту часу в який дане тіло знаходилося б в точці з координатою х=200м.

Потрібно зауважити, що рівняння руху дає формально-математичні відповіді на всі запитання які стосуються цього рівняння. При цьому ви маєте розуміти, що в реальності, у відповідності з певним рівнянням, тіло рухається певний обмежений проміжок часу. Скажімо в процесі руху, автомобіль на певних ділянках набирає швидкість, на певних пригальмовує, на певних їде з постійною швидкістю, а на певних робить ті чи інші маневри. При цьому кожна ділянка описується своїм рівнянням руху і має свої часові обмеження. Та якби там не було, а не важко бачити, що на основі аналізу рівняння руху, можна розв’язувати величезну кількість кінематичних задач. І відтепер ви розумієте, чому це рівняння називають основним законом кінематики.

Задача 3. В заданій системі відліку, рівняння руху тіл мають вигляд х₁=15t, х₂=200+10t. Де і коли зустрінуться ці тіла?

Дано:                            Рішення.

х₁=15t,                На основі аналізу заданих рівнянь руху

х₂=100+10t         виконуємо відповідний малюнок, тобто

х_зустр = ?              задаємо систему координат на якій

t_зустр = ?               відображаємо наявну ситуацію.

.          v₀₁=15м/с                      v₀₂=10м/с

——♦——————————♦—————————•———————→  х(м)

.       0                                    100                              200

Оскільки в момент зустрічі, тіла 1 і 2 мають знаходитись в одному і тому ж місці, тобто в точці однаковою координатою, то можна стверджувати, що для моменту часу t = t_зустр  має виконуватись умова х₁ = х₂.

А це означає, що 15t_зустр = 100 + 10t_зустр , звідси 15t_зустр – 10t_зустр = 100,

звідси 5t_зустр = 100, звідси t_зустр = 100/5 = 20с.

Таким чином, дані тіла зустрінуться через 20с в точці з координатою

х_зустр = х₁(20) = 15(м/с)20с = 300м. Отриманий результат можна перевірити

за допомогою другого рівняння: х_зустр = х₂(20) = 100м +10(м/с)20с = 300м.

Відповідь: t_зустр = 20с, х_зустр = 300м.

Задача 4. За заданим графіком руху, записати рівняння руху на кожній ділянці шляху (вважати, що вісь 0ℓ є віссю координати, тобто віссю 0х).

Загальні зауваження. Якщо графіком руху є пряма (відрізок прямої), то відповідний рух є рівномірним (v=v₀=const), тобто рухом з нульовим прискоренням (а=0). А це означає, що рівняння такого руху має вигляд х=х₀+vt.

Рішення. На основі аналізу заданого графіку руху можна стверджувати, що даний рух складається з трьох ділянок. При цьому:

Ділянка №1: х₀=0м, х_к=50м, Δх=50м, Δt=10c, v=Δx/Δt=50м/10c=5м/с,

рівняння руху х = 5t.

Ділянка №2: х₀=50м, х_к=50м, Δх=0м, Δt=15c, v=Δx/Δt =0м/15c =0м/с,

рівняння руху х= 50.

Ділянка №3: х₀=50м, х_к=150м, Δх=100м, Δt=10c, v=Δx/Δt =100м/10c=10м/с,

рівняння руху х = 50 + 10t.

Задача 5. Відходячи від станції, потяг протягом однієї хвилини рухається з прискоренням 0,4м/с². Визначте той шлях який проїхав потяг за цей час, і швидкість наприкінці цього шляху.

Дано:             СІ                      Рішення:

v₀ = 0м/с         –            Для пройденого шляху (s=х–х₀) рівняння руху

t = 1хв           60с          (х=х₀+v₀t+(а/2)t²) набуває вигляду s = v₀t + (a/2)t².

a = 0,4м/с²      –             А зважаючи що в умовах нашої задачі v₀=0,

s = ?                              можна записати s = (a/2)t² = [(0,4м/с²)/2](60c)² =

v_к = ?                             0,2(м/с²)3600с²=720м.

Оскільки при рівноприскореному русі

v_к=v₀+at, то

v_к=0(м/с) + 0,4(м/с²)60с=24м/с.

Відповідь: s=720м; v_к=24м/с.

Контрольні запитання.

1.Як змінюється швидкість руху тіла (збільшується чи зменшується), якщо в рівнянні руху:

а) прискорення і швидкість мають знак «+»;

б) прискорення і швидкість мають знак «–»;

в) прискорення має знак «+», а швидкість – знак «–»;

г) прискорення має знак «–», а швидкість – знак «+»?

2. Якого вигляду набуває рівняння руху для рівномірного руху (а=0)?

3. Якого вигляду набуває рівняння руху в ситуації коли х₀=0?

4. Якого вигляду набуває рівняння руху в ситуації коли v₀=0 ?

5. Якого вигляду набуває рівняння руху в ситуації коли х₀=0; v₀=0 ?

6. Виходячи з того що s = ∆х = х – х₀, запишіть рівняння пройденого шляху.

7.  За рівнянням руху дати загальну характеристику відповідного руху:

х₁  = 100 + 10t + 0,5t²

х₂  = –100 + 5t – 0,2t²

х₃  = –10t – 0,3t²

х₄  = 150 – 0,25t²

х₅  = t² .

Вправа 7.

1.За заданим рівнянням руху х = 100 –15t + 0,5t²:

1) дати загальну характеристику руху тіла;

2) визначити координати тіла через 10 і 20 секунд;

3) визначити швидкість тіла через 10 і 20 секунд;

4) визначити де і коли тіло зупиниться;

5) визначити пройдений тілом шлях за десять секунд;

6) визначити пройдений тілом шлях за десяту секунду;

7) в який момент часу тіло буде в точці з координатою 0 м; –200 м?

2. В заданій системі відліку рівняння руху тіл мають вигляд х₁ =15t, х₂= 200 +10t. Де і коли зустрінуться ці тіла?

3. Велосипедист що рухається зі швидкістю 3 м/с почав спускатися з гори з прискоренням 0,8 м/с². Визначити довжину гори, якщо спуск тривав 6с.

4. Із пунктів А і В одночасно та в одному і тому ж напрямку виїхав автомобіль з швидкістю 22м/с та велосипедист з швидкістю 8м/с. Де і коли вони зустрінуться, якщо відстань між пунктами А і В 900м?

5. Із станції вийшов товарний потяг зі швидкістю 36км/год. Через 0,5год, в тому ж напрямку вийшов пасажирський потяг, швидкість якого 72км/год. Через який час і на якій відстані від станції пасажирський потяг наздожене товарний.

6. За заданими на малюнку графіками запишіть відповідні рівняння руху.

7. За заданим графіком швидкості руху тіла, визначити прискорення тіла на кожній ділянці шляху і записати відповідні рівняння швидкості та рівняння шляху.

 

 

§ 8. Графічний метод розв’язування задач кінематики.

 

В фізиці є два базові методи розв’язування задач: алгебраїчний (аналітичний) та графічний (геометричний). Говорячи про сильні та слабкі сторони цих методів можна сказати наступне.

Суть алгебраїчного методу розв’язування задач полягає в тому, що виходячи з умов конкретної задачі та відомих базових формул, шляхом логічних міркувань (аналізу) та відповідних математичних перетворень, отримують алгебраїчне рішення задачі. Наприклад.

Задача.1. За заданими рівняннями руху х₁=140 – 14t; х₂= 4t, визначити де і коли тіла зустрінуться.

Рішення. Оскільки в момент зустрічі х₁=х₂, то можна записати 140 – 14t = 4t. Звідси 18t=140, звідси t=140/18=7,78с=t_зустр. А це означає, що х_зустр= х₂(7,78)=4∙7,78=31,1м.

Відповідь: тіла зустрінуться через 7,78с в точці з координатою31,1м.

Суть графічного (геометричного) методу розв’язування задач полягає в тому, що на основі максимально точних геометричних побудов, з дотриманням вибраного масштабу та з застосуванням відповідних геометричних приладів (лінійка, транспортир, циркуль, тощо), отримують графічну відповідь на поставлене в задачі запитання. Наприклад.

Задача 2. За рівняннями руху х₁ =140 – 14t; х₂ = 4t побудувати відповідні графіки та виконати їх кінематичний аналіз.

Рішення:

На основі аналізу заданих рівнянь руху визначаємо координати базових точок:

х₁=140 – 14t:     якщо t = 0с   то  х = 140м,   А₁(0; 140)

.                            якщо t = 10с  то  х = 0м,      А₂(10; 0).

х₂= 4t:                 якщо t = 0с   то   х = 0м,      В₁(0; 0)

.                            якщо t = 10с  то  х = 40м,    В₂(10; 40).

Задаємо систему координат і виконуємо необхідні геометричні побудови.

Побудувавши графіки заданих рухів та аналізуючи ці графіки, можна відповісти на безліч кінематичних запитань. Наприклад, визначити час та місце зустрічі тіл: зустрінуться приблизно через 7,8с в точці з координатою приблизно 30м. Можна встановити координати рухомих тіл в будь який момент часу. Скажімо, в момент часу t= 5с: х₁≈50м;  х₂≈ 20м. Для будь якого моменту часу, визначити відстань між рухомими об’єктами. Наприклад: для t=5с, ℓ≈50м; для t=10с, ℓ=40м. Визначити швидкість тіла (v=∆x/∆t), його прискорення (a=∆v/∆t), напрям руху, тощо. Іншими словами, геометричний аналіз графіків руху, дозволяє відповісти на той же спектр запитань що і математичний аналіз відповідних рівнянь руху.

Головною перевагою графічного методу є його візуальна наочність. А основним недоліком – факт того, що точність графічного рішення залежить від точності геометричних побудов. Крім цього, графічне рішення задачі може бути ефективним лише в тому випадку, якщо досліджувані величини описуються лінійними функціями, тобто можуть бути представленими у вигляді певних прямих. Адже якщо наприклад, рівняння руху має вигляд х=40t–5t², то графіком цього руху буде зображена на малюнку парабола для побудови якої потрібно визначити координати максимально великої кількості точок. Крім цього, за параболічним графіком важко визначити як величину тієї швидкості з якою рухається матеріальна точка в той чи інший момент часу, так і величину відповідного прискорення. Зважаючи на це, в подібних ситуаціях, графічний метод застосовується рідко.

Мал.16. Графічний метод розв’язування задач є ефективним лише в тому випадку, коли відповідні графіки є лінійними.

Задача 3. За заданим графіком руху матеріальної точки визначити її швидкість на кожній ділянці шляху та записати відповідне рівняння руху.

Рішення. Оскільки на кожній ділянці графік руху представляє певну пряму, то відповідні рухи є рівномірними (v=const). А це означає, що швидкість такого руху визначається за формулою v=Δх/Δt. Тому, на основі кількісного аналізу графіку можна записати:

1) ділянка 1: Δt = 10c, х₀ = 20м, Δx = –40м, v₁=Δx/Δt= –20м/10с= –4м/с,

x₁ =20 – 4t;

2) ділянка 2: Δt = 5c, х₀ = –20м, Δx = 0м, v₂=Δx/Δt= 0м/5с = 0м/с;

x₂ = – 20;

3) ділянка 3: Δt = 10c, х₀ = – 20м, Δx = 30м, v₃=Δx/Δt= 30м/10с= 3м/с,

x₃ = –20 + 4t;

4) ділянка 4: Δt = 10c, х₀ = 10м, Δx = –20м, v₄=Δx/Δt= –20м/10с= –2м/с,

x₄ = 10 –2t;

Задача 4. За заданим графіком руху, визначити швидкість руху тіла на кожній ділянці. Побудувати графік швидкості руху тіла.

