Тема 1.3

  ДИНАМІКА 

 

 

Тема 1.3. Динаміка.

§32. Загальні відомості про масу.                                                                  173

§33. Принцип відносності – базовий закон сучасної науки.                   177

§34. Закони Ньютона – теоретична основа механіки.                             181

§35. Про фізичні закони та про те як математично

правильно їх записувати                                                                                 187

§36. Імпульс. Закон збереження імпульсу. Реактивний рух.                  191

§37. Розв’язування задач. Тема: Закон збереження імпульсу.               196

§38. Енергія. Механічна енергія. Закон збереження енергії.                 201

§39. Розв’язування задач. Тема: Імпульсно-енергетичний

метод розв’язування задач динаміки.                                                          209

§40. Робота. Механічна робота.                                                                     214

§41. Потужність. Коефіцієнт корисної дії.                                                    219

§42. Розв’язування задач. Тема: Коефіцієнт корисної дії.                        221

§43* Момент інерції – міра інерціальних властивостей

тіла при його обертальному русі.                                                                  225

§44*. Кінетична енергія тіла що обертається.                                            233

§45*. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу.             238

§46*. Закони Ньютона в механіці обертального руху.                             244

 

Тема 1.3   Динаміка.

         Динаміка – це розділ механіки, в якому вивчають параметри, закономірності та причини стану динамічної рівноваги тіла. Динамічною рівновагою тіла називають такий механічний стан тіла, при якому воно, під дією зовнішніх сил та сили інерції, знаходиться в стані рівноприскореного руху (а=соnst).

Динаміка, це узагальнюючий розділ механіки, в якому ті знання які були отримані при вивченні кінематики та статики, доповнюються новими знаннями і узагальнюються. До числа основних фізичних величин динаміки, а точніше динаміки матеріальної точки, відносяться: маса (m), імпульс (р), енергія (Е), робота (А), потужність (Р) та коефіцієнт корисної дії (η). До числа основних законів динаміки і механіки загалом, відносяться: принцип відносності, перший, другий та третій закони Ньютона, закон збереження енергії та закон збереження імпульсу.

 

§32. Загальні відомості про масу.

 

         В фізиці нема більш ємкої, більш складної та більш суперечливої  величини аніж маса. На перший погляд, пояснити що характеризує фізична величина яка називається масою, не важко. Якщо ви візьмете кулю великої і малої маси, то неодмінно з’ясуєте, що більш масивна куля сильніше притягується до Землі. Пояснюючи даний факт ви напевно скажете, що велика куля має більшу масу і що тому вона сильніше притягується до Землі. Відповівши таким чином, ви будете  праві. Адже маса дійсно характеризує здатність тіла притягуватись до Землі, або в більш загальному сенсі – здатність тіла до гравітаційних взаємодій.

Гравітація  (від лат. gravitas – тяжіння), це універсальна властивість тіла (а точніше, того фізичного об’єкту що має масу), яка полягає в здатності цього тіла до тих взаємодій які описуються законом всесвітнього тяжіння. Кількісною мірою гравітаційних властивостей тіла є його маса. А об’єктивним відображенням того факту, що маса є мірою гравітаційних властивостей тіла, є закон всесвітнього тяжіння (Fгр=Gm1m2/ℓ2) та визначальне рівняння сили тяжіння (Fт=mg).

Висновок 1. Маса є мірою гравітаційних властивостей тіла.

.                     

Мал.62. Маса – міра гравітаційних властивостей тіла (Fгр=Gm1m2/r2; Fт=mg).

Тепер розглянемо ті ж кулі в інших обставинах. Припустимо, що кулі великої і малої маси рухаються з однаковими швидкостями. Якщо вас запитають: “Яку кулю зупинити важче?”, то напевно ви скажете що велику, і що це пов’язано з величиною її маси. Відповівши таким чином ви будете абсолютно праві. Адже здатність тіла протидіяти будь якій зміні його швидкості, дійсно напряму залежить від маси цього тіла.

Якщо тіло важко зупинити, важко зрушити з місця і взагалі, важко примусити змінювати свою швидкість, то про таке тіло говорять, що воно має велику інерцію. При цьому мають на увазі, що тіло важко зрушити з місця не тому що воно занурене в пісок чи прибите гвіздками до підлоги, а тому що воно саме по собі має певну інерцію, кількісною мірою якої є маса тіла.

Інерція, це універсальна властивість тіла (а точніше, того фізичного об’єкту що має масу), яка полягає в тому, що відповідне тіло протидіє будь якій зміні його швидкості. Кількісною мірою інерційних властивостей тіла є його маса. А об’єктивним відображенням цього факту, є другий закон Ньютона (a=F/m) та визначальне рівняння сили інерції (Fi = – ma).

Висновок 2. Маса є мірою інерціальних властивостей тіла.

.                      

Мал.63. Маса – міра інерціальних властивостей тіла (Fi = – ma).

По суті, інерція і гравітація, це абсолютно різні властивості фізичного об’єкту. Однак дослідження показують, що та маса яка характеризує гравітаційні властивості тіла (гравітаційна маса mгр) і та маса яка характеризує його інерціальні властивості (інерціальна маса mі), за будь яких обставин є чисельно рівними величинами (mгр = mі). І це не теоретичний домисел, а експериментальний факт.

Потрібно зауважити, коли ми стверджуємо, що інерція і гравітація це абсолютно різні властивості фізичного об’єкту, то маємо на увазі факт того, що ці властивості абсолютно не схожі одна на одну. Однак не будемо забувати, що всі ці фізичні об’єкти і всі ці властивості, є складовими частинами єдиного цілого, назва якому Природа. А Природа влаштована таким чином, що в ній навіть ті речі які здаються абсолютно різними, насправді виявляються такими що є різними проявами одного і того ж. І в цьому сенсі гравітація та інерція не є винятком.

Втім, про той зв’язок який існує між гравітацією та інерцією ми поговоримо в тому розділі фізики який називається теорією відносності. Наразі ж зауважимо, що в загальній теорії відносності доводиться: гравітація та інерція – це різні прояви одного і того ж, при цьому гравітаційна та інерціальна маси є еквівалентними. Зауважимо також, що в теорії відносності доводиться: маса є загальною мірою того, що називають енергією.

Коли Альберт Ейнштейн створив теорію відносності, то одним з її найважливіших висновків було твердження про те, що будь яке тіло масою m представляє собою згусток енергії, кількість якої визначається за формулою Е=mс2, де с=3∙108м/с – постійна величина яка дорівнює швидкості світла в вакуумі. По суті це означало, що масу можна вважати мірою кількості енергії і що цю кількість можна вимірювати не лише в джоулях а й в кілограмах.

Зроблений Ейнштейном висновок отримав своє експериментальне підтвердження і сьогодні його справедливість не викликає жодних сумнівів. Енергія Сонця і зірок, енергія ядерних та термоядерних вибухів, енергія атомних електростанцій, – це прямий результат перетворення певної кількості маси у відповідну кількість енергії. І це перетворення відбувається у повній відповідності з формулою Ейнштейна  Е=mс2.

Висновок 3.  Маса є мірою енергетичних властивостей тіла.

.                         

Мал.64. Маса – міра енергетичних властивостей тіла (Е=mс2).

Про те, що маса є кількісною мірою інерціальних, гравітаційних та енергетичних властивостей фізичних об’єктів, написано практично в кожному довіднику з фізики. Однак, щоб вам не говорили про масу, а кожен з вас знає, маса – це міра кількості речовини в тілі. Адже коли в крамниці ви цікавитесь масою (в побутовій практиці – вагою) товару, то вам нема діла до його інерціальних, гравітаційних чи загально енергетичних властивостей. Вас цікавить кількість певної речовини у відповідному товарі, і ви знаєте, чим більша маса товару, тим більше в ньому відповідної речовини.

Маса є мірою кількості речовини не лише в побуті, а й в науці. Втім, питання про масу, як міру кількості речовини, настільки важливе та складне, що потребує окремої розмови. І така розмова відбудеться в тому розділі, який називається “Молекулярна фізика”  і в тому параграфі який називається “Маса, як міра кількості речовини”. Наразі ж просто констатуємо той факт, що маса є універсальною мірою кількості речовини в тілі, і що це випливає з самого визначення терміну “речовина”. Речовина – це вид матерії, який складається з тих чи інших частинок і має масу спокою.

Висновок 4.  Маса є загальною мірою кількості речовини в тілі, виміряну в кілограмах.

.                    

Мал.65. Маса – міра кількості речовини в тілі.

Таким чином: Маса – це фізична величина яка є мірою :

-інерціальних властивостей тіла;

-гравітаційних властивостей тіла;

-енергетичних властивостей тіла;

-кількості речовини в тілі, виміряну в кілограмах.

Позначається:  m

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [m]= кг,    кілограм.

Кілограм – це одиниця вимірювання маси, яка в точності дорівнює масі Міжнародного еталону кілограма. Один кілограм приблизно дорівнює масі одного літра (1дм3) дистильованої води, взятої при температурі 15°С.

.                                 міра інерції

Маса (кг)                міра гравітації

.                                 міра енергії

.                                 міра кількості речовини

Мал.66  Маса – це міра чотирьох фундаментальних властивостей Природи.

В фізиці існує багато сотень фізичних величин. При цьому практично кожна з них певним чином характеризує одну з властивостей того, що називають Природою. Навіть такі багатогранні та багатоликі величини як сила та енергія, по суті характеризують щось одне: сила – є мірою взаємодії фізичних об’єктів; енергія – є мірою здатності фізичного об’єкту виконати роботу, тобто певну енергозатратну дію. І в цьому сенсі маса є унікальною. Адже вона характеризує не одну, не дві і не три, а цілих чотири, при цьому фундаментальних властивості Природи. По суті, терміном “маса” позначають чотири різні фізичні величини:

-інерційна маса mі

-гравітаційна маса mгр

-енергетична маса mен

-маса як міра кількості речовини mк.р..

І потрібно зауважити, що в різних розділах фізики термін “маса” може мати різні значення. Наприклад, в механіці, маса – міра інерціальних властивостей тіла, в теорії гравітації – міра гравітаційних властивостей тіла, в молекулярній фізиці – міра кількості речовини в тілі, а в фізиці елементарних частинок – міра енергетичних властивостей цих частинок.

Факт того, що такі на перший погляд абсолютно різні параметри навколишнього світу як інерція, гравітація, енергія та речовина, характеризуються однією і тією ж фізичною величиною та вимірюються в одних і тих же одиницях, безумовно вказує на те, що Природа – це єдиний цілісний організм, в якому все взаємопов’язано та взаємообумовлено.

Завершуючи розмову про масу, сформулюємо те визначення цієї величини, що є загально прийнятим в механіці.

         Маса (в механіці) – це фізична величина, яка є мірою інерціальних властивостей тіла.

Позначається:  m

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [m]=кг .

 

Словник фізичних термінів.

Маса – це фізична величина яка є мірою :

1) інерціальних властивостей тіла;

2) гравітаційних властивостей тіла;

3) енергетичних властивостей тіла;

4) кількості речовини в тілі, виміряну в кілограмах.

Позначається:  m

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [m]= кг,  кілограм.

Гравітація, це універсальна властивість тіла (а точніше, того фізичного об’єкту що має масу), яка полягає в здатності цього тіла до тих взаємодій які описуються законом всесвітнього тяжіння. Кількісною мірою гравітаційних властивостей тіла є його маса. А об’єктивним відображенням того факту, що маса є мірою гравітаційних властивостей тіла, є закон всесвітнього тяжіння (Fгр=Gm1m2/ℓ2) та визначальне рівняння сили тяжіння (Fт=mg).

Інерція, це універсальна властивість тіла (а точніше, того фізичного об’єкту що має масу), яка полягає в тому, що відповідне тіло протидіє будь якій зміні його швидкості. Кількісною мірою інерційних властивостей тіла є його маса. А об’єктивним відображенням цього факту, є другий закон Ньютона (a=F/m) та визначальне рівняння сили інерції ( Fi = – ma).

Маса (в механіці) – це фізична величина, яка є мірою інерціальних властивостей тіла.

Позначається:  m

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [m]=кг .

Контрольні запитання.

1.Поясніть суть тверджень: а) маса – міра інерції; б) маса – міра гравітації; в) маса – міра енергії; г) маса – міра кількості речовини.

2.Які закони та визначальні рівняння вказують на те, що маса є мірою

а) інерції; б) гравітації; в) енергії?

3.Чому маса не має визначального рівняння?

4.Мірою чого є маса: а) в механіці; б) в побуті?

5.Чи залежала величина еталонного кілограма від величини еталонного метра?

 

§33. Принцип відносності – базовий закон сучасної науки.

 

В 1630 році, в своїх знаменитих “Діалогах про дві системи світу – Птоломеєву та Копернікову” Галілео Галілей сформулював закон, який лежить в основі сучасної науки і який сьогодні називають принципом відносності або принципом Галілея.

Як відомо, заперечуючи факт обертання Землі навколо Сонця, прибічники середньовічної церкви стверджували: “Якби Земля дійсно рухалась, то ми б фізично відчували цей рух. Відчували б подібно до того, як відчуваємо рух карети, човна чи будь чого іншого”. Відповідаючи на подібні аргументи, Галілей стверджував: “Дійсно, сидячи в кареті, ми безумовно відчуваємо, рухається вона чи не рухається. Відчуваємо тому, що карета їде не по ідеально рівній дорозі, її колеса не ідеально круглі, тягові зусилля коней постійно змінюються, дорога вкрита дрібними камінчиками, ямками, тріщинками, тощо. А це означає, що сидячи в кареті, ми постійно відчуваємо певні поштовхи, тобто різкі, короткотривалі зміни швидкості, які власне і вказують на те, що карета рухається. А от якби мене, вас чи кого завгодно посадити в закриту, ізольовану карету, яка б дійсно рухалась рівномірно, тобто без будь яких змін швидкості, то ні ви, ні я, ні хто завгодно, не змогли б визначити, рухається карета чи стоїть.

Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.

Мал.67. Ніякими експериментами які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна (v=0), чи рівномірно рухається (v=const).

Звичайно, в умовах повсякденного життя, ми практично ніколи не опиняємся в ситуаціях коли не можемо визначити рухається та «кабіна» в якій ми знаходимось, чи не рухається. Не опиняємося по перше тому, що реальні «кабіни» (автомобілі, літаки, човни, велосипеди, тощо), практично ніколи не рухаються ідеально рівномірно (без жодних поштовхів та вібрацій). А по друге, реальні кабіни не є ідеально ізольованими від навколишнього світу та тих процесів, що спричиняють їх рух. Тому в процесі цього руху, ми так чи інакше бачимо, чуємо та відчуваємо певні ознаки того, що наша «кабіна» рухається.

Втім, якщо вам потрібні докази того, що принцип відносності є безумовно правильним (достовірним), то ось один з них. Кожен з нас знаходиться в «кабіні» яка називається планета Земля. Ця «кабіна» з швидкістю 30км/с=108000км/год обертається навколо Сонця. При цьому, жоден з нас не відчуває того, що Земля мчить з такою шаленою швидкістю. Швидкістю, яка в 60 разів більша за швидкість кулі. І даний факт не є результатом певних особливостей людського організму. Адже в незалежності від наших відчуттів, всі фізичні процеси на Землі відбуваються так, ніби вона знаходиться в стані механічного спокою.

Мал.68. Земля з швидкістю 30км/с обертається навколо Сонця. Чи відчуваєте ви факт цього надшвидкого руху?

Щоправда, Земля рухається не зовсім рівномірно. Адже в процесі обертання навколо Сонця та своєї осі, напрям руху Землі, а отже і тіл на її поверхні постійно змінюється. А це означає, що факт обертального руху Землі можна експериментально зафіксувати, наприклад за допомогою спеціального маятника. А от якби Земля дійсно рухалась прямолінійно та рівномірно, то з якою б швидкістю вона не рухалась, ви б не змогли встановити, рухається вона чи не рухається.

Іноді думають, що в законі, який називається принципом відносності, стверджується що все в цьому світі відносне. Це не правда. Не правда по-перше тому, що не все у Всесвіті відносне. Скажімо, наскільки нам відомо,  абсолютно незмінними є ті співвідношення які називаються законами Природи і які відображають ті зв’язки що існують між об’єктами та явищами Всесвіту. В інерціальних системах відліку абсолютно незмінною є швидкість світлових фотонів. Абсолютно незмінною залишається загальна кількість зосередженого у Всесвіті електричного заряду, мас-енергії, спіну, тощо. По-друге, в законі який називається принципом відносності стверджується те що стверджується, а саме: Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.

Переоцінити значимість відкритого Галілеєм принципу відносності практично не можливо. Дійсно. Якби в кожній рухомій системі відліку, події відбувались по різному, то описуючи ці події, ми були б змушені досліджувати кожну конкретну ситуацію. І кожну конкретну ситуацію описувати своєю системою законів. При цьому, для кожної системи відліку ми б мали своє рівняння руху, свою умову рівноваги, свої закони Ньютона, свій закон всесвітнього тяжіння, свій закон Гука, свій закон Ома, свій закон електромагнітної індукції і т.д. Ясно, що в такій ситуації, наука про Природу представляла б собою сукупність безкінечно великої кількості експериментальних фактів. Фактів, які б описувались в мільйонах книжок і які було б не можливо представити у вигляді стислої, цілісної системи знань. І якщо така система знань існує, то це тільки тому, що в нерухомій (v=0) та в будь якій рівномірно рухомій (v=const) системах відліку всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності).

Значимість принципу відносності полягає не лише в тому, що він дозволяє створити стислу та цілісну систему знань про Природу, а й в тому, що дозволяє обгрунтовано розповсюдити ці знання на увесь Всесвіт. Дійсно. Чи задумувались ви над тим, чому вчені з такою впевненістю говорять про ті події, які відбуваються в практично недосяжних частинах Всесвіту? Чому вони впевнені в тому, що ті закони які відкривались на Землі, діють і в інших куточках Всесвіту. А можливо там, в інших галактиках, все відбувається по іншому? Можливо там, діють інші закони, існують інші атоми, інші молекули, інші біологічні структури? Хто був в тих далеких світах та перевіряв це?

Відповіді на ці та їм подібні запитання дає принцип відносності. Адже в ньому по суті стверджується: У всіх інерціальних системах відліку, тобто таких системах де виконується закон інерції (перший закон Ньютона) всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково. А це означає, що для з’ясування того, діють чи не діють в певному місці Всесвіту відкриті на Землі закони, фізики, хімії чи будь якої іншої природничої науки, зовсім не обов’язково вирушати в далеку космічну подорож. Достатньо з’ясувати, виконується чи не виконується у відповідному місці перший закон Ньютона (закон інерції). І якщо цей закон виконується, то це автоматично означає що у відповідному куточку Всесвіту всі інші відомі закони Природи гарантовано та безумовно виконуються.

І от ми вдивляємось в безмежні простори Всесвіту, аналізуємо ті події які відбуваються в ньому і бачимо, що у всіх його куточках, всі об’єкти рухаються у повній відповідності з законом інерції. А це означає, що у всіх частинах нашого Всесвіту діють одні і ті ж закони. І що ці закони співпадають з тими що діють на Землі. Не вірити цьому факту, це все рівно ніби не вірити тому, що Земля обертається навколо Сонця та своєї осі. Не вірити лише на тій підставі, що ми не відчуваємо відповідного руху.

.                      

Мал.69. Відкриті на Землі закони Природи діють і в інших частинах Всесвіту.

Таким чином, коли ми стверджуємо, що принцип відносності є базовим законом сучасної науки, то маємо на увазі факт того, що по-перше, застосування цього принципу дозволяє представити відому інформацію про Природу у вигляді стислої та цілісної системи знань. А по-друге, обгрунтовано довести, що відкриті на Землі закони Природи діють і в інших частинах Всесвіту.

 

Словник фізичних термінів.

         Принцип відносності (перше формулювання) – це закон, в якому стверджується: Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.

Принцип відносності (друге формулювання) – це закон в якому стверджується: У всіх інерціальних системах відліку, тобто таких системах де виконується перший закон Ньютона (закон інерції) всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково.

Інерціальна система відліку – це така система відліку в якій виконується перший закон Ньютона (закон інерції).

Контрольні запитання.

1.Що стверджували ті, хто заперечував факт обертання Землі навколо Сонця?

2.Чому, сидячи в реальній закритій кабіні (кареті, автомобілі, потязі, тощо) ми практично завжди можемо визначити рухається ця кабіна чи не рухається?

3.Чи відчуваєте ви, що Земля рухається? Чому?

4.Чи зустрічались в вашому житті ситуації, колив ви не відчували того що рухаєтесь? Опишіть їх.

5.Чи є правильним твердження: все у Всесвіті відносне?

6.Яка роль принципу відносності в створенні цілісної системи знань про Природу?

7.Чому ми впевнені в тому, що відкриті на Землі закони діють і в інших місцях Всесвіту?

 

§34. Закони Ньютона – теоретична основа механіки.

