Тема 1.4

МЕХАНІКА КОЛИВАНЬ ТА ХВИЛЬ

 

Тема 1.4. Механіка коливань та хвиль.

§47. Загальні відомості про коливання.                                                       253

§48. Періодичні коливання та їх характеристики.

Рівняння гармонічного коливання.                                                              259

§49. Фізичний, математичний та пружинний маятники.                        264

§50. Розв’язування задач. Тема: механічні коливання.                            271

§51. Автоколивання.                                                                                          275

§52. Вимушені коливання. Резонанс.                                                            279

§53. Загальні відомості про хвилі.                                                                  283

§54. Звукові хвилі. Інфразвукові та ультразвукові хвилі.                         290

§55. Ефект Доплера.                                                                                           298

 

Тема 1.4  Механіка коливань та хвиль.

 

§47. Загальні відомості про коливання.

 

В фізиці, процеси які так чи інакше повторюються називаються коливаннями. Коливається, наприклад, збурена поверхня води. В поривах вітру коливаються гілки дерев та листя на них. Під дією потягів та машин що рухаються, коливаються мости і дороги. Вібрують струни музичних інструментів та мембрани динаміків. Коливальним чином рухаються маятники, стрілки та шестерні механічних годинників, поршні, клапани і колінчасті вали автомобільних двигунів. Періодично змінюються дні і ночі, пори року та їм відповідні життєві цикли рослин і тварин. Ритмічно б’ється серце і працюють легені вашого організму. Певним чином коливаються атоми, молекули і ті частинки з яких вони складаються. Звук який ви чуєте і світло яке бачите, це також результат певних коливальних процесів. Не буде перебільшенням сказати, що майже все що відбувається в Природі, так чи інакше пов’язано з тими чи іншими коливальними процесами.

За різними класифікаційними ознаками коливання поділяються на:

– періодичні та неперіодичні;

– вільні та вимушені;

– згасаючі та незгасаючі;

– гармонічні та негармонічні;

– механічні, електричні, електромагнітні та інші.

1.За точністю і ритмічністю повторювань, коливання поділяються на періодичні та неперіодичні. Періодичними називають такі коливання, які через певні, однакові проміжки часу вточності повторюються. Наприклад, періодично коливається маятник годинника, його рухомі шестерні, секундна, хвилинна та годинникова стрілки. Періодично обертаються елементи колеса при його рівномірно-обертальному русі (ω=const). За умови рівномірної роботи, періодично коливаються деталі двигуна внутрішнього згорання (поршень, колінвал, шатун, клапани, …). Періодичним є рух Землі навколо своєї осі та навколо Сонця.

Неперіодичними називають такі коливання, які повторюються через різні проміжки часу, або повторюються частково. Неперіодично, наприклад, коливаються елементи колеса що обертається зі змінною кутовою швидкістю (?=const). Неперіодичними є коливання листя і гілок дерев, звукові коливання повітря, вібрації автомобіля що їде бруківкою. Неперіодично відбуваються землетрусами, виверження вулканів, зміни атмосферного тиску, буревії, цунамі, тощо.

2.За ступенем автономності коливальної системи, коливання поділяються на вільні та вимушені. Вільними називають такі коливання, які починаються після виведення коливальної системи з стану рівноваги і продовжуються самостійно, а точніше, під дією певної комбінації внутрішньо системних сил. Наприклад, підвішене на нитці тіло в сукупності з гравітаційним полем Землі, утворюють коливальну систему, яка називається нитяним маятником (мал.97). Якщо цю систему вивести з рівноваги, то в подальшому вона буде здійснювати вільні коливання. Ці коливання не є безпричинними. Вони обумовлені дією на тіло певної системи сил: сили тяжіння Fт, реакції опори N, та тієї сили інерції Fi що виникає в процесі прискореного руху тіла. При цьому, ці сили є результатом природної взаємодії тих елементів які утворюють дану коливальну систему: тіло, нитка, Земля.

Мал.97 Вільні коливання не є безпричинними.

Вільно коливаються, наприклад, елементи виведеного з рівноваги пружинного маятника, виведена з рівноваги падінням каменя поверхня води, вібруючий камертон, елементи колеса що вільно обертається навколо своєї осі, м’яч який вільно підстрибує після падіння, тощо.

Вимушеними називають такі коливання, які відбуваються під дією певної змінної зовнішньої сили, сили, джерелом якої не є коливальна система. При цьому мається на увазі, що після припинення дії цієї сили, коливання припиняються. Скажімо, якщо ви змушуєте книгу здійснювати певні коливальні рухи, то коливання книги є вимушеними. Вимушено, наприклад, коливаються всі елементи двигуна внутрішнього згорання, шестерні та стрілки механічного годинника, елементи працюючої швацької машинки, рухомі деталі механічного пресу, тощо.

  

Мал.98 Приклади вільних та вимушених коливань.

3.За ступенем енергетичних втрат в коливальній системі, коливання поділяються на згасаючі та незгасаючі. Згасаючими називають такі коливання, амплітуда яких з плином часу зменшується. Зменшується тому, що в процесі коливань, певна кількість енергії упорядкованого руху елементів коливальної системи, незворотнім чином перетворюється в теплоту, тобто в енергію хаотичного руху молекул речовини. Незгасаючими називають такі коливання, амплітуда яких з плином часу залишається незмінною. Залишається незмінною тому, що ті енергетичні втрати які неминуче відбуваються в процесі коливань є несуттєвими, або тому, що ці втрати компенсуються зовнішнім джерелом енергії.

Наприклад, коливання простого фізичного маятника (мал.99а) є згасаючими. Вони згасають тому, що в процесі коливань, частина енергії коливальної системи неминуче витрачається на теплові втрати, джерелом яких є ті чи інші сили тертя. Якщо ж аналогічний маятник є частиною годинникового механізму (мал.99б), то його коливання стають незгасаючими. Вони не згасають тому, що в годинниковому механізмі є спеціальна автоматизована система, яка постійно поповнює енергетичні втрати маятника.

 

  

Мал.99.  Згасаючі (а) та незгасаючі (б) коливання.

4.За загальним виглядом тієї кривої яка описує коливальний процес, коливання поділяються на гармонічні та негармонічні. Гармонічними називають такі коливання які описуються гармонічною кривою, (синусоїдою або косинусоїдою) тобто відбуваються за гармонічним законом. Це означає, що будь яке гармонічне коливання можна описати формулою x = хмsinφ, або   x = хмcosφ, де

х – миттєве значення змінної величини;

хм – амплітудне значення змінної величини;

φ – фаза коливань.

Наприклад, коливання того фізичного маятника що є частиною годинникового механізму (мал.99б) є гармонічними. Якщо ж говорити про вільні коливання нитяного маятника (мал.99а), то вони  наближено гармонічні. Наближено гармонічні тому, що є згасаючими, а отже такими амплітуда коливань яких поступово зменшується. Наближено гармонічними є коливання нитяного маятника, коливання виведеної з рівноваги поверхні води, вібрації камертона, тощо. Складними, комбінаціями наближено гармонічних коливань є коливання гілок дерев та листя на цих гілках. Комбіновано гармонічними є ті звукові коливання які створюють музикальні інструменти, наші голоси, тощо. Загалом, практично всі вільні природні коливань є гармонічними, наближено гармонічними або комбіновано гармонічними. Зважаючи на цей факт, вивченню гармонічних коливань ми будемо приділяти особливу увагу.

  

Мал.100 Деякі приклади гармонічних, наближено гармонічних та комбіновано гармонічних коливань.

Негармонічними називають такі коливання які описуються будь якою негармонічною (в тому числі не наближено гармонічною та не комбіновано гармонічною) кривою, тобто відбуваються за негармонічним законом. Зазвичай негармонічними є спеціально створені, штучні коливання. Наприклад, негармонічно коливаються елементи клапанного механізму двигуна внутрішнього згорання (мал.101а), елементи так званого храпового механізму (мал.101б), тощо.

Мал.101.  Приклади коливальних систем, елементи яких здійснюють вимушені негармонічні коливання.

5.За фізичною суттю тих процесів які відбуваються в коливальній системі, коливання поділяються на механічні та електромагнітні. Механічними називають такі коливання, які пов’язані з механічними переміщеннями тіл та їх частин, або частин пружного середовища. Механічними є коливання рухомих деталей двигуна внутрішнього згорання, пульсації нашого серця, коливання гілок та листя на цих гілках, обертальні рухи коліс, тощо. Механічними є і ті коливання середовища, які ми називаємо звуком, поверхневими хвилями, сейсмічними хвилями, тощо.

Електромагнітними, називають такі коливання, які пов’язані з коливаннями електричних зарядів та електромагнітних полів. Електромагнітними є ті коливання які називаються змінним електричним струмом, радіохвилями, інфрачервоним випромінюванням, видимим світлом, ультрафіолетовим, рентгенівським та гама випромінюванням.

Таким чином, керуючись різними класифікаційними критеріями, будь яке коливання можна описати певним набором характеристик. Наприклад, характеризуючи коливання нитяного маятника, можна сказати що вони є механічними, вільними, періодичними, згасаючими та гармонічними (наближено гармонічними). Втім, в даному ряду класифікаційних характеристик можна знайти і певні суперечності. Наприклад, чи можна згасаючі коливання нитяного маятника вважати періодичними?

Дотримуючись букви вище наведених визначень, – неможна. Адже згасаючі коливання повторюються не у повному обсязі і тому, строго кажучи не є періодичними. Однак, зважаючи на те, що ступінь згасання коливань нитяного маятника є незначною і що ці коливання дійсно повторюються через певні однакові проміжки часу (періоди), подібні згасаючі коливання прийнято вважати періодичними. Загалом в науково-технічній практиці, періодичними прийнято вважати такі коливання які повторюються через однакові проміжки часу. При цьому повторюваність самих коливань може бути неповною, наприклад згасаючою.

Не будемо забувати і про те, що вирішуючи ту чи іншу наукову проблему ми завжди в тій чи іншій мірі ідеалізуємо об’єкт свого дослідження. А ця ідеалізація передбачає врахування визначально важливих обставин і свідоме нехтування тих обставин, які в умовах даної задачі є другорядними. Тому, описуючи коливальні процеси ми фактично будемо описувати певні ідеалізовані системи та відповідно ідеалізовані коливання. Однак це зовсім не означає, що отримані нами результати будуть суттєво відрізнятись від реального стану справ. Адже факт того, що описуючи рух Землі навколо Сонця та своєї осі, ми не враховуємо рухи слонів, пацюків та комарів, зовсім не означає що теорія руху Землі є неправильною та неточною.

 

Контрольні запитання.

1.Наведіть приклади коливань: а) періодичних і неперіодичних; б) вільних та вимушених; в) гармонічних і негармонічних.

2.Чому коливання простого маятника є згасаючими, а маятника як частини годинникового механізму – незгасаючими?

3.Дайте класифікаційну характеристику коливань секундної стрілки годинника.

4.Які перетворення механічної енергії відбуваються при вільних коливаннях нитяного маятника?

5.Які перетворення механічної енергії відбуваються при коливаннях пружинного маятника?

6.М’яч вільно падає з певної висоти і зробивши декілька стрибків зупиняється. Які перетворення енергії відбуваються при цьому? Дайте класифікаційну характеристику коливального руху м’яча. Чому ці коливання є згасаючими?

 

§48. Періодичні коливання та їх характеристики.

                   Рівняння гармонічного коливання.

 

В межах програми загальноосвітньої школи вивчають лише так звані періодичні коливання, тобто такі коливання, які через певні однакові проміжки часу вточності повторюються. Основними характеристиками таких коливань є період, частота, амплітуда та фаза коливань.

Період коливань (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) коливального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює одне повне коливання.

Позначається: Т

Визначальне рівняння: Т = t/n , де n – кількість коливань системи здійснених за час t;

Одиниця вимірювання:  [Т] = с  (секунда).

Наприклад, якщо нитяний маятник за 20 секунд здійснює 16 повних коливань, то період цих коливань 1,25с:  Т= t/n = 20с/16 = 1,25с.

Частота коливань (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність коливального процесу і яка дорівнює тій кількості коливань системи, яку здійснює ця система за одиницю часу.

Позначається: ν

Визначальне рівняння: ν = n/t

Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц   (герц).

Наприклад, якщо за 20 секунд  нитяний маятник здійснює 16 коливань, то частота цих коливань 0,8Гц :  ν = n/t = 16/20c = 0,8Гц.

Із визначальних рівнянь періоду і частоти (T=t/n; ν=n/t) з усією очевидністю випливає, що ці фізичні величини взаємопов’язані, і що цю взаємопов’язаність відображають співвідношення: T=1/ν; ν=1/T. Тому якщо, наприклад, за умовою задачі задано період коливань системи Т=2с, то ви завжди можете визначити частоту цих коливань ν=1/Т=1/2с=0,5Гц, і навпаки.

Амплітуда коливань (амплітуда) – це фізична величина, яка характеризує максимальне за величиною (амплітудне) значення змінної величини і яка дорівнює цьому значенню. Позначається символом відповідної змінної величини з індексом «м»: хм, vм, Ім, Uм, тощо. Визначається як параметр конкретного коливального процесу. Вимірюється в одиницях відповідної фізичної величини: [xм]=м; [vм]=м/с; [Iм]=А; [Uм]=В і т.д.

Фаза коливань (фаза) це фізична величина яка характеризує стан коливальної системи в заданий момент часу і яка однозначно визначає параметри цієї системи в цей момент часу.