Рішення. Оскільки на кожній ділянці графік руху представляє певну пряму, то відповідні рухи є рівномірними (v=const). А це означає, що швидкість такого руху визначається за формулою v=Δℓ/Δt. Тому, на основі кількісного аналізу графіку можна записати

v₁=Δℓ₁/Δt₁=50м/5с=10м/с;

v₂=Δℓ₂/Δt₂=25м/5с=5м/с.

Отримані результати представляємо у вигляді відповідного графіка швидкості.

Загальні зауваження. Аналіз графіку швидкості руху тіла дозволяє графічним способом визначати величину пройденого шляху як на певній ділянці руху так і на будь якій сукупності цих ділянок. А величина цього шляху дорівнює площі тієї фігури, яка з одного боку обмежена графіком швидкості та віссю 0–t, а з іншого – тими вертикальними лініями, які відповідають тому проміжку часу в межах якого визначається пройдений шлях. Наприклад в умовах нашої задачі s = (10м/с∙5c) + (5м/с∙5c) = 50м +25м = 75м.

Задача 5. За заданим графіком швидкості, описати рух тіла на кожній ділянці шляху. Визначити пройдений тілом шлях на кожній ділянці.

Оскільки задані рівняння швидкостей представляють собою певні прямі, то можна стверджувати, що відповідні рухи є рівноприскореними (а=соnst), тобто такими, які описуються формулами:

v = v₀ + at – рівняння швидкості;

s = v₀t + at²/2 – рівняння пройденого шляху;

для криволінійного руху: s = |s₁| + |s₂| + …

Кількісно аналізуючи графік швидкості на кожній ділянці, можна сказати наступне:

1.Ділянка №1: ∆t=20c; v=20м/c=const; a=0;

s=vΔt=20(м/с)∙20с=400м

2. Ділянка №2: ∆t=20c; v≠const; v₀=20м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с²;

s = v₀Δt + aΔt²/2 = 20(м/с)∙20с + 0,5(м/с²)∙(20с)² = 600м.

3. Ділянка №3: ∆t=20c; v≠const; v₀=40м/c; a=∆v/∆t=(–40м/с)/20с= –2м/с²;

s = v₀Δt + aΔt²/2 = 40∙20 –1∙20² = 400м.

4. Ділянка №4: ∆t=20c; v≠const; v₀=0м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с²;

s = v₀Δt + aΔt²/2 = 0∙20 + 0,5∙20² = 200м.

Задача 6. За заданим графіком швидкості, описати рух тіла та визначити пройдений ним шлях за 6с.

На перший погляд, рішення задачі є елементарно простим: ∆t=6c;

v₀= –8м/c; a=∆v/∆t=(12м/с)/6с=2м/с²; s=v₀Δt + aΔt²/2 = –8∙6+1∙6²= –12м. Втім, останній результат явно насторожує. І не тільки своїм знаком (знак «–» може вказувати на той напрямок в якому рухається тіло), а й величиною (s=12м). Адже як з графічних, так і з аналітичних міркувань ясно, що величина пройденого тілом шляху є значно більшою за 12м. До речі, якщо ви думаєте, що в умовах даної задачі величина пройденого шляху дорівнює площі трикутника А(0;–8), В(0;4), С(6;4), яка становить (12∙6)/2=36м, то помиляєтесь.

А справа втому, що в даному випадку рух тіла не є прямолінійним. Адже факт того, що на заданій ділянці, знак швидкості змінюється на протилежний, по суті означає, що на цій ділянці, до певного моменту (до моменту v=0) тіло рухається в одному напрямку, а після цього моменту – в протилежному напрямку. Прикладом такого руху є рівносповільнений рух тіла похилою площиною: до моменту зупинки, тіло рухається в одному напрямку (вгору), а після зупинки – в протилежному (вниз). При цьому, як до зупинки так і після неї, тіло рухається з одним і тим же прискоренням (одним і тим же як за величиною, так і за напрямком).

Оскільки на заданій ділянці, рух тіла фактично є криволінійним (складається з двох частин: s₁ – до зупинки, s₂ – після зупинки), то на цій ділянці загальна величина пройденого шляху має визначатись за формулою s = |s₁| + |s₂|. При цьому: s₁= –8Δt₁ + 1∙Δt₁² = –8∙4 + 1∙4² = 16;  s₂= 0∙Δt₂ + 1∙Δt₂²= 0 + 2²=4м. Таким чином, загальна величина пройденого тілом шляху становить 20м.

Вправа №8.

1.Рух тіл вздовж осі ох задано рівняннями х₁=5t, х₂=150 – 10t. Визначити час та місце їх зустрічі. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.

2. За заданими графіками руху записати відповідні рівняння руху. Визначити час та місце зустрічі тіл. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.

3. За заданими графіками руху записати відповідні рівняння руху.

4. За заданим графікам швидкості визначити прискорення тіла на кожній ділянці шляху, записати відповідні рівняння швидкості та рівняння пройденого шляху.

5. За заданими графіками швидкості руху матеріальної точки визначити її прискорення на кожній ділянці шляху, записати відповідні рівняння швидкості, визначити величину пройденого шляху на кожній ділянці.

а)    б)

6. За заданим графіком визначити пройдені тілом шляхи на кожній ділянці руху та на всьому шляху. Задачу розв’язати геометричним та алгебраїчним методом.

 

 

§ 9. Вільне падіння тіл. Рух тіла кинутого вертикально.

 

          Вільним падінням називають такий рух тіла, який відбувається під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу інших зовнішніх сил, зокрема сили опору повітря. В загальному випадку вільно падаючими вважають не лише ті тіла падіння яких починається з нулевою швидкістю (мал.17а), а й ті які з певною швидкістю кинули вертикально вниз, вертикально вгору, горизонтально або під кутом до горизонту (мал.17б,в,г,д). Адже в кожному з цих випадків, тіло після отримання певного початкового поштовху, рухається під дією лише однієї зовнішньої сили – сили тяжіння (звичайно за умови, що сила опору повітря є не суттєвою).

 

Мал.17. Рух тіла що відбувається під дією сили тяжіння та за відносності дії інших зовнішніх сил (зокрема суттєвого впливу опору повітря), називають вільним падінням тіла.

Характерною особливістю того руху який називається вільним падінням є те, що це падіння відбувається з певним постійним як за величиною так і за напрямком прискоренням, яке називається прискоренням сили тяжіння або прискоренням вільного падіння. Напрям прискорення вільного падіння співпадає з напрямком діючої на тіло сили тяжіння, тобто є направленим вертикально вниз. Просто коли тіло рухається вниз, діючи на нього сила тяжіння призводить до збільшення швидкості руху тіла. Коли ж тіло рухається вгору, то сила тяжіння призводить до зменшення його швидкості.

На перший погляд факт того, що важкі і легкі тіла падають з однаковим прискоренням, здається дивним. Адже та сила тяжіння з якою важкий камінь притягується до Землі в сотні разів перевищує ту силу тяжіння, з якою до Землі притягується легкий камінчик. І тим не менше, важкий камінь і легкий камінчик падають однаково швидко. Сьогодні ми не будемо говорити про те, чому важкі і легкі тіла падають однаково швидко. Сьогодні ми просто констатуємо той експериментальний факт, що під дією сили тяжіння, та за відсутності суттєвого впливу опору повітря, всі тіла падають з однаковим прискоренням, яке називається прискоренням сили тяжіння або прискоренням вільного падіння.

Мал.18. Під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу опору повітря, всі тіла падають з однаковим прискоренням – прискоренням вільного падіння (експериментальний факт).

Підкреслюючи важливість та значимість прискорення вільного падіння (прискорення сили тяжіння), його позначають окремою літерою g (від лат. gravitas – тяжіння). Для Землі, усереднена величина цього прискорення становить g=9,8067 м/с². Зазвичай числове значення прискорення вільного падіння приймають рівним g=9,8м/с². Однак зважаючи на те, що числове рішення переважної більшості задач на вільне падіння тіл є досить приблизним (приблизним бодай тому, що не враховує силу опору повітря), при наближених розрахунках величину прискорення вільного падіння часто округлюють до g=10м/с².

Прискорення вільного падіння визначальним чином залежить від маси та розмірів того космічного об’єкту який створює відповідну силу тяжіння. Наприклад, для Місяця g = 1,6 м/с², для Марса g = 3,8 м/с², для Венери g = 8,8 м/с², для Юпітера g = 23,5 м/с², а для Сонця g = 274,0 м/с².

Потрібно зауважити, що величина та напрям прискорення вільного падіння не залежать від того в якому напрямку рухається тіло і з якою початковою швидкістю воно рухається. Наприклад, в незалежності від того чи вільно відпустили піднятий над землею камінь (мал19а), чи з певною швидкістю кинули вертикально вниз (мал.19б), вгору (мал.19в) чи під кутом до горизонту (мал.19г), цей камінь буде рухатись з прискоренням g=9,8м/с². В незалежності від того рухається камінь вгору чи падає вниз, він рухається з прискоренням g=9,8м/с² і це прискорення завжди направлено вертикально вниз. Навіть в точці максимального підйому тіла, де його швидкість дорівнює нулю, тіло має прискорення g=9,8м/с². Іншими словами, на всій траєкторії вільного польоту, тіло рухається з прискоренням вільного падіння.

  

Мал.19. У всіх точках траєкторії вільного польоту, тіло рухається з прискоренням вільного падіння (g=9,8м/с²)

Як і будь-який рівноприскорений рух, вільне падіння тіла можна описати рівнянням виду х=х₀+v₀t+(a/2)t². Відмінність лише в тому, що говорячи про вільне падіння матеріальної точки, її вертикальну координату (висоту) зазвичай позначають літерою h, а прискорення – літерою g. Іншими словами, рух вільно падаючого тіла можна описати формулою h=h₀+v₀t+(g/2)t².

Ілюструючи закономірності того руху який називається вільним падінням тіла, а заодно ілюструючи практичну значимість того закону який називається рівнянням руху, розв’яжемо ряд конкретних задач.

Задача 1. Визначити глибину колодязя, якщо відомо, що випущений із руки камінь досягає води за 2с.

Дано :                                 Рішення:

v₀ = 0 м/с           Виконуємо малюнок, задаємо систему координат

 t = 2 с                та записуємо рівняння руху тіла в цій системі, тобто

h = ?                  формулу яка має вигляд h=h₀+v₀t+(g/2)t².

В умовах даної задачі h₀=0м; v₀=0м/с, це рівняння набуває вигляду: h=(g/2)t², де g=10м/с². Враховуючи, що t=2c, виконуємо відповідні розрахунки.

Розрахунки:  h=(10(м/с²)(2с)²/2=20м;

Відповідь: h=20м.

Загальні зауваження. Конкретний вигляд рівняння руху залежить не лише від самого руху, а й від вибору системи координат. Наприклад, якщо в умовах даної задачі за початок відліку обрати точку на дні колодязя, а вісь 0h направити вертикально вгору, то рівняння руху каменя матиме вигляд не h=(g/2)t², а h = h₀ – (g/2)t², де h₀ – висота каменя над поверхнею дна колодязі, а отже – глибина колодязі. Втім, результат розв’язку задачі буде одним і тим же. Дійсно, для рівняння h = h₀ –(g/2)t², в момент падіння камінь буде на рівні h=0 і тому h₀–(g/2)t²=0. Звідси h₀ = (g/2)t² = (10(м/с²)(2с)²/2=20м.

