Сайт викладача фізики

§8. Загальні відомості про механіку. Механічний рух.

§9. Відносність руху. Система відліку.

§10. Просторово-часові параметри поступального руху.

§11. Швидкість поступального руху. Середня швидкість.

§12. Загальні відомості про прискорення.

§13. Рівняння руху – основний закон кінематики.

§14. Розв’язування задач. Тема: Практичне застосування рівняння руху.

§15. Механічний рух в графіках.

§16. Розв’язування задач. Тема:

Графічний метод розв’язування задач кінематики.

§17. Вільне падіння тіл. Прискорення вільного падіння.

§18. Розв’язування задач. Тема: Вільне падіння тіл.

§19. Рух матеріальної точки по колу. Доцентрове прискорення.

§20. Прості коливальні системи. Фізичний та пружинний маятники.

§21. Кінематика. Узагальнююче повторення.

Розділ 1. Загальні основи ньютонівської механіки.

          Механіка (ньютонівська механіка) – це розділ фізики, в якому вивчають параметри, закономірності та причини механічного руху тіл в усіх його проявах, за умови, що швидкість цього руху значно менша за швидкість світла в вакуумі (300 000 км/с). Іншими словами, механіка – це наука  про механічний рух.

Потрібно зауважити, що однією з різновидностей механічного руху є такий рух, швидкість якого дорівнює нулю (v=0). Цю різновидність руху називають механічним спокоєм. Крім цього, різновидністю механічного руху тіла є його механічна деформація, тобто та чи інша зміна форми (розмірів) тіла, що відбувається під дією певної сили. А це означає, що в механіці вивчають не лише параметри, закономірності та причини власне самого механічного руху (спокою) тіла, а й параметри, закономірності та причини всіх видів його механічної деформації.

Як правило, в механіці не вивчається глибинна суть тих процесів, результатом яких є механічний рух тіла. Наприклад, вивчаючи механіку, ми не будемо цікавитись тим, чому деформована пружина штовхає тіло? Чому повітряно-бензинова суміш в процесі згорання штовхає поршень двигуна? В чому причина появи сили тертя, сили опору повітря, сили пружності, сили тяги автомобіля, м’язової сили людини, тощо. В механіці просто констатується той факт, що причиною зміни швидкості руху тіла і причиною його пружної деформації є певна механічна дія на це тіло іншого фізичного об’єкту, і що мірою цієї дії є фізична величина, яка називається силою.

Ньютонівська механіка це надзвичайно великий розділ фізики базовими темами якого є:

– кінематика;

– статика;

– динаміка;

– механіка рідин і газів;

– механіка коливань та хвиль.

При цьому межах навчальної програми для 7-го класу, ми по суті будемо вивчати основи тієї частини ньютонівської механіки, яка називається механікою матеріальної точки. А це означає, що ми будемо вивчати параметри закономірності та причини тієї різновидності механічного руху, яка називається поступальним рухом тіла. Крім цього, у відповідності з тією ж програмою, ми ознайомились з деякими елементами механіки пружно-деформованого тіла та механіки рідин і газів.

Тема 1.1. Основи кінематики поступального руху.

§8. Загальні відомості про механічний рух.

Кінематика (від грецького “kinematos” – рух) – це розділ механіки, в якому вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл, без врахування їх мас та діючих на них сил. Іншими словами, в кінематиці вивчають параметри та закономірності механічного руху і не вивчають причини цього руху, а також не враховують фізичні властивості рухомого тіла.

Коли ми говоримо про механічний рух, то маємо на увазі такий процес (рух), при якому тіло як єдине ціле, або певні цілісні фрагменти цього тіла, переміщуються відносно інших тіл. Човен  пливе, автомобіль іде, вода тече, Земля обертається, колесо крутиться, газ розширюється, яблуко падає, собака біжить, дерево хитається, м’яч стрибає, стержень деформується – все це конкретні приклади механічного руху тих чи інших фізичних об’єктів (тіл).

До числа основних понять кінематики, тобто тих загальних термінів суть яких потрібно знати, відносяться: механічний рух, поступальний рух, обертальний рух, матеріальна точка, відносність руху, система відліку, траєкторія.

          Механічний рух – це такий рух (процес), при якому тіло як єдине ціле, або певні цілісні фрагменти цього тіла, переміщується відносно інших тіл. Розрізняють дві прості різновидності механічного руху: рух поступальний та рух обертальний. Поступальний рух – це такий механічний рух, при якому будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі. Наприклад, якщо книга рухається поверхнею стола таким чином, що будь яка з її бічних сторін залишається паралельними самі собі, то рух книги є поступальним (мал.15). Він буде поступальним навіть тоді, коли книга рухаючись по колу, або будь-якій іншій складній кривій, не змінюватиме своєї кутової орієнтації. Якщо в процесі руху будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі, то це тіло рухається поступально.

     

Мал.15. В процесі поступального руху тіла, будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі.

Характерною та практично важливою особливістю поступального руху тіла є факт того, що при такому русі, всі точки тіла рухаються однаково. Однаково в тому сенсі, що мають однакові траєкторії руху, за однакові проміжки часу проходять однакові відстані, мають однакові миттєві і середні швидкості, однакові прискорення, тощо. А це означає, що описуючи поступальний рух тіла, нема потреби описувати рух кожної його окремої точки. Достатньо охарактеризувати рух будь-якої з цих точок, наприклад, центру маси тіла. Зважаючи на ці обставини, описуючи поступальний рух тіла, це тіло зазвичай замінюють його спрощеною (ідеалізованою) моделлю, яку прийняти називати матеріальною точкою.

Матеріальна точка, це така умовна точка, якою теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли розмірами, формою та внутрішнім устроєм цього тіла можна знехтувати. Матеріальна точка зберігає лише одну механічну характеристику реального тіла – його масу. При цьому положення матеріальної точки практично завжди співпадає з положенням центру мас відповідного тіла. Представляючи реальне тіло у вигляді матеріальної точки, ми абстрагуємося від несуттєвих в умовах даної задачі характеристик тіла і зосереджуємо свою увагу на його суттєво важливих характеристиках. В кінематиці такими характеристиками є час руху, траєкторія руху, швидкість руху, прискорення, пройдений шлях, тощо.

Потрібно підкреслити, що визначаючись з тим, можна чи не можна дане тіло вважати матеріальною точкою, в першу чергу враховують не реальні розміри тіла, а характер його руху та характер тих запитань які поставлені в даній задачі. Наприклад, якщо книга поступально рухається поверхнею стола і ми говоримо про швидкість її руху, її прискорення, пройдений шлях, то цю книгу можна вважати матеріальною точкою. Адже при поступальному русі всі точки книги проходять однаковий шлях, рухаються з однаковими швидкостями та з однаковими прискореннями. Якщо ж описуючи положення книги, ми говоримо про її координати, то скоріш за все цю книгу не можна вважати матеріальною точкою. Адже в масштабах стола, різні точки мають суттєво різні координати. Та як би там не було, а зазвичай в кінематиці поступального руху, тіла представляють у вигляді відповідних матеріальних точок.

Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання. Наприклад, обертально рухаються стрілка годинника, колесо автомобіля, двері класної кімнати, – звичайно за умови, що годинник “іде”, колесо крутиться, двері відчиняються.

  

Мал.16. В процесі обертального руху тіла, всі його точки описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій (осі обертання).

При обертальному русі різновіддалені від осі обертання точки тіла, рухаються суттєво по-різному: мають різні траєкторії руху, різні пройдені шляхи, різні лінійні швидкості, різні прискорення, тощо. А це означає, що обертальний рух тіла не можна описати, охарактеризувавши рух його однієї точки. Описуючи обертальний рух тіла, це тіло зазвичай представляти у вигляді так званого абсолютно твердого тіла. Абсолютно тверде тіло, це таке умовне тіло, яким теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли його механічними деформаціями можна знехтувати.

В загальному випадку механічний рух тіла представляє собою певну комбінацію поступального і обертального рухів. Наприклад, коли ви кидаєте камінь, або б’єте футбольного м’яча, то скоріш за все рухи цих тіл будуть поступально-обертальними. Або, наприклад, якщо автомобіль їде прямолінійною дорогою, то його корпус рухається поступально, колеса – поступально-обертально, а рух поршнів двигуна є певною комбінацією двох поступальних рухів. Якщо ж рельєф дороги складний, то всі ці руху стають набагато складнішими. Але яким би складним не був механічний рух тіла, його завжди можна представити як певну комбінацію двох простих рухів: поступального і обертального. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності поступального і обертального руху можна описати та спрогнозувати будь-який найскладніший механічний рух.

  

Мал.17. В загальному випадку рух тіла є поступально-обертальним.

Зважаючи на ці обставини та реалізуючи базовий методологічний принцип науки – від простого до складного, від часткового до загального, кінематику розділяють на дві частини  кінематика поступального руху (кінематика матеріальної точки) та кінематика обертального руху. І потрібно зауважити, що у відповідності з навчальною програмою для 7-го класу ми по суті будемо вивчати основи кінематики поступального руху.

Контрольні запитання.

1.Яка з наук, механіка чи кінематика, є більш загальною? Чому?

2. Який рух називають механічним. Які різновидності механічного руху ви знаєте?

3. Що називають механічною деформацією? Чи є механічна деформація різновидністю механічного руху?

4. Який рух називають поступальним? Яка особливість цього руху?

5. За яких умов рух тіла по колу буде поступальним. Чи є рух Землі навколо Сонця поступальним? Чому?

6. Який рух називають обертальним? Чи можна описуючи обертальний рух тіла, представляти це тіло у вигляді матеріальної точки? Чому?

7. Що називають матеріальною точкою? Чи є розміри тіла визначальними при відповіді на питання: можна чи не можна вважати дане тіло матеріальною точкою?

8. Які критерії є визначальними при з’ясуванні того, можна чи не можна дане тіло вважати матеріальною точкою?

Вправа 8.

1.Чи можна вважати м’яч матеріальною точкою:

а) описуючи його поступальний рух по футбольному полю?

б) описуючи його обертальний рух відносно власної осі обертання ?

в) визначаючи об’єм м’яча?

г) визначаючи його координати на футбольному полі?

2. Які частини велосипеда під час руху прямолінійною дорогою рухаються поступально, які обертально, а які поступально-обертально?

3. Яку траєкторію під час руху прямолінійною дорогою описує: а) вісь колеса велосипеда; б) точка на поверхні цього колеса?

4. Страус бігає зі швидкістю 30м/с. Чи можливо його наздогнати рухаючись зі швидкістю 108км/год?

5. Три тіла рухаються з швидкостями v₁ = 36см/год, v₂ = 0,01м/с, v₃ = 10мм/с. Порівняйте ці швидкості.

6. За 5год 30хв велосипедист проїхав шлях 99км. З якою середньою швидкістю рухався велосипедист?

7. Протягом 30хв автомобіль рухався зі швидкістю 72км/год. Який шлях за цей час проїхав автомобіль?

8. Один велосипедист протягом 12с рухався зі швидкістю 6м/с, а другий велосипедист проїхав ту саму ділянку за 9с. Яка середня швидкість другого велосипедиста на цій ділянці шляху?

.

§9. Відносність руху. Система відліку.

Напевно ви чули про те, що будь-який механічний рух є відносним. Факт цієї відносності закарбовано в самому визначені механічного руху. Механічний рух, це такий рух при якому тіло переміщується відносно інших тіл. Автомобіль рухається відносно дороги. Поршень автомобільного двигуна рухається як відносно двигуна так і відносно тієї дороги якою їде автомобіль. Дорога разом з Землею рухається відносно Сонця, разом з Сонячною системою – відносно центру Галактики і т.д. При цьому рух поршня відносно двигуна автомобіля, суттєво відрізняється від руху того ж поршня відносно дороги.

По суті, твердження про те, що механічний рух є відносним означає, що різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж об’єкту можуть бачити суттєво різні рухи. Дійсно. Уявіть собі велосипед, який з певною постійною швидкістю рухається прямолінійною дорогою. Уявіть також, що за певним елементом цього велосипеда, наприклад, за штуцером колеса (мал.19) спостерігають три спостерігачі. При цьому перший сидить на рамі велосипеда, другий – на землі, а третій – на самому колесі.

Кожен із спостерігачів дивиться на один і той же об’єкт (штуцер колеса) та описує його поведінку. Аналізуючи побачене, перший буде стверджувати, що штуцер рухається по колу. Другий, буде запевняти, що штуцер рухається певною кривою, яку прийнято називати циклоїдою. Третій же буде наполягати на тому, що штуцер не рухається. Не рухається тому, що розташування (положення) штуцера відносно елементів колеса велосипеда, а отже і відносно третього спостерігача, з плином часу залишається незмінним. І як це не дивно, але кожен з спостерігачів абсолютно правий. Адже відносно рами велосипеда штуцер дійсно рухається по колу, відносно дороги – по циклоїді, а відносно елементів колеса – не рухається взагалі.

Мал.19. Різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж об’єкту можуть бачити суттєво різні рухи.

Із вище сказаного ясно, що описуючи механічний рух тіла, необхідно чітко вказати, в якій системі відліку описується цей рух. Адже в різних системах відліку один і той же рух може виглядати по різному. Скажімо, якщо не вказати ту систему відліку в якій описується рух штуцера, то можна як завгодно довго та як завгодно запекло сперечатись стосовно того, як рухається штуцер – по колу, по циклоїді чи якось інакше. І кінця краю цій суперечці не буде.

Звичайно, якщо в тому чи іншому контексті, або в умові тієї чи іншої задачі не вказана система відліку, то скоріш за все, це означає що цією системою є та, що жорстко з’єднана з умовно нерухомою землею. Наприклад, коли ми говоримо, що будинок не рухається, то маємо на увазі що він не рухається відносно землі. Або, якщо ми стверджуємо, що автомобіль рухається з швидкістю 90 км/год, то скоріш за все маємо на увазі його швидкість відносно дороги. При цьому відносно іншого автомобіля ця швидкість може бути іншою.

Говорячи про систему відліку мають на увазі взаємопов’язану сукупність (систему) трьох складових: точки відліку, системи координат та вимірювача часу (годинник, секундомір, тощо). Ця сукупність дозволяє однозначно описати просторово-часові параметри руху тіла. Це означає, що система відліку не лише визначає «адресу» (координати) рухомої точки, а й вказує на те в який момент часу ця «адреса»  зафіксована.

Система відліку – це взаємопов’язана сукупність точки відліку, системи координат та вимірювача часу, яка застосовується для того, щоб кількісно описати механічний рух матеріальної точки (тіла) в цій системі. Система координат – це взаємопов’язана сукупність осей системи координат з вказаним на цих осях масштабом вимірювань. Точка відліку – це така умовно нерухома точка, яка є центром (нулевою точкою) відповідної системи координат. Задати систему координат означає: 1) вказати точку відліку даної системи; 2) задати просторову орієнтацію осей системи координат; 3) на кожній осі координат вказати масштаб вимірювань.

Розташування (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат, однозначно визначається її координатами. При цьому, якщо мова йде про одновимірну (лінійну) систему координат (мал.20а), то в ній місцезнаходження матеріальної точки характеризується однією координатою М(х). В двовимірній (плоскій) системі координат (мал.20б), розташування точки характеризується двома координатами М(х;y), а в тривимірній (об’ємній, мал.20в) – трьома М(х;y;z).

Мал.20. Системи відліку, це сукупність системи координат та вимірювача часу.

Лінію яку описує матеріальна точка в процесі свого руху в вибраній системі відліку називають траєкторією. В різних системах відліку траєкторія руху однієї і тієї ж матеріальної точки може бути суттєво різною. Наприклад, в системі відліку пов’язаною з землею, траєкторією руху велосипедного штуцера (мал.19) є сукупність послідовних циклоїд. В системі ж відліку пов’язаною з рамою велосипеда, цієї траєкторією буде сукупність співпадаючих кіл. А в системі відліку пов’язаній з колесом велосипеда – нерухома точка.

За формою траєкторії, механічні рухи поділяються на прямолінійні та криволінійні. Прямолінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою пряму лінію. Криволінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою криву лінію. Наприклад рух вертикально падаючого тіла (мал.21б) є прямолінійним, а рух тіла кинутого під кутом до горизонту (мал.21г) – криволінійним. Криволінійним є і рух тіла кинутого вертикально вгору (мал.21в). Його криволінійність полягає в тому, що відповідна траєкторія представляє собою ламану яка складається з двох прямолінійних відрізків.

             Мал.21. За формою траєкторії, поступальні рухи поділяються на прямолінійні (б) та криволінійні (в; г)

Та якою б криволінійною не була траєкторія руху тіла, її завжди можна представити як певну сукупність послідовних прямолінійних відрізків. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності прямолінійного руху матеріальної точки, можна описати будь-який криволінійний рух. Виходячи з цього, вивченню параметрів та закономірностей прямолінійного руху ми будемо приділяти особливу увагу.

Контрольні запитання.

1.Що означає твердження: механічний рух є відносним? Наведіть приклади.

2. Які частини велосипеда підчас рівномірного руху описують прямолінійні, а які криволінійні траєкторії відносно дороги?

3. Що називають системою відліку?

4. Що означає задати систему координат?

5. Чим система відліку відрізняється від системи координат? Яка з цих систем є більш загальною?

6. Що називають траєкторією і чи є траєкторія руху матеріальної точки відносною? Наведіть приклади.

7. Траєкторії руху двох тіл перетинаються. Чи означає це що тіла зіштовхуються? Поясніть.

Вправа №9.

1.Задайте плоску прямокутну систему координат і побудуйте в ній точки з координатами А(20;20); В(-20;40); С(20;0); Д(10;-30); К(0;20); М(-10;-20); N(0;0); Р(30;-25).