 

В попередньому параграфі ми говорили про те, що теоретичним фундаментом механіки та всієї сучасної науки загалом є принцип відносності. Однак сам по собі цей принцип ще не є тим законом який пояснює широке коло явищ та дозволяє розв’язувати відповідно широке коло конкретних задач. Цю функцію виконує наукова теорія, тобто цілісна система достовірних знань про певну групу споріднених явищ.

В 1687 році видатний англійський фізик Ісаак Ньютон (1643-1727) опублікував свої знамениті “Математичні начала натуральної філософії”, в яких виклав основи першої наукової теорії сучасного зразку. Теорії, яку прийнято називати механікою або ньютонівською механікою. В основі цієї теорії лежать три твердження, які називаються законами Ньютона. Сформулюємо ці твердження та проаналізуємо їх.

         Перший закон Ньютона (закон інерції). Будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан.

На перший погляд, даний закон не має суттєвого практичного значення. Його навіть важко записати у вигляді відповідної формули. Однак, насправді, мова йде про надзвичайно важливий, по суті базовий закон не лише механіки, а й всієї сучасної науки. Адже в рамках першого закону Ньютона стисло сформульовано два фундаментальні закони: принцип відносності та закон інерції.

         Дійсно. В першому законі Ньютона стверджується: будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан. По суті це означає, що з фізичної точки зору, стан спокою (v=0) і стан прямолінійного рівномірного руху (v=const), це один і той же механічний стан системи (“цей стан”). Один і той же в тому сенсі, що всі фізичні процеси які відбуваються в кабіні що стоїть і  в кабіні що рівномірно рухається відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності). Іншими словами: v=0   =   v=const,

де знак “ = “ вказує на те, що ті фізичні процеси які відбуваються в кабіні яка стоїть і в кабіні яка рівномірно рухається, відбуваються “однаково”.

         З іншого боку, в тому ж першому законі Ньютона  стверджується: безпричинних змін швидкості руху тіла не буває, а цією причиною є дія зовнішньої сили (закон інерції). Наприклад, якщо планети Сонячної системи обертається навколо Сонця, тобто рухається таким чином, що напрям їх швидкості постійно змінюється, то у відповідності з першим законом Ньютона така зміна не може бути безпричинною. І як натепер загально відомо, цією причиною є сила гравітаційної взаємодії між планетами та Сонцем.

Мал. 70. Безпричинних змін швидкості руху тіла не буває, а цією причиною є дія зовнішньої сили (закон інерції).

Таким чином, в першому законі Ньютона, опосередковано сформульовано два твердження: принцип відносності та закон інерції.

 

.                                                    Принцип відносності

Перший закон Ньютона

.                                                    Закон інерції

В науці ті системи відліку в яких виконується перший закон Ньютона називаються інерціальними. Визначальною властивістю інерціальних систем відліку є факт того, що в кожній з них всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності). А це означає, що в будь-якій інерціальній системі відліку виконується не лише перший закон Ньютона, а й всі інші відомі закони Природи. Власне цей факт і визначає виняткову практичну значимість першого закону Ньютона. Адже для того щоб з’ясувати виконуються чи не виконується в тому чи іншому місці Всесвіту відкриті на Землі закони фізики, хімії, біології та інших природничих наук, нема потреби вирушати в далеку космічну подорож. Достатньо з’ясувати виконується чи не виконується у відповідному місці перший закон Ньютона. І якщо цей закон виконується то відповідно виконуються і всі інші закони Природи.

І от коли ми бачимо що у всіх найвіддаленіших куточках Всесвіту без-причинних подій не буває, коли ми бачимо, що у повній відповідності з першим законом Ньютона, будь-які зміни швидкості, будь якого космічного об’єкту мають певну силову причину, то робимо обґрунтований висновок про те, що у  всіх куточках Всесвіту діють ті ж закони що і на Землі.

Другий закон Ньютона. Під дією зовнішньої сили F, тіло масою m отримує прискорення   а,    величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі, тобто  →  a = F/m.

Не важко бачити, що другий закон Ньютона, є логічним продовженням першого. Адже крім всього іншого, в першому законі Ньютона стверджується, що причиною зміни швидкості руху тіла, а по суті причиною прискореного руху тіла, є дія зовнішньої сили, тобто стверджується, що сила є причиною прискореного руху тіла: F a. В другому ж законі Ньютона, це твердження формулюється в явному вигляді та конкретизується: сила є причиною прискореного руху тіла, при цьому величина прискорення залежить як від величини діючої сили, так і від маси тіла: F a = F/m.

Мал.71. Під тією сили F, тіло масою m отримує прискорення а, при цьому а=F/m.

Потрібно зауважити, що другий закон Ньютона часто (а в наших підручниках, майже завжди) формулюють так: сила що діє на тіло, дорівнює добутку маси тіла на його прискорення, тобто  F = ma. Як би то нам не подобалось, а таке формулювання не є другим законом Ньютона. Формула F = ma  є визначальним рівнянням сили, яке в свою чергу є прямим наслідком другого закону Ньютона. Нагадаємо:

Сила – це фізична величина яка є мірою силової взаємодії тіл (фізичних об’єктів) і яка дорівнює добутку маси тіла на величину того прискорення яке воно отримує під дією відповідної сили

Позначається: F

Визначальне рівняння: F = ma

Одиниця вимірювання: [F] = кг·м/с2 = Н,   (ньютон).

Втім, про те як правильно формулюються та математично записуються фізичні закони загалом і другий закон Ньютона зокрема, ми детально поговоримо в наступному параграфі, який так і називається “Про фізичні закони та про те, як математично правильно їх записувати”. Наразі ж просто зауважимо, що фізичний закон є стислим відображенням того причинно-наслідкового зв’язку, що існує між певними проявами Природи. Це означає, що відображаючи той зв’язок який існує між певними проявами Природи, потрібно вказувати на те, що в даному зв’язку є причиною (незалежною величиною), а що наслідком (залежною величиною). Наприклад, другий закон Ньютона наголошує на тому, що причиною прискореного руху тіла є діюча  на нього зовнішня сила і що саме прискорення тіла залежить від діючої на нього зовнішньої сили, а не навпаки. А це означає, що другий закон Ньютона потрібно записувати у вигляді а =F/m (коректніше F a = F/m),  а не у вигляді F = ma, чи m = F/a.

Третій закон Ньютона. Діюча на тіло сила F, завжди породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу F′, тобто  F → F′ = – F. Наприклад (мал.72), якщо тіло з певною силою діє на опору, то опора з такою ж силою діє на тіло. Якщо нога футболіста діє на м’яч, то м’яч з такою ж силою діє на ногу футболіста. Якщо Місяць притягується до Землі, то Земля з такою ж силою притягується до Місяця.

 

Мал.72. Діюча F та протидіюча сили, завжди рівні за величиною, протилежні за напрямком і прикладені до різних тіл.

Говорячи про діючу та протидіючу сили, потрібно зауважити, що ці сили завжди чисельно рівні, однак результат їх дії може бути абсолютно різним. Наприклад, підняте над Землею тіло з певною силою F притягується до Землі, а Земля з такою ж силою F′ притягується до тіла. Однак, якщо для відносно легкого тіла сила F є значною, то для надважкої Землі така ж сила F′ є мізерно малою. Тому в системі Земля – тіло, тіло падає на Землю, а не Земля “підстрибує” до тіла.

Потрібно наголосити ще й на тому, що діюча та протидіюча сили, завжди прикладені до різних тіл. А це означає, що ці сили не можуть забезпечити механічну рівновагу системи діюче-протидіюче тіло. М’яч, в результаті взаємодії з ногою футболіста з певним прискоренням відлітає від ноги. Тіло, в результаті взаємодії з Землею з певним прискоренням падає на підлогу і т.д. І якщо тіло що лежить на столі (мал.73), знаходиться в стані механічної рівноваги, то це не тому що діюча і протидіюча сили зрівноважують одна одну. Адже в системі тіло-опора, на тіло фактично діє лише одна з цих сил – реакція опори (N). Рівновага тіла забезпечується не зрівноваженням діючої та протидіючої сил, а фактом того, що на тіло окрім реакції опори діє ще одна зовнішня сила – сила тяжіння(Fт). При цьому сила тяжіння, не є протидіючою реакції опори. Не є бодай тому, що реакція опори, це результат взаємодії тіла з поверхнею стола (опорою), а сила тяжіння, це результат взаємодії тіла з планетою Земля.

  

Мал.73. Механічна рівновага тіла та опори забезпечується не зрівноваженням діючої та протидіючої сил, а фактом того, що на кожен з цих об’єктів діють дві рівні за величиною і протилежні за напрямком сили.

Загалом, оперуючи тими силами які називаються силою тяжіння, реакцією опори, вагою тіла та силою пружності, потрібно керуватись не особистими уподобаннями, а загально прийнятими визначеннями. Ці ж визначення стверджують. Сила тяжіння (Fт), це та сила з якою тіло притягується до Землі. Реакція опори (N), це та сила з якою опора діє на тіло. Вага тіла (P), це та сила з якою тіло діє на опору. Сила пружності (Fпр), це та сила яка виникає в пружно деформованому тілі і яка протидіє цій деформації. Із визначень ясно, що в системі опора-тіло, на тіло діє сила тяжіння та реакція опори, а на опору – вага тіла та виникаюча в цій опорі сила пружності.

Аналізуючи закони Ньютона, не важко бачити, що це не просто набір правильних тверджень, а струнка система взаємопов’язаних та взаємодоповнюючих законів. Законів, які у своїй сукупності дозволяють пояснити величезне різноманіття механічних явищ. Законів, в яких при ґрунтовному аналізі можна відшукати не лише формулювання принципу відносності та закону інерції, а й приховані формулювання інших законів, зокрема закону збереження механічної енергії та закону збереження імпульсу. Взаємопов’язаність та взаємодоповнюваність законів Ньютона з усією очевидністю випливає з їх наступних математичних формулювань:

.  а)   v=0   =   v=const,

.   б)     F a

.         Fa = F/m

.       FF = F

 

Словник фізичних термінів.

Перший закон Ньютона (закон інерції) – це закон, в якому стверджується: Будь-яке тіло, буде знаходитись в стані механічного спокою

(v = 0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v = const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан.

Другий закон Ньютона – це закон, в якому стверджується: Під дією зовнішньої сили F, тіло масою  m отримує прискорення  а ,  величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі, тобто:   F    a = F/m .

Третій закон Ньютона – це закон, в якому стверджується: Діюча на тіло сила F, завжди породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу F′, тобто:  F → F′ = – F .

Контрольні запитання.

1.Яким чином в першому законі Ньютона стисло сформульовано принцип відносності?

2.В чому суть закону інерції?

3.Чому ми говоримо, що другий закон Ньютона є логічним продовженням першого?

4.Чи можуть діюча та протидіюча сили забезпечити механічну рівновагу тіла? Чому?

5.Двоє хлопців тягнуть мотузку в протилежні сторони з силою 150Н кожний. Чи розірветься мотузка, якщо вона витримує навантаження 200Н?

6.Барон Мюнхгаузен стверджував, що витяг себе з болота за волосся. Чи можливо це? Чому?

Вправа 22.

1.Сила 40Н надає тілу прискорення 0,8м/с2. Яка сила надасть цьому ж тілу прискорення 2,0м/с2 ?

2.Снаряд масою 5кг при пострілі набуває швидкості 800м/с. Визначити середню силу тиску порохових зарядів, якщо довжина дула гармати 2м. Рух снаряду вважати рівноприскореним.

3.М’яч масою 400г в процесі удару який триває 0,02с набуває швидкості 15м/с. Яка середня сила удару?

4.Тіло масою 400г рухаючись прямолінійно та маючи деяку початкову швидкість, за 5с під дією сили 6Н набуло швидкості 10м/с. визначити початкову швидкість тіла.

5.На мотузці що витримує натяг 100Н з стану спокою, вертикально вгору піднімають вантаж масою 6кг. На яку максимальну висоту можна підняти цей вантаж за 2с? Рух вантажу є рівноприскореним.

6.З висоти 25м тіло падає протягом 2,5с. Яку частину від сили тяжіння складає середня сила опору повітря?

 

§35. Про фізичні закони, та про те як математично правильно їх записувати.

 

Питання про те яке формулювання і яка математична формула є правильним відображенням фізичного закону, є надзвичайно важливим та актуальним. Щоб переконатися в цьому, достатньо подивитись на те різноманіття формул, якими описують другий закон Ньютона в сучасних підручниках з фізики: F=ma; F=ma; ma=F; a=F/m; F/m=a; Fp/Δt; Δр/Δt=F; mΔv=FΔt; FΔt=Δmv; F=mΔv/Δt; m(dv/dt)=F; F=m(dv/dt); mvʹ=F; F=mrʹʹ; FΔt=mΔv; ∑Fp/Δt, тощо.

Можна сперечатись відносно того, яка з вище наведених формул є більш чи менш вдалою, більш чи менш загальною, більш чи менш історично достовірною. Однак не можна не бачити тих проблем які випливають із подібного різноманіття.

Ясно, що намагаючись позбутися вище наведеного, абсолютно не обгрунтованого та шкідливого різноманіття формулювань, потрібно чітко визначити ті загальні критерії, керуючись якими можна обгрунтовано записати математичну формулу закону так, а не інакше. А таким критерієм може і має бути визначення того, що прийнято називати “законом”. Нагадаємо: Закон (фізичний закон) – це стисле відображення того реального, кількісного, загального, суттєвого, причинно-наслідкового зв’язку, який існує між певними проявами Природи (між об’єктами та явищами, між різними проявами одного і того ж явища, між різними параметрами одного і того ж об’єкту, тощо). Аналізуючи дане визначення можна сказати наступне.

1.Закон є відображенням того реального зв’язку який існує між певними проявами Природи. Це означає, що між об’єктами та явищами Природи існують певні зв’язки. Вони існують незалежно від того, що ми про них думаємо; незалежно від того подобається нам це чи не подобається; незалежно від того знаємо ми про ці зв’язки чи не знаємо, тобто – існують об’єктивно. Досліджуючи відповідні явища та об’єкти, людина з’ясовує суть тих зв’язків, які об’єктивно існують між ними і узагальнюючі результати цих досліджень формулює у вигляді відповідного закону. Скажімо, досліджуючи Природу, Ньютон з’ясував: під дією зовнішньої сили F тіло масою m отримує прискорення а, величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі, тобто а =F/m (другий закон Ньютона). Потрібно підкреслити, що вчені не придумують закони. Вони не можуть нав’язати Природі  правила поведінки. Вчені лише досліджують Природу і результати цих досліджень записують у вигляді відповідних законів.

2.Закон є відображенням того кількісного зв’язку, який існує між певними проявами Природи. Це означає, що фізичні закони формулюють на основі точних кількісних досліджень, які передбачають застосування точних вимірювальних приладів та проведення відповідних вимірювань. Результатом подібних досліджень є факт того, що фізичні закони не просто відображають ті зв’язки що існують між певними проявами Природи, а чітко регламентують ті кількісні співвідношення які характеризують ці зв’язки.

Наприклад, в другому законі Ньютона не просто говориться про те, що величина того прискорення яке отримує тіло під дією зовнішньої сили, залежить від цієї сили та маси тіла. В цьому законі стверджується: величина того прискорення а яке отримує тіло масою m під дією зовнішньої сили F, прямо пропорційна  величині діючої сили і обернено пропорційна масі тіла. Іншими словами, що між параметрами a, F, m, існує точне кількісне співвідношення  а = F/m.

3.Закон є відображенням того загального зв’язку який існує між певними проявами Природи. Це означає, що дія фізичного закону є загальною, тобто такою яка розповсюджується на всі без винятку об’єкти, параметри яких задовольняють вимогам відповідного закону. Наприклад, якщо в законі стверджується, що під дією зовнішньої сили F тіло масою m отримує прискорення а, величина якого визначається за формулою а=F/m, то це означає, що будь-який цілісний, обособлений об’єкт (тіло), будь-то атом, камінь чи планета під дією зовнішньої сили неминуче отримає відповідне прискорення.

Але потрібно мати на увазі, що практично всі відомі фізичні закони мають певні чітко визначені межі свої достовірності. Скажімо, дія другого закону Ньютона розповсюджується лише на ті об’єкти, які можна назвати цілісними, обособленими тілами і лише на ті сили, які можна назвати зовнішніми.

4.Закон є відображенням того суттєвого зв’язку який існує між певними проявами Природи. Це означає, що характеризуючи той зв’язок, який існує між певними проявами Природи, в законі відображають лише суттєво важливі аспекти цього зв’язку. Наприклад, величина того прискорення, яке отримує тіло під дією зовнішньої сили, суттєво залежить від маси тіла та величини діючої на нього сили. При цьому, ані природа діючої на тіло сили, ані параметри самого тіла, як то його розміри, хімічний склад, густина, колір, температура, електропровідність, тощо, не мають суттєвого значення.

5.Закон є відображенням того причинно-наслідкового зв’язку який існує між певними проявами Природи. А це означає, що в законі потрібно чітко вказати, що від чого залежить, що є причиною а що наслідком. Наприклад, формули m=F/a; F=ma; a=F/m – математично тотожні і абсолютно правильні. Але лише одна з них відповідає тим вимогам, які сформульовані в визначенні терміну “фізичний закон” і зокрема тій з них, яка вимагає відображення в законі причинно-наслідкових зв’язків. Що ж, давайте проаналізуємо кожну з вище наведених формул на предмет відображення в ній причинно-наслідкових зв’язків.

1).                                m=F/a

З математичної точки зору дана формула означає, що маса тіла залежить від діючої на нього сили та від того прискорення яке воно отримує в результаті цієї дії. Або, як прийнято говорити, маса – є функцією сили та прискорення: m=ƒ(F;a). Однак, маса тіла не залежить ні від діючої на нього сили, ні від того прискорення, яке воно отримує в результаті цієї дії. Масу, можна визначити по різному – як міру інерціальних властивостей тіла, чи як міру його гравітаційних властивостей, чи як міру кількості речовини в тілі. Але в будь якому випадку, маса є мірою певних властивостей даного тіла і вона ні від чого іншого не залежить, як тільки від параметрів самого тіла.

Таким чином, формула m=F/a не відображає тих причинно-наслідкових зв’язків які дійсно існують між масою, силою та прискоренням, і тому її не можна вважати математичним формулюванням закону Природи. Формула m=F/a є наслідком другого закону Ньютона і як цей наслідок її можна застосувати в якості визначального рівняння інерційної маси. І якби маса не була обрана в якості базової фізичної величини, то скоріш за все, визначальне рівняння маси ми б записали у вигляді m=F/a .

2).                                     F=ma

З математичної точки зору, дана формула означає, що діюча на тіло сила залежить від маси тіла та від того прискорення яке воно отримує в результаті дії цієї сили. Іншими словами, сила – є функцією маси та прискорення: F=ƒ(m;a). Але ж в загальному випадку, сила не залежить ні від маси, ні від прискорення. Сила залежить від її природи, або якщо хочете, від її походження. Скажімо, сила ваших м’язів залежить від незліченної кількості обставин: маси ваших м’язів, їх структури, тренованості, вашого віку, настрою, вологості повітря, атмосферного тиску та безлічі інших обставин. При цьому ваша м’язова сила менш за все залежить від маси того тіла, що лежить на вашому столі і від того прискорення, яке ця сила може надати відповідному тілу.

Ясно, що записати формулу, яка б дозволяла теоретично визначити величину вашої м’язової сили практично не можливо. Тому в науці визначальним рівнянням для сили будь якого походження є формула F=ma. І ця формула вказує на те, що для визначення величини будь якої сили, наприклад м’язової сили ваших рук, потрібно цю силу прикласти до тіла відомої маси і подивитись на те прискорення яке воно отримає під дією цієї сили. При цьому числове значення сили визначиться за формулою  F=ma.

Як це не прикро, але маємо визнати – в багатьох сучасних підручниках та навчальних посібниках другий закон Ньютона формулюють у вигляді: “сила що діє на тіло, дорівнює добутку маси тіла на його прискорення, тобто F=ma”. І потрібно з усією відвертістю сказати, що подібні формулювання ні за змістом, ні за суттю, ні за історичною достовірністю, не мають нічого спільного з тим видатним законом, який називається другим законом Ньютона.

3).                                           a=F/m

З математичної точки зору, дана формула означає, що прискорення тіла залежить від діючої на нього сили та від його маси, тобто а=ƒ(F;m). Таке математичне формулювання по-перше, абсолютно точно відображає ті причинно-наслідкові зв’язки що існують між масою силою та прискоренням і які полягають в тому, що саме прискорення тіла залежить від діючої на нього сили та його маси, а не навпаки. А по-друге, формула a=F/m правильно відображає фізичну суть другого закону Ньютона: “Під дією зовнішньої сили F тіло масою m отримує прискорення а, величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі”.

Таким чином, проведений аналіз говорить наступне. Якщо фізичний закон, це стисле відображення тих причинно-наслідкових зв’язків які реально існують між певними проявами Природи, то потрібно визнати, що серед математично тотожних формул m=F/a; F=ma; a=F/m, лише остання правильно відображає фізичну суть другого закону Ньютона. Втім, навіть цю формулу доречно записувати у вигляді: Fa=F/m. Адже фактично в другому законі Ньютона стверджується: діюча на тіло сила F надає цьому тілу певного прискорення а, величина якого прямо пропорційна діючій силі і обернено пропорційна масі тіла, тобто Fa=F/m.

