Сайт викладача фізики

  ДИНАМІКА 

 

 

Тема 1.3. Динаміка.

§32. Принцип відносності – базовий закон сучасної науки.

§33. Закони Ньютона – теоретична основа механіки.

§34. Імпульс. Закон збереження імпульсу. Реактивний рух.

§35. Розв’язування задач. Тема: Закон збереження імпульсу.

§36. Енергія. Кінетична та потенціальна енергія.

§37. Закон збереження енергії.

§38. Розв’язування задач. Тема: Імпульсно-енергетичний метод

розв’язування задач динаміки.

§39. Робота. Механічна робота.

§40. Потужність. Коефіцієнт корисної дії.

§41. Момент інерції – міра інерціальних властивостей тіла при його

обертальному русі.

§42. Кінетична енергія тіла що обертається.

§43. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу.

§44. Закони Ньютона в механіці обертального руху.

 

Тема 1.3. Динаміка.

 

Динаміка – це узагальнюючий розділ механіки, в якому вивчаються силові та імпульсно-енергетичні параметри механічного руху тіл в усіх його проявах. В динаміці, ті знання які були отримані при вивченні кінематики та статики, доповнюються новими знаннями і узагальнюються. До числа основних фізичних величин динаміки, а точніше динаміки матеріальної точки, відносяться: маса (m), імпульс (р), енергія (Е), робота (А), потужність (N) та коефіцієнт корисної дії (η). До числа основних законів динаміки і механіки загалом, відносяться: принцип відносності, перший, другий та третій закони Ньютона, закон збереження енергії та закон збереження імпульсу.

 

§ 32. Принцип відносності – базовий закон сучасної науки.

 

В 1630 році, в своїх знаменитих «Діалогах про дві системи світу – Птоломеєву та Копернікову» видатний італійський вчений Галілео Галілей (1564-1642) сформулював закон, який лежить в основі сучасної науки і який прийнято називати принципом відносності або принципом Галілея.

Як відомо, заперечуючи факт обертання Землі навколо Сонця, прибічники середньовічної церкви стверджували: «Якби Земля дійсно рухалась, то ми б фізично відчували цей рух. Відчували б подібно до того, як відчуваємо рух карети, човна чи будь чого іншого». Відповідаючи на подібні аргументи, Галілей стверджував: Дійсно, сидячи в кареті, ми безумовно відчуваємо, рухається вона чи не рухається. Відчуваємо тому, що карета їде не по ідеально рівній дорозі, її колеса не ідеально круглі, тягові зусилля коней постійно змінюються, дорога вкрита дрібними камінчиками, ямками, тріщинками, піщинками, тощо. А це означає, що сидячи в кареті, ми постійно відчуваємо певні поштовхи, тобто різкі, короткотривалі зміни швидкості, які власне і вказують на те, що карета рухається. А от якби мене, вас чи кого завгодно посадити в закриту, ізольовану карету, яка б дійсно рухалась рівномірно, тобто без будь яких змін швидкості, то ні ви, ні я, ні хто завгодно, не змогли б визначити, рухається карета чи стоїть.

Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково/

Звичайно, в умовах повсякденного життя, ми практично ніколи не опиняємся в ситуаціях коли не можемо визначити рухається та «кабіна» в якій ми знаходимось, чи не рухається. Не опиняємося по перше тому, що реальні «кабіни» (автомобілі, літаки, човни, велосипеди, тощо), практично ніколи не рухаються ідеально рівномірно (без жодних поштовхів та вібрацій). А по друге, реальні кабіни не є ідеально ізольованими від навколишнього світу та тих процесів, що спричиняють їх рух. Тому в процесі цього руху, ми так чи інакше бачимо, чуємо та відчуваємо певні ознаки того, що наша «кабіна» рухається.

Втім, якщо вам потрібні докази того, що принцип відносності безумовно правильний, безумовно достовірний, то ось один з них. Кожен з нас знаходиться в кабіні, яка називається планета Земля. Ця кабіна з швидкістю 30км/с=108000км/год обертається навколо Сонця. При цьому, жоден з нас не відчуває факту того, що Земля мчить з такою шаленою швидкістю. Швидкістю, яка в 60 разів перевищує швидкість кулі. І даний факт не є результатом певних особливостей людського організму. Адже в незалежності від наших відчуттів, всі фізичні процеси на Землі відбуваються так, ніби вона знаходиться в стані механічного спокою.

Мал.97. Земля з швидкістю 30км/с обертається навколо Сонця. Чи відчуваєте ви факт цього надшвидкого руху?

Щоправда, Земля рухається не зовсім рівномірно. Адже в процесі обертання навколо Сонця та своєї осі, напрям руху Землі, а отже і тіл на її поверхні, повільно але неухильно змінюється. А це означає, що факт обертального руху Землі можна експериментально довести, наприклад за допомогою спеціальних маятників. А от якби Земля дійсно рухалась прямолінійно та рівномірно, то з якою б швидкістю вона не рухалась, ви б не змогли встановити, рухається вона чи не рухається.

Іноді думають, що в законі, який називається принципом відносності, стверджується, що все в цьому світі відносне. Це не правда. Не правда по-перше тому, що не все у Всесвіті відносне. Скажімо, наскільки нам відомо,  абсолютно незмінними є ті співвідношення які називаються законами Природи і які відображають ті зв’язки що існують між об’єктами та явищами Всесвіту. Абсолютно незмінною є швидкість світлових фотонів. Абсолютно незмінною є загальна кількість зосередженого у Всесвіті електричного заряду, мас-енергії, спіну, тощо. По-друге, в законі який називається принципом відносності стверджується те що стверджується, а саме: Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.

Інша справа, що в сучасній науці принцип відносності формулюють дещо по іншому. І це сучасне формулювання є наступним: У всіх інерціальних системах відліку, тобто таких системах де виконується закон інерції (перший закон Ньютона) всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково. Іншими словами, в тих системах відліку де виконується закон інерції, діють ті ж закони, що і в інших подібних (інерціальних) системах. Наприклад наша земна система відліку є інерціальною, тобто такою в якій виконується закон інерції. А в цьому законі стверджується: якщо швидкість того чи іншого фізичного об’єкту змінюється, то це означає, що на нього діє певна зовнішня сила, яка і спричиняє цю зміну. При цьому, у відповідності з принципом відносності, у всіх інших інерціальних системах відліку діють ті ж закони, що і на Землі.

Ви можете запитати: «Ну добре, в рівномірно рухомих і нерухомих системах відліку всі події відбуваються однаково. Це зрозуміло, це факт, який можна довести. З інерціальними системами відліку, менш зрозуміло, але приймемо на віру, що в них як і в системах рухомих та нерухомих, всі події відбуваються однаково. Але чому вчені стверджують, що саме принцип відносності є тим базовим, тобто найголовнішим, найважливішим законом, який лежить в основі всієї сучасної науки? І що це за закон, який навіть певного математичного вираження не має? А якщо не має, то яка користь від такого закону?»

Відповідаючи на ці слушні запитання, можна сказати наступне. Чи задумувались ви над тим, чому вчені з такою впевненістю говорять про ті події, які відбуваються в практично недосяжних частинах Всесвіту? Чому вони впевнені в тому, що ті закони які відкривались на тій піщинці Всесвіту яка називається планета Земля, діють і в інших куточках Всесвіту. А можливо там, в інших галактиках, все відбувається по іншому? Можливо там, діють інші закони, існують інші атоми, інші молекули, інші біологічні структури? Хто був в тих далеких світах та перевіряв це?

Відповіді на ці та їм подібні запитання дає принцип відносності. Адже згідно з цим принципом для з’ясування того, діють чи не діють відкриті на Землі закони природи в інших місцях Всесвіту зовсім не обов’язково вирушати в далеку космічну подорож. Достатньо з’ясувати, виконується чи не виконується у відповідному місці закон інерції. І якщо цей закон виконується, то це автоматично означає, що відповідна система є інерціальною, і що тому у відповідному куточку Всесвіту діють ті ж закони що і на Землі.

І от ми вдивляємось в безмежні простори Всесвіту, аналізуємо ті події які відбуваються в ньому і бачимо, що у всіх його куточках, всі об’єкти рухаються у повній відповідності з законом інерції. А це означає, що у всіх частинах Всесвіту діють одні і ті ж закони. І що ці закони співпадають з тими що діють на Землі. Не вірити цьому факту, це все рівно ніби заперечувати факт того, що Земля обертається навколо Сонця та своєї осі. Заперечувати лише на тій підставі, що ми не відчуваємо відповідного руху. Звичайно, можна скільки завгодно заперечувати і скільки завгодно не вірити, але від того, факт обертання Землі навколо Сонця та своєї осі не перестане бути фактом, а принцип відносності не перестане бути достовірним.

Мал.98. Бачимо: у Всесвіті безпричинних змін швидкості не буває. Висновок: у всіх куточках Всесвіту діють одні і ті ж закони Природи.

Принцип відносності не лише обгрунтовано доводить, що відкриті на Землі закони Природи діють і в інших частинах Всесвіту, а й дозволяє представити наші знання про навколишній світ у вигляді стислої, цілісної системи знань. Адже якби в кожній рухомій системі відліку, події відбувались по різному, то описуючи ці події, ми були б змушені досліджувати кожну конкретну ситуацію. І кожну конкретну ситуацію описувати своєю системою законів. При цьому, для кожної системи відліку ми б мали своє рівняння руху, свою умову рівноваги, свої закони Ньютона, свій закон всесвітнього тяжіння, свій закон Гука, свій закон Ома, свій закон електромагнітної індукції і т.д. Ясно, що в такій ситуації, наука про Природу була б сукупністю безкінечно великої кількості експериментальних фактів. Фактів, які б описувались в мільйонах книжок і які було б не можливо представити у вигляді стислої, цілісної системи знань. І якщо така система знань існує, то це тільки тому, що в нерухомій (v=0) та в будь якій рівномірно рухомій (v=const) системах відліку всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності).

Таким чином, коли ми стверджуємо, що принцип відносності є базовим законом сучасної науки, то маємо на увазі факт того, що застосування цього принципу дозволяє по-перше, обгрунтовано довести, що відкриті на Землі закони Природи діють і в інших частинах Всесвіту, а по-друге, представити відому інформацію про Природу у вигляді стислої та цілісної системи знань.

Контрольні запитання.

1.Що стверджували ті, хто заперечував факт обертання Землі навколо Сонця?

2. Чому, сидячи в реальній закритій кабіні (кареті, автомобілі, потязі, тощо) ми практично завжди можемо визначити рухається ця кабіна чи не рухається?

3. Чи відчуваєте ви, що Земля рухається? Чому?

4. Чи є правильним твердження: у Всесвіті все відносне?

5. Наведіть приклади тих речей які є абсолютно незмінними.

6. Що стверджується в принципі відносності (два формулювання)?

7. Що стверджується в законі інерції?

8. Як з’ясовують те, діють чи не діють відкриті на Землі закони природи в інших куточках Всесвіту?

9. Яка роль принципу відносності в створенні цілісної системи знань про Природу?

 

§ 33. Закони Ньютона – теоретична основа механіки.

 

В попередньому параграфі ми говорили про те, що теоретичним фундаментом механіки і всієї сучасної науки загалом є принцип відносності. Однак сам по собі цей принцип ще не є тим законом який пояснює широке коло явищ та дозволяє розв’язувати відповідно широке коло конкретних задач. Цю функцію виконує наукова теорія, тобто цілісна система достовірних знань про певну групу споріднених явищ.

В 1687 році видатний англійський фізик Ісаак Ньютон (1643-1727) опублікував свої знамениті «Математичні начала натуральної філософії», в яких виклав основи першої наукової теорії сучасного зразку. Теорії, яку прийнято називати механікою або ньютонівською механікою. В основі цієї теорії лежать три твердження, які називаються законами Ньютона. Сформулюємо ці твердження та проаналізуємо їх.

          Перший закон Ньютона, це закон, в якому стверджується: Будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан.

На перший погляд, даний закон не має суттєвого практичного значення. Його навіть важко записати у вигляді відповідної формули. Однак насправді, мова йде про надзвичайно важливий, по суті базовий закон не лише механіки, а й всієї сучасної науки. Адже в рамках першого закону Ньютона по суті стисло сформульовано два базові закони: принцип відносності та закон інерції.

          Дійсно. В першому законі Ньютона стверджується: будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан. По суті це означає, що з фізичної точки зору, стан спокою (v=0) і стан прямолінійного рівномірного руху (v=const), це один і той же механічний стан (цей стан). Один і той же в тому сенсі, що всі фізичні процеси які відбуваються в кабіні що стоїть і  в кабіні що рівномірно рухається, відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності). Іншими словами: v=0  « = »  v=const, де знак « = » вказує на те, що ті фізичні процеси які відбуваються в кабіні яка стоїть і в кабіні яка рівномірно рухається, відбуваються «однаково».

          З іншого боку, в тому ж першому законі Ньютона  стверджується, що причиною зміни стану спокою, або стану прямолінійного рівномірного руху, тобто причиною зміни швидкості руху тіла, є дія на це тіло певної зовнішньої сили. Іншими словами, в першому законі Ньютона стверджується, що безпричинних змін швидкості руху тіла не буває, і що цією причиною є дія зовнішньої сили (закон інерції). А зважаючи на те, що зміну швидкості руху тіла характеризує величина яка називається прискоренням, закон інерції можна сформулювати у вигляді: причиною прискореного руху тіла, є дія на це тіло певної зовнішньої сили: F → a.

Наприклад, якщо Місяць обертається навколо Землі, Земля обертається навколо Сонця, а Сонце обертається навколо центру Галактики, то напрям їх швидкості постійно змінюється. А у відповідності з тією частиною першого закону Ньютона, яка називається законом інерції, така зміна не може бути безпричинною, і що має існувати та зовнішня сила яка змушує Місяць, Землю та Сонце змінювати напрям свого руху (рухатись з доцентровим прискоренням). І в кожному з цих та в мільярдах подібних випадків, така сила дійсно існує і називається силою гравітаційної взаємодії. Силою, яка у повній відповідності з законом всесвітнього тяжіння об’єднує планети і зірки в планетарні системи, зірки – в галактики, галактики – в метагалактики, а все разом – у Всесвіт.

 

Мал.99. Безпричинних змін швидкості руху тіл не буває, а цією причиною є дія певної зовнішньої сили (закон інерції).

Таким чином, в першому законі Ньютона, опосередковано сформульовано два твердження: принцип відносності та закон інерції.

а) v=0  « = »  v=const (принцип відносності)

б)  F → a  (закон інерції)

Другий закон Ньютона, це закон, в якому стверджується: Під дією зовнішньої сили F, тіло масою m отримує прискорення   а   величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі. Іншими словами:  

F  →   a = F/m

Не важко бачити, що другий закон Ньютона, є логічним продовженням першого. Адже в тій частині першому законі Ньютона яка називається законом інерції, по суті стверджується, що причиною зміни швидкості руху тіла, а отже причиною його прискореного руху, є дія зовнішньої сили, тобто стверджується, що сила породжує прискорення: F → a. В другому ж законі Ньютона, це твердження формулюється в явному вигляді та конкретизується:  F →  a = F/m.

  

Мал.100. Сила – є причиною прискореного руху тіла, при цьому величина прискорення прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна масі тіла:  F  →   a = F/m.

Звичайно, говорячи про те, що сила, а точніше зовнішня сила, є причиною прискореного руху тіла, мається на увазі, що на відповідне тіло діє лише дана сила. Адже якщо наприклад, під дією певної сили тіло рухається з постійною швидкістю, або не рухається взагалі, то це означає лише те, що на відповідне тіло, окрім даної сили діють й інші сили, які зрівноважують її дію.

Малоприємним фактом є те, що другий закон Ньютона часто формулюють наступним чином: сила що діє на тіло, дорівнює добутку маси тіла на його прискорення, тобто F=ma. Таке формулювання і така формула не є правильним формулюванням другого закону Ньютона. Бо закон (фізичний закон), це не просто математична формула, яка відображає певні зв’язки між фізичними величинами. Закон, це відображення того причинно-наслідкового зв’язку, який існує між певними проявами Природи. А це означає, що в законі та йому відповідній математичній формулі, потрібно вказувати на те, що в даному зв’язку є причиною (незалежною величиною), а що наслідком (залежною величиною).

Наприклад другий закон Ньютона відображає той факт, що причиною прискореного руху тіла є діюча на нього зовнішня сила, і що саме прискорення тіла залежить від сили, а не навпаки. Відображенням же цієї залежності є формула a=F/m, а не F=ma чи m=F/a.

Звичайно, формули F=ma та m=F/a є безумовно правильними. Однак вони не є математичними відображеннями другого закону Ньютона. Ці формули є прямими наслідками другого закону Ньютона. І як ці наслідки можуть застосовуватись як при розв’язуванні задач так і в якості визначальних рівнянь відповідних фізичних величин. Наприклад визначальним рівнянням сили є саме формула F=ma.

Третій закон Ньютона, це закон, в якому стверджується: Діюча на тіло сила F, завжди породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу F′. Іншими словами:

F → F′ = –F

Наприклад, якщо тіло з певною силою діє на опору, то опора з такою ж силою діє на тіло. Якщо нога футболіста діє на м’яч, то м’яч з такою ж силою діє на ногу футболіста. Якщо Місяць притягується до Землі, то Земля з такою ж силою притягується до Місяця.

 

Мал.101. Діюча F та протидіюча Fꞌ сили, завжди рівні за величиною, протилежні за напрямком і прикладені до різних тіл.

Говорячи про діючу та протидіючу сили, потрібно зауважити, що ці сили завжди чисельно рівні, однак результат їх дії може бути абсолютно різним. Наприклад, підняте над Землею тіло з певною силою F притягується до Землі, а Земля з такою ж силою F′ притягується до тіла. Однак, якщо для відносно легкого тіла сила F є значною, то для надмасивної Землі, така ж сила F′ є мізерно малою. Тому в системі Земля – тіло, тіло падає на Землю, а не Земля «підстрибує» до тіла.

Потрібно наголосити й на тому, що діюча та протидіюча сили, завжди прикладені до різних тіл. А це означає, що ці сили не можуть забезпечити механічну рівновагу системи діюче-протидіюче тіло. М’яч, в результаті взаємодії з ногою футболіста з певним прискоренням відлітає від ноги. Тіло, в результаті взаємодії з Землею з певним прискоренням падає на підлогу. Земля в результаті взаємодії з Сонцем з певним доцентровим прискоренням обертається навколо Сонця, і т.д. І якщо книга що лежить на столі, знаходиться в стані механічної рівноваги, то це не тому що діюча і протидіюча сили зрівноважують одна одну. Бо в системі опора-книга, книга діє на опору з силою яка називається вагою книги (Р), а опора діє на книгу з протидіючою силою яка називається реакцією опори (N). При цьому на книгу фактично діє лише одна з цих сил – реакція опори. Рівновага ж книги забезпечується не зрівноваженням діючої та протидіючої сил, а фактом того, що на книгу окрім реакції опори діє ще одна зовнішня сила – сила тяжіння.

Аналізуючи закони Ньютона, не важко бачити, що це не просто набір правильних тверджень, а струнка система взаємопов’язаних та взаємодоповнюючих законів. Законів, які у своїй сукупності дозволяють пояснити величезне різноманіття механічних явищ. Законів, в яких при ґрунтовному аналізі можна відшукати не лише формулювання принципу відносності та закону інерції, а й приховані формулювання інших законів, зокрема закону збереження механічної енергії та закону збереження імпульсу. Взаємопов’язаність та взаємодоповнюваність законів Ньютона з усією очевидністю випливає з їх наступних математичних формулювань:

1. а) v=0  « = »  v=const

.  б)  F → a

2. F → a = F/m

3. F → Fꞌ = – F

На завершення зауважимо, що в механіці обертального руху, кожен з вище сформульованих законів Ньютона має свого «близнюка». Втім, про закони Ньютона для механіки обертального руху, ми поговоримо дещо пізніше.

Контрольні запитання.

1. Які два базові закони опосередковано сформульовані в першому законі Ньютона?

2. Якими словами в першому законі Ньютона стисло сформульовано принцип відносності?

3. Що стверджується в законі інерції і якими словами це відображено в першому законі Ньютона?

4. Чому ми говоримо, що другий закон Ньютона є логічним продовженням першого?

5. Чому формула F=ma не є правильним математичним формулюванням другого закону Ньютона?

6. Чому діюча та протидіюча сили не можуть забезпечити механічну рівновагу тіла?

7. Тіло висить на мотузці. Які сили діють на тіло? Чи є ці сили діючою і протидіючою? Чому?

8. Барон Мюнхгаузен стверджував, що витяг себе з болота за волосся. Чи можливо це? Чому?

Вправа 33.

1. З яким прискоренням рухається під час розгону реактивний літак масою 60т, якщо сила тяги двигунів 90кН?

2. Сила 40Н надає тілу прискорення 0,8м/с². Яка сила надасть цьому ж тілу прискорення 2,0м/с² ?

3. Снаряд масою 5кг при пострілі набуває швидкості 800м/с. Визначити середню силу тиску порохових зарядів, якщо довжина дула гармати 2м. Рух снаряду вважати рівноприскореним.