Задача 2. Тіло вільно падає з висоти 45м. Визначте час падіння тіла.

Дано:                            Рішення:

h = 45м         Виконуємо малюнок, задаємо систему координат

t_пад= ?            та записуємо відповідне рівняння руху тіла, тобто

.                      формулу яка має вигляд h=h₀+v₀t+(g/2)t².

В умовах даної задачі (h₀=0м; v₀=0м/с), це рівняння набуває вигляду: h=(g/2)t².

Звідси випливає t² = 2h/g, звідси t = √(2h/g).

Розрахунки: t = √(2·45м/10(м/с²))= √(9с²) = 3с

Відповідь: t_пад= 3с.

          Задача 3. На яку максимальну висоту підніметься тіло. Якщо його кинули вертикально вгору з швидкістю 20м/с?

Дано :                                    Рішення:

v₀ = 20 м/с         Виконуємо малюнок, задаємо систему координат

h_max = ?               та записуємо відповідне рівняння руху тіла, тобто

.                           формулу яка має вигляд h=h₀+v₀t+(g/2)t².

А оскільки в умовах даної задачі h₀=0м; g=10м/с²,

то рівняння руху набуває вигляду: h = v₀t – (g/2)t², або h=20t–5t².

Із аналізу рівняння руху ясно, що для визначення максимальної висоти підйому тіла (h=h_max) необхідно визначити час цього підйому t=t_max.

Оскільки на максимальній висоті, тобто в момент часу t=t_max, швидкість тіла дорівнює нулю, та зважаючи на те, що величина цієї швидкості визначається за формулою v=v₀–gt,  можна записати: v₀–gt_max=0. Звідси,  t_max = v₀/g = 20(м/с)/10(м/с²) =2с.

Таким чином: h_max=20t_max – 5t_max² = 20(м/с)2с – 5(м/с²)(2с)² = 40м – 20м =20м

Відповідь:  h_max=20м.

Задача 4. З якою швидкістю тіло кинули вертикально вгору, якщо воно повернулося через дві секунди?

Дано :                                    Рішення:

t_пол = 2с              Виконуємо малюнок, задаємо систему координат

v₀ = ?                  та записуємо відповідне рівняння руху тіла, тобто

.                           формулу яка має вигляд h=h₀+v₀t+(g/2)t².

А оскільки в умовах даної задачі h₀=0м; g=10м/с²,

то рівняння руху набуває вигляду: h = v₀t – (g/2)t².

Виходячи з того, що 2с, це час польоту тіла, тобто той час за який тіло вилетівши з рівня h=0 знову повертається на рівень h=0, можна записати

v₀t – (g/2)t² =0, звідси v₀t = (g/2)t², звідси v₀ = gt/2.

Розрахунки: v₀ = gt/2 = 10(м/с²)2с/2 = 10м/с.

Відповідь: v₀ = 10м/с.

          Задача 5. Дві кульки кинули вертикально вгору з інтервалом 1с. Початкова швидкість кожної кульки 10м/с. На якій висоті зустрінуться ці кульки?

Дано:                                    Рішення:

∆ t = 1c                   Виконуємо малюнок та задаємо систему координат

v₀₁=v₀₂=10м/c        (на малюнку: h=h₀₁; v_н=v₀₂; v=v₁).

h_зустр – ?                  Враховуючи, що через час Δt, тіло 1 буде на висоті h₀₁

та матиме швидкість v₁, записуємо рівняння руху кожного тіла:

1)  h₁=h₀₁ + v₁t – (g/2)t²;

2)  h₂ =v₀₂t – (g/2)t².

Числові значення h₀₁ та v₁ визначаємо із наступних міркувань:

h₀₁ =v₀₁∆t – (g/2)∆t² = 10(м/с)1с – 5(м/с²)(1с)² = 5м

v₁=v₀₁ – g∆t = 10(м/с) – 10(м/с²)1с = 0м/с.

При цьому рівняння руху даних тіл набувають наступного конкретного вигляді:

1) h₁ = 5 – 5t²;

2) h₂ = 10t – 5t².

Оскільки в момент зустрічі куль h₁=h₂,  то:

5 – 5t² = 10t – 5t², звідси 5 = 10t, звідси t = 5/10 = 0,5с = t_зустр.

Таким чином, кулі зустрінуться через 0,5с після вильоту другої кулі. Зустрінуться в точці з координатою  h_зустр=h₁(0,5)= 5м – 5(м/с²)(0,5с)² = 5м – 1,25м = 3,75м.

Відповідь: h_зустр= 3,75м

Контрольні запитання.

1.Що називають вільним падінням тіла?

2. Чи можна стверджувати, що кинуте в горизонтальному напрямку тіло, знаходиться в стані вільного падіння? Чому?

3. Чи залежить величина і напрям прискорення вільного падіння тіла від напрямку руху цього тіла?

4. Чи залежить прискорення вільного падіння від маси падаючого тіла?

5. Чи залежить прискорення вільного падіння від маси Землі?

6. Одне тіло випустили з руки, а друге кинули вертикально вниз. Яке з цих тіл матиме більше прискорення вільного падіння?

7. Тіло кинули вертикально вгору. Чому ми стверджуємо, що те прискорення з яким рухається тіло направлене вертикально вниз?

8. Чи може тіло, маючи нульову швидкість, мати певне прискорення? Наведіть приклад.

                   Вправа 9.

1.Визначити глибину ущелини, якщо камінь, падаючи без початкової швидкості досягне її дна за 5с.

2. Тіло без початкової швидкості падає з висоти 30м. Визначити його швидкість в момент падіння.

3. Камінь кинули вертикально вниз з початковою швидкістю 7м/с. З якої висоти кинули камінь, якщо він падав 1,5с?

4. Тіло вільно падає з висоти 60м. Визначте пройдений тілом шлях за останню секунду його падіння.

5. Стрілу випустили з лука вертикально вгору. При цьому, вона впала на землю через 6с. Яка початкова швидкість стріли і максимальна висота її підйому?

6. З висоти 10м без початкової швидкості падає тіло. Одночасно з висоти 2м, вертикально вгору кинули друге тіло з початковою швидкістю 10м/с. На якій висоті зустрінуться ці тіла кинули це тіло?

7. Кулька падає на підлогу з висоти 1,5м і відбиваючись від неї втрачає 25% своєї швидкості. Через який час після відбивання, кулька знову вдариться об підлогу?

8. З башти висотою 20м одночасно кинули дві кульки: одну – вгору з швидкістю 15м/с, другу – униз з швидкістю 5м/с. Який проміжок часу відділяє моменти падіння куль на землю?

 

§ 10. Рух тіла кинутого горизонтально, або під кутом до горизонту.

 

Нагадаємо, вільним падінням називають такий рух тіла, який відбувається під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу інших зовнішніх сил, зокрема сили опору повітря. На всій траєкторії вільного падіння, в незалежності від швидкості та напрямку руху тіла, воно рухається з постійним, направленим вертикально вниз прискоренням, яке називається прискоренням вільного падіння (прискоренням сили тяжіння), яке позначається літерою g і величина якого 9,8м/с² (при наближених розрахунках g=10м/с²). В загальному випадку, для того поступального руху який називається вільним падінням, рівняння руху х=х₀+v₀t+(a/2)t² набуває вигляду h=h₀+v₀t+(g/2)t².

Рух тіла кинутого горизонтально, або під кутом до горизонту є криволінійним, причому таким, який завжди можна розкласти на дві складові: рівномірний (v=const) горизонтальний та рівноприскорений (a=const) вертикальний. А це означає, що описуючи такий криволінійний рух, можна записати два незалежних рівняння, аналіз яких дозволяє відповісти на практично будь які запитання кінематики. На підтвердження вище сказаного розглянемо декілька конкретних задач.

Задача 1. Тіло, що знаходиться на висоті 10м кинули горизонтально з швидкістю 20 м/с. Визначити горизонтальну дальність польоту тіла та його швидкість в момент падіння на землю.

                   

Дано:                                   Рішення:

h₀ = 10 м              Виконуємо малюнок який відображає наявну

v₀ = 20 м/с           ситуацію та задаємо відповідну систему координат.

ℓ = ? v = ?          Криволінійний рух даного тіла по суті є результатом

двох незалежних рухів: рівномірного горизонтального та рівноприскореного вертикального. Зважаючи на ці обставини, задаємо систему координат і записуємо рівняння кожного окремого руху, тобто формулу яка має вигляд х=х₀+v₀t+(a/2)t².

– горизонтальний рух: оскільки х=ℓ; х₀=ℓ₀=0м; a=0м/с², то  ℓ=v₀t

– вертикальний рух: оскільки х=h; х₀=h₀; v₀=0м/с; a=g=10м/с², то  h=h₀ – gt²/2.

Таким чином даний рух описують два рівняння:

1) ℓ = v₀t, або ℓ=20t;

2) h = h₀ – gt²/2, або h=10 – 5t².

Із аналізу рівнянь ясно, що для того щоб визначити дальність польоту тіла (ℓ=20t), необхідно визначити тривалість цього польоту (t=t_пол). А оскільки в момент падіння тіла, h=0, то 10 – 5(t_пол)²= 0, звідси (t_пол)²=(10/5)=2с², звідси t_пол=√2=1,4с.

Розрахунки: ℓ=20t_пол= 20(м/с)1,4с= 28м.

Визначаючи величину швидкості тіла в момент його падіння, потрібно зважити на те, що ця швидкість має дві складові:

– горизонтальну v_x, значення якої залишається незмінною: v_x=v₀=20м/с

– вертикальну v_y, величина якої змінюється за законом v_y=gt.

Оскільки час польоту тіла відомий t_пол=√2=1,4с, то для моменту падіння v_y = gt_пол =14м/с.

Таким чином, результуючий вектор швидкості має дві складові: v_x=20м/с; v_y=14м/с. Знаючи правила додавання векторів та теорему Піфагора не важко визначити величину (v) результуючої швидкості: v=v_x + v_y

v =√(v_x² +v_y²) = √(20² + 14²) = √596 = 26,4м/с

Відповідь: ℓ=28м, v = 26,4м/с.

Задача 2. З якою горизонтальною швидкістю потрібно кинути тіло, щоб дальність його польоту дорівнювала тій висоті з якої кинули це тіло?

Дано:                                     Рішення:

h₀                        Виконуємо малюнок який відображає наявну ситуацію

ℓ = h₀                  та задаємо відповідну систему координат.

v₀ = ?                   Записуємо рівняння горизонтальної та вертикальної

складової даного руху (тобто формулу яка має вигляд х=х₀+v₀t+(a/2)t²).

– горизонтальний рух: оскільки х=ℓ; х₀=ℓ₀=0м; a=0м/с², то  ℓ=v₀t

– вертикальний рух: оскільки х=h; х₀=h₀; v₀=0м/с; a=g=10м/с², то  h=h₀ – gt²/2.

Таким чином даний рух описують два рівняння:

1) ℓ = v₀t;

2) h = h₀ – gt²/2.