2. Задайте лінійну систему координат і побудуйте в ній точки з координатами: А(200); В(-150); С(50);  Д(250);  К(-50);  М(0);  N(100).

3. На основі аналізу малюнку визначити координати точок А;В;С;D.

4. На основі аналізу графіку руху тіла, визначити його координати в момент часу 0с; 2с; 3с; 5с; 8с.

   

до задачі 3                                    до задачі 4

5.Пасажир потягу, що рухається з постійною швидкістю, підкидає вертикально вгору яблуко і ловить його. Намалюйте траєкторію руху яблука відносно: а) пасажира який сидить поруч; б) людини, яка стоїть на пероні вокзалу.

6. У змаганнях з бігу беруть участь 4 учні, які можуть бігти зі швидкостями 6м/с, 20км/год, 360м/хв, 0,35км/хв. Хто переможе і хто прибіжить останнім?

7. Відстань від Землі до Сонця 150млн. км. Скільки часу потрібно променю світла, щоб подолати цю відстань? Швидкість світла 300 000км/с.

.

§10. Просторово-часові параметри поступального руху.

До числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час (t), координата (x), пройдений шлях (s) швидкість (v), прискорення (a).

              Час – це фізична величина, яка характеризує тривалість подій (явищ, процесів, рухів, тощо) і яка дорівнює цій тривалості.

Позначається:  t

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [t] = с, (секунда)

Твердження про те, що час немає визначального рівняння по суті означає, що час належить до числа тих базових фізичних величин, одиниці вимірювання яких за домовленістю прийнято вважати основними. В механіці такими базовими величинами є час (t), довжина (ℓ) і маса (m).

Коли ми говоримо про координату матеріальної точки (тіла), то маємо на увазі певну величину, яка однозначно визначає місцезнаходження (положення) даної матеріальної точки в заданій системі координат. При цьому потрібно зауважити, що координата, це не просто число яке визначає положення матеріальної точки в вибраній системі координат. Координата, це відстань від точки відліку системи координат до даної точки, виміряній вздовж відповідної осі системи координат. Наприклад, в зображеній на мал.22а лінійній системі координат, автобус має координату (300), а вантажний автомобіль (–100). Це означає, що відносно точки відліку системи координат, автобус знаходиться на відстані 300м в додатному напрямку осі х, а автомобіль – на відстані 100м у від’ємному напрямку цієї осі. Або наприклад, в зображеній на мал.22б плоскій системі координат, точка А має координати А(5;3). Це означає, що для потрапляння в точку А потрібно пройти 5м вздовж додатного напрямку осі х, а потім пройти 3м вздовж додатного напрямку осі y.

Мал.22. Координата точки дорівнює відстані від точки відліку системи координат до даної точки, виміряній вздовж відповідної осі системи координат.

Зважаючи на вище сказане можна дати наступне визначення.

Координата – це фізична величина, яка характеризує положення (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат і яка дорівнює відстані від точки відліку цієї системи до проекції даної точки на відповідну вісь координат.

Позначається: х

Визначальне рівняння: х =ℓ_х

Одиниця вимірювання: [х] = м, (метр)

Оскільки координата, пройдений шлях, переміщення, висота, ширина, товщина, діаметр, радіус, периметр, діагональ, тощо, це різновидності тієї фізичної величини яка називається довжина, то буде не зайвим визначити і цю величину.

Довжина – це фізична величина, яка характеризує відстань між двома точками, виміряну вздовж певної лінії і яка дорівнює цій відстані.

Позначається: ℓ

Визначальне рівняння: нема

Одиниця вимірювання: [ℓ] = м, (метр).

Пройдений шлях – це фізична величина, яка характеризує пройдений матеріальною точкою (тілом) шлях і яка дорівнює довжині тієї траєкторії яку описує ця точка в процесі відповідного руху.

Позначається: s

Визначальне рівняння: s = ℓ_тр

Одиниця вимірювання: [s] = м, (метр).

Наприклад, в зображеній на мал.23 ситуації, бджола в процесі перельоту від однієї квітки до іншої, рухається певною криволінійною траєкторією. При цьому довжина цієї траєкторії і є тим пройденим шляхом який характеризує відповідний рух.

Мал.23. Пройдений шлях, це відстань між двома точками, виміряна вздовж траєкторії руху тіла (матеріальної точки.

Напевно ви погодитесь з тим, що будь яку криволінійну траєкторію можна представити у вигляді певної сукупності прямолінійних відрізків. А це означає, що знаючи закономірності прямолінійного руху тіла (матеріальної точки), можна описати будь який криволінійний рух. Тому, реалізуючи базовий методологічний принцип науки – від простого до складного, від часткового до загального, та зважаючи на факт того, що будь який криволінійний рух можна представити як певну сукупність прямолінійних рухів, ми перш за все будемо вивчати кінематику прямолінійного руху. А в цій кінематиці, рівняння s=ℓ_тр набуває вигляду s=∆х,  де ∆х = х_к – х_п.

 Зауваження. В науці загалом і в фізиці зокрема, символом ∆ – дельта (∆х, ∆t, ∆v, ∆m і т.д.) позначають різницю між кінцевим та початковим значенням відповідних величин:

∆х = х_к – х_п

∆t = t_к – t_п

∆v = v_к – v_п

∆m = m_к – m_п  і т.д.

Ілюструючи можливості та межі застосуванні формули s=∆х, розглянемо декілька простих ситуацій. Припустимо, що в заданій системі відліку точки А і В мають координати А(–300); В(200). Виходячи з цього, визначимо пройдений тілом шлях при його переміщенні: a) з точки А в точку В; б) з точки В в точку А; в) з точки А в точку В, а потім знову в точку А.

·      А                                                                    В                х(м)

—–•———————————|———————-•—————→

·  -300     -200        -100          0         100         200       300

Із аналізу малюнка ясно, що при переміщенні    А → В пройдений тілом шлях становить s₁ = 500м,  при переміщенні В → А: s₂ = 500м, при переміщенні А → В → А: s₃ = 500 + 500= 1000м.

Тепер, застосуємо формулу s = ∆х та отримаємо відповідні результати так би мовити теоретичним шляхом:

s₁ = ∆x= х_к – х_п = (200) – (–300) = 500 м

s₂ = ∆x= х_к – х_п = (–300) – (200) = –500 м

s₃ = ∆x= х_к – х_п = (–300) – (–300) = 0 м

Не важко бачити, що останній результат явно суперечить реальному стану речей. Це пояснюється тим, що формула s=∆x є справедливою лише для прямолінійних ділянок руху. Рух же тіла за маршрутом А→В→А є криволінійним. І тому пройдений тілом шлях потрібно визначати не за формулою s=∆х, а за формулою s = ℓ_тр = |s₁| + |s₂|  + …  + |s_N| ,  де  N – кількість тих послідовних прямолінійних відрізків які утворюють відповідну криволінійну траєкторію. Наприклад, в умовах нашої задачі s = |s₁| + |s₂|  = |500| + |–500| = 1000 м 

Таким чином, застосовуючи визначальне рівняння s=∆х потрібно пам’ятати, що воно є справедливим лише для прямолінійної ділянки руху. Втім, в котре наголошуємо, що будь-який криволінійний рух, завжди можна представити як певну сукупність прямолінійних відрізків.

Потрібно зауважити, що рівняння s=∆х не лише визначає величину пройденого тілом прямолінійного шляху, а й вказує на той напрямок в якому цей шлях пройдено. Наприклад, при переміщенні з точки А в точку В тіло рухається в додатному напрямку і тому s₁= +500м. Коли ж тіло переміщується з точки В в точку А, то воно рухається у від’ємному напрямку і тому s₂ =–500м.

В механіці наряду з пройденим шляхом, часто застосовують величину яка називається переміщення (позначається s). На відміну від пройденого шляху (s), переміщення (s) є величиною векторною, і такою що дорівнює тому направленому відрізку (вектору), який з’єднує точки початкового та кінцевого положення матеріальної точки. Наприклад від свого будинку до школи ви можете йти різними шляхами (мал.24). При цьому траєкторії вашого руху і пройдені шляхи, будуть різними. Натомість ваше переміщення від будинку до школи завжди буде однаковим, і таким що дорівнює виміряній по прямій відстані від будинку до школи.

Мал.24. Пройдені шляхи різні, а переміщення – однакові.

Або якщо наприклад, ви вибігли поганяти з товаришами м’яча і через годину повернулися додому, то траєкторія вашого руху за цю годину буде дуже складною, а пройдений шлях – відповідно великим. При цьому ваше переміщення за вище вказану годину буде нульовим. Адже на початку і вкінці відповідної години ваше місцезнаходження (координата) буде одним і тим же.

Якщо ж мова йде про прямолінійний рух, то в цьому випадку пройдений тілом шлях (s) і модуль (числове значення) його переміщення (|s|) будуть чисельно рівними (s=|s|). Втім, навіть в цьому випадку не слід забувати, що пройдений шлях – це величина скалярна, тобто така яка характеризується лише числовою величиною, а переміщення – це величина векторна, тобто така що характеризується як величиною так напрямком.

а) б)

Мал.25. При криволінійному русі (а) числові значення пройденого шляху та переміщення є різними (s≠|s|), а при прямолінійному русі (б) – однаковими (s=|s|).

Задача 1. Турист пройшов 3км на північ, а потім 4км на схід. Визначити пройдений туристом шлях та величину (модуль) його переміщення. Задачу розв’язати графічно та алгебраїчно.

Графічне (геометричне) рішення. У вибраному масштабі (наприклад, 1см на малюнку відповідає 1км пройденого шляху), з дотриманням правил геометричних побудов та з застосуванням відповідного обладнання (в даному випадку лінійки), виконуємо відповідні геометричні побудови (дивись мал.). Вимірюємо довжину вектора переміщення (АС) та у відповідності з масштабом побудов, переводимо цю довжину у відповідне значення переміщення. В умовах нашої задачі |s| = |AC| ≈ 5км.

Основною перевагою графічного рішення задачі є простота та наочність цього рішення. А основним недоліком графічного рішення задачі є необхідність точних геометричних побудов та відсутність гарантованої точності результату. Адже точність цього результату залежить як від масштабу та точності геометричних побудов так і від точності відповідних вимірювань.

Алгебраїчне рішення. Оскільки в умовах даної задачі (дивись мал.) відрізок АС є діагоналлю прямокутного трикутника АВС, де АВ=3км, ВС=4км, та враховуючи що у відповідності з теоремою Піфагора (АС)²=(АВ)²+(ВС)² = 3²+4² = 9+16 = 25, можна записати |s| = |AC| =√25 = 5км.

Основна перевага алгебраїчного рішення задачі полягає в гарантованій точності отриманого результату. А основний недолік цього рішення – потребує певного рівня знань. В даному випадку потрібно знати теорему Піфагора та мати уявлення про те, що називають квадратним коренем числа.

Задача 2. Коло радіусом 50м велосипедист долає за 40с. Визначати пройдений велосипедистом шлях та модуль його переміщення за: а) 40с, б) 20с, в) 10с.

Дано:

R = 50м

T = 40c

t₁ = 40c

t₂ = 20c

t₃ = 10c

s₁ = ? s₂ = ?  s₃ = ?

|s₁| = ? |s₂| = ?  |s₃| = ?

Рішення. Оскільки довжина кола ℓ залежить від його радіусу R і визначається за формулою ℓ = 2πR де π=3,14, та зважаючи на те, що повне коло велосипедист долає за T = 40c, можна стверджувати:

а) якщо t₁ = 40c, то s₁ = ℓ = 2πR = 2∙3,14∙50м = 314м; |s₁| = 0м;

б) якщо t₂ = 20c, то s₁ = ℓ/2 = 314м/2 = 157м; |s₂| = 2R = 2∙50м = 100м;

в) якщо t₂ = 10c, то s₁ = ℓ/4 = 314м/4 = 78,5м; при цьому модуль переміщення |s₃| дорівнюватиме довжині гіпотенузи рівностороннього прямокутного трикутника катети якого дорівнюють R, і яку можна визначити за теоремою Піфагора |s₃|² = R² + R² = 2R², звідси |s₃| = √2R² = R√2 = 50м∙1,41 = 70,5м.

Контрольні запитання.

1. Назвіть основні фізичні величини кінематики поступального руху.
2. Дайте визначення термінам довжина, координата та пройдений шлях. Чим схожі та чим відрізняються ці величини?
3. Чому довжина не має визначального рівняння?
4. Що в науці позначають символом Δ (дельта): Δх; Δt; Δm; тощо?
5. В яких випадках пройдений шлях визначають за формулою s=ℓ_тр, а в яких s=Δх?
6. Що означає твердження: переміщення – величина векторна?
7. Чи може модуль переміщення бути більшим за відповідний пройдений шлях? Дорівнювати пройденому шляху?
8. Пройдений тілом шлях становить 10км. При цьому його переміщення дорівнює нулю. Що це означає?

Вправа №10.

1. М’яч упав з висоти 4м і відбившись від підлоги був зловлений на висоті 1м. Визначити пройдений м’ячем шлях та його переміщення?
2. Матеріальна точка рухалась за маршрутом 1→2→3→4 (дивись мал.а). Визначити пройдений нею шлях та величину переміщення.
3. За даними малюнку б) визначити пройдений матеріальною точкою шлях та її переміщення.

а)  б)

4. Відстань між пунктами А і В по прямій лінії 4км. Людина проходить цю відстань туди і назад за 2 години. Чому дорівнює шлях і модуль переміщення людини за 1 годину? За 2 години?
5. Гвинтокрил, пролетівши в горизонтальному польоті по прямій 6км, повернув на 90º і пролетів ще 8км. Визначити шлях і модуль переміщення гвинтокрила. Задачу розв’язати графічно та алгебраїчно.
6. Турист пройшов спочатку 400м на північний захід, потім 500м на схід і ще 300м на північ. Визначити графічно модуль переміщення туриста.
7. Матеріальна точка переміщувалась за маршрутом А→В→С. Графічним методом визначте пройдений точкою шлях та її переміщення, якщо виражені в метрах координати точок: А(–30, 30), В(20, 20), С(–20, –20).
8. Мотоцикліст, рухаючись ареною цирку, проїжджає коло радіусу 13м за 8с. Визначте шлях і модуль переміщення мотоцикліста: а) за 4с руху; б) за 8с руху.

.

§ 11. Швидкість поступального руху. Середня швидкість.

Ви так часто чули слово «швидкість», що напевно без зайвих пояснень розумієте загальну суть цього терміну. І коли ви чуєте, що автомобіль рухається з швидкістю 20 метрів за секунду, то напевно розумієте, що за кожну секунду цей автомобіль проходить шлях 20 метрів. Розумієте і те, що за дві секунди, він проїде 40 метрів, за три секунди – 60 метрів і так далі. Звідси не важко збагнути, що для визначення швидкості автомобіля, потрібно пройдений ним шлях (s) поділити на той проміжок часу (t) за який цей шлях пройдено. А якщо швидкість позначити літерою v, то відповідна формула набуде вигляду v=s/t.

В загальних рисах такі уявлення про швидкість є правильними. Точніше, вони правильні в тому випадку, якщо швидкість руху тіла (матеріальної точки) є сталою (v=const), тобто такою величина і напрям якої з плином часу не змінюється. В загальному ж випадку, в процесі руху тіла, величина і напрям його швидкості можуть змінюватись. Скажімо, в процесі руху дорогами міста, автомобіль постійно здійснює певні маневри, які передбачають як певні зміни напрямку його руху, так і певні зміни величини швидкості руху. А це означає, що в кожній точці траєкторії руху, автомобіль може мати свою так звану миттєву швидкість, яка характеризується як певною величиною, так і певним напрямком.

Мал.26. В реальних ситуаціях, швидкість руху тіла може змінюватись як за величиною так і за напрямком.

Оскільки в загальному випадку швидкість руху тіла (матеріальної точки) може змінюватись як за величиною так і за напрямком, то визначаючи величину та напрям швидкості, в якості того проміжку часу за який визначається пройдений тілом шлях, беруть не годину, не хвилину і навіть не секунду, а гранично малу величину Δt→0. При цьому пройдений тілом шлях, а точніше – його переміщення Δх = х_к – х_п, також буде гранично малим і за будь якої траєкторії руху практично прямолінійним. В такому загальному випадку, та фізична величина яка називається швидкістю, має наступне визначення.

Швидкість – це фізична величина, яка характеризує швидкість поступального руху тіла (матеріальної точки), і яка дорівнює відношенню вектора того переміщення Δх яке здійснило тіло за гранично малий проміжок часу Δt, до величини цього проміжку часу.

Позначається: v

Визначальне рівняння: v=∆x/∆t

Одиниця вимірювання: [v] = м/с,  (метр за секунду).

Відразу ж зауважимо, що формула v=∆x/∆t, є базовим визначальним рівнянням швидкості, яке справедливе для будь яких ситуацій, і яке за різних обставин може набувати різного вигляду. Наприклад, якщо мова йде про прямолінійний рух, тобто такий рух в процесі якого напрям швидкості не змінюється, то рівняння v=∆x/∆t, набуває вигляду v=∆x/∆t. Різниця між цими рівняннями в тому, що перше (v=∆x/∆t) дозволяє визначати як величину так і напрям швидкості, а друге (v=∆x/∆t) – лише величину швидкості. Втім, якщо мова йде про прямолінійний рух, то в цьому випадку напрям швидкості є визначеним і таким, що співпадає з напрямком руху тіла.