4. М’яч масою 400г в процесі удару який триває 0,02с набуває швидкості 15м/с. Яка середня сила удару?

5. Під дією сили 5Н, швидкість матеріальної точки змінюється за законом v=6 – 0,3t. Яка маса матеріальної точки?

6. Тіло масою 400г рухаючись прямолінійно та маючи деяку початкову швидкість, за 5с під дією сили 6Н набуло швидкості 10м/с. Визначити початкову швидкість тіла.

7. На мотузці що витримує натяг 100Н з стану спокою, вертикально вгору піднімають вантаж масою 6кг. На яку максимальну висоту можна підняти цей вантаж за 2с? Рух вантажу є рівноприскореним.

8. Кулька масою 500г скочується з похилої площини довжиною 2м, маючи початкову швидкість 2м/с. Яку швидкість матиме кулька в кінці похилої площини, якщо рівнодійна діючих на неї сил дорівнює 4Н?

 

§.34. Імпульс. Закон збереження імпульсу. Реактивний рух.

 

          В ньютонівській механіці, величина яка називається кількістю руху, або за сучасною термінологією – імпульсом (від лат. impulsus – удар, поштовх), є однією з найважливіших. Достатньо сказати, що в «Математичних началах натуральної філософії» першою визначеною величиною є кількість матерії (маса), а другою – кількість руху (імпульс).

          Імпульс (кількість руху) – це фізична величина, яка є мірою кількості механічного руху тіла (матеріальної точки) і яка дорівнює добутку маси тіла m на вектор його швидкості v.

Позначається: р

Визначальне рівняння: p=mv

Одиниця вимірювання: [p]=кг∙м/с,  кілограм-метр на секунду.

Із визначального рівняння р=mv ясно, що імпульс – величина векторна і що напрям вектора імпульсу співпадає з напрямком швидкості руху тіла.

Ще однією важливою величиною ньютонівської механіки є так звана «рушійна сила» яку за сучасною термінологією називають імпульсом сили. Імпульс сили – це фізична величина, яка є мірою того силового поштовху який отримує тіло і яка дорівнює добутку діючої на тіло сили F на час її дії Δt.

Позначається: FΔt

Визначальне рівняння: FΔt=FΔt

Одиниця вимірювання: [FΔt]=Н∙с,  ньютон-секунда.

Імпульс (кількість руху) та імпульс сили, це споріднені, взаємопов’язані величини, які з різних сторін характеризують частини єдиного цілого: імпульс (mv) – характеризує кількість руху тіла; імпульс сили (FΔt) – характеризує ту рушійну силу, яка призводить до появи цієї кількості руху. Факт взаємопов’язаності та взаємоперетворюваності імпульсу та імпульсу сили, з усією очевидністю відображає ньютонівське формулювання другого закону Ньютона: Під дією імпульсу сили FΔt (“рушійна сила”), кількість руху тіла (імпульс тіла р=mv) змінюється на величину  наданого тілу імпульсу сили. Іншими словами:  FΔt=Δmv.   (*)

Та не дивлячись на всю схожість і кількісну тотожність імпульсу та імпульсу сили, мова йде все ж про суттєво різні величини. Адже одна з них характеризує силову дію на тіло, а інша – кінематичні наслідки цієї дії. Втім, потрібно зауважити, що в сучасній науці, та величина яка називається імпульсом сили FΔt, має обмежене  застосування. Бо як би там не було, а імпульс сили певним чином дублює ту величину яку називають імпульсом (кількістю руху).

На основі математичного аналізу законів Ньютона можна довести ряд тверджень, значимість яких виходить за межі ньютонівської механіки. Одним з таких тверджень є закон збереження імпульсу, закон в якому стверджується: При будь яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість імпульсу цієї системи залишається незмінною тобто зберігається. Іншими словами:  ∑р_до=∑р_після,   або    ∑р = соnst.

(*) Потрібно зауважити, що в ньютонівських «Началах натуральної філософії», другий закон механіки (другий закон Ньютона) сформульовано у вигляді:  Під дією рушійної сили (імпульсу сили FΔt), кількість руху тіла (імпульс тіла р=mv) змінюється на величину  наданого тілу імпульсу сили. Іншими словами:  FΔt=Δmv. І якщо сьогодні цей закон ми формулюємо по іншому (Під дією зовнішньої сили F, тіло масою m отримує прискорення   а   величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі. Іншими словами: F  →   a = F/m), то це тільки тому, що в межах програми загальноосвітньої школи, таке формулювання методологічно більш зручне.

Задача. Довести, що загальна кількість імпульсу системи двох тіл, до і після їх взаємодії залишається незмінною, тобто що ∑р_до=∑р_після.

Рішення. Розглянемо взаємодію двох довільних тіл, початкові імпульси яких р₁ і р₂. В незалежності від характеру взаємодії (пружна, пластична чи пружно-пластична) і в незалежності від напрямку руху тіл (назустріч, навздогін, під кутом чи як завгодно), завжди можна сказати, що в процесі взаємодії імпульс кожного тіла змінився на певну величину Δр₁ і Δр₂. А це означає, що рішення нашої задачі фактично зводиться до того, щоб довести: р₁+р₂ = (р₁+Δр₁)+(р₂+Δр₂).

Оскільки згідно з третім законом Ньютона, за будь якого характеру взаємодій, діюча F₁ і протидіюча F₂ сили зв’язані співвідношенням F₁ = –F₂, та зважаючи на те, що часова тривалість взаємодій може бути лише однаковою (Δt₁=Δt₂), можна записати: F₁Δt₁ = –F₂Δt₂. З іншого боку, згідно з другим законом Ньютона F₁Δt₁ =Δр₁; F₂Δt₂ = Δр₂. А це означає, що Δр₁ = –Δр₂.

Враховуючи вище сказане можна записати:

(р₁+Δр₁)+(р₂+Δр₂) = р₁ – Δр₂ + р₂ + Δр₂ = р₁ + р₂. Іншими словами: ∑р_до=∑р_після.

Можна довести, що зроблений висновок справедливий не лише для системи двох тіл, а й для будь якої їх кількості.

Таким чином, на основі математичного аналізу другого і третього законів Ньютона можна довести, що геометрична сума імпульсів будь якої системи тіл, до і після їх взаємодії залишається незмінною, тобто зберігається. Даний висновок є справедливим не лише для механічних взаємодій тіл, а й для будь яких інших взаємодій обособлених тіл та частинок. Однак потрібно пам’ятати, що цей висновок (закон збереження імпульсу) є справедливим лише для так званих замкнутих систем. Тобто таких систем в яких силові, імпульсні, енергетичні та інші взаємодії відбуваються лише між членами відповідної системи.

Зазвичай закон збереження імпульсу (∑р_до = ∑р_після) застосовують в тих випадках коли мова йде про короткотривалі взаємодії (удари, поштовхи, вибухи, тощо). При цьому розрізняють дві ідеалізовані різновидності короткотривалих взаємодій: абсолютно пружні та абсолютно непружні удари. Абсолютно пружним ударом називають таку ідеалізовану, короткотривалу механічну взаємодію тіл, яка не супроводжується перетворенням механічної енергії в теплоту і після якої взаємодіючі тіла повністю відновлюючи свою попередню форму відокремлюються одне від одного. Абсолютно непружним ударом називають таку короткотривалу механічну взаємодію тіл, яка супроводжується перетворенням механічної енергії в теплоту і після якої взаємодіючі тіла не відновлюючи свою попередню форму рухаються як єдине ціле. Відразу ж зауважимо, що ударами можна вважати будь які короткотривалі взаємодії, наприклад постріли, вибухи, поштовхи, тощо. Навіть процес ходьби чи бігу можна вважати певною послідовністю ударних взаємодій.

а) б)

Мал.102. Закон збереження імпульсу виконується як при пружних (а) так і при непружних (б) ударах.

Задачі на застосування закону збереження імпульсу, зазвичай розв’язують дотримуючись наступного порядку дій:

1.Виконують малюнок на якому вказують маси та напрямки швидкостей всіх тіл системи, до та після їх взаємодії. Задають систему координат.

2. На базі векторної картини імпульсів, записують рівняння вигляду ∑р_до=∑р_після. При цьому, якщо векторна картина імпульсів не лінійна, то вектори імпульсів розкладають на відповідні проекції і записують систему двох рівнянь:

∑(р_до)_х = ∑(р_після)_х

∑(р_до)_у = ∑(р_після)_у

3. Математично розв’язуючи дані рівняння, визначають невідомі величини.

Зважаючи на вище сказане, розв’яжемо декілька конкретних задач.

Задача 1. Вагонетка масою 100кг рухаючись зі швидкістю 5м/с, непружним чином зіштовхується з аналогічною за масою нерухомою вагонеткою. Визначити швидкість вагонеток після їх непружної взаємодії (зчеплення).

Дано:                                   Рішення:

m₁ = 100кг          Виконуємо малюнок на якому вказуємо маси і

v₁ = 5м/с             швидкості вагонеток до та після їх непружної взаємодії.

m₂ = m₁               Задаємо систему координат. Відповідно малюнку та

v₂ = 0м/с             заданій системі координат, записуємо рівняння закону

u₁₂= ?                 збереження імпульсу, тобто рівняння виду ∑р_до=∑р_після.

В умовах нашої задачі, це рівняння набуває вигляду:

m₁v₁ + 0 = (m₁+m₂)u₁₂  звідси  u₁₂=m₁v₁/(m₁+m₂).

Розрахунки: u₁₂=m₁v₁/(m₁+m₂) = (100кг5м/с)/(100кг+100кг) = 2,5м/с.

Відповідь: u₁₂= 2,5м/с.

Загальні зауваження. Застосовуючи закон збереження імпульсу, швидкості елементів системи після їх взаємодії зазвичай позначають символом «u» або «v’».

Задача 2. З корми початково не рухомого човна масою 100кг, на берег зістрибує підліток масою 50кг. Якої швидкості при цьому набуває човен, якщо горизонтальна складова швидкості стрибка підлітка 5м/с? Опором води знехтувати.

Дано:                                    Рішення:

m₁=100кг            Виконуємо малюнок на якому вказуємо маси і швидкості

m₂=50кг              всіх тіл системи до та після їх взаємодії. Задаємо систему

v₁=v₂=0м/с          координат. Відповідно малюнку та заданій системі

u₂=5м/с             координат, записуємо рівняння виду ∑р_до=∑р_після.

u₁= ?                 В умовах нашої задачі це рівняння набуває вигляду:

(m₁+m₂)0= –m₁u₁+m₂u₂  звідси m₁u₁=m₂u₂  звідси  u₁=m₂u₂/m₁.

Розрахунки: u₁=m₂u₂/m₁ = (50кг5м/с)/100кг = 2,5м/с.

Відповідь: u₁= 2,5м/с.

Із аналізу задачі ясно, що коли з початково нерухомого човна в певному напрямку викидати камінці, весла чи що завгодно, то згідно з законом збереження імпульсу, човен з відповідною швидкістю буде рухатись в протилежному напрямку. Подібний рух тіл прийнято називати реактивним рухом. Реактивний рух – це такий механічний рух тіла, поява якого обумовлена відокремленням від цього тіла частини його маси (відштовхуванням цієї частини від базового тіла). Наприклад, рух гармати (мал.103а) обумовлений вильотом снаряду з неї, є реактивним. Рух гумової повітряної кульки (мал103б), обумовлений витіканням з неї струменю повітря, є реактивним. Рух ракети (мал.103в), обумовлений вильотом з неї продуктів згорання її двигуна, є реактивним.

  

Мал.103. Якщо рух тіла обумовлений тим, що певна частина його маси відокремлюється (відштовхується) від базового тіла, то цей рух є реактивним.

Найбільш відомими та практично значимими проявами реактивного руху є рух різноманітних реактивних снарядів, реактивних літаків та космічних ракет. Принципова суть цих рухів дуже проста: продукти згорання палива, через спеціальний отвір, який називається соплом, з максимально великою швидкістю та максимально досяжною направленістю, вилітають за межі базового тіла (снаряду, літака, ракети, тощо). При цьому, згідно з законом збереження імпульсу, відповідне тіло отримує певну кількість поступального руху.

Потрібно зауважити, що роль тієї частини реактивного двигуна яка називається соплом (мал.104б) і яка представляє собою характерне поєднання звуження та розширення, полягає в тому, щоб надати енергійним частинкам продуктів згорання двигуна, максимально направленого вигляду. Адже якби ці частинки вилітали через звичайний отвір, то напрям їх руху був би різним. Якщо ж перед вильотом з двигуна частинки продуктів згорання проходять через плавне звуження, а потім через характерне розширення, то у відповідності з законами гадової динаміки, їх рух стає максимально направленим.

а)   б) 

Мал.104. Реактивний рух – прямий наслідок закону збереження імпульсу.

Характерною та надзвичайно важливою особливістю реактивного руху є його автономність, яка полягає в тому, що цей рух не потребує силового контакту з навколишнім середовищем. Наприклад, людина рухається тому, що відштовхується від землі. Човен пливе тому, що так чи інакше відштовхується від води. Гвинтокрил (гелікоптер) летить тому, що певним чином відштовхується від повітряного середовища. Якщо ж говорити про реактивний рух, то він не є результатом того, що тіло так чи інакше відштовхується від інших зовнішніх тіл чи навколишнього середовища. Реактивний рух відбувається за рахунок відштовхування однієї частини початково єдиного тіла, від іншої його частини. А це означає, що реактивний рух може відбуватись не лише в тому чи іншому середовищі, а й в пустоті (вакуумі).

Контрольні запитання.

1. Тіло рівномірно рухається по колу. Чи змінюється при цьому його імпульс?

2. Чим схожі і чим відрізняються імпульс (кількість руху) та імпульс сили?

3. Теоретичним наслідком яких законів є закон збереження імпульсу?

4. Які системи називаються замкнутими?

5. Який удар називають абсолютно пружним?; абсолютно непружним?

6. Поясніть зображені на малюнку 102 події та результати цих подій.

7. Який зв’язок між законом збереження імпульсу та реактивним рухом?

8. Яка роль тієї частини реактивного двигуна яка називається соплом?

9. В чому полягає автономність реактивного руху?

10. Наведіть приклади корисних та шкідливих проявів реактивного руху.

Вправа 34.

1. З якою швидкістю має летіти хокейна шайба масою 160г, щоб її імпульс дорівнював імпульсу кулі масою 8г при її польоті з швидкістю 600м/с?

2. Рух матеріальної точки масою 0,5кг описує рівняння x=100–10t+2t². Визначити імпульс цієї точки через 2с і через 5с від початку відліку часу.

3. Два тіла однакового об’єму, сталеве і свинцеве, рухаються з однаковими швидкостями. Імпульс якого тіла більший і у скільки разів?

4. Матеріальна точка масою m рухається по колу з швидкістю v. На скільки зміниться імпульс цієї точки за чверть періоду; половину періоду; період?

5. Снаряд масою 20кг, що летить з горизонтальною швидкістю 500м/с влучає в платформу з піском загальною масою 10т і застряє в піску. З якою швидкістю почне рухатись платформа?

6. У човен масою 150кг, який пропливає під містком, опускають вантаж масою 50кг. Якою стане після цього швидкість човна, якщо його початкова швидкість 4м/с?

7. Граната, що летить в горизонтальному напрямку зі швидкістю 10м/с, розірвалась на два осколки масами 1кг і 1,5кг. Після вибуху швидкість більшого осколка залишилась горизонтальною і зросла до 25м/с. Визначте величину і напрям швидкості меншого осколка.

8. Кулька масою 300г падає вертикально вниз, вдаряється об підлогу зі швидкістю 5м/с і підстрибує на висоту 46см. На скільки змінюється імпульс кульки в процесі удару?

 

закону Ньютона, а які не правильними (не коректними)?

 

§ 35. Розв’язування задач. Тема: Закон збереження імпульсу.

 

          В попередньому параграфі ми наголошували на тому, що в механіці закон збереження імпульсу застосовують в тих випадках, коли мова йде про короткотривалі взаємодії (поштовхи, удари, вибухи, тощо). Дане обмеження пояснюється фактом того, що в процесі відносно тривалих механічних взаємодій, значна частина механічного імпульсу взаємодіючих тіл, передається їх атомам та перетворюється на енергію хаотичного руху цих атомів (теплоту). Говорили і про те, що в загальному випадку алгоритм (порядок дій) розв’язку тих задач які базуються на застосування закону збереження імпульсу, є наступним:

1.Виконують малюнок на якому вказують маси та напрямки швидкостей всіх тіл системи, до та після їх взаємодії. Задають систему координат.

2. На базі векторної картини імпульсів, записують рівняння вигляду ∑р_до=∑р_після. При цьому, якщо векторна картина імпульсів не лінійна, то вектори імпульсів розкладають на відповідні проекції і записують систему двох рівнянь:

∑(р_до)_х = ∑(р_після)_х

∑(р_до)_у = ∑(р_після)_у

3. Математично розв’язуючи дані рівняння, визначають невідомі величини.

Дотримуючись даного алгоритму розв’яжемо та проаналізуємо ряд задач.

Задача1. В платформу з піском що рухається зі швидкістю 2,0м/с влучає та застряє в піску снаряд який рухався назустріч платформі з швидкістю 400м/с. Визначте швидкість платформи після влучання снаряду. Маса платформи 10тон, а маса снаряду 10кг.

Дано:               СІ                                 Рішення:

m₁ = 10т       10000кг          Виконуємо малюнок на якому вказуємо маси

m₂ = 10кг          –                 і швидкості всіх тіл системи до та після їх

v₁ = 2,0м/с         –                 взаємодії. Задаємо систему координат.

v₂ = 400м/с        –                 У відповідності з малюнком та заданою

u₁₂ = ?                                 системою координат, записуємо рівняння

закону збереження імпульсу (∑р_до=∑р_після):

m₁v₁ – m₂v₂ = (m₁+m₂)u₁₂. Звідси u₁₂ = (m₁v₁ – m₂v₂)/(m₁+m₂).

Розрахунки: u₁₂ = … = 1,6м/с

Відповідь: u₁₂ = 1,6м/с.

Задача2. В платформу з піском що рухається зі швидкістю 5,0м/с влучає та застряє у піску снаряд який рухався в напрямку руху платформі з швидкістю 500м/с. Визначте швидкість платформи після влучання снаряду, якщо маса платформи 10т, маса снаряду 10кг, а напрям швидкості снаряду 30° до горизонту.

Дано:               СІ                                 Рішення:

m₁ = 10т       10000кг          Виконуємо малюнок на якому вказуємо маси

m₂ = 10кг          –                 і швидкості всіх тіл системи до та після їх

v₁ = 5,0м/с         –                 взаємодії. Задаємо систему координат.

v₂ = 500м/с        –                 У відповідності з малюнком і заданою

α = 30°                                 системою координат та з урахуванням того, що

u₁₂ = ?                                 рух платформи як до так і після влучання снаряду

відбувається вздовж осі 0х, записуємо рівняння закону збереження імпульсу (∑р_до=∑р_після) в проекції на вісь 0х. (При цьому враховуємо те, що в момент влучання снаряду в платформу, його швидкість вздовж осі 0х становить v_2x = v₂cos30° = (500м/с)0,87 = 435м/с).

m₁v₁ + m₂v₂cos30° = (m₁+m₂)u₁₂, звідси u₁₂ =(m₁v₁ + m₂v₂cos30°)/(m₁+m₂).

Розрахунки: u₁₂ = (10000кг5м/с + 10кг435м/с)/(10000кг+10кг) = 5,43м/с.

Відповідь: u₁₂ = 5,43с/м.

Задача 3. Коли вагонетка масою 100кг проїжджала під містком, на неї опустили вантаж масою 50кг. Якою стала швидкість вагонетки після цієї події, якщо її початкова швидкість дорівнювала 6м/с?

Дано:                                Рішення:

М = 100кг               Виконуємо малюнок на якому вказуємо маси і

m = 50кг                  швидкості всіх тіл системи до та після їх взаємодії.

v = 6м/с                   Задаємо систему координат. У відповідності з

u₁₂ = ?                      малюнком і заданою системою координат та з

урахуванням того, що рух вагонетки як до так і після взаємодії відбувається вздовж осі 0х,  записуємо рівняння закону збереження імпульсу (∑р_до=∑р_після) в проекції на вісь 0х:

Мv = (M+m)u₁₂,  звідси  u₁₂ = Mv/(M+m)

Розрахунки: u₁₂ = Mv/(M+m) = (100кг6м/с)/(100кг+50кг) = 4м/с

Відповідь: u₁₂ = 4м/с.

          Задача 4. На краю стола висотою 0,8м лежить тіло масою 1кг. В це тіло влучає та застряє в ньому куля масою 7г, що летить з горизонтальною швидкістю 400м/с. На якій відстані від підніжжя стола впаде тіло?

Дано:                                      Рішення:

h = 0,8м                    Виконуємо малюнок який відображає наявну

m₁ = 1,0кг                ситуацію. Оскільки після взаємодії з кулею тіло

m₂ = 0,007кг            отримує певну горизонтальну швидкість u₁₂, яка в

v₂ = 400м/с              процесі падіння тіла залишається незмінною, то

s = ?                          можна записати s = u₁₂t_пад, де t_пад – час падіння тіла

величину якого можна визначити із рівняння руху тіла по вертикалі: h=(g/2)t_пад², звідси t = √(2h/g) = √(2·0,8м/10м/с²) = 0,4с.