 

Мал.74. Сила є причиною прискореного руху тіла: Fa=F/m.

Якщо ж говорити про історично автентичне формулювання другого закону механіки, тобто те авторське формулювання, яке було дано самим Ньютоном, то і на сьогоднішній день воно залишається найбільш загальним, точним та правильним. В ньому стверджується: “Зміна кількості руху тіла, пропорційна рушійній силі і відбувається в напрямку дії цієї сили” (І. Ньютон “Математичні начала натуральної філософії”, 1687р.). На мові сучасної науки це означає: Під дією імпульсу сили FΔt (“рушійна сила”), кількість руху тіла (його імпульс р=mv) змінюється на величину  наданого тілу імпульсу сили. Іншими словами:  FΔt = Δmv .

Аналізуючи ньютонівське формулювання закону, не важко бачити, що в ньому чітко вказано: причиною зміни кількості руху тіла (причино зміни імпульсу тіла Δp=Δmv) є діючий на це тіло імпульс сили (FΔt). Крім цього, в формулюванні FΔt=Δmv, другий закон Ньютона по суті належить до числа так званих законів збереження (закони збереження енергії, імпульсу, заряду, тощо). А в цих законах, причинно-наслідковий зв’язок виражається схемою: загальна кількість певної величини до події, дорівнює загальній кількості відповідної величини після події. І в цьому сенсі, формула FΔt=Δmv повністю відповідає критеріям правильного формулювання законів збереження. Адже ця формула по суті стверджує: наданий тілу імпульс сили FΔt нікуди не зникає, а перетворюється на відповідну кількість руху цього тіла Δmv .

Із вище сказаного ясно, що формулювання другого закону Ньютона у вигляді FΔt=Δmv, або для тіл незмінної маси FΔt=mΔv, є абсолютно правильним. Однак з того факту, що формула FΔt=mΔv є правильним математичним формулюванням закону Природи, зовсім не випливає, що похідна від неї формула F=mΔv/Δt=ma, також є правильним формулюванням відповідного закону. Адже, наприклад, з факту того що формула F=Gm1m2/ℓ2 є правильним відображенням закону всесвітнього тяжіння, зовсім не випливає, що похідна від неї формула ℓ=(Gm1m2/F)1/2 також є математично правильним відображенням цього закону. З факту того, що формула I=U/R є пральним математичним формулюванням закону Ома, зовсім не випливає що цей закон можна записати у вигляді U=IR чи R=U/I. З факту того, що формула σ=ɛE є правильним формулюванням закону Гука, зовсім не випливає що математично тотожні формули ɛ=σ/E та E=σ/ɛ також є правильними відображеннями відповідного закону.

Інша справа, що в науковій практиці часто буває так, що в різних контекстах, один і той же закон формулюється по різному, при цьому кожне з цих формулювань є абсолютно правильним. Наприклад, в §22 ми давали два формулювання закону Гука: ∆ℓ=F/k  та  σ=Eε. І кожне з них є правильним. Однак це зовсім не означає, що похідні від цих формулювань, математично правильні формули k=F/Δℓ; F=kΔℓ; ɛ=E/σ; E=σε, також є правильними відображеннями закону Гука.

Таким чином, якщо виходити з того, що фізичний закон, це стисле відображення тих причинно-наслідкових зв’язків які існують між певними проявами Природи, то маємо визнати, що:

-закон всесвітнього тяжіння потрібно записувати у вигляді F=Gm1m2/ℓ2, а не ℓ=(Gm1m2/F)1/2 чи m1=Fℓ2/Gm2;

-закон Ома потрібно записувати у вигляді I=U/R , а не U=IR чи R=U/I;

-закон Гука, потрібно записувати у вигляді Δ=F/k, або σ=ɛE , а не F=kΔ, k=F/Δℓ чи ɛ=σ/E;

-другий закон Ньютона, потрібно записувати у вигляді FΔt=Δmv, або a=F/m, а не m=F/a, F=ma, ma=F чи якось інакше.

І якщо з двох безумовно правильних формулювань другого закону Ньютона ми вибрали a=F/m, а точніше Fa=F/m, то це тільки тому, що в межах програми загальноосвітньої школи, таке формулювання є методично більш прийнятним.

Контрольні запитання.

1.Що означає твердження: закон є відображенням тих причинно-наслідкових зв’язків, що існують між певними проявами Природи?

2.Чому математично правильну формулу m=F/a , не можна вважати правильною формою запису другого закону Ньютона?

3.Чому математично правильну формулу F=ma, не можна вважати правильною формою запису другого закону Ньютона?

4.Чому математично правильну формулу ɛ=σ/F, не можна вважати правильною формою запису закону Гука?

5.Які формули є правильними формами запису другого закону Ньютона?

6.Які з наведених на початку параграфу формул, є правильними формами запису другого закону Ньютона, а які не правильними (не коректними)?

 

§36. Імпульс. Закон збереження імпульсу. Реактивний рух.

 

         В ньютонівській механіці, величина яка називається кількістю руху, або за сучасною термінологією – імпульсом (від лат. impulsus – удар, поштовх), є однією з найважливіших. Достатньо сказати, що в “Математичних началах натуральної філософії” першою визначеною величиною є кількість матерії (маса), а другою – кількість руху (імпульс).

         Імпульс (кількість руху) – це фізична величина, яка є мірою кількості механічного руху тіла (матеріальної точки) і яка дорівнює добутку маси тіла на вектор його швидкості.

Позначається:   р

Визначальне рівняння:  p=mv

Одиниця вимірювання: [p]=кг∙м/с,   кілограм-метр на секунду.

Із визначального рівняння р=mv ясно, що імпульс – величина векторна і що напрям вектора імпульсу співпадає з напрямком швидкості руху тіла.

На основі математичного аналізу другого та третього законів Ньютона можна довести: При будь яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість імпульсу цієї системи залишається незмінною тобто зберігається. Іншими словами:  ∑ рдо=∑ рпісля ,   або    ∑ р = соnst .

Вище сформульоване твердження називається законом збереження імпульсу.

Мал.75. Загальна кількість імпульсу системи до та після взаємодії зберігається.

Потрібно зауважити, що закон збереження імпульсу (як власне і всі інші закони збереження) справедливий лише для так званих замкнутих систем. Тобто таких систем в яких силові, імпульсні, енергетичні та інші взаємодії відбуваються лише з членами відповідної системи.

Крім цього, потрібно мати на увазі, що в процесі механічної взаємодії тіл, певна частина їх механічного імпульсу практично неминуче передається атомам та молекулам відповідних тіл, тобто фактично перетворюється на енергію їх теплового (хаотичного) руху. При цьому, не дивлячись на те, що загальна кількість імпульсу всіх елементів системи залишається незмінною, кількість механічного імпульсу системи змінюється (зменшується). Тому в межах механіки, закон збереження імпульсу (∑рдо = ∑рпісля) ми будемо застосовувати лише в тих випадках коли мова йде про короткотривалі взаємодії (удари, поштовхи, вибухи, тощо). Тобто такі взаємодії в процесі яких, тепловими втратами механічного імпульсу можна знехтувати.

Одним з практично важливих проявів закону збереження імпульсу є так званий реактивний рух. З’ясовуючи суть цього руху та його зв’язок з законом збереження імпульсу, розглянемо конкретну задачу.

Задача.  З корми початково не рухомого човна масою 100кг, на берег зістрибує підліток масою 50кг. Якої швидкості при цьому набуває човен, якщо горизонтальна складова швидкості стрибка підлітка 5м/с? Опором води знехтувати.

.                  

Дано:                                 Аналіз:

m1=100кг

m2=50кг                             Малюнок.

v1=v2=0м/с

v2ʹ=5м/с

v1ʹ= ?               Розглянемо імпульсні характеристики тіл системи човен- підліток, до і після події (стрибка підлітка). Виконуємо відповідний малюнок на якому задаємо лінійну систему координат. Оскільки згідно з законом збереження імпульсу  ∑рдо = ∑рпісля, то в умовах нашої задачі можна записати: (m1+m2)0= -m1v1+m2v2,  звідси  v1=m2v2/m1=2,5м/с.

Відповідь: v1= 2,5м/с.

Із аналізу задачі ясно, що коли з початково нерухомого човна в певному напрямку викидати камінці, весла чи що завгодно, то згідно з законом збереження імпульсу, човен з відповідною швидкістю буде рухатись в протилежному напрямку. Подібний рух тіл прийнято називати реактивним рухом. Реактивний рух – це такий механічний рух тіла, поява якого обумовлена відокремленням від цього тіла частини його маси (відштовхуванням цієї частини від базового тіла). Наприклад, рух гумової повітряної кульки (мал76б), обумовлений витіканням з неї струменю повітря, є реактивним. Рух гармати (мал.76а) обумовлений вильотом снаряду з неї, є реактивним. Рух човна (мал.76в), обумовлений викидуванням з нього весел, камінців, м’ячів чи чого завгодно, є реактивним.

 

Мал.76. Якщо рух тіла обумовлений тим, що певна частина його маси відокремлюється (відштовхується) від базового тіла, то цей рух є реактивним.

Найбільш відомими та практично значимими проявами реактивного руху є рух різноманітних реактивних снарядів, реактивних літаків та космічних ракет. Принципова суть цих рухів дуже проста: продукти згорання палива, через спеціальний отвір, який називається соплом, з максимально великою швидкістю та максимально досяжною направленістю, вилітають за межі базового тіла (снаряду, літака, ракети, тощо). При цьому, згідно з законом збереження імпульсу, відповідне тіло отримує певну кількість поступального руху.

Мал.77.  Реактивний рух – прямий наслідок закону збереження імпульсу.

Характерною та надзвичайно важливою особливістю реактивного руху є його автономність, яка полягає в тому, що цей рух не потребує силового контакту з навколишнім середовищем. Наприклад, людина рухається тому, що відштовхується від землі. Човен пливе тому, що так чи інакше відштовхується від води. Гвинтокрил (гелікоптер) летить тому, що певним чином відштовхується від повітряного середовища. Якщо ж говорити про реактивний рух, то він не є результатом того, що тіло так чи інакше відштовхується від інших зовнішніх тіл чи навколишнього середовища. Реактивний рух відбувається за рахунок відштовхування однієї частини початково єдиного тіла, від іншої його частини. А це означає, що реактивний рух може відбуватись не лише в тому чи іншому середовищі, а й в пустоті (вакуумі).

На завершення додамо, що в ньютонівській механіці, наряду з тією фізичною величиною яка називається імпульсом (кількістю руху), застосовується ще одна подібна величина, яка називається імпульсом сили.

Імпульс сили – це фізична величина, яка є мірою того силового поштовху який отримує тіло і яка дорівнює добутку вектора діючої на тіло сили на час її дії.

Позначається: FΔt

Визначальне рівняння:  FΔt=FΔt

Одиниця вимірювання:  [FΔt]=Н∙с,   ньютон-секунда.

Імпульс (кількість руху) та імпульс сили, це споріднені, взаємопов’язані величини, які з різних сторін характеризують частини єдиного цілого: імпульс (mv) – характеризує кількість руху тіла; імпульс сили (FΔt) – характеризує ту рушійну силу, яка призводить до появи цієї кількості руху. При цьому, дослідження показують, що імпульс та імпульс сили, це величини які в рівних кількостях перетворюються одна в одну. Факт цього взаємного перетворення з усією очевидністю відображає ньютонівське формулювання другого закону механіки: якщо тілу надати певний імпульс сили FΔt, то його кількість руху p=mv зміниться на величину наданого імпульсу сили, тобто  FΔt=Δmv   або   FΔt=Δp .

Та не дивлячись на всю схожість і кількісну тотожність імпульсу сили  FΔt та зміни кількості руху Δp=mΔv, мова йде про суттєво різні величини. Адже імпульс сили  FΔt характеризує силову дію на тіло, а зміна кількісті руху (зміна імпульсу) Δp=mΔv, характеризує кінематичні наслідки цієї дії. Втім, потрібно зауважити, що в сучасній науці, та величина яка називається імпульсом сили FΔt, має обмежене  застосування. Бо як би там не було, а імпульс сили певним чином дублює ту величину яку називають імпульсом (кількістю руху).

 

Словник фізичних термінів.

Імпульс (кількість руху) – це фізична величина, яка є мірою кількості механічного руху тіла (матеріальної точки) і яка дорівнює добутку маси тіла на вектор його швидкості.

Позначається:   р

Визначальне рівняння:  p=mv

Одиниця вимірювання: [p]=кг∙м/с,  кілограм-метр на секунду.

Імпульс сили – це фізична величина, яка є мірою того силового поштовху який отримує тіло і яка дорівнює добутку вектора діючої на тіло сили на час її дії.

Позначається: FΔt

Визначальне рівняння:  FΔt=FΔt

Одиниця вимірювання:  [FΔt]=Н∙с,   ньютон-секунда.

Закон збереження імпульсу – це закон, в якому стверджується: при будь яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість імпульсу цієї системи залишається незмінною тобто зберігається. Іншими словами:   ∑рдо=∑рпісля,   або    ∑р = соnst .

Замкнутою системою називають таку сукупність матеріальних об’єктів, в якій силові, імпульсні, енергетичні та інші взаємодії відбуваються лише між членами цієї сукупності.

Реактивний рух – це такий механічний рух тіла, поява якого обумовлена відокремленням від цього тіла частини його маси (відштовхуванням цієї частини від базового тіла).

Контрольні запитання.

1.Тіло рівномірно рухається по колу. Чи змінюється при цьому його імпульс?

2.Чим схожі і чим відрізняються імпульс сили та імпульс (кількість руху)?

3.Який зв’язок між імпульсом сили та імпульсом (кількістю руху)? Як називають цей зв’язок?

4.Який зв’язок між законом збереження імпульсу та реактивним рухом?

5.Теоретичним наслідком яких законів є закон збереження імпульсу?

6.В чому полягає автономність реактивного руху? Наведіть приклади корисної та шкідливої дії реактивного руху.

Вправа 23.

1.З якою швидкістю має летіти хокейна шайба масою 160г, щоб її імпульс дорівнював імпульсу кулі масою 8г при її польоті з швидкістю 600м/с?

2.Рух матеріальної точки масою 0,5кг описує рівняння x=100-10t+2t2 . Визначити імпульс цієї точки через 2с і через 5с від початку відліку часу.

3.Два тіла однакового об’єму, сталеве і свинцеве, рухаються з однаковими швидкостями. Імпульс якого тіла більший і у скільки разів?

4.Матеріальна точка масою m рухається по колу з швидкістю v. На скільки зміниться імпульс цієї точки за чверть періоду; половину періоду; період?

5.Снаряд масою 20кг, що летить з горизонтальною швидкістю 500м/с влучає в платформу з піском загальною масою 10т і застряє в піску. З якою швидкістю почне рухатись платформа?

6.Кулька масою 300г падає вертикально вниз, вдаряється об підлогу зі швидкістю 5м/с і підстрибує на висоту 46см. На скільки змінюється імпульс кульки в процесі удару?

 

§37. Розв’язування задач. Тема: Закон збереження імпульсу.

 

         В попередньому параграфі ми наголошували на тому, що в механіці закон збереження імпульсу застосовують в тих випадках, коли мова йде про короткотривалі взаємодії (поштовхи, удари, вибухи, тощо). Дане обмеження пояснюється фактом того, що в процесі відносно тривалих механічних взаємодій, значна частина імпульсу взаємодіючих тіл, передається їх атомам та перетворюється на енергію їх хаотичного руху (теплоту).

Розрізняють дві ідеалізовані різновидності короткотривалих взаємодій: абсолютно пружні та абсолютно не пружні удари. Абсолютно пружним ударом називають таку ідеалізовану, короткотривалу механічну взаємодію тіл, яка не супроводжується перетворенням механічної енергії в теплоту і після якої взаємодіючі тіла повністю відновлюючи свою попередню форму відокремлюються одне від одного. Абсолютно не пружним ударом називають таку короткотривалу механічну взаємодію тіл, яка не супроводжується перетворенням механічної енергії в теплоту і після якої взаємодіючі тіла не відновлюючи свою попередню форму рухаються як єдине ціле. Відразу ж зауважимо, що ударами можна вважати будь які короткотривалі взаємодії, наприклад постріли, вибухи, поштовхи, тощо. Навіть процес ходьби чи бігу можна вважати певною послідовністю ударних взаємодій.

Зазвичай при розв’язуванні задач на застосування закону збереження імпульсу, дотримуються наступного порядку:

1.В вибраній системі координат зображають вектори імпульсів всіх взаємодіючих тіл, до та після їх взаємодії.

2.На базі векторної картини імпульсів, записують відповідне рівняння закону збереження імпульсу: ∑рдо=∑рпісля. При цьому, якщо векторна картина імпульсів не лінійна, а плоска, то вектори імпульсів розкладають на відповідні проекції і записують систему двох рівнянь:

∑(рдо)х = ∑(рпісля)х

∑(рдо)у = ∑(рпісля)у

3.Математично розв’язуючи рівняння закону збереження імпульсу визначають невідомі величини.

Задача1. В платформу з піском що рухається зі швидкістю 2,0м/с влучає та застряє в піску снаряд який рухався назустріч платформі з швидкістю 400м/с. Визначте швидкість платформи після влучання снаряду. Маса платформи 10тон, а маса снаряду 10кг.

Дано:               СІ                     Аналіз

m1 = 10т       10000кг

m2 = 10кг          –                     Малюнок

v1 = 2,0м/с         –

v2 = 400м/с        –

u = ?                          У вибраній системі координат розглядаємо імпульсні характеристики складових системи платформа-снаряд, до та після взаємодії. Записуємо відповідне рівняння закону збереження імпульсу(∑рдо=∑рпісля):

m1v1 – m2v2 = (m1+m2)u. Звідси u = (m1v1 – m2v2)/(m1+m2).

Розрахунки: u = … = 1,6м/с

Відповідь: u = 1,6м/с.

Задача 2. Снаряд вилітає з гармати під кутом 60º до горизонту з початковою швидкістю 800м/с. Визначити початкову швидкість відкату гармати, якщо маса снаряду 10кг, а маса гармати 500кг.

Дано:                            Аналіз:

m=10кг

M=500кг                       Малюнок

u12=0м/с

v2=800м/с

α=60°

v1=?                 У вибраній системі координат, розглянемо імпульсні характеристики тіл системи гармата-снаряд до та після пострілу. Оскільки за умовою задачі нас цікавить швидкість відкату гармати, тобто горизонтальна складова швидкості гармати (v1), то для її визначення закон, збереження імпульсу достатньо записати в проекціях на вісь 0х:

(M+m)u12 = -mv2x+Mv1   де   u12=0м/с ;    v2x=v2cosα.

Звідси        v1 = mv2 cosα/M

Розрахунки:  v1 = … = 8м/с

Відповідь: v1 =8м/с.

Задача 3. Людина масою 60кг переходить з носової частини на кормову частину початково нерухомого човна, проходячи при цьому відстань 3м. На яку відстань переміститься човен, якщо його маса 120кг. Опором води знехтувати.

.            

Дано:                                Аналіз:

m1=60кг

m2=120кг                        Малюнок

v12=0м/с

ℓ=3м

Δℓ= ?       У вибраній системі координат розглянемо імпульсні характеристики тіл системи човен-людина до та після початку руху.

Загальні зауваження. В черговий раз наголошуємо, що рішення практично будь якої задачі, в тій чи іншій мірі ідеалізоване. Адже якщо, наприклад, в умовах даної задачі ми почнемо врахувати всі ті обставини які так чи інакше впливають на рух реального човна в процесі реального переходу людини з носової частини човна на його кормову частину, то практично гарантовано не зможемо отримати будь яке рішення.

Напевно найголовнішим вмінням якому ви маєте навчитися в процесі розв’язування задач, є вміння виділяти в наявній ситуації головне, суттєве, визначальне і абстрагуватись від не головного, не суттєвого, не визначального. Скажімо, в умовах даної задачі, потрібно абстрагуватись від нюансів того, яким чином людина переміщувалась з одного краю човна до іншого, скільки кроків вона зробила, з якою швидкістю рухалась, які перешкоди долала в процесі свого руху, тощо. Абстрагувавшись від цих обставин, ви по суті маєте уявити ситуацію при якій людина з певною швидкістю відштовхуючись від одного краю човна, “приземляється” на його протилежному краю. При цьому, в момент відштовхування, людина надає човну певної реактивної швидкості, а в момент “приземлення” – гасить цю швидкість до нуля. За час же умовного польоту людини (за час переходу людини від носової частини до кормової), човен встигає пропливти певну відстань, яку і потрібно визначити.

Рішення.

Будемо виходити з того, що в момент початку руху, людина відштовхуючись від човна і набуваючи швидкості v1, надає човну реактивної швидкості v2. Потім, певний час Δt, людина з постійною швидкістю v1 рухається вздовж човна і проходить відстань ℓ=v1Δt. При цьому човен, рухаючись з швидкістю v2 проходить відстань Δℓ=v2Δt.