Оскільки в подальшому ми будемо говорити про прямолінійний рух матеріальної точки, то в якості визначального рівняння швидкості, будемо застосовувати формулу v=∆x/∆t. Фізичний зміст цієї формули полягає в наступному. Якщо в початковий момент часу t₀ тіло знаходилось в точці з координатою х₀, а в кінцевий момент часу t – в точці з координатою х, то це означає, що за час Δt= t – t₀ тіло перемістилось на відстань Δх= х – х₀ і тому швидкість цього тіла v=Δx/Δt.

Мал.27. Якщо за час Δt тіло (матеріальна точка) переміщується на відстань Δх, то швидкість цього тіла v=Δx/Δt.

Якщо ж мова йде про рівномірно-прямолінійний рух, тобто такий рух, швидкість якого не змінюється ні за величиною ні за напрямком, то в цьому випадку рівняння v=∆x/∆t набуває звичного для нас вигляду v=s/t Дійсно, для прямолінійно-рівномірного руху, визначальне рівняння пройденого шляху має вигляд s=Δx, а зважаючи на те, що той проміжок часу за який тіло проходить шлях s ми зазвичай позначаємо не Δt, а просто t (якщо t₀=0, то Δt= t – 0 = t) рівняння v=∆x/∆t набуває вигляду v=s/t.

Таким чином, в загальному випадку визначальне рівняння швидкості має вигляд v=∆x/∆t. При цьому для прямолінійного руху, тобто такого руху в процесі якого напрям швидкості залишається незмінним, це рівняння набуває вигляду v=∆x/∆t. Якщо ж мова йде про прямолінійно-рівномірний рух, тобто такий рух в процесі якого величина і напрям швидкості залишаються незмінними, то в цьому випадку визначальне рівняння швидкості записують у вигляді v=s/t. Іншими словами:

– в загальному випадку v=∆x/∆t;

– для прямолінійного руху v=∆x/∆t;

– для прямолінійно-рівномірного руху v=s/t.

Малоприємна особливість початкового етапу вивчення фізики загалом і механіки зокрема, полягає в тому, що це вивчення починається по суті з найскладнішого розділу механіки який називається кінематикою, і в якому фігурує така багатогранна фізична величини як швидкість. Тому не поспішайте думати, що фізика це складно, незрозуміло і нецікаво. Просто наберіться терпіння і пам’ятайте, що в науці, як власне і в життя, перші кроки є найважчими. Пам’ятайте і про те, що ніхто окрім вас ці кроки зробити не може.

Зазвичай, терміном швидкість позначають швидкість тіла в даний момент часу, тобто його миттєву швидкість. Але окрім миттєвої швидкості, існує багато різновидностей певним чином усереднених швидкостей: середня шляхова швидкість, середня швидкість переміщення, середня арифметична швидкість, середня квадратична швидкість, тощо.

В кінематиці поступального руху ми будемо говорити лише про одну різновидність усередненої швидкості – середню шляхову швидкість, яку будемо називати просто: середня швидкість. Наприклад коли ми говоримо, що з Києва до Чернігова автомобіль рухався з швидкістю 60км/год, то маємо на увазі середню шляхову швидкість цього руху. Адже в залежності від ситуації на дорозі, на певних ділянках руху автомобіль прискорювався, на певних – пригальмовував, на одних ділянках рухався швидше, на інших – повільніше, а на деяких – взагалі зупинявся. Тому швидкість 60км/год є тією усередненою швидкістю, яка дорівнює відношенню пройденого автомобілем загального шляху (s), до того загального проміжку часу (t) за який цей шлях було пройдено (v_с= s/t).

         Середня швидкість (середня шляхова швидкість) – це та усереднена швидкість з якою тіло долає певну ділянку шляху і яка дорівнює відношенню пройденого тілом загального шляху s, до того загального проміжку часу t, за який цей шлях пройдено.

Позначається: v_с

Визначальне рівняння: v_с= s/t

Одиниця вимірювання: [v_с] = м/с,  метр за секунду.

На відміну від швидкості тіла в даний момент часу (миттєвої швидкості), середня шляхова швидкість є величиною скалярною, тобто такою яка характеризується лише числовим значенням.

Задача 1. За представленим на малюнку графіком руху птаха, визначити його швидкість на кожній ділянці шляху, та середню швидкість на всьому шляху.

Рішення. На основі аналізу малюнку можна стверджувати, що рух птаха складається з трьох ділянок. При цьому:

Ділянка №1: t₁ = Δt₁ = 50c – 0c =50c; ℓ₁ = Δx₁ = 1500м – 0м = 1500м;

v₁ = ℓ₁/t₁ = 1500м/50с = 30м/с.

Ділянка №2: t₂ = Δt₂ = 150c – 50c =100c; ℓ₂ = Δx₂ = 1500м – 1500м = 0м;

v₁ = ℓ₂/t₂ = 0м/100с = 0м/с.

Ділянка №3: t₃ = Δt₃ = 300c – 150c =150c; ℓ₃ = Δx₃ = 3000м – 1500м = 1500м;

v₃ = ℓ₃/t₃ = 1500м/150с = 10м/с.

Середня швидкість: v_c = (ℓ₁+ℓ₂+ℓ₃)/(t₁+t₂+t₃) = 3000м/300с =10м/с

Задача 2. Велосипедист проїхав 40км зі швидкістю 20км/год, а потім ще 30км проїхав за 3год. Яка його середня швидкість на всьому шляху?

Загальні зауваження. Якщо в умові задачі одиниці вимірювання всіх фізичних величин гармонічно збалансовані, то переводити ці одиниці в міжнародну систему одиниць (СІ) не потрібно. Наприклад, в умовах нашої задачі, одиниці вимірювання всіх величин гармонічно (взаємопов’язано)  збалансовані, тому переводити ці одиниці в СІ не потрібно.

Дано:

s₁ = 40 км

v₁ = 20 км/год

s₂ = 30 км

t₂ = 3 год

v_c = ?

Рішення. За визначенням  v_c = s/t. В умовах нашої задачі s = s₁ + s₂ = 40км + 30км = 70км; t = t₁ + t₂,  де  t₁ = ? Оскільки v₁= s₁/t₁, то t₁ = s₁/v₁ = 40км/20(км/год) = 2год.

Таким чином: t = t₁ + t₂ = 2год + 3год = 5год;

v_c = s/t = 70км/5год = 14км/год.

Відповідь: v_c = 14км/год.

Контрольні запитання.

1. Що означає твердження: «швидкість – величина векторна»?
2. Чим відрізняється формула v=∆x/∆t від формули v=∆x/∆t?
3. Який рух називають прямолінійним
4. Який рух називають прямолінійно-рівномірним?
5. Чи відрізняються записи v=const і v=const? Якщо відрізняються то чим?
6. За якої умови Δt=t?
7. Чи суперечать формули v=∆x/∆t та v= s/t одна одній?
8. Відстань від Києва до Черкас автомобіль проїхав зі швидкістю 60км/год. Про яку швидкість іде мова? Поясніть.
9. Якщо тіло рухається прямолінійно і рівномірно, то чи відрізняються числові значення його миттєвої і середньої швидкостей?

Вправа №11.

1. Антилопа розвиває швидкість 25м/с, лев – 80км/год, а зебра – 1км/хв. У кого з них швидкість найбільша.
2. Турист пройшов 5км за 1,5год, а потім ще 2км за 0,5год. Яка середня швидкість туриста на всьому шляху?
3. Який шлях проїде велосипедист за 2год, якщо його середня швидкість 15км/год?
4. Один велосипедист протягом 12с рухався зі швидкістю 6м/с, а другий велосипедист проїхав ту саму ділянку шляху за 9с. Якою була швидкість другого велосипедиста?
5. Коло радіусом 50м велосипедист долає за 40с. Визначати швидкість його руху.
6. Автомобіль проїхав 72км зі швидкістю 20м/с, а потім ще 108км – за 3год. Яка середня швидкість автомобіля на всьому шляху?
7. За заданими графіками руху (червона, синя, зелена прямі), визначити відповідні швидкості руху.
8. За представленим на малюнку графіком руху, визначити швидкість руху на кожній ділянці шляху, та середню швидкість на всьому шляху.

     

до задачі 7                                              до задачі 8

.

§ 12. Загальні відомості про прискорення.

         Якщо швидкість тіла так чи інакше змінюється, то говорять що воно рухається з прискоренням. Прискорення – це фізична величина, яка характеризує зміну швидкості руху тіла, і яка дорівнює відношенню тієї зміни швидкості Δv, що відбулася за проміжок часу Δt, до величини цього проміжку часу.

Позначається: а

Визначальне рівняння: а=∆v/∆t,

Одиниця вимірювання: [a] = м/с²,  метр за секунду в квадраті.

Оскільки швидкість, величина векторна, то вона може змінюватись як за величиною, так і за напрямком. Наприклад якщо рух тіла є прямолінійним, то його швидкість може змінюватись тільки за величиною (збільшуватись або зменшуватись). Якщо ж тіло рухається по колу, то його швидкість може змінюватись як за величиною так і за напрямком. При цьому, за напрямком вона змінюється обов’язково. Зважаючи на ці обставини, розрізняють дві різновидності прискорення:

1) Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за величиною і яке визначається за формулою а=∆v/∆t, або а=(v_к–v₀)/t.

2) Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке визначається за формулою а_д=v²/R. Це прискорення називають доцентровим і про нього ми поговоримо вивчаючи тему «Рух матеріальної точки по колу».

В подальшому терміном «прискорення» ми будемо позначати те прискорення яке характеризує зміну швидкості за величиною, і яке визначається за формулою а=(v_к–v₀)/t.Це прискорення завжди направлено вздовж лінії швидкості руху тіла. При цьому, якщо величина швидкості зростає (v↑), то вектори швидкості та прискорення співнаправлені, а якщо швидкість зменшується (v↓) – то ці напрямки протинаправлені. Наприклад, коли автомобіль рушає з місця (мал.28а), то його швидкість збільшується  (v↑) і тому напрям того прискорення з яким рухається автомобіль, співпадає з напрямком його руху (з напрямком швидкості). Якщо ж автомобіль гальмує (мал.28б), то його швидкість зменшується (v↓) і тому напрям того прискорення з яким рухається автомобіль, протилежний до напрямку його руху (протилежний до напрямку швидкості руху автомобіля).

Мал.28. Якщо швидкість автомобіля збільшується (мал.а), то вектори a і v співнаправлені, а якщо зменшується (мал.б) – то протинаправлені.

Крім цього, потрібно мати на увазі, що коли рухаючись з постійним прискоренням (а=соnst), тіло збільшує свою швидкість, то відповідний рух називають рівноприскореним. При цьому говорять, що тіло має додатне прискорення (а>0). Якщо ж швидкість тіла зменшується, то відповідний рух називають рівносповільненим, а відповідне прискорення – від’ємним (а<0).

Мал.29. При рівноприскореному русі тіло має додатне прискорення (а>0), а при рівносповільненому русі – від’ємне (а<0).

Із визначального рівняння прискорення а=(v_к–v₀)/t, з усією очевидністю випливає, що при рівноприскореному русі (а=соnst) швидкість тіла можна визначити за формулою v_к=v₀+at або v=v₀+at, де v₀ – початкова швидкість тіла. Дійсно, оскільки а = (v_к – v₀)/t, то розкривши дужки отримаємо а = v_k/t – v₀/t. Звідси випливає v_к/t = v₀/t + а, або v_к = v₀ + at. Зазвичай формулу v=v₀+at називають рівнянням швидкості.

         Таким чином, на практиці швидкість прямолінійного руху тіла визначають за формулами:

1) при рівномірному русі (v=const),   v = s/t;

2) при рівноприскореному русі (а=const),  v = v₀+at.

Задача 1. Автомобіль що рухається зі швидкістю 108км/год, в процесі гальмування зупинився через 10с. З яким прискоренням рухався автомобіль?

Загальні зауваження. Дехто вважає, що задачі фізики є складними. Звичайно, якщо ви не знаєте, що час позначається t, швидкість – v, прискорення – а, якщо не знаєте, що визначальне рівняння прискорення а=(v_к–v₀)/t, якщо не розумієте, що твердження «автомобіль в процесі гальмування зупиняється» – означає, що кінцева швидкість автомобіля дорівнює нулю (v_к=0м/с), то задачі фізики дійсно складні. Однак якщо ви знаєте суть тих слів (термінів) які є азбукою фізики, якщо уважно читаєте умову задачі та бачите за цією умовою реальну ситуацію, то неминуче погодитесь з тим, що фізика, це зовсім нескладно, натомість цікаво, повчально і потрібно. Бо фізика, то ж не формули, а вміння творчо та логічно мислити.

Дано:

v₀ = 108 км/год = 30м/с

v_к = 0 м/с

t  = 10 с

а = ?

Рішення. За визначенням а = (v_к – v₀)/t. В умовах нашої задачі а = (0м/с – 30м/с)/10с = –3м/с², де знак «–» вказує на те, що рух автомобіля є рівносповільненим.

Відповідь: а = –3м/с².

Задача 2. За який час автомобіль рухаючись зі стану спокою з прискоренням 0,6м/с² набуде швидкості 90км/год?

Дано:

v₀ = 0м/с

v_к = 90км/год = 25м/с

a = 0,6м/с²

t = ?

Рішення. Оскільки за визначенням а = (v_к – v₀)/t, то t = (v_к – v₀)/а = (25м/с – 0м/с)/0,6(м/с²) = 41,7с

Відповідь: t = 41,7с.

Задача 3. Автомобіль через 10с набуває швидкості 20м/с. З яким прискоренням рухався автомобіль? Через який час його швидкість дорівнюватиме 108км/год, якщо він буде рухатися з тим же прискоренням?

Дано:

t₁ = 10c

v₀ = 0м/с

v₁ = 20м/с

v₂ = 108км/год = 30м/с

a₁ = a₂

t₂ = ?

Рішення. За визначенням а₁ = (v₁ – v₀)/t₁ = (20м/с – 0м/с)/10c = 2м/с². Оскільки за умовою задачі a₁ = a₂, то можна записати а₂ = (v₂ – v₀)/t₂, звідси t₂ = (v₂ – v₀)/a₂ = (v₂ – v₀)/a₁ = (30м/с – 0м/с)/2м/с² = 15с.

Відповідь: t₂ = 15с.

Задача 4. За заданим графіком швидкості руху тіла, визначити його прискорення на кожній ділянці шляху.

Рішення. На основі аналізу заданого графіку швидкості можна стверджувати, що даний рух складається з трьох ділянок. При цьому:

Ділянка №1: Δt₁ = 3c – 0c = 3c; Δv₁ = 3м/с – 0м/с = 3м/с;

а₁ = Δv₁/Δt₁ = 3(м/с)/3с = 1м/с².

Ділянка №2: Δt₂ = 5c – 3c = 2c; Δv₂ = 3м/с – 3м/с = 0м/с;

а₂ = Δv₂/Δt₂ = 0(м/с)/2с = 0м/с².

Ділянка №3: Δt₃ = 7c – 5c = 2c; Δv₃ = 0м/с – 3м/с = –3м/с;

а₃ = Δv₃/Δt₃ = –3(м/с)/2с = –1,5м/с², де знак «–» вказує на те, що рух тіла є рівносповільненим (швидкість руху зменшується).

Контрольні запитання.

1. Чому розрізняють дві різновидності прискорення?
2. В якому випадку вектори швидкості і прискорення є співнаправленими, а в якому протинаправленими?
3. Прискорення тіла дорівнює –2м/с². Що це означає?
4. Потяг відходить від станції. Як направлене його прискорення?
5. Потяг починає гальмувати. Як направлене його прискорення?
6. Прискорення тіла дорівнює 2м/с². На скільки зміниться швидкість цього тіла за 1с?

Вправа №12.

1. За 5с швидкість тіла зросла з 2м/с до 6м/с. Визначити прискорення тіла.
2. Через 20 с після початку руху спідометр автомобіля показував 72 км/год. З яким середнім прискоренням рухався автомобіль
3. Яку швидкість матиме тіло через 20с від початку руху, якщо воно рухається з прискоренням 0,2 м/с²?
4. За який час автомобіль, рухаючись з прискореннями 0,2 м/с² збільшить свою швидкість від 10м/с до 20м/с ?
5. Автобус рухаючись з прискоренням 2м/с², зупинився через 3с. Визначити швидкість автобуса на початку гальмування.
6. Автомобіль рухається під ухил з прискоренням 0,4м/с². Яку швидкість матиме автомобіль через 10с, якщо його початкова швидкість 36км/год?
7. За заданим графіком швидкості руху тіла, визначити його прискорення на кожній ділянці шляху.

8. За заданими графіками швидкості руху тіла, визначити його прискорення. Записати відповідні рівняння швидкості.

а)    б)

.

§ 13. Рівняння руху – основний закон кінематики.

         Нагадаємо, до числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час (t), координата (х=ℓ_х), пройдений шлях (s=∆x), швидкість (v=∆x/∆t) та прискорення (а=∆v/∆t). Якщо ж говорити про основний закон кінематики поступального руху, то він називається рівнянням руху. Рівняння руху – це закон, в якому стверджується: в загальному випадку, прямолінійний рух матеріальної точки можна описати рівнянням:

х = х₀ + v₀t + (а/2)t², де

х – координата матеріальної точки в момент часу t,

х₀  – початкова координата точки, тобто її координата в момент часу t=0,

v₀ – початкова швидкість матеріальної точки,

а – прискорення матеріальної точки.

Потрібно зауважити, що в рівнянні х = х₀ + v₀t + (а/2)t² арифметичний знак (плюс чи мінус) кожного доданку визначається із умов конкретної задачі. А це означає, що в загальному випадку рівняння руху має вигляд х = ± х₀  ± v₀t ± (а/2)t².

