Тема 1.2

СТАТИКА

 

Тема 1.2. Статика.

§18. Статика. Основні поняття, величини та закони статики.               101

§19. Чи завжди 2 + 2 = 4? Або про додавання

векторних величин.                                                                                          107

§20. Сила тяжіння. Реакція опори. Загальні відомості

щодо розв’язування задач статики.                                                              112

§21. Сила тертя.                                                                                                  119

§22. Механічні деформації. Сила пружності.

Механічна напруга. Закон Гука.                                                                     126

§23. Про силу звичайну та силу інерції. Або про те, чому

різні тіла падають з однаковим прискоренням.                                        133

§24. Розв’язування задач. Тема: Силовий метод

розв’язування задач динаміки.                                                                       140

§25. Закон всесвітнього тяжіння. Про силу гравітаційну

та силу тяжіння.                                                                                                  143

§26. Механіка Сонячної системи. Штучні супутники Землі.                    148

§27. Вага. Невагомість. Або про те, що важче

кілограм заліза чи кілограм вати?                                                                 155

§28*. Сила Коріоліса, як один з проявів сили інерції                                159

§29. Пара сил. Момент сили. Рівновага тіла що має

вісь обертання. Важелі та блоки.                                                                   164

§30. Розв’язування задач. Тема: Рівновага тіла під

дією довільної системи сил.                                                                            169

§31* Центр тяжіння та центр мас тіла.                                                         173

§32* Про види механічної рівноваги та про ступінь

механічної стійкості тіл.                                                                                   178

§33. Статика. Узагальнююче повторення.                                                  183

 

                   Тема 1.2    Статика.

 

§18. Статика. Основні поняття, величини та закони статики.

 

         Статика (від грецького  statike – рівновага) – це розділ механіки в якому вивчають параметри, закономірності та причини стану механічної рівноваги тіла. Механічною рівновагою тіла (матеріальної точки) називають такий механічний стан тіла, при якому воно знаходиться в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const). Зазвичай в статиці розглядають ті ситуації коли тіло знаходиться в стані механічного спокою. Однак ви маєте знати, що з фізичної точки зору, між станом механічного  спокою тіла (v=0) та станом його прямолінійного рівномірного руху (v=const) нема суттєвої різниці. Втім, про те що це означає, ми поговоримо дещо пізніше, а точніше – в §41, де буде з’ясовано фізичну суть того базового закону який називається принципом відносності. Наразі ж, будемо вважати, що ті силові закономірності що є справедливими для стану механічного спокою тіла, будуть справедливими і в тому випадку, коли це тіло перебуватиме в стані прямолінійного рівномірного руху.

Основною фізичною величиною статики є сила. Сила – це фізична величина, яка характеризує силову дію одного тіла на інше (є мірою взаємодії фізичних об’єктів) і яка дорівнює добутку маси тіла на величину того прискорення яке воно отримує під дією даної сили.

Позначається:  F

Визначальне рівняння:  F=ma

Одиниця вимірювання:  [F]=H,   ньютон.

Ньютон – це одиниця вимірювання сили, що дорівнює такій силі яка тілу масою 1кг надає прискорення 1м/с2 :  1Н=1кг∙1м/с2. Іншими словами, якщо тіло масою 1кг рухається з прискоренням 1м/с2, то це означає, що на нього діє сила 1Н. (Звичайно, мається на увазі, що тіло масою 1кг знаходиться під дією лише однієї зовнішньої сили, або, що ця сила є результуючою всіх діючих на тіло зовнішніх сил.)

Відразу ж зауважимо, що величину сили в один ньютон не можливо оцінити візуально, як це наприклад, можна зробити з одиницею довжини метром. Ньютон, це одиниця вимірювання сили, тобто тієї величини яка характеризує силову дію одного фізичного об’єкту на інший. Тому величину ньютона можна оцінити лише за його силовою дією. Скажімо, загально відомо, що всі тіла притягуються до землі з силою яку прийнято називати силою тяжіння. Відомо й про те, що під дією сили тяжіння всі тіла, в тому числі і ті маса яких 1кг, падають з прискоренням 9,8м/с2. А це означає, що на тіло масою 1кг діє сила тяжіння 9,8Н:   F =1кг∙9,8м/с2=9,8Н.

Таким чином, якщо ви візьмете в руку тіло масою 1кг, то відчуєте силу 9,8Н. Запитується: тіло якої маси потрібно взяти в руку, щоб вона відчула силу в один ньютон? Правильно, маса цього тіла має становити 102г :

m=F/a=1Н/9,8(м/с2)=0,102кг=102г.

 

Мал.25. Один Ньютон дорівнює тій силі, з якою тіло масою 102 грами притягується до Землі.

От тільки не потрібно стверджувати, що в одному ньютоні міститься 102 грами. Бо це все рівно ніби наполягати на тому, що в одному метрі міститься сто секунд, або, що кілограм більший за секунду. Адже кілограм не більший і не менший за секунду. Бо кілограм – це кілограм, метр – це метр, секунда – це секунда, а ньютон – це ньютон. І порівнювати ці абсолютно різні одиниці не можна. Метр можна порівнювати з міліметром, кілометром чи, скажімо, з дюймом, тобто з іншими одиницями довжини. Але метр не можна порівнювати з секундою, кілограмом, ньютоном чи, наприклад, з метром квадратним. Тому, коли ми говоримо, що силі в один ньютон відповідає вага тіла масою 102 грами, то маємо на увазі лише те, що силу в один ньютон можна відчути тримаючи в руці тіло масою 102 грами.

Аналізуючи визначальне рівняння сили F=ma, потрібно зауважити, що це рівняння не потрібно сприймати як таке, що вказує на факт залежності сили від маси тіла та його прискорення. Адже в загальному випадку, діюча на тіло сила не залежить від маси цього тіла та того прискорення яке воно може отримати. Скажімо, сила ваших м’язів не залежить від маси того тіла що лежить на столі та того прискорення яке отримає це тіло під дією вашої сили.

Формула F=ma по суті вказує лише на універсальний спосіб визначення (вимірювання) величини та напрямку дії будь якої сили. А цей спосіб полягає в тому, що для визначення величини будь якої сили, наприклад, м’язової сили вашої руки, цю силу потрібно прикласти до тіла відомої маси (m) і подивитесь на те прискорення (a) яке отримає це тіло під дією даної сили. При цьому, величина та напрям сили визначаться за формулою  F=ma. Крім цього, визначальне рівняння F=ma, вказує ще й на факт того, що сила є причиною прискореного руху тіла і що величина цього прискорення залежить як від діючої на тіло сили так і від маси тіла.

Мал. 26. Сила – є причиною прискореного руху тіла.

В фізиці, так чи інакше розрізняють багато різновидностей сили. Лише в механіці ми будемо вивчати що найменше вісім таких різновидностей:

1.сила інерції               Fi

2.сила тяжіння             Fт

3.гравітаційна сила    Fгр

4.реакція опори          N

5. вага                             P

6. сила пружності        Fпр

7. сила тертя                Fтер

8. сила Архімеда         Fa .

Втім, кожна з цих різновидностей, по суті є мірою одного і того ж – мірою взаємодії фізичних об’єктів. До речі. Твердження про те, що сила є мірою взаємодії фізичних об’єктів, вказує на той факт, що будь яка силова дія одного фізичного об’єкту на інший, неминуче породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком силову протидію з боку цього “іншого” об’єкту. Власе це і означає, що фізичні об’єкти взаємодіють.

Сукупність тих сил що діють на дане тіло в даний момент часу називають системою сил. Систему сил, лінії дії яких лежать в одній площині називають плоскою системою сил. В межах програми загальноосвітньої школи ми, ми будемо вивчати лише плоскі системи сил. Систему сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці, називають збіжною системою сил. Якщо абсолютно тверде тіло знаходиться під дією збіжної системи сил, то: по-перше, це тіло можна вважати матеріальною точкою, а по-друге, систему таких сил можна замінити однією рівнодіючою силою (мал.27).

Рівнодіючою силою, називають таку силу, яка чинить на тіло (матеріальну точку) таку ж силову дію як і вся система реально діючих на нього сил (позначається R). Рівнодіюча сила дорівнює векторній сумі всіх діючих на тіло зовнішніх сил:  R=F1+F2+ … +FN = ∑Fi  (тут і в подальшому запис ∑Fi є спрощеним варіантом запису    ) .

 

Мал.27 Систему діючих на тіло збіжних сил, можна замінити  їх рівнодіючою.

Основний закон статики називають умовою рівноваги тіла. В цьому законі стверджується: тіло (матеріальна точка) буде знаходитись в стані механічної рівноваги (v=0 або v=const ) тоді і тільки тоді, якщо векторна сума діючих на нього зовнішніх сил дорівнює нулю. Іншими словами:

якщо ∑Fi=0 то v=0, або v=const  і навпаки: якщо v=0 або v=const,  то ∑Fi=0 .

Зважаючи на те, що в загальному випадку, будь яку довільну силу F можна розкласти на три складові – проекції цієї сили на осі системи координат (Fx,Fy,Fz), умову рівноваги матеріальної точки ∑Fi=0, можна записати у вигляді системи трьох рівнянь:

.                                                       ∑Fx=0

.                                                        ∑Fy=0

.                                                        ∑Fz=0 .

А оскільки в межах шкільної програми розглядають лише плоскі системи сил, то для таких систем, умова рівноваги набуває вигляду:

.                                                        ∑Fx=0

.                                                        ∑Fy=0 .

Ми не раз говорили про те, що механіку загалом та її складові частини зокрема, умовно розділяють на механіку поступального руху (механіку матеріальної точки) та механіку обертального руху. І в цьому сенсі статика не є винятком. Адже коли ми стверджуємо, що основною фізичною величиною статики є сила (F), а основним законом – умова рівноваги тіла (∑F=0), то по суті маємо на увазі ту частину статики де тіло можна представити у вигляді матеріальної точки. Тобто ту частину статики в якій на тіло діє збіжна система сил.  Система, яка може надати тілу лише поступального руху. В загальному ж  випадку, тіло може знаходитись під дією довільної системи сил. А така система може надавати тілу як поступального так і обертального руху. Описуючи поведінку такого тіла, говорять не лише про діючі на нього сили, а й про діючі моменти сил. Втім, про те, що таке момент сили та про загальну умову рівноваги тіла, ми поговоримо дещо пізніше.

Наразі ж додамо, що в межах даної теми (статики) ми будемо вивчити не лише ті ситуації в яких тіло під дією певної системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги (v=0 або v=const), а й ті, коли ця рівновага є динамічною, тобто такою при якій тіло рухається з постійним прискоренням (a=const). По суті такі ситуації є предметом вивчення динаміки. Однак, з методичної точки зору, їх доцільніше вивчати в тому розділі, де основною фізичною величиною є сила, а основним законом – умова рівноваги тіла. А цим розділом є статика.