Позначається: φ

Визначальне рівняння: фазу коливань можна визначити по різному, зокрема:

– через кут повороту системи: φ=α

– через кількість коливань системи: φ=2πn,

– через частоту коливань системи: φ=2πνt,

– через період коливань системи: φ=2πt/T,

іншими словами: φ=α=2πn=2πνt=2πt/T.  Зазвичай: φ = 2πνt.

Одиниця вимірювання: [φ] = рад   (радіан).

Найбільш поширеною різновидністю періодичних коливань є так звані гармонічні коливання. Гармонічно або наближено гармонічно коливаються різноманітні маятникові системи, частинки збуреної поверхні рідини, струни та робочі поверхні музикальних інструментів, точки тіла що обертаються і тіла що рухаються по колу. Результатом певних гармонічних коливань є звук, світло і те що називають радіохвилями, інфрачервоним, ультрафіолетовим та рентгенівським випромінюванням. Гармонічні коливання відбуваються в лініях електропередач, трансформаторах, електродвигунах, тощо. Власне, практично всі природні вільні коливання є гармонічними або наближено гармонічними.

Будь яке гармонічне коливання можна представити у вигляді математичної формули, яка називається рівнянням гармонічного коливання. В загальному випадку це рівняння має вигляд: х=хмsinφ, де  х – миттєве значення змінної величини, хм – амплітудне (максимальне) значення змінної величини, φ – фаза коливань. Оскільки фазу коливань можна визначити по різному (φ=α=2πn=2πνt=2πt/T), то зустрічаються і відповідно різні записи рівняння гармонічного коливання. Зазвичай, це рівняння записують у вигляді: х=хмsin2πνt. Якщо в початковий момент часу (t0=0c) коливальна система знаходиться в певному не нульовому положенні, то це положення характеризують відповідною початковою фазою φ0. При цьому рівняння гармонічного коливання набуває вигляду х=хмsin(2πνt+φ0). В подальшому ми будемо виходити з того, що початкова фаза коливань є нульовою (φ0=0), і що тому рівняння гармонічного коливання має вигляд  х=хмsin2πνt.

Коли ми стверджуємо, що гармонічне коливання описується рівнянням х=хмsin2πνt, то це означає, що в процесі коливань величина певного параметру коливальної системи змінюється за законом х=хмsin2πνt. Наприклад, описуючи коливання нитяного маятника (мал.102а), пружинного маятника (мал.103б) та тієї матеріальної точки, що рівномірно обертається навколо нерухомого центру (мал.96в), можна говорити про те, що з плином часу координата (х) відповідних матеріальних точок змінюється за законом х=хмsin2πνt.

Втім, описуючи коливання нитяного та пружинного маятників, можна говорити не лише про гармонічні коливання координати тіла, а й про гармонічні коливання швидкості його руху v=vмsin2πνt; сили пружності F=Fмsin2πνt; потенціальної та кінетичної енергій Е= Емsin2πνt, тощо. Якщо ж говорити про гармонічні коливання точок того колеса що вільно обертається навколо своєї осі, то вони вирізняються тим, що не супроводжуються перетвореннями одного виду енергії в інший. І тому ці коливання не характеризуються певними коливаннями швидкості, енергії, тощо.

 

Мал.103 В процесі гармонічних коливань, певні параметри коливальної системи змінюються за законом х=хмsin2πνt.

Потрібно зауважити, що синусоїда і косинусоїда, це по суті дві різні назви однієї і тієї ж кривої. Наприклад, зображений на мал.96в графік коливань матеріальної точки, є синусоїдою. Але якби за початкове положення цієї точки ми вибрали не положення 1, а положення 4, то цим графіком була б відповідна косинусоїда. Загалом же, між синусом та косинусом будь якого кута, існує просте співвідношення: cosφ=sin(φ+π/2); sinφ=cos(φ−π/2) А це означає, що формулу х=хмsin2πνt,  можна записати у вигляді х=хмcos(2πνt −π/2), і навпаки: х =хмcos2πνt =хмsin(2πνt+π/2).

Рівняння гармонічного коливання містить велику кількість інформації про відповідний коливальний процес. Воно дозволяє не лише визначити числове значення змінної величини в будь який момент часу, а й максимально повно описати інші параметри цього процесу. Ілюструючи лише незначну частину можливостей цього рівняння, розглянемо конкретну задачу.

Задача. Тіло нитяного маятника здійснює гармонічні коливання за законом х = 0,1sinπt. Визначити: 1) амплітуду, період та частоту коливань; 2) координату тіла в момент часу 0,5с; 10с; 3) кількість коливань маятника здійснених за 0,5с; за 10с.

Дано:                                        Рішення.

х = 0,1sinπt

1) хм, Т, ? – ?               1).  Із порівняльного аналізу заданого рівняння

2) х(0,5)-? х(10)-?        х = 0,1sinπt  та загального вигляду цього рівняння

3) n(0,5)-?  n(10)-?       х = хмsin2πνt,   ясно що: хм = 0,1м;

ν = 0,5Гц;                    (оскільки  2πνt = πt, то ν=0,5Гц).

.                                     А оскільки Т=1/ν, то   Т =1/0.5= 2с

2).  Розв’язуючи рівняння х = 0,1sinπt  для заданих значень часу (t=0,5с; t=2с) визначаємо відповідні значення координати тіла маятника:

х(0,5) =  0,1sinπ·0,5 = 0,1·1 = 0,1м;

х(10) = 0,1sinπ·10 = 0,1·0 = 0,0м.

3).  Кількість коливань системи (n) за час t можна визначити із співвідношень: n = t/T = νt   Тому:

n(0,5) = 0,5c/2c = 0,25 (коливань).

n(10) = 10c/2c = 5,0 (коливань).

Аналізуючи рівняння х = 0,1sinπt можна відповісти на значно більшу кількість запитань. Наприклад, можна представити даний коливальний процес у вигляді відповідного графіка, визначити довжину відповідного маятника, величину максимального кута його відхилення, швидкість тіла в момент проходження ним положення рівноваги та в будь який інший момент часу, пройдений тілом шлях за певний проміжок часу, тощо. Знаючи рівняння гармонічного коливання тіла та масу цього тіла, можна не лише вичерпно описати кінематику коливального руху, а й динаміку цього руху. Втім, оцінити реальні можливості та значимість рівняння гармонічного коливання, ви зможете лише в процесі розв’язування задач та вивчення наступних параграфів даного розділу.

 

Словник фізичних термінів.

Період коливань (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) коливального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює одне повне коливання.

Позначається: Т

Визначальне рівняння: Т = t/n

Одиниця вимірювання:  [Т] = с,   (секунда).

Частота коливань (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність коливального процесу і яка дорівнює тій кількості коливань системи, яку здійснює ця система за одиницю часу.

Позначається: ν

Визначальне рівняння: ν = n/t

Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц,    (герц).

Амплітуда коливань (амплітуда) – це фізична величина, яка характеризує максимальне за величиною (амплітудне) значення змінної величини і яка дорівнює цьому значенню.

Позначається: хм, vм, Ім, Uм, тощо,

Визначається як параметр конкретного коливального процесу,

Одиниця вимірювання: [xм]=м; [vм]=м/с; [Iм]=А; [Uм]=В і т.д.

Фаза коливань (фаза) це фізична величина яка характеризує стан коливальної системи в заданий момент часу і яка однозначно визначає параметри цієї системи в цей момент часу.

Позначається: φ

Визначальне рівняння: φ=α=2πn=2πνt=2πt/T,  зазвичай: φ= 2πνt.

Одиниця вимірювання: [φ = рад,    (радіан).

Рівняння гармонічного коливання – це рівняння (закон), яке описує кінематику гармонічно-коливального процесу і яке має вигляд

х = хмsinφ = хмsin(2πνt+φ0)

Контрольні запитання.

1.Який зв’язок між періодом та частотою коливань? Звідки випливає цей зв’язок?

2.Дайте визначення терміну “герц”.

3.Що називають амплітудою коливань? В чому вона вимірюється?

4.Які коливання називаються гармонічними? Наведіть приклади таких коливань.

5.Що називають фазою коливань? Через які величини вона визначається? Запишіть ці визначення.

6.Чим схожі та чим відрізняються синусоїда та косинусоїда?

 

Вправа 32.

1.Визначте період та частоту обертання: а) секундної стрілки годинника; б) хвилинної стрілки годинника; в) Землі навколо своєї осі та навколо Сонця.

2.Колесо діаметром 60см рухаючись рівномірно за 4с проходить відстань 12м. Визначте кутову швидкість, період та частоту коливань (обертання) колеса. Запишіть рівняння коливань.

3.Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання за законом х=0,2cos2πt. Визначити амплітуду, період та частоту цих коливань.

4.Частота коливань крил комара 600Гц, а період коливань крил бджоли 5мс. Яка з камах і наскільки більше зробить помахів крил за 1хв польоту?

5.Амплітуда коливань точки струни становить 1мм, а частота цих коливань 1кГц. Який шлях пройде ця точка за 0,2с? запишіть рівняння відповідного гармонічного коливання.

 

§49. Фізичний, математичний та пружинний маятники.

 

         Однією з найпростіших коливальних систем є так званий фізичний маятник. Фізичний маятник, це механічна коливальна система, яка представляє собою тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо осі, що не проходить через центр маси тіла. Наприклад, якщо ви візьмете будь яке тверде тіло, скажімо лінійку, виделку, ножиці чи молоток і закріпите його так щоб воно могло вільно обертатись навколо осі яка не проходить через центр маси тіла, то отримаєте відповідний фізичний маятник. Однією з різновидностей фізичного маятника є так званий нитяний маятник, який представляє собою масивне тіло що висить на тонкій нитці (мотузці, дротині, тощо).

  

Мал.104 Приклади фізичних маятників.

Параметри коливального руху реального фізичного маятника, складним чином залежать від багатьох обставин: геометричних і вагових характеристик тіла, величини сили опору повітря, величини виникаючих в осі обертання тіла сил тертя, деформаційних енергетичних втрат, тощо. Тому, при теоретичних дослідженнях, реальний фізичний маятник замінюють відповідною ідеалізованою моделлю яка називається математичним маятником.

Математичний маятник, це ідеалізована модель фізичного маятника, яка представляє собою масивну матеріальну точку що висить на надтонкій, невагомій та нерозтяжній нитці і в процесі коливань якої відсутні будь які втрати енергії. Якщо нитка реального нитяного маятника достатньо тонка, міцна та легка, а прикріплене до неї тіло достатньо масивне і таке що виготовлено з щільного матеріалу (залізо, мідь, свинець, тощо), то фізичні властивості цього реального маятника майже не відрізнятимуться від властивостей відповідного за довжиною математичного маятника.

По суті, основна відмінність фізичного маятника від відповідного математичного маятника полягає в тому, що вільні коливання реального фізичного маятника в тій чи іншій мірі згасаючі, а коливання математичного маятника – незгасаючі.

Можна довести, що період коливань математичного маятника визначається за формулою   Т=2π(l/g)1/2, де l – довжина маятника, g – прискорення сили тяжіння. Строго кажучи, формула Т = 2π(l/g)1/2    вточності справедлива лише для малих кутів відхилення маятника (α ≤ 10°). Для більших кутів, ця формула потребує певних уточнень. Втім, величина цих уточнень є незначною.

Із аналізу формули Т=2π(l/g)1/2 видно, що період коливань математичного маятника не залежить ні від маси тіла ні від кута його відхилення. Цей період визначальним чином залежить лише від довжини маятника та прискорення сили тяжіння.

Дослідження показують, що період коливань реального фізичного маятника, визначається за формулою  Т = 2π(lзв/g)1/2, де lзв – зведена довжина фізичного маятника. При наближених розрахунках прийнято вважати, що lзв дорівнює відстані від осі обертання тіла фізичного маятника, до центру мас цього тіла. Загалом же, зведена довжина фізичного маятника, певним чином залежить не лише від відстані між віссю обертання та центром мас тіла маятника, а й від геометричних параметрів цього тіла.

Аналізуючи вільні коливання математичного маятника не важко бачити, що вони нерозривно пов’язані з певними періодичними перетвореннями одного виду механічної енергії в інший її вид. Дійсно. Коли маятник (мал.97) знаходиться в положенні максимального відхилення (мал.97б) його матеріальна точка є піднятою на певну максимальну висоту (відносно того рівня де положення цієї точки є найнижчим). При цьому маятник має певний максимальний запас надлишкової потенціальної енергії та нулеву величину енергії кінетичної (Еп=mgΔh=max, Ek=mv2/2=0). В процесі руху маятника в напрямку центру його рівноваги, потенціальна енергія маятника зменшується, а кінетична – відповідно збільшується (Еп↓, Ек↑). В момент проходження положення механічної рівноваги маятника (мал.97в), величина його потенціальної енергії стає нулевою, натомість кінетична енергія – досягає максимальної величини (Еп=0, Ек=max). Продовжуючи рухатись за інерцією (мал.105г) кінетична енергія тіла маятника поступово зменшується, а потенціальна – відповідно збільшується (Ек↓, Еп↑). В протилежно крайньому положенні (мал.105д),  величина потенціальної енергії маятника знову досягає своєї максимальної величини, а величина кінетичної енергії – знову стає нулевою (Еп=max, Ек=0). Ясно, що в подальшому процес повториться. При цьому напрям руху матеріальної точки зміниться на протилежний.

Мал.105.  Коливання математичного (фізичного) маятника супроводжуються перетвореннями потенціальної енергії сили тяжіння в кінетичну енергію і навпаки:   mg?h ↔ mv2/2.