Не буде перебільшенням сказати, що знаючи рівняння руху х=х₀+v₀t+(a/2)t² та визначальні рівняння базових фізичних величин кінематики (s=∆x, v=∆x/∆t, а=∆v/∆t), можна розв’язати практично будь-яку задачу кінематики. У всякому разі ті задачі, складність яких не виходить за межі програми загальноосвітньої школи.

Втім, в фізиці не достатньо знати формули. В фізиці набагато важливіше бачити за цими формулами реальні події та їх параметри. Наприклад, в математиці рівняння х = 200 –10t + 0,2t² це просто квадратне рівняння, яке в загальному випадку має два рішення і яке графічно можна представити у вигляді відповідної параболи. В фізиці, все те що вивчалося в математиці ви маєте знати та вміти застосовувати на практиці. Однак цього зовсім не достатньо для розв’язування задач фізики. Адже в фізиці за кожним рівнянням, за кожною цифрою, за кожною буквою та за кожним знаком, ви маєте бачити реальні події та їх характеристики.

Скажімо, просто поглянувши на рівняння х = 200 –10t + 0,2t², та розуміючи що це рівняння руху, тобто рівняння вигляду х = х₀ + v₀t + (а/2)t², ви відразу ж уявляєте наступну ситуацію. В момент часу t=0, дане тіло знаходиться в точці з координатою 200м і рухається у від’ємному напрямку з швидкістю 10м/с. При цьому величина цієї швидкості зменшується (зменшується тому, що знаки (напрямки) швидкості та прискорення є протилежними), а числове значення прискорення становить 0,4м/с². (Сподіваюсь, ви розумієте: якщо а/2=0,2 то а=0,2·2=0,4).

Таким чином, основі порівняльного аналізу рівнянь

х = х₀ + v₀t + (а/2)t²,

х = 200 –10t + 0,2t²,

можна стверджувати:

х₀= 200м;   v₀= –10м/с;   а = 0,4м/с²;   v↓

Загальні зауваження. Якщо в поясненнях до рівняння руху не вказані одиниці вимірювання відповідних величин, то потрібно вважати що цими одиницями є основні одиниці міжнародної системи (СІ):  [x]=м;  [v]=м/с;  [a]=м/с².

Задача 1. За заданим рівнянням руху дати загальну характеристику цього руху.

Рішення. На основі порівняльного аналізу рівняння х = х₀+ v₀t + (а/2)t², з конкретним рівнянням руху, можна записати:

x₁ = –200 +15t – 0,4t²:    х₀ = –200м;  v₀ = 15м/с;  а = –0,8м/с²;  v↓

x₂ = 100 – 8t – 0,1t²:       х₀ = 100м;    v₀ = –8м/с;   а = –0,2м/с²;  v↑

х₃ = 5 + 4t :                     х₀ = 5м;        v₀ = 4м/с;   а = 0м/с²;  v = const

x₄ = –5t:                          х₀ = 0м;        v₀ = –5м/с;   а = 0м/с²;  v = const

x₄ = 200 – 0,5t²:              х₀ = 200м;    v₀ = 0м/с;   а = –1м/с²;   v↑

x₅ = –100:                        х₀ = –100м;  v₀ = 0м/с;  а = 0м/с²;  не рухається

Зверніть увагу, ми просто дивимося на рівняння руху і отримуємо з нього достатньо велику кількість інформації. Тепер уявіть, скільки інформації можна отримати на основі математичного та логічного аналізу цього рівняння. Ілюструючи лише малу частину цих інформаційних можливостей, розглянемо конкретну задачу.

Задача 2. За заданим рівнянням руху  х = 100 + 10t – 0,4t²:

1) дати загальну характеристику руху тіла;

2) визначити пройдений тілом шлях за десять секунд;

3) записати  рівняння швидкості руху тіла та визначити цю швидкість через 10с;

4. Визначити де і коли тіло зупиниться;

Рішення. Відповідаючи на кожне з поставлених запитань можна сказати наступне.

1. Дати загальну характеристику руху тіла: х₀ =? v₀=? а =? малюнок.

Із порівняльного аналізу рівнянь

х = х₀ + v₀t + (а/2)t² та

х=100 +10t – 0,4t²,  ясно:

х₀ =100м; v₀ = 10м/с; а = –0,8м/с²;  v↓.

.                                            а←——♦———→v

.   ——⌊————————————⌊————————————⌊———→ х(м)

.          0                                          100                                         200

2. Визначити пройдений тілом шлях за десять секунд: s(10)=?

Оскільки за визначенням s=∆х=х_к –х_п, та враховуючи що в умовах даної задачі

х_п = х₀ = 100м, х_к = х(10) = 100 + 10(10) – 0,4(10)² = 160м, можна записати

s(10)= х(10) – х₀ = 160 – 100 = 60м.

3. Записати рівняння швидкості руху тіла та визначити цю швидкість через 10с

Оскільки при рівноприскореному русі v=v₀+at, то в умовах нашої задачі (v₀=10м/с, а = –0,8м/с²) можна записати v=10 – 0,8t.

Якщо t=10c, то  v(10)= 10 – 0,8(10) = 2м/с.

4. Визначити, де і коли тіло зупиниться: х_зуп =? t_зуп=?

Оскільки в момент зупинки швидкість тіла дорівнює нулю (v=0), то можна записати: якщо t = t_зуп, то  v = 10 – 0,8t_зуп = 0, звідси   t_зуп = 10/0,8=12,5c

А це означає, що  х_зуп = х(12,5) = 100 + 10(12,5) – 0,4(12,5)²  = 162,5м.

Потрібно зауважити, що в подібних задачах, пояснювальний малюнок, це не декоративний елемент, а активний учасник розв’язку задачі. Адже правильно виконаний малюнок не лише допомагає уявити наявну ситуацію, а й є елементом контролю правильності її рішення. Скажімо, якби в процесі розв’язку даної задачі, ви отримали відповідь х_зуп= –50м, то на основі аналізу малюнку ви б зробили очевидний висновок: в процесі розв’язування задачі була зроблена якась помилка (поясніть чому?).

Задача 3. В початковий момент часу тіло знаходиться в точці з координатою – 300м і рухається в додатному напрямку з швидкістю 10м/с. Через який час тіло буде в точці з координатою 200м?

Загальні зауваження. Якщо в умові задачі нема прямих вказівок на те, що тіло рухається з прискоренням, то це означає, що відповідний рух є рівномірним (v=const, а = 0м/с²).

Дано:

x₀ = – 300м

v = 10м/с = const

x = 200м

t = ?

Рішення. На основі аналізу умови задачі виконуємо малюнок та записуємо відповідне рівняння руху, тобто рівняння вигляду х = х₀+ v₀t + (а/2)t². А оскільки в умовах нашої задачі а =0, то х = х₀+ vt, або в конкретних цифрах х = – 300 + 10t. При цьому якщо х = 200м, то 200 = – 300 + 10t, звідси 10t = 200 + 300 = 500, звідси t = 500/10 = 50с.

Відповідь: t = 50с.

Задача 4. В заданій системі відліку, рівняння руху тіл мають вигляд х₁=15t, х₂=200+10t. Де і коли зустрінуться ці тіла?

Дано:

х₁=15t,

х₂=100+10t

х_зустр = ?  t_зустр = ?

Рішення. На основі аналізу заданих рівнянь руху  виконуємо відповідний малюнок, тобто задаємо систему координат на якій відображаємо наявну ситуацію.

.          v₀₁=15м/с                           v₀₂=10м/с

.          ♦————→                       ♦——→

.   ——⌊———————————⌊———————————⌊———→х(м)

.          0                                       100                                     200

Оскільки в момент зустрічі, тіла 1 і 2 мають знаходитись в одному і тому ж місці, тобто в точці однаковою координатою, то можна стверджувати, що для моменту часу t = t_зустр  має виконуватись умова х₁ = х₂. А це означає, що 15t_зустр = 100 + 10t_зустр , звідси 15t_зустр – 10t_зустр = 100, звідси 5t_зустр = 100, звідси t_зустр = 100/5 = 20с. Таким чином, дані тіла зустрінуться через 20с в точці з координатою х_зустр = х₁(20) = 15(м/с)20с = 300м. Отриманий результат можна перевірити за допомогою другого рівняння: х_зустр = х₂(20) = 100м +10(м/с)20с = 300м.

Відповідь: t_зустр = 20с, х_зустр = 300м.

Задача 5. За заданим графіком руху, записати рівняння руху на кожній ділянці шляху (вважати, що вісь 0ℓ є віссю координати, тобто віссю 0х).

Загальні зауваження. Якщо графіком руху є пряма (відрізок прямої), то відповідний рух є рівномірним (v=v₀=const), тобто рухом з нульовим прискоренням (а=0). А це означає, що рівняння такого руху має вигляд х=х₀+vt.

Рішення. На основі аналізу заданого графіку руху можна стверджувати, що даний рух складається з трьох ділянок. При цьому:

Ділянка №1: х₀=0м, х_к=50м, Δх=50м, Δt=10c, v=Δx/Δt=50м/10c=5м/с,

рівняння руху х = 5t.

Ділянка №2: х₀=50м, х_к=50м, Δх=0м, Δt=15c, v=Δx/Δt =0м/15c =0м/с,

рівняння руху х= 50.

Ділянка №3: х₀=50м, х_к=150м, Δх=100м, Δt=10c, v=Δx/Δt =100м/10c=10м/с,

рівняння руху х = 50 + 10t.

Завершуючи знайомство з рівнянням руху, буде не зайвим зауважити, що за різних обставин, це рівняння може набувати різного вигляду. Наприклад якщо мова йде про пройдений шлях  s = x – x₀, то рівняння руху х = х₀ + v₀t + (а/2)t² набуває вигляду s = v₀t + (а/2)t². Якщо мова йде про рівномірний рух (а=const), то рівняння руху набуває вигляду х = х₀ + vt, або s = vt. Якщо мова йде про рух без початкової швидкості (v₀ = 0), то рівняння руху набуває вигляду х = х₀ + (а/2)t², або s = (a/2)t². І т.д. Ясно, що запам’ятовувати все різноманіття подібних рівнянь нема ані потреби, ані сенсу. А от що дійсно потрібно знати і розуміти, так це загальний вигляд рівняння руху х = х₀ + v₀t + (а/2)t² та визначальні рівняння відповідних фізичних величин: s = x – x₀; v = (x – x₀)/t; a = (v – v₀)/t.

Контрольні запитання.

1. Як змінюється швидкість руху тіла (збільшується чи зменшується), якщо в рівнянні руху:

а) як прискорення так і швидкість мають знак «+»;

б) як прискорення так і швидкість мають знак «–»;

в) прискорення має знак «+», а швидкість – знак «–»;

г) прискорення має знак «–», а швидкість – знак «+»?

2. Якого вигляду набуває рівняння руху для рівномірного руху (а=0)?
3. Якого вигляду набуває рівняння руху в ситуації коли х₀=0?
4. Якого вигляду набуває рівняння руху в ситуації коли v₀=0 ?
5. Якого вигляду набуває рівняння руху в ситуації коли х₀=0; v₀=0 ?
6. Виходячи з того що s = ∆х = х – х₀, запишіть рівняння пройденого шляху.

Вправа №13.

1. За рівнянням руху, дати загальну характеристику відповідного руху:

х₁  = 100 + 10t + 0,5t²

х₂  = –100 + 5t – 0,2t²

х₃  = –10t – 0,3t²

х₄  = 150 – 0,25t²

х₅  = t²

2. За заданим рівнянням руху х = 100 – 15t + 0,5t²:

1) дати загальну характеристику руху тіла;

2) визначити пройдений тілом шлях за 10с;

3) записати рівняння швидкості руху тіла;

4) визначити де і коли тіло зупиниться.

3. За заданим рівнянням руху х = –200 + 12t – 0,3t², визначити де і коли тіло зупиниться.
4. В заданій системі відліку рівняння руху тіл мають вигляд х₁=15t, х₂=200+10t. Де і коли зустрінуться ці тіла?
5. Із пунктів А і В одночасно та в одному і тому ж напрямку виїхав автомобіль з швидкістю 22м/с та велосипедист з швидкістю 8м/с. Де і коли вони зустрінуться, якщо відстань між пунктами А і В 900м?
6. На основі аналізу малюнку, записати відповідні рівняння руху.

7. За заданим графіком руху, записати рівняння руху на кожній ділянці шляху (вважати, що вісь 0ℓ є віссю координати, тобто віссю 0х).

.

§ 14. Розв’язування задач. Тема: Практичне застосування рівняння руху.

В умовах переважної більшості задач, кінематична ситуація задається не певними рівняннями руху, а описується відповідними словами. Тому ви повинні не лише вміти за заданими рівняннями руху уявляти відповідну ситуацію, а й навпаки – за заданою ситуацією записувати відповідні рівняння руху. А це вміння формується в процесі розв’язування конкретних задач.

Задача 1. З пунктів А і В, відстань між якими 10км, одночасно і назустріч один одному вийшли два пішоходи з швидкостями відповідно 5км/год і 3км/год. Визначити де і коли вони зустрінуться.

Загальні зауваження. Якщо в умові задачі фізичний зміст того чи іншого параметру чітко не визначений, то завжди обирають таке значення цього параметру яке є найпростішим та дозволяє розв’язати відповідну задачу. Наприклад, в умові даної задачі чітко не визначено якою (прямолінійною чи криволінійною) є та дорога що з’єднує пункти А і В. В подібних ситуаціях завжди обирають найбільш простий варіант. А цим варіантом є прямолінійна дорога. Крім цього, в умові даної задачі не визначена початкова координата жодного з пішоходів. Тому будемо вважати, що в початковий момент часу в нульовій точці нашої системи координат знаходиться той пішохід швидкість якого 5км/год.

Дано:

s = 10км

v₁ = 5км/год

v₂ = 3км/год

x_зустр=?  t_зустр=?

Рішення. На основі аналізу умови задачі виконуємо відповідний малюнок, на якому задаємо систему координат та відображаємо наявну ситуацію. У відповідності з малюнком і заданою системою координат, записуємо рівняння руху  кожного пішохода: х₁ = 5t;  х₂ = 10 – 3t. Оскільки в момент зустрічі х₁ = х₂, то 5t_зустр= 10 –3t_зустр.

Звідси випливає, що 5t_зустр + 3t_зустр = 10, або t_зустр(5+3) = 10, або t_зустр= 10/(5+3) =1,25год. Таким чином: х_зустр= х₁(1,25) = 5·1,25 = 6,25км.

Відповідь: пішоходи зустрінуться через 1,25год в точці віддаленій від пункту А на 6,25км.

Загальні зауваження. Рівняння руху х = х₀ + v₀t + (а/2)t² є справедливим і в тому випадку коли одиниці вимірювання відповідних величин не є основними одиницями СІ. Важливо лише те, щоб всі одиниці вимірювань були відповідними. Наприклад в умовах нашої задачі всі задані одиниці вимірювань є відповідними: [t]=год; [x]=км; [v]=км/год.

Задача 2. З пунктів А і В відстань між якими 6км, одночасно і в одному напрямку вийшли два пішоходи з швидкостями відповідно 5км/год та 3км/год. Визначити де і коли вони зустрінуться.

Дано:

s = 6км

v₁ = 5км/год

v₂ = 3км/год

x_зустр=? t_зустр=?

Рішення. На основі аналізу умови задачі виконуємо відповідний малюнок, на якому задаємо систему координат та відображаємо наявну ситуацію. У відповідності з малюнком і заданою системою координат, записуємо рівняння руху  кожного пішохода: х₁ = 5t;   х₂ = 6 + 3t. Оскільки в момент зустрічі х₁ = х₂, то 5t_зустр= 6 + 3t_зустр.

Звідси випливає, що 5t_зустр – 3t_зустр = 6, або t_зустр(5 – 3) = 6, або t_зустр= 6/2 =3год.

Таким чином: х_зустр= х₁(3)=5·3= 15км.

Відповідь: пішоходи зустрінуться через 3год в точці віддаленій від пункту А на 15км.

Задача 3. За заданим малюнком сформулюйте задачу та розв’яжіть її.

На основі аналізу заданого малюнку можна сформулювати наступну задачу. Задача. З пунктів А і В відстань між якими 60км, одночасно та в одному напрямку виїхали мотоцикліст і велосипедист. Визначити через який час і на якій відстані від пункту В мотоцикліст наздожене велосипедиста, якщо швидкість мотоцикліста 30км/год, а велосипедиста 15км/год.

Рішення. На основі аналізу наявної ситуації, запишемо рівняння руху:

мотоцикліст:  х₁ = 30t

велосипедист: х₂ = 60 + 15t.

Оскільки в той момент коли мотоцикліст наздожене велосипедиста (в момент їх зустрічі) х₁ = х₂, то можна записати  30t_зустр = 60 + 15t_зустр, звідси 30t_зустр  – 15t_зустр = 60, звідси 15t_зустр = 60, звідси t_зустр = 60/15 = 4год.

Таким чином, мотоцикліст наздожене велосипедиста через 4год. При цьому велосипедист проїде шлях s₂ = 15(км/год)4год = 60км.

Відповідь: Мотоцикліст наздожене велосипедиста через 4год на відстані 60км від пункту В.

Загальні зауваження. Звичайно, дану задачу, як власне і задачі попередні, можна розв’язати й по-іншому, наприклад так. Оскільки швидкість мотоцикліста більша за швидкість велосипедиста на 30(км/год) – 15(км/год) = 15км/год, то ту відстань яка їх розділяє (60км) мотоцикліст подолає за час 60км/15(км/год) = 4год. А за цей час, велосипедист проїде шлях 15(км/год)4год = 60км. Таке рішення є правильним і має право на існування. Однак воно має ряд суттєвих недоліків. По-перше, його практично не можливо зробити органічною частиною більш-менш універсальної системи розв’язку задач. По-друге. Такий спосіб дозволяє розв’язувати лише очевидно прості задачі. Тому, якщо ви хочете кваліфіковано та системно розв’язувати задачі кінематики то повинні максимально широко застосовувати рівняння руху.