 

Словник фізичних термінів.

         Статика – це розділ механіки в якому вивчають параметри, закономірності та причини стану механічної рівноваги тіл.

Механічною рівновагою тіла (матеріальної точки) називають такий механічний стан тіла, при якому воно знаходиться в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const).            

         Сила – це фізична величина, яка характеризує силову дію одного тіла на інше (є мірою взаємодії фізичних об’єктів) і яка дорівнює добутку маси тіла на величину того прискорення яке воно отримує під дією даної сили.

Позначається:  F

Визначальне рівняння:  F=ma

Одиниця вимірювання:  [F]=H,   ньютон.

         Ньютон – це одиниця вимірювання сили, що дорівнює такій силі яка тілу масою 1кг надає прискорення 1м/с2.

         Рівнодіючою силою, називають таку силу, яка чинить на тіло (матеріальну точку) таку ж силову дію як і вся система реально діючих на нього сил (позначається Fр).

         Умова рівноваги тіла (матеріальної точки) – це закон, в якому стверджується: тіло (матеріальна точка) буде знаходитись в стані механічної рівноваги (v=0 або v=const ) тоді і тільки тоді, якщо векторна сума діючих на нього зовнішніх сил дорівнює нулю. Іншими словами:

якщо ∑Fi=0 то v=0, або v=const  і навпаки: якщо v=0 або v=const  то ∑Fi=0 .

Контрольні запитання.

1.Поясніть, що потрібно зробити, щоб відчути силу в один ньютон?

2. Чи можна стверджувати, що в одному ньютоні міститься 102 гр.?

3. Один ньютон – це багато чи мало?

4. Чи означає визначальне рівняння F=ma, що будь яка сила залежить від маси та прискорення? Про що говорить це рівняння?

5. За яких умов в статиці, тіло можна вважати матеріальною точкою?

6. В якому випадку діючу на тіло систему сил можна замінити рівнодіючою силою?

7. Запишіть умову рівноваги тіла в проекціях на осі системи координат: для об’ємної системи сил; для плоскої системи сил.

 

§19. Чи завжди 2 + 2 = 4? Або, про додавання векторних величин.

 

         Фізичні величини поділяються на скалярні та векторні. Наприклад, час (t), маса (m), площа (S), об’єм (V), густина (ρ), температура (T), енергія (E), робота (A), потужність (P) – величини скалярні. Натомість, сила (F), швидкість (v), прискорення (a), імпульс (p) – величини векторні.

Скалярними називають такі фізичні величини, які характеризуються лише числовим значенням, тобто лише своєю абсолютною величиною. Векторними називають такі фізичні величини, які характеризуються як величиною так і напрямком в просторі (кутовою орієнтацією в вибраній системі координат). Наприклад, маса тіла (m) характеризується лише числовим значенням (величиною) і тому є величиною скалярною. А та сила (F) що діє на тіло, характеризується як числовою величиною, так і напрямком дії і тому є величиною векторною.

Векторна величина позначається відповідною буквою з стрілочкою над нею, або буквою написаною жирним шрифтом (F, v, a, p). При цьому, якщо в тій чи іншій ситуації, векторна величина позначається буквою без стрілочки або буквою написаною не жирним шрифтом (F, v, a, p), то це означає, що мова йде лише про числове значення відповідної величини.

Наприклад, визначальне рівняння сили пружності буде записано у вигляді Fпр= – k(∆). Це означає, що дане рівняння відповідає на два питання: 1) яка величина сили пружності: Fпр=k(∆ℓ); 2) куди направлена ця сила: сила пружності направлена в сторону протилежну від напрямку вектора ∆. Натомість, визначальне рівняння сили тертя буде записано в вигляді Fтер=µN. Це означає що дане рівняння відповідає лише на одне питання: яка величина сили тертя (Fтер=µN). На питання ж про те, куди направлена ця сила, має відповідати певна додаткова інформація. Наприклад така: сила тертя протидіє взаємному переміщенню контактуючих поверхонь.

Векторні та скалярні величини суттєво відрізняються в багатьох відношеннях і перш за все тим, що арифметичні дії над ними виконуються по різному. Наприклад, якщо до тіла масою 3кг (m1=3кг) додати тіло масою 2кг (m2=2кг), то в результаті ми отримаємо тіло загальною масою 5кг, тобто: m1+m2=3кг+2кг=5кг. Якщо ж на тіло (мал.28) діють дві сили F1=3H i F2=2H, то результат їх загальної дії (F1+F2) буде залежати від того, як направлені ці сили. При цьому, в загальному випадку F1+F2 не дорівнює F1+F2:    F1+F2 ≠  F1+F2.

 

 

            дано

 

                       результат

          векторний

 додавання

        числовий

                                           

              •      |      |      |                                    

                                                           

                                               

 •                                            

                                                  

 

         F1 + F2 = 5H

                                                   

|      |      •      |      |      |                                            

                                                      

                                               

 •                                                

                                                

 

         F1 + F2 = 1H

 

              •                                      

                                               

                                                

 •                                               

                                                

                                              

 

         F1 + F2 = 3,5H

 

                                                   

                                                 

              •                             

                                             

                                               

 •                                             

 

          F1 + F2 = 4,5H

 

                                                

                                                  

              •                                

                                                   

                                               

  •                                         

 

          F1 + F2 = 2H

 

Мал.28   Результат додавання векторів залежить не лише від їх величин, а й від їх відносної орієнтації. При цьому, в загальному випадку F1+F2≠F1+F2.

Розрізняють два методи додавання векторних величин: геометричний (графічний) та алгебраїчний (аналітичний). При геометричному методі, результат додавання векторів отримують шляхом відповідних геометричних побудов. Ці побудови здійснюють так званим методом багатокутника. Суть цього методу гранично проста. Якщо на точку К (мал.29) діє система N векторів, то величину і напрям результуючого вектора (R = F1+F2+ … +FN) визначають наступним чином. З точки К відкладають вектор F1, з кінця вектора F1 відкладають вектор F2, з кінця вектора F2 – вектор F3 і так до останнього вектора FN. Вектор, який з’єднує точку К з кінцем останнього вектора і буде результуючим вектором  R = F1+F2+ … +FN.

 

Мал.29 Величину та напрям результуючого вектору визначають методом багатокутника (геометричне додавання векторів).

Геометричний метод додавання векторів виглядає досить простим та наочним. Однак, він має ряд суттєвих недоліків. Перший полягає в тому, що точність його результатів залежить від масштабу та точності геометричних побудов. При цьому, будь яка точність цих побудов, не гарантує безумовно точного результату. Другим суттєвим недоліком геометричного методу додавання векторів є факт того, що таке додавання погано поєднується з тими теоріями, в яких закони представляються у вигляді певних математичних формул. А переважна більшість фізичних теорій є саме такими.

Ці недоліки відсутні в алгебраїчному методі додавання векторів, тобто такому методі при якому результат додавання векторів визначають не шляхом геометричних побудов, а шляхом алгебраїчних розрахунків. Реалізуючи цю ідею, вектор F розкладають на дві складові: проекції цього вектора на осі системи координат Fx та Fy. Наприклад, вектор F1 (мал.30) розкладають на Fx1=4Н і Fy1=2Н; вектор F2 розкладають на Fx2= -4Н і Fy2=1Н; вектор F3 – на  Fx3=0Н, Fy3= -3Н .

 

Мал.30   Будь який вектор можна розкласти на дві складові – його проекції на осі системи координат.

По суті, проекції вектора на осі системи координат також є векторами. Однак, враховуючи факт того, що направлені вздовж однієї прямої вектори, додаються як скалярні величини, можна стверджувати: проекції вектора на осі системи координат, мають властивості скалярних величин. Тому в подальшому, ці проекції ми будемо вважати скалярними величинами, тобто такими які характеризуються лише величиною і знаком (“+” якщо напрям проекції співпадає з додатним напрямком відповідної осі; “  ̶ “ якщо ці напрямки протилежні).

Проекції вектора на осі прямокутної системи координат можна визначити не лише шляхом геометричних побудов, а й шляхом алгебраїчних розрахунків. Ці розрахунки полягають в наступному.  Якщо в заданій прямокутній системі координат (мал.31) вектор F має числову величину F та кутову орієнтацію α (де α – відкладено від осі 0х), то проекції цього вектора на осі системи координат визначаються за формулами: Fx=Fcosα; Fy=Fsinα. З іншого боку, за відомими проекціями вектора Fx і Fy, можна визначати як величину F так і кутову орієнтацію α відповідного вектора F. При цьому:

F=(Fx2 + Fy2)1/2;  tgα=Fy/Fx;  α=arctg(Fy/Fx). Нагадаємо: арктангенсом певного числа, називають такий кут, тангенс якого дорівнює відповідному числу. Наприклад, якщо tg45º=1, то arctg1=45º, якщо tg30º=0,58, то arctg0,58=30º, якщо  tg60º=1,73, то arctg1,73=60º.

 

Мал.31  Будь який вектор F(F,α) можна представити у вигляді двох по суті скалярних величин: Fx=Fcosα ;  Fy=Fsinα .

Таким чином, будь який вектор F з параметрами F;α , можна представити у вигляді двох по суті скалярних величин – проекцій даного вектора на осі відповідної системи координат:  Fx=Fcosα,  Fy=Fsinα. І навпаки: за цими величинами (Fx, Fy), можна алгебраїчно визначити параметри базового вектора: F=(Fx2+Fy2)1/2;  α=arctg(Fy/Fx). Власне ці обставини і лежать в основі алгебраїчного методу додавання векторів. А суть цього методу полягає в наступному. Якщо на точку А діє система N векторів, то величину і напрям результуючого вектора  Fр = F1 + F2 + … + FN  визначають наступним чином:

1.Кожний вектор системи розкладають на його проекції.

2. Визначають суму проекцій всіх векторів на кожну з осей системи координат: F= Fx1 + Fx2 + … +Fxn ; F= Fy1 + Fy2 + … + Fyn.

3. Визначають величину Fр та напрям α результуючого вектора:

Fр=(F2 + F2)1/2;

α = arctg(F/F).

Практична реалізація алгебраїчного методу додавання векторів не може бути успішною без розуміння фізичної суті того, що називають синусом і косинусом кута. В математиці ці функції зазвичай визначають наступним чином. Синусом гострого кута α прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета b до гіпотенузи с: sinα=b/c. Косинусом гострого кута α прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета a до гіпотенузи с: cosα=b/c.