Таким чином, коливання математичного, а відповідно і фізичного маятників, супроводжуються не лише певними коливаннями координати тіла маятника, а й відповідними коливаннями інших параметрів системи, зокрема:

– коливаннями висоти Δh центру мас системи над нулевим рівнем;

– коливаннями швидкості руху v центру мас системи;

– коливаннями величини потенціальної енергії системи Еп;

– коливаннями величини кінетичної енергії системи Ек;

– коливаннями кута відхилення маятника α, тощо.

Ще однією простою коливальною системою є так званий пружинний маятник. Пружинний маятник – це така механічна коливальна система, яка складається з легкої пружини та масивного тіла і в якій це тіло здійснює поступальні коливання вздовж осі пружини (мал.106).

 

Мал.106.  Загальний вигляд пружинного маятника.

Потрібно зауважити, що в науковій практиці реальні та ідеалізовані (ідеальні) пружинні маятники, позначають одним і тим же терміном – пружинний маятник. Параметри коливального руху реального пружинного маятника, складним чином залежать від багатьох обставин: геометричних та вагових характеристик пружини і тіла маятника; тих енергетичних втрат які неминучі при періодичних деформаціях пружини; втрат на механічне тертя, тощо. Тому при теоретичних дослідженнях, реальні пружинні маятники замінюють на їм відповідні ідеальні пружинні маятники, які відрізняються від реальних тим, що маса їхньої пружини є нульовою, а в процесі коливань відсутні будь-які енергетичні втрати. І не важко збагнути, що коливання реальних пружинних маятників є згасаючими, а ідеальних – незгасаючими.

Якщо пружинний маятник вивести з стану механічної рівноваги, то він буде здійснювати вільні коливання. Джерелом цих коливань є взаємопов’язана дія двох силових факторів: тієї сили пружності (Fпр= -kΔl) що виникає в процесі деформації пружини, та тієї сили інерції (Fi= -ma) що виникає в процесі прискореного руху тіла. При цьому можна довести, що період коливань ідеального пружинного маятника визначається за формулою Т=2π(m/k)2, m – маса тіла маятника, k – жорсткість пружини маятника.

Не важко бачити, що період коливань пружинного маятника практично не залежить від прискорення сили тяжіння (g), а отже і від самої сили тяжіння. На перший погляд, такий стан речей здається дивним. Адже здається очевидним, що при вертикальному розташуванні маятника, активну роль в коливальному процесі має відігравати сила тяжіння. Насправді ж, результуючий вплив цієї сили є практично нулевим. Адже сила тяжіння, це постійна за величиною та напрямком сила, яка в рівній мірі як сприяє так і протидіє коливальному процесу. Єдиним суттєвим результатом дії сили тяжіння є те, що при вертикальному розташуванні маятника, точка його рівноваги зсувається на величину  Δl=mg/k. При цьому, якщо тіло знаходиться під пружиною, то відстань до точки рівноваги збільшується (l=l0 + Δl), а якщо тіло знаходиться над пружиною – зменшується (l=l0 – Δl).

мал.107.  Положення точки рівноваги пружинного маятника суттєво залежить від маси тіла маятника.

Механічні коливання пружинного маятника нерозривно пов’язані з періодичними перетвореннями одного виду механічної енергії в інший її вид. Дійсно. Коли пружина маятника знаходиться в положенні максимального розтягнення (мал.108), кількість зосередженої в ній потенціальної енергії буде максимальною, а кількість кінетичної енергії тіла – нулевою (Еп= kΔl2/2=max; Ek=mv2/2=0). В процесі руху тіла в напрямку положення рівноваги, потенціальна енергія пружини буде зменшуватись, а кінетична енергія тіла – відповідно збільшуватись (Еп↓; Ек↑). При цьому, в положенні рівноваги потенціальна енергія пружини стає нулевою, а кінетична енергія тіла досягає максимальної величини (Еп=0; Ек=max). Рухаючись за інерцією в напрямку стиснення пружини, кінетична енергія тіла зменшується, а потенціальна енергія пружини збільшується (Еп↑; Ек↓). В положенні максимального стиснення пружини, її потенціальна енергія знову стає максимальною, а кінетична енергія тіла – нулевою (Еп=max; Ек=0). В подальшому, процес повторюється. При цьому, напрям руху тіла змінюється на протилежний.

Мал.108.  Коливання пружинного маятника супроводжуються періодичними перетворюваннями потенціальної енергії сили пружності в кінетичну енергію і навпаки:  kΔl2/2 ↔ mv2/2.

Таким чином, механічні коливання пружинного маятника супроводжуються певними коливаннями багатьох параметрів цієї системи, зокрема:

– коливаннями абсолютної деформації пружини;

– коливаннями виникаючої в пружині сили пружності;

– коливаннями швидкості руху тіла;

– коливаннями діючої на тіло сили інерції;

– коливаннями потенціальної енергії деформованої пружини;

– коливаннями кінетичної енергії тіла, тощо.

 

Словник фізичних термінів.

Фізичний маятник, це така механічна коливальна система, яка представляє собою тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо осі, що не проходить через центр маси тіла. В процесі коливань фізичного маятника потенціальна енергія піднятого тіла маятника перетворюється на енергію його поступального руху і навпаки:   mgΔh ↔ mv2/2.

Математичний маятник, це ідеалізована модель фізичного маятника, яка представляє собою масивну матеріальну точку що висить на надтонкій, невагомій та нерозтяжній нитці і в процесі коливань якого відсутні будь які втрати енергії.

Пружинний маятник – це така механічна коливальна система, яка складається з легкої пружини та масивного тіла і в якій це тіло здійснює поступальні коливання вздовж осі пружини. В процесі коливань пружинного маятника, потенціальна енергія деформованої пружини перетворюється на кінетичну енергію поступального руху тіла маятника і навпаки:   kΔl2/2 ↔ mv2/2.

Контрольні запитання.

1.Результатом дії яких сил є коливання математичного маятника?

2.Чому коливання фізичного маятника є згасаючими, а коливання математичного маятника – незгасаючими?

3.Чи залежить період коливань математичного маятника від амплітуди цих коливань? Від маси матеріальної точки?

4.Чи змінюється в процесі згасання коливань нитяного маятника, період цих коливань?

5.Які сили визначають механічну поведінку пружинного маятника?

6.Які енергетичні перетворення відбуваються в процесі коливань пружинного маятника та чим вони відрізняються від аналогічних перетворень в фізичному маятнику?

7.Чому сила тяжіння не впиває на період коливань пружинного маятника.

8.Порівняйте формули періодів коливань математичного та пружинного маятників. Як ви думаєте, на що вказує в цих формулах коефіцієнт 2π?

Вправа 33.

1.Довжина нитки математичного маятника 0,5м. Визначте період, частоту та кутову частоту коливань цього маятника.

2.Виконуючи лабораторну роботу по визначенню прискорення сили тяжіння, учень встановив, що маятник довжиною 80см, за 1хв здійснює 34 коливань. Який результат отримав учень?

3.На Землі математичний маятник робить 20 коливань за хвилину. Скільки коливань за хвилину зробить такий же маятник на Місяці (g=1,6м/с2)?

4.На Місяці математичний маятник довжиною 1м за 1хв робить 12 коливань. Визначте масу Місяця, якщо відомо, що його радіус 1740км.

5.Математичний маятник довжиною 0,5м відхилили на 30°. Яку швидкість матиме кулька маятника в нижній точці траєкторії. Запишіть рівняння коливань маятника.

6.Рівняння коливань математичного маятника має вигляд х = 0,1sin2πt. Визначте період і частоту коливань цього маятника, його довжину та максимальний кут відхилення.

7.В ракеті, що вертикально стартує з поверхні землі, період коливань математичного маятника зменшився вдвічі. З яким прискоренням рухається ракета?

Вправа 34.

1.Вантаж масою 4кг коливаючись на легкій пружині робить 5 коливань за 4 секунди. Визначте жорсткість пружини.

2.Вантаж масою 200г коливається на пружині жорсткістю 0,5кН/м з амплітудою 6см. Визначте максимальну швидкість вантажу. Запишіть рівняння даного коливання.

3.Вантаж масою 0,2кг висить на пружині і здійснює 30 коливань за хвилину з амплітудою 10см. Визначте жорсткість пружини та кінетичну енергію вантажу через 1/6 періоду від моменту проходження ним положення рівноваги.

4.Вантаж масою m можна прикріпити до двох невагомих пружин з жорсткістю k1 і k2. Визначте період коливань вантажу при послідовному і паралельному з’єднані пружин.

5.Вантаж масою 300г є частиною пружинного маятника і здійснює коливання за законом х=0,06sinπt . Визначте період і частоту коливань, жорсткість пружини та максимальну швидкість тіла.

 

§50* Крутильний маятник. Маятник Максвела.

 

В межах програми загальноосвітньої школи, зазвичай вивчають дві механічні коливальні системи: фізичний маятник та пружинний маятник. Однак в науці і техніці широко застосовують й інші механічні коливальні системи, зокрема крутильний маятник та маятник Максвела.

Крутильний маятник – це така механічна коливальна система, яка представляє собою закріплене на жорсткій підвісці масивне тверде тіло, яке під дією тих сил пружності що виникають при деформації кручення підвіски (або спеціальної плоскої пружини), може здійснювати крутильно-обертальні коливання (мал.109).

  

Мал.109  Загальний устрій крутильного маятника.

Пояснюючи принцип дії крутильного маятника, можна сказати наступне. В момент максимального закручення спіральної пружини (підвіски) маятника, в ній накопичується певна, максимальна кількість потенціальної енергії сили пружності, величина якої визначається за формулою Еп = DΔφ2/2, де Δφ– виміряний в радіанах кут закручення пружини, D – крутильна жорсткість пружини (певний аналог жорсткості пружини при її розтягненні-стисненні). При цьому кінетична енергія обертального руху тіла маятника (Ек=Jω2/2), дорівнює нулю: (Еп = max; Ек = 0).

В процесі розкручування пружини (підвіски) маятника, кількість зосередженої в ній потенціальної енергії зменшується. Натомість, кількість кінетичної енергії обертального руху тіла маятника – відповідно збільшується (Еп↓; Ек↑). В момент проходження маятником положення крутильної рівноваги, потенціальна енергія спіральної пружини стає нулевою, а кінетична енергія тіла – максимально великою (Еп=0; Ек=max).

Продовжуючи обертатись за інерцією, тіло маятника знову закручує пружину, але вже в протилежну сторону. При цьому, потенціальна енергія пружини зростає, а кінетична енергія тіла відповідно зменшується (Еп↑; Ек↓). В момент максимального закручення пружини, тіло маятника зупиняється. При цьому, його кінетична енергія стає нулевою, а потенціальна енергія спіральної пружини – максимально великою  (Еп=max; Ек=0). Ясно, що в подальшому, процес повторюється. При цьому напрям обертального руху маятника змінюється на протилежний.

Таким чином, вільні механічні коливання крутильного маятника, супроводжуються періодичними перетворюваннями потенціальної енергії деформованої спіральної пружини (закрученої нитки, мотузки, троса, тощо), в кінетичну енергію обертального руху тіла і навпаки: Еп ↔ Ек.

Можна довести, що період коливань ідеального крутильного маятника (маятника в якому відсутні будь які теплові втрати енергії і масою спіральної пружини якого можна знехтувати), визначається за формулою Т=2π(J/D)1/2, де J – момент інерції тіла маятника; D – крутильна  жорсткість пружини (визначається експериментально).

Крутильні маятники широко застосовуються в годинникових механізмах. Наприклад, якщо мова йде про наручний годинник, то застосувати в ньому звичайний фізичний маятник практично не можливо. Базовим елементом наручних та переважної більшості побутових механічних годинників є крутильній маятник. Цей маятник (мал.110а) представляє собою відносно масивне колесо («балансир») до осі якого прикріплена легка спіральна пружина (“волосок”). В годинниковому маятнику балансир періодично повертається то в одну то в іншу сторону. При цьому, періодичні коливання балансиру і є мірою відліку однакових проміжків часу та основою точної роботи годинника.

 

Мал.110. Приклади застосування крутильного маятника.

Ще одним прикладом практичного застосування крутильної маятникової системи, є так звані крутильні ваги (терези). Крутильні ваги (мал.110б) представляють собою вимірювальну систему, яка складається з важеля, який збалансовано відносно свого центру мас висить на тонкій пружній нитці. Принцип дії цієї системи полягає в наступному. Під дією вимірюваної сили, тіло важеля повертається на кут, величина якого пропорційна діючій силі. Вимірявши цей кут та знаючи параметри важеля і пружної нитки, визначають величину вимірюваної сили.

Крутильні ваги є надзвичайно чутливими до силової дії. А це означає, що ці ваги дозволяють вимірювати сили мізерної величини. Достатньо сказати, що саме за допомогою крутильних вагів, англійський фізик Генрі Кавендіш, ще в 1798 році виміряв величину гравітаційної сталої (G=6,67·10-11Нм2/кг2).

Перші крутильні ваги виготовив в 1784 році французький фізик Шарль Кулон. Саме за допомогою цих вагів, Кулон відкрив закон взаємодії електричних зарядів (закон Кулона).

Цікавою різновидністю простих коливальних систем є маятник Максвела (мал.111). Цей маятник представляє собою масивний диск, горизонтальна вісь якого утримується двома вертикально закріпленими паралельними нитками які намотані на цю вісь.

  

Мал.111  Загальний устрій маятника Максвела.