Оскільки в момент падіння тіла (t=t_x), h=0м, то h₀ – gt_x²/2=0, звідси t_x = √(2h₀/g).

Таким чином, дальність польоту тіла визначається за формулою

ℓ=v₀√(2h₀/g), звідси v₀ =ℓ/√(2h₀/g) = ℓ√(g/2h₀).

Оскільки за умовою задачі ℓ=h₀  то  v₀ = h₀√(g/2h₀) = √(h₀g/2).

Відповідь: v₀ = √(h₀g/2).

Тепер, коли ви ознайомились з закономірностями руху тіла кинутого горизонтально, можна розглянути і більш загальний рух – рух тіла кинутого під кутом до горизонту.

Мал.19. Кінематика руху тіла кинутого під кутом до горизонту.

На перший погляд, такий рух здається значно складнішим за рух тіла кинутого горизонтально. Насправді ж відмінності між цими рухами не такі вже й суттєві. Дійсно. Якщо вектор початкової швидкості (v₀) розкласти на дві складові:

– горизонтальну  v_x=v₀ cosα

– вертикальну      v_y=v₀ sinα,

то даний криволінійний рух можна представити як результуючу двох лінійних рухів: рівномірного горизонтального та рівноприскореного вертикального. При цьому, кожен з цих рухів можна описати відповідним рівнянням. Наприклад, представлений на мал.19 рух, можна описати системою двох рівнянь:

ℓ=(v₀ cosα)t;

h=(v₀ sinα)t – gt²/2.

Доречно зауважити, що в процесі руху тіла кинутого під кутом до горизонту, горизонтальна складова його швидкості (v_x=v₀cosα) залишається незмінною (звичайно за умови не суттєвості опору повітря), а вертикальна складова цієї швидкості, змінюється за законом v_y = v₀ sinα – gt (спочатку зменшується до нуля, а потім збільшується).

Загальні зауваження. Сподіваюсь ви бодай щось чули про синус та косинус кута. А якщо не чули, то на даному етапі просто запам’ятайте:

кут  α	0°	30°	45°	60°	90°
sinα	0,00	0,50	0,71	0,87	1,00
cosα	1,00	0,87	0,71	0,50	0,00

 

Задача 3. Снаряд вилетів з дула гармати під кутом 30° до горизонту, з швидкістю 800м/с. Визначити дальність польоту снаряду та максимальну висоту його підйому.

Дано:                                    Рішення:

v₀ = 800м/с         Виконуємо малюнок який відображає наявну ситуацію

α = 30°               та задаємо відповідну систему координат.

ℓ = ?                  Розкладаємо вектор початкової швидкості (v₀) на дві складові:

h_м = ?               v_x=v₀cosα = v₀cos30° =  800(м/с)·0,87 = 696м/с;

.                                v_y=v₀sinα = v₀sin30° = 800(м/с)·0,5 = 400м/с.

Записуємо рівняння горизонтальної та вертикальної складової руху снаряду:

ℓ = (v₀cosα)t = 696t;

h = (v₀sinα)t – gt²/2 = 400t – 5t².

Виходячи з того, що в момент падіння h=0м, визначаємо час польоту снаряду:

якщо t=t_пол то  h = 400t – 5t² = 0, або t(400 – 5t) = 0, звідси

1) t = 0

2) 400 – 5t = 0, або  5t = 400, або  t = 400/5 = 80c.

Отримані результати говорять про те, що на нулевій висоті (h=0) снаряд побував двічі: в момент вильоту з дула гармати (t=0c); в момент падіння на землю (t=80с).

Оскільки, тривалість польоту снаряду визначається як проміжок часу між моментом його вильоту та моментом падіння, то ясно, що t_пол = 80с.

Знаючи час польоту снаряду, не важко визначити дальність його польоту:

ℓ = 696t_пол = 696(м/с)80с = 55680м = 55,68км.

Відповідь: ℓ = 55км; h_м = 8км.

Потрібно зауважити, що для тих швидкостей з якими рухаються кулі та снаряди, опір атмосферного повітря є дуже великим. Тому реальні параметри траєкторії руху снаряду, дальності та висоти його польоту, будуть суттєво відрізнятись від тих, які отримані без врахування опору повітря.

Задача 4. З балкону який знаходиться на висоті 10м, кинули камінь під кутом 45° до лінії горизонту. На якій відстані від підніжжя балкону впаде камінь, якщо його початкова швидкість 15м/с?

Дано:                                     Рішення:

h₀ = 10м               Виконуємо малюнок який відображає наявну ситуацію

v₀ = 10м/с            та задаємо відповідну систему координат. Розкладаємо

α = 45°                 вектор початкової швидкості на горизонтальну та

ℓ_пол= ?                   вертикальну складові:

.                              v_x= v₀cos45° =  10(м/с)·0,71 = 7,1м/с;

.                              v_y= v₀sin45° = 10(м/с)·0,71 = 7,1м/с.

Записуємо рівняння горизонтальної та вертикальної складової руху тіла:

ℓ = (v₀cosα)t = 7,1t;

h = h₀ + (v₀sinα)t – gt²/2 = 10 + 7,1t – 5t².

Виходячи з того, що в момент падіння тіла h=0м, визначаємо час його польоту:

якщо t=t_пол то  h = 10 + 7,1t – 5t² = 0.

Пам’ятаючи, що рішення квадратного рівняння має вигляд t_1,2 =[–b ± √(b² – 4ac)]/2a, можна записати t_1,2 =[–7,1 ± √(7,1² – 4(–5)10)]/2(–5) = [–7,1 ± √250]/(–10) = (–7,1 ± 15,8)/(–10). Звідси t₁ = 2,3c  t₂ = –0,8c.

Відповідь t₂ = –0,8c означає, що відповідна подія (тіло знаходилось на висоті 0м) відбулась в минулому. В минулому, в тому сенсі, що якби дане тіло за даним законом рухалось до початку відліку часу, тобто до того моменту коли воно було на висоті 10м, то на висоті 0м, воно було б за 0,8с до цього.

Таким чином, t_пол= 2,3с; ℓ_пол = 7,1t_пол = 7,1(м/с)2,3с = 16,3м.

Відповідь: ℓ_пол= 16,3м.

Контрольні запитання.

1.По якій траєкторії рухається тіло, кинуте горизонтально?

2. З яким прискоренням рухається тіло, кинуте горизонтально?

3. Чи залежить час польоту тіла, кинутого горизонтально, від величини його початкової швидкості?

4. Від чого залежить час польоту тіла кинутого горизонтально?

5. Від чого залежить дальність польоту тіла кинутого горизонтально?

6. Тіло кинули горизонтально. Як змінюється в процесі польоту швидкість тіла?

7. По якій траєкторії рухається тіло кинуте під кутом до горизонту?

8. Від чого залежить дальність польоту тіла кинутого під кутом до горизонту?

9. Як змінюється в процесі польоту швидкість тіла кинутого під кутом до горизонту?

Вправа 10.

1. Тіло, що знаходиться на висоті 15м кинули горизонтально з швидкістю 15м/с. Визначити горизонтальну дальність польоту тіла, та його швидкість в момент падіння.

2. Тіло, що знаходиться на висоті 15м кинули горизонтально з швидкістю 20 м/с. Визначите координати цього тіла через 1с польоту.

3. З вікна в горизонтальному напрямку кинули м’яч з швидкістю 10м/с. При цьому м’яч упав на землю через 2с. З якої висоти було кинуто м’яч і на якій відстані від будинку він упав?

4. У скільки разів зміниться час польоту тіла кинутого горизонтально з певної висоти, якщо цю висоту збільшити в 2 рази?

5. Тіло кинули під кутом 60° до горизонту, з швидкістю 20м/с. Визначити дальність польоту та максимальну висоту підйому тіла.

6. Тіло кинули з висоти 20м під кутом 30° до лінії горизонту. Визначте горизонтальну дальність польоту тіла, якщо його початкова швидкість 10м/с?

7. Камінь кинуто під кутом 30º до горизонту з швидкістю 10м/с. Через який час камінь буде на висоті 1м?

8. Тіло кинуто під кутом 60º до горизонту з початковою швидкістю 20м/с. Через який час воно рухатиметься під кутом 45º до горизонту?

 

§ 11. Рух матеріальної точки по колу. Доцентрове прискорення.

 

Довільний поступальний рух матеріальної точки (тіла) можна представити як певну сукупність прямолінійних та криволінійних ділянок. Наприклад, в процесі руху дорогами міста, траєкторія руху автомобіля зазвичай представляє собою певну сукупність прямолінійних та криволінійних ділянок (мал.20а).

В загальному випадку, криволінійна траєкторія руху матеріальної точки може бути надзвичайно складною. Однак будь яку криволінійну траєкторію, можна представити як певну сукупність фрагментів кіл (мал.20б). А це означає, що знаючи закономірності руху матеріальної точки по колу, можна описати будь який криволінійний рух.

 

Мал.20. Довільний рух матеріальної точки, представляє собою певну сукупність прямолінійних та криволінійних ділянок. При цьому, будь який криволінійний рух, можна представити як певну сукупність фрагментів кіл.

Характерною особливістю руху матеріальної точки по колу є те, що в незалежності від швидкості руху, ця точка завжди рухається з певним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком. Дійсно, припустимо що матеріальна точка з певною незмінною за величиною (модулем) швидкістю (|v₁| = |v₂| = … = const), рухається по колу радіусу R (мал.21а). Не важко бачити, що в процесі такого руху, напрям швидкості постійно змінюється(v₁ ≠ v₂ ≠… ≠ const). А це означає, що відповідна точка рухається з певним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком. Це прискорення називають доцентровим (позн. а_д). Така назва обумовлена фактом того, що в будь якій точці траєкторії, доцентрове прискорення направлено до центру того кола яке описує відповідна точка (мал.21б).

      

.            v₁ = v₂  = const

.            v₁ ≠ v₂  ≠ const

Мал.21. В процесі руху матеріальної точки по колу, напрям її швидкості постійно змінюється і тому вона рухається з відповідним прискоренням.

Виходячи з визначального рівняння прискорення (а=∆v/∆t), можна довести, що величина доцентрового прискорення визначається за формулою а_д =v²/R, де v – швидкість тіла в даній точці траєкторії; R – радіус кривизни цієї траєкторії.

Доцентрове прискорення – це таке прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке дорівнює відношенню квадрату швидкості руху тіла (матеріальної точки) до радіусу кривизни його траєкторії у відповідній точці.

Позначається: а_д

Визначальне рівняння: а_д=v²/R

Одиниця вимірювання: [а_д]= м/с²,  метр за секунду в квадраті.

Таким чином, якщо тіло рухається по колу, то в незалежності від того змінюється модуль його швидкості, чи не змінюється, це тіло має певне доцентрове прискорення, величина якого визначається за формулою  а_д=v²/R, і яке завжди направлено до центру відповідного кола.

Не важко збагнути, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення неминуче дорівнює нулю. І це природньо. Адже на таких ділянках, напрям швидкості залишається незмінним і тому прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком має бути нулевим. Те, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення дорівнює нулю, випливає не лише з визначення цього прискорення, а й з його визначального рівняння. Дійсно. Будь-яку прямолінійну ділянку траєкторії, можна вважати частиною кола з безкінечно великим радіусом (R = ∞). А це означає, що для таких ділянок a_д=v²/R=v²/∞= 0.