 

cosα=b/c                                                           cosα=Fx/F

sinα=a/c                                                            sinα=Fy/F

мал. 32  Синус та косинус кута можна визначити як: а) певні співвідношення між сторонами прямокутного трикутника; б) певні співвідношення між вектором та його проекціями на осі системи координат.

З формальної точки зору, вище сформульовані визначення (cosα=a/c; sinα=b/c) є правильними. Однак вони мають ряд суттєвих недоліків. По-перше, дозволяють визначати синуси та косинуси лише гострих кутів, тоді як ці функції мають певні значення для будь яких кутів, будь-то 30°; 60°; 135° чи 5784°. По-друге, не пояснюють факту того, чому значення косинусів та синусів можуть бути як додатними так і від’ємними. По-третє, не пояснюють факту періодичності даних функцій. А головне, вище наведені визначення не розкривають фізичного змісту тих функцій які називаються синусом та косинусом кута. А цей зміст полягає в тому, що дані функції дозволяють переходити від векторних обчислень до скалярних і навпаки.

Дійсно. Для того щоб перейти від геометричного додавання векторів до відповідного алгебраїчного додавання, кожен з цих векторів розкладають на дві фактично скалярні величини: проекції даного вектора на осі прямокутної системи координат: Fx=Fcosα;  Fy=Fsinα. При цьому функції cosα та sinα по суті визначаються як відношення відповідних проекцій вектора до його загальної довжини: cosα=Fx/F; sinα=Fy/F. Якщо ж виходити з того, що базовий радіус-вектор має одиничну довжину, то можна дати наступні визначення.

Косинус кута α – це безрозмірна величина, яка дорівнює проекції відповідного цьому куту одиничного радіус-вектора на вісь косинусів, тобто ту вісь від якої виміряно кут α. Синус кута α – це безрозмірна величина, яка дорівнює проекції відповідного цьому куту одиничного радіус-вектора на вісь синусів, тобто ту вісь, що є перпендикулярною до тієї осі від якої виміряно кут α.

Ілюструючи механізм практичного застосування вище сформульованих визначень, розв’яжемо конкретну задачу.

Задача. Шляхом прямих вимірювань, визначити синуси та косинуси наступних кутів: 0°;30°;45°;60°;90°;120°;135°;150°;180°.

Рішення. У вибраній системі координат, циркулем проводимо напівколо максимально великого радіусу і приймаємо величину цього радіусу за одиницю. З застосуванням транспортира та лінійки, почергово відкладаємо потрібні кути та проводимо відповідні одиничні радіус-вектори. З кінців цих векторів опускаємо перпендикуляри на осі системи координат і враховуючи масштаб побудов, вимірюємо довжини відповідних проекцій (мал.33). Величини та знаки цих довжин і є значеннями відповідних функцій. Результати вимірювань записуємо в таблицю. Порівнюємо ці результати з відповідними табличними (точними) значеннями. (Ясно, що точність отриманих вами результатів визначальним чином залежатиме від точності та масштабу геометричних побудов і вимірювань).

     α    0°    30°    45°    60°    90°   120°   135°   150°   180°
 cosα  1,00  0,87  0,71  0,50  0,00  – 0,50 – 0,71 – 0,87 – 1,00
 sinα  0,00  0,50  0,71  0,87  1,00   0,87   0,71   0,50   0,00

Мал. 33 Синус та косинус довільного кута можна визначити як проекції відповідного цьому куту одиничного радіус-вектора на осі прямокутної системи координат.

З фізичної точки зору, векторно-проекційний спосіб визначення тих тригонометричних функцій які називаються синусом та косинусом кута, є очевидно більш загальним. Більш загальним по-перше тому, що є справедливим не лише для гострих кутів, а й для кутів будь якої величини (в тому числі для α=5784°). По-друге, чітко визначає в яких випадках значення тригонометричних функцій є додатним, а в яких від’ємним. По-третє, пояснює факт періодичності тригонометричних функцій. В четвертих, визначає функції cosα та sinα як такі, що забезпечують перехід від векторних обчислень до скалярних і навпаки. В п’ятих, дозволяє визначати величини та знаки відповідних тригонометричних функцій шляхом прямого вимірювання довжини. В шостих, робить очевидними ті співвідношення, які в математиці називаються формулами приведення і які зазвичай є предметом банального зазубрювання:

cos(90º-α) = sinα;      sin(90º-α) = cosα

cos(90º+α) = – sinα;   sin(90º+α) = cosα

cos(180º-α) = – cosα;  sin(180º-α) = sinα  і т.д.

Потрібно зауважити, коли ми стверджуємо: проекції вектора F на осі прямокутної системи координат визначаються за формулами: Fx=Fcosα; Fy=Fsinα, то маємо на увазі, що кут α відкладено від осі 0х. Адже якщо наприклад, положення цього вектора охарактеризувати не кутом α, а кутом φ=90º-α (мал.34а), то в цьому випадку відповідні проекції потрібно визначати за формулами Fx=Fsinφ;  Fy=Fcosφ. І не важко довести, що загальний результат в обох випадках буде однаковим: Fx=Fsinφ=Fsin(90-α)=Fcosα; Fy=Fcosφ= F(cos90-α)=Fsinα.

Доречно зауважити і те, що на практиці кутову орієнтацію вектора в заданій системі координат, задають кутом меншим за 90º. Наприклад в зображеній на мал.34д ситуації, положення вектора F характеризують не кутом α>90º, а йому відповідним кутом β=180º-α < 90º. Крім цього, проекції тих векторів, що є паралельними або перпендикулярними осям системи координат (мал.34.в,г), визначають із міркувань очевидності.

 

Мал.34  Визначаючи параметри проекцій вектора, потрібно враховувати від якої осі і в якому напрямку виміряно той кут, що характеризує положення відповідного вектора.

Словник фізичних термінів.

          Скалярними називають такі фізичні величини, які характеризуються лише числовим значенням, тобто лише своєю абсолютною величиною.

         Векторними називають такі фізичні величини, які характеризуються як величиною так і напрямком в просторі (в вибраній системі координат).

         Косинус кута α – це безрозмірна величина, яка дорівнює проекції відповідного цьому куту одиничного радіус-вектора на вісь косинусів, тобто ту вісь від якої виміряно кут α.

Синус кута α – це безрозмірна величина, яка дорівнює проекції відповідного цьому куту одиничного радіус-вектора на вісь синусів, тобто ту вісь, що є перпендикулярною до осі від якої виміряно кут α.

                  Контрольні запитання.

1.Чим відрізняються векторні величини від скалярних?

2. В чому суть геометричного методу додавання векторів?

3. Які основні недоліки геометричного методу додавання векторів?

4. Чому проекції вектора на осі системи координат, можна вважати скалярними величинами?

5. З якої теореми випливає, що F=(Fx2+Fy2)1/2 ?

6. В чому суть векторно-проекційного способу визначення функцій sinα та cosα? Які переваги має цей спосіб?

7. З якої теореми випливає, що cos2α + sin2α = 1?

8. В чому суть алгебраїчного методу додавання векторів?

Вправа 11.

1.Шляхом геометричних побудов доведіть, що cos(-α)=cosα; sin(-α)=sinα.

2. Шляхом геометричних побудов доведіть, що

cos(90º-α) = sinα;      sin(90º-α) = cosα

cos(90º+α) = – sinα;   sin(90º+α) = cosα

cos(180º-α) = – cosα;  sin(180º-α) = sinα

cos(180º+α) = – cosα;  sin(180º+α) = – sinα.

3. Вектор сили F=5H орієнтований відносно осі 0х під кутом: а) 0º; б) 30º; в) 90º; г) 135º; д) 210º; е) 270º; є) 300º. Визначте проекції даних векторів на осі прямокутної системи координат. Задачу розв’яжіть геометрично та алгебраїчно. Результати порівняйте.

4. Визначте суму векторів: а) F1(5H;0º), F2(5H;90º), F3(5H;45º); б) F1(5H;90º), F2(5H;180º), F3(5H;45º); в) F1(5H;0º), F2(5H;-45º), F3(5H;-90º). Задачу розв’язати графічним та алгебраїчним методом.

5. За заданими проекціями векторів Fx i Fy, визначте їх числове значення та кутову орієнтацію. Задачу розв’язати геометричним та алгебраїчним методом

а)   Fx = 3,5H ;    Fy = 3,5H                   б)   Fx = -5,0H ;   Fy = 0,0H

в)    Fx = -2,5H ; Fy = -4,3H                 г)    Fx = 3,0H ;   Fy = -5,2H

д)     Fx = 0,0H ; Fy = -4,0H                ж)    Fx =2,8H ;    Fy = -2,8H

 

§20. Сила тяжіння. Реакція опори. Загальні відомості щодо

 розв’язування задач статики.

     

До числа тих сил які найчастіше зустрічаються в задачах статики відносяться, сила тяжіння та реакція опори.

         Сила тяжіння – це та сила,  з якою тіло притягується до Землі і яка дорівнює добутку маси тіла на прискорення його вільного падіння.

Позначається:  Fт

Визначальне рівняння:  Fт = mg

Одиниця вимірювання:  [Fт]=H.

 

Мал.33.  На будь яке земне тіло діє певна сила тяжіння.

По суті, сила тяжіння є тією силою, елементарні фрагменти якої діють на всі точки тіла. Однак можна довести, що результуюча тих елементарних сил тяжіння які діють на фрагменти даного тіла, прикладена до центру мас цього тіла. Тому вважається, що сила тяжіння діє на центр мас тіла.

Крім цього, прийнято вважати, що сила тяжіння направлена  точно до центру мас Землі. Останнє твердження не є безумовно правильним. Про суть цієї неправильності ми поговоримо дещо пізніше. Наразі ж будемо вважати, що сила тяжіння діє в напрямку центру мас Землі.

Сила тяжіння прагне перемістити будь яке тіло в центр Землі. А оскільки земні тіла не опиняються в цьому центрі, то ясно, що на своєму шляху вони неминуче зустрічають певні протидіючі фактори. Цими факторами часто є ті об’єкти які прийнято називати опорами. Ту ж силу з якою опора діє на тіло називають реакцією опори.

Реакція опори – це та сила, з якою опора діє на тіло.

Позначається:  N

Визначальне рівняння:  величина і напрям реакції опори визначається з умов конкретної задачі.

Одиниця вимірювання:  [N]=H .