Пояснюючи загальний устрій та принцип дії маятника Максвела можна сказати наступне. Коли тіло маятника знаходиться в гранично верхньому положенні, кількість зосередженої в ньому потенціальної енергії сили тяжіння є максимальною, а кількість його кінетичної енергії – нулевою (Еп=mgΔh=max; Ек=0). В процесі опускання тіла маятника, його потенціальна енергія зменшується, а кінетична – відповідно збільшується (Еп↓; Ек↑). При цьому потрібно зауважити, що кінетична енергія тіла маятника Максвела складається з кінетичної енергії його поступального руху (Ек=mv2/2) та кінетичної енергії його обертального руху (Ек=Jω2/2 , де J – момент інерції тіла маятника, ω – кутова швидкість цього тіла). Коли тіло маятника опиняється в гранично нижньому положенні, кількість зосередженої в ньому потенціальної енергії (відносно цього положення) буде нулевою, а кількість кінетичної енергії обертального руху тіла – гранично великою (Еп=0; Ек= Jω2/2).

Продовжуючи обертатись за інерцією, тіло маятника намотує вертикальні нитки на вісь свого обертання і за рахунок цього піднімається вгору. При цьому потенціальна енергія тіла збільшується, а його загальна кінетична енергія – зменшується (Еп↑; Ек↓). В точці гранично верхнього положення, маятник знову зупиняється. При цьому, кількість зосередженої в ньому потенціальної енергії знову стає максимальною, а кількість кінетичної енергії – нулевою (Еп=max; Ек=0). В подальшому процес повторюється і тіло маятника здійснює відповідні періодичні коливання.

Маятник Максвела не є певною різновидністю крутильного маятника. За фізичною суттю тих процесів які відбуваються в маятнику Максвела, він скоріше схожий на фізичний маятник. Різниця лише в тому, що в фізичному маятнику, потенціальна енергія сили тяжіння тіла маятника, перетворюється в кінетичну енергію його поступального руху і навпаки: mgΔh ↔ mv2/2. В маятнику ж Максвела, потенціальна енергія піднятого тіла також перетворюється в кінетичну енергію, але кінетичну енергію обертального руху тіла маятника: mgΔh ↔ Jω2/2.

Можна довести, що період коливань ідеального маятнику Максвела визначається за формулою Т = 2π(2h/g(1+J1/J2)1/2, де h – амплітуда коливань маятника; g – прискорення сили тяжіння;  J1 – момент інерції тіла маятника: J2 – момент інерції тієї осі на яку накручуються нитки маятника.

Маятники Максвела не мають серйозного практичного застосування. Однак як демонстраційні прилади, вони є неперевершеними ілюстраторами взаємопов’язаності механіки поступального та обертального рухів, закону збереження енергії в механіці, тощо. Крім цього, маятник Максвела та похідні від нього коливальні системи є основою багатьох цікавих навчально-пізнавальних приладів та іграшок.

На завершення розмови про механічні коливальні системи, представимо головні параметри цих систем у вигляді наступної порівняльної таблиці.

 

     Маятник Енергетичні перетворення   Період коливань
Фізичний         mgΔh ↔ mv2/2    T = 2π(l/g)1/2
Пружинний        kΔl2/2 ↔ mv2/2    T = 2π(m/k)1/2
Крутильний       DΔφ2/2 ↔ Jω2/2    Т = 2π(J/D)1/2
Максвела          mgΔh ↔ Jω2/2    Т = 2π(2h/g(1+J1/J2)1/2

 

Словник фізичних термінів.

Крутильний маятник – це така механічна коливальна система, яка складається з легкої крутильної пружини та масивного тіла і в якій це тіло здійснює обертальні коливання навколо свого центру мас. При, потенціальна енергія закрученої пружини перетворюється на кінетичну енергію обертального руху тіла маятника і навпаки:  DΔφ2/2 ↔ Jω2/2.

Маятник Максвела – це така механічна коливальна система, яка представляє собою масивний диск, горизонтальна вісь якого утримується двома вертикально закріпленими паралельними нитками які намотані на цю вісь. В процесі поступально-обертальних коливань тіла маятника, потенціальна енергія піднятого тіла перетворюється на кінетичну енергію його обертального руху і навпаки:  mgΔh ↔ Jω2/2.

Контрольні запитання.

1.Поясніть будову і принцип дії крутильного маятника.

2.Чим схожі і чим відрізняються пружинні та крутильні маятники?

3.Чим схожі і чим відрізняються формули періодів коливань пружинного та крутильного маятників?

4.Чому в наручних годинниках застосовують не фізичні а пружинні маятники?

5.Які перетворення енергії відбуваються в процесі коливань маятника Максвела?

6.Чим схожий та чим відрізняється маятник Максвела від: а) фізичного маятника; б) крутильного маятника?

7.В формулах періодів коливань маятників присутній коефіцієнт 2π. Як ви думаєте, на що вказує цей коефіцієнт?

 

§51. Розв’язування задач. Тема: Механічні коливання. 

 

Задача 1.  Математичний маятник здійснює коливання за законом х=0,1sin(πt+π/2). Визначити: 1) початкову фазу, амплітуду, період та частоту коливань; 2) довжину нитки маятника; 3) величину максимального кута відхилення маятника; 4) максимальну швидкість руху тіла маятника; 5) пройдений тілом маятника шлях за одне його повне коливання.

Дано:                                       Аналіз

х=0,1sin(πt+π/2)

1) φ0, хм, Т, ν – ?

2)  l = ?

3)  αм = ?

4)  vм = ?

5)  s = ?

1)  Із порівняльного аналізу заданого рівняння  х=0,1sin(πt+π/2) та загального вигляду рівняння гармонічного коливання  х = хмsin(2πνt+φ0), ясно:

хм = 0,1м;

φ0 = π/2 рад;

ν = 0,5Гц   (оскільки 2πνt = πt  то ν = 0,5Гц);

Т = 2с  (оскільки Т = 1/ν)

2)  Оскільки період коливань математичного маятника визначається за формулою Т = 2π(l/g)1/2, та зважаючи на те що Т=2с, можна записати  Т2=4π2(l/g).  Звідси l = Т2g/4π2 = 0,994м = 99,4см.

3)  Із геометричних міркувань (дивись мал.) ясно, що   хм = lsinαм , тому  sinαм = хм/l, звідси:  αм = arcsin(xм/l) ≅ 6°.

4)  Максимальну швидкість матеріальної точки, тобто її швидкість в момент проходження маятником положення рівноваги, можна визначити на основі закону збереження енергії. А згідно з цим законом: mgΔh = mvм2/2. Звідси vм = (2gΔhм)1/2.  Величину Δhм визначаєм із геометричних міркувань (див. мал.)  Δhм = l – lcosαм = l(1 − cosαм) = …= 0,005м. Отже  vм = (2gΔhм)1/2 = …= 0,32м/с.

5)  Будемо виходити з того, що при русі матеріальної точки по колу радіусом R=l пройдений нею шлях можна визначити за формулою  s = 2πl(α/360°), де  α – загальний кут повороту точки [Оскільки для повного кола, тобто для α=360°, s=2πl, то для частини цього кола s = 2πl(α/360°)]. Зважаючи на те, що за одне повне коливання системи, маятник 4 рази проходить кут αм, можна записати α = 4αм = 24°.  Звідси s = 2πl(24/360) = 0,416м = 41,6м.

Задача 2. Визначити період коливань математичного маятника довжиною l який з прискоренням а рухається: а) вертикально вгору; б) вертикально вниз; в) горизонтально вперед.

а)              а?                   б)               а?                     в)                 а?

  

Дано:                                       Аналіз.

l

g ↓

a1

a2 ↓

a3 →

T1, Т2, Т3=?

Формула Т = 2π(l/g)1/2 по суті відображає факт того, що тією зовнішньою  силою яка визначає період коливань математичного маятника є сила тяжіння Fт = mg . При цьому, мається на увазі, що та система відліку в якій знаходиться маятник є інерціальною (а = 0). Якщо ж ця система є неінерціальною, тобто такою що рухається з певним прискоренням (а ≠ 0), то на матеріальну точку, окрім сили тяжіння активно діє сила інерції Fi = −ma. При цьому періодичність коливань математичного маятника визначатиметься результуючою двох сил: R = Fт + Fi = m(g+aі), де аі – прискорення сили інерції, тобто те прискорення що є рівним за величиною і протилежним за напрямком до прискорення системи відліку (прискорення ракети, ліфта, потягу, коливальної системи, тощо): аі = −а.

Таким чином, в неінерціальних системах відліку період коливань математичного маятника залежить від результуючої двох сил: сили тяжіння та сили інерції R = Fт + Fi = m(g+aі). (До речі, в загальній теорії відносності стверджується, що сила тяжіння і сила інерції, це дві різновидності однієї і тієї ж сили). А це означаю, що в неінерціальній системі відліку період коливань математичного маятника має визначатись за формулою:  Т = 2π(l/g+аі)1/2.

Зважаючи на вище сказане, можна записати:

Т1 = 2π(l/g+а)1/2;  Т2 = 2π(l/g-а)1/2;  Т3 = 2π(l/g22)1/2.

При цьому, потрібно зауважити, що в ситуації (в) віссю рівноваги маятника буде не вертикальна пряма, а та пряма що є паралельною напрямку результуючої сили   R = Fт + Fi .

Задача 3. На рівні моря маятниковий годинник іде абсолютно точно. Чи буде цей годинник таким же точним на висоті 4км ? Якою буде похибка його показань за добу? Радіус Землі 6,37·103 км.

Дано:                                                      Аналіз.

h = 4км               4·103м

R = 6,37·103км   6,67·106м

t0 = 24год            86400с

Δt = ?                                     Оскільки період коливань математичного (фізичного) маятника залежить від прискорення сили тяжіння  Т = 2π(l/g)1/2, а величина цього прискорення в процесі віддалення від центру Землі зменшується (g = GM(R+h)2), то можна стверджувати, що на висоті h, період коливань математичного маятника стане більшим: оскільки g↓ то Т↑. А це означає, що на висоті h маятник зробить менше коливань і тому відповідна стрілка годинника повернеться на менший кут. Іншими словами, на висоті h маятниковий годинник буде відставати.

Визначаючи величину цього відставання, будемо виходити з того, що час який фіксує маятниковий годинник, пропорційний кількості коливань його маятника (t ~ n) і що тому t0/t1 = n0/n1 , де t0, t1 – час, який фіксує годинник за добу відповідно: на рівні моря і на висоті h; n0, n1 – кількість коливань які здійснює маятник годинника за добу, відповідно: на рівні моря і на висоті h.

Зважаючи на те, що кількість тих коливань які здійснює маятник за час t визначається за формулою n=t/T , де Т – період коливань маятника, можна записати:  n0/n1= tT1/T0t =T1/T0 , звідси  t0/t1 = T1/T0.

Враховуючи, що:

T0 = 2π(l/g0)1/2 = 2π[lR2/GM];

T1 = 2?(?/g1)1/2 = 2π[l(R+h)2/GM],

можна записати: t0/t1 = T1/T0 = …= (R+h)/R.

Звідси: t1 = t0R/(R+h)  Δt = t0 – t1

Розрахунки:   t1 = …= 86345c;

Δt = …= 86400 – 86345 = 55c

Відповідь: Δt = 55c.

Задача 4.  В колінах U – подібної сполученої посудини незмінної площі поперечного перерізу S, знаходиться рідина загальна маса якої m, а густина ρ. Визначити період коливань цієї рідини після виведення її з стану механічної рівноваги.

Дано:                           Аналіз.

m

ρ

S

T=?

Із аналізу малюнку ясно, що в сполученій посудині на виведену з рівноваги рідину діятиме змінна сила тяжіння Fт = Δmg = ρΔVg = ρ2ΔhSg , де Δh = ƒ(t).

Загальні зауваження. Можна довести: якщо під дією змінної сили F=ƒ(t) тіло масою m здійснює гармонічні коливання тобто рухаються за законом х=хмsin2πνt, то ця змінна сила надаватиме тілу змінного прискорення, величина якого визначається за формулою a=(2πν)2Δх, де Δх – відхилення системи від положення рівноваги.  Знаючи дане співвідношення, можна визначити частоту (період) коливань в тих ситуаціях, коли тіло рухається під дією певної гармонічно змінної сили. Наприклад в пружинному маятнику, тіло масою m під дією гармонічно змінної сили пружності F=kΔl (а точніше – під дією сили пружності та сили інерції) здійснює коливання в яких Δl=Δlмsin2πνt. При цьому, тіло рухатиметься з прискоренням  a=(2πν)2Δl. З іншого боку, згідно з другим законом Ньютона: а=F/m=kΔl/m. Тому можна записати  (2πν)2Δl = kΔl/m. Звідси: ν = 1/2π(m/k)1/2  або Т =2π(m/k)1/2 .

В умовах нашої задачі, на фрагмент тієї рідини що знаходиться над рівнем її рівноваги, діє певна змінна сила тяжіння (змінна в процесі коливань) під дією цієї сили, рідина буде рухатись з прискоренням  a=(2π/T)2Δh. З іншого боку згідно з другим законом Ньютона  а = F/m = 2ρSgΔh/m. Тому можна записати:  (2π/T)2Δh = 2ρSgΔh/m.

Звідси  Т = 2π(m/2ρSg)1/2.

Відповідь:  Т = 2π(m/2ρSg)1/2.

 

Вправа 35. 