Величину тієї горизонтальної швидкості яку отримує тіло після взаємодії з кулею, визначаємо із закону збереження імпульсу (∑р_до=∑р_після):

m₁·0 + m₂v₂ = (m₁+m₂)u₁₂. Звідси u₁₂ = m₂v₂/(m₁+m₂) = (0,007кг400м/с)/1,007кг = 2,8м/с.

Розрахунки: s = u₁₂t_пад = (2,8м/с)·0,4с = 1,12м

Відповідь: s = 1,12м.

Задача 5. Людина масою 60кг переходить з носової частини на кормову частину початково нерухомого човна, проходячи при цьому відстань 3м. На яку відстань переміститься човен, якщо його маса 120кг. Опором води знехтувати.

Дано:                                       Рішення:

m₁=60кг             Виконуємо малюнок який відображає наявну ситуацію.

m₂=120кг           У вибраній системі координат розглянемо імпульсні

v₁₂=0м/с              характеристики тіл системи човен-людина

ℓ=3м                   до та після початку руху.

Δℓ= ?                 Загальні зауваження. В черговий раз наголошуємо,

що рішення практично будь якої задачі, в тій чи іншій мірі ідеалізоване. Адже якщо, наприклад, в умовах даної задачі ми почнемо врахувати всі ті обставини які так чи інакше впливають на рух реального човна в процесі реального переходу людини з носової частини човна на його кормову частину, то практично гарантовано не зможемо отримати будь яке рішення.

Напевно найголовнішим вмінням якому ви маєте навчитися в процесі розв’язування задач, є вміння виділяти в наявній ситуації головне, суттєве, визначальне і абстрагуватись від неголовного, несуттєвого, невизначального. Скажімо, в умовах даної задачі, потрібно абстрагуватись від нюансів того, яким чином людина переміщувалась з одного краю човна до іншого, скільки кроків вона зробила, з якою швидкістю рухалась, які перешкоди долала в процесі свого руху, тощо. Абстрагувавшись від цих обставин, ви по суті маєте уявити ситуацію при якій людина з певною швидкістю відштовхуючись від одного краю човна, «приземляється» на його протилежному краю. При цьому, в момент відштовхування, людина надає човну певної реактивної швидкості, а в момент «приземлення» – гасить цю швидкість до нуля. За час же умовного польоту людини (за час переходу людини від носової частини до кормової), човен встигає пропливти певну відстань, яку і потрібно визначити.

Рішення.

Будемо виходити з того, що в момент початку руху, людина відштовхуючись від човна і набуваючи швидкості v₁, надає човну реактивної швидкості v₂. Потім, певний час Δt, людина з постійною швидкістю v₁ рухається вздовж човна і проходить відстань ℓ=v₁Δt. При цьому човен, рухаючись з швидкістю v₂ проходить відстань Δℓ=v₂Δt.

Після того як людина проходить відстань ℓ=3м, вона зупиняється, тобто імпульсно взаємодіючи з човном, зменшує свою швидкість до нуля. При цьому, згідно з законом збереження імпульсу, швидкість човна також стає нулевою.

Із аналізу вище сказаного ясно, що за час Δt=ℓ/v₁ човен проходить відстань Δℓ=v₂Δt=v₂ℓ/v₁=ℓ(v₂/v₁).

Таким чином, рішення задачі зводиться до того, щоб визначити величину співвідношення v₂/v₁. З цією метою запишемо рівняння закону збереження імпульсу системи човен-людина для моментів до та після початку руху людини:

(m₁+m₂)∙0 = –m₁v₁ + (m₁+m₂)v₂,  або   m₁v₁ = (m₂+m₁)v₂;

звідси  v₂/v₁ = m₁/(m₂+m₁).

Таким чином: Δℓ = ℓ(v₂/v₁) = ℓm₁/(m₁+m₂).

Розрахунки:  Δℓ= 3м∙60кг/(60кг+120кг) = 1м.

Відповідь:  Δℓ=1м.

Вправа 35.

1. Снаряд масою 20кг, що летить горизонтально зі швидкістю 500м/с, влучає в платформу з піском і застряє в піску. З якою швидкістю почала рухатись платформа?

2. З нерухомого човна загальна маса якого 155кг кидають на берег весло масою 5кг з горизонтальною швидкістю 10м/с. Якої швидкості при цьому набуває човен?

3. Якої швидкості набуває ракета масою 600г, якщо гази масою 25г вилітають з неї зі швидкістю 600м/с?

4. Ядро, що летіло горизонтально зі швидкістю 50м/с, розірвалось на два осколки масами 5кг і 10кг. При цьому, менший осколок з швидкістю 200м/с продовжував летіти в попередньому напрямку. Визначити напрям та швидкість руху більшого осколку.

5. Два тіла масою 5кг і 4кг рухаються назустріч одне одному з швидкостями відповідно 5м/с і 8м/с. Визначити швидкості цих тіл після їх непружного зіткнення.

6. Мисливець стріляє з рушниці з рухомого човна у напрямку його руху. Яку швидкість мав човен, якщо він зупинився після трьох пострілів? Маса човна разом з мисливцем 150кг, маса заряду 20г, швидкість вильоту заряду 500м/с.

7. Снаряд вилітає з гармати під кутом 60º до горизонту з початковою швидкістю 800м/с. Визначити початкову швидкість відкату гармати, якщо маса снаряду 10кг, а маса гармати 500кг.

8. Людина масою 50кг переходить з носу на корму в човні довжиною 5м. Яка маса човна, якщо за час цього переходу човен перемістився в стоячій воді на 2м? Опором води знехтувати.

9. На кормі й на носі нерухомого човна на відстані 5м один від одного сидять рибалки. Маса човна 150кг, маси рибалок 90кг і 60кг. Рибалки міняються місцями. Наскільки переміститься при цьому човен? Опором води знехтувати.

 

§ 36. Енергія. Кінетична та потенціальна енергія.

 

          Уявити сучасну науку без величини яка називається енергією (від грец. energeia – дія, діяльність) практично не можливо. Адже саме енергія є тією стержневою фізичною величиною яка об’єднує найрізноманітніші явища Природи в цілісну наукову картину. Сучасне розуміння суті того, що називають енергією, це результат тривалого еволюційного розвитку науки, вінцем якого є теорія відносності. Лише після створення цієї теорії, стало зрозумілим, що енергія є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій, і що будь який фізичний об’єкт масою m, представляє собою згусток енергії загальна кількість якої визначається за формулою Е=mс², де с=3∙10⁸м/с=соnst. Це означає, що повністю перетворивши все те з чого складається дане тіло, а отже всі його молекули, атоми, атомні ядра, протони, нейтрони, електрони та всі ті процеси які відбуваються з ними, в те що називається чистою енергією, а по суті в світло, ви отримаєте цієї енергії в кількості Е=mс². Наприклад в будь якому тілі масою 1кг міститься Е=1кг(3·10⁸м/с)²=9·10¹⁶Дж енергії. Щоб мати уявлення про величину цієї енергії, достатньо сказати, що аналогічну кількість енергії можна отримати при повному згоранні 4 500 000 тон кам’яного вугілля. Для перевезення такої кількості вугілля потрібно більше 75000 вщерть заповнених залізничних вагонів, загальна довжина яких майже 1000км.

Твердження про те, що енергія це загальна міра всіх видів рухів і взаємодій, є загально прийнятою та вичерпною характеристикою того, що називають енергією. Однак воно має той суттєвий недолік, що не дозволяє визначати величину конкретного виду енергії в тій чи іншій конкретній ситуації. А потрібно зауважити, що на практиці говорячи про енергію тіла, мають на увазі не ту загальну енергію яка зосереджена в даному тілі і кількість якої визначається за формулою Е=mс², а певну, зазвичай мізерну частину цієї енергії яка пов’язана з тим чи іншим конкретним явищем. Наприклад коли ми стверджуємо, що рухоме тіло має певну енергію, то маємо на увазі не повну енергію цього тіла (Е=mс²), а ту її мізерну частину яка обумовлена фактом механічного руху тіла. Коли ми стверджуємо, що підняте над підлогою тіло має певну енергію, то маємо на увазі не повну енергію цього тіла (Е=mс²), а ту її мізерну частину яка обумовлена взаємодією даного тіла з Землею. Коли ми стверджуємо, що деформована пружина має певну енергію, то маємо на увазі не повну енергію цієї пружини (Е=mс²), а ту її мізерну частину яка обумовлена взаємодією атомів та молекул пружно деформованого тіла.

З практичної точки зору твердження про те, що той чи інший об’єкт має певну енергію, по суті означає, що за певних умов відповідний об’єкт може виконати певну роботу, тобто певну енерго затратну дію. Власне енергія і є мірою здатності фізичного об’єкту виконати роботу. Наприклад, коли ми стверджуємо, що підняте над підлогою тіло (мал.105а) має енергію, то це означає, що за певних умов (за умови падіння тіла) буде виконана певна робота: в процесі удару об підлогу, тіло деформується і деформує підлогу; в процесі падіння та удару, тіло, підлога та повітря нагріються; в процесі удару, тіло заб’є гвіздок, створить звукову хвилю, тощо. Коли ми стверджуємо, що тіло масою m, рухаючись з швидкістю v, має енергію (мал.105б), то це означає, що за певних умов (за умови зустрічі тіла з перешкодою) буде виконана певна робота. Коли ми стверджуємо, що деформована пружина (мал.105в) має енергію, то це означає, що за певних умов (за умови випрямлення пружини), буде виконана певна робота. Коли ми стверджуємо, що шматок вугілля має енергію, то це означає, що за певних умов вугілля буде горіти і що в процесі горіння буде виконана певна робота.

 

Мал.105.  Коли ми стверджуємо, що певний фізичний об’єкт має певну енергію, то це означає, що цей об’єкт здатний виконати певну роботу (певну енергозатратну дію).

Зважаючи на вище сказане, можна дати наступне визначення: Енергія – це фізична величина, яка є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій і яка характеризує здатність тіла, частинки або поля виконати роботу.

Позначається: Е

Визначальне рівняння:  1) для загальної кількості енергії:   Е=mс² ;

.                                             2) для конкретних видів енергії:   різні.

Одиниця вимірювання: [E] = Дж = Н∙м = кг∙м²/с²,   джоуль.

Джоуль – це одиниця вимірювання енергії та роботи, яка дорівнює тій роботі (тим затратам енергії) яку виконує сила в один ньютон при переміщенні тіла (матеріальної точки) на один метр в напрямку дії сили: Дж=Н∙м=кг∙м²/с². Щоб мати уявлення про величину роботи в один джоуль, візьміть тіло масою 102г та підніміть його на висоту один метр. При цьому виконана вами робота, а відповідно і затрачена вами енергія, дорівнюватимуть одному джоулю. Або якщо наприклад, яблуко масою 102гр впаде з висоти 1м, то виконана силою тяжіння робота дорівнюватиме 1Дж.

Мал.106. Піднімаючи тіло масою 102г з висоту 1м, ви виконуєте роботу 1Дж.

Вивчаючи фізику ви неминуче переконаєтесь в тому, що енергія невичерпно різноманітна в своїх проявах. Різноманітна в тій же мірі як і самі явища Природи. Наприклад говорять про енергію гравітаційних, електричних, електромагнітних та інших полів. Про енергію механічну, теплову, звукову, світлову, хімічну, біологічну, електричну, магнітну, електромагнітну, ядерну, внутрішню. Про енергію піднятого тіла та енергію пружно деформованого тіла, про енергію нагрітого тіла та енергію тіла що горить, про енергію хімічних реакцій та енергію термоядерного синтезу. І навіть те що не називають енергією, як то температура, кількість теплоти, робота чи маса, фактично характеризує ті чи інші прояви енергії.

Вивчаючи механіку, ми будемо говорити про ту частину енергії, яка характеризує тіло як єдине ціле і яка пов’язана з його механічним рухом, пружними деформаціями та гравітаційними взаємодіями. Цю енергію називають механічною. Механічна енергія, це така енергія, яку має тіло як єдине ціле і яка пов’язана з його механічним рухом, пружними деформаціями та гравітаційними взаємодіями. Енергію загалом і механічну енергію зокрема, можна представити як певну комбінаціє двох базових різновидностей: енергії руху (кінетична енергія) та енергії взаємодії (потенціальна енергія).

Кінетична енергія (енергія руху) – це та енергія, яку має фізичний об’єкт за рахунок того що він рухається і яка дорівнює половині добутку маси об’єкту на квадрат його швидкості.

Позначається: Е_к

Визначальне рівняння: Е_к=mv²/2

Одиниця вимірювання: [Е_к] = кг∙м²/с²=Дж.

Якщо той чи інший фізичний об’єкт, будь то камінь, планета, атом чи фотон світла, рухається, то він має певну кінетичну енергію величина якої визначається за формулою Е_к=mv²/2. Наприклад, якщо велосипедист маса якого 70кг рухається з швидкістю 36км/год=10м/с, то величина його кінетичної енергії Е_к= 70кг(10м/с)²/2 = 3500Дж. Щоб мати уявлення про можливий вплив кінетичної енергії тіла на організм людини, достатньо сказати, що кінетична енергія потенційно смертельної для людини кулі, приблизно дорівнює 100Дж.

  

Мал.107. Кінетична енергія – це та енергія, яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він рухається.

Кінетична енергія є явною, очевидною, активною формою енергії, наявність і величину якої легко встановити: якщо тіло, частинка чи що завгодно, маючи масу m рухається з швидкістю v, то воно має кінетичну енергію величина якої визначається за формулою Е_к = mv²/2.  Але окрім цією активної енергії, практично з кожним тілом нерозривно пов’язана певна кількість пасивної, прихованої енергії, яку прийнято називати потенціальною

Потенціальна енергія (енергія взаємодії) – це та енергія яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він так чи інакше взаємодіяє з іншими об’єктами, або за рахунок тих взаємодій які відбуваються в середині цього об’єкту.

Позначається: Е_п

Визначальне рівняння: Е_п=?, це означає, що єдиної, універсальної формули для визначення потенціальної енергії не існує.

Одиниця вимірювання: [Е_п] = Дж.

Потенціальна енергія, це дуже складний вид прихованої енергії, величину якої в загальному випадку ми не вміємо визначати. Не вміємо в тому сенсі, що на сьогоднішній день нема тієї універсальної формули, яка б дозволяла визначати потенціальну енергію системи в усьому різноманітті проявів цієї енергії. Втім, це зовсім не означає, що ми не вміємо визначати величину потенціальної енергії в тих чи інших конкретних випадках. Наприклад, в механіці вивчають дві різновидності потенціальної енергії: потенціальна енергія сили тяжіння та потенціальна енергія сили пружності.

Потенціальна енергія сили тяжіння (піднятого тіла) –  це така енергія яку має тіло за рахунок його взаємодії з Землею і яка дорівнює добутку маси тіла (m), прискорення сили тяжіння (g) та тієї висоти (h) на яку піднято тіло.

Позначається: Е_п

Визначальне рівняння: Е_п =mgh,

Одиниця вимірювання: [Е_п] = Н, ньютон.

Наприклад, якщо тіло масою 2кг піднято над підлогою на висоту 1,5м, то величина її потенціальної енергії відносно підлоги становить Е_п=2кг·9,81м/с²·1,5м=29,4Дж.

   

Мал.108. Потенціальна енергія сили тяжіння – це та енергія яку має тіло за рахунок його взаємодії з Землею

Потенціальна енергія сили пружності (пружно деформованого тіла) – це та енергія яку має пружно деформоване тіло за рахунок тих внутрішніх взаємодій які відбуваються в ньому і яка дорівнює половині добутку жорсткості тіла (k) на величину його абсолютної деформації (Δℓ).

Позначається: Е_п

Визначальне рівняння: Е_п=kΔℓ²/2,

Одиниця вимірювання: [Е_п] = Н, ньютон.

Наприклад, якщо пружину жорсткістю 400Н/м деформували на 0,1м, то величина їх потенціальної енергії Е_п=400(Н/м)(0,1м)²/2=2Дж.

   

Мал.109. Потенціальна енергія сили пружності – це та енергія яку має тіло за рахунок тих взаємодій що відбуваються всередині пружно деформованого тіла.

Задача. Маса піщинки 0,1мг. Яка загальна кількість енергії зосереджена в цій піщинці? Якої маси має бути тіло, щоб рухаючись з швидкістю 108км/год мати аналогічну кількість кінетичної енергії?

Дано:                       СІ                          Рішення:

m₁ = 0,1мг          1·10^–7кг    Загальна кількість тієї енергії яка

v₂ = 108км/год     30м/с      зосереджена в тілі масою m₁ визначається

Е_заг1 = Е_к2                             за формулою Е_заг1 =m₁с², де с=3·10⁸м/с=const.

Е_заг1 = ?                                В нашому випадку:

m₂ = ?                                   Е_заг1=1·10^–7кг(3·10⁸м/с)²=1·10^–7·9·10¹⁶Дж=9·10⁹Дж.

Оскільки за умовою задачі Е_к2 = Е_заг1, та враховуючи, що  Е_к2 = m₂v²/2,

можна записати m₂v²/2 = Е_заг1 , звідси m₂ = 2·Е_заг1/v².

Розрахунки:

m₂ = 2·Е_заг1/v² = 2·9·10⁹Дж/(30м/с)² = 18·10⁹/9·10² = 2·10⁷кг = 20000т

Відповідь: Е_заг1 = 9·10⁹Дж; m₂ = 20 000т.

Контрольні запитання.

1.Що означає твердження: будь яке тіло масою m, представляє собою згусток енергії загальна кількість якої визначається за формулою Е=mс² ?

2. Який недолік визначення: «Енергія – це загальна міра всіх видів рухів та взаємодій»?

3. Як ви розумієте твердження: енергія є мірою здатності фізичного об’єкту виконати роботу?

4 Дайте визначення терміну «джоуль». Джоуль, це багато чи мало?

5. Яку енергію називають механічною?

6. В загальному випадку визначальне рівняння потенціальної енергії можна записати у вигляді Е_п=? Що це означає?

7. Результатом яких взаємодій є потенціальна енергія сили тяжіння?

8. Результатом яких взаємодій є потенціальна енергія сили пружності?

9. Коли ми стверджуємо, що шматок вугілля має певну енергію, то що це означає? Якою (кінетичною чи потенціальною) є ця енергія?

Вправа №36.

1.Автомобіль масою 5т рухається з швидкістю 90км/год. Визначте кінетичну енергію автомобіля.

2. Земля з швидкістю 30км/с обертається навколо Сонця. Яка кінетична енергія Землі, якщо її маса 6·10²⁴кг?

3. Яка загальна кількість енергії міститься в кулі масою 3г? Скільки вугілля треба спалити, щоб отримати таку ж кількість енергії, якщо при повному згоранні 1кг вугілля виділяється 2·10⁷Дж енергії.

4. Для того щоб нагріти 1кг води на 1°С потрібно 4200Дж енергії. Порівняйте цю енергію з кінетичною енергією смертельної для людини кулі (m=3г; v=300м/с). Зробіть висновок.

5. Літак Ан-22 загальною масою 200т летить на висоті 12км. Визначте величину його потенціальної енергії.

6. Пружину жорсткістю 400Н/м стиснули на 10см. Визначте потенціальну енергію деформованої пружини.

7. Під дією вантажу 200кг пружина деформувалась на 5см. Визначте енергію деформованої пружини.

8. Тіло масою 200г кинули вертикально вгору зі швидкістю 15м/с. Якою буде кінетична і потенціальна енергія цього тіла на висоті 5м?

9. Визначте потенціальну і кінетичну енергію тіла масою 4кг, що вільно падає з висоти 6м, на відстані 2м від поверхні землі.

 

§ 37. Закон збереження енергії.

 

Напевно, енергія не мала б такого фундаментального загальнонаукового значення, якби не той закон який називається законом збереження енергії. В цьому законі стверджується: при будь яких процесах, що відбуваються в замкнутій (енергоізольованій) системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами:∑Е_до = ∑Е_після  або  ∑Е = соnst.

Ілюструючи дію закону збереження енергії в механічних процесах, розглянемо конкретну ситуацію. Припустимо що тіло масою 1кг знаходиться на висоті 5м. Ясно, що в процесі вільного падіння тіла, величина його потенціальної енергії (E_п=mgh) буде зменшуватись (оскільки h↓ то Е_п↓). З іншого боку, в процесі того ж падіння, кінетична енергія тіла (Е_к=mv²/2) буде збільшуватись (оскільки v↑ то Е_к↑). І не важко довести, що на всьому шляху вільного польоту тіла, загальна кількість його механічної енергії (Е=Е_п+Е_к) залишається незмінною. Дійсно. Виходячи з того, що в процесі вільного падіння, висота тіла над поверхнею землі зменшується за законом h=h₀–gt²/2, а його швидкість – збільшується за законом v=v₀+gt, визначимо параметри падаючого тіла (h, v, Е_п, Е_к, Е=Е_п+Е_к) через кожні 0,2с польоту. Результати обчислень запишемо у відповідну таблицю.