Після того як людина проходить відстань ℓ=3м, вона зупиняється, тобто імпульсно взаємодіючи з човном, зменшує свою швидкість до нуля. При цьому, згідно з законом збереження імпульсу, швидкість човна також стає нулевою.

Із аналізу вище сказаного ясно, що за час Δt=ℓ/v1 човен проходить відстань Δℓ=v2Δt=v2ℓ/v1=ℓ(v2/v1).

Таким чином, рішення задачі зводиться до того, щоб визначити величину співвідношення v2/v1. З цією метою запишемо рівняння закону збереження імпульсу системи човен-людина для моментів до та після початку руху людини:

(m1+m2)∙0 = -m1v1 + (m1+m2)v2;  або   m1v1 = (m2+m1)v2;

звідси  v2/v1 = m1/(m2+m1).

Таким чином: Δℓ = ℓ(v2/v1) = ℓm1/(m1+m2).

Розрахунки:  Δℓ= 3м∙60кг/(60кг+120кг) = 1м.

Відповідь:  Δℓ=1м.

Задача 4. Сидячи у човні людина кидає камінь під кутом 45º до горизонту. Маса каменя 1кг, маса людини з човном150кг, початкова швидкість каменя 10м/с. Визначити відстань між точкою падіння каменя і човном, в момент падіння каменя у воду. Опором води та повітря знехтувати.

.           

Дано:                                   Аналіз

М = 150кг

m = 1кг                              Малюнок

v0 = 10м/с

α = 45º

u0 = 0м/с

L = ?                    Із аналізу ситуації ясно, що невідома відстань L має дві складові: ℓ1 – та відстань яку камінь за час свого польоту Δt пролетить вздовж осі 0х; ℓ2 – та відстань яку за той же час Δt пропливе човен: L = ℓ1+ℓ2. Ці відстані можна визначити за формулами: ℓ1=(v0cosα)Δt; ℓ2 =uΔt.

Таким чином, рішення задачі зводиться до того, щоб визначити час польоту каменя (Δt) та ту швидкість (u) яку набуває човен в момент кидання каменя.

Розв’язуючи другу частину задачі, запишемо рівняння закону збереження імпульсу (∑рдо=∑рпісля) в проекціях на вісь 0х:

(М + m)0 = – Мu + mv0cosα. Звідси випливає

u = mv0cosα/M = (1кг∙10м/с∙0,71)/150кг = 0,047м/с.

Час польоту каменя (Δt), визначаємо виходячи з того, що в момент падіння камінь буде знаходитись на відомій висоті h=0м. А це означає, що визначаючи час польоту каменя потрібно записати рівняння його руху відносно осі 0у. А це рівняння є наступним: h = (v0sinα)Δt – (g/2)Δt2 = 0. Звідси випливає (g/2)Δt2 = (v0sinα)Δt, або Δt = 2v0sinα/g =(2∙10м/с∙0,71)/10м/с2 = 1,42с.

Таким чином:

L = ℓ1+ℓ2 = (v0cosα)Δt + uΔt = 1,42с(10м/с∙0,71+0,047) = 10,15м.

Відповідь: L = 10,15м.

 

Словник фізичних термінів.

Абсолютно пружним ударом називають таку ідеалізовану, короткотривалу механічну взаємодію тіл, яка не супроводжується перетворенням механічної енергії в теплоту і після якої, взаємодіючі тіла повністю відновлюючи свою попередню форму відокремлюються одне від одного.

Абсолютно не пружним ударом називають таку короткотривалу механічну взаємодію тіл, яка не супроводжується перетворенням механічної енергії в теплоту і після якої, взаємодіючі тіла не відновлюючи свою попередню форму рухаються як єдине ціле.

Вправа 24.

1.З нерухомого човна загальна маса якого 155кг кидають на берег весло масою 5кг з горизонтальною швидкістю 10м/с. якої швидкості при цьому набуває човен?

2.Якої швидкості набуває ракета масою 600г, якщо гази масою 25г вилітають з неї зі швидкістю 600м/с?

3.Ядро, що летіло горизонтально зі швидкістю 50м/с, розірвалось на два осколки масами 5кг і 10кг. При цьому, менший осколок з швидкістю 200м/с продовжував летіти в попередньому напрямку. Визначити напрям та швидкість руху більшого осколку.

4.Мисливець стріляє з рушниці з рухомого човна у напрямку його руху. Яку швидкість мав човен, якщо він зупинився після трьох пострілів? Маса човна разом з мисливцем 150кг, маса заряду 20г, швидкість вильоту заряду 500м/с.

5.Людина масою 50кг переходить з носу на корму в човні довжиною 5м. Яка маса човна, якщо за час цього переходу човен перемістився в стоячій воді на 2м? Опором води знехтувати.

6.На кормі й на носі нерухомого човна на відстані 5м один від одного сидять рибалки. Маса човна 150кг, маси рибалок 90кг і 60кг. Рибалки міняються місцями. Наскільки переміститься при цьому човен? Опором води знехтувати.

 

§38. Енергія. Механічна енергія. Закон збереження енергії.

 

         Уявити сучасну науку без величини яку називають енергією (від грец. energeia – дія, діяльність) практично не можливо. Адже саме енергія є тією стержневою фізичною величиною яка об’єднує найрізноманітніші явища Природи в цілісну наукову картину. Сучасне розуміння суті того що називають енергією, це результат тривалого еволюційного розвитку науки, вінцем якого стала теорія відносності. Лише після створення цієї теорії, стало зрозумілим, що енергія є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій і що будь який фізичний об’єкт масою m, представляє собою згусток енергії загальна кількість якої визначається за формулою Е=mс2, де с=3∙108м/с=соnst.

Втім, відразу ж зауважимо, що глибинну суть твердження: “енергія – загальна міра всіх видів рухів та взаємодій”, ми будемо розкривати поступово, в процесі вивчення не лише ньютонівської механіки, а й молекулярної фізики, термодинаміки, електродинаміки, оптики, фізики атома та атомного ядра, теорії відносності, космології. При цьому, кожен новий розділ буде збагачувати наші знання про енергію і розкривати все нові і нові її грані та прояви.

Твердження про те, що енергія це загальна міра всіх видів рухів і взаємодій, є загально прийнятою та вичерпною характеристикою того, що називають енергією. Однак воно має той суттєвий недолік, що не дозволяє визначати величину конкретного виду енергії в тій чи іншій конкретній ситуації. А потрібно зауважити, що на практиці говорячи про енергію тіла, мають на увазі не ту загальну енергію що зосереджена в даному тілі і кількість якої визначається за формулою Е=mс2, а певну, зазвичай мізерну частину цієї енергії яка пов’язана з тим чи іншим конкретним явищем. Наприклад, коли ми стверджуємо, що підняте над підлогою тіло має певну енергію, то маємо на увазі не повну енергію цього тіла (Е=mс2), а ту її мізерну частину яка обумовлена взаємодією даного тіла з Землею. Коли ми стверджуємо, що деформована пружина має енергію, то маємо на увазі не повну енергію цієї пружини (Е=mс2), а ту її мізерну частину яка обумовлена взаємодією атомів та молекул пружно деформованого тіла.

По суті, коли ми стверджуємо, що той чи інший об’єкт має певну енергію, то маємо на увазі факт того, що відповідний об’єкт може виконати певну роботу, тобто певну енерго затратну дію. Власне енергія і є мірою здатності фізичного об’єкту виконати роботу. Наприклад, коли ми стверджуємо, що підняте над підлогою тіло (мал.77а) має енергію Е=mgh (де m – маса тіла, h – висота тіла над рівнем підлоги,  g – прискорення сили тяжіння), то це означає, що за певних умов (за умови падіння тіла) буде виконана певна робота: в процесі удару об підлогу, тіло деформується і деформує підлогу; в процесі падіння та удару, тіло, підлога та повітря нагріються; в процесі удару, тіло заб’є гвіздок, створить звукову хвилю, тощо. При цьому, загальна кількість виконаної тілом роботи, становитиме А=mgh. Коли ми стверджуємо, що тіло масою m, рухаючись з швидкістю v, має енергію Е=mv2/2 (мал.77б), то це означає, що за певних умов (за умови зустрічі тіла з перешкодою) буде виконана певна робота. При цьому, загальна кількість цієї роботи становитиме А=mv2/2. Коли ми стверджуємо, що деформована пружина (мал.77в) має енергію Е=kΔℓ2/2, де k – жорсткість пружини, Δℓ – її  абсолютна деформація, то це означає, що за певних умов (за умови випрямлення пружини), буде виконана певна робота і загальна кількість цієї роботи становитиме А= kΔℓ2/2.

 

Мал.77  Коли ми стверджуємо, що певний фізичний об’єкт має певну енергію, то це означає, що цей об’єкт здатний виконати певну роботу (певну енергозатратну дію).

Зважаючи на вище сказане, можна дати наступне визначення:

Енергія – це фізична величина, яка є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій і яка характеризує здатність тіла, частинки або поля виконати роботу.

Позначається: Е

Визначальне рівняння:  1) для загальної кількості енергії:   Е=mс2 ;

.                                             2) для конкретних видів енергії:   різні.

Одиниця вимірювання: [E] = Дж = Н∙м = кг∙м22,   джоуль.

Джоуль – це одиниця вимірювання енергії та роботи, яка дорівнює тій роботі (тим затратам енергії) яку виконує сила в один ньютон при переміщенні матеріальної точки (тіла) на один метр в напрямку дії сили: Дж=Н∙м=кг∙м22. Щоб мати уявлення про величину роботи в один джоуль, візьміть тіло масою 102г та підніміть його на висоту один метр. При цьому виконана вами робота, а відповідно і затрачена вами енергія, дорівнюватимуть одному джоулю. Або якщо наприклад, яблуко масою 102гр впаде з висоти 1м, то виконана силою тяжіння робота дорівнюватиме 1Дж.

.           

Мал. 78. Піднімаючи тіло масою 102г з висоту 1м, ви виконуєте роботу 1Дж.

Потрібно зауважити, що енергія невичерпно різноманітна в своїх проявах. Різноманітна в тій же мірі як і самі явища Природи. Наприклад говорять про енергію гравітаційних, електричних, електромагнітних та інших полів. Про енергію механічну, теплову, звукову, світлову, хімічну, біологічну, електричну, магнітну, електромагнітну, ядерну, внутрішню. Про енергію піднятого тіла та енергію пружно деформованого тіла, про енергію нагрітого тіла та енергію тіла що горить, про енергію хімічних реакцій та енергію термоядерного синтезу. І навіть те що не називають енергією, як то температура, кількість теплоти, робота чи маса, фактично характеризує ті чи інші прояви енергії.

Та не дивлячись на все різноманіття енергій, практично будь яку її різновидність можна представити як певну комбінацію двох складових: енергії руху або кінетичної енергії та енергії взаємодії або потенціальної енергії.

Кінетична енергія (енергія руху) – це та енергія, яку має фізичний об’єкт (тіло, частинка або поле) за рахунок того що він рухається і яка дорівнює половині добутку маси об’єкту на квадрат його швидкості.

Позначається: Ек

Визначальне рівняння: Ек=mv2/2

Одиниця вимірювання: [Ек] = кг∙м22=Дж.

Якщо той чи інший фізичний об’єкт, будь то камінь, планета, атом чи фотон світла, рухається, то він має певну кінетичну енергію величина якої визначається за формулою Ек=mv2/2. Кінетична енергія є явною, очевидною, активною формою енергії, наявність і величину якої легко встановити. Але окрім цією активної енергії, практично з кожним тілом нерозривно пов’язана певна кількість пасивної, прихованої енергії, яку прийнято називати потенціальною.

Потенціальна енергія (енергія взаємодії) – це та енергія яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він так чи інакше взаємодіяє з іншими об’єктами, або за рахунок тих взаємодій які відбуваються в середині цього об’єкту.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = ?   Потенціальна енергія – це дуже складний вид прихованої енергії, величину якої в загальному         випадку ми не вміємо визначати.

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Твердження про те, що в загальному випадку, визначати величину потенціальної енергії ми не вміємо, означає лише те, що на сьогоднішній день нема тієї універсальної формули, яка б дозволяла визначати потенціальну енергію системи в усьому різноманітті проявів цієї енергії. Однак це зовсім не означає, що ми не вміємо визначати величину потенціальної енергії в тих чи інших конкретних випадках. Наприклад, в механіці вивчають дві різновидності потенціальної енергії:

Потенціальна енергія сили тяжіння (піднятого тіла). Визначальне рівняння: Еп =mgh, де  m – маса тіла,   g – прискорення сили тяжіння,   h – висота на яку піднято тіло.

Потенціальна  енергія сили пружності (пружно деформованого тіла). Визначальне рівняння: Еп=kΔℓ2/2,  де  k – жорсткість тіла, Δℓ – абсолютна деформація тіла

.           

Мал.79. Результатом взаємодії яких об’єктів є потенціальна енергія сили тяжіння та сили пружності?

Напевно, енергія не мала б такого фундаментального, загальнонаукового значення, якби не той факт що: при будь яких процесах, що відбуваються в замкнутій (енергоізольованій) системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами:

∑Едо = ∑Епісля  або  ∑Е = соnst. Переоцінити значимість цього факту, який називається законом збереження енергії, практично не можливо.

Ілюструючи можливості та значимість закону збереження енергії, наведемо лише один показовий приклад. В 1896 році французький фізик Беккерель експериментально встановив, що уран без будь яких видимих енергетичних причин, постійно випромінює енергію. Це означало, що в цьому явищі, яке назвали радіоактивністю, закон збереження енергії не виконується. Досліджуючи це та інші явища, вчені:

-з’ясували будову атома;

-з’ясували будову атомного ядра;

-створили квантову механіку;

-створили теорію еволюційного Всесвіту;

-створили теорію еволюції зірок;

-зробили та перевірили на практиці багато інших відкриттів;

і зрештою беззаперечно довели, що радіоактивність не є енергетично безпричинною подією. Вони довели, що ядра атомів урану утворюються в надрах надмасивних зірок і що це відбувається з поглинанням величезної кількості енергії. А це означає, що одного разу накопичивши цю енергію, уран поступово, на протязі мільярдів років віддає її. Віддає у повній відповідності з законом збереження енергії.

Якщо ж говорити про закон збереження енергії в механічних процесах, то буде доречним розглянути конкретну ситуацію. Припустимо що тіло масою 1кг знаходиться на висоті 5м. Ясно, що в процесі вільного падіння тіла, величина його потенціальної енергії (Eп=mgh) буде зменшуватись (оскільки h↓ то Еп↓). З іншого боку, в процесі того ж падіння, кінетична енергія тіла (Ек=mv2/2) буде збільшуватись (оскільки v↑ то Ек↑). І не важко довести, що на всьому шляху вільного польоту тіла, загальна кількість його механічної енергії (Е=Епк) залишається незмінною. Дійсно. Виходячи з того, що в процесі вільного падіння, висота тіла над поверхнею землі зменшується за законом h=h0-gt2/2, а його швидкість – збільшується за законом v=v0+gt, визначимо параметри падаючого тіла (h, v, Еп, Ек, Е=Епк) через кожні 0,2с польоту. Результати обчислень запишемо у відповідну таблицю.

 

       t (c)              h (м)      v (м/с)   Ек (Дж)       Еп (Дж) Е=Екп(Дж)
      0,0      5,0      0,0    0,0    50,0        50,0
      0,2      4,8      2,0    2,0    48,0        50,0
      0,4      4,2      4,0    8,0    42,0        50,0
      0,6      3,2      6,0   18,0    32,0        50,0
      0,8      1,8      8,0   32,0    18,0        50,0
      1,0      0,0     10,0   50,0      0,0        50,0

 

Не важко бачити, що в процесі вільного падіння тіла, загальна кількість його механічної енергії залишається незмінною, тобто зберігається.

      

Мал.80.  При будь яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною.

Ви можете заперечити в тому сенсі, що коли тіло впаде, то його кінетична і потенціальна енергії матимуть нулеві значення. Чи не означатиме це, що енергія зникла і що закон збереження енергії не виконується? Ні, не означатиме! Просто в процесі взаємодії з землею (підлогою, поверхнею стола, тощо), та механічна енергія яка спочатку була потенціальною, а потім кінетичною, перетворилась у відповідну кількість внутрішньої енергії, тобто в кінетичну та потенціальну енергію молекул взаємодіючих тіл.

А якщо ви не помітили цього перетворення, то це тільки тому, що енергоємність тіл є надзвичайно великою. Скажімо, для того щоб один літр води нагріти всього на 1°С потрібно витратити 4200Дж енергії. А це означає, що енергія величиною в 50Дж спромоглась би нагріти літр води всього на 0,012°С. Тому не дивно, що спостерігаючи за тими подіями які відбуваються в процесі падіння даного тіла, ви не помітили факту того, що навколишнє повітря, земля і саме тіло дещо нагрілись. Однак, якщо ви дійсно виконаєте необхідні вимірювання, то неодмінно з’ясуєте, що в процесі падіння тіла і в процесі його взаємодії з поверхнею землі, загальна кількість внутрішньої енергії взаємодіючих тіл дійсно збільшилась, і збільшилась рівно на 50Дж.

До речі, якщо в момент падіння тіла, його кінетична енергія становитиме не 50Дж, а скажімо 47Дж, то не поспішайте стверджувати, що закон збереження енергії не працює. Просто в процесі падіння тіла та в результаті його тертя об повітря, частина механічної енергії тіла (а саме 3Дж) перетворилась на відповідну кількість внутрішньої енергії тіла та повітря.

Незліченна кількість експериментальних досліджень та фактів доводять. Енергія не виникає безпричинно і не зникає безслідно. Вона лише перетворюється з одного виду в інший та переходить від одних фізичних обєктів до інших. При цьому, за будь яких перетворень та будь яких переходів загальна кількість енергії залишається незмінною, тобто зберігається.

 

Словник фізичних термінів.

         Енергія – це фізична величина, яка є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій і яка характеризує здатність тіла, частинки або поля виконати роботу.

Позначається:  Е

Визначальне рівняння:  1) для загальної кількості енергії:   Е=mс2 ;

2) для конкретних видів енергії:     різні .

Одиниця вимірювання: [E] = Дж ,  джоуль.

Кінетична енергія (енергія руху) – це та енергія, яку має фізичний об’єкт (тіло, частинка або поле) за рахунок того що він рухається і яка дорівнює половині добутку маси об’єкта на квадрат його швидкості.

Позначається:  Ек

Визначальне рівняння:  Ек=mv2/2 ,

Одиниця вимірювання:  [Ек] =Дж.

          Потенціальна енергія (енергія взаємодії) – це та енергія яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він так чи інакше взаємодіяє з іншими об’єктами, або за рахунок тих взаємодій які відбуваються в середині цього об’єкту.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = ?

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Потенціальна енергія сили тяжіння (піднятого тіла) – це та енергія яку має підняте над землею тіло за рахунок його взаємодії з Землею.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = mgh

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Потенціальна енергія сили пружності (деформованого тіла) – це та енергія, яку має пружно деформоване тіло за рахунок тих міжмолекулярних взаємодій які відбуваються всередині цього тіла.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = kΔℓ2/2

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Закон збереження енергії – це закон, в якому стверджується: при будь яких процесах, що відбуваються в замкнутій (енергоізольованій) системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами: ∑Едо = ∑Епісля  або   ∑Е = соnst.

Контрольні запитання.

1.Як ви розумієте твердження: енергія є мірою здатності фізичного об’єкту виконати роботу?

2.Коли ми стверджуємо, що шматок вугілля має певну енергію, то що це означає? Якою (кінетичною чи потенціальною) є ця енергія?

3.Які різновидності потенціальної енергії вивчають в механіці? Які визначальні рівняння цих величин?

4.Результатом взаємодії яких об’єктів є потенціальна енергія сили тяжіння та сили пружності?

5.Камінь кинули вертикально вгору. Які перетворення енергії відбуваються в процесі його польоту? Чи буде кінетична енергія каменя в момент його вильоту та момент падіння абсолютно однаковою? Чому?

6.Які перетворення енергії відбуваються в зображених на малюнку ситуаціях?

 

 

Вправа 25.

1.Куля масою 8г летить з швидкістю 500м/с. Порівняйте величину кінетичної енергії кулі з величиною тієї загальної енергії згустком якої є ця куля?

2.Під дією вантажу 200кг пружина деформувалась на 5см. Визначте енергію деформованої пружини.

3.Тіло кинули вертикально вгору з швидкістю 20м/с. На якій висоті, його кінетична енергія дорівнюватиме потенціальній?

4.Камінь масою 5кг впав з певної висоти. Визначте кінетичну та потенціальну енергію каменя в середній точці його шляху, якщо він падав 2с.

5.На якій висоті кінетична енергія вільно падаючого тіла дорівнює його потенціальній енергії, якщо на висоті 10м швидкість цього тіла 8м/с ?

6.Нитяний маятник з тілом масою 5кг відхилено на кут 60° від вертикалі. Яка сила натягу нитки при проходженні маятником положення рівноваги.

 

§39. Розвязування задач.  Тема: Імпульсно-енергетичний метод  розвязування задач динаміки.