1.Запишіть рівняння гармонічного коливання за наступними даними:

а) хм = 10см,  φ0 = (π/4)рад,  ν = 5Гц;

б) хм = 5см,    φ0 = (π/2)рад,   Т = 2с ;

в) l = 50см,  αм = 10°, математичний маятник.

2.Математичний маятник здійснює коливання за законом х = 0,2cosπt . Визначити: а) початкову фазу, амплітуду, період та частоту коливань; б) довжину нитки маятника; в) максимальну швидкість тіла маятника; г) пройдений тілом маятника шлях за 10с.

3.Математичний маятник здійснює коливання за законом х=0,3sin2πt . Визначити максимальну величину кінетичної енергії матеріальної точки маятника, якщо її маса 500г.

4. Як і настільки будуть відрізнятись показання абсолютно однакових маятникових годинників один з яких знаходиться на полюсі (g=9,83м/с2), а другий – на екваторі (g=9,78м/с2).

5.Маятник Фуко встановлено на планеті густина якої дорівнює густині Землі, а радіус в два рази менший. Яка довжини довжина цього маятника, якщо за хвилину він здійснює три коливання?

6.Циліндр масою m і площею основи S плаває в рідині густина якої ρ. Цей циліндр дещо занурили в рідину і відпустили. Визначити період коливань циліндра.

 

§52. Автоколивання.

 

         Вільні коливання будь якої коливальної системи характеризуються певною наперед заданою періодичністю. Наприклад, період коливань фізичного маятника визначається за формулою Т=2π(lзв/g)1/2 і практично не залежить ні від способу виведення системи з рівноваги, ні від амплітуди її коливань, ні від величини наданої системі енергії. Змінити цю власну періодичність коливальної системи, можна лише шляхом зміни параметрів самої системи, наприклад шляхом зміни довжини маятника.

Основним недоліком будь яких вільних механічних коливань є те, що вони в тій чи іншій мірі згасаючі. Вони гасають тому, що будь який механічний процес, неминуче супроводжується тими чи іншими енергетичними втратами: втратами на тертя, опір повітря, деформаційне нагрівання, тощо. Для того щоб вільні механічні коливання стали незгасаючими, необхідно так чи інакше постійно компенсувати енергетичні втрати коливальної системи. Скажімо, енергетичні втрати фізичного маятника можна поповнювати шляхом періодичних підштовхувань тіла маятника. Однак ясно, що ручний спосіб поповнення енергетичних втрат системи є незручним, неефективним і мало прогнозованим. Тому на практиці дозовану та вчасну компенсацію енергетичних втрат коливальної системи здійснюють автоматизовано і за рахунок певного, наперед визначеного джерела енергії. При цьому коливальна система стає автоколивальною, а її вільні коливання стають автоколиваннями.

Автоколивальна система, це така автоматизована коливальна система, яка є джерелом незгасаючих, умовно вільних коливань, енергетичні втрати якої автоматично компенсуються за рахунок додаткового джерела енергії. При цьому, ті умовно вільні коливання які створює автоколивальна система називають автоколиваннями.

Класичним прикладом механічної автоколивальної системи є маятниковий механізм годинника (мал.112). Основними елементами цього механізму є маятник, ходове колесо, спеціальний зубчастий важіль (анкер) та джерело додаткової енергії – піднята гиря або скручена пружина. Принцип дії такої автоколивальної системи полягає в наступному. Ходове колесо знаходиться під постійним силовим навантаженням піднятої гирі і через спеціальний зубчастий важіль (анкер) перебуває в рухомому контакті з маятником годинника. Конструкція анкера та ходового колеса така, що за одне напівколивання маятника, колесо повертається на один зубець. При цьому, в момент переходу від одного зубця до іншого, анкер, а разом з ним і маятник, отримують певний додатковий енергетичний імпульс, джерелом якого є піднята гиря. А це означає що за одне повне коливання, маятник, в певні наперед визначені моменти часу, двічі отримує додаткові енергетичні імпульси, які повністю компенсують всі енергетичні втрати системи. При цьому коливання системи будуть строго періодичними та незгасаючими.

  

Мал.112.  Загальний устрій автоколивальної системи маятникового механізму годинника.

В будь якій автоколивальній системі можна виділити три основні елементи: 1) коливальна система; 2) джерело енергії; 3) регулюючий пристрій, тобто пристрій який забезпечує передачу дозованих порцій енергії від її джерела до коливальної системи. Наприклад, в зображеному на мал.112 маятниковому механізмі, коливальною системою є фізичний маятник, джерелом енергії – піднята гиря, а регулюючим пристроєм – система, що складається з ходового колеса та анкера.

Однак, сам по собі факт наявності вище названих базових елементів, ще не гарантує того, що в своїй сукупності ці елементи утворюють автоколивальну систему. Адже ті енергетичні імпульси які компенсують втрати енергії в коливальній системі, потрібно надавати в строго визначені моменти часу і ці моменти визначаються положенням самої коливальної системи. Тому невід’ємною складовою будь якої автоколивальної системи є наявність в ній так званого зворотного зв’язку. Цей зв’язок полягає в тому, що коливальна система певним, автоматично визначеним чином впливає на роботу регулюючого пристрою, а регулюючий пристрій певним чином впливає на енергетичні параметри коливальної системи. Наприклад в нашому випадку, система зворотного зв’язку обумовлена тим, що анкер, будучи жорстко з’єднаним з тілом маятника, в певні визначені моменти контактує то з одним, то з іншим зубцем ходового колеса. А оскільки це колесо знаходиться під постійним силовим навантаженням, яке забезпечує джерело енергії, то у відповідні моменти, певні енергетичні імпульси передаються коливальній системі, забезпечуючи тим самим сталість її коливань.

Таким чином, принцип дії будь якої автоколивальної системи полягає в наступному. Коливальна система (в нашому випадку фізичний маятник), створює певні періодичні коливання.  Регулюючий пристрій (в нашому випадку анкер) отримує енергію від відповідного постійного джерела (піднятої гирі) і керуючись командами коливальної системи, імпульсно компенсує енергетичні втрати цієї системи. Загальний устрій та принцип дії автоколивальної системи можна представити у вигляді наступної принципової схеми.

Мал.113. Принципова схема автоколивальної системи.

Автоколивання можна назвати як умовно вільними так і умовно вимушеними. Від вимушених автоколивання відрізняються тим, що їх періодичність визначається не періодичністю зовнішньої змінної сили, а параметрами самої коливальної системи. При цьому, вплив сторонніх сил полягає лише в тому, щоб підтримувати по суті вільні коливання системи на енергетично незмінному рівні. Від вільних коливань, автоколивання відрізняються тим, що підтримуються імпульсами певної сторонньої сили і тому є незгасаючими.

 

Словник фізичних термінів.

Автоколивальна система, це така автоматизована коливальна система, яка є джерелом незгасаючих, умовно вільних коливань і в якій ці коливання підтримуються за рахунок стороннього джерела енергії.

Автоколивання, це такі незгасаючі умовно вільні коливання, джерелом яких є автоколивальна система.

Контрольні запитання.

1.Чи можна період коливань нитяного маятника змінити шляхом збільшення: а) маси тіла; б) амплітуди коливань; в) довжини нитки маятника?

2.Який основний недолік вільних механічних коливань і яким чином усувається цей недолік?

3.З яких базових елементів складається автоколивальна система?

4.В чому суть зворотнього зв’язку автоколивальної системи? Як цей зв’язок реалізується в маятниковому механізмі годинника?

5.Чим схожі і чим відрізняються автоколивання від вимушених коливань?

6.Чим схожі і чим відрізняються автоколивання та вільні коливання ?

 

§53. Вимушені коливання. Резонанс.

 

До тепер ми говорили про так звані вільні коливання, тобто такі коливання які починаються після виведення системи з стану рівноваги і продовжуються самостійно, а точніше – під дією певної комбінації внутрішньо системних сил. При цьому ми з’ясували, що періодичність вільних коливань визначається параметрами самої коливальної системи, що амплітуда цих коливань залежить від величини наданої системі енергії, і що з плином часу, амплітуда вільних коливань зменшується.

Однак в науковій, побутовій та природничій практиці, окрім вільних часто зустрічаються і різноманітні вимушені коливання. Такі коливання відбуваються під дією певної зовнішньої змінної сили і після припинення дії цієї сили – припиняються. Наприклад, якщо ви змушуєте книгу здійснювати певні коливальні рухи, то коливання книги є вимушеними. Частотні та амплітудні параметри вимушених коливань можуть бути найрізноманітнішими. Скажімо, коливання мембрани (дифузора) того гучномовця з якого лине музика чи голосовий текст, є вимушеними. При цьому, параметри цих вимушених коливань підпорядковані не певним строго визначеним закономірностям, а відображають параметри того змінного струму в якому записана певна звукова інформація, і який власне й створює відповідні механічні коливання. Вимушено коливаються рухомі деталі двигуна внутрішнього згорання та механічної моделі цього двигуна. Вимушено коливаються рухомі деталі електричних та механічних швейних машинок. Вимушені коливання здійснюють м’язи нашого серця. Вимушено коливаються легені нашого організму, деталі машин та механізмів, тощо.

 

Мал.114. Деякі приклади джерел вимушених коливань.

Ясно, що описати все різноманіття можливих варіантів вимушених коливань практично неможливо. Тому стисло зупинимся лише на одній, але надзвичайно важливій різновидності вимушених коливань. А саме, на тих коливаннях в яких зовнішня змінна сила діє на об’єкт який сам по собі є коливальною системою. Досліджуючи поведінку такого об’єкту звернемось до експерименту. Суть цього експерименту полягає в наступному. Пружинний маятник (мал.115а) через нитку та кільце  з’єднаний з кривошипним вигином горизонтальної осі, яку можна обертати з контрольованою швидкістю. В процесі рівномірного обертання цієї осі, на маятник буде діяти змінна за величиною та напрямком сила, період коливань якої дорівнює періоду обертання осі.

  

Мал.115. Прилад для дослідження залежності амплітуди коливань коливальної системи, від частотних параметрів діючої на цю систему зовнішньої сили та графік цієї залежності.

Дослідження показують, що при рівномірному обертанні осі приладу (бажано щоб таке обертання здійснювалось електродвигуном, частотні параметри якого можна контрольовано змінювати),  масивне тіло маятника починає здійснювати певні коливальні рухи. Спочатку ці рухи є досить складними. Але вже через декілька обертів осі, коливання вантажу стають гармонічними та незгасаючими. При цьому, частота цих коливань співпадає з частотою коливань діючої на маятник зовнішньої сили. Таким чином, якщо коливальна система знаходиться під дією зовнішньої періодичної сили, то через деякий час ця система починає здійснювати вимушені, незгасаючі коливання, частота яких дорівнює частоті коливань зовнішньої сили.

Досліджуючи вимушені коливання вантажу, звернемо увагу на залежність амплітуди цих коливань від швидкості обертання осі, тобто від періодичності (частоти) дії зовнішньої сили. Припустимо, що жорсткість пружини маятника дорівнює 40Н/м, а маса його вантажу 0,1кг. Не важко визначити, що за таких умов, період власних коливань маятника становить 0,314с, а їх частота 3,18Гц:  Т=2π(m/k)1/2= 0,314с;  ν=1/Т=3,18Гц.

Дослідження показують, що коли частота коливань зовнішньої сили значно менша за частоту власних коливань маятника, то амплітуда коливань вантажу практично не відрізняється від амплітуди коливань точки О. Але по мірі того як частота коливань зовнішньої сили наближається до частоти власних коливань маятника, амплітуда коливань вантажу неухильно зростає і досягає своєї максимальної величини при співпадінні цих частот. При подальшому збільшенні швидкості обертання осі приладу (при збільшенні частоти коливань), амплітуда коливань вантажу швидко зменшується і при відносно великих частотах обертання, стає практично нулевою. Характер залежності амплітуди коливань вантажу від частоти коливань зовнішньої сили, представлено на мал.115б.

Таким чином, експериментальні дослідження показують, що при співпадінні частоти зовнішніх силових впливів з власною частотою коливальної системи, спостерігається різке збільшення амплітуди коливань цієї системи. Це явище прийнято називати резонансом. Резонанс це явище, суть якого полягає в тому, що при співпадінні частоти коливань зовнішніх силових (енергетичних) впливів (νзовн), з власною частотою (νвл) тієї коливальної системи на яку ці впливи спрямовані, відбувається розгойдування коливальної системи, тобто відносно швидке збільшення амплітуди її коливань. Іншими словами: якщо νзовнвл, то резонанс (розгойдування системи, підсилення коливань).

Наприклад, масивна паркова гойдалка-човник (мал.116), представляє собою певну коливальну систему (фізичний маятник) з певною, строго визначеною періодичністю коливань (власною частотою коливань). При цьому загально відомо, що для розгойдування цієї системи, розгойдувальні силові імпульси (поштовхи) потрібно надавати системі не як попало, а з певною періодичністю. Періодичністю, яка узгоджена з власним періодом коливань системи.

Мал.116. При співпадінні частоти зовнішніх силових поштовхів з власною частотою коливань системи, відбувається розгойдування цієї системи.

Потрібно зауважити, що власну частоту коливань мають не лише прості коливальні системи як то математичний, фізичний чи пружинний маятники, а й практично всі пружні тіла, починаючи від струн музичних інструментів і закінчуючи складними будівельними спорудами, мостами, літаками, підводними човнами, танкерами, тощо. А це означає, що проектуючи та експлуатуючи подібні об’єкти, необхідно враховувати те, що вони можуть перебувати під дією певних періодичних сил, наприклад під дією періодичних поривів вітру, періодичних ударів коліс потягу на стиках рейок, періодичних ударів хвиль, тощо. При цьому, потрібно робити все можливе за для того, що частота зовнішніх силових впливів не співпадала з власною частотою коливальної системи. Адже при такому співпадінні, навіть відносно незначні силові впливи можуть призвести до руйнації відповідного об’єкту.