Задача 4. Відходячи від станції, потяг протягом однієї хвилини рухається з прискоренням 0,4м/с². Визначте той шлях який проїхав потяг за цей час, і швидкість наприкінці цього шляху.

Дано:

v₀ = 0м/с

t = 1хв = 60с

a = 0,4м/с²

s = ?  v_к = ?

Рішення. Оскільки при рівноприскореному русі s = v₀t + (a/2)t², та зважаючи на те, що v₀=0, можна записати s = (a/2)t² = [(0,4м/с²)/2](60c)² = 0,2(м/с²)3600с² = 720м. Оскільки при рівноприскореному русі v_к=v₀+at, то v_к = 0(м/с) + 0,4(м/с²)60с = 24м/с.

Відповідь: s=720м; v_к=24м/с.

Задача 5. За який час автомобіль, рухаючись зі стану спокою з прискоренням 2м/с², подолає шлях 100м? Якої швидкості набуде за цей час?

Дано:

v₀ = 0м/с

a = 2м/с²

s = 100м

t = ?  v_к = ?

Рішення. В умовах нашої задачі (v₀ = 0м/с), рівняння пройденого шляху s = v₀t + (а/2)t², набуває вигляду s = (а/2)t². Звідси випливає, що t² = 2s/a, звідси t = √(2s/a) = √(2∙100м/2м/с²) = √(100с²) = 10с. Для рівноприскореного руху v = v₀ + at = 2(м/с²)∙10с = 20(м/с).

Відповідь: t = 10с  v_к = 20м/с.

Задача 6. Рушаючи з місця, автомобіль рухається з прискоренням 2м/с² і набуває швидкості 20м/с. Визначити пройдений автомобілем шлях.

Дано:

а = 2м/с²

v₀ = 0м/с

v_к = 20м/с

s = ?

Рішення. В умовах нашої задачі (v₀ = 0м/с), рівняння пройденого шляху s = v₀t + (а/2)t², набуває вигляду s = (а/2)t², де t = ? Оскільки швидкість автомобіля змінюється за законом v = v₀ + at, та зважаючи на те, що v₀ = 0м/с, можна записати v = at, звідси t = v/a. Таким чином s = (а/2)t² = (а/2)(v/a)² = v²/2a.

Розрахунки: s = v_к²/2a = (20м/с)²/2∙2м/с² = 100м

Відповідь: s = 100м.

Загальні зауваження. На основі аналізу рівняння руху можна довести, що при рівноприскореному русі, між пройденим тілом шляхом s, його прискоренням а, та початковою v₀ і кінцевою v_k швидкостями, існує співвідношення s = (v_k² – v₀²)/2a. Дане співвідношення не є а ні визначальним рівнянням певної фізичної величини, а ні базовим законом кінематики. Однак зазвичай, при розв’язуванні задач формулу s = (v_k² – v₀²)/2a, використовують як базову. Тому запам’ятайте, що величину пройденого шляху можна визначити не лише за рівнянням пройденого шляху s = v₀t + (а/2)t², а й за формулою s = (v_k² – v₀²)/2a.

Вправа №14.

1. На основі аналізу малюнку, записати відповідні рівняння руху.

2. За заданим рівнянням руху х = –200+12t–0,3t², дати загальну характеристику руху, визначити де і коли тіло зупиниться.
3. За заданим малюнком записати рівняння руху автомобіля і автобуса. Визначити де і коли вони зустрінуться.

4. За заданим малюнком записати рівняння руху автомобіля і автобуса. Визначити де і коли вони зустрінуться.

5. За заданим рівнянням руху х =150–10t+0,2t², дати загальну характеристику руху, визначити де і коли тіло зупиниться та пройдений шлях до зупинки.
6. З пунктів 1 і 2 відстань між якими 9км, одночасно і в одному напрямку вийшли мотоцикліст та велосипедист з швидкостями відповідно 20м/с та 18км/год. Визначити де і коли вони зустрінуться.
7. Рушаючи з місця, автомобіль протягом 10с рухається з прискоренням 2м/с². Яку швидкість встигає набрати автомобіль? Який шлях проходить при цьому?
8. За який час автомобіль, рухаючись зі стану спокою з прискоренням 2м/с², подолає шлях 25м? Якої швидкості набуде за цей час?

.

§ 15. Механічний рух у графіках.

Напевно ви вже зрозуміли, що рух матеріальної точки (тіла) можна описати не лише відповідними формулами, а й представити у вигляді певних графіків. Наприклад, якщо рівняння руху має вигляд х=5t (х₀=0м; v=5м/с=const), то в системі відліку координата – час, графіком такого руху буде відповідна пряма. Дійсно, у відповідності з заданим рівнянням руху (х=5t):

якщо t = 0с,  то  х = 0м;

якщо t = 2с,  то  х = 10м;

якщо t = 4с,  то  х = 20м;

якщо t = 6с,  то  х = 30м;

якщо t = 8с,  то  х = 40м;

якщо t = 10с,  то  х = 50м.

Задавши відповідну систему координат (мал.30), та позначивши на ній відповідні точки, не важко переконатися в тому, що ці точки лежать на одній прямій. Ця пряма і є графічним відображенням рівняння х=5t.

Мал.30. Графічним відображенням рівняння руху х=5t, є відповідна пряма.

Ясно, що для побудови прямої нема потреби визначати координати кожної її точки. Достатньо знати координати двох довільно вибраних точок прямої. Обираючи ці точки керуються наступними правилами: 1) вибрані точки мають бути зручними для математичних розрахунків та геометричних побудов; 2) вибрані точки мають бути максимально віддаленими одна від одної (це забезпечує максимальну точність геометричних побудов). Наприклад, якщо рівняння руху має вигляд х = 2 + 1,6t (x₀=2м, v=1,6м/с=const), то для побудови відповідного графіку (мал.31а) достатньо визначити координати двох його точок, скажімо таких:

1) якщо t = 0c, то х = 2м;

2) якщо t = 5c, то х = 2 + 1,6·5 = 10м.

Для побудови графіку який відповідає рівнянню руху х = 50 – 2,5t (x₀ = 50м, v = –2,5м/с = const), обираємо точки:

1) якщо t = 0c, то х = 50м;

2) якщо t = 20c, то х = 50 – 2,5·20 = 0м. (мал.31б).

а)  б)

Мал.31. Графіком прямолінійного рівномірного руху (х=х₀+vt) є відповідна пряма.

За своїми функціональними можливостями графік руху матеріальної точки є певним аналогом відповідного рівняння руху. Ілюструючи цю відповідність розв’яжемо ряд конкретних задач.

Задача 1. За представленим на малюнку графіком руху, визначити:

1) початкову координату матеріальної точки;

2) швидкість та напрям руху точки;

3) записати рівняння руху матеріальної точки.

Рішення. На основі аналізу представленого на малюнку графіку руху, можна сказати наступне:

1) початкова координата матеріальної точки х₀ = 4м;

2) оскільки за визначенням v=Δx/Δt, та враховуючи, що для Δt=2c, зміна координати дорівнює Δх = х_к–х_п = 0м – 4м = –4м, можна записати  v =Δx/Δt = –4м/2с  = –2м/с, де знак «–» вказує на те, що матеріальна точка рухається у від’ємному напрямку осі 0х;

3) оскільки представлений на малюнку графік руху є прямолінійним, то відповідне рівняння руху має вигляд x = x₀ + vt, в даному випадку х = 4 – 2t.

Задача 2. За заданими графіками руху, записати відповідні рівняння руху.

Рішення. Оскільки представлені на малюнку графіки руху є прямими відрізками, то відповідні рівняння руху мають вигляд x = x₀ + vt. Аналізуючи ці графіки можна записати:

а) х₀ = 50м; v = ∆x/∆t = (0м – 50м)/50с = – 1м/с, отже х = 10 – 1t;

б) х₀ = 0м; v = ∆x/∆t = (300м – 0м)/150с = 2м/с, отже х = 2t;

в) х₀ = 0м; v = ∆x/∆t = (10м – 0м)/10с = 1м/с, отже х = 1t;

г) х₀ = 20м; v = ∆x/∆t = (20м – 20м)/ ∆t = 0/∆t = 0м/с, отже х = 20;

Задача 3. За заданими графіками руху, записати відповідні рівняння руху.

Рішення. Оскільки представлені на малюнку графіки руху є прямими відрізками, то відповідні рівняння руху мають вигляд x = x₀ + vt. Аналізуючи ці графіки можна записати:

1. х₀₁ = 10м; v₁ = ∆x/∆t = (0м – 10м)/4с = – 2,5м/с, отже х₁ = 10 – 2,5t.
2. х₀₂ = 0м; v₂ = ∆x/∆t = (10м – 0м)/4с = + 2,5м/с, отже х₂ = 2,5t.
3. х₀₃ = 5м; v₃ = ∆x/∆t = (0м – 5м)/1с = – 5,0м/с, отже х₃ = 5 – 5,0t.
4. х₀₄ = – 10м; v₄ = ∆x/∆t = (0м – (–10м)/2с = + 5,0м/с, отже х₄ = –10 + 5,0t.

Задача 4. За заданими графіками пройденого шляху, визначити швидкість руху матеріальних точок. Зробити відповідний висновок.

Рішення. Оскільки при рівномірному (v=const) русі тіла (а саме графіки такого руху представлені на малюнку) v=s/t, то на основі кількісного аналізу заданих графіків, можна записати:

v_A= 10км/2год = 5км/год;

v_B= 30км/2год = 15км/год.

Аналізуючи отримані результати можна зробити висновок: кут нахилу тієї прямої яка описує прямолінійний рух, залежить від швидкості руху тіла: чим більша швидкість, тим більший кут нахилу (відносно осі часу).

Потрібно зауважити, що на відміну від рівняння руху (х=х₀+vt), рівняння пройденого шляху (s=x–x₀=vt) не залежить від початкової координати матеріальної точки. А це означає, що в початковий момент часу (t=0c), величина пройденого матеріальною точкою шляху дорівнює нулю (s=0м), і що тому відповідний графік завжди починається з нульової точки системи координат.

Мал.32. Графік пройденого шляху завжди починається з точки t=0c, s=0м.

Задача 5. За заданим графіком руху матеріальної точки визначити її швидкість на кожній ділянці шляху та записати відповідне рівняння руху.

Рішення. Оскільки на кожній ділянці графік руху представляє певну пряму, то відповідні рухи є рівномірними (v=const). А це означає, що швидкість такого руху визначається за формулою v=Δх/Δt. Тому, на основі кількісного аналізу графіку можна записати:

1. ділянка 1: Δt = 10c, х₀ = 20м, Δx = –40м, v₁=Δx/Δt= –20м/10с= –4м/с; x₁ =20 – 4t;
2. 2. ділянка 2: Δt = 5c, х₀ = –20м, Δx = 0м, v₂=Δx/Δt= 0м/5с = 0м/с; x₂ = – 20;
3. 3. ділянка 3: Δt = 10c, х₀ = – 20м, Δx = 30м, v₃=Δx/Δt= 30м/10с= 3м/с; x₃ = –20 + 4t;
4. 4. ділянка 4: Δt = 10c, х₀ = 10м, Δx = –20м, v₄=Δx/Δt= –20м/10с= –2м/с; x₄ = 10 –2t.

Задача 6. За заданими графіками руху автобуса і автомобіля записати рівняння їх руху. Визначити час і місце їх зустрічі.

Рішення. На основі аналізу заданих графіків, можна записати:

Автобус: х₀ = – 50м, для ∆t = 10c, ∆x = 50 – (– 50) = 100м, отже v₁ = ∆x/∆t = 100м/10с = 10м/с, отже  x₁ = – 50 + 10t.

Автомобіль: х₀ = 30м, для ∆t = 5c, ∆x = – 60 – 30 = – 90м, отже v₂ = ∆x/∆t = – 90м/5с = – 18м/с, отже  x₂ = 30 – 18t.

Оскільки в момент зустрічі х₁ = х₂, то можна записати – 50 + 10t = 30 – 18t, звідси 10t + 18t = 30 + 50, звідси 28t = 80, звідси t = 80/28 = 2,86с = t_зустр. При цьому х_зустр = х₁(2,86) = – 50 + 10∙2,86 = – 21,4м

Відповідь: t_зустр = 2,86с; х_зустр = – 21,4м.

Вправа №15.

1. За заданими графіками руху записати відповідні рівняння руху.

а)   б)

2. За заданими графіками руху записати відповідні рівняння руху на кожній ділянці руху.

а)   б)

3. За заданими графіками руху, описати поведінку відповідно зайця і птаха. Записати рівняння руху на кожній ділянці шляху.

 

4. За заданими графіками руху запишіть відповідні рівняння руху. Визначте де і коли тіла зустрінуться. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.

а) б)

5. За заданими рівняннями руху х₁=5t, х₂=150 – 10t, побудувати відповідні графіки руху. Визначити час та місце їх зустрічі. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.

.

§ 16. Розв’язування задач. Тема: Графічний метод розв’язування задач кінематики.

В фізиці є два базові методи розв’язування задач: алгебраїчний (аналітичний) та графічний (геометричний). Говорячи про сильні та слабкі сторони цих методів можна сказати наступне.

Суть алгебраїчного методу розв’язування задач полягає в тому, що виходячи з умов конкретної задачі та відомих базових формул, шляхом логічних міркувань (аналізу) та відповідних математичних перетворень, отримують алгебраїчне рішення задачі. Наприклад.

Задача 1. За заданими рівняннями руху х₁=140 – 14t; х₂= 4t, визначити де і коли тіла зустрінуться.

Рішення. Оскільки в момент зустрічі х₁=х₂, то можна записати 140 – 14t = 4t. Звідси 18t=140, звідси t=140/18=7,78с=t_зустр. А це означає, що х_зустр= х₂(7,78)=4∙7,78=31,1м.

Відповідь: тіла зустрінуться через 7,78с в точці з координатою31,1м.

Суть графічного (геометричного) методу розв’язування задач полягає в тому, що на основі максимально точних геометричних побудов, з дотриманням вибраного масштабу та з застосуванням відповідних геометричних приладів (лінійка, транспортир, циркуль, тощо), отримують графічну відповідь на поставлене в задачі запитання. Наприклад.

Задача 2. За рівняннями руху х₁ =140 – 14t; х₂ = 4t побудувати відповідні графіки та виконати їх кінематичний аналіз.

Рішення. На основі аналізу заданих рівнянь руху визначаємо координати базових точок:

х₁=140 – 14t:   якщо t = 0с   то  х = 140м,   А₁(0; 140)

якщо t = 10с  то  х = 0м,      А₂(10; 0).

х₂= 4t:              якщо t = 0с   то   х = 0м,      В₁(0; 0)

якщо t = 10с  то  х = 40м,    В₂(10; 40).

Задаємо систему координат і виконуємо необхідні геометричні побудови.

Побудувавши графіки заданих рухів та аналізуючи ці графіки, можна відповісти на безліч кінематичних запитань. Наприклад, визначити час та місце зустрічі тіл: зустрінуться приблизно через 7,8с в точці з координатою приблизно 30м. Можна встановити координати рухомих тіл в будь який момент часу. Скажімо, в момент часу t= 5с: х₁≈50м;  х₂≈ 20м. Для будь якого моменту часу, визначити відстань між рухомими об’єктами. Наприклад: для t=5с, ℓ≈50м; для t=10с, ℓ=40м. Визначити швидкість тіла (v=∆x/∆t), його прискорення (a=∆v/∆t), напрям руху, тощо. Іншими словами, геометричний аналіз графіків руху, дозволяє відповісти на той же спектр запитань що і математичний аналіз відповідних рівнянь руху.

Головною перевагою графічного методу є його візуальна наочність. А основним недоліком – факт того, що точність графічного рішення залежить від точності геометричних побудов. Крім цього, графічне рішення задачі може бути ефективним лише в тому випадку, якщо досліджувані величини описуються лінійними функціями, тобто можуть бути представленими у вигляді певних прямих. Адже якщо наприклад, рівняння руху має вигляд х = 40t – 5t², то графіком цього руху буде зображена на малюнку 33 парабола для побудови якої потрібно визначити координати максимально великої кількості точок. Крім цього, за параболічним графіком важко визначити як величину тієї швидкості з якою рухається матеріальна точка в той чи інший момент часу, так і величину відповідного прискорення. Зважаючи на ці обставини, в подібних ситуаціях графічний метод застосовується рідко.

Мал.33. Графічний метод розв’язування задач може бути ефективним лише в тому випадку, якщо відповідний графік є прямолінійним.

Задача 3. За заданими графіками руху записати відповідні рівняння руху. Визначити де і коли тіла зустрінуться.

Рішення. На основі аналізу заданих графіків можна записати:

1. х₀ = 0м, для ∆t = 8c, ∆x = 80 – 0 = 80м, отже v₁ = ∆x/∆t = 80м/8с = 10м/с, отже x₁ = 10t.
2. х₀ = – 80м, для ∆t = 4c, ∆x = 0 – (– 80) = 80м, отже v₁ = ∆x/∆t = 80м/4с = 20м/с, отже x₂ = – 80 + 20t.

Оскільки в момент зустрічі х₁ = х₂, то можна записати  10t = – 80 + 20t, звідси 20t – 10t = 80, звідси t = 80м/10с = 8с = t_зустр. х_зустр = х₁(8) = 10∙8 = 80м. Не важко бачити, що аналогічні рішення дає і геометричний метод.