Якщо швидкість тіла змінюється як за величиною так і за напрямком, то воно має як звичайне (лінійне, тангенціальне) прискорення [а_л=(v_к–v_п)/t] так і доцентрове прискорення (a_д=v²/R). Потрібно зауважити, що в тих випадках коли швидкість руху тіла змінюється як за величиною так і за напрямком, те прискорення яке характеризує зміну швидкості за величиною [а=(v_к–v_п)/t] і яке ми зазвичай називаємо «прискорення», називають лінійним або тангенціальним прискоренням (а_л). Векторну суму лінійного [а_л=(v_к–v_п)/t] та доцентрового (a_д=v²/R)  прискорень називають повним прискоренням тіла.

          Повне прискорення – це таке прискорення, яке дорівнює векторній сумі лінійного і доцентрового прискорень тіла.

Позначається: а

Визначальне рівняння : а = а_л + а_д

Одиниця вимірювання: [а]= м/с²,  метр за секунду в квадраті

Оскільки вектори  а_л і  а_д   взаємно перпендикулярні, то величину повного прискорення можна визначити за формулою  а=√(а_л²+а_д²)

         

Мал.22. Якщо швидкість тіла змінюється як за  величиною так і за напрямком,  то його повне прискорення визначається як векторна сума лінійного і доцентрового прискорень.

По суті прискорення а=∆v/∆t і повне прискорення  а=а_л+а_д, це одне і те ж прискорення, але визначене по різному. При цьому формула а=а_л+а_д є тією практично значимою формулою, яка дозволяє визначити фактичну величину прискорення в ситуаціях, коли швидкість тіла змінюється як за величиною так і за напрямком.

Рух по колу є надзвичайно поширеним як в природі загалом так і в штучно створеній техніці зокрема. По колу рухаються елементи коліс, шківів, валів та шестерень машин і механізмів. По колу рухаються точки секундних, хвилинних та годинникових стрілок годинників, лопатей вентиляторів, вітряків, турбін та корабельних двигунів. Практично по колу Місяць обертається навколо Землі, Земля – навколо Сонця, Сонце – навколо центру Галактики, а Галактика – навколо центру Метагалактики. Певною комбінації кіл рухаємся ми з вами в процесі обертання Землі навколо своєї осі, навколо Сонця, навколо центра Галактики та центра Метагалактики.

 

Мал. 23. Деякі приклади руху тіл та елементів тіл по колу.

Якщо в процесі руху по колу, модуль швидкості матеріальної точки залишається незмінним (v=const), то відповідний рух називають рівномірним рухом матеріальної точки по колу. Рівномірний рух матеріальної точки по колу характеризується не лише певною швидкістю (v) та певним доцентровим прискоренням (а_д), а й певною повторюваністю (періодичністю). Цю повторюваність характеризують двома величинами: періодом обертання (Т) та частотою обертання (ν). Наприклад, період обертання секундної стрілки годинника становить 60с, період обертання Землі навколо своєї осі – одна доба (Т=доба=86400с); період обертання Місяця навколо Землі – 27,3доби (Т=27,3доби=2,36·10⁶с); період обертання Землі навколо Сонця – один рік (Т=рік=3,2·10⁷с); період обертання Сонячної системи навколо центру Галактики – 240 мільйонів земних років.

 

Мал.24. Рівномірний рух по колу, характеризується не лише певною швидкістю (v) та певним доцентровим прискоренням (а_д), а й певною повторюваністю (періодичністю).

Період обертання (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) обертального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює один повний оберт.

Позначається: Т

Визначальне рівняння: Т = t/n, де n – кількість обертів системи здійснених за час t;

Одиниця вимірювання: [Т] = с,  секунда.

Наприклад, якщо матеріальна точка в процесі рівномірного руху по колу за 5с здійснила 10 обертів, то період її обертання 0,5с:  Т= t/n = 5с/10= 0,5с.

Частота обертання (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність обертального процесу і яка дорівнює тій кількості обертів системи, яку вона здійснює за одиницю часу.

Позначається: ν (ню)

Визначальне рівняння: ν = n/t

Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц,  герц.

Наприклад, якщо матеріальна точка в процесі рівномірного руху по колу за 5с здійснила 10 обертів, то період її обертання 2Гц:  ν=n/t=10/5c=2(1/с)=2Гц.

Із визначальних рівнянь періоду і частоти (T=t/n; ν=n/t) з усією очевидністю випливає, що ці фізичні величини взаємопов’язані, і що цю взаємопов’язаність відображають співвідношення: T=1/ν; ν=1/T. Тому якщо, наприклад, за умовою задачі задано період обертання системи Т=4с, то ви завжди можете визначити частоту цього обертання ν=1/Т=1/4с=0,25Гц, і навпаки, якщо ν = 50Гц, то Т=1/50Гц=0,02с.

Задача 1. За 10с колесо автомобіля зовнішній радіус якого 25см, здійснює 100 обертів. Визначте період та частоту обертання колеса. Визначте  швидкість руху автомобіля.

Дано:             СІ                                 Рішення:

t = 10с             –           Оскільки за визначенням T=t/n; ν=n/t, то

n = 100            –           Т=10с/100=0,1с;

R=25см       0,25м       ν=100/10с=10Гц.

T=?; ν=?                       Оскільки v=s/t, та зважаючи, що за один

v_авт = ?                          оберт колеса (за t=Т), автомобіль

.                                      переміщується на s=2πR, можна записати

v_авт =s/t=2πR/T=2·3,14·0,25м/0,1с=15,7м/c=56,5км/год.

Відповідь: Т=0,1с; ν=10Гц; v_авт=15,7м/с.

Задача 3. Відомо, що радіус Землі 6370км, а період її обертання навколо власної осі 1 доба. Визначити швидкість обертання тих тіл які знаходяться на екваторі Землі та величину їх доцентрового прискорення.

Дано:                 СІ:                          Рішення:

R = 6400км    6,4·10⁶м          Оскільки за визначенням v=s/t,

T = 1доба       8,64·10⁴с        та враховуючи, що за один повний

v = ?  а_д = ?                            оберт Землі (t=T), ті тіла які знаходяться

на її екваторі проходять шлях s=2πR, можна записати v =s/t=2πR/T.

Розрахунки: v =2πR/T = 2·3,14·6,4·10⁶м/8,64·10⁴с = 465м/с = 1670км/год.

Оскільки за визначенням a_д=v²/R, то

a_д=v²/R = (465(м/с))²/6,4·10⁶м = 0,216·10⁶/6,4·10⁶ = 0,034м/с².

Відповідь: v = 1670км/год; а_д = 0,034м/с².

Контрольні запитання.

1.Чому матеріальна точка, яка з постійною за модулем швидкістю рухається по колу, рухається з прискоренням? Як називається це прискорення? Чому воно має таку назву?

2. Доведіть, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення завжди дорівнює нулю.

3. Чи може тіло, яке рухається прямолінійно, рухатись з доцентровим прискореннями? з лінійним прискоренням?

4. Чи може тіло, яке рухається по колу, рухатись без доцентрового прискорення? без лінійного прискорення?

5. Чи може повне прискорення тіла дорівнювати його лінійному прискоренню? його доцентровому прискоренню? нулю?

6. Які величини характеризують повторюваність обертального руху? Як пов’язані ці величини?

7. Доведіть, що між періодом обертання Т, радіусом кола R та тією лінійною швидкістю v з якою матеріальна точка рухається по колу, існує співвідношення v=2πR/T.

8. Чому в процесі добового обертання Землі, лінійні швидкості різних за широтою точок її поверхні є різними? В яких місцях ця швидкість є найбільшою, а в яких – найменшою?

Вправа №11.

1.Автомобіль рухається заокругленням дороги радіус якого 100м, зі швидкістю 36км/год. Чому дорівнює доцентрове прискорення автомобіля?

2. Якого радіусу має бути заокруглення дороги, щоб при швидкості 72км/год доцентрове прискорення автомобіля становило 1м/с²?

3. За 20 секунд колесо автомобіля здійснює 40 обертів. Визначити період та частоту обертання колеса.

4. Визначити період і частоту обертання секундної, хвилинної та годинникової стрілок годинника.

5. Вал діаметром 20см при обертанні робить один оберт за 0,4с. Визначте лінійну швидкість точок на поверхні вала.

6. Частота обертання коліс автомобіля 15Гц. З якою швидкістю рухається автомобіль, якщо зовнішній радіус його коліс 30см?

7. З якою лінійною швидкістю Земля обертається навколо Сонця, якщо радіус земної орбіти 1,5∙10⁸км? Порівняйте цю швидкість зі швидкістю кулі 0,5км/с. Зробіть висновки.

 

§ 12. Основні поняття, величини та закони кінематики обертального руху.

 

Нагадаємо. Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання. Оскільки при обертальному русі, різні точки тіла мають суттєво різні кінематичні характеристики (рухаються з різними швидкостями та прискореннями, описують різні траєкторії, проходять різні шляхи, тощо), то ясно, що описуючи такий рух, представляти тіло у вигляді матеріальної точки не припустимо. Як правило, в кінематиці обертального руху, реальне тіло представляють не у вигляді матеріальної точки, а у вигляді так званого абсолютно твердого тіла. Абсолютно тверде тіло – це таке умовне (ідеалізоване) тіло, яке в процесі механічних рухів та взаємодій не деформується.

До числа основних фізичних величин кінематики обертального руху відносяться: час (t), кутова координата (φ), кут повороту (Δφ), кутова швидкість (ω), кутове прискорення (ε).

Визначаючи базові величини кінематики обертального руху і перш за все ту, яка називається кутовою координатою (φ), або просто кутом, можна сказати наступне. В кінематиці поступального руху, розташування (місцезнаходження) матеріальної точки визначають її координатою (х). При цьому, в процесі поступального руху матеріальної точки, відповідно змінюється і її координата. Якщо ж говорити про обертальний рух тіла, то в процесі цього руху, координата тіла (тіла як матеріальної точки) по суті залишається незмінною. При обертальному русі, змінюється не координатне положення тіла, а його кутова орієнтація (мал.25). Цю орієнтацію характеризують величиною, яка називається кутом, а точніше – кутовою координатою.

 

Мал.25. В процесі обертального руху тіла змінюється його кутова орієнтація.

Кутова координата (кут) – це фізична величина, яка характеризує просторову (кутову) орієнтацію тіла в вибраній системі координат і яка дорівнює відношенню довжини тієї дуги що обмежує даний центральний кут, до радіусу цієї дуги.

Позначається: φ

Визначальне рівняння: φ=ℓ/R

Одиниця вимірювання: [φ]=рад,   радіан.

Із визначального рівняння φ=ℓ/R ясно, що виміряти кут в радіанах, означає поділити довжину тієї дуги (ℓ) що обмежує даний кут, на радіус цієї дуги (R). При цьому, якщо довжина обмежуючої дуги дорівнює її радіусу (ℓ=R), то відповідний кут дорівнює одному радіану (від слова «радіус»).

Радіан – це одиниця вимірювання кутових величин, яка дорівнює такому центральному куту, довжина обмежуючої дуги якого дорівнює радіусу цієї дуги. По суті, радіан – величина безрозмірна [φ]=м/м=рад. Однак, щоб підкреслити, факт того, що ця безрозмірна величина характеризує саме кутову орієнтацію тіла, вона має спеціальну назву – радіан.