 

t (c)	h (м)	v (м/с)	Ек (Дж)	Еп (Дж)	Е=Ек+Еп(Дж)
0,0	5,0	0,0	0,0	50,0	50,0
0,2	4,8	2,0	2,0	48,0	50,0
0,4	4,2	4,0	8,0	42,0	50,0
0,6	3,2	6,0	18,0	32,0	50,0
0,8	1,8	8,0	32,0	18,0	50,0
1,0	0,0	10,0	50,0	0,0	50,0

 

Не важко бачити, що в процесі вільного падіння тіла, загальна кількість його механічної енергії залишається незмінною, тобто зберігається.

    

Мал.110. При будь яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною.

Ви можете заперечити в тому сенсі, що коли тіло впаде, то його кінетична і потенціальна енергії матимуть нульову величину. Чи не означатиме це, що енергія зникла і що закон збереження енергії не виконується? Ні, не означатиме! Просто в процесі взаємодії з землею (підлогою, поверхнею стола, тощо), та механічна енергія яка спочатку була потенціальною, а потім кінетичною, перетворилась у відповідну кількість внутрішньої енергії, тобто в кінетичну та потенціальну енергію молекул взаємодіючих тіл. Простіше кажучи, механічна енергія перетворилась в енергію теплову.

А якщо ви не помітили цього перетворення, то це тільки тому, що енергоємність тіл є надзвичайно великою. Скажімо, для того щоб один літр води нагріти всього на 1°С потрібно витратити 4200Дж енергії. Це означає, що смертельна для людини пістолетна куля масою 3г яка летить зі швидкістю 300м/с, зможе нагріти 1 літр води всього на 0,03°С. Якщо ж мова йде про енергію 50Дж то вона спромоглась би нагріти літр води всього на 0,012°С. Тому не дивно, що спостерігаючи за тими подіями які відбуваються в процесі падіння даного тіла, ви не помітили факту того, що навколишнє повітря, земля і саме тіло дещо нагрілись. Однак, якщо ви дійсно виконаєте необхідні вимірювання, то неодмінно з’ясуєте, що в процесі падіння тіла і в процесі його взаємодії з поверхнею землі, загальна кількість внутрішньої енергії взаємодіючих тіл дійсно збільшилась, і збільшилась рівно на 50Дж.

До речі, якщо в момент падіння тіла, його кінетична енергія становитиме не 50Дж, а скажімо 47Дж, то не поспішайте стверджувати, що закон збереження енергії не працює. Просто в процесі падіння тіла та в результаті його тертя об повітря, частина механічної енергії тіла (а саме 3Дж) перетворилась на відповідну кількість внутрішньої енергії тіла та повітря.

Таким чином незліченна кількість експериментальних досліджень та фактів доводять. Енергія не виникає безпричинно і не зникає безслідно. Вона лише перетворюється з одного виду в інший та переходить від одних фізичних об’єктів до інших. При цьому, за будь яких перетворень та будь яких переходів загальна кількість енергії залишається незмінною, тобто зберігається.

Переоцінити значимість закону збереження енергії, практично не можливо. Ілюструючи цю значимість, наведемо лише один показовий приклад. В 1896 році французький фізик Беккерель експериментально встановив, що уран без будь яких видимих енергетичних причин, постійно випромінює енергію. Це означало, що в цьому явищі, яке назвали радіоактивністю, закон збереження енергії не виконується. Досліджуючи це та інші явища, вчені:

– з’ясували будову атома;

–з’ясували будову атомного ядра;

–створили квантову механіку;

–створили теорію еволюційного Всесвіту;

–створили теорію еволюції зірок;

–зробили та перевірили на практиці багато інших відкриттів;

і зрештою беззаперечно довели, що радіоактивність не є енергетично безпричинною подією. Вони довели, що ядра атомів урану утворюються в надрах надмасивних зірок і що це відбувається з поглинанням величезної кількості енергії. А це означає, що одного разу накопичивши цю енергію, уран поступово, на протязі мільярдів років віддає її. Віддає у повній відповідності з законом збереження енергії.

Ілюструючи практичну значимість закону збереження енергії та ефективність його застосування при розв’язування задач, розглянемо конкретний приклад.

Задача 1. З якою початковою швидкістю v₀ потрібно кинути вниз м’яч з висоти h, щоб він підскочив на вдвічі більшу висоту H=2h? Удар об землю вважати абсолютно пружним.

Як і багато інших задач, дану задачу можна розв’язати по різному. Дійсно. З одного боку, цю задачу можна вважати задачею кінематики і розв’язати відповідним кінематичним методом. З іншого боку, цю ж задачу можна і навіть потрібно розв’язувати енергетичним методом. Щоб переконатись в цьому «потрібно», давайте розв’яжемо задачу обома способами. А висновки ви зробите самі.

Кінематичне рішення.

Дано:                                Рішення:

h                       Будемо виходити з того, що та швидкість v₀ з якою

   H=2h                потрібно кинути м’яч, є результатом вільного падіння

v₀=?                  тіла з певної додаткової висоти, величина якої H – h = h.

Іншими словами, будемо виходити з того, що м’яч вільно падає з висоти H=2h. Намагаючись встановити залежність v₀=ƒ(h) опишемо рух тіла на різних його ділянках, зокрема:

1) на ділянці 2h→0:  2h=gt₁²/2, де t₁ – тривалість руху на ділянці 2h→0;

2) на ділянці h→0:   h=v₀t₂ + gt₂²/2, де t₂ – тривалість руху на ділянці h→0.

Оскільки ми маємо систему двох рівнянь з трьома невідомими (t₁=?, t₂=?, v₀=?) то така система не має однозначного рішення. Однак, аналізуючи дану ситуацію можна записати ще два незалежних рівняння:

3) на ділянці 2h→h:  v₀= 0 +gt₃;    4) t₂ + t₃ = t₁.

Таким чином, аналізуючи дану кінематичну ситуацію ми можемо записати систему чотирьох незалежних рівнянь з чотирма невідомими:

1) 2h=gt₁²/2;

2) h=v₀t₂ + gt₂²/2;

3) v₀= gt₃;

4) t₂ + t₃ = t₁.

Розв’язуючи систему цих рівнянь можна визначити залежність v₀=ƒ(h). Дійсно:

Із  (1)→ t₁=2(h/g)^1/2;

з  (3)→ t₃=v₀/g;

з  (4)→  t₂=t₁–t₃.

Підставляючи ці дані в (2) отримаємо:

h = v₀(t₁–t₃) + (g/2)(t₁–t₃)² = v₀[2(h/g)^1/2 – v₀/g)] + (g/2)[2(h/g)^1/2 – v₀/g]² =

= 2v₀(h/g)^1/2 – v₀²/g + g/2(4h/g – 2(h/g)^1/2(v₀/g) + v₀²/g²) =

= 2v₀(h/g)^1/2 – v₀/g + 2h – 2v₀(h/g)^1/2 +v₀²/2g = 2h – v₀²/g + v₀²/2g = 2h – v₀²/2g = h.

Звідси  h = v₀²/2g,  або    v₀ = (2gh)^1/2.

Відповідь: v₀ = (2gh)^1/2= √(2gh).

Енергетичне рішення.

Оскільки абсолютно пружний удар не супроводжується втратами механічної енергії, то можна стверджувати, то згідно з законом збереження енергії, загальна кількість механічної енергії в момент вильоту м’яча Е = mgh + mv₀²/2, та в момент його максимального підйому (v₁=0м/с) Е = mgН + 0 = 2mgh; має бути однаковою. Тобто mgh + mv₀²/2 = 2mgh.

Звідси v₀ = √(2gh).

Відповідь: v₀ = √(2gh).

Задача 2. Тіло масою 500г, що рухається з швидкістю 15м/с, при взаємодії з горизонтально розташованою пружиною деформує її на 10см. Визначити жорсткість пружини.

Дано:           СІ                      Рішення:

m=500г       0,5кг         На основі аналізу умови задачі виконуємо

v = 15м/с       –             відповідний малюнок, на якому вказуємо

Δℓ=10см     0,1м          енергетичні параметри системи до та

k = ?                              після взаємодії.

Оскільки в процесі взаємодії тіла з пружиною, його кінетична енергія Е_к=mv²/2 повністю перетворюється на потенціальну енергію деформованої пружини Е_п=kΔℓ²/2, то у відповідності з законом збереження енергії mv²/2= kΔℓ²/2. Звідси випливає k=mv²/Δℓ².

Розрахунки: k=0,5кг(15м/с)²/(0,1м)²=112,5Н/0,01м=11250Н/м.

Відповідь: k=11250Н/м.

Контрольні запитання.

1.Які системи називають замкнутими?

2. Тіло падає з певної висоти на землю. Які перетворення енергії відбуваються в процесі падіння? Чи буде кінетична енергія тіла в момент його падіння в точності дорівнювати його початковій потенціальній енергії? Чому?

3. На що перетворюється енергія падаючого тіла після його падіння?

4. Камінь кинули вертикально вгору. Які перетворення енергії відбуваються в процесі його польоту? Чи буде кінетична енергія каменя в момент його вильоту та момент падіння абсолютно однаковою? Чому?

5. Теплові втрати тіла масою 1кг при його падінні з висоти 5м становлять 1Дж. Чому ці втрати є практично непомітними?

6. Які перетворення енергії відбуваються в зображених на малюнку ситуаціях?

  

Вправа 37.

1.Тіло масою 200г кинули вертикально вгору зі швидкістю 15м/с. Якою буде кінетична і потенціальна енергія цього тіла на висоті 5м?

2. На яку максимальну висоту підніметься тіло, якщо його кинули вертикально вгору з швидкістю 10м/с?

3. Тіло кинули вертикально вгору з швидкістю 20м/с. На якій висоті, його кінетична енергія дорівнюватиме потенціальній?

4. Камінь масою 5кг впав з певної висоти. Визначте кінетичну та потенціальну енергію каменя в середній точці його шляху, якщо він падав 2с.

5. На якій висоті кінетична енергія вільно падаючого тіла дорівнює його потенціальній енергії, якщо на висоті 10м швидкість цього тіла 8м/с?

6. Горизонтально розташована пружина жорсткістю 5кН/м стиснута на10см. Якої швидкості в процесі свого випрямлення надасть ця пружина тілу масою 100г?

7. Нитяний маятник з тілом масою 5кг відхилено на кут 60° від вертикалі. Яка сила натягу нитки при проходженні маятником положення рівноваги.

 

§ 38. Розв’язування задач. Тема: Імпульсно-енергетичний метод розв’язування задач динаміки.

 

Чітко класифікувати задачі динаміки практично не можливо. Тим не менше, можна виділити два базових методи їх розв’язку: силовий та імпульсно-енергетичний. Суть силового методу полягає в тому, що невідомі величини визначають на основі векторного аналізу діючих на тіло сил та на базі умови його динамічної рівноваги (∑F+F_i=0). При імпульсно-енергетичному методі, невідомі величини визначають на основі аналізу імпульсно-енергетичних параметрів тіл (імпульс, енергія, робота, потужність, к.к.д) та їм відповідних визначальних рівнянь і на базі законів збереження енергії та імпульсу.

Звичайно, подібна класифікація є досить умовною. Умовною по-перше тому, що в багатьох випадках одну і ту ж задачу можна розв’язати як силовим так і імпульсно-енергетичним методом. А по-друге, рішення багатьох задач передбачає застосування певної комбінації обох методів. Втім, нема кращого способу розібратися в різноманітті динамічних задач та методах їх рішення, як практичне розв’язування максимально великої їх кількості.

Задача 1. Тіло без тертя зісковзує з похилої площини, яка переходить у так звану «мертву петлю». З якої мінімальної висоти Н має зісковзувати тіло, щоб бути здатним описати «мертву петлю» радіусом R.

Рішення.

Оскільки за умовою задачі, в процесі руху тіла втратами енергії можна знехтувати, то та потенціальна енергія яку має тіло на висоті Н (Е_п1=mgH), в нижній точці спуску перетвориться на відповідну кількість кінетичної енергії Е_к1=Е_п1. При цьому, цієї енергії має вистачити на те, щоб по перше підняти тіло на висоту h=2R, тобто щоб надати тілу потенціальної енергії Е_п2=mg2R. А по друге, забезпечити таку швидкість руху тіла в верхній точці петлі, при якій діюча на нього сила тяжіння (F_т=mg), буде зрівноваженою відповідною силою інерції (F_i=ma_д=mv₂²/R). А це означає, що у верхній точці петлі, тіло повинно мати певний запас кінетичної енергії Е_к2=mv₂²/2, де v₂² визначається із співвідношення mv₂²/R = mg. Звідси v₂²=gR. При цьому Е_к2=mgR/2

Таким чином, для тієї мінімальної висоти Н, яка за відсутності енергетичних втрат забезпечує виконанням тілом «мертвої петлі», має виконуватись співвідношення mgH = 2mgR + mgR/2. Звідси H = 2R+R/2=2,5R.

Відповідь: H = 2,5R.

Задача 2.  Визначити швидкість вильоту кульки масою m з дула пружинного пістолета при горизонтальному пострілі, якщо жорсткість пружини k, а її деформація Δℓ.

Дано:                                         Рішення:

m                   Виконуємо малюнок на якому вказуємо енергетичні

k                    параметри системи пружина-кулька до та після пострілу.

Δℓ                 Будемо виходити з того, що в процесі пострілу, потенціальна

v= ?              енергія пружно деформованої пружини Е^пр=kΔℓ²/2 йде на

на збільшення кінетичної енергії кульки Е_к=mv²/2.

При цьому, згідно з законом збереження енергії можна записати:

kΔℓ²/2 = mv²/2, звідси v = √(kΔℓ²/m) = Δℓ√k/m

Відповідь: v = Δℓ√k/m.

Задача 3.  Визначити швидкість вильоту кульки масою m з дула пружинного пістолета при вертикальному пострілі, якщо жорсткість пружини k, а її деформація Δℓ.

Дано:                                         Рішення:

m                   Виконуємо малюнок на якому вказуємо енергетичні

k                    параметри системи пружина-кулька до та після пострілу.

Δℓ                 Будемо виходити з того, що в процесі пострілу, потенціальна

v= ?              енергія пружно деформованого тіла Е^пр=kΔℓ²/2 йде не лише

на збільшення кінетичної енергії кульки Е_к=mv²/2, а й на

збільшення її потенціальної енергії Е_п=mgΔℓ.

При цьому, згідно з законом збереження енергії можна записати:

kΔℓ²/2 = mv²/2 + mgΔℓ,  або  mv²/2 = kΔℓ²/2  – mgΔℓ, звідси

v = √(kΔℓ²/m – 2gΔℓ).

Відповідь: v = √(kΔℓ²/m – 2gΔℓ).

Задача 4. Куля масою 7г летить в горизонтальному напрямку зі швидкістю 500м/с і влучає в центр дерев’яного бруска масою 2,0кг який висить на нитках, та застряє в ньому. На яку висоту підніметься брусок після удару кулі? Визначте величину тієї енергії, яка в процесі взаємодії кулі з бруском перетворилась в енергію теплову.

Загальні зауваження. Розв’язуючи подібні задачі (особливо в тих випадках, де не згадується про перетворення механічної енергії в теплову) можна подумати, що у відповідності з законом збереження енергії, та кінетична енергія яку мала куля до взаємодії з бруском Е_к=mv₁²/2, у підсумку перетворюється на потенціальну енергію системи брусок-куля Е_п=(М+m)gh, і що тому h=mv₁²/2(M+m)g=44м. Втім, отриманий результат явно суперечить як здоровому глузду так і експериментальним фактам. І це закономірно, адже застосовуючи закон збереження енергії, ми не врахували того, що в процесі гальмування кулі, левова частина її кінетичної енергії перетворилась на теплоту, тобто енергію хаотичного руху молекул системи куля-тіло. В подібних ситуаціях рішення задачі базується на комбінованому застосуванні законів збереження енергії та імпульсу. Адже закон збереження імпульсу (∑р_до = ∑р_після) виконується навіть в тих випадках коли короткотривала подія (поштовх) відбувається з перетворенням механічної енергії в теплоту.

Дано:               СІ                                   Рішення:

m=7г            7∙10^–3кг         Виконуємо малюнок який відображає фізичну

v₁=500м/с       –                 суть задачі. Керуючись законом збереження

М=2,0кг          –                 імпульсу визначаємо швидкість бруска (v₁₂)

v₂=0м/с            –                 після взаємодії з кулею: mv₁+Мv₂ = (m+М)v₁₂.

h = ?                                   Враховуючи, що v₂=0  можна записати

Q =?                                    v₁₂ = mv₁/(m+М) = (7·10^–3кг500м/с)/2,007кг = 1,75м/с.

Виходячи з того, що після взаємодії з кулею, брусок отримав певну кількість кінетичної енергії  Е_к=(m+М)v₁₂²/2 = 3Дж, і що в процесі підйому бруска, ця енергія повністю перетворилась на відповідну кількість потенціальної енергії Е_п=(m+М)gh  можна записати:  (m+М)gh = (m+М)v₁₂²/2, звідси

h=v₁₂²/2g = (1,75м/с)²/2·9,8м/с² = 0,156м = 15,6см

Кількість тієї енергії яка в процесі взаємодії кулі з бруском перетворилась на теплоту (Q), можна визначити як різницю між кінетичною енергією кулі до взаємодії (Е_к= mv₁²/2 = 875Дж) та кінетичною енергією системи брусок-куля після взаємодії (Е_к=(m+М)v₁₂²/2 = 3Дж), тобто: Q = 875Дж – 3Дж = 872Дж. А це означає, що в процесі гальмування кулі 99,65% її механічної кінетичної енергії перетворилось на енергію теплового (хаотичного) руху молекул системи куля- брусок.

Відповідь:   h = 15,6см;  Q = 872Дж;  Q/E_k1 = 99,65%.

Задача 5. Дві пружні кулі масами 1кг і 4кг рухаються назустріч одна одній з швидкістю 10м/с кожне. Визначити швидкість куль після їх лобового абсолютно пружного зіткнення.

Дано:                                      Рішення:

m₁ = 1кг                  Виконуємо малюнок який відображає фізичну суть

m₂ = 4кг                  задачі. Задаємо систему координат (вісь 0х). На основі

v₀₁= v₀₂=10м/с         аналізу імпульсно-енергетичної ситуації, та зважаючи

v₁ =?; v₂ =?              на факт того, що абсолютно пружні удари відбуваються

без перетворення механічної енергії в теплоту, записуємо два рівняння:

рівняння закону збереження імпульсу ∑р_до=∑р_після  та

рівняння закону збереження енергії ∑Е_до = ∑Е_після:

1) m₁v₀₁ – m₂v₀₂ = –m₁v₁+m₂v₂, оскільки v₀₁=v₀₂, то v₀₁(m₁ – m₂) = –m₁v₁+m₂v₂

2) m₁v₀₁²/2+m₂v₀₂²/2 = m₁v₁²/2+m₂v₂²/2,  або (v₀₁²/2)(m₁+m₂) = m₁v₁²/2+m₂v₂²/2.

Таким чином, ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими (v₁=?; v₂=?):

1) v₀₁(m₁ – m₂) = –m₁v₁ + m₂v₂;

2) (v₀₁²/2)(m₁+m₂) = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2.

Загальне математичне рішення подібних систем є досить складним. Тому розв’яжемо цю систему з врахуванням числових значень відомих величин.

З рівняння (1): 10(1–4) = –1v₁+4v₂, або 4v₂–1v₁ = –30, випливає що  v₁=4v₂+30.

Отримане значення v₁=4v₂+30, підставляємо в рівняння (2):

(10²/2)(1+4) = (1/2)(4v₂+30)²+(4/2)v₂²;

250 = 0,5(16v₂² + 240v₂ +900) + 2v₂²;

8v₂² + 120v₂ + 450 +2v₂² = 250;

10v₂² + 120v₂ + 200 =0;

v₂² + 12v₂ + 20 = 0.

Розв’язуємо відповідне квадратне рівняння:

v₂ = (–12 ± √[12² – (4∙1∙20)])/2∙1 = (–12 ± 8)/2.

Таким чином, ми отримали два рішення:

1) v₂ = (–12 + 8)/2 = –2м/с ; v₁=4v₂+30 = 4(–2) + 30 = 22м/с.

2) v₂ = (–12 – 8)/2 = –10м/с ; v₁=4v₂+30 = 4(–10) + 30 = –10м/с.

Пояснюючи отримані результати, можна сказати наступне. Згідно з умовою задачі, тіла рухаються назустріч одне одному. Однак, записана нами система рівнянь, дає відповіді як на пряму задачу (тіла рухаються назустріч одне одному) так і на зворотню задачу (тіла рухаються в одному напрямку). А це означає, що перша відповідь (v₂= –2м/с; v₁=22м/с), стосується ситуації коли тіла рухаються назустріч одне одному. При цьому знак « – » вказує на те, що після взаємодії тіло з масою 4кг буде рухатись в напрямку протилежному від того який вказано на малюнку. І це закономірно, адже абсолютно очевидно, що при пружній взаємодії тіл з масами 1кг і 4кг, друге тіло дещо зменшить свою швидкість, але не змінить напрямку свого руху. Власне про це і говорить отриманий нами результат.