 

Складність динаміки визначається різноманіттям тих задач які в ній розв’язуються. А що ці задачі можуть бути надзвичайно різноманітними, випливає вже з факту того, що динаміка це той розділ механіки в якому кінематика, статика та власне динаміка, об’єднуються в єдине ціле. Чітко класифікувати задачі динаміки практично не можливо. Тим не менше, можна виділити два базових методи їх розв’язку: силовий та імпульсно-енергетичний.

Суть силового методу полягає в тому, що невідомі величини визначають на основі векторного аналізу діючих на тіло сил та на базі умови його динамічної рівноваги (∑F+Fi=0). При імпульсно-енергетичному методі, невідомі величини визначають на основі аналізу імпульсно-енергетичних параметрів тіл (імпульс, енергія, робота, потужність, к.к.д) та на базі відповідних визначальних рівнянь, закону збереження енергії, та закону збереження імпульсу.

Звичайно, подібна класифікація є досить умовною. Умовною по-перше тому, що в багатьох випадках одну і ту ж задачу можна розв’язати як силовим так і імпульсно-енергетичним методом. А по-друге, рішення багатьох задач передбачає застосування певної комбінації обох методів. Крім цього, в багатьох випадках задачі динаміки є скоріш задачами кінематики аніж власне динаміки. Втім, нема кращого способу розібратися в різноманітті динамічних задач та методах їх рішення, як практичне розв’язування максимально великої їх кількості.

Задача 1.  З якою початковою швидкістю v0 потрібно кинути вниз м’яч з висоти h, щоб він підскочив на вдвічі більшу висоту H=2h? Удар об землю вважати абсолютно пружним.

.                 

Як і безліч інших задач, дану задачу можна розв’язати по різному. Дійсно. З одного боку, цю задачу можна вважати задачею кінематики і розв’язати відповідним кінематичним методом. З іншого боку, цю ж задачу можна і навіть потрібно розв’язувати енергетичним методом. Щоб переконатись в цьому “потрібно”, давайте розв’яжемо задачу обома способами. А висновки ви зробите самі.

Кінематичне рішення.

Дано:                          Аналіз:

h

H=2h                        Малюнок

v0=?

Будемо виходити з того, що та швидкість v0 з якою потрібно кинути м’яч, є результатом вільного падіння тіла з певної додаткової висоти, величина якої H – h = h. Іншими словами, будемо виходити з того, що м’яч вільно падає з висоти H=2h. Намагаючись встановити залежність v0=ƒ(h) опишемо рух тіла на різних його ділянках, зокрема:

1) на ділянці 2h→0:  2h=gt12/2, де t1 – тривалість руху на ділянці 2h0→0;

2) на ділянці h→0:   h=v0t2 + gt22/2, де t2 – тривалість руху на ділянці h0→0.

Оскільки ми маємо систему двох рівнянь з трьома невідомими (t1=?, t2=?, v0=?) то така система не має однозначного рішення. Однак, аналізуючи дану ситуацію можна записати ще два незалежних рівняння:

3) на ділянці 2h→h:  v0= 0 +gt3;

4) t2 + t3 = t1.

Таким чином, аналізуючи дану кінематичну ситуацію ми можемо записати систему чотирьох незалежних рівнянь з чотирма невідомими:

1) 2h=gt12/2;

2) h=v0t2 + gt22/2;

3) v0= gt3;

4) t2 + t3 = t1.

Розв’язуючи систему цих рівнянь можна визначити залежність v0=ƒ(h). Дійсно:

Із  (1)→ t1=2(h/g)1/2;

з  (3)→ t3=v0/g;

з  (4)→  t2=t1-t3.

Підставляючи ці дані в (2) отримаємо:

h = v0(t1-t3) + (g/2)(t1-t3)2 = v0[2(h/g)1/2 – v0/g)] + (g/2)[2(h/g)1/2 – v0/g]2 = 2v0(h/g)1/2 – v02/g + g/2(4h/g – 2(h/g)1/2(v0/g) + v02/g2) = 2v0(h/g)1/2 – v0/g + 2h – 2v0(h/g)1/2 +v02/2g = 2h – v02/g + v02/2g = 2h – v02/2g = h.

Звідси  h = v02/2g,  або    v0 = (2gh)1/2.

Відповідь: v0 = (2gh)1/2.

Енергетичне рішення.

Оскільки абсолютно пружний удар не супроводжується втратами механічної енергії, то можна стверджувати, то згідно з законом збереження енергії, загальна кількість механічної енергії в момент вильоту м’яча Е = mgh + mv02/2, та в момент його максимального підйому (v1=0м/с) Е = mgН + 0 = 2mgh; має бути однаковою. Тобто mgh + mv02/2 = 2mgh.

Звідси v0 = (2gh)1/2.

Відповідь: v0 = (2gh)1/2.

Задача 2. Тіло без тертя зісковзує з похилої площини, яка переходить у так звану «мертву петлю». З якої мінімальної висоти Н має зісковзувати тіло, щоб бути здатним описати «мертву петлю» радіусом R.

Рішення.

Оскільки за умовою задачі, в процесі руху тіла втратами енергії можна знехтувати, то та потенціальна енергія яку має тіло на висоті Н (Еп1=mgH), в нижній точці спуску перетвориться на відповідну кількість кінетичної енергії Ек1п1. При цьому, цієї енергії має вистачити на те, щоб по перше підняти тіло на висоту h=2R, тобто щоб надати тілу потенціальної енергії Еп2=mg2R. А по друге, забезпечити таку швидкість руху тіла в верхній точці петлі, при якій діюча на нього сила тяжіння (Fт=mg), буде зрівноваженою відповідною силою інерції (Fi=maд=mv22/R). А це означає, що у верхній точці петлі, тіло повинно мати певний запас кінетичної енергії Ек2=mv22/2, де v22 визначається із співвідношення mv22/R = mg. Звідси v22=gR. При цьому Ек2=mgR/2

Таким чином, для тієї мінімальної висоти Н, яка за відсутності енергетичних втрат забезпечує виконанням тілом «мертвої петлі», має виконуватись співвідношення mgH = 2mgR + mgR/2. Звідси H = 2R+R/2=2,5R.

Відповідь: H = 2,5R.

Задача 3.  Визначити швидкість вильоту кульки масою m з дула пружинного пістолета при горизонтальному пострілі, якщо жорсткість пружини k, а її деформація Δℓ. Чи зміниться ця швидкість при вертикальному пострілі?

Дано:                                         Аналіз:

m

k                                           Малюнок

Δℓ

v= ?

v1=?

Розглянемо енергетичні параметри об’єктів системи кулька-пружина до та після пострілу. Будемо виходити з того, що в процесі пострілу, потенціальна енергія пружно деформованого тіла Епр=kΔℓ2/2  йде на збільшення кінетичної енергії кульки Ек=mv2/2. При цьому, згідно з законом збереження енергії можна записати:  kΔℓ2/2 = mv2/2, звідси v = (kΔℓ2/m)1/2.

При вертикальному розташуванні пістолета, енергія деформованої пружини Епр=kΔℓ2/2  йде як на збільшення кінетичної енергії кульки Ек=mv12/2, так і на збільшення її потенціальної енергії Еп=mgΔℓ. При цьому, згідно з законом збереження енергії можна записати: kΔℓ2/2 = mv12/2 + mgΔℓ,  або  mv12/2 = kΔℓ2/2 – mgΔℓ, звідси v1 = (kΔℓ2/m – 2gΔℓ)1/2.

Відповідь: v = (kΔℓ2/m)1/2; v1 = (kΔℓ2/m – 2gΔℓ)1/2.

Задача 4. Куля масою 7г летить в горизонтальному напрямку зі швидкістю 500м/с і влучає в брусок масою 2,0кг який висить на нитці, та застряє в ньому. На яку висоту підніметься брусок після удару кулі? Який відсоток кінетичної енергії кулі перетвориться на теплоту?

Дано:               СІ                                 Аналіз:

m=7г            7∙10-3кг

v1=500м/с         –                                 Малюнок

М=2,0кг             –

v2=0м/с              –

h =

Q/Eк1=?

Керуючись законом збереження імпульсу визначаємо швидкість бруска (v12) після взаємодії з кулею: mv1 + Мv2 = (m + М)v12.   Враховуючи, що v2=0  можна записати  v12=mv1(m1+М).

Виходячи з того, що після взаємодії з кулею, брусок отримав певну кількість кінетичної енергії  Ек=(m+М)v122/2  і що в процесі підйому бруска, ця енергія повністю перетворилась у відповідну кількість потенціальної енергії Еп=(m+М)gh  можна записати:  (m+М)gh = (m+М)v122/2, звідси h=v122/2g. А враховуючи що  v12=m1v1/(m1+m2), отримаємо

h = (1/2g)[mv1/(m+М)]2.

Кількість тієї енергії яка в процесі взаємодії з бруском перетворилась на теплоту, можна визначити як різницю між кінетичною енергією кулі до взаємодії та кінетичною енергією системи брусок-куля після взаємодії, тобто:

Q = mv12/2 – (m+М)v122/2,  або, враховуючи що v122 = mv1/(m+М):

Q = mv1/2 – m2v12/2(m+М) = (mv12/2)[1 – m/(m+М)] = Ek1[1-m/(m+М)].

Таким чином:      Q/Ek1 = 1 – m/(m+М) = [1 – m/(m+М)]100%.

Розрахунки:   h = … = 0,156м = 15,6см

.                        Q/Ek1 = … = 99,65%

Відповідь:   h = 15,6см;    Q/Ek1 = 99,65%.

Задача 5. Дві пружні кулі масами 1кг і 4кг рухаються назустріч одна одній з швидкістю 10м/с кожне. Визначити швидкість куль після їх лобового абсолютно пружного зіткнення.

Дано:                              Аналіз

m1 = 1кг

m2 = 4кг                       Малюнок

v01= v02=10м/с

v1 =?; v2 =?

На основі аналізу імпульсно-енергетичної ситуації, записуємо два рівняння: рівняння закону збереження імпульсу ∑рдо=∑рпісля та рівняння закону збереження енергії ∑Едо = ∑Епісля:

1) v01m1 – v02m2 = -m1v1+m2v2, оскільки v01=v02, то v01(m1 – m2) = -m1v1+m2v2

2) m1v012/2+m2v022/2 = m1v12/2+m2v22/2,  або (v012/2)(m1+m2) = m1v12/2+m2v22/2.

Таким чином, ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими (v1?, v2=?):

1) v01(m1 – m2) = -m1v1 + m2v2;

2) (v012/2)(m1+m2) = m1v12/2 + m2v22/2.

Загальне математичне рішення подібних систем є досить складним. Тому розв’яжемо цю систему з врахуванням числових значень відомих величин.

З рівняння (1): 10(1–4) =-1v1+4v2, або 4v2–1v1 =-30, випливає що  v1=4v2+30.

Отримане значення v1=4v2+30, підставляємо в рівняння (2):

(102/2)(1+4)=(1/2)(4v2+30)2+(4/2)v22;

250=0,5(16v22 + 240v2 +900) + 2v22;

8v22 + 120v2 + 450 +2v22 = 250;

10v22 + 120v2 + 200 =0;

v22 + 12v2 + 20 = 0.

Розв’язуємо відповідне квадратне рівняння:

v2 = (-12 ± [122 – (4∙1∙20)]1/2)/2∙1 = (-12 ± 8)/2.

Таким чином, ми отримали два рішення:

1) v2 = (-12 + 8)/2 = -2м/с ; v1=4v2+30 = 4(-2) + 30 = 22м/с.

2) v2 = (-12 – 8)/2 = -10м/с ; v1=4v2+30 = 4(-10) + 30 = -10м/с.

Пояснюючи отримані результати, можна сказати наступне. Згідно з умовою задачі, тіла рухаються назустріч одне одному. Однак, записана нами система рівнянь, дає відповіді як на пряму задачу (тіла рухаються назустріч одне одному) так і на зворотню задачу (тіла рухаються в одному напрямку). А це означає, що перша відповідь (v2= -2м/с; v1=22м/с), стосується ситуації коли тіла рухаються назустріч одне одному. При цьому знак « – » вказує на те, що після взаємодії тіло з масою 4кг буде рухатись в напрямку протилежному від того який вказано на малюнку. І це закономірно, адже абсолютно очевидно, що при пружній взаємодії тіл з масами 1кг і 4кг, друге тіло дещо зменшить свою швидкість, але не змінить напрямку свого руху. Власне про це і говорить отриманий нами результат.

Що ж стосується другої відповіді (v2=-10м/с; v1=-10м/с), то вона вказує на те, що після гіпотетичної взаємодії тіл які з однаковими швидкостями (v01= v02=10м/с) рухаються в одному напрямку, величини їх швидкостей та напрямки руху залишаються незмінними.

Відповідь: v1=22м/с; v2= -2м/с. (відносно тих напрямків які зображені на малюнку).

 

Вправа 26.

1.З якою вертикальною швидкістю потрібно кинути тіло, щоб воно піднялось на висоту 10м? Задачу розв’язати кінематичним та енергетичним методом.

2. В пружинному пістолеті жорсткість пружини 100Н/м. З якою швидкістю вилітатиме з нього кулька масою 3г, якщо пружина стиснута на 10см? На яку максимальну висоту може піднятись ця кулька?

3. Нитяний маятник масою 5кг відхилено на 60° від вертикалі. Яка сила натягу нитки при проходженні маятником положення рівноваги?

4. Тіло масою 1кг рівномірно обертається в вертикальній площині. На скільки сила натягу нитки в нижній точці траєкторії більша аніж у верхній?

5. Тіло масою 0,5кг падає з деякої висоти на плиту масою 1кг укріплену на пружині жорсткістю 1кН/м. Визначте максимальне стиснення пружини, якщо в момент удару тіло мало швидкість 7м/с. Удар вважати непружним.

6. Кулька підвішена на невагомій нерозтяжній нитці довжиною 0,5м. Яку мінімальну швидкість потрібно надати кульці, щоб вона описала коло у вертикальній площині? Опором повітря знехтувати.

7. Невеличке тіло починає зісковзувати з вершини сфери радіусом 60см. На якій висоті від вершини це тіло відірветься від поверхні сфери? Тертям знехтувати.

 

§40. Робота. Механічна робота.

 

В науковій практиці термін “робота” має два значення: робота, як певна енергозатратна подія і робота, як певна фізична величина. Наприклад, коли ми стверджуємо, що піднімаючи стілець учень виконує роботу, то маємо на увазі певну подію. А коли говоримо, що піднімаючи стілець учень виконує роботу величиною 40Дж, то маємо на увазі фізичну величину яка певним чином характеризує виконану роботу.

Потрібно зауважити, що в фізиці загалом і в механіці зокрема не всяка подія і не всяке переміщення тіла супроводжується виконанням роботи. Наприклад, рух Місяця навколо Землі, або Землі навколо Сонця відбувається без виконанням механічної роботи. Адже цей рух відбувається без енергетичних затрат, не супроводжується перетворенням одного виду енергії в інший та передачею цієї енергії від одного тіла до іншого. Звичайно, якщо не враховувати ту відносно мізерну роботу яку спричиняє обертальний рух Місяця і яка полягає в переміщенні певних мас води на Землі.

Загалом, виконання роботи нерозривно пов’язано по-перше з передачею енергії від одного тіла до іншого, а по-друге, з перетворенням цієї енергії з одного виду в інший. Наприклад, в процесі удару молотка по гвіздку, енергія молотка передається гвіздку. При цьому кінетична енергія молотка в процесі виконання роботи перетворюється на теплову енергію об’єктів взаємодії (молоток, гвіздок, дошка). В процесі пострілу, енергія порохових газів передається кулі. При цьому, теплова енергія газів перетворюється на кінетичну енергію кулі. В процесі вільного падіння тіла, гравітаційна енергія Землі передається тілу. При цьому, потенціальна енергія системи Земля-тіло перетворюється в кінетичну енергію тіла.

В подальшому, терміном “робота” ми будемо позначати відповідну фізичну величину. Виходячи з цього дамо лише одне визначення терміну “робота”.

Робота – це фізична величина, яка характеризує затрати енергії на виконання роботи і яка дорівнює цим затратам.

Позначається:  А

Визначальне рівняння:  А=ΔЕ

Одиниця вимірювання:  А=Дж,   джоуль.

Формула А=ΔЕ=Екінц – Епоч, по-перше вказує на універсальний спосіб вимірювання роботи, а по-друге, на факт того, що в процес виконання будь якої роботи нерозривно пов’язаний з затратами енергії.

Формула А=ΔЕ є базовим, визначальним рівнянням роботи. Однак, якщо мова йде про механічну роботу, то її часто визначають за формулою А=Fℓcosα, де F – усереднена величина тієї сили що виконує роботу, ℓ – величина того переміщення яке відбувається при виконанні роботи, α – кут між напрямком вектора сили (F) та напрямком вектора переміщення ().

 

Мал.81.  Сила F переміщуючи тіло на відстань ℓ виконує роботу А=Fℓcosα .

Формула А=Fℓcosα відображає той факт, що необхідними умовами виконання механічної роботи (А≠0) є: F≠0; ℓ≠0; cosα≠0. При цьому, якщо бодай одна з цих умов не виконується, то не виконується (є нулевою) і відповідна механічна робота. Наприклад, якщо ви штовхаєте шафу, а вона залишається на місці (ℓ=0), то роботу по механічному переміщенню шафи ви не виконуєте. Можливо ви виконуєте якусь іншу роботу, скажімо роботу по деформації стінок шафи або роботу по розігріву своїх м’язів, але роботу по механічному переміщенню шафи ви не виконуєте. Або, наприклад, коли Місяць обертається навколо Землі, то діюча на нього гравітаційна сила не виконує механічної роботи. Не виконує тому, що кут між напрямком дії цієї сили і напрямком руху Місяця становить 90°. А це означає що:

А=Fℓcos90°= Fℓ∙0=0Дж.

Механічна робота не виконується і в тому випадку, коли тіло не зустрічаючи жодного опору з боку зовнішніх сил рухається прямолінійно-рівномірно (за інерцією). Звичайно, таке тіло має певний запас кінетичної енергії. Однак в процесі рівномірного руху ця енергія не змінюється і не передається іншим тілам, а отже і не призводить до виконання тієї чи іншої роботи. Лише в тому випадку коли рухоме тіло відчує протидію зовнішніх сил, наприклад сили тертя чи сили пружності зустрічної перешкоди, воно виконає певну роботу.

Формула А=Fℓcosα, а точніше А=(Fcosα)ℓ, вказує ще й на те, що величина виконаної механічної роботи, фактично залежить не від величини діючої на тіло сили F, а від величини проекції цієї сили на напрям переміщення тіла (Fcosα). Наприклад, якщо людина з силою F тягне санчата (мал.82) то роботу по переміщенню санчат фактично виконує лише та частина сили яка дорівнює проекції цієї сили на напрям переміщення, тобто сила F1=Fcosα. При цьому: А=F1ℓ=(Fcosα)ℓ. Втім, вертикальна складова сили F також опосередковано впливає на величину виконаної роботи. Адже від неї залежить величина реакції опори, а отже і тієї сили тертя що протидіє переміщенню санчат.

 

Мал.82.   Роботу по переміщенню санчат та возу фактично виконує лише певна частина діючої на них сили, а саме  F1=Fcosα .

Потрібно зауважити, що робота однієї і тієї ж сили може бути як додатною, тобто такою що сприяє переміщенню тіла, так і від’ємною, тобто такою що протидіє цьому переміщенню. Наприклад, коли ви відпускаєте яблуко і воно під дією сили тяжіння падає на землю, то сила тяжіння виконує додатню роботу (сприяє переміщенню яблука). Дійсно, для такої ситуації α=0°, cos0°=1 і тому A=mghcos0°=mgh. Якщо ж ви піднімаєте яблуко, то сила тяжіння протидіє переміщенню яблука і тому виконує від’ємну роботу. Дійсно, для такої ситуації α=180°, cos180°= -1 і тому A=mghcos180°= -mgh.

Звернемо увагу і на те, що в формулі A=Fℓcosα символом F позначають середнє значення діючої на тіло сили (середнє на ділянці переміщення ℓ). Тому, якщо наприклад, на ділянці виконання роботи, величина діючої на тіло сили лінійним чином змінюється від F1 до F2, то визначаючи виконану роботу, в якості діючої на тіло сили потрібно обирати F=(F1+F2)/2.

Якщо ж на ділянці виконання роботи, величина діючої на тіло сили змінюється складним чином, наприклад так як це показано на мал.83, то в цьому випадку визначаючи величину роботи, відповідну ділянку (ℓ) розбивають на певну кількість дрібних фрагментів (ℓ=ℓ1+ℓ2+ …+ℓn). Фрагментів, для кожного з яких діючу на тіло силу можна вважати усереднено незмінною. При цьому величина загальної роботи визначається як сума окремих робіт виконаних на всіх послідовних фрагментах ділянки ℓ:

A=A1+A2+ …+An .