Опорою називають будь яку механічну перешкоду, яка так чи інакше жорстко обмежує рух тіла. Наприклад, та підлога на якій ви стоїте, обмежує ваш рух в напрямку до центру Землі. Гнучка опора (канат, ланцюг, дріт, тощо), обмежує рух тіла в напрямку розтягування цієї опори. Шарнірно закріплений жорсткий стержень, обмежує рух тіла як в напрямку його розтягування так і в напрямку його стиснення. Жорстко закріплений стержень, обмежує рух тіла в усіх можливих напрямках. На мал.34 представлені найбільш поширені варіанти простих механічних опор та їх реакцій.

Мал. 34  Деякі різновидності механічних опор та реакції цих опор.

Напрям реакції опори визначається за наступними правилами:

1) Плоскі опори (мал.34а,б). Реакція опори перпендикулярна до площини опори (площина-куля – до центру кулі, площина-точку – перпендикулярно площині).

2) Гнучкі опори, тобто канати, троси, нитки, мотузки, тощо (мал.34в), можуть працювати лише на розтягнення. А це означає, що реакція опори завжди направлена вздовж гнучкої опори, причому в напрямку її закріплення.

3) Шарнірно-стержневі опори, тобто стержні які можуть обертатись навколо точки кріплення (мал.34ж), працюють як на розтягнення так і на стиснення. А це означає, що реакція опори направлена вздовж стержня: при розтягненні стержня – в напрямку до точки кріплення; при стисненні стержня – в протилежному напрямку.

4) Шарнірно рухомі опори (мал.34г). Реакція опори направлена перпендикулярно до напрямку можливого руху опори.

5) Шарнірно нерухомі опори (мал.34д). Реакція опори має дві складові: вертикальну Ny та горизонтальну Nx.

6) Жорстко закріплений стержень (мал.34е). Реакція опори має три складові: вертикальну Ny горизонтальну Nx та протидіючий момент сили М.

Потрібно зауважити, що сила тяжіння і реакція опори є тими зовнішніми силами, які діють на відповідне тіло, а не на опору чи щось інше. Що правда, точки прикладання цих сил є суттєво різними: сила тяжіння прикладена до центру мас тіла, а реакція опори діє в точках контакту тіла з відповідною опорою (мал.35а). Втім, в більшості задач механіки матеріальної точки, прийнято вважати що і сила тяжіння і реакція опори, прикладені до центру мас тіла (мал.35б).

  

Мал.35. Сила тяжіння і реакція опори, діють на тіло, а не на опору чи щось інше.

Загальні відомості щодо порядку розв’язування задач статики. Задачі статики мають ту перевагу, що зазвичай, порядок (алгоритм) їх розв’язку є досить чітко визначеним. І цей порядок полягає в наступному:

1.Уважно прочитати умову задачі.

2. Зробити стислий запис цієї умови.

3. Обовязково виконати малюнок, на якому чітко вказати всі діючі на задане тіло (матеріальну точку) сили та напрямки цих сил (ці напрямки визначаються відповідними кутами).

4. Оптимальним чином задати систему координат. Оптимальним в тому сенсі, що бодай одна з осей системи координат, має співпадати з напрямком невідомої сили. Втім, в багатьох ситуаціях, оптимальність вибору системи координат визначається зручністю визначення тих кутів які утворюють сили з осями системи координат.

5. Записати умову рівноваги даної матеріальної точки, тобто систему рівнянь:

.                            ∑Fx=0

.                            ∑Fy=0 .

6. Розв’язавши цю систему, визначити невідомі величини.

Загальні зауваження. При розв’язуванні задач: 1) Діючу на абсолютно тверде тіло силу, можна переносити вздовж лінії її дії. 2) Силу можна переносити вздовж гнучкого зв’язку (канат, ланцюг, дріт, тощо).

Дотримуючись вище наведеного алгоритму розв’язку та враховуючи вище зазначені зауваження, розв’яжемо декілька конкретних задач.

         Задача1. До кронштейну АВС в т.В підвішено вантаж масою m=60кг, так як це показано на малюнку (α=30º). Визначити зусилля в стержнях АВ і СВ.

·                            

Загальні зауваження.  В задачах статики, часто зустрічаються ситуації коли точний напрямок реакції опори не відомий або сумнівний. Наприклад, в нашій задачі стержень СВ явно “працює” на стиснення і тому його реакція NC   має бути направленою вздовж лінії СВ в напрямку від точки С. Стержень же АВ, явно “працює” на розтягнення і тому його реакція NA має бути направленою вздовж лінії АВ в напрямку до точки А. Однак припустимо, що ви сумніваєтесь стосовно того в яку сторону направлена та чи інша реакція. В цьому випадку сміливо направляйте сумнівну реакцію в будь яку можливу сторону (вздовж лінії стержня) і розв’язуйте задачу. При цьому, якщо в результаті рішення задачі, невідома реакція матиме знак “+”, то це означатиме, що вибраний вами напрямок є правильним. Якщо ж ця реакція виявиться зі знаком “  ̶ “ то це означатиме, що насправді відповідна реакція має протилежний (протилежний від вибраного) напрямок. Перевіряючи вище сказане направимо реакцію Nc в гарантовано неправильному напрямку.

Дано:                         Аналіз:

m = 60кг

NА= ?                        Малюнок

NС= ?

Виконуємо малюнок на якому: вказуємо діючі на т.В сили; задаємо систему координат; вказуємо кутову орієнтацію сил. Оскільки кут α=30º безпосередньо не прилеглий до т.В, то із геометричних міркувань визначаємо йому відповідний та прилеглий до т.В кут. Наприклад із факту того, що в прямокутному трикутнику АВС сума кутів дорівнює 180º, випливає, що прилеглий до т.В кут β=60º

Записуємо умову рівноваги точки В і, розв’язавши систему відповідних рівнянь, визначаємо невідомі величини.

∑ Fx = NA + NC cos60º = 0              (1)

∑ Fy = NC sin60º + mg = 0               (2)

із (2)→ NC = – mg/sin60º = – (60∙10/0,87)= -690 Н

із (1)→ NA = -NCcos60º = – (-690)0,5 = 345 Н

Знак “-“ вказує на те, що реакція NC фактично направлена в протилежну (протилежну від зображеної на малюнку) сторону.

         Задача 2.  Тіло масою 10кг під дією сили тяжіння знаходиться в стані механічного спокою на похилій площині. Визначити величини діючих на тіло сил, якщо кут нахилу площини до лінії горизонту 30°.

.                   

Зауваження.  Рішення будь якої задачі механіки, в тій чи іншій мірі ідеалізоване. Наприклад в умовах нашої задачі, ті сили які ми називаємо реакцією опори та силою тертя, виникають в місті контакту тіла з відповідною поверхнею і є розподіленими по цій поверхні. Ми ж зображаємо ці сили такими, що сконцентровано прикладені до центру мас тіла. До речі, те ж стосується і сили тяжіння, дія якої фактично розподілена по всьому об’єму тіла і яку ми зображаємо такою, що діє в центрі мас цього тіла.

Дано:                     Аналіз:

m = 10кг

α =30°                    Малюнок

N = ?

Fтер = ?

Виконуємо малюнок на якому: вказуємо діючі на тіло (на центр мас тіла) сили; задаємо систему координат; вказуємо кутову орієнтацію сил. Записуємо умову рівноваги тіла і, розв’язавши систему відповідних рівнянь, визначаємо невідомі величини. ( Fт = mg = … =100H )

∑ Fx = – Fтер + Fт sinα = 0       (1)

∑ Fy = N – Fт cosα = 0            (2).

Із (1) → Fтер = Fт sinα .

Із (2) → N = Fт cosα .

Розрахунки:     Fтер = 100∙0,5 = 50Н

N = 100∙0,87 = 87H

Відповідь: N = 87H;  Fтер = 50H.

Ілюструючи важливість ефективного вибору системи координат, розв’яжемо ту ж задачу в ситуації, коли система координат задана так би мовити звичним чином: вісь 0х – горизонтальна, вісь 0y – вертикальна.

.                       

На основі аналізу малюнку записуємо умову рівноваги тіла і, розв’язавши систему відповідних рівнянь, визначаємо невідомі величини.

∑ Fx = – Fтерcosα + Nsinα = 0              (1)

∑ Fy = Ncosα + Fтер sinα – Fт  = 0         (2).

Із (1) → Nsinα = Fтерcosα, звідси N = Fтерcosα/sinα.

Отриманий результат підставляємо в рівняння (2):

(Fтерcosα/sinα)cosα + Fтерsinα – Fт = 0, або

Fтер(cosα2/sinα + sinα) = Fт = mg, звідси

Fтер = mg/(cosα2/sinα + sinα).

Розрахунки:

Fтер = 10∙10/((0,872/0,5)+0,5) = 100/2 = 50Н;

N = 50∙0,87/0,5 = 87Н.

Відповідь: N = 87H;  Fтер = 50H.

Задача 3. Куля масою 30кг знаходиться між двома взаємно перпендикулярними площинами (дивись мал.). Визначити діючі на кулю реакції опори.

.                 

Загальні зауваження. Складність подібних задач полягає в складності визначення тих сил, що діють на тіло, та тих кутів які утворюють ці сили з осями заданої системи координат. Наприклад, в умовах нашої задачі на кулю діють три сили: сила тяжіння Fт = mg = 300H, та реакції опори NA i NB (т. А належить тій площині яка нахилена до горизонтальної лінії під кутом 30º). При цьому, лінії дії цих сил перетинаються в геометричному центрі кулі. Оскільки задані площини взаємно перпендикулярні, то відповідно перпендикулярними є і реакції опори NA та NB. Із геометричних міркувань можна зробити висновок про те, що кут між реакцією опори NA та вертикаллю становить 30º. Зважаючи на ці обставини, систему координат вводимо таким чином, що вісь 0х співпадає з напрямком вектора NВ, а вісь 0у співпадає з напрямком вектора NA. При цьому кут між вектором Fт та віссю 0у становитиме 30º.

Дано:                     Аналіз:

m = 30кг

α =30°                 Малюнок

NA = ?

NB = ?

На основі аналізу малюнку записуємо умову рівноваги тіла і, розв’язавши систему відповідних рівнянь, визначаємо невідомі величини.

∑Fx = NB – FTsin30º = 0,        (1)

∑Fy = NA – FTcos30º = 0,       (2).

Із (1) → NB = FTsin30º = 300∙0,5 = 150Н.

Із (2) → NA = FTcos30º = 300∙0,87 = 261Н.

Відповідь: NA = 261Н; NВ = 150Н.

 

Словник фізичних термінів.

Сила тяжіння – це та сила,  з якою тіло притягується до Землі і яка дорівнює добутку маси тіла на прискорення його вільного падіння.

Позначається:  Fт

Визначальне рівняння:  Fт= mg

Одиниця вимірювання:  [Fт]= H .

Реакція опори – це та сила, з якою опора діє на тіло.