Вимірювання показують, що у повному колі міститься приблизно 6,28 радіан, а точніше 2π радіан, де π=3,141592653…≈ 3,14. Відображенням даного факту є та формула за якою визначають довжину кола: ℓ=2πR.

  

Мал.26. Радіан – такий центральний кут, довжина обмежуючої дуги якого дорівнює радіусу цієї дуги. Градус – це такий центральний кут, який дорівнює 1/360 частині кола.

Напевно ви знаєте, що в математиці, геометрії та повсякденному житті, кутові величини зазвичай вимірюють не в радіанах, а в градусах. Градус – це одиниця вимірювання кутових величин, яка дорівнює такому центральному куту, що становить триста шістдесяту (1/360) частину повного кола. Іншими словами, якщо коло поділити на 360 рівних частин, то кутовий сектор в одну таку частину і є градусом.

Як ви думаєте, чому визначаючи одиницю кутових величин, люди з незапам’ятних часів, поділили коло на 360 частин? Не на 10, не на 100, чи скажімо на 250, а саме на 360? Правильно! З незапам’ятних часів, люди звернули увагу на те, що приблизно через 360 днів, все в цьому світі повторюється. Виходячи з цієї повторюваності, коло життя, а за ним і геометричне коло, поділили на 360 частин.

З практичної точки зору, градус є надзвичайно зручною одиницею. Тому в сфері геометричних побудов та повсякденного життя, кутові величини зазвичай вимірюють в градусах. Але, ця одиниця має один суттєвий недолік – вона жодним чином не пов’язана з параметрами того кола яке ми поділили на певну кількість кутових сегментів. А це означає, що градус не є органічною частиною цілісної системи взаємопов’язаних одиниць, а отже і цілісної системи знань про навколишній світ.

Для того щоб одиниця вимірювання кутових величин стала органічною частиною цілісної системи знань, коло потрібно поділити не так як нам подобається, чи здається зручним, а так щоб цей поділ відображав той реальний зв’язок який існує між кутовими та лінійними величинами. А цей зв’язок полягає в тому, що для будь якого кутового сегменту (φ) відношення його обмежуючої дуги (ℓ) до радіусу цієї дуги (R) є постійною величиною. Власне це відношення і є тим кутом, величина якого виміряна в радіанах.

Оскільки у повному колі, з одного боку міститься 360 градусів, а з іншого – 2π радіан, то між відповідними одиницями існує співвідношення 2π(рад)=360º. Звідси випливає, що 1рад=360º/2π ≈ 57º.

З побутово-практичної точки зору, вимірювати кутові величини в радіанах (1рад ≈ 57º) досить незручно. Тому в побутовій практиці та при геометричних побудовах, кутові величини зазвичай вимірюють в градусах. Однак якщо мова йде про фізику та сучасну науку загалом, то в ній основною одиницею вимірювання кутових величин є не градус, а радіан. Адже виміряний в радіанах кут є не лише мірою кутових величин, а й певним відображенням тих зв’язків, які об’єктивно існують між кутовими та лінійними величинами.

Тепер, коли ви знаєте що просторову орієнтацію тіла характеризують певним кутом і що величина цього кута вимірюється в радіанах, можна визначити й інші характеристики обертального руху тіла, зокрема його кут повороту, кутову швидкість та кутове прискорення.

Кут повороту – це фізична величина, яка характеризує кут повороту тіла і яка дорівнює цьому куту (тобто тому куту, на який повернулось тіло в процесі свого обертального руху).

Позначається: ∆φ

Визначальне рівняння: ∆φ=φ_к – φ₀

Одиниця вимірювання: [∆φ]=рад,  радіан.

Кутова швидкість – це фізична величина, яка характеризує кутову швидкість тіла (швидкість обертального руху тіла) і яка показує на який кут повертається тіло за одиницю часу.

Позначається: ω

Визначальне рівняння: ω=∆φ/∆t

Одиниця вимірювання: [ω]=рад/с,  радіан за секунду.

Кутове прискорення – це фізична величина, яка характеризує кутове прискорення тіла і яка показує на скільки змінюється кутова швидкість тіла за одиницю часу.

Позначається: ε

Визначальне рівняння: ε=∆ω/∆t

Одиниця вимірювання: [ε]=рад/с²,  радіан за секунду в квадраті.

По суті, кутова швидкість (ω) та кутове прискорення (ε) – величини векторні. Однак, зважаючи на факт того, що в межах програми загальноосвітньої школи, вивчають лише загальні основи механіки обертального руху, ми не будемо формулювати ті правила які визначають напрям цих векторів. Натомість будемо просто вважати, що кутова швидкість того тіла яке обертається за годинниковою стрілкою має знак «+», а проти годинникової стрілки – знак «–». При цьому, якщо в процесі обертання, кутова швидкість збільшується, то знаки кутової швидкості та кутового прискорення є однаковими. А якщо ця швидкість зменшується, то відповідні знаки є різними.

Основний закон кінематики обертального руху називається рівнянням обертального руху. В цьому законі стверджується: в загальному випадку обертальний рух тіла можна описати рівнянням  φ = φ₀ + ω₀t + (ε/2)t²

де  φ – кутова координата тіла в момент часу t;

φ₀ – початкова кутова координата тіла;

ω₀ – початкова кутова швидкість тіла;

ε – кутове прискорення тіла.

В кінематиці обертального руху, рівняння φ=φ₀+ω₀t+(ε/2)t² відіграє ту ж роль, що і рівняння х=х₀+v₀t+(a/2)/t² в кінематиці поступального руху. А це означає, що на основі аналізу рівняння обертального руху тіла, можна розв’язати безліч задач які стосуються цього руху. Втім, програма загальноосвітньої школи не передбачає розв’язування подібних задач. Зважаючи на ці обставини, обмежимся лише тією загальною характеристикою обертального руху, яка з усією очевидністю випливає з аналізу рівняння цього руху.

Задача. За заданим рівнянням обертального руху φ=π/2+10t–0,1t² дати загальну характеристику цього руху.

Із порівняльного аналізу рівнянь

φ = φ₀ + ω₀t + (ε/2)t²

φ = π/2 + 10t –  0,1t²

ясно: φ₀ = π/2 рад;  ω₀ = 10 рад/с;  ε = –0,2 рад/с²;  ω↓.

Це означає, що в заданій системі координат, початкова кутова координата тіла відповідає куту π/2 рад. При цьому тіло обертається в додатному напрямку (за годинниковою стрілкою) з початковою кутовою швидкістю 10 рад/с. Величина цієї швидкості зменшується, а числове значення кутового прискорення становить 0,2 рад/с² .

          Поділ механічних рухів на поступальні та обертальні, в значній мірі є умовним. Наприклад кабіна «оглядового колеса» (мал.27а), з одного боку, рухається поступально (в процесі руху будь яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі), а з іншого – обертально (в процесі руху, всі точки кабіни описують практично концентричні кола). Загалом, рух будь якої матеріальної точки по колу, з одного боку можна вважати обертальним, а з іншого – поступальним. А це означає, що описуючи такий рух, з одного боку говорять про кутову швидкість (ω), кутове прискорення (ε) і кут повороту (∆φ), а з іншого – про лінійну швидкість (v), лінійне прискорення (a) та пройдений шлях (s).

  

Мал.27. Рух кабіни «оглядового колеса» (а) та рух матеріальної точки по колу (б), одночасно є як поступальним так і обертальним.

Оскільки у вище наведених прикладах мова йде про один і той же поступально-обертальний рух, то між параметрами його поступальної та обертальної складових, існують певні кількісні співвідношення. Власне, ці співвідношення випливають із визначальних рівнянь відповідних фізичних величин. Дійсно. Якщо в процесі обертального руху матеріальна точка здійснює поворот на кут ∆φ=s/R, то її лінійне переміщення (пройдений шлях) становитиме s=∆φR. Якщо кутова швидкість матеріальної точки ω, то її лінійна швидкість v=ωR (за визначенням ω = ∆φ/∆t = s/∆tR = v/R, звідси v=ωR). Якщо кутове прискорення матеріальної точки ε, то її лінійне прискорення а = εR (за визначенням ε = ∆ω/∆t = ∆v/R∆t = a/R, звідси а=εR).

Аналізуючи параметри та закони поступального і обертального рухів, не важко бачити, що між цими параметрами та законами є певні очевидні аналогії. Ці аналогії можна представити у вигляді наступної узагальнюючої таблиці.

 

Параметри та закони поступального руху	Параметри та закони обертального руху	Взаємопов’язаність цих параметрів
час                         t	час                         t	t=t
координата           x=ℓ	кутова                   φ=ℓ/R координата	ℓ=φR
пройдений            s=∆x шлях	кут                        ∆φ=s/R повороту	s=∆φR
швидкість         v=∆x/∆t	кутова                   ω=∆φ/∆t швидкість	v=ωR
прискорення     a=∆v/∆t	кутове                  ε=∆ω/∆t прискорення	a=εR
доцентрове       aд=v2/R прискорення	_	ад=ω2R
рівняння поступального руху  x = x0 + v0t + (a/2)t2	рівняння обертального руху  φ = φ0 + ω0t +(ε/2)t2

Крім всього іншого, обертальний рух тіла, це ще й певний періодичний процес. А це означає, що між параметрами обертального руху тіла (Δφ, ω, ε) та параметрами періодичності цього руху (Т=t/n,  ν=n/t) існують певні співвідношення. Найбільш поширеним серед них є формула, яка відображає зв’язок між кутовою швидкістю (ω) тіла та частотою (ν) його обертання: ω=2πν;  (ω=Δφ/Δt=2πn/Δt=2πν).

Контрольні  запитання.

1.Чому, описуючи обертальний рух тіла, це тіло не можна представляти у вигляді матеріальної точки?

2. Чому визначаючи кутовий градус, коло поділили на 360 частин?

3. Чому, в науковій практиці основною одиницею вимірювання кутових величин є не градус а радіан?

4. Якщо в будь якому повному колі міститься 2π радіан, то чому дорівнює довжина кола?

5. Чому дорівнює кут повороту хвилинної стрілки годинника за 15хв; за 30хв; за 2 години? Відповідь дайте в градусах та в радіанах.

6. Які величини характеризують обертальний рух тіла?

7. Чи однаковою є кутова швидкість різних точок тіла при його обертальному русі?

8. Чи однаковою є лінійна швидкість різних точок тіла при його обертальному русі?

9. Чи однаковим є кутове прискорення різних точок тіла при його обертальному русі?

10. Чи однаковим є доцентрове прискорення різних точок тіла при його обертальному русі?

Вправа 12.

1.Визначте кутову швидкість секундної, хвилинної та годинної стрілок годинника.

2. За заданим рівнянням обертального руху, дати загальну характеристику цього руху: а) φ = –2π/3 + 8t – 0,1t²; б) φ = π – 10t – 0,2t²; в) φ = –5t + 0,2t².

3. Колесо обертається з кутовою швидкістю 12рад/с. Визначити лінійні швидкості та доцентрові прискорення точок віддалених від осі обертання на: а) 10см; б) 20см; в) 30см. Зробити висновки.

4. Вал діаметром 20см обертається з частотою 20Гц. Визначити лінійну швидкість поверхневих точок валу та їх доцентрове прискорення.

5. Знаючи період обертання Землі навколо своєї осі, визначте кутову швидкість цього обертання.