Наприклад, в 1831 році невеликий загін солдат (60 осіб) що парадним кроком (“в ногу”) марширував по одному з мостів Манчестера (Англія), зруйнував цей міст. Подібні руйнації мостів відбувались в 1850 році у Франції, в 1868 році в Англії, в 1906 році в Росії. І навіть відносно недавно, а саме в 1940 році, в результаті спричинених поривами вітру резонансних коливань, був зруйнований суперсучасний підвісний міст в Сполучених Штатах.

Явище резонансу може бути не лише шкідливим, а й корисним. Наприклад в акустиці, резонанс застосовують для підсилення звуку. В радіотехніці – для налаштування радіо- та телеприймачів на потрібну станцію. В ядерній фізиці – для прискорення елементарних частинок.

Явище резонансу має важливе значення і в нашому повсякденному біологічному житті. Адже здатність людини говорити і чути безпосередньо пов’язані з цим явищем. Пояснюючи суть того зв’язку що існує між явищем резонансу та нашою здатністю говорити і чути, можна сказати наступне. Джерелом голосу людини є складна акустична система, основними елементами якої є легені, голосові зв’язки, гортань та ротова порожнина. Загальний принцип дії цієї системи полягає в наступному. Легені створюють достатньо потужний потік повітря. Цей повітряний потік, проходячи через голосові зв’язки організму, примушує їх вібрувати і створювати відповідні звукові хвилі. Проходячи через гортань і ротову порожнину, ці хвилі резонансно підсилюються та перетворюються на той звук який ми чуємо.

Якщо ж говорити про наші слухові відчуття, то вони ще в більшій мірі залежать від явища акустичного резонансу. І ця залежність полягає в наступному. Основним звуко чутливим елементом слухової системи людини є так звана слухова мембрана. Ця мембрана представляє собою сукупність величезної кількості (близько 4500) тонких пружних волокон, кожне з яких має свою довжину, а відповідно і свою власну частоту коливань. Звукові хвилі, проходячи через слухову мембрану, примушують резонансно коливатись ті її волокна, власна частота яких співпадає з частотою даної хвилі. При цьому, відповідні елементи нервової системи фіксують ці вібрації, та передають отриману інформацію в мозок людини, який і формує відповідне слухове відчуття.

Наочним прикладом ефектного прояву механічно-акустичного резонансу може бути наступний експеримент. Тонкостінна склянка ставиться перед достатньо потужним джерелом звуку. При цьому, за певних умов та без видимих причин відбувається механічна руйнація склянки (мал.109). Пояснюючи даний ефект, можна сказати наступне. Як і будь яке пружне тіло, склянка представляє собою певну коливальну систему. А оскільки тонке скло не надто міцне та дуже крихке, то воно є чутливим до механічних вібрації. В такій ситуації при співпадінні (або пропорційності) частоти зовнішніх звукових впливів з власною частотою коливань склянки, в ній виникають резонансні вібрації, які і спричиняють руйнацію склянки. Втім, потрібно мати на увазі, що успішність даного експерименту залежить від багатьох обставин, зокрема від частотних і амплітудних параметрів звукових хвиль, та механічних властивостей склянки.

Мал.117. Наочний приклад ефектного прояву механічно-акустичного резонансу.

На завершення додамо, що резонансне розгойдування системи, відбувається не лише при повному співпадінні частоти зовнішніх силових впливів (?зовн) з власною частотою коливальної системи (?вл), а й в тих випадках коли ці частоти є пропорційними. Адже для того щоб наприклад, розгойдати зображену на мал.105 гойдалку-човник, не обов’язково підштовхувати цю гойдалку з частотою яка вточності дорівнює частоті її власних коливань. Достатньо щоб частота зовнішніх підштовхувань, була пропорційною частоті власних коливань системи. Скажімо частота підштовхувань може бути в два рази більшою, або в два рази меншою за власну частоту коливань гойдалки.

 

Словник фізичних термінів.

Резонанс це явище, суть якого полягає в тому, що при співпадінні (або пропорційності) частоти коливань зовнішніх енергетичних впливів, з власною частотою тієї коливальної системи на яку ці впливи спрямовані, відбувається розгойдування цієї системи, тобто відносно швидке збільшення амплітуди її коливань.

Контрольні запитання.

1.Чи є поділ коливань на вільні та вимушені безумовно чітким? Наведіть приклади коливань які можна вважати як умовно вільними так і умовно вимушеними.

2.За якої умови відбувається резонанс?

3.Як ви думаєте, яку цистерну безпечніше транспортувати, повну чи напівповну? Чому?

4.Чому військовим підрозділам забороняється проходити мостами стройовим кроком?

5.Поясніть будову та принцип дії слухового апарату людини.

6.За якої швидкості руху потягу, амплітуда коливань його вагонів буде максимальною, якщо період власних коливань вагону Т, а довжина рейок l?

 

§54. Загальні відомості про хвилі.

 

Дрібні хвилі на поверхні води та потужні океанські цунамі, звук і руйнівні ударні хвилі вибухів, світло і сейсмічні коливання земної кори, радіохвилі і рентгенівське випромінювання – все це приклади тих чи інших хвильових процесів, а простіше кажучи, хвиль. З’ясовуючи суть того що прийнято називати хвилею, розглянемо просту механічну модель, яка представляє собою сукупність великої кількості пружним чином пов’язаних масивних кульок (мал.118). Припустимо, що під діє зовнішньої сили одна з цих кульок, наприклад кулька 1, починає здійснювати певні гармонічні коливання. Оскільки кульки пружним чином взаємопов’язані, то коливання кульки 1 спричинять коливання кульки 2, які в свою чергу призведуть до коливань кульки 3 і т.д. При цьому, коливання кожної наступної кульки будуть вточності повторювати коливання попередньої, але повторювати з певним інерційним запізненням. А це означає, що процес розповсюдження таких взаємопов’язаних коливань відбувається в формі хвилі.

Мал.118. В системі взаємоповязаних кульок, коливання однієї з них, автоматично породжує аналогічні коливання сусідніх. При цьому процес розповсюдження цих взаємопов’язаних коливань має форму хвилі.

Визначальною рисою будь якої хвилі, є факт того, що процес її розповсюдження супроводжується переносом енергії збуреного матеріального середовища (речовини або поля) але не супроводжується переносом самого середовища. Наприклад, коли камінь падає на поверхню води, то в процесі удару він енергетично збурює цю поверхню та породжує відповідну поверхневу хвилю. В процесі розповсюдження, ця хвиля переносить надану воді енергію. При цьому сама вода по суті залишається на місці. Адже в процесі розповсюдження хвилі, частинки води лише здійснюють певні коливальні рухи. Або, наприклад, коли вчитель говорить, то він енергетично збурює навколишнє повітря та створює відповідну звукову хвилю. Оскільки ви чуєте вчителя, то це означає що в процесі розповсюдження, звукова хвиля переносить енергію. З іншого ж боку, цей процес не супроводжується переносом самого повітря. Адже за великим рахунком, повітря залишається на місці і лише здійснює коливальні вібрації.

Таким чином, визначаючи термін “хвиля” можна сказати наступне. Хвилею називають процес розповсюдження збурення матеріального середовища (речовини або поля), який супроводжується переносом енергії, але не супроводжується переносом самого середовища (частинки середовища або параметри поля, лише здійснюють певні гармонічні коливання).

Зазвичай хвилі поділяються на механічні та електромагнітні, а також на поздовжні, поперечні та поздовжньо-поперечні. Механічними (або пружними) називають такі хвилі, які розповсюджуються в пружному середовищі і які представляють собою взаємопов’язані коливання частинок цього середовища.  До числа механічних відносяться звукові хвилі, поверхневі хвилі (хвилі на поверхні рідини), сейсмічні хвилі, ударні хвилі вибухів і взагалі будь які пружні хвилі що розповсюджуються в твердих, рідких та газоподібних середовищах.

Електромагнітними називають такі хвилі, які розповсюджуються в електромагнітному полі і які представляють собою взаємопов’язані  коливання параметрів цього поля. Про те, що таке електромагнітне поле, які параметри його характеризують і яким чином коливання цих параметрів породжують відповідну електромагнітну хвилю, ми поговоримо ще не скоро. Наразі ж просто зауважимо, що радіохвилі, світло, інфрачервоне, ультрафіолетове, рентгенівське та гамма випромінювання – це різновидності електромагнітних хвиль.

В залежності від того як коливання частинок середовища (або параметрів поля), орієнтовані відносно напрямку розповсюдження хвилі, хвилі поділяються на поздовжні, поперечні та поздовжньо-поперечні. Поздовжніми називають такі хвилі, в яких коливання частинок середовища відбуваються вздовж напрямку розповсюдження хвилі. Наприклад звукові хвилі є поздовжніми. Адже в них коливання частинок повітря відбувається вздовж напрямку розповсюдження звуку.

Поперечними називають такі хвилі, в яких коливання частинок середовища (параметрів поля) відбуваються в площині що є перпендикулярною (поперечною) до напрямку розповсюдження хвилі. Прикладом строго поперечних хвиль є хвилі електромагнітні. В них коливання параметрів електричного і магнітного поля відбуваються в площині яка перпендикулярна до напрямку розповсюдження хвилі.

Поздовжньо-поперечними називають такі хвилі, в яких коливання частинок середовища мають як поздовжню так і поперечну складову. Наприклад в поверхневій хвилі, частинки поверхневого шару рідини рухаються не строго вверх-вниз, чи вперед-назад, а описують певні еліпси, тобто мають як поздовжню так і поперечну складову руху. В цьому не важко переконатись, уважно спостерігаючи за поведінкою дерев’яної трісочки що знаходиться в потоці поверхневих хвиль. (Звичайно за умови, що вода не тече і вітер не жене трісочку за хвилею).

На відміну від коливань, хвилі характеризуються подвійною періодичністю. Дійсно. З одного боку, кожна частинка хвилі здійснює певні гармонічні коливання, параметри яких можна охарактеризувати відповідним набором фізичних величин: період коливань (Т), частота коливань (ν), амплітуда коливань (хм), фаза коливань (φ). З іншого боку, взаємопов’язані частинки хвилі, мають певне просторове розташування, яке періодично повторюється. Характеризуючи цю просторову повторюваність говорять про довжину хвилі.

Довжина хвилі – це фізична величина, яка характеризує просторову періодичність (повторюваність) хвильового процесу і яка дорівнює тій відстані на яку розповсюджується хвильове збурення за той проміжок часу що дорівнює періоду коливань частинок даної хвилі.

Позначається: λ

Визначальне рівняння: λ = vT , де  v – швидкість хвилі, Т – період коливань частинок хвилі.

Одиниця вимірювання: [λ] = м   (метр).

По суті, довжина хвилі дорівнює відстані між двома її сусідніми гребнями, або двома сусідніми западинами, або взагалі – між будь якими двома сусідніми точками хвилі, фази коливань яких однакові.

Будь яка хвиля, це певний динамічний процес, який практично не можливо представити у вигляді відповідної статичної картинки. Зазвичай хвилю зображають у вигляді певної послідовності  згущень та розріджень середовища, або у вигляді певної синусоїди, відстань між сусідніми гребнями якої пропорційна довжині відповідної хвилі.

Мал.119. Звукову хвилю можна представити як у вигляді певного набору згущень та розріджень середовища, так і у вигляді відповідної синусоїди.

В наукові практиці хвилі зазвичай зображають певною сукупністю умовних ліній, якими можуть бути: 1) хвильові фронти; 2) хвильові промені (мал.120). Фронтом хвилі (хвилевою поверхнею) називають таку умовну лінію (поверхню), в кожній точці якої частинки (мікро фрагменти) хвилі мають однакову фазу коливань, тобто знаходяться на одній і тій же стадії коливального процесу. Зазвичай фронт багатогребеневої хвилі проводять по лінії розташування гребенів цієї хвилі Хвильовим променем (променем) називають таку умовну лінію, яка вказує на напрям розповсюдження хвильового збурення. Хвильовий промінь є перпендикулярним до фронту відповідної хвилі.

Мал.120. Хвилі зображають за допомогою хвильових фронтів або хвильових променів.

Хвилю можна не лише намалювати чи описати певним набором слів, а й представити у вигляді певної математичної формули. Цю формулу прийнято називати рівнянням хвилі. Рівняння хвилі – це рівняння, яке описує поведінку тих частинок середовища (параметрів поля) взаємопов’язані коливання яких утворюють дану хвилю і яке дозволяє визначати параметри будь якої з цих частинок в будь який момент часу. В загальному випадку рівняння хвилі має вигляд   х = хмsin2π(νt – l/λ),  де  х – миттєве значення змінної величини в момент часу t;  хм – амплітудне значення змінної величини; ν – частота коливань частинок хвилі; λ – довжина хвилі; l – відстань від джерела хвильового збурення до даної точки.

За визначенням, хвиля – це процес розповсюдження хвильового збурення матеріального середовища, який супроводжується переносом енергії але не супроводжується переносом самого середовища. А це означає, що розповсюдження хвиль нерозривно пов’язане з переносом енергії. При цьому, та енергія яку ми називаємо енергією хвилі має дві характерні особливості. По перше, в будь якій точці хвильового збурення, кількість зосередженої в ній хвильової енергії постійно змінюється. По друге, носієм хвильової енергії є не якась окремо взята частинка, а певний фрагмент хвилі. Тому, говорячи про енергію хвилі мають на увазі усереднене значення тієї енергії, носієм якої є певний фрагмент хвилі.