Позначається:  N

Визначальне рівняння:  визначається з умов конкретної задачі.

Одиниця вимірювання:  [N]=H .

Опорою називають будь яку механічну перешкоду, яка так чи інакше жорстко обмежує рух тіла.

Вправа 12.

1.В зображених на мал. а, б, в ситуаціях, визначити реакції опор. а) m=20кг, α=30º, β=60º; б) m=40кг, α=30º; в) m=30кг, β=45º.

2. За представленими на малюнках даними визначити реакції опор.

  

3. Куля масою 20кг знаходиться між двома площинами (дивись мал.1;2). Визначити діючі на кулю реакції опори.

         

4. Однорідна куля масою m і радіусом R підвішена на нитці довжиною ℓ до гладенької вертикальної стіни. Визначити силу натягу нитки та силу тиску кулі на стіну (тертям між кулею та стіною знехтувати).

 

§21. Сили тертя.

 

В механіці, сили які так чи інакше протидіють взаємному переміщенню контактуючих поверхонь, називають силами тертя. По суті, сила тертя є усередненою результуючою багатьох силових факторів, різноманіття яких не можливо врахувати. Про складність того, що прийнято називати тертям, говорить бодай той факт, що на сьогоднішній день точної кількісної теорії тертя не існує. А це означає що по-перше, не існує тієї єдиної універсальної формули, яка б дозволяла визначати силу тертя в будь якій можливій ситуації. По-друге, ті формули за якими натепер визначають силу тертя в тому чи іншому конкретному випадку, є в тій чи іншій мірі наближеними. По-третє,  в наявних визначальних рівняннях сил тертя, завжди присутні величини значення яких визначається експериментально (коефіцієнти тертя) і які є індивідуальним для кожного конкретного випадку.

Розрізняють дві основні різновидності тертя: сухе і в’язке. Сухим називають таке тертя, яке виникає при взаємодії твердих поверхонь і яке протидіє їх взаємному переміщенню. В’язким називають таке тертя, яке виникає при взаємодії твердих поверхонь з рідинами або газами, а також між внутрішніми шарами цих середовищ, і яке протидіє їх взаємному переміщенню. Наприклад те тертя яке протидіє взаємному переміщенню двох твердих сухих поверхонь, є сухим. Якщо ж між цими поверхнями знаходиться шар мастила (рідини), то відповідне тертя буде в’язким. А оскільки ви знаєте, що для зменшення тертя застосовують певні рідини які називають мастилами, то напевно погодитесь з тим, що за однакових умов, в’язке тертя значно менше за сухе.

В свою чергу, сухе тертя прийнято розділяти на тертя ковзання і тертя кочення. Наприклад, якщо в процесі аварійного гальмування, задні колеса автомобіля не обертаються, а передні продовжують вільно обертатись, то на перші діє сила тертя ковзання, а на другі – сила тертя кочення. Крім цього, тертя ковзання, поділяють на тертя спокою і тертя руху. Наприклад, якщо брусок нерухомо лежить на похилій площині, то діюча на нього сила тертя є силою тертя спокою. Якщо ж, той таки брусок рухається похилою площиною, то діюча на нього сила тертя є силою тертя руху.

Вище сказане можна представити у вигляді наступної узагальнюючої схеми.

 

Мал.36. Види тертя.

Досліджуючи загальні властивості сили тертя, зокрема тертя ковзання, можна провести ряд простих експериментів. Суть цих експериментів представлена на мал.37а. Зображена на малюнку експериментальна установка дозволяє легко та прогнозовано змінювати умови експерименту. Наприклад, змінюючи масу тягарців у ваговій чашці, ми відповідним чином змінюємо діючу на тіло силу тяги. Навантажуючи тими ж тягарцями саме тіло, ми прогнозованим чином змінюємо ту силу з якою тіло тисне на поверхню стола і яка дорівнює відповідній реакції опори. Змінюючи одне дослідне тіло на інше, можна змінювати матеріали взаємодіючих поверхонь, якість їх механічної обробки, площу їх взаємодії, тощо.

 

Мал.37. а) Загальний вигляд приладу для дослідження тертя ковзання.

б) Максимальне значення сили тертя спокою дещо більше за силу тертя руху.

Дослідження показують:

1.Сила тертя ковзання, практично не залежить від площі взаємодіючих поверхонь.

2. Сила тертя ковзання пропорційна тій силі з якою взаємодіючі поверхні притискаються одна до одної і яка чисельно дорівнює відповідній реакції опори (N).

3. Максимальна величина сили тертя спокою, дещо більша за величину відповідної сили тертя руху (мал.37б)

4. Сила тертя, складним чином залежить від механічних та хімічних властивостей взаємодіючих поверхонь, якості їх механічної обробки, їх температури, швидкості відносного руху, тощо.

Узагальнюючи результати подібних досліджень, можна дати наступне визначення. Сила тертя (сила тертя ковзання) – це та сила, з якою поверхні взаємодіючих твердих тіл протидіють їх взаємному поступальному (ковзальному) переміщенню, або можливості такого переміщення.

Позначається:  Fтер

Визначальне рівняння: Fтер =µN, де N – реакція опори (сила, з якою взаємодіючі поверхні притискаються одна до одної);  µ – коефіцієнт тертя ковзання.

Одиниця вимірювання: [Fтер] = Н.

Коефіцієнт тертя ковзання – це фізична величина, яка характеризує здатність певної пари твердих поверхонь протидіяти їх відносному ковзальному переміщенню і яка дорівнює відношенню виникаючої між цими поверхнями сили тертя, до величини тієї сили з якою поверхні притискаються одна до одної.

Позначається: μ

Визначальне рівняння: μ = Fтер/N

Одиниця вимірювання: [μ] = Н/Н =  ̶  , безрозмірна величина.

Коефіцієнт тертя складним чином залежить від багатьох обставин і визначається експериментально. Результати деяких з цих експериментальних досліджень представлені в таблиці 1.                                                  Таблиця1

Коефіцієнти тертя ковзання

     Контактуючі   поверхні       Коефіцієнт тертя  (µ)

 

метал по металу                 0,15 – 0,22
метал по металу за наявності мастила                  0,02 – 0,08
дерево по дереву                  0,25 – 0,50
сталь по льоду (ковзани)                        0, 02
шини по сухому асфальту                   0,50 – 0,70
шини по мокрому асфальту                    0,40 – 0,50
мідь по чавуну                         0,27

 

Специфіка сили тертя полягає в тому, що вона виникає як певна реакція на дію тих сил які намагаються зсунути одну поверхню відносно іншої. І якщо таких сил нема, то відповідно нема і певної сили тертя. Наприклад, якщо тіло знаходиться на горизонтальній площині (мал.38а), то на нього сила тертя не діє. Не діє тому, що нема того силового фактору який намагався б зсунути тіло відносно площини (Fт+N=0). Однак як тільки площина стане похилою (мал.38б), автоматично з’явиться і відповідна сила тертя. З’явиться тому, що результуюча постійно діючих на тіло сил (сила тяжіння Fт та реакція опори N) вже не буде дорівнювати нулю (Fт+N≠0) і намагатиметься зсунути тіло відносно площини. І якщо це тіло знаходиться в стані спокою, то це тільки тому, що цей спокій забезпечує певна сила тертя. При цьому, по мірі зростання кута нахилу площини, автоматично зростатиме і відповідна сила тертя. Зростатиме до тих пір, поки не досягне певної критичної величини, за межами якої, тертя спокою перетворюється на тертя руху.

 

Мал.38 Сила тертя виникає лише за наявності тієї сили яка прагне зсунути тіло відносно поверхні.

Якщо на площині знаходиться кругле (сферичне, циліндричне, тороїдне) тіло, яке може вільно обертатись (котитись), то в цьому випадку говорять про тертя кочення.

Сила тертя кочення – це та сила, з якою поверхні взаємодіючих тіл протидіють обертальному переміщенню (коченню) одного тіла відносно іншого, або можливості такого переміщення.

Позначається:  Fтер

Визначальне рівняння:  Fтер = kN/R,  де  R – радіус того тіла що котиться;

k – коефіцієнт тертя кочення (визначається експериментально k=FтерR/N) .

Одиниця вимірювання:  [Fтер] = Н.

Порівнюючи величини сил тертя ковзання та кочення, проведіть наступний простий експеримент. На горизонтальну поверхню покладіть кулю (циліндр) та їй відповідний за масою брусок. Нахиляючи поверхню, ви неодмінно з’ясуєте, що куля покотиться при гранично малому куті нахилу поверхні, тоді як рух бруска починається при в десятки разів більших кутах нахилу. Висновок очевидний: за однакових умов, сила тертя кочення в десятки разів менша за силу тертя ковзання.

Оскільки сила тертя кочення в десятки разів менша за силу тертя ковзання, то в тих випадках де потрібно мінімізувати тертя, ковзання замінюють на кочення, наприклад шляхом застосування відповідних підшипників. Іншим ефективним способом зменшення сили тертя є заміна сухого тертя на в’язке. Така заміна здійснюється шляхом застосування відповідних мастил, що дозволяє зменшити силу тертя в 5-8 разів.

 

Мал.39.  Зазвичай, сила тертя кочення в десятки разів менша за відповідну силу тертя ковзання.

Зазвичай терміном “сила тертя” позначають силу тертя ковзання. Тому, якщо в умовах конкретної задачі, не вказана різновидність сили тертя, то вважайте що цією силою є сила тертя ковзання, тобто та сила, величина якої визначається за формулою  Fтер =µN.

Завершуючи розмову про сили тертя, доречно сказати, що ці сили можуть бути як корисними так і шкідливими. Наприклад, ті сили сухого тертя що діють на автомобіль в процесі його руху, з одного боку є корисними, тобто такими що сприяють поступальному руху автомобіля, а з іншого – шкідливими, тобто такими що протидіють цьому руху. Дійсно. Поступальний рух автомобіля, є результатом взаємодії його коліс з поверхнею дороги. При цьому, виникаюча між ними сила тертя ковзання (сила F3 мал.40а), по суті є тією тяговою силою яка і надає автомобілю поступального руху, і без якої цей рух є не можливим. З іншого боку, при своєму обертальному русі, колеса автомобіля неминуче відчувають гальмуючу дію сили тертя кочення, яка протидіє поступальному руху автомобіля (сила F1 мал.40а). І  якщо автомобіль під дією цих протилежно направлених сил все таки рухається, то це тільки тому, що сила тертя кочення (F1) в десятки разів менша за силу тертя ковзання (F3).

Мал. 40  Поступальний рух автомобіля є результатом того, що між його ведучими (тяговими) колесами і поверхнею дороги виникає певна сила тертя ковзання.