Що ж стосується другої відповіді (v₂= –10м/с; v₁= –10м/с), то вона вказує на те, що після гіпотетичної взаємодії тіл які з однаковими швидкостями (v₀₁= v₀₂=10м/с) рухаються в одному напрямку (від’ємному напрямку), величини їх швидкостей та напрямки руху залишаються незмінними. І це закономірно, адже рухаючись в одному напрямку та маючи однакові швидкості тіла ніколи не зіштовхнуться, а відповідно ніколи не змінять ні напрям, ні величину своєї швидкості.

Відповідь: v₁=22м/с; v₂= –2м/с. (Відносно тих напрямків які зображені на малюнку).

Рішення багатьох задач динаміки передбачає поєднання як імпульсно-енергетичного так і силового методів. Розглянемо один з прикладів такої задачі.

Задача 6. Невеличке тіло починає зісковзувати з вершини напівсфери радіусом R. На якій висоті h, тіло відірветься від поверхні напівсфери? Тертям знехтувати.

Рішення. Розглянемо ті сили які діють на тіло в процесі його руху поверхнею напівсфери. А оскільки в процесі цього руху, тіло рухається з певним доцентровим прискоренням (а_д=v²/R), то на нього окрім вертикальної сили тяжіння (F_т=mv²/2) та перпендикулярної до поверхні напівсфери реакції опори (N), діє перпендикулярна до поверхні сила інерції F_i=mv²/R/. При цьому в момент відриву тіла, величина реакції опори має дорівнювати нулю. А це означає, що в момент відриву, проекція сили тяжіння на ту вісь яка проходить через центр напівсфери (т.О) та точку відриву тіла (т.А), і яка дорівнює F_тcosα=mgcosα, має врівноважуватись відповідною цій точці силою інерції, тобто mgcosα=mv²/R      (1)

З іншого боку, із аналізу трикутника ОАВ ясно, що та висота h на якій знаходиться точка відриву тіла від поверхні напівсфери (т.А) визначається за формулою h=Rcosα, де R – радіус напівсфери. А оскільки з рівняння (1) випливає, що cosα=v²/Rg, то можна записати h=v²/g      (2).

Таким чином, подальше рішення задачі зводиться до визначення квадрату швидкості тіла в момент його відриву від поверхні напівсфери, тобто в момент коли воно буде знаходитись на висоті h. А цю швидкість можна визначити із енергетичних міркувань. Дійсно. В процесі опускання тіла з висоти R до висоти h, його потенціальна енергія mgΔh=mg(R–h) перетворюється на енергію кінетичну mv²/2. При цьому mg(R–h)=mv²/2. Звідси випливає v²=2g(R–h).

Підставивши останнє співвідношення в рівняння (2), отримаємо

h=v²/g=2g(R–h)/g=2R – 2h. Звідси 3h=2R, або h=2R/3.

Відповідь: h=2R/3.

Вправа 38.

1.В пружинному пістолеті жорсткість пружини 400Н/м. З якою швидкістю вилітатиме з нього кулька масою 5г, якщо пружина стиснута на 10см?

2. Тіло масою 500г, кинуте вертикально вгору зі швидкістю 20м/с, впало на землю зі швидкістю 16м/с. Визначити величину енергетичних втрат в процесі польоту тіла.

3. Тіло масою кинули вертикально вгору зі швидкістю 12м/с. На якій висоті швидкість руху тіла зменшиться вдвічі?

4. Нитяний маятник масою 5кг відхилено на 60° від вертикалі. Яка сила натягу нитки при проходженні маятником положення рівноваги?

5. Тіло масою 1кг рівномірно обертаючись на нитці у вертикальній площині описує коло радіусом 1м. На скільки сила натягу нитки в нижній точці траєкторії більша аніж у верхній?

6. Кулька підвішена на невагомій нерозтяжній нитці довжиною 0,5м. Яку мінімальну швидкість потрібно надати кульці, щоб вона описала коло у вертикальній площині? Опором повітря знехтувати.

7. Невеличке тіло починає зісковзувати з вершини сфери радіусом 60см. На якій висоті від вершини це тіло відірветься від поверхні сфери? Тертям знехтувати.

8. Кулька масою 10г вилітає з горизонтально розташованого пружинного пістолети і влучає в центр підвішеного на нитці пластилінового бруска масою 30г. На яку висоту підніметься брусок, якщо перед пострілом пружина була стиснута на 4см, а її жорсткість 256Н/м?

 

 

 

§ 39. Робота. Механічна робота.

 

В науковій практиці термін «робота» має два значення: робота, як певна енергозатратна подія і робота, як певна фізична величина. Наприклад, коли ми стверджуємо, що піднімаючи стілець учень виконує роботу, то маємо на увазі певну подію. А коли говоримо, що піднімаючи стілець учень виконав роботу величиною 40Дж, то маємо на увазі фізичну величину яка певним чином характеризує виконану роботу.

Загалом, виконання роботи нерозривно пов’язано по-перше з передачею енергії від одного тіла до іншого, а по-друге, з перетворенням енергії з одного виду в інший. Наприклад, в процесі вільного падіння тіла (мал.111а), гравітаційна енергія Землі передається тілу, при цьому потенціальна енергія тіла перетворюється на його кінетичну енергію. В процесі взаємодії того тіла що рухається з тілом яке не рухається (мал.111б), енергія від рухомого тіла передається до нерухомого, при цьому кінетична енергія рухомого тіла спочатку перетворюється на потенціальну енергію пружної взаємодії тіл, а потім в кінетичну енергію нерухомого тіла. В процесі стиснення пружини (мал.111в), м’язова енергія руки передається пружині та перетворюється на її потенціальну енергію. Коли ж пружина випрямляється і штовхає тіло, то її потенціальна енергія передається тілу та перетворюється на його кінетичну енергію.

   

Мал.111. Виконання роботи нерозривно пов’язане з переходом енергії від одного тіла до іншого та з перетворенням одного виду енергії в інший.

В подальшому, терміном «робота» ми будемо позначати відповідну фізичну величину. Виходячи з цього дамо лише одне визначення терміну «робота».

Робота – це фізична величина, яка характеризує затрати енергії на виконання роботи, тобто певної енергозатратної дії і яка дорівнює цим затратам.

Позначається: А

Визначальне рівняння: А=ΔЕ

Одиниця вимірювання: А=Дж,   джоуль.

Формула А=ΔЕ=Е_кінц – Е_поч, по-перше вказує на універсальний спосіб визначення (вимірювання) роботи, а по-друге, на факт того, що процес виконання будь якої роботи нерозривно пов’язаний з затратами енергії.

Із аналізу визначень, енергія – характеризує здатність виконати роботу; робота – характеризує затрати енергії на виконання роботи, з усією очевидністю випливає, що ці величини є дуже схожими та взаємопов’язаними.

Якщо ж говорити про ті відмінності які існують між роботою та енергією, то по перше робота характеризує певну конкретну подію, а енергія є загальною характеристикою всіх подій, і в цьому сенсі, енергія є більш загальною величиною. По друге, робота характеризує лише ту частину енергії яка йде на виконання певної конкретної дії (певної роботи). Енергія ж характеризує загальну здатність фізичного об’єкту до виконання енергозатратної дії, не вказуючи при цьому яким чином ця здатність буде реалізована. Крім цього, робота характеризує дію яка вже виконана або буде виконана. Енергія ж характеризує саму здатність виконати роботу, не вказуючи де, коли і як ця здатність буде реалізована.

Формула А=ΔЕ є базовим, визначальним рівнянням роботи. Однак, якщо мова йде про механічну роботу, то її часто визначають за формулою А=Fscosα, де F – усереднена величина тієї сили що виконує роботу, s – величина того переміщення яке відбувається під дією даної сили, α – кут між напрямком вектора сили (F) та напрямком вектора переміщення (s). Зверніть увагу, в формулі A=Fscosα символом F позначають середнє значення діючої на тіло сили (середнє на ділянці переміщення s). Тому, якщо наприклад, на ділянці виконання роботи, величина діючої на тіло сили лінійним чином змінюється від F₁ до F₂, то визначаючи виконану роботу, в якості діючої на тіло сили потрібно обирати F=(F₁+F₂)/2.

Мал.112. Якщо під дією сили F тіло перемістилось на відстань s то виконана цією силою робота дорівнює А=Fscosα.

Аналіз формули А=Fscosα вказує на те, що механічна робота виконується за умови виконання трьох вимог: 1) наявність діючої на тіло сили (F); 2) наявність переміщення тіла (s); 3) кут між напрямком дії сили та напрямком переміщення не повинен дорівнювати 90° (для α=90°, соsα=0 і тому А=Fscos90°=0). Наприклад, якщо ви штовхаєте важке тіло, а воно залишається на місці (мал.113а), то роботу по механічному переміщенню тіла ви не виконуєте. Не виконуєте тому, що переміщення тіла дорівнює нулю (s=0), а отже А=Fscosα=0. Можливо ви виконуєте якусь іншу роботу, скажімо роботу по деформації поверхні тіла, або роботу по розігріву своїх м’язів, але роботу по механічному переміщенню тіла ви не виконуєте.

Механічна робота не виконується і в тому випадку, коли тіло не зустрічаючи жодного опору з боку зовнішніх сил рухається за інерцією (мал.113б). Адже в цьому випадку рух тіла фактично відбувається без дії зовнішньої сили (F=0) і тому А=Fscosα=0. Звичайно, таке тіло має певний запас кінетичної енергії. Однак в процесі рівномірного руху ця енергія не змінюється і не передається іншим тілам, а отже і не призводить до виконання певної роботи. Лише в тому випадку коли рухоме тіло відчує протидію зовнішніх сил, наприклад сили тертя чи сили пружності зустрічної перешкоди, воно виконає певну роботу.

Механічна робота не виконується і в тому випадку, коли діюча на тіло сила є перпендикулярною до напрямку переміщення тіла. Наприклад, в процесі обертання штучного супутника навколо Землі (мал.113в), діюча на нього гравітаційна сила не виконує механічної роботи. Не виконує тому, що кут між напрямком дії цієї сили і напрямком руху супутника становить 90°, а сos90°=0, і тому А=Fscosα=0

 

.             s = 0                                 F = 0                                   cosα = 0

Мал.113. Ситуації в яких механічна робота не виконується.

Механічна робота може бути як додатною так і від’ємною. При цьому, якщо напрям діючої на тіло сили співпадає з напрямком переміщення тіла, то робота відповідної сили є додатною (сила сприяє переміщенню тіла). Якщо ж напрям діючої на тіло сили протилежний до напрямку його переміщення, то робота відповідної сили є від’ємною (сила протидіє переміщенню тіла). Наприклад робота сили тертя завжди від’ємна.

Потрібно зауважити, що робота однієї і тієї ж сили може бути як додатною, так і від’ємною. Наприклад, коли ви відпускаєте яблуко і воно під дією сили тяжіння падає на землю, то сила тяжіння виконує додатню роботу (сприяє переміщенню яблука). Якщо ж ви піднімаєте яблуко, то сила тяжіння протидіє переміщенню яблука і тому виконує від’ємну роботу. Власне аналогічні результати випливають не лише з логічних міркувань, а й з формули А=Fscosα. Дійсно, якщо під дією сили тяжіння яблуко падає вниз, то α=0°, cos0°=1 і тому A=mghcos0°=mgh. Якщо ж всупереч дії сили тяжіння яблуко піднімається вгору, то кут між напрямком дії сили тяжіння та напрямком руху тіла дорівнює 180° і тому: α=180°, cos180°= –1 а отже A=mghcos180°= –mgh.

  

Мал.114. Механічна робота може бути як додатною так і від’ємною.

На перший погляд, формули А=ΔЕ і А=Fscosα є абсолютно різними. Насправді ж мова йде про споріднені і в певному сенсі тотожні формули. Різниця між ними лише в тому, що перша (А=ΔЕ) дозволяє визначати роботу енергетичним методом, а друга (А=Fscosα) – силовим. Ілюструючи та перевіряючи фізичну тотожність формул А=ΔЕ і А=Fscosα, а заодно і порівнюючи силовий та енергетичний методи розв’язування задач, розглянемо декілька конкретних прикладів.

          Задача 1. Під дією сили тяжіння тіло масою m падає з висоти h на землю. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

Дано:                                Рішення:

m                Виконуємо малюнок який відображає

h                 а) для енергетичного рішення: енергетичні параметри системи;

g                 б) для силового рішення: силові параметри системи.

А=?               Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи (в процесі падіння тіла) величина потенціальної енергії тіла змінилась від Е_п=mgh  до Е_п=0, то

А=ΔЕ=0 – mgh = –mgh, де знак  « – » вказує на те, що в процесі виконання роботи потенціальна енергія тіла зменшилась.

Відповідь: А=mgh.

Силове рішення.

Виходячи з того що дану роботу виконує постійна за величиною сила тяжіння F=mg, та враховуючи що напрям цієї сили співпадає з напрямком переміщення тіла (α=0°; соs0°=1) можна записати: А=Fscosα=mgh.

Відповідь: A=mgh.

Задача 2. Горизонтально розташована та деформована на величину Δℓ пружина жорсткістю k, штовхає тіло. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

Дано:                                     Рішення:

Δℓ                 Виконуємо малюнок який відображає

k                   а) для енергетичного рішення: енергетичні параметри системи;

А=?              б) для силового рішення: силові параметри системи.

Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи, величина потенціальної енергії пружини змінюється від Е_п=kΔℓ²/2  до  Е_п=0,  то А=ΔЕ=0 –  kΔℓ²/2= – kΔℓ²/2, де знак « – » вказує на те, що в процесі виконання роботи, величина потенціальної енергії пружини зменшилась.

Відповідь:  А= kΔℓ²/2 .

Силове рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи величина діючої на тіло сили пружності лінійним чином змінюється від максимального значення (F=kΔℓ) до нуля (F=0), то усереднена величина цієї сили становитиме F_c=kΔℓ/2. А враховуючи що напрям сили пружності співпадає з напрямком переміщення (α=0°; соs0°=1), можна записати: A=F_cscosα=(kΔℓ/2)Δℓ=kΔℓ²/2.

Відповідь:   A=kΔℓ²/2.

Задача 3.  Тіло масою m, рухається з горизонтальною швидкістю v . При взаємодії з горизонтально розташованою пружиною, тіло деформує її і зупиняється. Визначити величину виконаної при цьому механічної роботи.

Дано:                                     Рішення:

m                    Виконуємо малюнок який відображає

v                    а) для енергетичного рішення: енергетичні параметри системи;

А=?               б) для силового рішення: силові параметри системи.

Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи величина кінетичної енергії тіла змінюється від Е_к=mv²/2  до Е_к=0, то А=ΔЕ=0 – mv²/2 = – mv²/2,

де знак « – » вказує на те, що в процесі виконання роботи, величина кінетичної енергії тіла зменшилась.

Відповідь:  А=mv²/2.

Силове рішення.

По суті, тією силою яка виконує роботу по деформації пружини є сила інерції, тобто та сила поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і величина якої визначається за формулою F_i=ma. Величину того прискорення з яким рухається тіло в процесі деформації пружини, можна визначити із кінематичних міркувань:

Δℓ=(v_k² – v₀²)/2a = – v₀²/2a=v²/2a;  звідси  a = – v²/2Δℓ, де знак « – » вказує на те, що рух тіла є рівносповільненим.

Враховуючи, що напрям тієї сили яка виконує роботу (сили інерції) співпадає з напрямком деформації пружини, тобто що α=0°; соs0°=1, можна записати:  A=Fℓcosα=m(v²/2Δℓ)Δℓ=mv²/2 .

Відповідь:  A=mv²/2.

Висновок. Таким чином, визначаючи величину виконаної механічної роботи, практично з однаковим успіхом можна застосовувати як формулу А=ΔЕ так і формулу А=Fscosα. Однак потрібно мати на увазі, що в формулі А=Fscosα  знак результату вказує на те яку роботу (додатню чи від’ємну) виконує відповідна сила. В формулі ж А=ΔЕ, знак результату говорить про те, як змінюється (збільшується чи зменшується) відповідна енергія в процесі виконання роботи.

Крім цього, не важко бачити, що зазвичай енергетичне рішення задачі є значно простішим та ефективнішим. Скажімо силове рішення задачі 3 передбачає не лише розуміння факту того, що в умовах цієї задачі, тією силою яка виконує роботу по деформації пружини є сила інерції, а й знання формули s=(v_k² – v_п²)/2а. Ця формула є похідною від рівняння руху і дозволяє визначати пройдений тілом шлях за заданою величиною його прискорення та відомою величиною початкової і кінцевої швидкості.

Контрольні запитання.

1.Якими процесами супроводжується виконання роботи?

2. Які енергетичні перетворення відбуваються в процесі: а) вільного падіння тіла; б) стиснення пружини; в) непружного удару; г) пружного удару?

3. Наведіть приклади того коли процес переміщення тіла не супроводжується виконанням механічної роботи.

4. Наведіть приклади того, коли діюча на тіло сила не призводить до виконання механічної роботи.

5. В якому випадку робота сили є додатною, а в якому від’ємною?

6. Робота якої сили завжди від’ємна?

7. Як визначають роботу змінної сили?

8. Тіло підкинули вертикально вгору і піймали в тій же точці. Яку загальну роботу виконала при цьому сила тяжіння.

9. Чим схожі і чим відрізняються робота та енергія? Який з цих термінів є більш загальним? Чому?

Вправа №39.

1.Автокран, піднімаючи вантаж масою 1,5т виконав роботу 22,5кДж. На яку висоту піднято при цьому вантаж?

2. З греблі щохвилини падає 18000м³ води з висоти 20м. Яка при цьому виконується робота?

3. Пружину жорсткістю 600Н/м деформували на 10см. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

4. Визначити роботу сил тертя, якщо автомобіль масою 2т переміщується горизонтальною дорогою на 500м. Коефіцієнт тертя 0,02

5. Вантаж масою 50кг вільно падає протягом 3с. Яку роботу виконує при цьому сила тяжіння?

6. Тіло масою 2кг падає з висоти 10м, при цьому в момент падіння на землю його швидкість становить 11м/с. Визначити роботу сили опору повітря.

7. Тіло масою m з постійною швидкістю піднімають похилою площиною на висоту h. Визначити роботу сили тяги, роботу сили тяжіння, роботу сили тертя і роботу реакції опори. Коефіцієнт тертя μ, кут нахилу площини до горизонту α.

8. Порівняйте роботи сили тяжіння при вільному падінні тіла за першу і другу половини часу падіння.

 

§ 40. Потужність. Коефіцієнт корисної дії.

 

          До числа основних характеристик будь якого приладу відносяться потужність та коефіцієнт корисної дії (к.к.д.).

Потужність – це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи і яка дорівнює відношенню виконаної роботи (А) до того проміжку часу (t) за який ця робота була виконана.

Позначається: N (або Р)

Визначальне рівняння: N=А/t

Одиниця вимірювання: [N]=Дж/с=Вт,  ват.

Ват – це одиниця вимірювання потужності, яка дорівнює такій потужності при якій за одну секунду виконується робота в один джоуль. Скажімо, якщо ви візьмете в руку вантаж масою 102г то відчуєте силу в один ньютон. Якщо цей вантаж ви піднімете на один метр – то виконаєте роботу в один джоуль. А якщо цю роботу ви виконаєте за одну секунду – то розвинута вами середня потужність становитиме один ват.

Задача 1. Гиря годинника має масу 0,8 кг і за добу опускається на 110см. Яка потужність годинникового механізму?

Дано:              СІ                         Рішення:

m=0,8кг          –             За визначенням N=A/t.

t = 1доба    86400с        Будемо виходити з того, що джерелом тієї роботи

h = 110см     1,1м          яку виконує годинниковий механізм є та енергія

N = ?                               яку отримує цей механізм в процесі опускання гирі

і яка дорівнює А=F_тh=mgh.

Таким чином N=mgh/t.

Розрахунки: N=0,8кг·10(м/с²)1,1м/86400с=0,0001Вт.

Відповідь N= 0,0001Вт.

Формула N=А/t є базовим визначальним рівнянням потужності. Однак, якщо мова йде про потужність тих приладів які виконують механічну роботу (А=Fℓcosα), то для них формула потужності набуває вигляду:

N=А/t=(Fℓcosα)/t=Fvcosα.  Тобто N=Fvcosα ,

де F – усереднене значення тієї сили що виконує роботу;

v – швидкість того тіла що рухається під дією сили F;

α – кут між напрямком дії сили та напрямком руху тіла.

Зазвичай α=0° і тому N=Fv.

Таким чином, механічна потужність приладу, наприклад автомобіля, визначається добутком тієї тягової сили що змушує прилад рухатись на швидкість його руху. Знаючи даний факт, не важко збагнути, як це так виходить, що сильний трактор і значно слабший легковий автомобіль мають однакову потужність. Правильно, трактор – сильний але повільний, натомість легковик – слабкий але швидкий. Втім, той же трактор чи той же автомобіль, маючи один і той же двигун, на різних передачах можуть мати дуже різну величину як сили так і швидкості. Скажімо перша передача, забезпечує максимальну силову тягу при мінімальній швидкості руху. Четверта ж передача навпаки, забезпечує максимальну швидкість руху при мінімальній тяговій силі.