Відповідь: t_зустр = 8с,  х_зустр = 80м.

Задача 4. За заданим графіком швидкості руху матеріальної точки, визначити її прискорення. Записати відповідні рівняння швидкості та пройденого шляху.

Рішення. На основі аналізу заданого графіку швидкості та базових рівнянь (визначальне рівняння прискорення а=Δv/Δt, рівняння швидкості v=v₀+at, рівняння пройденого шляху s = v₀t + (a/2)t²), можна записати:

1. Оскільки за визначенням а=Δv/Δt, та враховуючи, що для Δt=4c, Δv=v_к – v_п = 0м/с – 8м/с = –8м/с, можна записати а=Δv/Δt= –8(м/с)/4с = –2м/с², знак «–» вказує на те, що матеріальна точка рухається у від’ємному напрямку осі 0х;
2. v = v₀ + at = 8 – 2t;
3. s = v₀t + (a/2)t² = 8t – t².

Задача 5. За заданим графіком руху, визначити швидкість руху тіла на кожній ділянці. Побудувати графік швидкості руху тіла.

Рішення. Оскільки на кожній ділянці графік руху представляє певну пряму, то відповідні рухи є рівномірними (v=const). А це означає, що швидкість такого руху визначається за формулою v=Δℓ/Δt. Тому, на основі кількісного аналізу графіку можна записати

v₁=Δℓ₁/Δt₁=50м/5с=10м/с;

v₂=Δℓ₂/Δt₂=25м/5с=5м/с.

Отримані результати представляємо у вигляді відповідного графіка швидкості.

Загальні зауваження. Аналіз графіку швидкості руху тіла дозволяє графічним способом визначати величину пройденого шляху як на певній ділянці руху так і на будь якій сукупності цих ділянок. А величина цього шляху дорівнює площі тієї фігури, яка з одного боку обмежена графіком швидкості та віссю 0–t, а з іншого – тими вертикальними лініями, які відповідають тому проміжку часу в межах якого визначається пройдений шлях. Наприклад в умовах нашої задачі s = (10м/с∙5c) + (5м/с∙5c) = 50м +25м = 75м.

Задача 6. За заданим графіком швидкості, описати рух тіла на кожній ділянці шляху. Визначити пройдений тілом шлях на кожній ділянці.

Рішення. Оскільки задані рівняння швидкостей представляють собою певні прямі, то можна стверджувати, що відповідні рухи є рівноприскореними (а=соnst), тобто такими, які описуються формулами:

v = v₀ + at – рівняння швидкості;

s = v₀t + at²/2 – рівняння пройденого шляху;

для криволінійного руху: s = |s₁| + |s₂| + …

Кількісно аналізуючи графік швидкості на кожній ділянці, можна сказати наступне:

1. Ділянка №1: ∆t=20c; v=20м/c=const; a=0;

s=vΔt=20(м/с)∙20с=400м

2. Ділянка №2: ∆t=20c; v≠const; v₀=20м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с²;

s = v₀Δt + aΔt²/2 = 20(м/с)∙20с + 0,5(м/с²)∙(20с)² = 600м.

3. Ділянка №3: ∆t=20c; v≠const; v₀=40м/c; a=∆v/∆t=(–40м/с)/20с= –2м/с²;

s = v₀Δt + aΔt²/2 = 40∙20 –1∙20² = 400м.

4. Ділянка №4: ∆t=20c; v≠const; v₀=0м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с²;

s = v₀Δt + aΔt²/2 = 0∙20 + 0,5∙20² = 200м.

Вправа №16.

1. Рух тіл вздовж осі ох задано рівняннями х₁=5t, х₂=150 – 10t. Визначити час та місце їх зустрічі. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.
2. За заданими графіками руху записати відповідні рівняння руху.

3. За заданим графіком руху записати рівняння пройденого шляху на кожній ділянці руху. Визначити цей шлях.

4. За заданими графіками швидкості, визначати відповідні прискорення матеріальних точок. Записати відповідні рівняння швидкості та пройденого шляху.

5. За заданим графікам швидкості, записати відповідні рівняння швидкості та рівняння пройденого шляху. Визначити пройдені тілом шляхи на кожній ділянці руху.

6. За заданим графікам швидкості, записати відповідні рівняння швидкості та рівняння пройденого шляху. Визначити пройдені тілом шляхи на кожній ділянці руху.

а)  б)

7. За заданим графіком швидкості руху тіла, визначити прискорення тіла на кожній ділянці шляху та записати відповідні рівняння швидкості і шляху.

8. За заданим рівнянням швидкості v = 10 + 0,5t запишіть відповідне рівняння пройденого шляху. Визначте пройдений шлях за 5с.

.

§ 17. Вільне падіння тіл. Прискорення вільного падіння.

         Вільним падінням називають такий рух тіла, який відбувається під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу інших зовнішніх сил, зокрема сили опору повітря. В загальному випадку вільно падаючими вважають не лише ті тіла падіння яких починається з нулевою швидкістю (мал.34а), а й ті які з певною швидкістю кинули вертикально вниз, вертикально вгору, горизонтально або під кутом до горизонту (мал.34б,в,г,д). Адже в кожному з цих випадків, тіло після отримання певного початкового поштовху, рухається під дією лише однієї зовнішньої сили – сили тяжіння (звичайно за умови, що сила опору повітря є не суттєвою).

Мал.34. Рух тіла що відбувається під дією сили тяжіння та за відносності дії інших зовнішніх сил (зокрема суттєвого впливу опору повітря), називають вільним падінням тіла.

Характерною особливістю того руху який називається вільним падінням є те, що це падіння відбувається з певним постійним як за величиною так і за напрямком прискоренням, яке називається прискоренням сили тяжіння або прискоренням вільного падіння. Напрям прискорення вільного падіння співпадає з напрямком діючої на тіло сили тяжіння, тобто є направленим вертикально вниз. Просто коли тіло рухається вниз, діючи на нього сила тяжіння призводить до збільшення швидкості руху тіла. Коли ж тіло рухається вгору, то сила тяжіння призводить до зменшення його швидкості.

На перший погляд факт того, що важкі і легкі тіла падають з однаковим прискоренням, здається дивним. Адже та сила тяжіння з якою важкий камінь притягується до Землі в сотні разів перевищує ту силу тяжіння, з якою до Землі притягується легкий камінчик. І тим не менше, важкий камінь і легкий камінчик падають однаково швидко. Сьогодні ми не будемо говорити про те, чому важкі і легкі тіла падають однаково швидко. Сьогодні ми просто констатуємо той експериментальний факт, що під дією сили тяжіння, та за відсутності суттєвого впливу опору повітря, всі тіла падають з однаковим прискоренням, яке називається прискоренням сили тяжіння або прискоренням вільного падіння.

Мал.35. Під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу опору повітря, всі тіла падають з однаковим прискоренням – прискоренням вільного падіння (експериментальний факт).

Підкреслюючи важливість та значимість прискорення вільного падіння (прискорення сили тяжіння), його позначають окремою літерою g (від лат. gravitas – тяжіння). Для Землі, усереднена величина цього прискорення становить g=9,8067 м/с².

Коли ми стверджуємо, що на Землі прискорення вільного падіння g=9,8067 м/с² то маємо на увазі певне усереднене значення цієї величини. Насправді ж, в різних місцях земної поверхні, прискорення вільного падіння може бути суттєво різним. Наприклад, на екваторі g=9,78 м/с², а на полюсах g=9,83 м/с². Ця різниця обумовлена фактом обертання Землі навколо своєї осі. А також фактом певної деформованості земної кулі.

Зазвичай числове значення прискорення вільного падіння приймають рівним g=9,8м/с². Однак зважаючи на те, що числове рішення переважної більшості задач на вільне падіння тіл є досить приблизним (приблизним бодай тому, що не враховує силу опору повітря), при наближених розрахунках величину прискорення вільного падіння часто округлюють до g=10м/с².

Прискорення вільного падіння визначальним чином залежить від маси та розмірів того космічного об’єкту який створює відповідну силу тяжіння. Наприклад, для Місяця g = 1,6 м/с², для Марса g = 3,8 м/с², для Венери g = 8,8 м/с², для Юпітера g = 23,5 м/с², а для Сонця g = 274,0 м/с².

Потрібно зауважити, що величина та напрям прискорення вільного падіння не залежать від того в якому напрямку рухається тіло і з якою початковою швидкістю воно рухається. Наприклад, в незалежності від того чи вільно відпустили піднятий над землею камінь (мал.36а), чи з певною швидкістю кинули вертикально вниз (мал.36б), вгору (мал.36в) чи під кутом до горизонту (мал.36г), цей камінь буде рухатись з прискоренням g=9,8м/с². В незалежності від того рухається камінь вгору чи падає вниз, він рухається з прискоренням g=9,8м/с² і це прискорення завжди направлено вертикально вниз. Навіть в точці максимального підйому тіла, де його швидкість дорівнює нулю, тіло має прискорення g=9,8м/с². Іншими словами, на всій траєкторії вільного польоту, тіло рухається з прискоренням вільного падіння.

 

Мал.36. У всіх точках траєкторії вільного польоту, тіло рухається з прискоренням вільного падіння (g=9,8м/с²)

Як і будь-який рівноприскорений рух, вільне падіння тіла можна описати рівнянням виду х=х₀+v₀t+(a/2)t². Відмінність лише в тому, що говорячи про вільне падіння матеріальної точки, її вертикальну координату (висоту) зазвичай позначають літерою h, а прискорення – літерою g. Іншими словами, рух вільно падаючого тіла можна описати формулою h=h₀+v₀t+(g/2)t².

Ілюструючи закономірності того руху який називається вільним падінням тіла, а заодно ілюструючи практичну значимість того закону який називається рівнянням руху, розв’яжемо ряд конкретних задач.

Задача 1. Визначити глибину колодязя, якщо відомо, що випущений із руки камінь досягає води за 2с.

Дано :

v₀ = 0 м/с

 t = 2 с

h = ?

Рішення. Виконуємо малюнок який відображає фізичний зміст задачі. Задаємо систему координат та записуємо рівняння руху тіла в цій системі, тобто формулу яка має вигляд h=h₀+v₀t+(g/2)t². В умовах даної задачі h₀=0м; v₀=0м/с, це рівняння набуває вигляду: h=(g/2)t², де g=10м/с². Враховуючи, що t=2c, виконуємо відповідні розрахунки.

Розрахунки:  h=(10(м/с²)(2с)²/2=20м;

Відповідь: h=20м.

Загальні зауваження. Конкретний вигляд рівняння руху, визначально залежить від того, як задана система координат. Наприклад, якщо в даній задачі за початок відліку взяти рівень дна колодязя, а вісь 0у направити вертикально вгору, то в цьому випадку рівняння руху h=h₀+v₀t+(g/2)t² набуде вигляду h=h₀ – (g/2)t². Втім, рішення задачі та її відповідь, в обох випадках буде однаковим. Дійсно, в момент падіння тіла h=0, тому h₀ – (g/2)t² = 0, звідси h₀ = (g/2)t² = 20м.

h = h₀ – (g/2)t² = 10 – 5t², де  h₀=?

якщо t = 2c, то h = 0м, тому h₀ = 5t² = 20м.

Задача 2. Тіло вільно падає з висоти 45м. Визначте час падіння тіла.

Дано:

h = 45м

t_пад= ?

Рішення. Виконуємо малюнок, задаємо систему координат та записуємо відповідне рівняння руху тіла, тобто формулу яка має вигляд h=h₀+v₀t+(g/2)t². В умовах даної задачі (h₀=0м; v₀=0м/с), це рівняння набуває вигляду: h=(g/2)t². Звідси випливає t² = 2h/g, звідси t = √(2h/g).

Розрахунки: t = √(2·45м/10(м/с²))= √(9с²) = 3с

Відповідь: t_пад= 3с.

Задача 3. Тіло вільно падає без початкової швидкості. Якою буде його швидкість через 2с падіння?

Дано:

v₀ = 0м/c

t = 2c

v = ?

Рішення. Виконуємо малюнок, задаємо систему координат та записуємо відповідне рівняння швидкості тіла, тобто формулу яка має вигляд v=v₀+at. В умовах нашої задачі (v₀=0, a=g), це рівняння набуває вигляду v=gt.

Розрахунки: v = 10(м/с²)2с = 20м/с.

Відповідь v = 20м/с.

Контрольні запитання.

1. Що називають вільним падінням тіла?

2.Чи можна стверджувати, що кинуте в горизонтальному напрямку тіло, знаходиться в стані вільного падіння? Чому?

3. Чи залежить величина і напрям прискорення вільного падіння тіла від напрямку руху цього тіла?
4. Чи залежить прискорення вільного падіння від маси падаючого тіла?
5. Чи залежить прискорення вільного падіння від маси Землі?
6. Одне тіло випустили з руки, а друге кинули вертикально вниз. Яке з цих тіл матиме більше прискорення вільного падіння?
7. Тіло кинули вертикально вгору. Чому ми стверджуємо, що те прискорення з яким рухається тіло направлене вертикально вниз?
8. Чи може тіло, маючи нульову швидкість, мати певне прискорення? Наведіть приклад.

                   Вправа 17.

1. Визначити глибину ущелини, якщо камінь, падаючи без початкової швидкості досягне її дна за 4с.
2. Тіло падає без початкової швидкості. Яка його швидкість після 2с падіння?
3. Тіло впало з висоти 20м. Визначте час падіння тіла.
4. 4. За який час тіло, що падає без початкової швидкості, пролетить шлях 10м?
5. Тіло падає з початковою швидкістю 5м/с, якою буде ця швидкість через 1с падіння?
6. Камінь кинули вертикально вниз з початковою швидкістю 5м/с. З якої висоти кинули камінь якщо він падає 2с?
7. Тіло падає без початкової швидкості з висоти 45м. Визначте середню швидкість падіння тіла.

.

§ 18. Розв’язування задач. Тема: Вільне падіння тіла.

Нагадаємо, вільним падінням називають такий рух тіла, який відбувається під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу інших зовнішніх сил, зокрема сили опору повітря. На всій траєкторії вільного падіння, в незалежності від швидкості та напрямку руху тіла, воно рухається з постійним, направленим вертикально вниз прискоренням, яке називається прискоренням вільного падіння (прискоренням сили тяжіння), яке позначається літерою g і величина якого 9,8м/с² (при наближених розрахунках g=10м/с²). В загальному випадку, для того поступального руху який називається вільним падінням, рівняння руху х=х₀+v₀t+(a/2)t² набуває вигляду h=h₀+v₀t+(g/2)t².

Задача 1. Тіло кинули вертикально вгору з швидкістю 20м/с. На якій висоті буде тіло через: а) 1с; б) 2с; в) 3с; г) 4с польоту?

Дано :

v₀ = 20 м/с

t₁=1c; t₂=2c

t₃=2c; t₄=4c

h₁=?; h₂=?

h₃=?; h₄=?

Рішення. Виконуємо малюнок, задаємо систему координат та записуємо відповідне рівняння руху тіла, тобто формулу яка має вигляд h=h₀+v₀t+(g/2)t². А оскільки в умовах нашої задачі h₀=0м; g=10м/с², то рівняння руху набуває вигляду: h = v₀t – (g/2)t², або h=20t–5t².

Розрахунки:

для t₁=1c:   h₁=20(1) – 5(1)² = 20 – 5 = 15м;

для t₂=2c:   h₂=20(2) – 5(2)² = 40 – 20 = 20м;

для t₃=3c:   h₃=20(3) – 5(3)² = 60 – 45 = 15м;

для t₄=2c:   h₄=20(4) – 5(4)² = 80 – 80 = 0м;

Відповідь: h₁=15м;  h₂=20м; h₃=15м;  h₄=0м.

         Задача 2. На яку максимальну висоту підніметься тіло. Якщо його кинули вертикально вгору з швидкістю 20м/с?

Дано :

v₀ = 20 м/с

h_max = ?

Рішення. Виконуємо малюнок, задаємо систему координат та записуємо відповідне рівняння руху тіла, тобто формулу яка має вигляд h=h₀+v₀t+(g/2)t².

А оскільки в умовах даної задачі h₀=0м; g=10м/с², то рівняння руху набуває вигляду: h = v₀t – (g/2)t², або h=20t–5t². Із аналізу рівняння руху ясно, що для визначення максимальної висоти підйому тіла (h=h_max) необхідно визначити час цього підйому t=t_max.

Оскільки на максимальній висоті, тобто в момент часу t=t_max, швидкість тіла дорівнює нулю, та зважаючи на те, що величина цієї швидкості визначається за формулою v=v₀–gt,  можна записати: v₀–gt_max=0. Звідси,  t_max = v₀/g = 20(м/с)/10(м/с²) = 2с.

Розрахунки: h_max=20t_max – 5t_max² = 20(м/с)2с – 5(м/с²)(2с)² = 40м – 20м =20м.

Відповідь:  h_max=20м.

Задача 3. З якою швидкістю тіло кинули вертикально вгору, якщо воно повернулося через дві секунди?

Дано :

t_пол = 2с

v₀ = ?

Рішення. Виконуємо малюнок, задаємо систему координат  та записуємо відповідне рівняння руху тіла, тобто формулу яка має вигляд h=h₀+v₀t+(g/2)t². А оскільки в умовах даної задачі h₀=0м; g=10м/с², то рівняння руху набуває вигляду: h = v₀t – (g/2)t². Виходячи з того, що 2с, це час польоту тіла, тобто той час за який тіло вилетівши з рівня h=0 знову повертається на рівень h=0, можна записати v₀t – (g/2)t² = 0, звідси v₀t = (g/2)t², звідси v₀ = gt/2.

Розрахунки: v₀ = gt/2 = 10(м/с²)2с/2 = 10м/с.