Загалом же в процесі руху на автомобіль діють три сили тертя (мал.40а). 1) Та сила тертя ковзання (F3), яка виникає між ведучими колесами автомобіля та поверхнею дороги, і яка протидіючи їх взаємному ковзанню, надає автомобілю поступального руху. 2) Та сила тертя кочення (F1), яка виникає між дорогою та тими колесами що котяться по ній, і яка протидіє поступальному руху автомобіля. 3) Та сила в’язкого тертя (F2), яка виникає між повітрям та автомобілем і яка називається силою опору повітря.

На перший погляд здається, що та сила тертя завдяки якій люди, автомобілі та інші об’єкти переміщуються відносно відповідних поверхонь, не вписується в рамки загально прийнятого визначення: “сила тертя, це та сила з якою взаємодіючі поверхні протидіють їх взаємному переміщенню”. Однак, неупереджений аналіз вказує на безпідставність подібних звинувачень. Адже та сила тертя ковзання, що виникає між колесами автомобіля і дорогою, дійсно протидіє їх взаємному переміщенню, тобто протидіє ковзанню коліс відносно поверхні дороги. При цьому ця сила не протидіє поступальному руху автомобіля. Більше того, без цієї сили такий рух стає просто неможливим. Адже лише завдяки силі тертя ковзання, обертальний рух ведучих коліс автомобіля перетворюється на його поступальний рух.

 

Словник фізичних термінів.

         Сила тертя (сила тертя ковзання) – це та сила, з якою поверхні взаємодіючих твердих тіл протидіють їх взаємному поступальному (ковзальному) переміщенню, або можливості такого переміщення.

Позначається:  Fтер

Визначальне рівняння:  Fтер =µN  ,

Одиниця вимірювання: [Fтер] = Н.

Коефіцієнт тертя ковзання – це фізична величина, яка характеризує здатність певної пари твердих поверхонь протидіяти їх відносному ковзальному переміщенню і яка дорівнює відношенню виникаючої між цими поверхнями сили тертя, до величини тієї сили з якою поверхні притискаються одна до одної.

Позначається: μ

Визначальне рівняння: μ = Fтер/N

Одиниця вимірювання: [μ] = Н/Н =  ̶  , безрозмірна величина.

         Сила тертя кочення – це та сила, з якою поверхні взаємодіючих тіл протидіють обертальному переміщенню (коченню) одного тіла відносно іншого, або можливості такого переміщення.

Позначається:  Fтер

Визначальне рівняння:  Fтер = kN/R

Одиниця вимірювання:  [Fтер] = Н .

Контрольні запитання.

1. Що означає твердження: “на сьогоднішній день кількісної теорії тертя не існує”?

2. В процесі аварійного гальмування, задні колеса автомобіля не обертаються, а передні вільно обертаються. Які сили тертя діють на ці колеса? Яка з цих сил є більшою?

3. Чому на те тіло яке лежить на горизонтальній поверхні стола, сила тертя не діє, а на те що лежить на похилій площині – діє?

4. Назвіть основні способи суттєвого зменшення сили тертя.

5.Які сили тертя діють на автомобіль в процесі його руху? Які з цих сил протидіють руху автомобіля, а які сприяють цьому руху?

6. Іноді визначальне рівняння сили тертя записують у вигляді Fтер = µN або  Fтер = -µN . Чи є такий запис правильним? Чому?

Вправа 13.

1.Для того щоб зрушити з місця тіло масою 40кг потрібно прикласти горизонтальну силу 200Н. Визначити коефіцієнт тертя.

2. Визначити силу тяги, яку розвиває тепловоз при рівномірному русі по горизонтальному шляху, якщо коефіцієнт тертя 0,03, а сила тиску на рейки 25∙106Н

3. При аварійному гальмуванні, заднє колесо велосипеда обертально не рухається, а переднє продовжує вільно обертатись. Визначте і порівняйте діючі на колеса сили тертя за умови, що силове навантаження на кожне колесо становить 400Н, радіус коліс 35см, а числові значення коефіцієнтів ковзання та кочення відповідно дорівнюють µ=0,5; k=0,0003м.

4. На столі знаходиться стоса однакових книг. Що легше: зсунути шість верхніх книг, чи витягнути з стоси третю книгу?

5. Коефіцієнт тертя ковзання ящика масою 100кг об підлогу 0,2. Ящик тягнуть за мотузку, що утворює кут 30º з горизонтом. Яку силу треба прикласти, щоб ящик рухався рівномірно?

6. Щоб зрушити з місця важкий причіп, потрібно прикласти до нього горизонтальну силу 6кН. Автомобіль масою 3т не зміг зрушити причіп із місця; проте це вдалося зробити після того як в кузов автомобіля помістили вантаж 1т. При якому значення коефіцієнта тертя спокою між колесами автомобіля і дорогою це можливо? Всі колеса автомобіля ведучі.

 

§22. Механічні деформації. Сила пружності. Механічна напруга.

                   Закон Гука.

 

         Будь яку зміну форми або розмірів тіла, що відбувається під дією зовнішніх чи внутрішніх механічних сил, називають механічною деформацією тіла (від лат. deformatio – викривлення). Наприклад, якщо ви згинаєте, скручуєте чи розтягуєте лінійку, то відповідна деформація є механічною. Механічною, вважають і ту деформацію яка виникає в процесі обертального руху тіла і поява якої обумовлена дією сили інерції. Наприклад, та деформованість Земної кулі яка обумовлена фактом її обертання навколо своєї осі, є механічною.

За реакцією тіла на припинення дії деформуючої сили, механічні деформації поділяються на пружні та пластичні. Пружною називають таку механічну деформацію, яка повністю зникає після припинення дії деформуючої сили. Пластичною називають таку механічну деформацію, яка після припинення дії деформуючої сили зберігається (залишається). Іншими словами, якщо після припинення дії деформуючої сили, тіло повністю відновлює свою попередню форму, то його деформація була пружною. Якщо ж, після припинення дії деформуючої сили, тіло зберігає надану йому форму, то його деформація є пластичною. На практиці часто зустрічаються ситуації в яких, після припинення дії деформуючої сили, тіло відновлює попередню форму (розміри) лише частково. В цьому випадку говорять про пружно-пластичну деформацію тіла.

За характером діючих на тіло деформуючих сил та за характером тих геометричних змін що відбуваються в деформованому тілі, все різноманіття пружних механічних деформацій прийнято розділяти на чотири різновидності:

-деформація розтягнення-стиснення (мал.41а,б);

-деформація згинання (мал. 41д);

-деформація кручення (мал. 41г);

-деформація зсуву (мал. 41в).

мал.41  Геометрична суть основних видів пружних механічних деформацій.

В межах програми загальноосвітньої школи, вивчають параметри та закономірності лише однієї різновидності механічної деформації тіл – пружну деформацію розтягнення-стиснення. Однак ви маєте знати, що з певними термінологічними поправками, ці параметри і закономірності притаманні будь якій різновидності пружної деформації та для будь якої комбінації цих різновидностей.

Характеризуючи геометричні та силові параметри не деформованого та пружно деформованого тіла, говорять про наступні величини (мал.42):

– початкова довжина тіла                        ℓ0                (м) ;

– площа поперечного перерізу тіла      S                 (м2) ;

-абсолютна деформація тіла                  ∆ℓ= ℓ – ℓ0    (м);

-відносна деформація тіла                      ε = ∆ℓ/ℓ0     (-);

-деформуюча сила                                     F                  (Н);

-сила пружності                                          Fпр = -k∆    (Н);

-жорсткість тіла                                          k = F/∆ℓ       (Н/м);

-модуль пружності                                    E = σ/ε          (Па);

-механічна напруга                                  σ = Fпр/S      (Н/м2=Па).

 

Мал. 42  Пружно деформоване тіло та його характеристики.

Абсолютна деформація – це фізична величина, яка характеризує абсолютну деформацію тіла і яка дорівнює цій деформації, тобто тому  видовженню (вкороченню) тіла, яке воно отримує під дією деформуючої сили.

Позначається:  ∆ℓ

Визначальне рівняння:  ∆ℓ=ℓ-ℓ0

Одиниця вимірювання:  [∆ℓ] = м.

Відносна деформація – це фізична величина, яка характеризує відносну (порівняльну) деформацію тіла і яка дорівнює відношенню абсолютної деформації тіла до його початкової довжини .

Позначається:  ε

Визначальне рівняння:  ε=∆ℓ/ℓ0

Одиниця вимірювання:  [ε]= м/м= – ,  (рази)

Деформуюча сила – це та зовнішня сила, дія якої призводить до пружної деформації тіла.

Позначається:  F

Визначальне рівняння: визначається умовою конкретної задачі

Одиниця вимірювання: [F]=H

Сила пружності – це та внутрішня сила, яка виникає в пружно деформованому тілі і яка завжди протидіє появі та зростанню цієї деформації.

Позначається:  Fпр

Визначальне рівняння:  Fпр = -k∆

Одиниця вимірювання:  [Fпр] =H

 

Мал.43. Сила пружності завжди протидіє деформуючій силі.

Жорсткість тіла – це фізична величина, яка характеризує пружні властивості даного тіла і яка дорівнює відношенню тієї сили що деформує тіло до величини отриманої  при цьому абсолютної деформації.

Позначається:  k

Визначальне рівняння:  k=F/∆ℓ

Одиниця вимірювання:  [k]=H/м,  ньютон на метр.

Потрібно зауважити, що жорсткість тіла, тобто та величина яка визначається за формулою k=F/∆ℓ, фактично не залежить ні від величини деформуючої сили F, ні від величини отриманої при цьому абсолютної деформації ∆ℓ. Жорсткість тіла, залежить від параметрів самого тіла, зокрема від: 1) пружних властивостей того матеріалу, з якого виготовлено тіло (ці властивості характеризує величина яка називається модулем пружності,  позначається Е. Значення модуля пружності визначається експериментально і записується у відповідну таблицю);  2)  площі поперечного перерізу тіла S; 3) початкової довжини тіла ℓ0. Цю залежність можна записати у вигляді  k=ES/ℓ0.

Механічна напруга – це фізична величина, яка характеризує внутрішній механічний стан пружно деформованого тіла і яка дорівнює відношенню виникаючої в тілі сили пружності до величини його площі поперечного перерізу.

Позначається: σ

Визначальне рівняння: σ=Fпр/S

Одиниця вимірювання:  [σ]=H/м2=Па,  (паскаль).