Втім, величину загальної роботи можна визначити і як площу тієї фігури що обмежена кривою F=ƒ(ℓ), віссю переміщення ℓ та тими вертикальними відрізками які проходять через початкову та кінцеву точки ділянки переміщення (ℓп ; ℓк)

 

Мал.83.   Роботу змінної сили F=ƒ(ℓ) можна визначити як площу тієї фігури яка обмежена графіком F=ƒ(ℓ), віссю переміщення ℓ та вертикальними відрізками що проходять через точки ℓп і ℓк .

На перший погляд, формули А=ΔЕ і А=Fℓcosα  є абсолютно різними. Насправді ж мова йде про споріднені і в певному сенсі тотожні формули. Різниця між ними лише в тому, що перша (А=ΔЕ) дозволяє визначати роботу енергетичним методом, а друга (А=Fℓcosα) – силовим. Ілюструючи та перевіряючи фізичну тотожність формул А=ΔЕ і А=Fℓcosα, розглянемо декілька конкретних задач.

         Задача 1. Під дією сили тяжіння тіло масою m падає з висоти h на землю. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

Дано:                      Аналіз:

m

h                        Малюнок

g

А=?               Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи (в процесі падіння тіла) величина потенціальної енергії тіла змінилась від Еп=mgh  до Еп=0, то

А=ΔЕ=0-mgh = -mgh, де знак  “ – “ вказує на те, що в процесі виконання роботи потенціальна енергія тіла зменшилась.

Відповідь: А=mgh.

Силове рішення.

Виходячи з того що дану роботу виконує постійна за величиною сила тяжіння F=mg, та враховуючи що напрям цієї сили співпадає з напрямком переміщення тіла (α=0°; соs0°=1) можна записати: А=Fℓcosα=mgh.

Відповідь: A=mgh.

Задача 2. Горизонтально розташована і деформована на величину Δℓ пружина жорсткістю k, штовхає тіло. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

Дано:                              Аналіз:

Δℓ

k                                 Малюнок

А=?

Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи, величина потенціальної енергії пружини змінилась від Еп=kΔℓ2/2  до  Еп=0,  то А=ΔЕ=0 – kΔℓ2/2= – kΔℓ2/2, де знак “ – “ вказує на те, що в процесі виконання роботи, величина потенціальної енергії пружини зменшилась.

Відповідь:  А= kΔℓ2/2 .

Силове рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи величина діючої на тіло сили пружності лінійним чином змінюється від максимального значення (F=kΔℓ) до нуля (F=0), то усереднена величина цієї сили становитиме Fc=kΔℓ/2. А враховуючи що напрям сили пружності співпадає з напрямком переміщення (α=0°; соs0°=1), можна записати: A=Fcℓcosα=(kΔℓ/2)Δℓ=kΔℓ2/2.

Відповідь:   A=kΔℓ2/2 .

Задача 3.  Тіло масою m, рухається з горизонтальною швидкістю v . При взаємодії з горизонтально розташованою пружиною тіло деформує її і зупиняється. Визначити величину виконаної при цьому механічної роботи.

Дано:                        Аналіз:

m

v                           Малюнок

А=?

Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи величина кінетичної енергії тіла змінюється від Ек=mv2/2  до Ек=0, то А=ΔЕ=0 – mv2/2 = – mv2/2 ,

де знак “ – “ вказує на те, що в процесі виконання роботи, величина кінетичної енергії тіла зменшилась.

Відповідь:  А=mv2/2 .

Силове рішення.

По суті, тією силою яка виконує роботу по деформації пружини є сила інерції, тобто та сила поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і величина якої визначається за формулою Fi=ma.

Величину того прискорення з яким рухається тіло в процесі деформації пружини, можна визначити із кінематичних міркувань: Δℓ=(vk2-v02)/2a= – v02/2a=v2/2a;  звідси  a= – v2/2Δℓ, де знак “ – “ вказує на те, що рух тіла є рівносповільненим.

Враховуючи, що напрям тієї сили яка виконує роботу (сили інерції) співпадає з напрямком деформації пружини, тобто що α=0°; соs0°=1, можна записати:  A=Fℓcosα=m(v2/2Δℓ)Δℓ=mv2/2 .

Відповідь:  A=mv2/2.

Висновок.  Таким чином, визначаючи величину виконаної механічної роботи, практично з однаковим успіхом можна застосовувати як формулу А=ΔЕ так і формулу А=Fℓcosα. Однак потрібно мати на увазі, що в формулі А=Fℓcosα  знак результату вказує на те яку роботу (додатню чи від’ємну) виконує відповідна сила. В формулі ж А=ΔЕ, знак результату говорить про те, як змінюється (збільшується чи зменшується) відповідна енергія в процесі виконання роботи.

На завершення додамо, що робота та енергія, це дві споріднені величини. Ця спорідненість з усією очевидністю випливає з визначальних рівнянь цих величин: енергія – характеризує здатність виконати роботу; робота – характеризує затрати енергії на виконання роботи.

Якщо ж говорити про ті відмінності які існують між роботою та енергією, то основна з них полягає в тому, що робота характеризує лише ту частину енергії яка йде на виконання певної конкретної дії (певної роботи). І в цьому сенсі енергія є більш загальною та ємкою величиною. Крім цього, робота характеризує дію яка вже виконана або буде виконана. Енергія ж характеризує саму здатність виконати роботу, не вказуючи при цьому на те, коли і як ця здатність буде реалізована.

 

Словник фізичних термінів.

         Робота – це фізична величина, яка характеризує затрати енергії на виконання роботи і яка дорівнює цим затратам.

Позначається:  А

Визначальне рівняння:  А=ΔЕ

Одиниця вимірювання:  А=Дж,   джоуль.

Контрольні запитання.

1.Дайте визначення одиниці вимірювання роботи – джоулю.

2. Які енергетичні перетворення відбуваються в процесі: а) вільного падіння тіла; б) стиснення пружини; в) непружного удару тіла.

3. Наведіть приклади того коли процес переміщення тіла не супроводжується виконанням механічної роботи.

4. В якому випадку робота сили є додатною, а в якому від’ємною?

5. Як визначають роботу змінної сили?

6. Тіло підкинули вертикально вгору і піймали в тій же точці. Яку загальну роботу виконала при цьому сила тяжіння.

7. Чим схожі і чим відрізняються робота та енергія?

Вправа 27.

1.Визначити роботу сил тертя, якщо автомобіль масою 2т переміщується горизонтальною дорогою на 500м. Коефіцієнт тертя 0,02

2. Яку роботу потрібно виконати, щоб змусити автомобіль масою 3т збільшити свою швидкість від 0 до 36км/год?

3. Вантаж масою 50кг вільно падає протягом 3с. Яку роботу виконує при цьому сила тяжіння?

4. Тіло масою 2кг падає з висоти 10м, при цьому в момент падіння на землю його швидкість становить 11м/с. Визначити роботу сили опору повітря.

5. Тіло масою m з постійною швидкістю піднімають похилою площиною на висоту h. Визначити роботу сили тяги, роботу сили тяжіння, роботу сили тертя і роботу реакції опори. Коефіцієнт тертя μ, кут нахилу площини до горизонту α.

6. Порівняйте роботи сили тяжіння при вільному падінні тіла за першу і другу половини часу падіння.

 

§41. Потужність. Коефіцієнт корисної дії.

 

         До числа основних характеристик будь якого приладу відносяться потужність та коефіцієнт корисної дії (к.к.д.).

Потужність – це фізична величина, яка характеризує роботу виконану за одиницю часу і яка дорівнює цій роботі (роботі виконаній за одиницю часу).

Позначається:  Р

Визначальне рівняння:  Р=А/t

Одиниця вимірювання:   [Р]=Дж/с=Вт,  ват.

Ват – це одиниця вимірювання потужності, яка дорівнює такій потужності при якій за одну секунду виконується робота в один джоуль. Скажімо, якщо ви візьмете в руку вантаж масою 102г то відчуєте силу в один ньютон. Якщо цей вантаж ви піднімете на один метр – то виконаєте роботу в один джоуль. А якщо цю роботу ви виконаєте за одну секунду – то розвинута вами середня потужність становитиме один ват.

Одиниця потужності (ват) названа на честь англійського винахідника Джеймса Ватта  (1736-1819), який в 1776 році створив перший автоматизований тепловий двигун (парову машину). До речі, саме Ватт в якості одиниці вимірювання потужності запропонував кінську силу – одиницю, яка і на сьогоднішній день застосовується як позасистемна міра потужності теплових двигунів та інших приладів. В перерахунку на мову сучасних одиниць 1к.с.=735,5Вт.

.    

Мал.84. Кінська сила – позасистемна одиниця вимірювання потужності.

Потрібно зауважити, що обираючи одиницю потужності, Ватт напевно орієнтувався на потужність досить сильного коня. Адже усереднена потужність сучасних коней близька до 0,7к.с. Втім, потужність живих “двигунів” є величиною досить умовною. Скажімо, та потужність яку розвиває важкоатлет в момент підйому штанги в десятки разів перевищує ту середню потужність з якою людина може виконувати довготривалу роботу і яка становить 35 – 75 Вт.

Потужність рукотворних приладів більш прогнозована і може становити від декількох нановат (нВт=10-9Вт) до сотень гігават (ГВт=109Вт). Наприклад, потужність пружинного механізму наручного годинника близька до 1∙10-7Вт, а загальна потужність двигунів ракетоносія “Енергія” – 125∙109Вт.

Мал.85. Масштаб потужностей деяких приладів.

Формула Р=А/t є базовим визначальним рівнянням потужності. Однак, якщо мова йде про потужність тих приладів що виконують механічну роботу (А=Fℓcosα), то для них формула потужності набуває вигляду:

Р=А/t=(Fℓcosα)/t=Fvcosα.  Тобто Р=Fvcosα ,

де F – усереднене значення тієї сили що виконує роботу;

v – швидкість того тіла що рухається під дією сили F;

α – кут між напрямком дії сили та напрямком руху тіла.

Зазвичай α=0° і тому Р=Fv.

Таким чином, механічна потужність приладу, наприклад автомобіля, визначається добутком тієї тягової сили що змушує прилад рухатись на швидкість його руху. Знаючи даний факт, не важко збагнути, як це так виходить, що великий трактор і легковий автомобіль мають однакову потужність. Правильно, трактор – сильний але повільний, натомість легковик – слабкий але швидкий. Втім, той же трактор чи той же автомобіль, маючи один і той же двигун, на різних передачах можуть мати дуже різну величину як сили так і швидкості. Скажімо перша передача, забезпечує максимальну силову тягу при мінімальній швидкості руху. Четверта ж передача навпаки, забезпечує максимальну швидкість руху при мінімальній тяговій силі.

В процесі виконання роботи, в будь якому механічному, електричному, тепловому чи іншому приладі, частина наданої йому енергії неминуче і безповоротно втрачається. Характеризуючи ці втрати, або, якщо хочете, характеризуючи ефективність використання енергії в приладі, говорять про його коефіцієнт корисної дії (к.к.д.).

Коефіцієнт корисної дії (к.к.д) – це фізична величина, яка характеризує ефективність використання енергії в тому чи іншому приладі і яка дорівнює відношенню тієї енергії що йде на виконання корисної роботи (Екоркор), до загальної кількості наданої приладу енергії (Езагзаг).

Позначається: η

Визначальне рівняння:  η=(Екорзаг)100% ,  або   η=(Акорзаг)100%

Одиниця вимірювання:  [η] = % ,    відсотки.

Зважаючи на те, що за визначенням 1%=0,01, можна стверджувати 75%=0,75. Іншими словами, формули η=(Акорзаг)100%  і  η=Акорзаг, а також твердження “ к.к.д приладу 75% “ і “ к.к.д приладу 0,75 “ є тотожними. Твердження про те, що к.к.д приладу становить75% означає що 75% наданої приладу енергії (тобто 75Дж із 100Дж) йде на виконання корисної роботи, а решта, тобто 25%  – на ті чи інші енергетичні втрати. Оскільки в процесі виконання будь якої корисної роботи неминучі теплові втрати енергії, то к.к.д  будь якого реального приладу завжди менший за 100%.

Потрібно зауважити, що певний коефіцієнт корисної дії мають не лише двигуни, генератори, автомобілі та інші складні прилади які власне і виконують роботу, а й прості механізми, які самі по собі роботу не виконують, а являються лише певними посередниками при її виконанні (важелі, блоки, похилі площини, тощо).

Задача.   Визначити к.к.д похилої площини, за умови що коефіцієнт тертя при рівномірному русі по ній 0,2. Кут нахилу площини до горизонту 30°.

Дано:                        Аналіз:

α=30°

μ=0,2                      Малюнок

η= ?

За визначенням  η=(Акорзаг)100%. На основі аналізу тих сил що діють на тіло при його рівномірному русі (підйомі) заданою похилою площиною, визначаємо величини загальної та корисної робіт.

Будемо виходити з того, що робота тієї сили яка тягне тіло вгору (сила тяги Fтяг) і є тією загальною роботою яка виконується при переміщенні тіла похилою площиною, тобто:  Азаг=Fтягℓ, де ℓ – переміщення тіла, величина якого є невідомою. Однак, будемо сподіватися на те, що при застосуванні формули η=Акорзаг, величина ℓ математично скоротиться.

Із аналізу векторної картини діючих на тіло сил, запишемо умову механічної рівноваги тіла в проекціях на осі системи координат, та визначимо величину Fтяг.

∑Fx = Fтяг – Fтер – Fтsinα = 0

∑Fy = N – Fтcosα = 0

Fтяг= Fтер + Fтsinα = μN + mgsinα = μmgcosα + mgsinα = mg(μcosα + sinα).

Таким чином Азаг =Fтягℓ = mgℓ(μcosα + sinα).

Величину корисної роботи можна визначити як різницю між тією роботою яку виконує сила тяги (Азаг) та тією роботою яку виконує сила тертя (Атер) – сила тертя протидіє переміщенню тіла і тому виконує від’ємну роботу:

Акор = Азаг – Атер = Fтягℓ – Fтерℓ = (Fтер + Fт – Fтер)ℓ = ℓFтsinα = mgℓsinα .

Таким чином: η = (Акорзаг)100% = (mgℓsinα100%)/mgℓ(μcosα+sinα).

Звідси:  η = [sinα/(μcosα+sinα)]100%.

Розрахунки:  η = … = 74%.

Відповідь:  η = 74%

Зауваження.  Величину корисної роботи можна визначити і простіше.  Дійсно. Оскільки корисною є та робота що йде на те щоб підняти тіло на висоту h, тобто на збільшення потенціальної енергії тіла, то

Акор = ΔЕ = mgh – 0 = mgh, де  h = ℓsinα.  Звідси Акор = mgℓsinα.

 

Словник фізичних термінів.

Потужність – це фізична величина, яка характеризує роботу виконану за одиницю часу і яка дорівнює цій роботі (роботі виконаній за одиницю часу).

Позначається:  Р

Визначальне рівняння:  Р=А/t

Одиниця вимірювання:   [Р]=Дж/с=Вт,  ват.

Коефіцієнт корисної дії (к.к.д) – це фізична величина, яка характеризує ефективність використання енергії в тому чи іншому приладі і яка дорівнює відношенню тієї енергії що йде на виконання корисної роботи (Екоркор), до загальної кількості наданої приладу енергії (Езагзаг).

Позначається: η

Визначальне рівняння:  η=(Екорзаг)100% ,  або   η=(Акорзаг)100%

Одиниця вимірювання:  [η] = % ,    відсотки.

Контрольні запитання.

1.Великою чи малою є потужність в один ват?

2. З якою середньою потужністю людина виконує довготривалу роботу?

3. Тягове зусилля гусеничного трактора майже в 10 разів більше за тягове зусилля легкового автомобіля. При цьому потужності їх двигунів практично однакові. Як це пояснити?

4. Як ви розумієте твердження: “к.к.д – характеризує ефективність використання енергії в приладі”?

5. Чи може к.к.д приладу дорівнювати 100% ?

6. Чи можна створити “вічний двигун”? Чому?

Вправа 28.

1.Яку середню потужність розвиває людина, яка піднімає відро води масою 12кг з колодязя глибиною 20м за 15с?

2. Визначте потужність насосу який щохвилини піднімає 1300 літрів води на висоту 20м.

3. Двигун насосу, розвиваючи певну потужність піднімає 200м3 води на висоту 10м за 5хв. К.к.д двигуна 40%. Визначте потужність двигуна.

4. Автомобіль масою 2т рушаючи з місця і рухаючись рівноприскорено проходить 20м шляху за 4с. При цьому коефіцієнт опору рухові становить 0,2. Яку потужність розвиває двигун цього автомобіля?

5. Вантаж масою 150кг за допомогою важеля піднімають на висоту 0,2м. При цьому, до довшого плеча важеля прикладають силу 600Н, під дією якої кінець цього плеча опускається на 0,6м. Визначте к.к.д важеля.

6.Визначте к.к.д похилої площини довжиною 2м і висотою 0,5м, якщо коефіцієнт тертя 0,2.

 

§42. Розвязування задач. Тема: Коефіцієнт корисної дії.

 

         Загальні зауваження.  Рішення тих задач в яких так чи інакше фігурує коефіцієнт корисної дії, практично завжди починається з визначального рівняння к.к.д тобто з формули η=(Акорзаг)100%. При цьому в подальшому дотримуються наступної послідовності дій.

1.На основі аналізу умов конкретної задачі визначаються з тим, яка робота в цих умовах є корисною (Акор), а яка затраченою, загальною (Азатр).

2.На основі аналізу умов задачі, виражають Акор та Азатр через відомі величини та ту величину яку треба зайти:

Акор = ….

Азатр = ….

3.Підставляють отримані результати в базову формулу: η=(Акорзаг)100% = …

4.Із отриманої формули визначають невідому величину.

Задача 1.  Насос, двигун якого розвиває потужність 5кВт, за 8хв піднімає певний об’єм води на висоту 6м. Визначте цей об’єм, якщо к.к.д установки 40%.

Дано:            СІ                           Аналіз:

P=5кВт      5∙10Вт       За визначенням η = (Акорзаг)100%.

t= 8хв           480с       За умовами даної задачі, корисною є та робота що

h= 6м               –           йде на піднімання води на висоту h. Цю роботу можна

η=40%             –           визначити за формулою Акор=mgh=ρVgh ,

V=?                              де ρ=1∙103кг/м3 – густина води; g=9,8м/с2 – прискорення

вільного падіння. Оскільки корисну роботу виконує двигун насосу потужність якого Р, то величину загальної роботи, можна визначити за формулою Азаг=Рt.

Таким чином η=(Акорзаг)100% = (ρVgh/Pt)100%.

Звідси V = (ηPt)/(ρgh100%).

Розрахунки:  V = … = 16,3м3 .

Відповідь:  V = 16,3м3 .

Задача 2.  Електровоз рухаючись з швидкістю 54км/год споживає потужність 600Вт. Визначити силу тяги електровоза, якщо його к.к.д 75%.

Дано:                    СІ                        Аналіз:

v=54км/год       15м/с            За визначенням   η = (Акорзаг)100% .

P=600кВт       6∙105Вт        Із аналізу умови задачі ясно, що корисною

η=75%                  –              роботою є та механічна робота яку виконує

Fтяг=?                                    сила тяги електровозу і яку можна визначити

.                                             За формулою    Акор=Fтягℓ .

Оскільки, величина тієї загальної потужності яку споживає електровоз визначається за формулою Р=Азаг/t  то Азаг= Рt .

Таким чином  η = (Акорзаг)100% =(Fтягℓ100%)/Pt .

Враховуючи що при рівномірному русі електровоза ℓ/t=v , можна записати

η=(Fтягv100%)/P ,  звідси   Fтяг=ηР/v100%

Розрахунки:   Fтяг = … =30∙103Н=30кН.

Відповідь:     Fтяг = 30кН .

Задача 3.  Ящик з цвяхами, маса якого 54кг піднімають за допомогою рухомого блока, діючи на мотузку з силою 360Н. Визначити к.к.д установки.

.               

Дано:                           Аналіз:

m=54кг

F=360Н                     Малюнок

η=?

За визначенням η = (Акорзаг)100%.

Із аналізу умови задачі ясно, що корисною є та робота яка йде на піднімання вантажу. Цю роботу можна визначити за формулою Акор=mgh.

Оскільки загальну роботу виконує прикладена до мотузки сила F, та зважаючи на те що для переміщення рухомого блоку на висоту h переміщення мотузки має становити ℓ=2h, можна записати: A = Fℓ = F2h.

Таким чином  η = (Акорзаг)100% =(mgh100%)/2Fh.

Звідси  η = (mg100%)/2F .

Розрахунки:  η = … = 73,5% .

Відповідь:  η = 73,5%.

Задача 4.  Яке зусилля створює гвинтовий домкрат, якщо шаг його гвинта 0,5см, довжина рушійного важеля 40см, а прикладена на краю важеля обертальна сила 110Н. К.к.д домкрата 50%.

.                 

Зауваження.  Гвинтовий домкрат, це прилад який є підсилювачем силової дії і в якому обертальний рух системи гайка – важіль призводить до незначного поступального переміщення піднімального гвинта.

Дано:            СІ                     Аналіз:

Δh=0,5см    5∙10-3м

R=40см         0,4м                  Малюнок

F1=110Н          –

η=50%             –

F2=?                           За визначенням   η = (Акорзаг)100%.