 

Словник фізичних термінів.

Хвилею називають процес розповсюдження збурення матеріального середовища (речовини або поля), який супроводжується переносом енергії, але не супроводжується переносом самого середовища (частинки середовища або параметри поля, лише здійснюють певні гармонічні коливання).

Механічними (або пружними) називають такі хвилі, які розповсюджуються в пружному середовищі і які представляють собою взаємопов’язані коливання частинок цього середовища.

Довжина хвилі – це фізична величина, яка характеризує просторову періодичність (повторюваність) хвильового процесу і яка дорівнює тій відстані на яку розповсюджується хвильове збурення за той проміжок часу що дорівнює періоду коливань частинок даної хвилі.

Позначається: λ

Визначальне рівняння: λ = vT ,

Одиниця вимірювання: [λ] = м   (метр).

Рівняння хвилі – це рівняння, яке описує поведінку тих частинок середовища (параметрів поля) взаємопов’язані коливання яких утворюють дану хвилю і яке дозволяє визначати параметри будь якої з цих частинок в будь який момент часу. В загальному випадку рівняння хвилі має вигляд

х = хмsin2π(νt – l/λ).

Контрольні запитання.

1.Яка визначальна риса всіх хвиль?

2.Чи можна гармонічні коливання однієї частинки речовини вважати хвилею?

3.Поздовжніми чи поперечними є хвилі на поверхні води? Чому?

4.Чому ми стверджуємо, що хвиля має подвійну періодичність?

5.Які величини характеризують періодичність коливань окремих частинок хвилі?

6.Як зображають хвилі?

7.Які особливості тієї енергії яку називають енергією хвилі?

Вправа 36.

1.Визначте довжину звукової хвилі, якщо швидкість її розповсюдження 340м/с, а частота коливань 200Гц.

2.Рибалка помітив, що за 10с поплавок зробив на хвилях 5 коливань, а відстань між сусідніми гребнями хвиль 4м. Яка швидкість поширення хвиль?

3.Катер рухається озером зі швидкістю 36км/год. Відстань між гребнями хвиль 5м, а період їх коливань 1с. З якою періодичністю битимуться хвилі об корпус катера якщо він рухається: а) назустріч хвилям; б) в напрямку руху хвиль ?

4.Джерело хвиль створює коливання, рівняння яких х=3sin20πt. Запишіть рівняння хвилі для точки яка віддалена від джерела на 10м, якщо довжина хвилі 4м. Визначте швидкість розповсюдження та амплітуду коливань цих хвиль.

 

§55. Звукові хвилі.

 

Звуковими хвилями (чутними звуками) називають такі пружні, об’ємні хвилі, які розповсюджуються в суцільному пружному середовищі та викликають у людини слухові відчуття. Прийнято вважати, що звуковими є такі механічні коливання середовища, частотні параметри яких знаходяться в межах від 16Гц до 20кГц.

Джерелом звукових хвиль може бути будь яке тіло що знаходиться в пружному середовищі і коливається з відповідною частотою. Наприклад, в струнних інструментах джерелом звуку є коливання струн; в духових інструментах – коливання певного об’єму повітря; в гучномовцях – коливання пружної мембрани; в організмі людини – коливання елементів надскладної системи, частинами якої є легені, голосові зв’язки, гортань та ротова порожнина; а джерелом тих звуків які створюють комарі, мухи та джмелі є коливальні рухи їх крил.

 

Мал.121.  Практично всі вібруючі тіла, створюють відповідні звукові хвилі.

Звукові хвилі можуть поширюватись в будь якому пружному  середовищі. При цьому, в рідинах і газах звукові хвилі можуть бути лише поздовжніми, а в твердих тілах – як поздовжніми так і поперечними.      Швидкість поширення звукових хвиль (швидкість звуку) практично не залежить від частотних та енергетичних параметрів цих хвиль. Ця швидкість визначальним чином залежить від властивостей того середовища в якому розповсюджуються хвилі, зокрема від його модуля пружності, густини та температури. Втім, говорячи про швидкість розповсюдження звукових хвиль, потрібно мати на увазі, що мова йде про надзвичайно складний динамічний процес, який лише приблизно можна описати певними фізичними моделями та певними математичними формулами. Скажімо, в твердих тілах, звукова хвиля має як поздовжню так і поперечну складову. При цьому поздовжня складова звукової хвилі розповсюджується майже вдвічі швидше за її поперечну складову. Зазвичай, говорячи про швидкість звуку в твердому середовищі, мають на увазі швидкість поширення поздовжніх хвиль.

Дані про швидкість розповсюдження звуку в деяких середовищах, представлені в наступній таблиці.

Таблиця

Швидкість звуку в деяких середовищах (при температурі 20°С).

Речовина   v (м/с) Речовина   v (м/с)
Алюміній    6260 Скло:  флінт    4450
Мідь    4700 Скло:  крон    5220
Свинець    2160 Лід ( t = −4°C)    3980
Сталь    5500 Вода    1480
Чавун    3850 Повітря     343

 

Як і будь яка біжуча хвиля, звук переносить енергію, параметри якої можна оцінити різними величинами, зокрема:

– енергія звуку: ΔЕ  (Дж);

– густина енергії звуку: w = ΔE/ΔV   (Дж/м3);

– потужність звуку: Р = ΔЕ/Δt   (Вт).

Однак, зважаючи на факт того, що людина сприймає лише ту частину звукової енергії яка за одиницю часу потрапляє на поверхню певної площі (потрапляє в вухо слухача), основною енергетичною характеристикою звуку є його інтенсивність або сила звуку.

Інтенсивність звуку (сила звуку) – це фізична величина, яка характеризує кількість тієї звукової енергії що проходить за одиницю часу через одиницю площі поверхні і яка дорівнює цій кількості.

Позначається: J

Визначальне рівняння: J = ΔE/SΔt

Одиниця вимірювання: [J] = Дж/м2с = Вт/м2.

По суті сила звуку (інтенсивність звуку), визначальним чином залежить від амплітуди звукових коливань: чим більша амплітуда коливань, тим більша сила звуку і навпаки.

 

Мал.122. Сила звуку пропорційна амплітуді звукових коливань.

Органи слуху людини мають надзвичайно високу чутливість. Вони здатні відчувати звукові коливання повітря інтенсивність яких становить всього 10-12Вт/м2. Однак, потрібно мати на увазі, що величина цієї чутливості сильно залежить від частотних параметрів звуку. Наприклад, чутливість нашого слуху до звуків середньої частоти (ν~103Гц) в десятки тисяч разів більша за його чутливість до звуків низької (ν < 100Гц) і високої (ν > 10кГц) частоти.

Ту мінімальну інтенсивність звуку, що забезпечує певний мінімальний рівень слухових відчуттів людини, називають порогом чутності. А ту його максимальну інтенсивність при якій звукові хвилі починають викликати больові відчуття, називають порогом больових відчуттів.

Оскільки звуки однієї і тієї ж енергетичної інтенсивності але різної частоти, викликають у людини суттєво різні відчуття (сприймаються як звуки суттєво різної інтенсивності), то на практиці енергетичні параметри звуку часто оцінюють не інтенсивністю звуку, а його гучністю. Гучність звуку – це фізична величина яка характеризує енергетичну інтенсивність звуку, виміряну за суб’єктивними слуховими відчуттями людини з усереднено нормальним слухом. Гучність звуку складним чином залежить від інтенсивності звуку (амплітуди звукових коливань), його частотних параметрів та багатьох інших обставин. Цю залежність практично не можливо представити у вигляді простої математичної формули. Адже вона відображає суб’єктивні особливості тієї надскладної системи яка називається організмом людини.

Гучність звуку визначається експериментально і регламентується певними медичними нормами. Зазвичай гучність звуку вимірюють в позасистемних одиницях гучності, які називаються децибелами (дБ). При цьому порогу чутності відповідає гучність в 0дБ, а порогу больових відчуттів відповідає гучність 130дБ (визначених для ν=103Гц). Певні уявлення про джерела звуку та про рівні тієї гучності які вони створюють, можна почерпнути з мал.123.

Мал.123. Джерела звуку та їм відповідні гучності.

Ще однією суб’єктивною характеристикою звуку, є його висота. Висота звуку – це фізична величина, яка характеризує частотні параметри звуку визначені за суб’єктивними слуховими відчуттями людини з усереднено нормальним слухом. Висота звуку практично напряму залежить від частоти його коливань: чим більша частота звукових коливань, тим більша висота звуку.

Ви можете запитати: “якщо висота звуку пропорційна його частоті, то навіщо взагалі вводити цю величину, та ще й визначати її не за показаннями об’єктивного вимірювального приладу, а за суб’єктивними відчуттями людини?”. Відповідаючи на це слушне запитання, можна сказати наступне. Справа в тому, що переважна більшість реальних звуків, це складна сукупність великої кількості коливань, кожне з яких має свої частотні параметри. А це означає, що в реальній звуковій хвилі, міститься цілий спектр звукових частот, усереднену величину яких і характеризує висота звуку. Скажімо, на мал.124 зображено дві синусоїди і та крива, що є результатом їх накладання. Реальний же звук може бути, і як правило є, результатом накладання десятків, сотень, а іноді й тисяч подібних синусоїд.

  

Мал.124. Реальний звук є результатом накладання багатьох гармонічних коливань.

До числа найпростіших звуків відносяться так звані тональні або музичні звуки. Коли ми говоримо про простоту музичних звуків, то маємо на увазі те, що їх частотні параметри знаходяться в певних простих співвідношеннях. Наприклад, натягнута струна довжиною l може створювати звукові хвилі довжини яких визначаються за формулою λ=l/n,  де  n -ціле число (n=1; 2; 3; 4; …). Це означає, що ті звукові хвилі які створює певна струна можуть мати лише певний набір частот: ν=v/λ=vn/l. Кожну з цих частот називають тоном звуку. При цьому той найнижчий тон (ν0) який здатна створити дана струна, називають її основним тоном, а решту тонів (2ν0; 3ν0; 4ν0; …) називають обертонами.

Музикальні звуки відрізняються не лише своїм основним тоном та обертонами, а й певним звуковим забарвленням, яке називається тембром звуку. Тембр звуку визначається кількістю та частотними параметрами обертонів, їх амплітудами та розподілом цих амплітуд.

Голос людини складніший за будь який музикальний звук. Складніший в тому сенсі, що ті прості тони які є складовими голосу, не зв’язані між собою певними простими співвідношеннями. Крім цього, тембральне забарвлення голосу набагато складніше за тембр музикального звуку. За частотним діапазоном, чоловічі та жіночі голоси прийнято поділяти наступним чином.

Мал.125. Класифікація чоловічих та жіночих голосів за їх частотними діапазонами.

         До числа математично найскладніших звуків відносяться шуми. Шуми представляють собою складні суміші величезної кількості звукових коливань, частотні та амплітудні параметри яких, практично не пов’язані між собою.

Важливість та значимість звукових хвиль є очевидною. Достатньо сказати, що звукові хвилі, це основний засіб спілкування між людьми, одне з основних джерел інформації про навколишній світ та невичерпне джерело естетичних задоволень будь то від музики, співу, щебету пташок чи просто шуму дощу.

Звуки які ми чуємо (чутні звуки), це лише частина того різноманіття пружних, об’ємних хвиль що оточують нас. Це різноманіття можна розділити на три групи: інфразвуки, чутні звуки та ультразвуки.

Інфразвуком (інфразвуковими хвилями), називають ті пружні об’ємні хвилі, які розповсюджуються в суцільному пружному середовищі і частота коливань яких менша за нижню межу чутних хвиль, тобто менша за 16Гц (на практиці менша за 20Гц). Джерелами інфразвуків є землетруси і виверження вулканів, грозові розряди і вітрові потоки, коливання дерев та поверхневі хвилі річок, морів і океанів. Власне будь які механічні коливання які відбуваються з відносно малими частотами (?<16Гц) створюють відповідні інфразвукові хвилі.

Інфразвукові хвилі не викликають у людини слухових відчуттів. Однак певну дію на людський організм вони все ж можуть мати. Ця дія обумовлена тим, що складові частини нашого організму як то печінка, серце, нирки, тощо, представляють собою певні коливальні системи, які характеризуються певною власною частотою коливань. І як правило, ця частота знаходиться в межах від 6 до 9 герц. А це означає, що в потоці відповідних інфразвукових хвиль, в організмі людини можуть відбуватись певні резонансні явища, які можуть викликати певні відчуття та негативні емоції. Втім, вагомих доказів того що інфразвукові хвилі є шкідливими для організму людини на сьогоднішній день не існує.

Ультразвуком (ультразвуковими хвилями) називають ті пружні об’ємні хвилі, які розповсюджуються в суцільному пружному середовищі і частота коливань яких більша за верхню межу частоти чутних хвиль, тобто більша за 20кГц ( В сучасній науці ультразвуки надвисокої частоти (ν>109Гц) називають гіперзвуками).