В процесі виконання роботи, в будь якому механічному, електричному, тепловому чи іншому приладі, частина наданої йому енергії неминуче і безповоротно втрачається. Характеризуючи ці втрати, або якщо хочете, характеризуючи ефективність використання енергії в приладі, говорять про його коефіцієнт корисної дії (к.к.д.).

Коефіцієнт корисної дії (к.к.д) – це фізична величина, яка характеризує ефективність використання енергії в тому чи іншому приладі і яка дорівнює відношенню тієї енергії що йде на виконання корисної роботи (Е_кор=А_кор), до загальної кількості наданої приладу енергії (Е_заг=А_заг).

Позначається: η

Визначальне рівняння: η=(Е_кор/Е_заг)100%,  або   η=(А_кор/А_заг)100%

Одиниця вимірювання: [η] = %,  відсотки.

Потрібно зауважити, що певний коефіцієнт корисної дії мають не лише двигуни, генератори, автомобілі та інші складні прилади які власне і виконують роботу, а й прості механізми, які самі по собі роботу не виконують, а являються лише певними посередниками при її виконанні (важелі, блоки, похилі площини, тощо).

Напевно найпростішим простим механізмом є похила площина. Принцип дії цього механізму розглянемо на конкретному прикладі. Припустимо, що вантаж масою 80кг вам потрібно підняти на кузов автомобіля висотою 1,2м (мал.115). Звичайно, якщо габарити вантажу та ваші силові можливості дозволяють, що називається запросто підняти вантаж масою 80кг на висоту 1,2м, то ви з легкістю виконаєте дану роботу і ваші енергетичні затрати становитимуть А=F_тh=mgh=960Дж. Однак на практиці далеко не кожен з нас важкоатлет, та й вантаж не є зручною гирею з руків’ям. Тому, будучи людиною розумною, ви застосовуєте…, правильно – похилу площину. Адже в цьому випадку для піднімання вантажу вам знадобиться значно менше силове зусилля. Реалізуючи свій задум, ви неминуче з’ясуєте, що  вантаж потрібно переміщувати на значно більшу довжину, скажімо не на 1,2м а на 2,4м. І тут нічого не вдієш – виграєш в силі, програєш у пройденому шляху.

Мал.115. Виграєш в силі, програєш у пройденому шляху.

Звичайно, якби вантаж переміщувався похилою площиною без жодних проявів сили тертя, то для його переміщення було б достатньо сили 400Н (у відстані програли вдвічі, у силі вдвічі виграли). Однак, як ви розумієте, сила тертя між поверхнею вантажу та поверхнею похилої площини неминуче присутня, і тому для підйому вантажу вам знадобиться сила не 400Н, а скажімо 500Н. При цьому ваші енергетичні затрати становитимуть А=F₂ℓ=500Н·2,4м= 1200Дж.

Таким чином, застосування похилої площини, дозволило прикладаючи менше зусилля виконати важку роботу. Платою ж за виконання цієї роботи став факт того, що замість мінімально необхідних енергетичних затрат величиною 960Дж, ми витратили 1200Дж енергії. При цьому к.к.д. похилої площини становить η=А_кор/А_заг=mgh/F₂ℓ=960Дж/1200Дж=0,8=80%.

Оскільки на практиці робота будь якого простого механізму чи складного приладу неминуче пов’язана з певними енергетичними втратами, то задачі в яких фігурує коефіцієнт корисної дії є надзвичайно поширеними. Приємною особливістю цих задач є те, що їх рішення практично завжди починається з визначального рівняння к.к.д тобто з формули η=(А_кор/А_заг)100%. При цьому в подальшому дотримуються наступної послідовності дій.

1.На основі аналізу умов конкретної задачі визначаються з тим, яка робота в цих умовах є корисною (А_кор), а яка затраченою, загальною (А_заг).

2. На основі аналізу умов задачі, виражають А_кор та А_заг через відомі величини та ту величину яку треба зайти:

А_кор = ….

А_заг = ….

3. Підставляють отримані результати в базову формулу: η=(А_кор/А_заг)100% = …

4. Із отриманої формули визначають невідому величину.

Ілюструючи дієвість вище описаного алгоритму, розв’яжемо ряд конкретних задач.

Задача 2.  Електровоз рухаючись з швидкістю 54км/год споживає потужність 600кВт. Визначити силу тяги електровоза, якщо його к.к.д 75%.

Дано:                    СІ                        Рішення:

v=54км/год       15м/с         За визначенням   η = (А_кор/А_заг)100% .

N=600кВт       6∙10⁵Вт        Із аналізу умови задачі ясно, що корисною

η=75%                  –              роботою є та механічна робота яку виконує

F_тяг=?                                    сила тяги електровозу і яку можна визначити

.                                            За формулою    А_кор=F_тягs.

Оскільки, величина тієї загальної потужності яку споживає електровоз визначається за формулою N=А_заг/t  то А_заг= Nt .

Таким чином  η = (А_кор/А_заг)100% =(F_тягs100%)/Nt .

А враховуючи, що при рівномірному русі електровоза s/t=v, можна записати

η=(F_тягv100%)/N,  звідси   F_тяг=ηN/v100%.

Розрахунки: [F] = (%Вт)/(%м/с) = Н(м/с)/(м/с) = Н

F_тяг = 6·10⁵·75/15·100 =15∙10³Н=15кН.

Відповідь: F_тяг = 15кН .

Задача 3. Підйомний кран піднімає вантаж 3т на висоту 8м зі сталою швидкістю. За який час піднімається цей вантаж, якщо потужність двигуна 12кВт, а к.к.д. крана 80%?

Дано:             СІ                       Рішення:

m = 3т         3·10³кг           За визначенням   η = (А_кор/А_заг)100% .

h = 8м                                 Із аналізу умови задачі ясно, що корисною

N = 12кВт  12·10³Вт         роботою є та, що йде на піднімання вантажу

η = 80%                              тобто А_кор=mgh.

t = ?                                    Загальною роботою є та робота яку виконує

двигун потужністю N. А оскільки N=A_заг/t, то A_заг= Nt.

Таким чином  η = mgh100%/Nt. Звідси t = mgh100%/Nη.

Розрахунки: [t] = (кг(м/с²)м%)/(Вт%) = Дж/Дж/с = с

t = mgh100%/Nη = (3·10³кг·10(м/с²)·8м·100%)/12·10³Вт·80% = 25с

Відповідь: t = 25с

Задача 4.  Ящик з цвяхами, маса якого 54кг піднімають за допомогою рухомого блока, діючи на мотузку з силою 360Н. Визначити к.к.д установки..  .

Дано:                                   Рішення:

m=54кг               За визначенням η = (А_кор/А_заг)100%.

F=360Н              Із аналізу умови задачі ясно, що корисною є та

η=?                     робота яка йде на піднімання вантажу.

Цю роботу можна визначити за формулою А_кор=mgh.

Оскільки загальну роботу виконує прикладена до мотузки сила F, та зважаючи на те що для переміщення рухомого блоку на висоту h переміщення мотузки має становити ℓ=2h, можна записати: A = Fℓ = F2h.

Таким чином  η = (А_кор/А_заг)100% =(mgh100%)/2Fh.

Звідси  η = (mg100%)/2F .

Розрахунки:  η = 54кг9,8(м/с²)100%/2·360Н = 73,5% .

Відповідь:  η = 73,5%.

Задача 5. Висота похилої площини 1,2м а її довжина 10,8м. Під дією якої сили підніматиметься вантаж, якщо к.к.д похилої площини 80%?

Дано:                              Рішення:

h = 1,2м             За визначенням η = (А_кор/А_заг)100%.

ℓ = 10,8м           В умовах даної задачі, корисною є та робота

m = 180кг          яка йде на піднімання тіла на висоту h.

η = 80%             А це означає, що А_кор=mgh.

F = ?                  Загальною є та робота яку виконує сила F

при переміщенні тіла на відстань ℓ, тобто А_заг=F·ℓ. Таким чином:

η = mgh100%/ F·ℓ, звідси F = mgh100%/ η·ℓ

Розрахунки: F = mgh100%/ η·ℓ = (180кг·10(м/с²)·1,2м·100%)/10,8м·80% = 250Н.

Відповідь: F = 250Н.

Задача 6. Визначити к.к.д похилої площини, за умови що коефіцієнт тертя при рівномірному русі по ній 0,2. Кут нахилу площини до горизонту 30°.

Дано:                              Рішення:

α=30°             Оскільки рішення даної задачі передбачає силове визначення

μ=0,2              роботи, то виконуємо малюнок  на якому вказуємо всі діючі

η= ?                на тіло сили та задаємо систему координат.

За визначенням  η=(А_кор/А_заг)100%. Будемо виходити з того, що робота тієї сили яка тягне тіло вгору (сила тяги F_тяг) і є тією загальною роботою яка виконується при переміщенні тіла похилою площиною, тобто: А_заг=F_тягℓ, де ℓ – переміщення тіла, величина якого є невідомою. Однак, будемо сподіватися на те, що при застосуванні формули η=А_кор/А_заг, величина ℓ математично скоротиться.

Із аналізу векторної картини діючих на тіло сил, запишемо умову механічної рівноваги тіла в проекціях на осі системи координат, та визначимо величину F_тяг.

∑F_x = F_тяг – F_тер – F_тsinα = 0, або F_тяг – μN – mgsinα = 0, або F_тяг= μN + mgsinα

∑F_y = N – F_тcosα = 0, або  N = mgcosα

F_тяг = μN + mgsinα = μmgcosα + mgsinα = mg(μcosα + sinα).

Таким чином А_заг =F_тягℓ = mgℓ(μcosα + sinα).

Величину корисної роботи можна визначити як різницю між тією роботою яку виконує сила тяги (А_заг) та тією роботою яку виконує сила тертя (А_тер) – сила тертя протидіє переміщенню тіла і тому виконує від’ємну роботу:

А_кор = А_заг – А_тер = F_тягℓ – F_терℓ = (F_тер + F_т – F_тер)ℓ = ℓF_тsinα = mgℓsinα .

Таким чином: η = (А_кор/А_заг)100% = (mgℓsinα100%)/mgℓ(μcosα+sinα).

Звідси:  η = [sinα/(μcosα+sinα)]100%.

Розрахунки: η = [sin30°/(μcos30°+sin30°)]100%.= [0,5/(0,2·0,87+0,5)]100% = 74%.

Відповідь:  η = 74%

Контрольні запитання.

1.Що характеризує величина яка називається потужність?

2. Великою чи малою є потужність в один ват?

3. Тягове зусилля гусеничного трактора майже в 10 разів більше за тягове зусилля легкового автомобіля. При цьому потужності їх двигунів практично однакові. Як це пояснити?

4. Що більше 1Вт чи 100Дж?

5. Що характеризує к.к.д. приладу?

6. Чому к.к.д. будь якого приладу завжди менший за 100%?

7. Що означає, к.к.д. приладу 75%?

8. Поясніть загальний устрій та принцип дії похилої площини.

Вправа 28.

1.Яку середню потужність розвиває людина, яка піднімає відро води масою 12кг з колодязя глибиною 20м за 15с?

2. Насос, двигун якого розвиває потужність 2кВт, за 8хв піднімає певну масу води на висоту 6м. Визначте цю масу, якщо к.к.д установки 80%.

3. Підйомний кран піднімає вантаж 4т на висоту 10м зі сталою швидкістю. За який час піднімається цей вантаж, якщо потужність двигуна 15кВт, а к.к.д. крана 75%?

4. Вантаж масою 20кг за допомогою перекинутої через нерухомий блок мотузки піднімають на висоту 8м. Визначити величину тягової сили, величину загальної та корисної роботи, силу тиску на вісь блоку. К.к.д процесу 80%.

5.  Автомобіль масою 2т рушаючи з місця і рухаючись рівноприскорено проходить 20м шляху за 4с. При цьому коефіцієнт опору рухові становить 0,2. Яку потужність розвиває двигун цього автомобіля?

6. Вантаж масою 150кг за допомогою важеля піднімають на висоту 0,2м. При цьому, до довшого плеча важеля прикладають силу 600Н, під дією якої кінець цього плеча опускається на 0,6м. Визначте к.к.д важеля.

7. Визначте к.к.д похилої площини довжиною 2м і висотою 0,5м, якщо коефіцієнт тертя 0,2.

8. Яка робота була виконана в процесі піднімання вантажу похилою площиною, якщо маса вантажу 60кг, довжина похилої площини 4м, кут її нахилу 30°, коефіцієнт тертя 0,2. Визначити к.к.д похилої площини.

9. Кут нахилу похилої площини 30°, а її к.к.д 70%. Визначте коефіцієнт тертя площини.

 

§ 41. Момент інерції – міра інерціальних властивостей тіла при його обертальному русі.

 

До тепер ми фактично вивчали ту частину динаміки яка називається динамікою матеріальної точки або динамікою поступального руху.  Описуючи цей рух, ми говорили про швидкість руху (v) та його прискорення (a). Вказуючи на причини поступального руху, а точніше на причини зміни його швидкості, ми говорили про діючу на тіло силу (F). Характеризуючи здатність тіла протидіяти зміні його швидкості, ми говорили про масу тіла (m). Характеризуючи вектор кількості поступального руху тіла, говорили про його імпульс (р). А характеризуючи здатність рухомого тіла виконувати певну енергозатратну дію (роботу) – про кінетичну енергію тіла (Е_к).

Однак, рух тіла може бути не лише поступальним а й обертальним. Про кінематичні та силові характеристики обертального руху ви вже знаєте. Зокрема знаєте, що обертальний рух тіла характеризують кутова швидкість (ω) та кутове прискорення (ɛ). Що причиною обертального руху тіла, а точніше причиною зміни його кутової швидкості є момент сили і що цей момент дорівнює добутку сили на плече її дії (M=Fd). Тепер настав час поговорити про ті фізичні величини які в динаміці обертального руху є певними аналогами маси (m), імпульсу (p=mv) та кінетичної енергії (E_к=mv²/2). А цими величинами є момент інерції (J), момент імпульсу (L=Jω) та кінетична енергія обертального руху тіла (E_к=Jω²/2).

Нагадаємо, якщо тіло важко зупинити, важко зрушити з місця і взагалі важко примусити змінювати свою швидкість, то про таке тіло говорять, що воно має велику інерцію. При цьому мають на увазі, що тіло важко зрушити з місця не тому що воно занурене в пісок чи прибите гвіздками до підлоги, а тому що воно саме по собі має певну інерцію, кількісною мірою якої є маса тіла.

Інерція (віл. лат. inertia – бездіяльність, спокій), це універсальна властивість тіла, яка полягає в тому, що відповідне тіло протидіє будь якій зміні його швидкості. Кількісною мірою інерційних властивостей тіла є його маса.

          Маса (в механіці) – це фізична величина, яка є мірою інерційних властивостей тіла виміряних в кілограмах.

Позначається: m

Визначальне рівняння: нема

Одиниця вимірювання: [m]=кг.

Мал.116. Чим більша маса тіла, тим важче змінити його швидкість (тим більша інерційність тіла)

Твердження про те, що маса є мірою інерційних властивостей тіла потребує певного суттєвого уточнення. І це уточнення полягає в наступному. Коли ми стверджуємо, що маса є мірою інерційних властивостей тіла, тобто мірою здатності тіла протидіяти зміні його швидкості, то маємо на увазі зміну швидкості поступального руху. Адже якщо мова йде про обертальний рух тіла, то в цьому випадку  маса не є безумовно об’єктивною мірою здатності тіла протидіяти зміні його кутової швидкості. Дійсно. Розглянемо три однакових за масою, розмірами та формою тіла (стержні), які можуть вільно обертатись навколо різних осей обертання (мал.117). Напевно ви погодитесь з тим (а якщо не погодитесь то це не важко перевірити на практиці), що перше тіло (мал.117а) легко розкрутити і відповідно легко зупинити його обертання. А це означає, що інерція обертального руху даного тіла є малою. Друге тіло (мал.117б) розкрутити значно важче і відповідно важче зупинити його обертання. А це означає, що інерція обертального руху цього тіла значно більша аніж відповідна інерція першого тіла. Якщо ж говорити про третю ситуацію (мал.117в), то в ній інерція обертального руху тіла є найбільшою. (Застереження: експериментально перевіряти кількість інерціальних властивостей тіла при його обертальному русі, в ситуаціях подібних до тих що зображені на мал.86б,в, небезпечно.)

  (в)

мал.117.  Маси тіл однакові, а кількість інерції що до обертального руху, різна: а – інерції мало; b – інерції багато; в – інерції дуже багато.

Оскільки в кожній із трьох вище наведених ситуацій маси тіл є однаковими, а їх інерційні властивості щодо обертального руху – різні, то можна стверджувати: маса не є об’єктивною мірою інерційних властивостей тіла при його обертальному русі. Звичайно, це не означає що інерція обертального руху тіла не залежить від його маси. Адже абсолютно очевидно, що легке дерев’яне і аналогічне за формою та розмірами важке залізне тіло мають різну кількість інерції обертального руху, і що ця різниця обумовлена різницею їх мас. Однак не менш очевидно і те, що інерція обертального руху тіла залежить не лише від його маси, а й від того, наскільки віддаленими є його складові частини від осі обертання.

В науці об’єктивною мірою інерційних властивостей тіла при його обертальному русі є не маса, а величина яку називають моментом інерції. Числове значення цієї величини визначають наступним чином.

1.Дане тіло представляють як сукупність достатньо великої кількості невеличких фрагментів, які можна вважати матеріальними точками.

2. Визначають добутки мас кожної з цих матеріальних точок на квадрат відстані до осі обертання тіла.

3. Визначають загальну суму цих добутків.

Ця сума і є моментом інерції даного тіла відносно відповідної осі обертання. Іншими словами, момент інерції тіла визначають за формулою:

J = ∑m_ir_i²,

де і змінюється від i=1 до i=N;

m_i – маса і-тої матеріальної точки;

r_i – відстань від цієї точки до осі обертання тіла;

N – та кількість матеріальних точок на яку умовно розділено дане тіло.

Мал.118. Момент інерції тіла визначають за формулою J = ∑m_ir_i².

Момент інерції – це фізична величина, яка характеризує інерційні властивості тіла щодо його обертання навколо певної осі.

Позначається: J

Визначальне рівняння: J = ∑ m_ir_i²

Одиниця вимірювання: [J] = кг∙м²,   кілограм-метр квадратний.

З практичної точки зору, визначальне рівняння моменту інерції (J=∑m_ir_i²) є незручним. Тому на практиці, момент інерції конкретного тіла визначають на основі певного набору відомих формул що є похідними від базового визначального рівняння,  але відрізняються від нього своєю практичною зручністю. Наведемо деякі з подібних формул, для матеріальної точки та однорідних геометрично простих тіл, осі обертання яких проходять через їх центри мас (мал.119).

1.Матеріальна точка масою m радіус обертання якої R: J = mR²

2. Порожнистий тонкостінний циліндр (кільце) масою m і радіусом R: J₀ = mR²

3. Суцільний циліндр (вал, стержень, диск) масою m і радіусом R: J₀ = (1/2)mR²

4.  Куля масою m і радіусом R: J₀ = (2/5)mR²

5. Тонкостінна сфера масою m і радіусом R: J₀ = (2/3)mR²

6. Стержень масою m і довжиною ℓ: J₀ = (1/12)mℓ²

 

Мал.119. Моменти інерції деяких геометрично простих тіл.

Можна довести: якщо момент інерції тіла відносно тієї осі що проходить через його центр мас дорівнює J₀, то момент інерції цього тіла (J) відносно іншої паралельної осі визначається за формулою J = J₀ + mb², де m – маса тіла; b – відстань від центру мас тіла до відповідної осі обертання. Наприклад, якщо момент інерції однорідного стержня (мал.120) відносно тієї осі що проходить через його центр мас становить J₀=1/12)mℓ², то його момент інерції відносно паралельної осі що проходить по краю стержня (тобто відносно осі для якої b=ℓ/2), становитиме:

J = J₀ + mb² = 1/12mℓ² + m(ℓ/2)² = (1/3)mℓ².

  

Мал.120. При паралельному переносі осі обертання тіла, його момент інерції змінюється. При цьому: J = J₀ + mb².

Якщо складне тіло можна представити у вигляді певної сукупності більш простих тіл, моменти інерції яких відомі, то загальний момент інерції цього тіла визначається як сума моментів інерцій окремих тіл.

Задача 1. В центрі диску що має вісь обертання стоїть людина яка на розведених в сторону руках тримає дві гантелі по 3кг кожна. Як зміниться момент інерції системи після того, як людина наблизить гантелі до осі обертання системи? Маса диску 40кг, його радіус 0,5м, відстань між розведеними гантелями 1,2м, момент інерції людини 2,0кг·м².

Дано:                                        Рішення:

М = 40кг           Виконуємо малюнок який відображає фізичну суть задачі.

m = 3кг              Момент інерції даної системи має три складові:

R = 0,5м             1) момент інерції диску J₁ = MR²/2 = 40кг(0,5м)²/2 = 5,0кг·м²;

ℓ = 1,2м              2) момент інерції людини J₃ = 2,0кгм²;

J₃ = 2,0кгм²        3) момент інерції двох гантель, які можна вважати

J_до=?                    матеріальними точками і величина якого

J_після=?                 J_2a = 2m(ℓ/2)² = 2·3кг(0,6м)² = 2,16кг·м², в ситуації (б) J_2б = 0.