Оскільки в гвинтовому домкраті за один оберт гайки важеля, гвинт піднімається на висоту яка дорівнює шагу гвинта (Δh), то можна стверджувати, що в домкраті корисною є та робота яку виконує сила F2 піднімаючи вантаж на висоту Δh, тобто Акор = F2Δh. При цьому загальною (затраченою) є та робота яку виконує сила F1 переміщуючи точку прикладання на відстань 2πR, тобто Азаг = F12πR. Зважаючи на вище сказане, можна записати: η = (Акорзаг)100% =(F2Δh100%)/(F12πR).

Звідси   F2 = (ηF12πR)/(Δh100%).

Розрахунки: F2 = … = 27,6∙103=27,6кН.

Відповідь:    F2 = 27,6кН.

 

Вправа 29.

1.Відро з піском масою 24кг піднімають за допомогою нерухомого блока, діючи на мотузку з силою 260Н. Визначити к.к.д процесу.

2.Висота похилої площини 1,2м а її довжина 10,8м. Для рівномірного підйому по цій площині вантажу масою 180кг знадобилась сила 250Н. Визначити к.к.д похилої площини.

3.Яка робота була виконана в процесі піднімання вантажу похилою площиною, якщо маса вантажу 60кг, довжина похилої площини 4м, кут її нахилу 30°, коефіцієнт тертя 0,2. Визначити к.к.д похилої площини.

4.Вантаж масою 20кг за допомогою перекинутої через нерухомий блок мотузки піднімають на висоту 8м. Визначити величину тягової сили, величину загальної та корисної роботи, силу тиску на вісь блоку. К.к.д процесу 80%.

5.Кут нахилу похилої площини 30°, а її к.к.д 70%. Визначте коефіцієнт тертя площини.

 

§43* Момент інерції – міра інерціальних властивостей тіла при його обертальному русі.

 

До тепер ми фактично вивчали ту частину динаміки яка називається динамікою матеріальної точки або динамікою поступального руху тіла.  Описуючи цей рух, ми говорили про швидкість руху (v) та його прискорення (a). Вказуючи на причини цього руху, а точніше на причини зміни його швидкості, ми говорили про діючу на тіло силу (F). Характеризуючи здатність тіла протидіяти зміні його швидкості, ми говорили про інерцію тіла, мірою якої є маса (m).

Однак, рух тіла може бути не лише поступальним а й обертальним. Про кінематичні та силові характеристики обертального руху ви вже знаєте. Зокрема знаєте про те, що обертальний рух тіла характеризують кутова швидкість (ω) та кутове прискорення (ɛ). Що причиною обертального руху тіла, а точніше причиною зміни його кутової швидкості є момент сили і що цей момент дорівнює добутку сили на плече її дії (M=Fd). Якщо ж говорити про основну обертально  динамічну властивість тіла та про ту фізичну величину яка є мірою цієї властивості, то ними є відповідно інерція обертального руху та момент інерції.

Нагадаємо, в §31 про інерцію тіла та про ту фізичну величину яка її характеризує було сказано наступне. Інерція – це універсальна властивість тіла, яка полягає в тому, що воно протидіє будь якій зміні його швидкості. Кількісною мірою інерції є маса тіла.

Твердження про те, що маса є мірою інерціальних властивостей тіла потребує певного суттєвого уточнення. І це уточнення полягає в наступному. Коли ми стверджували: “маса є мірою інерціальних властивостей тіла, тобто мірою здатності тіла протидіяти зміні його швидкості”, – то мали на увазі зміну швидкості поступального руху. Адже якщо мова йде про обертальний рух тіла, то в цьому випадку  маса не є безумовно об’єктивною мірою здатності тіла протидіяти зміні його кутової швидкості. Дійсно. Розглянемо три абсолютно однакових (однакових за масою, розмірами, формою, тощо) тіла, які можуть вільно обертатись навколо різних осей обертання (мал.86). Запитується. Чи відрізняються інерціальні властивості цих тіл при їх обертальному русі.

.    інерції мало                      інерції багато                    інерції дуже багато

мал.86.  Маси тіл однакові, а кількість інерції що до обертального руху, різна.

Напевно ви погодитесь з тим (а якщо не погодитесь то це не важко перевірити на практиці), що перше тіло (мал.86а) легко розкрутити і відповідно легко зупинити його обертання. А це означає, що інерція обертального руху даного тіла є малою. Друге тіло (мал.86б) розкрутити значно важче і відповідно важче зупинити його обертання. А це означає, що інерція обертального руху цього тіла значно більша аніж відповідна інерція першого тіла.  Якщо ж говорити про третю ситуацію (мал.86в), то в ній інерція обертального руху тіла є найбільшою. (Застереження: експериментально перевіряти кількість інерціальних властивостей тіла при його обертальному русі, в ситуаціях подібних до тих що зображені на мал.86б,в, небезпечно.)

Оскільки в кожній із трьох вище наведених ситуацій маси тіл є однаковими, а їх інерціальні властивості щодо обертального руху – різні, то можна стверджувати: маса не є об’єктивною мірою інерціальних властивостей тіла при його обертальному русі. Звичайно, це не означає що інерція обертального руху тіла не залежить від його маси. Адже абсолютно очевидно, що легке дерев’яне і аналогічне за формою та розмірами важке залізне тіло мають різну кількість інерції обертального руху, і що ця різність обумовлена різницею їх мас. Однак не менш очевидно і те, що інерція обертального руху тіла залежить не лише від його маси, а й від того, наскільки віддаленими є його складові частини від осі обертання.

В науці об’єктивною мірою інерціальних властивостей тіла при його обертальному русі є не маса, а величина яку називають моментом інерції. Числове значення цієї величини визначають наступним чином .

1.Дане тіло представляють як сукупність достатньо великої кількості невеличких фрагментів, які можна вважати матеріальними точками.

2.Визначають добутки мас кожної з цих матеріальних точок на квадрат відстані до осі обертання тіла.

3.Визначають загальну суму цих добутків.

Ця сума і є моментом інерції даного тіла відносно відповідної осі обертання. Іншими словами, момент інерції тіла визначають за формулою:

J = ∑miri2, (і змінюється від i=1 до i=N),

де  J – момент інерції тіла відносно певної осі обертання;

mi – маса і-тої матеріальної точки;

ri – відстань від цієї точки до осі обертання тіла;

N – та кількість матеріальних точок на яку умовно розділено дане тіло.

.             

Мал.87 Момент інерції тіла визначають за формулою J = ∑miri2.

Момент інерції – це фізична величина, яка характеризує інерціальні властивості тіла щодо його обертання навколо певної осі.

Позначається:  J

Визначальне рівняння:  J = ∑ miri2

Одиниця вимірювання: [J] = кг∙м2,   кілограм-метр квадратний.

Потрібно зауважити, що на відміну від маси тіла, величина його моменту інерції не є безумовно незмінною величиною. Адже одне і теж тіло, по відношенню до різних осей обертання може мати різні моменти інерції.

З практичної точки зору, визначальне рівняння моменту інерції (J=∑miri2) є незручним. Тому на практиці, момент інерції конкретного тіла визначають на основі певного набору відомих формул що є похідними від базового визначального рівняння,  але відрізняються від нього своєю практичною зручністю. Наведемо деякі з подібних формул, для однорідних геометрично простих тіл, осі обертання яких проходять через їх центри мас.

Мал.88. Моменти інерції деяких геометрично простих тіл.

1.Куля масою m і радіусом R: J0 = (2/5)mR2

2.Тонкостінна сфера масою m і радіусом R : J0 = (2/3)mR2

3.Стержень масою m і довжиною ℓ : J0 = (1/12)mℓ2

4.Суцільний циліндр (вал, стержень) масою m і радіусом R : J0 = (1/2)mR2

5.Порожнистий тонкостінний циліндр масою m і радіусом R :J0 = mR2.

Можна довести: якщо момент інерції тіла відносно тієї осі що проходить через його центр мас дорівнює J0, то момент інерції цього тіла (J) відносно іншої паралельної осі визначається за формулою  J = J0 + mb2,  де m – маса тіла;  b – відстань від центру мас тіла до відповідної осі обертання. Наприклад, якщо момент інерції однорідного стержня (мал.89) відносно тієї осі що проходить через його центр мас становить J0=(1/12)mℓ2), то його момент інерції відносно паралельної осі що проходить по краю стержня (тобто відносно осі для якої b=ℓ/2), становитиме:

J = J0 + mb2 = (1/12)mℓ2 + m(ℓ/2)2 = (1/3)mℓ2.

 

J0                                               J = J0 + mb2

Мал.89.  При паралельному переносі осі обертання тіла, його момент інерції змінюється. При цьому:  J = J0 + mb2.

Якщо складне тіло можна представити у вигляді певної сукупності більш простих тіл, моменти інерції яких відомі або такі, що можуть бути визначеними, то загальний момент інерції цього тіла визначається як сума моментів інерцій окремих тіл. Наприклад в ситуаціях зображених на мал.90, загальні моменти інерції складних тіл відносно заданих осей обертання визначаються за формулами: а) J = J1 + J2   б) J = J1 + m1b12 + J3 + J2 + m2b22 .

Мал.90.  Момент інерції складного тіла визначається як сума моментів інерцій його складових частин.

 

Словник фізичних термінів.

          Момент інерції – це фізична величина, яка характеризує інерціальні властивості тіла щодо його обертання навколо певної осі.

Позначається:  J

Визначальне рівняння:  J = ∑ miri2

Одиниця вимірювання: [J] = кг∙м2,   кілограм-метр квадратний.

Контрольні запитання.

1.Що є причиною зміни швидкості: а) поступального руху тіла; б) обертального руху тіла.

2.Чому масу не можна вважати об’єктивною мірою інерціальних властивостей обертального руху тіла?

3.Яка фізична величина є об’єктивною мірою інерціальних властивостей тіла щодо його обертального руху?

4.Чому з практичної точки зору визначальне рівняння моменту інерції є незручним?

5.Чи є момент інерції тіла постійною величиною?

6.Як момент інерції тіла при паралельному переносі осі обертання на відстань b?

Вправа 30.

1.Визначте момент інерції суцільного стального стержня довжиною 40см і діаметром 5см, в наступних ситуаціях: а) вісь обертання проходить через центр мас і направлена вздовж стержня; б) вісь обертання проходить через центр мас і направлена поперек стержня; в) вісь обертання стержня проходить через край стержня і є перпендикулярною до його поздовжньої осі. Густина сталі 7,8∙103кг/м3 .

2.Визначте і порівняйте моменти інерції двох суцільних куль – свинцевої і дерев’яної. Маси куль однакові і чисельно рівні 5кг. Густина свинцю 11,4кг/м3, густина дерева 600кг/м3.

3.Визначте момент інерції тіла яке складається з двох однакових суцільних куль масою по 5кг кожна, з’єднаних стержнем масою 5кг і довжиною 30см. Радіуси куль по 10см, діаметр стержня 5см. Момент інерції визначте відносно осі яка проходить через центр мас системи: а) вздовж осі стержня; б) перпендикулярно цій осі.

 

§44* Кінетична енергія тіла що обертається.

 

Коли ми стверджуємо, що рухоме тіло має кінетичну енергію, величина якої визначається за формулою Ek=mv2/2, то маємо на увазі енергію його поступального руху. Але ж тіло може рухатись не лише поступально а й обертально. При цьому, абсолютно очевидно, що те тіло яке поступально не  рухається а лише обертається, здатне виконати певну роботу, а отже є таким що має певну кількість енергії. Величину цієї енергії можна визначити із наступних міркувань.

Припустимо, що деяке довільне тіло (мал.91б) обертається навколо нерухомої осі що проходить через його центр мас (т.О) і є перпендикулярною до площини малюнку. Розіб’ємо це тіло на N матеріальних точок маси яких m1, m2, m3, …, mN . Лінійні швидкості цих точок позначимо відповідно v1, v2, v3, …, vN , а їх відстані до осі обертання r1, r2, r3, …, rN.

Мал.91.  Кожна точка тіла має певну кінетичну енергію: Екі=mivi2/2, при цьому загальна кінетична енергія обертального руху тіла становить Ек=J0ω2/2 .

Оскільки кожна точка тіла рухається з певною лінійною швидкістю, то вона має певну кінетичну енергію, величина якої визначається за формулою Екі=mivi2/2. При цьому загальна кінетична енергія тіла дорівнюватиме сумі кінетичних енергій всіх його матеріальних точок:

Ек = m1v12/2 + m2v22/2 + … + mNvN2/2 = ∑ mivi2/2.

Зважаючи на те що при обертальному русі матеріальної точки, її лінійна (v) та кутова (ω) швидкості зв’язані співвідношенням v=ωr. І враховуючи що

ω1 = ω2 =  … =  ωN, можна записати: Ek = m1ω12r12/2 + m2ω22r22/2 + … +

+ mNωN2rN2/2 = (ω2/2)(m1r12+m2r22+…+mNrN2) = (ω2/2)∑miri2 = J0ω2/2 .

Таким чином, тіло що обертається навколо осі яка проходить через його центр мас, має кінетичну енергію (енергію обертального руху) величина якої визначається за формулою  Ек=J0ω2/2, де J0 – момент інерції тіла відносно осі його обертання; ω – кутова швидкість тіла.

Не важко бачити, що формула Ек=J0ω2/2 в певному сенсі є аналогічною тій за якою визначають кінетичну енергію поступального руху тіла: Ек=mv2/2. Різниця лише в тому, що при поступальному русі тіла, мірою інерції є маса (m), а при обертальному – момент інерції (J). При поступальному русі мірою швидкості руху є лінійна швидкість (v), а при обертальному русі – кутова швидкість (ω).

В багатьох практично важливих ситуаціях тіло одночасно рухається як поступально так і обертально (обертається навколо свого центру мас). Наприклад Земля, з певною лінійною швидкістю рухається навколо Сонця і з певною кутовою швидкістю обертається навколо своєї осі. Колесо рухомого автомобіля, куля що вилітає з дула нарізної зброї, акробат який виконує сальто, підкручений футбольний м’яч – в цих та їм подібних випадках, тіла рухаються як поступально так і обертально. При цьому їх загальна кінетична енергія визначається за формулою: Ек = mv2/2 + J0ω2/2, де  v – швидкість поступального руху центру мас тіла;  J0 – момент інерції тіла відносно осі яка проходить через його центр мас і навколо якої обертається тіло.

Розглянемо декілька конкретних ситуацій в яких тіло рухається поступально-обертально та визначимо кількісні співвідношення між величинами їх кінетичної енергії поступального і обертального рухів.

Задача 1.  Однорідний суцільний циліндр масою m котиться без ковзання горизонтальною площиною. Визначити кінетичну енергію циліндра, якщо швидкість його поступального руху v. Яку частину від цієї енергії становитиме кінетична енергія обертального руху?

.              

Дано:                            Аналіз:

m

v                                Малюнок

Ек

Екобк=?            Оскільки даний циліндр рухається як поступально так і обертально, то його загальна кінетична енергія складається з двох частин: кінетичної енергії поступального руху Ек=mv2/2 та кінетичної енергії обертального руху Ек=J0ω2/2 , тобто: Ek = mv2/2 + J0ω2/2.

Враховуючи, що момент інерції однорідного циліндра при його обертанні навколо своєї осі симетрії визначається за формулою J0=(1/2)mR2, де R – радіус циліндра, та зважаючи на те що при обертальному русі циліндра його поступальна (v) і обертальна (ω) швидкості зв’язані співвідношенням ω=v/R , можна записати:  J0ω2/2 =(1/2)(mR2/2)(v2/R2) = mv2/4.

Таким чинам:  1)  Ek = mv2/2 + mv2/4 = (3/4)mv2 ;

.                                    2)  Екобк = (mv2/4)/(3mv2/4) = 1/3 = 0,33 = 33%

Відповідь:  Ek = (3/4)mv2;   Екобк=33%

Задача 2.  Однорідна суцільна куля що знаходиться на висоті h, скочується без ковзання похилою площиною. Визначити швидкість кулі в нижній точці похилої площини. Яка частина енергії кулі буде перетворена в кінетичну енергію її обертання? Втратами енергії на тертя та опір повітря знехтувати.

Дано:                              Аналіз:

h

v0=0м/с                         Малюнок

v=?

Ekобп=?        Розглянемо енергетичні параметри кулі перед та після спуску. Оскільки за умовою задачі втратами енергії можна знехтувати, то згідно з законом збереження енергії, потенціальна енергія кулі  Еп=mgh в процесі руху (скочування) перетворюється у відповідну кількість її кінетичної енергії. А зважаючи на те, що в процесі руху, куля набуває не лише лінійної а й кутової швидкості, можна записати: mgh =mv2/2 + J0ω2/2.

Враховуючи, що для однорідної суцільної кулі J0=(2/5)mR2, а також що при обертальному русі кулі її поступальна (v) та кутова(ω) швидкості зв’язані співвідношенням ω=v/R, можна записати: J0ω2/2 = 2mR2v2/2∙5R2 = mR2/5 .

Таким чином: mgh = mv2/2 + mv2/5 = 7mv2/10,

звідси:  1)   v = (10gh/7)1/2;

2)   Eкоб/Eп = (mv2/5)/(7mv2/10) = 10/35 = 0,29 = 29%

Відповідь:  v = (10gh/7)1/2;

Eкоб/Eп = 29%.

Аналізуючи результати вище розв’язаних задач, не важко бачити, що значна частина кінетичної енергії тіла (в першому випадку 33%, в другому –  29%) може бути зосередженою у вигляді енергії його обертального руху. Тому, якщо за певних умов, оцінюючи кінетичну енергію тіла за формулою Ек=mv2/2, ви  з’ясуєте що цієї енергії виявилось значно менше за розрахункову величину, не поспішайте стверджувати, що закон збереження енергії не працює. Краще подивіться на те, чи не перетворилась частина вашої початкової енергії в енергію обертального руху. Або якщо, наприклад, в певній ситуації з’ясується, що величина виконаної тілом роботи більша за величину тієї початкової енергії яку ви визначили за формулою Ек=mv2/2, то знову ж таки, не поспішайте звинувачувати закон збереження енергії. А краще зверніть увагу на те чи не мало ваше тіло енергії обертального руху.

Говорячи про енергію поступального та обертального руху, доречно зробити ще одне важливе зауваження. Коли ми стверджуємо, що кінетична енергія тіла складається з енергії його поступального та обертального руху, і що її загальна величина визначається за формулою Ек = mv2/2 + J0ω2/2, то під обертальним рухом розуміємо обертання тіла навколо свого центру мас, а не навколо певної сторонньої точки. Адже якщо, наприклад, тіло (матеріальна точка) з певною лінійною швидкістю (v) та відповідною кутовою швидкістю (ω) обертається навколо точки О (мал.92) і не обертається навколо власного центру мас, то повна кінетична енергію цього тіла має визначатись за формулою Ек=mv2/2.

.        

Мал. 92.  Якщо тіло обертається навколо т.О і не обертається навколо свого центру мас, то його кінетичну енергію потрібно визначати за формулою Ек=mv2/2.

На перший погляд здається, що оскільки рух матеріальної точки по колу є як поступальним так і обертальним, то відповідна точка повинна мати як енергію поступального руху так і енергію обертального руху. Насправді ж ця точка має лише одну енергію. І цю енергію можна назвати як енергією поступального руху Ек=mv2/2, так і енергією обертального руху Ек=J0ω2/2 . При цьому, в незалежності від того, як ви назвете цю енергію і за якою формулою (Ек=mv2/2 чи Ек=J0ω2/2) її визначатимете, результат буде абсолютно однаковим. Дійсно. Для будь якої матеріальної точки що рухається по колу радіусом R, справедливо:

J0=mR2 ; ω=v/R   тому   Ek=J0ω2/2=mR2v2/2R2=mv2/2.

По суті це означає, що описуючи обертальній рух матеріальної точки, її кінетичну енергію можна визначити як за формулою Ек=mv2/2  так і за формулою Ек=J0ω2/2 . Однак не можна одну і ту ж енергію враховувати двічі.

Таким чином, якщо визначаючи кінетичну енергію того тіла що поступально рухається круговою орбітою, ви застосовуєте формулу

Ек= mv2/2 + J0ω2/2  то вчиняєте не правильно. Не правильно тому, що двічі обчислюєте одну і ту ж енергію. Формула Ек= mv2/2 + J0ω2/2    справедлива лише в тих випадках коли тіло дійсно приймає участь в двох незалежних рухах: поступальному та обертальному. Наприклад Земля одночасно обертається як навколо Сонця так і навколо своєї осі. Тому її загальну кінетичну енергію потрібно визначати за формулою

Ек=mv2/2 + J0ω2/2.

Втім, кінетична енергія тіла, як і швидкість його механічного руху, є величиною відносною. Тому визначаючи цю енергію, потрібно враховувати ті конкретні обставини по відношенню до яких ця енергія і визначається.

Словник фізичних термінів.

         Тіло яке з певною кутовою швидкістю (ω) обертається навколо свого центру мас, має певну кінетичну енергію, величина якої визначається за формулою Ек=J0ω2/2.