Відповідь: v₀ = 10м/с.

Задача 4. Тіло, що знаходиться на висоті 10м кинули горизонтально з швидкістю 20 м/с. Визначити горизонтальну дальність польоту тіла.

Загальні зауваження.  Рух тіла кинутого горизонтально є криволінійним, причому таким, який завжди можна розкласти на дві складові: горизонтальну та вертикальну. А це означає, що такий криволінійний рух описується системою двох рівнянь:

– рівняння руху по горизонталі;

– рівняння руху по вертикалі.

При цьому кожне з цих рівнянь є похідним від загального рівняння руху х=х₀+v₀t+(a/2)t².

Дано:

h₀ = 10 м

v₀ = 20 м/с

ℓ = ?

Рішення. Виконуємо малюнок який відображає наявну ситуацію та задаємо відповідну систему координат. Криволінійний рух даного тіла по суті є результатом двох незалежних рухів: рівномірного горизонтального та рівноприскореного вертикального. Зважаючи на ці обставини, задаємо систему координат і записуємо рівняння кожного окремого руху, тобто формулу яка має вигляд х=х₀+v₀t+(a/2)t².

– горизонтальний рух: оскільки х=ℓ; х₀=ℓ₀=0м; a=0м/с², то  ℓ=v₀t

– вертикальний рух: оскільки х=h; х₀=h₀; v₀=0м/с; a=g=10м/с², то  h=h₀ – gt²/2.

Таким чином даний рух описують два рівняння:

1) ℓ = v₀t, або ℓ=20t;

2) h = h₀ – gt²/2, або h=10 – 5t².

Із аналізу рівнянь ясно, що для того щоб визначити дальність польоту тіла (ℓ=20t), необхідно визначити тривалість цього польоту (t=t_пол). А оскільки в момент падіння тіла, h=0, то 10 – 5(t_пол)²= 0, звідси (t_пол)²=(10/5)=2с², звідси t_пол=√2=1,4с.

Розрахунки: ℓ=20t_пол= 20(м/с)1,4с= 28м.

Відповідь: ℓ=28м.

Задача 5. Тіло, що знаходиться на висоті 15м кинули горизонтально з швидкістю 20 м/с. Визначите координати цього тіла через 1с польоту.

Дано:

h₀ = 15 м

v₀ = 20 м/с

t₁ = 1c

ℓ₁=? h₁=?

Рішення.  Задаємо систему координат і записуємо рівняння кожного окремого руху, тобто формулу яка має вигляд х = х₀ + v₀t + (a/2)t².

– горизонтальний рух: ℓ = v₀t, або ℓ=20t;

– вертикальний рух: h = h₀ – gt²/2, або h=15 – 5t².

Якщо t₁ = 1c, то  ℓ₁=20t₁=20(м/с)1с=20м; h₁=15 – 5t₁².= 15м – 5(м/с²)(1с)² = 10м.

Відповідь: Через одну секунду вільного польоту тіло буде в точці з координатою ℓ₁=20м;  h₁=10м.

Контрольні запитання.

1. Як з плином часу змінюється модуль швидкості тіла, кинутого вертикально вгору?
2. Чому дорівнює швидкість тіла, кинутого вертикально вгору, у найвищій точці його підйому?
3. Чому дорівнює прискорення тіла, кинутого вертикально вгору, у найвищій точці його підйому?
4. По якій траєкторії рухається тіло, кинуте горизонтально?
5. З яким прискоренням рухається тіло, кинуте горизонтально?
6. Чи залежить час польоту тіла, кинутого горизонтально, від величини його початкової швидкості?

                   Вправа 18.

1. Тіло кинули вертикально вгору з швидкістю 15м/с. На якій висоті буде це тіло через 1с польоту? Через 2с польоту?
2. Тіло кинули вертикально вгору з швидкістю 15м/с. Якою буде швидкість цього тіла через 1с польоту? Через 2с польоту?
3. 3. Тіло кинули вертикально вгору з швидкістю 15м/с. Визначити максимальну висоту підйому тіла.
4. Стрілу випустили з лука вертикально вгору. При цьому, вона впала на землю через 6с. Якою була початкова швидкість стріли?
5. Тіло, що знаходиться на висоті 10м кинули горизонтально з швидкістю 15м/с. Визначити горизонтальну дальність польоту тіла.
6. Тіло, що знаходиться на висоті 20м кинули горизонтально з швидкістю 10м/с. Визначите координати цього тіла через 1,5с польоту.
7. З вікна кинуто м’яч у горизонтальному напрямку з швидкістю 12м/с. Він упав на землю через 2с. З якої висоти було кинуто м’яч і на якій відстані від будинку він упав.

.

§ 19. Рух матеріальної точки по колу. Доцентрове прискорення.

Довільний поступальний рух матеріальної точки (тіла) можна представити як певну сукупність прямолінійних та криволінійних ділянок. Наприклад, в процесі руху дорогами міста, траєкторія руху автомобіля зазвичай представляє собою певну сукупність прямолінійних та криволінійних ділянок (мал.37а).

В загальному випадку, криволінійна траєкторія руху матеріальної точки може бути надзвичайно складною. Однак будь яку криволінійну траєкторію, можна представити як певну сукупність фрагментів кіл (мал.37б). А це означає, що знаючи закономірності руху матеріальної точки по колу, можна описати будь який криволінійний рух.

Мал.37. Довільний рух матеріальної точки, представляє собою певну сукупність прямолінійних та криволінійних ділянок. При цьому, будь який криволінійний рух, можна представити як певну сукупність фрагментів кіл.

Характерною особливістю руху матеріальної точки по колу є те, що в незалежності від швидкості руху, ця точка завжди рухається з певним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком. Дійсно, припустимо що матеріальна точка з певною незмінною за величиною (модулем) швидкістю (|v₁| = |v₂| = … = const), рухається по колу радіусу R (мал.38а). Не важко бачити, що в процесі такого руху, напрям швидкості постійно змінюється(v₁ ≠ v₂ ≠… ≠ const). А це означає, що відповідна точка рухається з певним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком. Це прискорення називають доцентровим (позн. а_д). Така назва обумовлена фактом того, що в будь якій точці траєкторії, доцентрове прискорення направлено до центру того кола яке описує відповідна точка (мал.38б).

v₁ = v₂  = const

v₁ ≠ v₂  ≠ const

Мал.38. В процесі руху матеріальної точки по колу, напрям її швидкості постійно змінюється і тому вона рухається з відповідним прискоренням.

Виходячи з визначального рівняння прискорення (а=∆v/∆t), можна довести, що величина доцентрового прискорення визначається за формулою а_д =v²/R, де v – швидкість тіла в даній точці траєкторії; R – радіус кривизни цієї траєкторії.

Доцентрове прискорення – це таке прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке дорівнює відношенню квадрату швидкості руху тіла (матеріальної точки) до радіусу кривизни його траєкторії у відповідній точці.

Позначається: а_д

Визначальне рівняння: а_д=v²/R

Одиниця вимірювання: [а_д]= м/с²,  метр за секунду в квадраті.

Таким чином, якщо тіло рухається по колу, то в незалежності від того змінюється модуль його швидкості, чи не змінюється, це тіло має певне доцентрове прискорення, величина якого визначається за формулою  а_д=v²/R, і яке завжди направлено до центру відповідного кола.

Не важко збагнути, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення неминуче дорівнює нулю. І це природньо. Адже на таких ділянках, напрям швидкості залишається незмінним і тому прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком має бути нульовим. Те, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення дорівнює нулю, випливає не лише з визначення цього прискорення, а й з його визначального рівняння. Дійсно. Будь-яку прямолінійну ділянку траєкторії, можна вважати частиною кола з безкінечно великим радіусом (R = ∞). А це означає, що для таких ділянок a_д=v²/R=v²/∞= 0.

Рух по колу є надзвичайно поширеним як в природі загалом так і в штучно створеній техніці зокрема. По колу рухаються елементи коліс, шківів, валів та шестерень машин і механізмів. По колу рухаються точки секундних, хвилинних та годинникових стрілок годинників, лопатей вентиляторів, вітряків, турбін та корабельних двигунів. Практично по колу Місяць обертається навколо Землі, Земля – навколо Сонця, Сонце – навколо центру Галактики, а Галактика – навколо центру Метагалактики. Певною комбінації кіл рухаємся ми з вами в процесі обертання Землі навколо своєї осі, навколо Сонця, навколо центра Галактики та центра Метагалактики.

Мал. 39. Деякі приклади руху тіл та елементів тіл по колу.

Якщо в процесі руху по колу, модуль швидкості матеріальної точки залишається незмінним (v=const), то відповідний рух називають рівномірним рухом матеріальної точки по колу. Рівномірний рух матеріальної точки по колу характеризується не лише певною швидкістю (v) та певним доцентровим прискоренням (а_д), а й певною повторюваністю (періодичністю). Цю повторюваність характеризують двома величинами: періодом обертання (Т) та частотою обертання (ν). Наприклад, період обертання секундної стрілки годинника становить 60с, період обертання Землі навколо своєї осі – одна доба (Т=доба=86400с); період обертання Місяця навколо Землі – 27,3доби (Т=27,3доби=2,36·10⁶с); період обертання Землі навколо Сонця – один рік (Т=рік=3,2·10⁷с); період обертання Сонячної системи навколо центру Галактики – 240 мільйонів земних років.

Мал.40. Рівномірний рух по колу, характеризується не лише певною швидкістю (v) та певним доцентровим прискоренням (а_д), а й певною повторюваністю (періодичністю).

Період обертання (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) обертального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює один повний оберт.

Позначається: Т

Визначальне рівняння: Т = t/n, де n – кількість обертів системи здійснених за час t;

Одиниця вимірювання: [Т] = с,  секунда.

Наприклад, якщо матеріальна точка в процесі рівномірного руху по колу за 5с здійснила 10 обертів, то період її обертання 0,5с:  Т= t/n = 5с/10= 0,5с.

Частота обертання (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність обертального процесу і яка дорівнює тій кількості обертів системи, яку вона здійснює за одиницю часу.

Позначається: ν (ню)

Визначальне рівняння: ν = n/t

Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц,  герц.

Наприклад, якщо матеріальна точка в процесі рівномірного руху по колу за 5с здійснила 10 обертів, то частота її обертання 2Гц:  ν=n/t=10/5c=2(1/с)=2Гц.

Із визначальних рівнянь періоду і частоти (T=t/n; ν=n/t) з усією очевидністю випливає, що ці фізичні величини взаємопов’язані, і що цю взаємопов’язаність відображають співвідношення: T=1/ν; ν=1/T. Тому якщо, наприклад, за умовою задачі задано період обертання системи Т=4с, то ви завжди можете визначити частоту цього обертання ν=1/Т=1/4с=0,25Гц, і навпаки, якщо ν = 50Гц, то Т=1/50Гц=0,02с.

Вимірювання показують, що довжина тієї лінії яка називається колом (довжина кола), визначається за формулою ℓ=2πR, де R – радіус кола, π=3,14 постійна величина яка є однією з базових констант як фізики так і математики. Враховуючи даний факт, можна довести, що між періодом обертання Т, радіусом кола R та тією лінійною швидкістю v з якою матеріальна точка рухається по колу, існує співвідношення v=2πR/T. Дійсно. Оскільки за визначенням v=s/t, та враховуючи, що за час Т (за один повний оберт) матеріальна точка рухаючись по колу проходить шлях s=2πR, можна записати v=s/t=2πR/T.

Задача 1. Визначити період та частоту обертання хвилинної стрілки годинника.

Рішення. Оскільки хвилинна стрілка годинника робить повний оберт (n=1) за одну годину (t=1год=60хв=3600с), то період її обертання Т=t/n=3600c. При цьому частота цього обертання: ν=n/t=1/3600=0,0002(7)=2,(7)·10^–4Гц.

Задача 2. За 10с колесо автомобіля зовнішній радіус якого 25см, здійснює 100 обертів. Визначте період та частоту обертання колеса. Визначте  швидкість руху автомобіля.

Дано:

t = 10с

n = 100

R=25см = 0,25м

T=?  ν=?  v_авт = ?

Рішення. Оскільки за визначенням T=t/n; ν=n/t, то Т=10с/100=0,1с; ν=100/10с=10Гц. Оскільки v=s/t, та зважаючи, що за один оберт колеса (за t=Т), автомобіль переміщується на s=2πR, можна записати v_авт = s/t = 2πR/T = 2·3,14·0,25м/0,1с = 15,7м/c.

Відповідь: Т=0,1с; ν=10Гц; v_авт=15,7м/с.

Задача 3. Відомо, що радіус Землі 6370км, а період її обертання навколо власної осі 1 доба. Визначити швидкість обертання тих тіл які знаходяться на екваторі Землі.

Дано:

R = 6400км = 6,4·10⁶м

T = 1доба = 8,64·10⁴с

v = ?

Рішення. Оскільки за визначенням v=s/t,   та враховуючи, що за один повний оберт Землі (t=T), ті тіла які знаходяться на її екваторі проходять шлях s=2πR, можна записати v =s/t=2πR/T.

Розрахунки: v =2πR/T = 2·3,14·6,4·10⁶м/8,64·10⁴с = 465м/с = 1670км/год.

Відповідь: v = 1670км/год.

Контрольні запитання.

1. Чому матеріальна точка, яка з постійною за модулем швидкістю рухається по колу, рухається з прискоренням? Як називається це прискорення? Чому воно має таку назву?
2. Що характеризує доцентрове прискорення?
3. Доведіть, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення завжди дорівнює нулю.
4. Які величини характеризують повторюваність обертального руху? Як пов’язані ці величини?
5. Доведіть, що між періодом обертання Т, радіусом кола R та тією лінійною швидкістю v з якою матеріальна точка рухається по колу, існує співвідношення v=2πR/T.
6. Чому в процесі добового обертання Землі, лінійні швидкості різних за широтою точок її поверхні є різними? В яких місцях ця швидкість є найбільшою, а в яких – найменшою?

Вправа №19.

1. Автомобіль рухається заокругленням дороги радіус якого 100м, зі швидкістю 36км/год. Чому дорівнює доцентрове прискорення автомобіля?
2. Якого радіусу має бути заокруглення дороги, щоб при швидкості 72км/год доцентрове прискорення автомобіля становило 1м/с²?
3. За 20 секунд колесо автомобіля здійснює 40 обертів. Визначити період та частоту обертання колеса.
4. Визначити період і частоту обертання хвилинної та годинникової стрілок годинника.
5. Вал діаметром 20см при обертанні робить один оберт за 0,4с. Визначте лінійну швидкість точок на поверхні вала.
6. Частота обертання коліс автомобіля 15Гц. З якою швидкістю рухається автомобіль, якщо зовнішній радіус його коліс 30см?
7. З якою лінійною швидкістю (в км/с) Земля обертається навколо Сонця, якщо радіус земної орбіти 1,5∙10⁸км? Порівняйте цю швидкість зі швидкістю кулі 0,5км/с. Зробіть висновки.

.

§ 20. Коливання. Фізичний та математичний маятники.

В фізиці, процеси які так чи інакше повторюються називаються коливаннями. Коливається наприклад, збурена поверхня води та збурена землетрусом поверхня землі. В поривах вітру коливаються гілки дерев та листя на них. Під дією потягів та машин що рухаються, коливаються мости і дороги. Вібрують струни музичних інструментів та мембрани гучномовців. Коливальним чином рухаються маятники, стрілки та шестерні механічних годинників, поршні, клапани і колінчасті вали автомобільних двигунів. Періодично змінюються дні і ночі, пори року та їм відповідні життєві цикли рослин і тварин. Ритмічно б’ється серце і працюють легені вашого організму. Певним чином коливаються атоми, молекули і ті частинки з яких вони складаються. Звук який ви чуєте і світло яке бачите, це також результат певних коливальних процесів. Не буде перебільшенням сказати, що майже все що відбувається в Природі, так чи інакше пов’язано з тими чи іншими коливальними процесами.

         Однією з найпростіших коливальних систем є так званий фізичний маятник. Фізичний маятник, це механічна коливальна система, яка представляє собою тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо осі, що не проходить через центр маси тіла. Наприклад, якщо ви візьмете будь яке тверде тіло, скажімо лінійку, виделку, ножиці чи молоток і закріпите його так щоб воно могло вільно обертатись навколо осі яка не проходить через центр маси тіла, то отримаєте відповідний фізичний маятник. Загально відомим прикладом фізичного маятника є дитяча гойдалка. Однією з різновидностей фізичного маятника є так званий нитяний маятник, який представляє собою масивне тіло що висить на тонкій нитці (мотузці, дротині, тощо).

 

Мал.41. Приклади фізичних маятників.

Параметри коливального руху реального фізичного маятника, залежать від багатьох обставин: геометричних і вагових характеристик тіла, величини сили опору повітря, величини виникаючих в осі обертання тіла сили тертя, деформаційно-енергетичних втрат, тощо. Тому, при теоретичних дослідженнях, реальний фізичний маятник замінюють відповідною ідеалізованою моделлю, яка називається математичним маятником.

Математичний маятник, це ідеалізована модель фізичного маятника, яка представляє собою масивну матеріальну точку що висить на надтонкій, невагомій та нерозтяжній нитці і в процесі коливань якої відсутні будь які втрати енергії. Якщо нитка реального нитяного маятника достатньо тонка, міцна та легка, а прикріплене до неї тіло, достатньо масивне і таке що виготовлено з щільного матеріалу (залізо, мідь, свинець, тощо), то коливальні властивості цього реального маятника майже не відрізнятимуться від властивостей відповідного за довжиною математичного маятника.