Основний закон механіки пружно деформованого тіла був експериментально встановлений в 1660 році англійським фізиком Робертом Гуком (1635-1703). В цьому законі (законі Гука) стверджується: при пружних деформаціях тіла, величина його абсолютної деформації (∆ℓ), пропорційна діючій на нього деформуючій силі F. Іншими словами: ∆ℓ=F/k, де  k – жорсткість тіла, величина якої визначається експериментально, або за формулою k=ES/ℓ0 .

Мал.44 Абсолютна деформація тіла (ΔƖ), прямо пропорційна деформуючій силі (F) – закон Гука .

Вище наведене формулювання закону Гука є безумовно правильним, очевидно простим та історично автентичним. Однак в сучасній науці цей закон прийнято формулювати по іншому: при пружних деформаціях тіла, величина виникаючої в ньому механічної напруги σ, пропорційна його відносній деформації ε. Іншими словами: σ=Еε, де Е – модуль пружності (модуль Юнга), постійна для даного матеріалу величина, значення якої визначається експериментально і записується у відповідну таблицю.

На перший погляд, формули   ∆ℓ=F/k   і   σ=Еε   є абсолютно різними. Насправді ж, ці формули математично тотожні. Дійсно. Враховуючи що

k=ES/ℓ0;  ε=∆ℓ/ℓ0;  σ=Fпр/S;  Fпр=F, можна записати:

∆ℓ= F/k = Fпр/(ES/ℓ0) = Fпр0/ES = σℓ0/E .  Звідси   σ = E∆ℓ/ℓ0 = Eε .

Ви можете запитати: “А чому в сучасній науці, закон Гука прийнято записувати не у вигляді ∆ℓ=F/k, а у вигляді σ=Eε?”. Пояснюючи такий стан речей, розглянемо декілька простих ситуацій.

Припустимо, що у вашому розпорядженні є два гумових (E1=E2) стержні, однакової площі поперечного перерізу (S1=S2), але різної довжини, скажімо ℓ1=10см, ℓ2=100см (мал.45). Припустимо, що кожен з цих стержнів ви розтягнули (деформували) на одну і ту ж абсолютну величину, наприклад на 10см ( ∆ℓ1 = ∆ℓ2 = 10см ). Запитується, чи однаковою є ступінь деформованості цих стержнів? Відповідь очевидна – ні не однаковою. Адже для першого стержня (ℓ1 = 10см) абсолютна деформація величиною в 10см є відносно великою, тоді як для другого стержня (ℓ2 = 100см) та ж деформація є відносно малою. Висновок: абсолютна деформація (∆ℓ) не є тією величиною яка у повній мірі об’єктивності характеризує деформованість тіла. В цьому сенсі, більш об’єктивною величиною є відносна деформація (ε=∆ℓ/ℓ0), яка чітко вказує, що ступінь деформованості першого тіла (ε1=1) в десять разів більша за ступінь деформованості другого тіла (ε2=0,1).

 

Мал.45  Абсолютні деформації тіл однакові (∆ℓ1=∆ℓ2), а ступені їх деформованості – різні.

Тепер уявіть, що два гумових (E1=E2) стержні, однакової довжини(ℓ1=ℓ2) але різної площі поперечного перерізу (скажімо S1=1см2, S2=10см2), навантажені однаковими силами (F1=F2), наприклад по 100Н кожна (мал. 46). Запитується, чи є однаковим внутрішній механічний стан пружно деформованого тіла? Відповідь очевидна – ні не є. Адже для першого стержня (S1=1см2), сила в 100Н є відносно великою, тоді як для другого стержня (S2=10см2) – відносно малою.

Висновок: виникаюча в тілі сила пружності не є тією величиною, яка у повній мірі об’єктивності, характеризує внутрішній механічний стан пружно деформованого тіла. В цьому сенсі більш об’єктивною величиною є механічна напруга (σ=Fпр/S). Адже механічна напруга чітко вказує на те, що внутрішній механічний стен першого тіла (σ1=100Н/см2) в десять разів більш напружений аніж другого (σ2=10Н/см2).

 

Мал.46   Сили пружності однакові, а внутрішні механічні стани деформованих тіл – різні.

Не важко бачити, що ті величини які фігурують в першому формулюванні закону Гука (∆ℓ=F/k), є такими, що не у повній мірі об’єктивності характеризують як ступінь деформованості тіла, так і його внутрішній механічний стан. Натомість, ті величини які фігурують в другому формулюванні цього закону (σ=Еε) характеризують ті ж параметри пружно деформованого тіла більш об’єктивно та повно.

Додайте сюди факт того, для визначення жорсткості (k=ES/ℓ0) кожного тіла, потрібні певні індивідуальні експериментальні або теоретичні дослідження, тоді як модуль пружності (E), це певна таблична величина – і ви зрозумієте чому в сучасній науці та інженерній практиці, закон Гука записують не у вигляді ∆ℓ=F/k, а у вигляді  σ=Еε.  До речі, той розділ прикладної механіки в основі якого лежить практичне застосування закону Гука (σ=Еε) називають опором матеріалів (сопроматом).

 

Словник фізичних термінів.

         Механічною деформацією тіла – називають будь яку зміну форми або розмірів тіла, що відбувається під дією зовнішніх чи внутрішніх механічних сил.

         Пружна деформація – це така механічна деформація тіла, яка повністю зникає після припинення дії деформуючої сили.

         Пластична деформація – це така механічна деформація тіла, яка після припинення дії деформуючої сили зберігається.

         Відносна деформація – це фізична величина, яка характеризує відносну (порівняльну) деформацію тіла і яка дорівнює відношенню абсолютної деформації тіла до його початкової довжини .

Позначається:  ε

Визначальне рівняння:  ε=∆ℓ/ℓ0

Одиниця вимірювання:  [ε]= м/м= – , (рази)

         Сила пружності – це та внутрішня сила, яка виникає в пружно деформованому тілі і яка завжди протидіє появі та зростанню цієї деформації.

Позначається:  Fпр

Визначальне рівняння:  Fпр = -k∆

Одиниця вимірювання:  [Fпр] =H

         Механічна напруга – це фізична величина, яка характеризує внутрішній механічний стан пружно деформованого тіла і яка дорівнює відношенню виникаючої в тілі сили пружності до величини його площі поперечного перерізу.

Позначається: σ

Визначальне рівняння: σ=Fпр/S

Одиниця вимірювання:  [σ]=H/м2=Па, (паскаль).

Закон Гука (перше формулювання) – це закон, в якому стверджується: при пружних деформаціях тіла, величина його абсолютної деформації (∆ℓ) пропорційна величині діючої на нього деформуючої сили (F): ∆ℓ=F/k .

Закон Гука (друге формулювання) – це закон, в якому стверджується: при пружних деформаціях тіла, величина виникаючої в ньому механічної напруги (σ) пропорційна його відносній деформації (ε):  σ=Еε .

Контрольні запитання.

1.Які деформації виникають в: а) в ніжках стола, б) перекинутій через канаву дошці, в) в папері який розрізають ножицями?

2. Чим схожі і чим відрізняються деформуюча сила та сила пружності?

3. Яку деформацію називають пружно-пластичною?

4. Від чого залежить жорсткість тіла?

5. Чому в сучасній науці закон Гука прийнято записувати не у вигляді ∆ℓ=F/k, а у вигляді σ=Еε?

6. Чому табличною величиною є не жорсткість тіла , а модуль пружності?

                            Вправа 14.

1.Під дією сили 1кН стержень діаметром 1см подовжився на 1мм. Яка жорсткість цього стержня та виникаюча в ньому механічна напруга?

2. До закріпленої одним кінцем дротини діаметром 2мм підвісили вантаж масою 10кг. Визначити виникаючу в дротині силу пружності та механічну напругу.

3. Жорсткість дротини k. Чому дорівнюватиме жорсткість половини цієї дротини?

4. Яка максимальна механічна напруга виникає в вертикально висячому мідному стержні під дією власної ваги? Як залежить ця напруга від а) діаметру стержня; б) маси стержня; в) довжини стержня?

5. На дротині довжиною ℓ висить вантаж масою m. Дротину склали вдвічі і підвісили той же вантаж. Порівняйте абсолютні та відносні деформації дротин в цих двох випадках. Порівняйте їх жорсткості.

 

§23. Про силу звичайну та силу інерції. Або про те, чому різні тіла падають з однаковим прискоренням.

 

На протязі тисячоліть люди вважали, що сила – це те що змушує тіла рухатись. Вони думали, хіба плуг, карета чи віз рухаються не тому що на них діє певна сила? І хіба після припинення дії цієї сили, вони не зупиняються? Хіба камінь не буде лежати на землі допоки на нього не подіє сила? Хіба камінь падає не тому, що на нього діє певна сила ?

Подібні міркування наводили на думку, що сила – це те, що змушує тіло рухатись. Однак більш глибокий аналіз вказував на явні недоліки цієї думки. Дійсно, футбольний м’яч починає рухатись тому, що на нього діє сила удару футболіста. Але ж м’яч продовжує рухатись і після припинення дії цієї сили. Кинутий камінь продовжує рухатись і після того як відривається від руки. Куля продовжує рухатись і після припинення дії тиску порохових газів. При цьому говорять що м’яч, камінь та куля рухаються за інерцією.

Виходячи з того, що будь-яке тіло має інерцію, тобто здатність зберігати стан спокою або стан прямолінійного рівномірного руху, Галілей а за ним і Ньютон дійшли висновку: Сила – це не те, що змушує тіло рухатись, а те що змушує змінювати швидкість його руху, тобто те, що надає тілу певного прискорення. Більше того, Ньютон з’ясував, що під дією зовнішньої сили F тіло масою m отримує прискорення а і що при цьому а=F/m.

З іншого боку, причиною зміни швидкості руху тіла, тобто джерелом сили, є дія на це тіло іншого фізичного об’єкту. А це означає, що сила є кількісною мірою дії одного фізичного об’єкту на інший фізичний об’єкт (мірою взаємодії фізичних об’єктів). Зважаючи на вище сказане, можна дати наступне визначення.

Сила – це фізична величина яка є кількісною мірою взаємодії тіл (фізичних об’єктів) і яка дорівнює добутку маси тіла на величину того прискорення яке воно отримує під дією даної сили.