Ультразвуки мають надзвичайно широке практичне застосування. Наприклад, за допомогою імпульсних ультразвукових ехолотів, визначають глибини річок, морів та океанів, визначають рельєф їх дна, наявність і параметри підводних та надводних човнів, айсбергів, косяків риб, тощо. В промисловості, за допомогою ультразвукових дефектоскопів, здійснюють неруйнівний контроль за якістю деталей машин і механізмів. На транспорті, за допомогою ультразвукових радарів, здійснюють контроль за швидкістю руху автомобілів. В медицині, за допомогою ультразвукових діагностичних апаратів, досліджують стан внутрішні органів людини. Якщо ж мова йде про деяких представників тваринного світу, наприклад таких як кажани, то для них роль ультразвуку не менша аніж роль світла для людини. Адже саме за допомогою ультразвуків ці тварини спілкуються між собою та орієнтуються в просторі.

 

Мал.126. Приклади деяких застосувань ультразвукових хвиль.

Основним джерелом того ультразвуку який використовується в науці і техніці є електромеханічні випромінювачі, різноманіття яких можна розділити на три групи: електродинамічні, п’єзоелектричні та магнітострикційні. Загальний принцип дії цих приладів однаковий і полягає в тому, що в них енергія високочастотного електричного струму, перетворюється у відповідні механічні коливання робочої поверхні приладу. Однак механізм такого перетворення в різних приладах є суттєво різним. Втім, про різноманіття електричних, магнітних та електромагнітних явищ, в тому числі і тих які використовуються для створення ультразвукових хвиль, ми поговоримо в тому розділі фізики який називається електродинамікою.

 

Словник фізичних термінів.

Звуковими хвилями (чутними звуками) називають такі пружні, об’ємні хвилі, які розповсюджуються в суцільному пружному середовищі та викликають у людини слухові відчуття. Частотні параметри таких хвиль знаходяться в межах від 16Гц до 20кГц.

Інтенсивність звуку (сила звуку) – це фізична величина, яка характеризує кількість тієї звукової енергії що проходить за одиницю часу через одиницю площі поверхні і яка дорівнює цій кількості.

Позначається: J

Визначальне рівняння: J = ΔE/SΔt

Одиниця вимірювання: [J] = Дж/м2с = Вт/м2.

Гучність звуку – це фізична величина яка характеризує енергетичну інтенсивність звуку, виміряну за суб’єктивними слуховими відчуттями людини з усереднено нормальним слухом.

Висота звуку – це фізична величина, яка характеризує частотні параметри звуку визначені за суб’єктивними слуховими відчуттями людини з усереднено нормальним слухом.

Інфразвуком (інфразвуковими хвилями), називають ті пружні об’ємні хвилі, які розповсюджуються в суцільному пружному середовищі і частота коливань яких менша за нижню межу чутних хвиль, тобто менша за 16Гц (на практиці менша за 20Гц).

Ультразвуком (ультразвуковими хвилями) називають ті пружні об’ємні хвилі, які розповсюджуються в суцільному пружному середовищі і частота коливань яких більша за верхню межу частоти чутних хвиль, тобто більша за 20кГц.

Контрольні запитання.

1.Що є джерелом звуку в струнних, духових та ударних музичних інструментах; в гучномовцях; в організмі людини?

2.Чи залежить швидкість розповсюдження звукових хвиль від частотних та амплітудних параметрів цих хвиль? Від чого залежить ця швидкість?

3.Від чого залежить гучність звуку? Чому цю величину називають суб’єктивною?

4.На які групи поділяються людські голоси за їх частотними параметрами?

5.Поясніть принцип дії ультразвукового ехолота (мал.100б).

6.Що спільного між кажаном та ультразвуковим радаром?

Вправа 37.

1.Спостерігач що знаходиться на відстані 4км від гармати почув звук від пострілу через 12с після того як побачив спалах від нього. Визначити швидкість звуку в повітрі.

2.Людина сприймає звуки з частотного інтервалу від 20Гц до 20кГц. Визначити інтервал довжин відповідних хвиль. Швидкість звуку в повітрі 340м/с

3.Залежність швидкості звуку в повітрі від температури має вигляд v=20(t+273)1/2. Визначте швидкість звуку при -20°С; 0°С; 20°С. На скільки збільшується швидкість звуку при збільшенні температури повітря на 1°С? Відповідь дайте в м/с і км/год.

4.З першого корабля на другий одночасно посилають два звукових сигнали, один повітрям, другий – водою. Визначте відстань між кораблями.

5.У людини слухові відчуття зберігаються приблизно 0,1с. На якій відстані від перешкоди має знаходитись людина, щоб роздільно чути основний і відбитий перешкодою звуки?

 

§56. Ефект Доплера.

 

Можливо ви звертали увагу на факт того, що частотні параметри тих звукових сигналів які надходять від рухомого транспорту, суттєво залежать від того наближається цей транспорт чи навпаки віддаляється. Скажімо частота тих звукових імпульсів які ви чуєте при наближені потягу та при його віддаленні, є суттєво різною. І це при тому, що швидкість потягу є незмінною і тому, частотні параметри тих звукових імпульсів які створюють колеса потягу натикаючись на стики рейок, є однаковими. Даний експериментальний факт є суттю так званого ефекту Доплера. Ефекту названому на честь австрійського фізика Крістіана Доплера (1803-1853), який в 1842 році дослідив та пояснив це явище.

Ефект Доплера, це явище, суть якого полягає в тому, що частотні параметри звукових, електромагнітних та інших хвиль, певним чином залежать від швидкості та напрямку руху як джерела цих хвиль, так і того спостерігача який їх фіксує.

Мал.127. Частотні параметри тих звукових хвиль які фіксує спостерігач, певним чином залежать від швидкості та напрямку руху як джерела хвиль, так і самого спостерігача.

Ефект Доплера пояснюється тим, що швидкість звуку по відношенню до того середовища в якому цей звук розповсюджується є абсолютною, тобто такою яка не залежить ні від швидкості руху джерела звукових хвиль,  ні від швидкості руху спостерігача. Ясно, що в такій ситуації той спостерігач який рухається назустріч звуковій хвилі, за одиницю часу зустрінеться з більшою кількістю звукових коливань. А той який “тікає” від звукової хвилі, за той же проміжок часу сприйме меншу кількість аналогічних коливань. А це означає, що перший спостерігач сприйме відповідну звукову хвилю як таку, що має більшу частоту (меншу довжину хвилі), а другий – як таку що має меншу частоту (більшу довжину хвилі).

Менш очевидним є факт того, що рух джерела звукових хвиль певним чином впливає на їх довжину (частоту коливань). Однак, якщо подумати, то наявність такого впливу стане якщо не очевидною, то цілком зрозумілою. Дійсно. Джерело звукових хвиль, з певною постійною періодичністю генерує звукові коливання, які створюють відповідну звукову хвилю. Якщо джерело рухається в напрямку розповсюдження хвилі, то за той час який називається періодом коливань, і за який хвиля розповсюджується на відстань λ0=vзвТ, джерело хвиль встигне переміститись на відстань l=vT, де v – швидкість руху джерела хвиль відносно середовища. В такій ситуації, фактична відстань між двома сусідніми гребнями хвилі, тобто довжина хвилі, становитиме не λ0=vзвТ, а λ=(vзв -v)Т , або λ=λ0(1−v/vзв). Якщо ж джерело хвиль рухається в напрямку протилежному до напрямку розповсюдження хвилі, то в цьому випадку довжина хвилі збільшуватиметься, і можна довести, що це збільшення визначатиметься за формулою  λ=λ0/(1+v/vзв).

Таким чином, в незалежності від того хто наближається, спостерігач до нерухомого джерела хвиль чи навпаки, спостерігач сприйме ці хвилі як такі, що мають меншу довжину (більшу частоту). В незалежності від того хто віддаляється, спостерігач від нерухомого джерела хвиль чи навпаки, спостерігач сприйме ці хвилі як такі, що мають більшу довжину (меншу частоту). При цьому будуть виконуватись співвідношення:

1)  при зближенні:   λ=λ0(1−v/vзв) ;   ν=ν0/(1-v/vзв);

2)  при віддалені:     λ=λ0/(1−v/vзв) ;  ν=ν0(1-v/vзв),

де v – швидкість руху спостерігача відносно хвиль (чи навпаки),

λ0, ν0 – параметри тих хвиль які створює нерухоме джерело звуку,

λ, ν – параметри тих же хвиль по відношенню до рухомого спостерігача.

Мал.128. Частотні параметри тих звукових хвиль які фіксує спостерігач, певним чином залежать від швидкості та напрямку руху як джерела хвиль, так і самого спостерігача.

Ми не будемо розглядати більш складні ситуації, наприклад такі, коли джерело хвиль та спостерігач рухаються одночасно, або рухаються під кутом до напрямку розповсюдження хвиль. Просто зауважимо, що в незалежності від складності цих ситуацій, загальний висновок буде незмінним: частота (довжина хвилі) того звукового сигналу який фіксується спостерігачем, певним чином залежить як від швидкості руху джерела звуку, так і від швидкості руху самого спостерігача.

Зауважимо також, що ефект Доплера можна спостерігати лише в тих випадках, коли швидкість руху джерела звукових хвиль та швидкість руху спостерігача відносно середовища, менші за швидкість розповсюдження звуку в цьому середовищі (v<vзв). Адже якщо ці швидкості будуть однаковими (v=vзв), то в залежності від напрямку руху джерела (спостерігача), ми отримаємо хвилі або з безкінечно великою частотою (ν=∞Гц), або з нулевою частотою (ν=0Гц). Дійсно, якщо джерело хвиль з швидкістю звуку (v=vзв) рухається в напрямку розповсюдження цієї хвилі, то в цьому напрямку хвиля “сплющується” до розмірів хвильового фронту, тобто стає хвилею безкінечно великої частоти і відповідно нулевої довжини: λ=λ0(1-v/vзв)=λ·0=0(м) ;   ν=ν0/(1-v/vзв)=ν0/0=∞Гц.

Якщо ж джерело хвиль з швидкістю звуку (v=vзв) рухається в напрямку протилежному до напрямку розповсюдження звуку (“тікає” від звуку), то в цьому напрямку звукова хвиля безкінечно розтягується і перетворюється на хвилю з безкінечно великою довжиною, а отже нулевою частотою коливань:

λ=λ0/(1-v/vзв)=λ0/0=∞(м) ;   ν=ν0(1-v/vзв)=ν0·0=0(Гц).

Вище сказане по суті означає, що коли джерело звукових хвиль з надзвуковою швидкістю (v≥vзв) наближається до спостерігача (або спостерігач з надзвуковою швидкістю рухається назустріч звуковому сигналу), то той звуковий сигнал який генерується джерелом, “сплющується” в цілісне ущільнення середовища яке називається ударною хвилею. Ця хвиля розповсюджується з швидкістю звуку і сприймається спостерігачем як різкий звуковий удар (грім, тріск, тощо). Якщо ж джерело звуку з надзвуковою швидкістю (v≥vзв) віддаляється від спостерігача (або спостерігач віддаляється від джерела), то створена цим джерелом звукова хвиля стає безкінечно розтягнутою, а по суті такою, яка не досягає спостерігача і не фіксується ним.

Вище описані прояви та закономірності ефекту Доплера притаманні не лише звуковим, а й всім іншим хвилям, зокрема поверхневим та електромагнітним (радіохвилі, інфрачервоне випромінювання, видиме світло, тощо).

Ефект Доплера широко застосовується в сучасних методах визначення швидкостей руху найрізноманітніших об’єктів, починаючи від автомобілів та літаків і закінчуючи елементарними частинками та галактиками. Втім, у нас ще буде нагода поговорити, про ту важливу роль яку відіграв і продовжує відігравати ефект Доплера в пізнанні навколишнього світу.

 

Словник фізичних термінів.

Ефект Доплера, це явище, суть якого полягає в тому, що частотні параметри звукових, електромагнітних та інших хвиль, певним чином залежать від швидкості та напрямку руху як джерела цих хвиль, так і того спостерігача який їх фіксує.

Контрольні запитання.

1.Чому при наближені потягу стукіт його коліс частіший аніж при віддалені?

2.Як змінюється частота звукових хвиль (по відношенню до спостерігача) якщо: а) джерело хвиль рухається від спостерігача; б) джерело хвиль рухається назустріч спостерігачу; в) спостерігач з швидкістю v1 рухається назустріч джерелу, а джерело з швидкістю v2>v1 «тікає» від спостерігача?

3.Джерело звуку з швидкістю v>vзв рухається в напрямку спостерігача. Як сприйме його звуковий сигнал спостерігач?

4.Джерело звуку з швидкістю v>vзв віддаляється від спостерігача. Як сприйме його звуковий сигнал спостерігач?

Вправа38.

1.Джерело звуку генерує хвилі з частотою коливань 500Гц. Яку частоту та довжину хвилі зафіксує спостерігач якщо: а) джерело з швидкістю 72км/год рухається назустріч спостерігачу; б) джерело з швидкістю 72км/год віддаляється від нерухомого спостерігача; в) джерело та спостерігач рухаються назустріч один одному з швидкістю 72км/год кожний?

2.Радар випромінює ультразвукові хвилі з частотою 30кГц. При цьому, частота відбитих від автомобіля хвиль становить 32кГц. Яка швидкість автомобіля якщо швидкість ультразвуку 340м/с?

3.Сирена автомобіля що рухається з швидкістю 108км/год генерує звук з частотою 1000Гц. На скільки зміниться ця частота при переході від руху в напрямку спостерігача до руху від спостерігача?

4.Джерело звуку, що рухається з швидкістю 30м/с дає сигнал тривалістю 4с. Якою буде ця тривалість якщо джерело: а) наближається до спостерігача; б) віддаляється від спостерігача?

 

Подобається