По суті, основна відмінність фізичного маятника від відповідного математичного маятника полягає в тому, що вільні коливання реального фізичного маятника в тій чи іншій мірі згасаючі, а коливання математичного маятника – незгасаючі. Крім цього, нитяний маятник – це маятник реальний, а математичний маятник – це маятник віртуально-теоретичний.

а)    б) 

 

Мал.42. Коливання реального фізичного маятника є згасаючими, а коливання ідеального математичного маятника – незгасаючими.

Подібно до того як періодичність обертального руху характеризують періодом (T=t/n) та частотою (ν=n/t) обертання, періодичність всіх коливальних систем загалом і фізичного (математичного) маятника зокрема, характеризують періодом та частотою коливань.

Період коливань (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) коливального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює одне повне коливання.

Позначається: Т

Визначальне рівняння: Т = t/n, де n – кількість коливань системи здійснених за час t;

Одиниця вимірювання: [Т] = с,  секунда.

Наприклад, якщо нитяний маятник за 20 секунд здійснює 16 повних коливань, то період цих коливань 1,25с:  Т= t/n = 20с/16 = 1,25с.

Частота коливань (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність коливального процесу і яка дорівнює тій кількості коливань системи, яку вона здійснює за одиницю часу.

Позначається: ν

Визначальне рівняння: ν = n/t

Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц,  герц.

Наприклад, якщо за 20 секунд нитяний маятник здійснює 16 коливань, то частота цих коливань 0,8Гц:  ν = n/t = 16/20c = 0,8Гц.

По суті обертальний рух тіла (рух матеріальної точки по колу), є однією з різновидностей фізичних коливань – процесів, які так чи інакше повторюються. При цьому ті величини які ми називали періодом та частотою обертання, є частковими випадками більш загальних величин – періоду та частоти коливань.

Суттєва відмінність між обертальним рухом тіла та коливаннями фізичних, математичних, пружинних, крутильних та інших маятників, полягає лише в тому, що останні (маятники) характеризуються не лише періодом та частотою, а й амплітудою коливань.

Амплітуда коливань (амплітуда) – це фізична величина, яка характеризує максимальне за величиною (амплітудне) відхилення коливальної системи від нульового положення (положення рівноваги) і яка дорівнює цьому відхиленню. Позначається символом відповідної змінної величини з індексом «м»: х_м, v_м, І_м, U_м, тощо. Визначається як параметр конкретного коливального процесу. Вимірюється в одиницях відповідної фізичної величини: [x_м]=м; [v_м]=м/с; [I_м]=А; [U_м]=В і т.д.

Наприклад нитяний маятник здійснює механічні коливання, в процесі яких певним чином змінюється координата тієї матеріальної точки яка є тілом маятника. При цьому максимальне відхилення цієї точки від положення рівноваги (х_м) і є амплітудою коливань маятника.

     

Мал.43. Амплітуда коливань – це максимальне відхилення коливальної системи від нульового положення (положення рівноваги)

Можна довести, що період коливань математичного маятника визначається за формулою Т = 2π·√(ℓ/g) де ℓ – довжина маятника, g – прискорення сили тяжіння. Із аналізу формули Т = 2π·√(ℓ/g) видно, що період коливань математичного маятника не залежить ні від маси тіла, ні від кута його відхилення (амплітуди коливань). Цей період визначальним чином залежить лише від довжини маятника та прискорення сили тяжіння.

Потрібно зауважити, що періоди коливань реального фізичного маятника та відповідного за довжиною ідеального математичного маятника є однаковими і такими, що визначаються за формулою Т=2π√(ℓ/g). При цьому довжиною фізичного маятника (ℓ) називають відстань від осі обертання тіла фізичного маятника, до центру мас цього тіла.

Задача 1. Визначте та порівняйте періоди коливань математичного маятника довжиною 1м на Землі (g=9,8м/с²), на Місяці (g=1,6м/с²) та на Марсі (g=3,7м/с²).

Дано:

ℓ = 1м

g₁ =9,8м/с²

g₂=1,6м/с²

g₃=3,7м/с²

T₁=?  T₂=?  T₃=?

Рішення. Оскільки період коливань математичного маятника визначається за формулою Т=2π·√(ℓ/g), то:

Т₁=2·3,14·√(1м/9,8м/с²)=6,28·√(0,102с²)=2,0с;

Т₂=2·3,14·√(1м/1,6м/с²)=6,28·√(0,625с²)=5,0с;

Т₃=2·3,14·√(1м/3,7м/с²)=6,28·√(0,270с²)=3,3с.

Таким чином на Місяці і на Марсі періоди коливань математичного маятника більші аніж на Землі у відповідно: Т₂/Т₁=5,0/2,0=2,5рази; Т₃/Т₁=3,3/2,0=1,65рази.

Задача 2. Якої довжини має бути математичний маятник, щоб період його коливань дорівнював 10с?

Дано:

Т = 10с

g = 9,8м/с²

ℓ = ?

Рішення. Період коливань математичного маятника визначається за формулою Т=2π·√(ℓ/g). Оскільки невідома величина (ℓ) знаходиться під знаком кореня квадратного, то щоб позбутися цього кореня, потрібно праву і ліву частини рівняння піднести в квадрат: (Т)² = [2π·√(ℓ/g)]² = 4π²ℓ/g, звідси ℓ = T²g/4π².

Розрахунки: ℓ = T²g/4π² = (10с)²·9,8(м/с²)/4·3,14² = 25м.

Відповідь: ℓ = 25м.

Контрольні запитання.

1. Які процеси називаються коливальними? Наведіть приклади таких процесів.
2. Що називають фізичним маятником? Наведіть приклади таких маятників.
3. Що називають математичним маятником? Чи існують такі маятники в реальності?
4. Чим відрізняється фізичний маятник від маятника математичного?
5. Що називають амплітудою коливань?
6. Чому дорівнює довжина фізичного маятника?
7. Чи залежить період коливань нитяного (математичного) маятника від: маси тіла маятника; амплітуди коливань маятника; довжини маятника; параметрів гравітаційного поля Землі?

Вправа №20.

1. За хвилину маятник здійснює 20 коливань. Визначити період та частоту цих коливань.
2. Скільки коливань здійснює маятник за 3 хвилини, якщо частота його коливань 5Гц?
3. Частота коливань крил комара 600Гц, а період коливань крил джмеля 5мс. Яка з комах і на скільки більше зробить помахів крил за 1хв?
4. Визначити період і частоту коливань математичного маятника, якщо його довжина 2м, g=10м/с².
5. Період коливань математичного маятника 1с. Яка довжина цього маятника?
6. Якої довжини має бути математичний маятник щоб на Місяці частота його коливань дорівнювала 2Гц?

.

§ 21. Кінематика. Узагальнююче повторення.

Важливою складовою процесу вивчення фізики є узагальнюючі повторення. Мета такого повторення полягає в тому, щоб із всього різноманіття попередньо отриманої інформації, виділити основну і представити її у вигляді гранично стислої системи знань. Зазвичай узагальнення та систематизація вивченого в межах тієї чи іншої теми, відбувається за схемою: основні поняття – основні фізичні величини – основні закони – практичне застосування отриманих знань. Власне за такою схемою і будемо узагальнювати вивчене в кінематиці, статиці та динаміці.

Кінематика – це розділ механіки, в якому вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл, без врахування їх  мас і діючих на них сил. Іншими словами, в кінематиці вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл і не вивчають причини цього руху.

До числа основних понять кінематики, тобто тих загальних термінів які є термінологічною основою кінематики, відносяться: механічний рух, поступальний рух, обертальний рух, матеріальна точка, відносність руху, система відліку.

         Механічний рух – це такий рух (процес), при якому тіло як єдине ціле переміщується відносно інших тіл. Розрізняють дві прості різновидності механічного руху: рух поступальний та рух обертальний. Поступальний рух – це такий механічний рух, при якому будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі. При поступальному русі всі точки тіла рухаються однаково: мають однакові траєкторії руху, за однакові проміжки часу проходять однакові відстані, мають однакові швидкості, однакові прискорення, тощо. Зважаючи на ці обставини, описуючи поступальний рух тіла, це тіло зазвичай замінюють його спрощеною (ідеалізованою) моделлю, яку прийняти називати матеріальною точкою. Матеріальна точка, це така умовна точка, якою теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли розмірами, формою та внутрішнім устроєм цього тіла можна знехтувати. Матеріальна точка зберігає лише одну механічну характеристику реального тіла – його масу.

Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання тіла. При обертальному русі різновіддалені від осі обертання точки, рухаються суттєво по різному: мають різні траєкторії руху, різні пройдені шляхи, різні лінійні швидкості, різні прискорення, тощо. А це означає, що описуючи обертальний рух тіла, представляти це тіло у вигляді матеріальної точки неможна.

Будь який механічний рух є відносним. Це означає, що в різних системах відліку, один і той же механічний рух може виглядати по різному. Тому описуючи той чи інший рух, потрібно вказувати в якій системі відліку цей рух описується. Система відліку – це взаємопов’язана сукупність точки відліку, системи координат та вимірювача часу, яка застосовується для того, щоб кількісно описати механічний рух матеріальної точки (тіла) в цій системі.

Потрібно зауважити, що в межах навчальної програми для 7-го класу, фактично вивчають основи кінематики поступального руху (кінематики матеріальної точки). Навіть в тому випадку коли мова йде про рух тіла по колу, мається на увазі, що цей рух відбувається без обертання тіла навколо власної осі обертання. А це означає, що відповідний рух є поступальним. Крім цього, зважаючи на факт того, що будь який криволінійний рух можна представити як певну сукупність прямолінійних відрізків, в кінематиці поступального руху, по суті вивчають параметри та закономірності прямолінійного поступального руху.

До числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час, координата, пройдений шлях, швидкість, прискорення.

Час – це фізична величина,  яка характеризує  тривалість подій ( явищ, процесів, рухів, тощо) і яка дорівнює цій тривалості.

Позначається:  t

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:   [t] = с, (секунда)

Координата – це фізична величина, яка характеризує положення (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат і яка дорівнює відстані від  точки відліку цієї системи до проекції даної точки на відповідну вісь координат.

Позначається: х

Визначальне рівняння: х =ℓ_х

Одиниця вимірювання: [х] = м, (метр)

Пройдений  шлях – це фізична величина, яка характеризує пройдений матеріальною точкою (тілом) шлях і яка дорівнює довжині тієї траєкторії яку описує ця точка в процесі відповідного руху.

 Позначається: s

Визначальне  рівняння: s = ℓ_тр, для прямолінійного руху s =∆х = х_к – х₀

Одиниця вимірювання: [s] = м.

Швидкість – це фізична величина, яка характеризує швидкість поступального руху тіла (матеріальної точки), і яка дорівнює відношенню вектора того переміщення Δх яке здійснило тіло за гранично малий проміжок часу Δt, до величини цього проміжку часу.

Позначається: v

Визначальне рівняння: v=∆x/∆t, для прямолінійного руху v=∆x/∆t

Одиниця вимірювання: [v] = м/с,  (метр за секунду).

Прискорення – це фізична величина, яка характеризує зміну швидкості руху тіла, і яка дорівнює відношенню тієї зміни швидкості Δv, що відбулася за проміжок часу Δt, до величини цього проміжку часу.

Позначається: а

Визначальне рівняння: а=∆v/∆t

Одиниця вимірювання: [a] = м/с²,  (метр за секунду в квадраті).

Оскільки швидкість, величина векторна, то вона може змінюватись як за величиною, так і за напрямком. Тому розрізняють дві різновидності прискорення:

1) Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за величиною і яке визначається за формулою а=∆v/∆t, або а=(v_к–v₀)/t.

2) Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке визначається за формулою а_д=v²/R. Це прискорення називають доцентровим.

Зазвичай терміном «прискорення» позначають те прискорення яке характеризує зміну швидкості за величиною, і яке визначається за формулою а=(v_к–v₀)/t. Це прискорення завжди направлено вздовж лінії швидкості руху тіла. При цьому, якщо величина швидкості зростає (v↑), то вектори швидкості та прискорення співнаправлені, а якщо швидкість зменшується (v↓) – то ці напрямки протинаправлені. Що ж стосується доцентрового прискорення, то воно виникає тільки при криволінійному русі тіла (при русі по колу) і завжди направлено до центру того кола яке опитує матеріальна точка в процесі свого руху.

Основний закон кінематики поступального руху називається рівнянням руху. Рівняння руху – це закон, в якому стверджується: в загальному випадку, прямолінійний рух матеріальної точки можна описати рівнянням:

х = х₀ + v₀t + (а/2)t², де

х – координата матеріальної точки в момент часу t,

х₀  – початкова координата точки, тобто її координата в момент часу t=0

v₀ – початкова швидкість матеріальної точки

а – прискорення матеріальної точки.

Не буде перебільшенням сказати, що на основі аналізу заданого рівняння руху та базових фізичних величин кінематики (s=Δx; v=Δx/Δt; a=Δv/Δt) можна розв’язати практично будь яку задачу яка стосується кінематики відповідного руху.

Важливою різновидністю поступального руху є вільне падіння тіла. Вільним падінням називають такий рух тіла, який відбувається під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу інших зовнішніх сил, зокрема сили опору повітря. Вільне падіння тіла відбувається з певним, направленим вертикально вниз прискоренням, яке називається прискоренням вільного падіння (прискоренням сили тяжіння) і позначається літерою g. На Землі, усереднена величина прискорення вільного падіння g=9,8м/с².

Як і будь-який рівноприскорений рух, вільне падіння тіла можна описати рівнянням виду х=х₀+v₀t+(a/2)t². Відмінність лише в тому, що говорячи про вільне падіння матеріальної точки, її вертикальну координату (висоту) зазвичай позначають літерою h, а прискорення – літерою g. Іншими словами, рух вільно падаючого тіла можна описати формулою h=h₀+v₀t+(g/2)t².

Ілюструючи закономірності того руху який називається вільним падінням тіла, а заодно ілюструючи практичну значимість того закону який називається рівнянням руху, розв’яжемо конкретну задачу.

Задача. Тіло, що знаходиться на висоті 20м кинули горизонтально з швидкістю 15 м/с. Визначити горизонтальну дальність польоту тіла.

Дано:

h₀ = 20 м

v₀ = 15 м/с

ℓ = ?

Рішення. Виконуємо малюнок який відображає наявну ситуацію та задаємо відповідну систему координат. Криволінійний рух даного тіла по суті є результатом двох незалежних рухів: рівномірного горизонтального та рівноприскореного вертикального. Зважаючи на ці обставини, задаємо систему координат і записуємо рівняння кожного окремого руху, тобто формулу яка має вигляд х=х₀+v₀t+(a/2)t².

– горизонтальний рух: оскільки х=ℓ; х₀=ℓ₀=0м; a=0м/с², то  ℓ=v₀t

– вертикальний рух: оскільки х=h; х₀=h₀; v₀=0м/с; a=g=10м/с², то  h=h₀ – gt²/2.

Таким чином даний рух описують два рівняння:

1) ℓ = v₀t, або ℓ = 15t;

2) h = h₀ – gt²/2, або h = 20 – 5t².

Із аналізу рівнянь ясно, що для того щоб визначити дальність польоту тіла (ℓ=15t), необхідно визначити тривалість цього польоту (t=t_пол). А оскільки в момент падіння тіла, h=0, то 20 – 5(t_пол)² = 0, звідси (t_пол)² = (20/5) = 4с², звідси t_пол = √(4с²) = 2с.

Розрахунки: ℓ = 15t_пол = 15(м/с)2с = 30м.

Відповідь: ℓ = 30м.

Узагальнюючі відомості про основні поняття, величини та закони кінематики поступального руху, можна представити у вигляді наступної таблиці.

Основні поняття	Основні фізичні величини	Основні закони
Механіка Кінематика Механічний рух Поступальний рух Матеріальна точка Відносність руху Система відліку Траєкторія	час                         t                (с) координата            x=ℓх         (м) пройдений шлях  s=∆x         (м) швидкість             v=∆x/∆t    (м/с) прискорення:      a=∆v/∆t    (м/с2) звичайне             a=∆v/∆t    (м/с2) доцентрове         aд=v2/R     (м/с2)	Рівняння руху x = x0 + v0t + (a/2)t2

Вправа 21.

1. За заданим рівнянням руху х = –100 + 10t – 0,2t²:

1) дати загальну характеристику руху тіла;

2) визначити пройдений тілом шлях за 10с;

3) записати рівняння швидкості руху тіла;

4) визначити де і коли тіло зупиниться.

2. З пунктів 1 і 2 відстань між якими 6км, одночасно і в одному напрямку вийшли мотоцикліст та велосипедист з швидкостями відповідно 20м/с та 36км/год. Визначити де і коли вони зустрінуться.
3. За заданим графіком руху матеріальної точки (мал. а) визначити її швидкість на кожній ділянці шляху та записати відповідне рівняння руху.
4. За заданим графіком швидкості (мал. б), визначити прискорення тіла на кожній ділянці та записати рівняння пройденого шляху на цій ділянці. Визначити цей шлях.

а) б)

5. Тіло вільно падає з висоти 20м. Визначити час падіння тіла, швидкість в момент падіння та середню швидкість падіння.
6. Стрілу випустили вертикально вгору з швидкістю 90км/год. Визначити максимальну висоту підйому стріли. Через який час стріла впаде на землю?
7. За 12с колесо автомобіля зовнішній радіус якого 30см, здійснює 160 обертів. Визначте період та частоту обертання колеса. Визначте швидкість руху автомобіля.
8. Визначте та порівняйте періоди коливань математичного маятника довжиною 75см на Землі (g=9,8м/с²), на Місяці (g=1,6м/с²) та на Марсі (g=3,7м/с²).

.