Таким чином J_до = J₁ + J₃ + J_2a = 5,0 + 2,0 + 2,16 = 9,16кг·м²;

.                      J_після = J₁ + J₃ + J_2б = 5,0 + 2,0 + 0,0 = 7,0кг·м².

Відповідь: J_до = 9,16кг·м²; J_після = 7,0кг·м².

Задача 2. Дві однакові кулі масою по 1кг і радіусом по 10см, з’єднані стержнем масою 1кг і довжиною 50см. Визначити момент інерції системи відносно її центру мас.

Дано:                    СІ                            Рішення:

m₁ = m₂ = 1кг        –               Виконуємо малюнок на якому відображаємо

R₁ = R₂ = 10см     0,1м           фізичну суть задачі.

m₃ = 1кг                  –               Момент інерції даної системи J відносно її

ℓ₃ = 50см              0,5м            центру мас, можна представити як суму моментів

J =?                                           інерції окремих складових: J = J₁+J₂+J₃.

А оскільки момент інерції куль J₁, J₂ визначається відносно центру мас системи, який знаходиться на відстані d=(R/2)+(ℓ/2)=0,3м від центрів цих куль, то

J₁ = J₀₁ + m₁d₁² = (2/5)m₁R₁² + m₁d₁² = (2/5)1кг(0,1м)² + 1кг(0,3м)² = 0,094кг·м²;

J₂ = J₁ = 0,094кг·м²;

J₃ = (1/12)m₃ℓ₃² = (1/12)1кг(0,5м)² = 0,021кг·м².

J = J₁+J₂+J₃ = 0,094 + 0,094 + 0,021 = 0,209кг·м².

Відповідь: J = 0,209кг·м².

Контрольні запитання.

1.Що є причиною зміни швидкості: а) поступального руху тіла; б) обертального руху тіла?

2. Що називають інерцією тіла?

3. Що мають на увазі коли стверджують: «маса є мірою інерційних властивостей тіла»?

4. Чому маса не є безумовно об’єктивною мірою інерційних властивостей тіла при його обертальному русі?

5. Яка фізична величина є об’єктивною мірою інерціальних властивостей тіла щодо його обертального руху?

6. Чому з практичної точки зору визначальне рівняння моменту інерції є незручним?

7. Чи є момент інерції тіла постійною величиною?

8. Як змінюється момент інерції тіла при паралельному переносі осі його обертання на відстань b?

Вправа 41.

1.Визначте момент інерції суцільного стального стержня довжиною 40см і діаметром 5см, в наступних ситуаціях: а) вісь обертання проходить через центр мас і направлена вздовж стержня; б) вісь обертання проходить через центр мас і направлена поперек стержня; в) вісь обертання стержня проходить через край стержня і є перпендикулярною до його поздовжньої осі. Густина сталі 7,8∙10³кг/м³

2. Визначте і порівняйте моменти інерції двох суцільних куль – свинцевої і дерев’яної. Маси куль однакові і чисельно рівні 5кг. Густина свинцю 11,4кг/м³, густина дерева 600кг/м³.

3. Визначте момент інерції тіла яке складається з двох однакових суцільних куль масою по 5кг кожна, з’єднаних стержнем масою 5кг і довжиною 30см. Радіуси куль по 10см, діаметр стержня 5см. Момент інерції визначте відносно осі яка проходить через центр мас системи: а) вздовж осі стержня; б) перпендикулярно цій осі.

4. Як зміниться момент інерції системи диск-людина, при переході людини з краю диска в його центр. Маса диску 120кг, його радіус 2м, маса людини 60кг. Вважати людину матеріальною точкою.

 

§ 42. Кінетична енергія тіла що обертається.

 

Коли ми стверджуємо, що рухоме тіло має кінетичну енергію, величина якої визначається за формулою E_к=mv²/2, то маємо на увазі енергію його поступального руху. Але ж тіло може рухатись не лише поступально а й обертально. При цьому, абсолютно очевидно, що те тіло яке поступально не  рухається а лише обертається, здатне виконати певну роботу, а отже є таким що має певну кількість енергії. Величину цієї енергії можна визначити із наступних міркувань.

Припустимо, що деяке довільне тіло (мал.121б) обертається навколо нерухомої осі що проходить через його центр мас (т.О) і є перпендикулярною до площини малюнку. Розіб’ємо це тіло на N матеріальних точок маси яких m₁, m₂, m₃, …, m_N. Лінійні швидкості цих точок позначимо відповідно v₁, v₂, v₃, …, v_N, а їх відстані до осі обертання r₁, r₂, r₃, …, r_N.

Мал.121. Кожна точка тіла має певну кінетичну енергію: Е_кі=m_iv_i²/2, при цьому загальна кінетична енергія обертального руху тіла становить Е_к=J₀ω²/2 .

Оскільки кожна точка тіла рухається з певною лінійною швидкістю, то вона має певну кінетичну енергію, величина якої визначається за формулою Е_кі=m_iv_i²/2. При цьому загальна кінетична енергія тіла дорівнюватиме сумі кінетичних енергій всіх його матеріальних точок:

Е_к = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 + … + m_Nv_N²/2 = ∑ m_iv_i²/2.

Зважаючи на те що при обертальному русі матеріальної точки, її лінійна (v) та кутова (ω) швидкості зв’язані співвідношенням v=ωr. І враховуючи що

ω₁ = ω₂ =  … =  ω_N, можна записати: E_k = m₁ω₁²r₁²/2 + m₂ω₂²r₂²/2 + … +

+ m_Nω_N²r_N²/2 = (ω²/2)(m₁r₁²+m₂r₂²+…+m_Nr_N²) = (ω²/2)∑m_ir_i² = J₀ω²/2 .

Таким чином, тіло що обертається навколо осі яка проходить через його центр мас, має кінетичну енергію (енергію обертального руху) величина якої визначається за формулою  Е_к=J₀ω²/2, де J₀ – момент інерції тіла відносно осі його обертання; ω – кутова швидкість тіла.

Не важко бачити, що формула Е_к=J₀ω²/2 в певному сенсі є аналогічною тій за якою визначають кінетичну енергію поступального руху тіла: Е_к=mv²/2. Різниця лише в тому, що при поступальному русі тіла, мірою інерції є маса (m), а при обертальному – момент інерції (J). При поступальному русі мірою швидкості руху є лінійна швидкість (v), а при обертальному русі – кутова швидкість (ω).

В багатьох практично важливих ситуаціях тіло одночасно рухається як поступально так і обертально (обертається навколо свого центру мас). Наприклад Земля, з певною лінійною швидкістю рухається навколо Сонця і з певною кутовою швидкістю обертається навколо своєї осі. Колесо рухомого автомобіля, куля що вилітає з дула нарізної зброї, акробат який виконує сальто, підкручений футбольний м’яч – в цих та їм подібних випадках, тіла рухаються як поступально так і обертально. При цьому їх загальна кінетична енергія визначається за формулою: Е_к = mv²/2 + J₀ω²/2, де  v – швидкість поступального руху центру мас тіла;  J₀ – момент інерції тіла відносно осі яка проходить через його центр мас і навколо якої обертається тіло.

Розглянемо декілька конкретних ситуацій в яких тіло рухається поступально-обертально та визначимо кількісні співвідношення між величинами їх кінетичної енергії поступального і обертального рухів.

Задача 1. Однорідний суцільний циліндр масою m котиться без ковзання горизонтальною площиною. Визначити кінетичну енергію циліндра, якщо швидкість його поступального руху v. Яку частину від цієї енергії становитиме кінетична енергія обертального руху?

Дано:                                           Рішення:

m                           Виконуємо малюнок який відображає фізичну суть задачі.

v                           Оскільки даний циліндр рухається як поступально так і

Е_к = ?                   обертально, то його загальна кінетична енергія складається

Е_к^об/Е_к=?              з двох частин: кінетичної енергії поступального руху Е_к=mv²/2

.                              та кінетичної енергії обертального руху Е_к=J₀ω²/2,

.                              тобто: E_k = mv²/2 + J₀ω²/2.

Враховуючи, що момент інерції однорідного циліндра при його обертанні навколо своєї осі симетрії визначається за формулою J₀=(1/2)mR², де R – радіус циліндра, та зважаючи на те що при обертальному русі циліндра його поступальна (v) і обертальна (ω) швидкості зв’язані співвідношенням ω=v/R, можна записати:  J₀ω²/2 =(1/2)(mR²/2)(v²/R²) = mv²/4.

Таким чинам:  1)  E_k = mv²/2 + mv²/4 = (3/4)mv² ;

.                                    2)  Е_к^об/Е_к = (mv²/4)/(3mv²/4) = 1/3 = 0,33 = 33%

Відповідь:  E_k = (3/4)mv²;   Е_к^об/Е_к=33%

Задача 2.  Однорідна суцільна куля що знаходиться на висоті h, скочується без ковзання похилою площиною. Визначити швидкість кулі в нижній точці похилої площини. Яка частина енергії кулі буде перетворена в кінетичну енергію її обертання? Втратами енергії на тертя та опір повітря знехтувати.

Дано:                                       Рішення:

h                          Виконуємо малюнок який відображає фізичний зміст задачі.

v₀=0м/с               Розглянемо енергетичні параметри кулі перед та після спуску.

v=?                     Оскільки за умовою задачі втратами енергії можна знехтувати,

E_k^об/Е_п=?            то згідно з законом збереження енергії, потенціальна енергія

.                           кулі Е_п=mgh в процесі руху (скочування) перетворюється на

.                            відповідну кількість її кінетичної енергії. А зважаючи на те,

.                            що в процесі руху, куля набуває не лише лінійної а й кутової

.                            швидкості, можна записати: mgh =mv²/2 + J₀ω²/2.

Враховуючи, що для однорідної суцільної кулі J₀=(2/5)mR², а також що при обертальному русі кулі її поступальна (v) та кутова(ω) швидкості зв’язані співвідношенням ω=v/R, можна записати: J₀ω²/2 = 2mR²v²/2∙5R² = mR²/5 .

Таким чином: mgh = mv²/2 + mv²/5 = 7mv²/10,

звідси:  1)   v = (10gh/7)^1/2;

.             2)   E_к^об/E_п = (mv²/5)/(7mv²/10) = 10/35 = 0,29 = 29%

Відповідь:  v = (10gh/7)^1/2;   E_к^об/E_п = 29%.

Аналізуючи результати вище розв’язаних задач, не важко бачити, що значна частина кінетичної енергії тіла (в першому випадку 33%, в другому – 29%) може бути зосередженою у вигляді енергії його обертального руху. Тому, якщо за певних умов, оцінюючи кінетичну енергію тіла за формулою Е_к=mv²/2, ви з’ясуєте що цієї енергії виявилось значно менше за розрахункову величину, не поспішайте стверджувати, що закон збереження енергії не працює. Краще подивіться на те, чи не перетворилась частина вашої початкової енергії в енергію обертального руху. Або якщо, наприклад, в певній ситуації з’ясується, що величина виконаної тілом роботи більша за величину тієї початкової енергії яку ви визначили за формулою Е_к=mv²/2, то знову ж таки, не поспішайте звинувачувати закон збереження енергії. А краще зверніть увагу на те чи не мало ваше тіло енергії обертального руху.

Говорячи про енергію поступального та обертального руху, доречно зробити ще одне важливе зауваження. Коли ми стверджуємо, що кінетична енергія тіла складається з енергії його поступального та обертального руху, і що її загальна величина визначається за формулою Е_к = mv²/2 + J₀ω²/2, то під обертальним рухом розуміємо обертання тіла навколо свого центру мас, а не навколо певної сторонньої точки. Адже якщо, наприклад, тіло (матеріальна точка) з певною лінійною швидкістю (v) та відповідною кутовою швидкістю (ω) обертається навколо точки О (мал.122) і не обертається навколо власного центру мас, то повна кінетична енергію цього тіла має визначатись за формулою Е_к=mv²/2.

Мал.122. Якщо тіло обертається навколо т.О і не обертається навколо свого центру мас, то його кінетичну енергію потрібно визначати за формулою Е_к=mv²/2.

На перший погляд здається, що оскільки рух матеріальної точки по колу є як поступальним так і обертальним, то відповідна точка повинна мати як енергію поступального руху так і енергію обертального руху. Насправді ж ця точка має лише одну енергію. І цю енергію можна назвати як енергією поступального руху Е_к=mv²/2, так і енергією обертального руху Е_к=J₀ω²/2. При цьому, в незалежності від того, як ви назвете цю енергію і за якою формулою (Е_к=mv²/2 чи Е_к=J₀ω²/2) її визначатимете, результат буде абсолютно однаковим. Дійсно. Для будь якої матеріальної точки що рухається по колу радіусом R, справедливо:

J₀=mR²; ω=v/R   тому   E_k=J₀ω²/2=mR²v²/2R²=mv²/2.

По суті це означає, що описуючи обертальній рух матеріальної точки, її кінетичну енергію можна визначити як за формулою Е_к=mv²/2 так і за формулою Е_к=J₀ω²/2. Однак не можна одну і ту ж енергію враховувати двічі.

Таким чином, якщо визначаючи кінетичну енергію того тіла що поступально рухається круговою орбітою, ви застосовуєте формулу

Е_к= mv²/2 + J₀ω²/2 то вчиняєте не правильно. Не правильно тому, що двічі обчислюєте одну і ту ж енергію. Формула Е_к= mv²/2 + J₀ω²/2 справедлива лише в тих випадках коли тіло дійсно приймає участь в двох незалежних рухах: поступальному та обертальному. Наприклад Земля одночасно обертається як навколо Сонця так і навколо своєї осі. Тому її загальну кінетичну енергію потрібно визначати за формулою Е_к=mv²/2 + J₀ω²/2.

Задача 3. На барабан масою 12кг намотано шнур, до кінця якого прив’язано вантаж масою 4кг. Визначити прискорення вантажу. Барабан вважати однорідним циліндром. Тертям знехтувати.

  

Дано:                                    Рішення:

m = 12кг           Виконуємо малюнок який відображає фізичну суть задачі.

m₀ = 4кг            Будемо виходити з того, що в процесі опускання вантажу

а = ?                   його потенціальна енергія Е_п=m₀gh перетворюється на кінетичну

енергію поступального руху вантажу Е_к=m₀v²/2 та кінетичну енергію обертального руху барабану Е_к=Jω²/2 . При цьому згідно з законом збереження енергії

m₀gh = m₀v²/2 + Jω²/2.

Оскільки для циліндра J=mR²/2; ω=v/R,

m₀gh = m₀v²/2 +  mR²v²/4R² = m₀v²/2 +  mv²/4 = (v²/2)(m₀ + m/2), тобто

m₀gh = (v²/2)(m₀ + m/2)     (1)

Оскільки рух вантажу є рівноприскореним, то h=at²/2; v=at. Підставивши ці дані в рівняння (1) отримаємо:

m₀gat²/2 = (a²t²/2)(m₀ + m/2),   або  m₀g = a(m₀ + m/2), звідси  a = m₀g/(m₀+m/2).

Розрахунки: a = m₀g/(m₀+m/2) = (4кг10м/с²)/(4кг+6кг) = 4м/с².

Відповідь: а = 4м/с².

Контрольні запитання.

1.Коли ми стверджуємо, що кінетична енергія тіла визначається за формулою Е_к=mv²/2, то яку енергію маємо на увазі?

2. Наведіть приклади ситуацій в яких кінетична енергія тіла має як поступальну так і обертальну складову.

3. Чим схожі і чим відрізняються формули Е_к=mv²/2 і Е_к=J₀ω²/2?

4. В яких ситуаціях формули Е_к=mv²/2 і Е_к=J₀ω²/2 визначають одну і ту ж кінетичну енергію?

5. Вкінці спуску визначена за формулою Е_к = кінетична енергія кулі, виявилась на третину меншою за величину її початкової потенціальної енергії. Чи не означає цей факт, що у відповідному процесі закон збереження енергії не виконується? Поясніть.

6. Чи може куля яка котиться вгору похилою площиною і має енергію поступального руху 100Дж, піднятись на висоту яка відповідає енергії 120Дж? Поясніть.

Вправа 42.

1. Однорідна суцільна куля масою 5кг і радіусом 20см обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю 10рад/с. Визначте кінетичну енергію кулі.

2. Однорідна суцільна куля масою 5кг і радіусом 20см котиться горизонтальною поверхнею, маючи при цьому кутову швидкість 10рад/с. Визначте кінетичну енергію кулі.

3. Диск масою 2кг з швидкістю 4м/с котиться горизонтальною поверхнею. Визначити кінетичну енергію диска.

4. Суцільний однорідний циліндр скочується без ковзання похилою площиною з висоти 2м. визначити швидкість поступального руху циліндру в кінці спуску. Втратами енергії знехтувати.

5. Тонкостінний циліндр (труба) що знаходиться на висоті h, без ковзання скочується похилою площиною. Яка частина його потенціальної енергії перетворюється в енергію поступального руху, а яка – в енергію обертального руху?

6. Визначте повну кінетичну енергію планети Земля. Маса Землі 6∙10²⁴кг, її радіус 6,37∙10⁶м, відстань до Сонця 1,5∙10¹¹м. Порівняйте енергію поступального руху Землі з енергією її обертального руху.

7. Циліндр масою m і радіусом R висить на двох намотаних на нього нитках. З яким прискоренням опускатиметься цей циліндр?

 

§ 43. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу.

 

          Однією з найважливіших величин динаміки обертального руху є момент імпульсу. Момент імпульсу – це фізична величина, яка є мірою кількості обертального руху тіла і яка дорівнює добутку моменту інерції тіла J на його кутову швидкість ω.

Позначається: L

Визначальне рівняння: L=Jω

Одиниця вимірювання: [L]=кг∙м²/с,   кілограм-метр квадратний на секунду.

Фактично момент імпульсу є величиною векторною. Однак, зважаючи на те, що в межах програми загальноосвітньої школи вивчають лише ті обертальні рухи які відбуваються в певній визначеній площині, момент імпульсу можна вважати величиною скалярною.

Не важко бачити, що в динаміці обертального руху, момент імпульсу тіла (L=Jω) є певним аналогом тієї величини, яку в динаміці поступального руху називають імпульсом (p=mv). Різниця лише в тому, що при поступальному русі тіла, мірою його інерції є маса (m), а мірою швидкості руху – лінійна швидкість (v). При обертальному ж русі тіла, мірою його інерції є момент інерції (J), а мірою обертальної швидкості – кутова швидкість (ω).

Дослідження показують, що при будь яких процесах які відбуваються в замкнутій системі, зберігається не лише імпульс та енергія цієї системи, а й її момент імпульсу. Цей факт відображає закон який називається законом збереження моменту імпульсу. В цьому законі стверджується: При будь яких процесах які відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість моменту імпульсу цієї системи залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами ∑(Jω)_до = ∑(Jω)_після  або  ∑(Jω) = const.

Із закону збереження моменту імпульсу випливає, що при будь якій зміні моменту інерції замкнутої системи, автоматично змінюється швидкість її обертального руху. При цьому, якщо момент інерції системи зменшується (J↓), то швидкість її обертання у відповідне число разів збільшується (ω↑) і навпаки: якщо J↑ то ω↓. Ілюструючи дію закону збереження моменту імпульсу, можна провести наступний експеримент. В центрі платформи виготовленої у вигляді легкого диску що може вільно обертатись, стоїть людина в руках якої знаходяться гантелі (мал.123а). Системі платформа-людина надають певного обертального руху. При цьому, коли людина притискає руки до тулуба, швидкість обертального руху системи збільшується, а коли максимально розводить руки – зменшується.

  

Мал.123. Якщо момент інерції системи зменшується, то швидкість її обертання збільшується. І навпаки.

Коментуючи результати даного експерименту можна сказати наступне. Коли людина притискає руки до тулуба (наближає до осі обертання системи), її момент інерції, а отже і момент інерції всієї системи, зменшується (J↓). При цьому, у повній відповідності з законом збереження моменту імпульсу (Jω=соnst) швидкість обертального руху системи збільшується (ω↑). Якщо ж людина знову розводить руки, то момент інерції системи збільшується (J↑), а швидкість її обертального руху відповідно зменшується (ω↓).

Уважно спостерігаючи за тим як фігурист виконує вправу «дзиґа», як стрибун у воду виконує обертальні сальто, а акробат – різноманітні кульбіти, ви неодмінно побачите прямий зв’язок між відповідними спортивними вправами та законом збереження моменту імпульсу. Адже виконуючи ці та їм подібні вправи, спортсмен своїми м’язовими зусиллями в потрібний момент зменшує або збільшує момент інерції свого тіла, що автоматично призводить до збільшення або зменшення швидкості обертання цього тіла.

Задача 1. Горизонтальна платформа масою М і радіусом R обертається з кутовою швидкістю ω. На краю платформи стоїть людина масою m. З якою кутовою швидкістю ω₁ почне обертатись платформа, після того як людина перейде з краю платформи до її центру? Людину можна вважати матеріальною точкою, платформу – однорідним диском.