6. Колесо велосипеда має діаметр 80см. З якою швидкістю їде велосипед, якщо колесо робить 180об/хв? З яким доцентровим прискоренням рухаються точки його поверхні?

7. Колесо діаметром 60см, рухаючись рівномірно проходить відстань 4м за 4с. Яка кутова швидкість обертання колеса? Який період його обертання?

8. Щоб шліфувальний камінь діаметром 30см не зруйнувався, лінійна швидкість точок його поверхневого шару не повинна перевищувати 100м/с. Визначте максимально допустиму частоту обертання цього каменя. Визначте доцентрове прискорення його поверхневих точок.

 

§ 13. Розв’язування задач. Тема: Кінематика обертального руху.

 

          Задача 1. Колесо радіус якого 30см обертається з кутовою швидкістю 10рад/с. Визначити лінійні швидкості колеса віддалених від осі обертання на: а) 0см; б) 10см; в) 20см; г) 30см.

Дано:                                      Рішення:

ω = 10 рад/с              Оскільки між кутовою (ω) та лінійною (v) швидкостями

r₁ = 0см                      того тіла що обертається існує співвідношення v=ωR, то:

r₂ = 10см                     v₁ = ωr₁ = 10(рад/с)·0см = 0см/с;

r₃ = 20см                     v₂ = ωr₂ = 10(рад/с)·10см = 100см/с;

r₄ = 30см                     v₃ = ωr₃ = 10(рад/с)·20см = 200см/с;

v₁, v₂, v₃, v₄ – ?            v₄ = ωr₄ = 10(рад/с)·30см = 300см/с.

Висновок: При сугубо обертальному русі тіла, по мірі віддалення від осі обертання, лінійні швидкості його точок збільшуються. При цьому швидкості діаметрально протилежних точок тіла мають протилежні напрямки.

          Задача 2. Колесо радіусом R з постійною кутовою швидкістю ω котиться горизонтальною поверхнею. Визначити лінійні швидкості верхньої (Р), нижньої (О) та центральної (С) точок колеса.

Дано:                                         Рішення:

R                           Для того щоб визначити лінійні швидкості точок Р, О, С,

ω                           потрібно усвідомити факт того, що точка О, тобто та

v_Р=?  v_О=? v_С=?     точка в якій колесо в даний момент часу жорстко контактує

.                               з нерухомою поверхнею, має нулеву швидкість: v_О=0.

На перший погляд таке твердження здається суперечливим. Адже точка О є не від’ємною частиною колеса що обертається і тому, як будь яка інша частина цього колеса, повинна мати лінійну обертальну швидкість v_об=ωR (мал.а). І це дійсно так. Однак з іншого боку, потрібно врахувати факт того, що наше колесо не просто обертається, а ще й поступально рухається, причому рухається з швидкістю v_пост=ωR (мал.б). Дійсно. Оскільки за один оберт колеса, тобто за той проміжок часу який називається періодом обертання (t=T), колесо проходить відстань ℓ=2πR, то v_пост=ℓ/t=2πR/T=2πνR=ωR.

Таким чином, всі точки кола приймають участь в двох одночасних рухах: поступальному та обертальному. А це означає, що кожна точка колеса має дві складові лінійної швидкості: обертальну v_об та поступальну v_пост. При цьому величина поступальної складової швидкості для всіх точок колеса є однаковою і чисельно рівною v_пост=ωR. А величина обертальної складової – для різних точок є різною (різною як за величиною так і за напрямком) і такою що змінюється від 0 до ωR. Результатом векторного додавання цих двох швидкостей є певна результуюча швидкість, яка власне і є швидкістю поступального руху відповідної точки колеса (мал.в). І не важко бачити, що для точок О, С, Р величина результуючої швидкості дорівнює:

точка О: v_р = ωR – ωR = 0;

точка C: v_р = ωR + 0 = ωR;

точка P: v_р = ωR + ωR = 2ωR.

  

Висновок: При обертально-поступальному русі тіла, лінійна швидкість тієї точки яка контактує з нерухомою поверхнею, дорівнює нулю. При цьому лінійні швидкості інших точок є різними і для точок вертикальної осі змінюються від 0 до 2ωR.

Задача 3.  Обертальний рух від шківа 1 до шківа 2 передається за допомогою паскової передачі. Визначити частоту обертання шківа 2, якщо шків 1 робить 1200об/хв, а радіуси шківів становлять R₁=8см, R₂=32см.

 

Дано:                                          Рішення:

ν₁=1200об/хв        Оскільки шківи 1 і 2 жорстко (без ковзання) з’єднані

R₁ = 8см                 пасковою передачею, то лінійні швидкості точок їх

R₂ = 32см               поверхонь v₁ і v₂ є однаковими: v₁=v₂.

ν₂ = ?                    А враховуючи що v₁=ω₁R₁=2πν₁R₁, можна записати v₂=2πν₁R₁.

.                              З іншого боку v₂=ω₂R₂=2πν₂R₂, тому 2πν₂R₂ = 2πν₁R₁.

.                              Звідси ν₂ = ν₁R₁/R₂.

.                              Розрахунки: ν₂ = ν₁R₁/R₂ = 1200(об/хв)8см/32см = 300об/хв.

.                              Відповідь: ν₂ = 300об/хв.

Задача 4. За заданим рівнянням обертального руху φ = π – 12t + 0,2t²

1) дати загальну характеристику руху;

2) визначити кут повороту тіла за 10с;

3) визначте кутову швидкість тіла через 10с;

4) через який час тіло зупиниться?

5) скільки обертів зробить тіло до моменту зупинки?

Рішення. 1) Дати загальну характеристику руху.

Із порівняльного аналізу рівнянь

φ = φ₀ + ω₀t + (ε/2)t²

φ = π – 12t + 0,2t²

ясно: φ₀ = π рад;  ω₀ = –12 рад/с;  ε = 0,4 рад/с²;  ω↓.

Це означає, що в заданій системі координат, початкова кутова координата тіла відповідає куту π рад. При цьому тіло обертається у від’ємному напрямку (проти годинникової стрілки) з початковою кутовою швидкістю 12 рад/с. Величина цієї швидкості зменшується, а числове значення кутового прискорення становить 0,4 рад/с².

2) Визначити кут повороту тіла за 10с: Δφ(10) = ?

Оскільки за визначенням Δφ = φ_к – φ_п = φ(10) – φ₀, та враховуючи, що

φ(10) = π – 12(10) + 0,2(10)² = π – 120 + 20 = π – 100, можна записати

Δφ(10) = π – 100 – π = –100 рад.

Це означає, що за 10с тіло повернеться у від’ємному напрямку (проти годинникової стрілки) на кут величиною 100 рад.

3) Визначте кутову швидкість тіла через 10с:  ω(10) = ?

Подібно до того як при рівноприскореному (а=cons) поступальному русі v=v₀+at, при рівноприскореному (ε=const) обертальному русі ω=ω₀+εt. В умовах нашої задачі ω = –12 + 0,4t. При цьому ω(10) = –12 + 0,4(10) = –8 рад/с.

4) Через який час тіло зупиниться? t_зуп= ?

Оскільки в момент зупинки ω = 0, то  –12 + 0,4t_зуп = 0, звідси t_зуп=12/0,4=30с.

5) Скільки обертів зробить тіло до моменту зупинки? n_зуп= ?

Якщо за час t тіло повертається на кут Δφ радіан, а за один оберт – на кут 2π радіан, то кількість обертів за час t можна визначити за формулою n = Δφ/2π. В умовах нашої задачі n_зуп= Δφ_зуп/2π = (φ(30) – φ₀)/2π.

φ(30) = π – 12(30) + 0,2(30)² = π – 360 + 180 = π – 180,

Δφ_зуп = π – 180 – π = –180 рад,

n_зуп= Δφ_зуп/2π = –180/2π = –180рад/6,28рад = –28,66 обертів, де знак «–» вказує на те, що тіло оберталось у від’ємному напрямку (проти годинникової стрілки).

Вправа 13.

1.За заданим рівнянням обертального руху, дати загальну характеристику цього руху: а) φ = π/3 + 10t – 0,3t²; б) φ = –π + 10t; в) φ = –12t + 0,2t².

2. Колесо радіусом 30см з постійною кутовою швидкістю 10рад/с котиться горизонтальною поверхнею. Визначити лінійні швидкості верхньої (Р), нижньої (О) та центральної (С) точок колеса.

3. Колесо радіусом 30см з постійною кутовою швидкістю 10рад/с котиться горизонтальною поверхнею. Визначити доцентрові прискорення верхньої (Р), нижньої (О) та центральної (С) точок колеса.

4. Обертальний рух від шківа 1 до шківа 2 передається за допомогою паскової передачі. Визначити частоту обертання шківа 2, якщо шків 1 робить 360об/хв, а радіуси шківів становлять R₁=36см, R₂=12см.

5. За заданим рівнянням обертального руху φ = π/2 + 10t – 0,1t²

1) дати загальну характеристику руху;

2) визначити кут повороту тіла за 10с;

3) визначте кутову швидкість тіла через 10с;

4) через який час тіло зупиниться?

5) скільки обертів зробить тіло до моменту зупинки?

6. Діаметр педальної шестерні велосипеда 32см. Вона з’єднана ланцюговою передачею з малою шестернею діаметром 8см, яка в свою чергу, жорстко з’єднана з колесом велосипеда діаметр якого 72см. Частота обертання педальної шестерні 1Гц. Визначте швидкість руху велосипеда.

 

§ 14. Кінематика. Узагальнююче повторення.

 

Важливою складовою процесу вивчення фізики є узагальнюючі повторення. Мета такого повторення полягає в тому, щоб із всього різноманіття попередньо отриманої інформації, виділити основну і представити її у вигляді гранично стислої системи знань. Зазвичай узагальнення та систематизація вивченого в межах тієї чи іншої теми, відбувається за схемою: основні поняття – основні фізичні величини – основні закони – практичне застосування отриманих знань. Власне за такою схемою і будемо узагальнювати вивчене в кінематиці, статиці та динаміці.

Кінематика – це розділ механіки, в якому вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл, без врахування їх  мас і діючих на них сил. Іншими словами, в кінематиці вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл і не вивчають причини цього руху.

До числа основних понять кінематики, тобто тих загальних термінів які є термінологічною основою кінематики, відносяться: механічний рух, поступальний рух, обертальний рух, матеріальна точка, відносність руху, система відліку.

          Механічний рух – це такий рух (процес), при якому тіло як єдине ціле переміщується відносно інших тіл. Розрізняють дві прості різновидності механічного руху: рух поступальний та рух обертальний. Поступальний рух – це такий механічний рух, при якому будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі. При поступальному русі всі точки тіла рухаються однаково: мають однакові траєкторії руху, за однакові проміжки часу проходять однакові відстані, мають однакові швидкості, однакові прискорення, тощо. Зважаючи на ці обставини, описуючи поступальний рух тіла, це тіло зазвичай замінюють його спрощеною (ідеалізованою) моделлю, яку прийняти називати матеріальною точкою. Матеріальна точка, це така умовна точка, якою теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли розмірами, формою та внутрішнім устроєм цього тіла можна знехтувати. Матеріальна точка зберігає лише одну механічну характеристику реального тіла – його масу.

Будь який механічний рух є відносним. Це означає, що в різних системах відліку, один і той же механічний рух може виглядати по різному. Тому описуючи той чи інший рух, потрібно вказувати в якій системі відліку цей рух описується. Система відліку – це взаємопов’язана сукупність точки відліку, системи координат та вимірювача часу, яка застосовується для того, щоб кількісно описати механічний рух матеріальної точки (тіла) в цій системі.

До числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час, координата, пройдений шлях, швидкість, прискорення.

Час  – це фізична величина,  яка характеризує  тривалість подій ( явищ, процесів, рухів, тощо) і яка дорівнює цій тривалості.

Позначається:  t

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:   [t] = с, (секунда)

Координата – це фізична величина, яка характеризує положення (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат і яка дорівнює відстані від  точки відліку цієї системи до проекції даної точки на відповідну вісь координат.

Позначається: х

Визначальне рівняння: х =ℓ_х

Одиниця вимірювання: [х] = м, (метр)

Пройдений  шлях – це фізична величина, яка характеризує пройдений матеріальною точкою (тілом) шлях і яка дорівнює довжині тієї траєкторії яку описує ця точка в процесі відповідного руху.

 Позначається: s

Визначальне  рівняння: s = ℓ_тр, для прямолінійного руху s =∆х=х_к – х₀

Одиниця вимірювання: [s] = м.

Швидкість – це фізична величина, яка характеризує швидкість поступального руху тіла (матеріальної точки), і яка дорівнює відношенню вектора того переміщення Δх яке здійснило тіло за гранично малий проміжок часу Δt, до величини цього проміжку часу.

Позначається: v

Визначальне рівняння: v=∆x/∆t, для прямолінійного руху v=∆x/∆t

Одиниця вимірювання: [v] = м/с,  (метр за секунду).

Прискорення – це фізична величина, яка характеризує зміну швидкості руху тіла, і яка дорівнює відношенню тієї зміни швидкості Δv, що відбулася за проміжок часу Δt, до величини цього проміжку часу.

Позначається: а

Визначальне рівняння: а=∆v/∆t

Одиниця вимірювання: [a] = м/с²,  (метр за секунду в квадраті).

Оскільки швидкість, величина векторна, то вона може змінюватись як за величиною, так і за напрямком. Тому розрізняють дві різновидності прискорення:

1) Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за величиною і яке визначається за формулою а=∆v/∆t, або а=(v_к–v₀)/t.

2) Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке визначається за формулою а_д=v²/R. Це прискорення називають доцентровим.

Зазвичай терміном «прискорення» позначають те прискорення яке характеризує зміну швидкості за величиною, і яке визначається за формулою а=(v_к–v₀)/t. Це прискорення завжди направлено вздовж лінії швидкості руху тіла. При цьому, якщо величина швидкості зростає (v↑), то вектори швидкості та прискорення співнаправлені, а якщо швидкість зменшується (v↓) – то ці напрямки протинаправлені. Що ж стосується доцентрового прискорення, то воно виникає тільки при криволінійному русі тіла (при русі по колу) і завжди направлено до центру того кола яке опитує матеріальна точка в процесі свого руху.

Основний закон кінематики поступального руху називається рівнянням руху. Рівняння руху – це закон, в якому стверджується: в загальному випадку, прямолінійний рух матеріальної точки можна описати рівнянням:

х = х₀ + v₀t + (а/2)t²

де     х – координата матеріальної точки в момент часу t,

х₀  – початкова координата точки, тобто її координата в момент часу t=0

v₀ – початкова швидкість матеріальної точки

а – прискорення матеріальної точки.

Не буде перебільшенням сказати, що на основі аналізу заданого рівняння руху та базових фізичних величин кінематики (s=Δx; v=Δx/Δt; a=Δv/Δt) можна розв’язати практично будь яку задачу яка стосується кінематики відповідного руху.

Важливою різновидністю поступального руху є вільне падіння тіла. Вільним падінням називають такий рух тіла, який відбувається під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу інших зовнішніх сил, зокрема сили опору повітря. Вільне падіння тіла відбувається з певним, направленим вертикально вниз прискоренням, яке називається прискоренням вільного падіння (прискоренням сили тяжіння) і позначається літерою g. На Землі, усереднена величина прискорення вільного падіння g=9,8м/с².

Як і будь-який рівноприскорений рух, вільне падіння тіла можна описати рівнянням виду х=х₀+v₀t+(a/2)t². Відмінність лише в тому, що говорячи про вільне падіння матеріальної точки, її вертикальну координату (висоту) зазвичай позначають літерою h, а прискорення – літерою g. Іншими словами, рух вільно падаючого тіла можна описати формулою h=h₀+v₀t+(g/2)t².

Ілюструючи закономірності того руху який називається вільним падінням тіла, а заодно ілюструючи практичну значимість того закону який називається рівнянням руху, розв’яжемо конкретну задачу.

Задача. Тіло, що знаходиться на висоті 20м кинули горизонтально з швидкістю 15 м/с. Визначити горизонтальну дальність польоту тіла.

Дано:                                   Рішення:

h₀ = 20 м              Виконуємо малюнок який відображає

v₀ = 15 м/с           наявну ситуацію та задаємо відповідну

ℓ = ?                    систему координат.

Криволінійний рух даного тіла по суті є результатом двох незалежних рухів: рівномірного горизонтального та рівноприскореного вертикального. Зважаючи на ці обставини, задаємо систему координат і записуємо рівняння кожного окремого руху, тобто формулу яка має вигляд х=х₀+v₀t+(a/2)t².

– горизонтальний рух: оскільки х=ℓ; х₀=ℓ₀=0м; a=0м/с², то  ℓ=v₀t

– вертикальний рух: оскільки х=h; х₀=h₀; v₀=0м/с; a=g=10м/с², то  h=h₀ – gt²/2.

Таким чином даний рух описують два рівняння:

1) ℓ = v₀t, або ℓ = 15t;

2) h = h₀ – gt²/2, або h = 20 – 5t².

Із аналізу рівнянь ясно, що для того щоб визначити дальність польоту тіла (ℓ=15t), необхідно визначити тривалість цього польоту (t=t_пол). А оскільки в момент падіння тіла, h=0, то 20 – 5(t_пол)² = 0, звідси (t_пол)² = (20/5) = 4с², звідси t_пол = √(4с²) = 2с.

Розрахунки: ℓ = 15t_пол = 15(м/с)2с = 30м.

Відповідь: ℓ = 30м.

Довільний поступальний рух матеріальної точки (тіла) можна представити як певну сукупність прямолінійних та криволінійних ділянок. При цьому будь яку криволінійну траєкторію, можна представити як певну сукупність фрагментів кіл. А це означає, що знаючи закономірності руху матеріальної точки по колу, можна описати будь який криволінійний рух. Характерною особливістю руху матеріальної точки по колу є те, що в незалежності від швидкості руху, ця точка завжди рухається з певним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке називається доцентровим прискоренням.

Доцентрове прискорення – це таке прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке дорівнює відношенню квадрату швидкості руху тіла (матеріальної точки) до радіусу кривизни його траєкторії у відповідній точці.

Позначається: а_д

Визначальне рівняння: а_д=v²/R

Одиниця вимірювання: [а_д]= м/с²,  метр за секунду в квадраті.

Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання тіла. При обертальному русі різновіддалені від осі обертання точки, рухаються суттєво по-різному: мають різні траєкторії руху, різні пройдені шляхи, різні лінійні швидкості, різні прискорення, тощо. А це означає, що описуючи обертальний рух тіла, представляти це тіло у вигляді матеріальної точки неможна.

До числа основних фізичних величин кінематики обертального руху відносяться: час (t), кутова координата (φ), кут повороту (Δφ), кутова швидкість (ω), кутове прискорення (ε).

Кутова координата (кут) – це фізична величина, яка характеризує просторову (кутову) орієнтацію тіла в вибраній системі координат і яка дорівнює відношенню довжини тієї дуги що обмежує даний центральний кут, до радіусу цієї дуги.

Позначається: φ

Визначальне рівняння: φ=ℓ/R

Одиниця вимірювання: [φ]=рад,   радіан.

Радіан – це одиниця вимірювання кутових величин, яка дорівнює такому центральному куту, довжина обмежуючої дуги якого дорівнює радіусу цієї дуги.

Кут повороту – це фізична величина, яка характеризує кут повороту тіла і яка дорівнює цьому куту (тобто тому куту, на який повернулось тіло в процесі свого обертального руху).

Позначається: ∆φ

Визначальне рівняння: ∆φ=φ_к – φ₀,

Одиниця вимірювання: [∆φ]=рад,  радіан.

Кутова швидкість – це фізична величина, яка характеризує кутову швидкість тіла (швидкість обертального руху тіла) і яка показує на який кут повертається тіло за одиницю часу.

Позначається: ω

Визначальне рівняння: ω=∆φ/∆t

Одиниця вимірювання: [ω]=рад/с,  радіан за секунду.

Кутове прискорення – це фізична величина, яка характеризує кутове прискорення тіла і яка показує на скільки змінюється кутова швидкість тіла за одиницю часу.

Позначається: ε

Визначальне рівняння: ε=∆ω/∆t

Одиниця вимірювання: [ε]=рад/с²,  радіан за секунду в квадраті.

По суті, кутова швидкість (ω) та кутове прискорення (ε) – величини векторні. Однак, зважаючи на факт того, що в межах програми загальноосвітньої школи, вивчають лише загальні основи механіки обертального руху, ми не будемо формулювати ті правила які визначають напрям цих векторів. Натомість будемо просто вважати, що кутова швидкість того тіла яке обертається за годинниковою стрілкою має знак «+», а проти годинникової стрілки – знак «–». При цьому, якщо в процесі обертання, кутова швидкість збільшується, то знаки кутової швидкості та кутового прискорення є однаковими. А якщо ця швидкість зменшується, то відповідні знаки є різними.

Основний закон кінематики обертального руху називається рівнянням обертального руху. В цьому законі стверджується: в загальному випадку обертальний рух тіла можна описати рівнянням  φ = φ₀ + ω₀t + (ε/2)t²

де  φ – кутова координата тіла в момент часу t;

φ₀ – початкова кутова координата тіла;

ω₀ – початкова кутова швидкість тіла;

ε – кутове прискорення тіла.

Вправа 14.

1.За заданим рівнянням руху х = –100 + 10t – 0,2t²:

1) дати загальну характеристику руху тіла;

2) визначити пройдений тілом шлях за 10с;

3) записати рівняння швидкості руху тіла;

4) визначити де і коли тіло зупиниться.

2. За заданим рівнянням обертального руху φ = –π/3 – 8t + 0,1t²

1) дати загальну характеристику руху;

2) визначити кут повороту тіла за 10с;

3) визначте кутову швидкість тіла через 10с;

4) через який час тіло зупиниться?

5) скільки обертів зробить тіло до моменту зупинки?

3. За заданим графіком швидкості визначити прискорення тіла на кожній ділянці та записати рівняння швидкості та пройденого шляху на цій ділянці. Визначити цей шлях.

4. Тіло вільно падає з висоти 20м. Визначити час падіння тіла, швидкість в момент падіння та середню швидкість падіння.

5. Тіло кинули під кутом 60° до горизонту, з швидкістю 20м/с. Визначити дальність польоту та максимальну висоту підйому тіла.

6. За 15с колесо автомобіля зовнішній радіус якого 30см, здійснює 75 обертів. Визначте період та частоту обертання колеса. Визначте доцентрове прискорення поверхневих точок колеса. Визначте швидкість руху автомобіля.