Контрольні запитання.

1.Коли ми говоримо, що кінетична енергія тіла визначається за формулою Ек=mv2/2, то яку енергію маємо на увазі?

2.Наведіть приклади ситуацій в яких кінетична енергія тіла має як поступальну так і обертальну складову.

3.Чим схожі і чим відрізняються формули Ек=mv2/2 і Ек=J0ω2/2 ?

4.В яких ситуаціях формули Ек=mv2/2 і Ек=J0ω2/2  визначають одну і ту ж кінетичну енергію?

5.Чи може куля яка котиться вгору по похилій площині і має енергію поступального руху 100Дж, піднятись на висоту яка відповідає енергії 120Дж? Поясніть.

Вправа 31.

1.Однорідна суцільна куля масою 5кг і радіусом 20см обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю 10рад/с. Визначте кінетичну енергію кулі.

2.Однорідна суцільна куля масою 5кг і радіусом 20см котиться горизонтальною поверхнею, маючи при цьому кутову швидкість 10рад/с. Визначте кінетичну енергію кулі.

3.Суцільний однорідний циліндр скочується без ковзання похилою площиною з висоти 2м. визначити швидкість поступального руху циліндру в кінці спуску. Втратами енергії знехтувати.

4.Тонкостінний циліндр (труба) що знаходиться на висоті х, без ковзання скочується похилою площиною. Яка частина його потенціальної енергії перетворюється в енергію поступального руху, а яка – в енергію обертального руху?

5.Визначте повну кінетичну енергію планети Земля. Маса Землі 6∙1024кг, її радіус 6,37∙106м, відстань до Сонця 1,5∙1011м. Порівняйте енергію поступального руху Землі з енергією її обертального руху.

 

§45*. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу.

 

         Однією з найважливіших величин динаміки обертального руху є момент імпульсу.

Момент імпульсу – це фізична величина, яка є мірою кількості обертального руху тіла і яка дорівнює добутку моменту інерції тіла J на його кутову швидкість ω.

Позначається:  L

Визначальне рівняння:  L=Jω

Одиниця вимірювання: [L]=кг∙м2/с,   кілограм-метр квадратний на секунду.

Фактично момент імпульсу є величиною векторною. Однак, зважаючи на те, що в межах програми загальноосвітньої школи вивчають лише ті обертальні рухи які відбуваються в певній визначеній площині, момент імпульсу можна вважати величиною скалярною.

Не важко бачити, що в динаміці обертального руху, момент імпульсу тіла (L=Jω) є певним аналогом тієї величини, яку в динаміці поступального руху називають імпульсом (p=mv). Різниця лише в тому, що при поступальному русі тіла, мірою його інерції є маса (m), а мірою швидкості руху – лінійна швидкість (v). При обертальному ж русі тіла, мірою його інерції є момент інерції (J), а мірою обертальної швидкості – кутова швидкість (ω).

Дослідження показують, що при будь яких процесах які відбуваються в замкнутій системі, зберігається не лише імпульс та енергія цієї системи, а й її момент імпульсу. Цей факт відображає закон який називається законом збереження моменту імпульсу. В цьому законі стверджується: При будь яких процесах які відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість моменту імпульсу цієї системи залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами ∑(Jω)до = ∑(Jω)після    або      ∑(Jω) = const.

Із закону збереження моменту імпульсу випливає, що при будь якій зміні моменту інерції замкнутої системи, автоматично змінюється швидкість її обертального руху (якщо J↓ то ω↑ , якщо J↑ то ω↓). Ілюструючи дію закону збереження моменту імпульсу, можна провести наступний експеримент. В центрі платформи виготовленої у вигляді легкого диску що може вільно обертатись, стоїть людина в руках якої знаходяться гантелі (мал.93а). Системі платформа-людина надають певного обертального руху. При цьому, коли людина притискає руки до тулуба, то швидкість обертального руху системи збільшується, а коли максимально розводить руки – зменшується. Подібні ситуації можна бачити коли наприклад фігуристи виконують вправу «дзиґа», або коли стрибуни у воду виконують багато обертальні сальто, або коли акробати виконують різноманітні кульбіти.

    

Мал.93.  Якщо момент інерції системи зменшується, то швидкість її обертання збільшується. І навпаки.

Коментуючи результати даного експерименту можна сказати наступне. Коли людина притискає руки до тулуба (наближає до осі обертання системи), її момент інерції, а отже і момент інерції всієї системи, зменшується (J↓). При цьому, у повній відповідності з законом збереження моменту імпульсу (Jω=со) швидкість обертального руху системи збільшується (ω↑). Якщо ж людина знову розводить руки, то момент інерції системи збільшується (J↑), а швидкість її обертального руху відповідно зменшується (ω↓).

Закон збереження моменту імпульсу відіграє надзвичайно важливу роль в багатьох природних процесах. Зокрема під значним впливом цього закону формуються планетарні та зіркові системи. З’ясовуючи суть цього впливу розглянемо декілька задач.

Задача 1.  Однорідна газоподібна куля радіусом R1 обертається з кутовою швидкістю ω1 . Під дією внутрішніх сил гравітаційної взаємодії куля стискається. При цьому її радіус зменшується в n разів. У скільки разів збільшиться швидкість обертального руху кулі.

Дано:                               Аналіз:

R1/R2=n            Згідно з законом збереження моменту імпульсу, момент

ω21=?         імпульсу системи до події J1ω1 (до зменшення розмірів кулі) і після події J2ω2 , має бути незмінним, тобто J1ω1 = J2ω2. Звідси ω21 = J1/J2.

Враховуючи що для однорідної кулі J=(2/5)mR2, можна записати

ω21 = [(2/5)mR12]/(2/5)mR22]= (R1/R2)2 = n2 .

Відповідь: ω21 = n2

Таким чином, при зменшенні радіусу кулі в n разів, швидкість її обертального руху збільшується в n2 разів.

З іншого боку, коли під дією гравітаційних сил (а ці сили завжди направлені до центру мас системи), куля стискається і відповідно розкручується, то автоматично збільшується і діюча на частинки кулі сила інерції. Дійсно.

Задача 2   За умовою попередньої задачі, визначити у скільки разів збільшиться та сила інерції що діє на частинки екваторіальної поверхні кулі.

.                  

Дано:                                    Аналіз:

R1/R2 = n                              Малюнок

Fi2/Fi1= ?

Розглянемо кінематичні та силові параметри декількох точок які знаходяться на поверхні кулі що обертається. При обертальному русі кулі, кожна її точка (за винятком тих що знаходяться на осі обертання) рухається з певним доцентровим прискоренням (aд =v2/r=ω2r) і тому на неї діє відповідна сила інерції. Величину цієї сили можна визначити за формулою Fi =maд = mω2r.

Ясно, що для точок екваторіальної поверхні кулі діюча на них сила інерції буде максимально великою і такою що визначається за формулою Fi=mω2R. При цьому, якщо в процесі гравітаційного стиснення, радіус кулі зменшиться від R1 до R2, то екваторіальні сили інерції зміняться від Fi1=mω12R1 до Fi2=mω22R2. Звідси  Fi2/Fi1=mω22R2/mω12R1=(ω21)2(R2/R1). A враховуючи що  ω21=n2; R2/R1=1/n, можна записати  Fi2/Fi1 = (n2)2∙(1/n) = n3.

Відповідь:  Fi2/Fi1 = n3.

Аналізуючи та узагальнюючи результати вище розглянутих ситуацій, можна сказати наступне. На частинки тієї кулі що обертається і в процесі обертання гравітаційно стискається, діють два силові фактори. 1) Об’ємні сили гравітаційної взаємодії які прагнуть зібрати всі частинки кулі в одну точку – центр мас системи. 2) Плоскі сили інерції, які протидіють гравітаційному стисненню системи, але протидіють лише в площині обертання частинок речовини (в тій площині що є перпендикулярною до осі обертання системи). І потрібно зауважити, що при зменшенні радіусу кулі в n разів, гравітаційні сили збільшуються в n2 разів, а сили інерції – в n3 разів. А це означає, що за певних умов, сили інерції можуть зупинити гравітаційне зближення частинок речовини. Але лише тих, які знаходяться в околицях екваторіальної площини обертання системи.

Не важко збагнути, що у вище описаній ситуації, об’ємні гравітаційні сили, зберуть подавляючу більшість речовини в центральній частині системи. При цьому, ті частинки речовини які були зосередженими в околицях екваторіальної площини системи, під дією рівних за величиною і протилежних за напрямком сил інерції та гравітації залишаться у відповідних місцях екваторіальної площини. А це означає, що в процесі гравітаційного стиснення, величезна газоподібна куля поступово перетвориться на дископодібну структуру в центральній частині якої буде зосереджена левова (понад 95%) частка її речовини.

Таким чином, якщо величезна газоподібна кіля обертається з певною початковою кутовою швидкістю, то у відповідності з законом всесвітнього тяжіння та законом збереження моменту інерції, ця куля в процесі гравітаційного стиснення перетворюється на дископодібну структуру, яка складається з масивного центрального ядра та значно менш масивної периферійної частини.

Прикладом реалізації вище описаних подій є наша Сонячна система. Приблизно 5 мільярдів років тому на місці сучасної Сонячної системи була гігантська вихрова газопилова хмара. Під дією гравітаційних сил ця вихрова хмара поступово стискалась. А стискаючись – збільшувала швидкість свого обертання. Результатом цього тривалого процесу стало те, що через декілька мільйонів років, гігантська хмара перетворилась на величезний диск, в центрі якого було зосереджено близько 98% загальної маси системи. Поступово центральна частина цього диску перетворилась на те що ми називаємо Сонцем. А в його периферійній частині сформувались дрібніші космічні об’єкти які ми називаємо планетами (мал94).

Мал.94. Сучасна Сонячна система, це результат тривалого еволюційного процесу, хід якого визначали сили гравітаційної взаємодії, сили інерції та закон збереження моменту імпульсу.

Потрібно зауважити, що вище описана картина космічних подій, буде реалізована лише в тому випадку, якщо швидкість обертання системи та її загальна маса знаходяться в певному інтервалі співвідношень. Загалом же, в залежності від величини цього співвідношення, можливі три варіанти кінцевого результату: а) зірка яка не має планетарної системи; б) зірка яка має планетарну систему; в) система двох або декількох зірок, що обертаються навколо спільного центру.

Втім, про те як утворюються планетарні та зіркові системи, як народжуються, живуть, старіють та помирають зірки, ми поговоримо дещо пізніше. А точніше, в тому розділі фізики який називається “Космологією” – наукою про Всесвіт.

 

Словник фізичних термінів.

         Момент імпульсу – це фізична величина, яка є мірою кількості обертального руху тіла і яка дорівнює добутку моменту інерції тіла J на його кутову швидкість ω.

Позначається:  L

Визначальне рівняння:  L=Jω

Одиниця вимірювання: [L]=кг∙м2/с,   кілограм-метр квадратний на секунду.

        Закон збереження моменту імпульсу – це закон, в якому стверджується:

При будь яких процесах які відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість моменту імпульсу цієї системи залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами   ∑(Jω)до = ∑(Jω)після    або     ∑(Jω) = const.

Контрольні запитання.

1.Аналогами яких фізичних величин є кутова швидкість; момент сили; момент інерції; момент імпульсу?

2.Чим схожі і чим відрізняються імпульс та момент імпульсу?

3.Чому в процесі стиснення тіла, швидкість його обертання збільшується, а в процесі розширення – зменшується?

4.Наведіть приклади спортивних та інших вправ, які мають відношення до закону збереження моменту імпульсу.

5.В процесі гравітаційного стиснення, радіус газової кулі зменшився в 5 разів. У скільки разів збільшилась швидкість її обертання? У скільки разів збільшаться ті сили інерції, що діють на частинки кулі в її екваторіальній площині? До чого призведе дія цих сил?

6.Чому газова куля, в процесі гравітаційного стиснення набуває дископодібної форми?

 

§46* Закони Ньютона в механіці обертального руху.

 

         Вивчаючи механіку, важко не звернути увагу на очевидну симетричність тих величин і тих законів які фігурують в механіці поступального та механіці обертального руху. Дійсно.

        Поступальний рух           Обертальний рух
 Швидкість                            v=Δx/Δt Кутова швидкість                  ω=Δφ/Δt
 Прискорення                        a=Δv/Δt Кутове прискорення              ɛ=Δω/Δt
 Сила                                      F=ma Момент сили                          M=Fd
 Маса                                      m Момент інерції                       J=∑miri2
 Імпульс                                 p=mv Момент імпульсу                   L=Jω
 Кінетична енергія               Ek=mv2/2 Кінетична енергія                  Ek=Jω2/2
 Рівняння руху              x=x0+v0t+at2/2 Рівняння руху              φ=φ00t+ɛt2/2
 Умова рівноваги                  ∑ F=0 Умова рівноваги                     ∑ M=0
 Закон збереження імпульсу         

                                            ∑mv=const

Закон збереження моменту імпульсу

                                             ∑Jω=const

 

Така симетричність характерна не лише для окремих величин та окремих законів механіки, а й для тих її базових тверджень які називаються законами Ньютона. Коли в §33 ми говорили про перший, другий та третій закони Ньютона, то згадували про те, що в механіці обертального руху кожен з них має свого “близнюка”. І от прийшов час познайомитись з цими “близнюками”. А щоб симетричність законів Ньютона була очевидною, давайте сформулюємо ці закони відповідними парами.

Перший закон Ньютона (в механіці поступального руху). Будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v = const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан.

Перший закон Ньютона (в механіці обертального руху). Будь яке тіло буде знаходитись в стані обертального спокою (ω=0), або в стані рівномірного обертального руху (ω=соnst) до тих пір, поки на нього не подіє зовнішній момент сили, який і змусить тіло змінити цей стан.

Другий закон Ньютона (в механіці поступального руху). Під дією зовнішньої сили F, тіло масою m отримує прискорення а, величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі, тобто:   F    a = F/m.

Другий закон Ньютона (в механіці обертального руху). Під дією зовнішнього моменту сили М тіло з моментом інерції J, отримує кутове прискорення ɛ, величина якого прямо пропорційна діючому на тіло моменту сили і обернено пропорційна моменту інерції тіла, тобто: Мɛ = М/J.

Третій закон Ньютона (в механіці поступального руху)  Діюча на тіло сила F, завжди  породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу F′, тобто:  F → F′ = – F .

Третій закон Ньютона (в механіці обертального руху). Діючий на тіло момент сили М, завжди породжує рівний йому за величиною і протилежний за напрямком протидіючий момент сили М´, тобто  М → М´= -М.

Не важко бачити, що закони Ньютона для обертального руху, відрізняються від аналогічних законів для поступального руху, лише тим, що в них замість сили F фігурує момент сили M, замість маси m – момент інерції J, замість прискорення а – кутове прискорення ɛ, а замість швидкості v – кутова швидкість ω. Втім, між законами Ньютона для механіки поступального руху і законами Ньютона для механіки обертального руху існують і певні принципові відмінності. Точніше, принципова відмінність стосується лише тієї частини першого закону Ньютона, яка відображає його зв’язок з принципом відносності.

Про той нерозривний зв’язок що існує між принципом відносності та першим законом Ньютона, ми детально говорили в §32 та §33. При цьому наголошували на тому, що в першому законі Ньютона, окрім закону інерції, опосередковано сформульовано і принцип відносності. Дійсно. В першому законі Ньютона стверджується: будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху

(v = const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан. По суті це означає, що з фізичної точки зору стан спокою (v=0) і стан прямолінійного рівномірного руху (v=const), це один і той же механічний стан системи (цей стан). Один і той же, в тому сенсі, що всі фізичні процеси які відбуваються в кабіні що стоїть і в кабіні що рівномірно рухається, відбуваються абсолютно однаково (Принцип відносності).

З іншого боку, в аналогічному за формою законі Ньютона для обертального руху стверджується: будь яке тіло буде знаходитись в стані обертального спокою (ω=0), або в стані рівномірного обертального руху (ω=соnst) до тих пір, поки на нього не подіє зовнішній момент сили, який і змусить тіло змінити цей стан.

На основі формального аналізу даного закону, можна зробити на перший погляд абсолютно логічний висновок: стан обертального спокою (ω=0) і стан рівномірного обертального руху (ω=const), це один і той же механічний стан системи (цей стан). Один і той же в тому сенсі, що всі фізичні процеси які відбуваються в кабіні що не обертається (ω=0) і в кабіні що рівномірно обертається (ω=const), відбуваються абсолютно однаково. Насправді ж такий висновок є хибним.  Хибним бодай тому, що суперечить експериментальним фактам. Адже якщо ви будете перебувати в закритій ізольованій кабіні і вона почне рівномірно обертатись, то ви неодмінно відчуєте факт цього обертання. Відчуєте тому, що на вас подіє певна сила інерції яка і вкаже на те що кабіна обертається. При цьому, чим більшою буде швидкість обертання кабіни, тим більшою буде відповідна сила інерції.

Мал.95. Перебуваючи в «кабіні» яка обертається, ви неодмінно відчуєте факт цього обертання.

Таким чином, принципова відмінність між поступальним та обертальним рухом полягає в тому, що ті події які відбуваються в кабіні яка стоїть (v=0) і в кабіні яка рівномірно поступально рухається (v=const) відбуваються абсолютно однаково. Натомість, ті події що відбуваються в кабіні яка не обертається (ω=0) і в кабіні яка рівномірно обертається (ω=const) відбуваються по різному. Ця різність проявляється не лише в тому, що тіла “відчувають” факт обертання кабіни, а й в тому що в процесі обертання змінюються параметри самих тіл. Адже якщо, наприклад, тіло кулястої форми (мал.96) почне обертатись навколо своєї осі, то воно в тій чи іншій мірі деформується, в ньому виникне певна сила пружності, певна механічна напруга, тощо.

.            

Мал.96.  При рівномірному обертанні тіла, його геометричні та інші параметри певним чином змінюються.

До речі. З факту того, що в процесі обертального руху тіла, певним чином змінюються параметри самого тіла, зокрема його момент інерції, випливає ще одна суттєва відмінність між законами Ньютона для поступального та обертального рухів. І ця відмінність стосується другого закону Ньютона. Дійсно. В другому законі Ньютона для поступального руху стверджується:  Fa = F/m. При цьому, цілком обгрунтовано мається на увазі, що в процесі поступального руху тіла, його маса залишається незмінною (m=const). Якщо ж говорити про другий закон Ньютона для обертального руху: М ɛ = М/J, то застосовуючи цей закон, потрібно мати на увазі, що в загальному випадку момент інерції тіла певним чином залежить від швидкості його обертання. Адже в процесі збільшення швидкості обертання тіла (ω↑), це тіло певним чином деформується (розтягується). При цьому момент інерції тіла збільшується (J↑), а відповідно зменшується величина його кутового прискорення (ε=M/J)↓.

Таким чином, порівнюючи закони Ньютона для поступального та обертального руху, можна виділити дві суттєві відмінності:

1. Перший закон Ньютона для обертального руху, не можна тлумачити як такий в якому опосередковано сформульовано принцип відносності. Не можна тому, що при переході від стану обертального спокою (ω=0) до стану рівномірного обертального руху (ω=const) ми по суті переходимо від інерціальної системи відліку до неінерціальної. В принципі ж відносності стверджується: “у всіх інерціальних системах відліку, всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково”.

2. Застосовуючи другий закон Ньютона для обертального руху, потрібно мати на увазі, що момент інерції тіла (J) певним чином залежить від швидкості його обертання.

 

Словник фізичних термінів.

Закони Ньютона в механіці обертального руху.

Перший закон Ньютона (в механіці обертального руху) – це закон, в якому стверджується: Будь яке тіло буде знаходитись в стані обертального спокою (ω=0), або в стані рівномірного обертального руху (ω=соnst) до тих пір, поки на нього не подіє зовнішній момент сили, який і змусить тіло змінити цей стан.

Другий закон Ньютона (в механіці обертального руху) – це закон, в якому стверджується: Під дією зовнішнього моменту сили М тіло з моментом інерції J, отримує кутове прискорення ɛ , величина якого прямо пропорційна діючому на тіло моменту сили і обернено пропорційна моменту інерції тіла, тобто: Мɛ = М/J .

Третій закон Ньютона (в механіці обертального руху) – це закон, в якому стверджується: Діючий на тіло момент сили М, завжди породжує рівний йому за величиною і протилежний за напрямком протидіючий момент сили М´, тобто  М → М´= -М.

 

Контрольні запитання.

1.Назвіть величини які в механіці обертального руху є аналогами маси, сили, імпульсу, швидкості, пройденого шляху.

2.По парно сформулюйте закони Ньютона для поступального та обертального руху. Порівняйте ці закони.

3.Сформулюйте принцип відносності, (два формулювання).

4.Чому в процесі обертання тіла навколо свого центру мас, це тіло деформується? Як при цьому змінюється момент інерції тіла?

5.Чим перший закон Ньютона для обертального руху, принципово відрізняється від першого закону Ньютона для поступального руху?

6.Чим другий закон Ньютона для обертального руху суттєво відрізняється від аналогічного закону для поступального руху?

 

 

Подобається