Дано:                                     Рішення:

М                      Виконуємо малюнок який відображає фізичний зміст задачі.

R                       У відповідності з законом збереження моменту імпульсу

ω                       ∑(Jω)_до = ∑(Jω)_після.

M                      Оскільки момент інерції диску як до так і після події

ω₁ = ?                залишається незмінним і чисельно рівним МR²/2, а момент

інерції людини як матеріальної точки що обертається навколо осі обертання диску, змінюється від mR² до 0, то можна записати:

(МR²/2)ω + mR²ω =  (МR²/2)ω₁, звідси ω₁ = (МR²/2 + mR²)ω/МR², звідси

ω₁ = ω(М+2m)/M.

Відповідь: ω₁ = ω(М+2m)/M.

Закон збереження моменту імпульсу відіграє надзвичайно важливу роль в багатьох природних процесах. Зокрема під значним впливом цього закону формуються планетарні та зіркові системи. З’ясовуючи суть цього впливу розглянемо декілька задач.

Задача 2.  Однорідна газоподібна куля радіусом R₁ обертається з кутовою швидкістю ω₁. Під дією внутрішніх сил гравітаційної взаємодії, куля стискається. При цьому її радіус зменшується в n разів. У скільки разів збільшиться швидкість обертального руху кулі.

  

Дано:                                   Рішення:

R₁/R₂=n            Згідно з законом збереження моменту імпульсу, момент

ω₂/ω₁=?         імпульсу системи до події J₁ω₁ (до зменшення розмірів кулі) і після події J₂ω₂, має бути незмінним, тобто J₁ω₁ = J₂ω₂. Звідси ω₂/ω₁ = J₁/J₂.

Враховуючи що для однорідної кулі J=(2/5)mR², можна записати

ω₂/ω₁ = [(2/5)mR₁²]/(2/5)mR₂²]= (R₁/R₂)² = n² .

Відповідь: ω₂/ω₁ = n²

Таким чином, при зменшенні радіусу кулі в n разів, швидкість її обертального руху збільшується в n² разів. З іншого боку, коли під дією гравітаційних сил (а ці сили завжди направлені до центру мас системи), куля стискається і відповідно розкручується, то автоматично збільшується і діюча на частинки кулі відцентрова сила інерції. Оцінюючи це збільшення розв’яжемо ще одну задачу.

Задача 3. Однорідна газоподібна куля радіусом R₁ обертається з кутовою швидкістю ω₁. Під дією внутрішніх сил гравітаційної взаємодії куля стискається. При цьому її радіус зменшується в n разів. У скільки разів збільшиться та сила інерції що діє на частинки в екваторіальній площині кулі.

.   

Дано:                                    Рішення:

R₁/R₂ = n         Виконуємо малюнок який відображає фізичну суть задачі.

F_i2/F_i1= ?         Розглянемо кінематичні та силові параметри точок кулі.

При обертальному русі кулі, кожна її точка (за винятком тих що знаходяться на осі обертання) рухається з певним доцентровим прискоренням (a_д =v²/r=ω²r) і тому на неї діє відповідна відцентрова сила інерції. Величину цієї сили можна визначити за формулою F_i =ma_д = mω²r. Ясно, що для точок екваторіальної поверхні кулі діюча на них сила інерції буде максимально великою і такою що визначається за формулою F_i=mω²R. При цьому, якщо в процесі гравітаційного стиснення, радіус кулі зменшиться від R₁ до R₂, то екваторіальні сили інерції зміняться від F_i1=mω₁²R₁ до F_i2=mω₂²R₂. Звідси  F_i2/F_i1=mω₂²R₂/mω₁²R₁=(ω₂/ω₁)²(R₂/R₁). A враховуючи що  ω₂/ω₁=n²; R₂/R₁=1/n, можна записати  F_i2/F_i1 = (n²)²∙(1/n) = n³.

Відповідь:  F_i2/F_i1 = n³.

Таким чином, при зменшенні радіусу кулі в n разів, та сила інерції що діє на частинки екваторіальної поверхні кулі збільшується в n³ разів.

Аналізуючи та узагальнюючи результати вище розглянутих ситуацій, можна сказати наступне. На частинки тієї кулі що обертається і в процесі обертання гравітаційно стискається, діють два силові фактори. 1) Об’ємні сили гравітаційної взаємодії які прагнуть зібрати всі частинки кулі в одну точку – центр мас системи. 2) Відцентрові сили інерції, які протидіють гравітаційному стисненню системи, але протидіють лише в площині обертання частинок речовини (в тій площині що є перпендикулярною до осі обертання системи). І потрібно зауважити, що при зменшенні радіусу кулі в n разів, гравітаційні сили збільшуються в n² разів, а сили інерції – в n³ разів. А це означає, що за певних умов, сили інерції можуть зупинити гравітаційне зближення частинок речовини. Але лише тих, які знаходяться в околицях екваторіальної площини обертання системи.

Не важко збагнути, що у вище описаній ситуації, об’ємні гравітаційні сили, зберуть переважну більшість речовини в центральній частині системи. При цьому, ті частинки речовини які були зосередженими в околицях екваторіальної площини системи, під дією рівних за величиною і протилежних за напрямком сил інерції та гравітації залишаться у відповідних місцях екваторіальної площини. А це означає, що в процесі гравітаційного стиснення, величезна газоподібна куля поступово перетвориться на дископодібну структуру в центральній частині якої буде зосереджена левова (понад 95%) кількість її речовини.

Таким чином, якщо величезна газоподібна кіля обертається з певною початковою кутовою швидкістю, то у відповідності з законом всесвітнього тяжіння та законом збереження моменту імпульсу, ця куля в процесі гравітаційного стиснення перетворюється на дископодібну структуру, яка складається з масивного центрального ядра та значно менш масивної периферійної частини.

Прикладом реалізації вище описаних подій є наша Сонячна система. Приблизно 5 мільярдів років тому на місці сучасної Сонячної системи була гігантська вихрова газопилова хмара. Під дією гравітаційних сил ця вихрова хмара поступово стискалась. А стискаючись – збільшувала швидкість свого обертання. Результатом цього тривалого процесу стало те, що через декілька мільйонів років, гігантська хмара перетворилась на величезний диск, в центрі якого було зосереджено близько 98% загальної маси системи. Поступово центральна частина цього диску перетворилась на те що ми називаємо Сонцем. А в його периферійній частині сформувались дрібніші космічні об’єкти які ми називаємо планетами.

Мал.124. Сучасна Сонячна система, це результат тривалого еволюційного процесу, хід якого визначали сили гравітаційної взаємодії, сили інерції та закон збереження моменту імпульсу.

Потрібно зауважити, що вище описана картина космічних подій, реалізується лише в тому випадку, якщо швидкість обертання системи та її загальна маса знаходяться в певному інтервалі співвідношень. Загалом же, в залежності від величини цього співвідношення, можливі три варіанти кінцевого результату: а) зірка яка не має планетарної системи; б) зірка яка має планетарну систему; в) система двох або декількох зірок, що обертаються навколо спільного центру. Втім, про те як утворюються планетарні та зіркові системи, як народжуються, живуть, старіють та помирають зірки, ми поговоримо дещо пізніше. А точніше, в тому розділі фізики який називається «Космологією» – наукою про Всесвіт.

Контрольні запитання.

1.Аналогами яких фізичних величин є кутова швидкість; момент сили; момент інерції; момент імпульсу?

2. Чим схожі і чим відрізняються імпульс та момент імпульсу?

3. Чому в процесі стиснення тіла, швидкість його обертання збільшується, а в процесі розширення – зменшується?

4. Наведіть приклади спортивних та інших вправ, які мають відношення до закону збереження моменту імпульсу.

5. В процесі гравітаційного стиснення, радіус газової кулі зменшився в 5 разів. У скільки разів збільшилась швидкість її обертання? У скільки разів збільшаться ті сили інерції, що діють на частинки кулі в її екваторіальній площині? До чого призведе дія цих сил?

6. Чому газова куля, в процесі гравітаційного стиснення набуває дископодібної форми?

7. Опишіть ті механічні події результатом яких є сучасна Сонячна система.

Вправа 43.

1.Земля з швидкістю 30км/с обертається навколо Сонця та з кутовою швидкістю 7,3·10^–5рад/с – навколо своєї осі. Визначте кінетичну енергію її поступального та обертального руху. Маса Землі 6·10²⁴кг, радіус Землі 6,4·10⁶м.

2. Горизонтальна платформа масою 120кг і радіусом 2м обертається з кутовою швидкістю 6рад/с. В центрі платформи стоїть людина масою 60кг. З якою кутовою швидкістю почне обертатись платформа, після того як людина перейде з центру платформи на її край? Людину можна вважати матеріальною точкою, платформу – однорідним диском.

3. Диск масою 2кг і радіусом 20см обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю 10рад/с. Якою стане кутова швидкість диска після того як на його край впаде і прилипне шматок пластиліну масою 200г?

4. Платформа у формі диска може обертатися навколо вертикальної осі. На краю платформи стоїть людина масою 60кг. На який кут повернеться платформа, якщо людина піде краєм платформи і обійшовши її по колу, повернеться в початкове положення? Маса платформи 240кг. Людину вважати матеріальною точкою.

5. Космічний корабель обертається навколо власної осі з кутовою швидкістю ω. За командою з Землі на ньому відкрились антени, внаслідок чого момент інерції корабля збільшився у 2 рази. Як змінилися кутова швидкість і кінетична енергія обертального руху корабля?

6. Мідна куля радіусом 10см обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю 12рад/с. Яку роботу потрібно виконати, щоб збільшити кутову швидкість кулі вдвічі?

7. Спортсмен стоїть у центрі диску що обертається зі швидкістю 1об/с і на розведених в сторони руках тримає дві гантелі по 3кг кожна. Як зміниться швидкість обертання платформи, якщо спортсмен опустить руки і гантелі опиняться на відстані 10см від осі обертання. Маса диску 40кг, його радіус 0,5м, початкова відстань між гантелями 1,6м. Вважати спортсмена матеріальною точкою.

 

§ 44. Закони Ньютона в механіці обертального руху.

 

          Вивчаючи механіку, важко не звернути увагу на очевидну симетричність тих величин і тих законів які фігурують в механіці поступального та механіці обертального руху. Дійсно.

Поступальний рух	Обертальний рух
Швидкість                            v=Δx/Δt	Кутова швидкість                  ω=Δφ/Δt
Прискорення                        a=Δv/Δt	Кутове прискорення              ɛ=Δω/Δt
Сила                                      F=ma	Момент сили                          M=Fd
Маса                                      m	Момент інерції                       J=∑miri2
Імпульс                                 p=mv	Момент імпульсу                   L=Jω
Кінетична енергія               Ek=mv2/2	Кінетична енергія                  Ek=Jω2/2
Рівняння руху              x=x0+v0t+at2/2	Рівняння руху              φ=φ0+ω0t+ɛt2/2
Умова рівноваги                  ∑ F=0	Умова рівноваги                     ∑ M=0
Закон збереження імпульсу          .                    ∑mv=const	Закон збереження моменту імпульсу                   ∑Jω=const

 

Така симетричність характерна не лише для окремих величин та окремих законів механіки, а й для тих її базових тверджень які називаються законами Ньютона. Коли в §33 ми говорили про перший, другий та третій закони Ньютона, то згадували про те, що в механіці обертального руху кожен з них має свого «близнюка». І от прийшов час познайомитись з цими «близнюками». А щоб симетричність законів Ньютона була очевидною, давайте сформулюємо ці закони відповідними парами.

Перший закон Ньютона (в механіці поступального руху). Будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан.

Перший закон Ньютона (в механіці обертального руху). Будь яке тіло буде знаходитись в стані обертального спокою (ω=0), або в стані рівномірного обертального руху (ω=соnst) до тих пір, поки на нього не подіє зовнішній момент сили, який і змусить тіло змінити цей стан.

Другий закон Ньютона (в механіці поступального руху). Під дією зовнішньої сили F, тіло масою m отримує прискорення а, величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі, тобто:   F →   a = F/m.

Другий закон Ньютона (в механіці обертального руху). Під дією зовнішнього моменту сили М тіло з моментом інерції J, отримує кутове прискорення ɛ, величина якого прямо пропорційна діючому на тіло моменту сили і обернено пропорційна моменту інерції тіла, тобто: М → ɛ = М/J.

Третій закон Ньютона (в механіці поступального руху)  Діюча на тіло сила F, завжди  породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу F′, тобто:  F → F′ = –F .

Третій закон Ньютона (в механіці обертального руху). Діючий на тіло момент сили М, завжди породжує рівний йому за величиною і протилежний за напрямком протидіючий момент сили М´, тобто  М → М´= –М.

Не важко бачити, що закони Ньютона для обертального руху, відрізняються від аналогічних законів для поступального руху, лише тим, що в них замість сили F фігурує момент сили M, замість маси m – момент інерції J, замість прискорення а – кутове прискорення ɛ, а замість швидкості v – кутова швидкість ω. Втім, між законами Ньютона для механіки поступального руху і законами Ньютона для механіки обертального руху існують і певні принципові відмінності. Точніше, принципова відмінність стосується лише тієї частини першого закону Ньютона, яка відображає його зв’язок з принципом відносності.

Про той нерозривний зв’язок що існує між принципом відносності та першим законом Ньютона, ми детально говорили в §32 та §33. При цьому наголошували на тому, що в першому законі Ньютона, окрім закону інерції, опосередковано сформульовано і принцип відносності. Дійсно. В першому законі Ньютона стверджується: будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан. По суті це означає, що з фізичної точки зору стан спокою (v=0) і стан прямолінійного рівномірного руху (v=const), це один і той же механічний стан системи (цей стан). Один і той же, в тому сенсі, що всі фізичні процеси які відбуваються в кабіні що стоїть і в кабіні що рівномірно рухається, відбуваються абсолютно однаково (Принцип відносності).

З іншого боку, в аналогічному за формою законі Ньютона для обертального руху стверджується: будь яке тіло буде знаходитись в стані обертального спокою (ω=0), або в стані рівномірного обертального руху (ω=соnst) до тих пір, поки на нього не подіє зовнішній момент сили, який і змусить тіло змінити цей стан.

На основі формального аналізу даного закону, можна зробити на перший погляд абсолютно логічний висновок: стан обертального спокою (ω=0) і стан рівномірного обертального руху (ω=const), це один і той же механічний стан системи (цей стан). Один і той же в тому сенсі, що всі фізичні процеси які відбуваються в кабіні що не обертається (ω=0) і в кабіні що рівномірно обертається (ω=const), відбуваються абсолютно однаково. Насправді ж такий висновок є хибним.  Хибним бодай тому, що суперечить експериментальним фактам. Адже якщо ви будете перебувати в закритій ізольованій кабіні і вона почне рівномірно обертатись, то ви неодмінно відчуєте факт цього обертання. Відчуєте тому, що на вас подіє певна сила інерції яка і вкаже на те що кабіна обертається. При цьому, чим більшою буде швидкість обертання кабіни, тим більшою буде відповідна сила інерції.

Мал.125. Перебуваючи в «кабіні» яка обертається, ви неодмінно відчуєте факт цього обертання.

Таким чином, принципова відмінність між поступальним та обертальним рухом полягає в тому, що ті події які відбуваються в кабіні яка стоїть (v=0) і в кабіні яка рівномірно поступально рухається (v=const) відбуваються абсолютно однаково. Натомість, ті події що відбуваються в кабіні яка не обертається (ω=0) і в кабіні яка рівномірно обертається (ω=const) відбуваються по різному. Ця різність проявляється не лише в тому, що тіла «відчувають» факт обертання кабіни, а й в тому що в процесі обертання змінюються параметри самих тіл. Адже якщо, наприклад, тіло кулястої форми (мал.126) почне обертатись навколо своєї осі, то воно в тій чи іншій мірі деформується, в ньому виникне певна сила пружності, певна механічна напруга, тощо.

Мал.126. При рівномірному обертанні тіла, його геометричні та інші параметри певним чином змінюються.

До речі. З факту того, що в процесі обертального руху тіла, певним чином змінюються параметри самого тіла, зокрема його момент інерції, випливає ще одна суттєва відмінність між законами Ньютона для поступального та обертального рухів. І ця відмінність стосується другого закону Ньютона. Дійсно. В другому законі Ньютона для поступального руху стверджується:  F → a = F/m. При цьому, цілком обгрунтовано мається на увазі, що в процесі поступального руху тіла, його маса залишається незмінною (m=const). Якщо ж говорити про другий закон Ньютона для обертального руху: М → ɛ = М/J, то застосовуючи цей закон, потрібно мати на увазі, що в загальному випадку момент інерції тіла певним чином залежить від швидкості його обертання. Адже в процесі збільшення швидкості обертання тіла (ω↑), це тіло певним чином деформується (розтягується). При цьому момент інерції тіла збільшується (J↑), а відповідно зменшується величина його кутового прискорення (ε=M/J)↓.

Таким чином, порівнюючи закони Ньютона для поступального та обертального руху, можна виділити дві суттєві відмінності:

1. Перший закон Ньютона для обертального руху, не можна тлумачити як такий в якому опосередковано сформульовано принцип відносності. Не можна тому, що при переході від стану обертального спокою (ω=0) до стану рівномірного обертального руху (ω=const) ми по суті переходимо від інерціальної системи відліку до неінерціальної. В принципі ж відносності стверджується: «у всіх інерціальних системах відліку, всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково».

2. Застосовуючи другий закон Ньютона для обертального руху, потрібно мати на увазі, що момент інерції тіла (J) певним чином залежить від швидкості його обертання.

Завершуючи розмову про закони Ньютона для поступального та обертального руху, потрібно зауважити, що закони Ньютона для обертального руху є похідними від законів Ньютона для руху поступального. Крім цього, закони Ньютона для поступального руху є більш загальними. Більш загальними по перше тому, що ці закони сформульовані для тих базових систем відліку, які називаються інерціальними, тобто такими в яких виконується перший закон Ньютона. Обертальні ж системи відліку завжди неінерціальні, тобто такі, в яких перший закон Ньютона не виконується. Не виконується тому, що в обертальних системах відліку завжди діє певна сила інерції. А по друге, в першому законі Ньютона для поступального руху опосередковано сформульовано базовий закон всієї сучасної науки – принцип відносності. Зважаючи на ці обставини, саме закони Ньютона для поступального руху є базовими законами всієї ньютонівської механіки.

Задача. Суцільний диск масою 10кг і радіусом 20см обертається з кутовою швидкістю 60рад/с. Через 2с від початку гальмування диск зупиняється. Визначте гальмівний момент сили.

Дано:                                 Рішення:

m = 10кг                 Згідно з другим законом Ньютона для обертального руху

R = 0,2м                  ε = М/J, звідси M = εJ.

ω_к = 60рад/с            Оскільки для суцільного диска

Δt = 2c                     J=(2/5)mR² = 210кг(0,2м)²/5 = 0,16кгм²,

ω₀ = 0рад/с              та враховуючи, що за визначенням

M = ?                       ε = (ω_к – ω₀)/Δt = (0 – 60)/2 = –30рад/с², де знак « – » вказує

на те, що в процесі гальмування кутова швидкість диска зменшується, можна записати M = εJ = (30рад/с²)0,16кг·м² = 4,8Н·м.

Відповідь: М = 4,8Н·м

Контрольні запитання.

1. Назвіть величини які в механіці обертального руху є аналогами маси, сили, імпульсу, швидкості, пройденого шляху.

2. Чим перший закон Ньютона для обертального руху, принципово відрізняється від першого закону Ньютона для поступального руху?

3. Чому при рівномірному (ω=const) обертанні закритої ізольованої кабіни, ми відчуваємо факт цього обертання?

4. Чим схожі і чим відрізняються другий закон Ньютона для поступального та обертального руху?

5. Чому в процесі обертання тіла навколо свого центру мас, це тіло деформується? Як при цьому змінюється момент інерції тіла?

6. Чому саме закони Ньютона для поступального руху, є базовими законами всієї ньютонівської механіки?

7. Як ви розумієте твердження: «закони Ньютона для обертального руху, є похідними від законів Ньютона для поступального руху»?

Вправа 44.

1. Під дією якого моменту сили диск радіус якого 20см, а маса 2кг буде обертатися з кутовим прискоренням 10рад/с²?

2. З яким кутовим прискоренням буде обертатися куля масою 1кг під дією моменту сили 0,1Н·м? Радіус кулі 10см.

3. Під дією моменту сили 1Н·м куля маса якої 4кг отримала кутове прискорення 5рад/с². Визначте радіус цієї кулі.

4. Під дією моменту сили 5Н·м, кутова швидкість тіла змінюється за законом ω=6 – 4t. Який момент інерції цього тіла?

5. Яку гальмуючу силу треба прикласти до поверхні суцільного диска, що має радіус 30см і обертається з кутовою швидкістю 30рад/с, щоб він зупинився через 4с. Маса диска 50кг.

6. На горизонтальну вісь насаджено шків радіусом 8см. На шків намотана мотузка до краю якої прив’язана гиря масою 1кг. Опускаючись рівноприскорено гиря за 2с пройшла шлях 1,6м. Визначити момент інерції шківа.