Позначається:  F

Визначальне рівняння:  F = ma

Одиниця вимірювання:  [F] = кг·м/с2 = Н,   (ньютон)

Твердження про те, що сила це міра взаємодії фізичних об’єктів є загальновизнаним та загальноприйнятим. Однак це зовсім не означає що воно є бездоганно правильним. Дійсно. З нього випливає, що будь-яка сила, це результат взаємодії тих чи інших фізичних об’єктів. Наприклад, сила тяжіння – результат взаємодії даного тіла з Землею; сила пружності – результат взаємодії атомів і молекул деформованого тіла; сила тертя – результат взаємодії контактуючих поверхонь; електрична сила – результат взаємодії  електричних зарядів; магнітна сила – результат взаємодії електричних струмів і т.д.,

Однак в Природі існує одна сила, яка явно не вписується в рамки загальноприйнятого визначення. Цю силу називають силою інерції. Коли в момент різкої зупинки автомобіля вас щось невидиме штовхає вперед, знайте – це сила інерції. Коли на крутому повороті вас щось притискає до бокових дверей автомобіля, знайте – це сила інерції. Коли на атракціоні “американські гірки” ваш дух перехоплює від постійних перевантажень та станів невагомості, знайте, це прояви сили інерції.

  

Мал.47. Деякі прояви сили інерції.

З’ясовуючи фізичну суть сили інерції, звернемося до експерименту. Припустимо що до пружинного динамометра (мал.48) прикріплено вантаж масою 0,1кг. Коли система динамометр-вантаж знаходиться в стані механічної рівноваги (v=0  або  v=const) то деформована пружина вказує на те, що вантаж притягується до Землі з силою 1Н: Fт =mg≈0,1кг·10м/с2=1Н. Але, як тільки система почне прискорено рухатись вгору, пружина динамометра додатково розтягнеться, вказуючи на те що на тіло діє певна додаткова сила, напрям якої протилежний до напрямку прискорення. Ця сила і є силою інерції.

Мал.48 Прискорений рух тіла завжди породжує силу інерції, яка протидіє появі та зростанню цього прискорення.

Тепер давайте з’ясуємо дія якого фізичного об’єкту призвела до появи сили інерції? Ви можете як завгодно довго шукати цей об’єкт і скоріш за все не знайдете його. Не знайдете тому, що його просто не існує. Силу інерції породжує не взаємодія даного тіла з тим чи іншим фізичним об’єктом, а сам факт прискореного руху тіла.*

*)  Чесно кажучи поява сили інерції обумовлена взаємодією даного тіла з тим фізичним об’єктом який називається простір. Однак, про властивості цього об’єкту та про його зв’язок з силою інерції ми поговоримо лише в тому розділі фізики який називається теорією відносності.

В певному  сенсі, сила інерції не вписується в рамки загальноприйнятого визначення: “Сила – це міра взаємодії фізичних об’єктів”. На цій підставі часто можна почути, що сила інерції, це якась неіснуюча, придумана, віртуальна сили. Подібні твердження – абсолютно безпідставні. Вся “нереальність” сили інерції лише в тому, що наше спрощене пояснення природи цієї сили, не вписується в рамки того визначення яке ми придумали для поняття “сила”.

Сьогодні ми не будемо обговорювати питання про походження сили інерції. Відповідь на це питання дає загальна теорія відносності. Сьогодні, ми просто констатуємо той факт, що при прискореному русі будь-якого фізичного об’єкту, на нього діє сила інерції, величина якої дорівнює добутку маси об’єкту на його прискорення і напрям якої протилежний напрямку цього прискорення.

Сила інерції – це та сила, поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і яка завжди протидіє появі та зростанню цього прискорення.

Позначається: Fі

Визначальне рівняння: Fі = – ma

Одиниця вимірювання: [Fі] = Н.

   

Мал.49.  Якщо тіло рухається з прискоренням, то на нього неминуче діє певна сила інерції.

Потрібно зауважити, що одним з малоприємних наслідків намагань не згадувати про «неіснуючу» силу інерції, є факт того, що певні прояви цієї сили часто називають то відцентровою силою, то бічною силою, то силою перевантаження, то просто силою яку не називають взагалі. Але правда життя полягає в тому, що всі ці бічні, перевантажувальні, відцентрові та їм подібні сили, є проявами однієї і тієї ж сили – сили інерції. Сили, поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і яка завжди протидіє появі та зростанню цього прискорення.

Сила інерції, це надзвичайно важлива сила, без розуміння суті якої не можливо логічно пояснити величезний пласт явищ. Наприклад, не можливо пояснити чому різні тіла падають з однаковим прискореннями; чому тіла рухаються за інерцією; чому Земля розтягнута в екваторіальній площині; чому Місяць не падає на Землю, а Земля не падає на Сонце; чому планети Сонячної системи знаходяться практично в одній площині; чому в процесі вертикального прискореного руху системи опора-тіло, вага тіла в залежності від напрямку та величини прискорення може бути різною; чому в кабіні штучного супутника Землі тіла перебувають в станів невагомості і що представляє собою цей стан; чим сила тяжіння (Fт=mg) відрізняється від сили гравітаційної взаємодії (Fгр= GMm/R2) і чому в загальному випадку сила тяжіння не проходить через центр маси Землі, тощо. В процесі вивчення фізики, ми відповімо на ці та їм подібні запитання. При цьому ви неминуче переконаєтесь в тому, наскільки важливою та реальною є сила інерції. Наразі ж, гранично стисло відповімо на два базових питання: 1) чому тіла різної маси падають з однаковим прискоренням; 2) чому після припинення дії зовнішньої сили, тіло рухається за інерцією?

Дійсно. Чи задумувались ви над тим, чому тіла різної маси падають однаково швидко? Адже на більш масивне тіло діє більша сила тяжіння, яка очевидно мала б надавати йому більшої швидкості падіння. І тим не менше, важкий камінь і легка пісчинка падають однаково швидко, а точніше – з однаковим прискоренням.

Пояснюючи даний факт можна сказати наступне. На будь-яке тіло діє певна сила тяжіння (мал.50). При цьому, на важке тіло, діє велика сила тяжіння (Fт = Mg), а на легке – відповідно мала (Fт = mg). Коли під дією сили тяжіння тіло починає прискорено рухатись (a=g) то автоматично з’являється (індуцирується) відповідна протидіюча сила – сила інерції. При цьому, на важке тіло діятиме велика сина інерції (Fі = – Mg), а на легке – мала сила інерції (Fі = -mg). Під дією цих рівних за величиною і протилежних за напрямком  сил (сили тяжіння та сили інерції) будь-яке вільно падаюче тіло і рухається з певним постійним прискоренням – прискоренням вільного падіння.

 

Мал. 50  Важкі і легкі тіла падають з однаковим прискоренням тому, що в процесі вільного падіння, діючі на них сили тяжіння динамічно зрівноважуються відповідними силами інерції.

Ви можете запитати: “А як бути з умовою рівноваги тіла, тобто з законом в якому говориться про те, що коли діючі та тіло зовнішні сили зрівноважують одна одну, то тіло знаходиться в стані спокою (v=0), або прямолінійного рівномірного руху (v=const)?” Відповідаючи на це слушне запитання, можна сказати наступне.

Дійсно. В умові рівноваги тіла стверджується: якщо векторна сума діючих на тіло зовнішніх сил дорівнює нулю, то тіло буде знаходитись в стані механічної рівноваги. Іншими словами: якщо ΣF=0, то v=0 або v=const. Аналізуючи дане твердження зверніть увагу на те, що в ньому говориться про векторну суму зовнішніх сил, тобто звичайних сил взаємодії: сила тяжіння, сила тертя, сила пружності, сила Архімеда, реакція опори, сила тяги, тощо. В нашому ж випадку, ми маємо справу з силою інерції, тобто силою яка не є зовнішньою. З силою, поява якої обумовлена не взаємодією тіла з тими чи іншими об’єктами, а самим фактом прискореного руху тіла. Тому, коли ми стверджуємо що в процесі вільного падіння тіла, встановлюється рівновага між силою тяжіння і силою інерції, то маємо на увазі так звану динамічну рівновагу, яка передбачає рух тіла не з постійною швидкістю (v=const), а з постійним прискоренням (а=const).

Динамічною рівновагою називають такий механічний стан тіла, при якому воно, під дією зовнішніх сил та сили інерції, знаходиться в стані рівноприскореного руху (а=const).

Потрібно зауважити, що ті задачі, в яких тіло під дією певної системи сил рухається з постійним прискоренням є задачами динаміки. Однак, алгоритм рішення цих динамічних задач практично не відрізняється від алгоритму рішення задач статики. В основі цього рішення лежить твердження (закон) яке називається умовою динамічної рівноваги тіла. Тіло (матеріальна точка) буде знаходитись в стані динамічної рівноваги (а =const) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та сили інерції дорівнює нулю. Іншими словами :

якщо    Σ F + Fi = 0,     то     а=const,  або

якщо    а=const ,           то     Σ F + Fi = 0.

Знаючи властивості сили інерції можна відповісти на ще одне важливе запитання: “ Чому після припинення дії зовнішньої сили, тіло рухається за інерцією?” На перший погляд такий рух здається безпричинним, тобто таким який не підтримується жодною зовнішню силою. І це правда, – жодна зовнішня сила не є причиною руху тіла за інерцією. Та все ж інерційний рух має свою силову причину. Ця причина – сила інерції, тобто та внутрішня сила, яка протидіє будь-якій зміні швидкості руху тіла. Дійсно, як тільки рухоме тіло прагне зменшити свою швидкість, автоматично з’являється сила інерції, яка протидіє цим намаганням i так би мовити “підштовхує” тіло. І якщо тіло, всупереч дії сили інерції все ж зупиняється, то це тільки тому, що на нього діють певні зовнішні гальмуючі сили, зокрема різноманітні сили тертя. Якщо ж дія цих сил відсутня, або мізерно мала, то тіло може зберігати стан рівномірного руху як завгодно довго. Наприклад, Земля вже на протязі 4,5 мільярдів років обертається навколо Сонця з практично незмінною швидкістю.

Завершуючи розмову про силу інерції ще раз наголосимо на тому, що ця сила дійсно має певні специфічні особливості. Але ці особливості не є такими, що ставлять під сумнів факт існування сили інерції. А про цей факт з усією очевидністю говорив ще великий Ньютон. Ось що він пише в своїх знаменитих “Началах” стосовно суті та властивостей сили інерції, яку зазвичай називає “вродженою силою”: “Ця сила завжди пропорційна інерційній масі тіла, а якщо від неї й відрізняється, то лише поглядами на її природу… Вроджену силу цілком слушно можна назвати силою інерції. Ця сила виникає в тілі лише тоді, коли інша прикладена до тіла зовнішня сила, призводить до зміни його швидкості. Прояви цієї сили можуть бути як у вигляді певного опору, так і у вигляді певного напору. Як опір, ця сила протидіє зміні швидкості руху тіла, а як напор – є причиною зміни швидкості інших тіл.”

І не важко збагнути, що коли Ньютон говорить про силу інерції як про силу опору, то має на увазі той факт, що ця сила протидіє (чинить опір) зміні швидкості руху тіла. Коли ж силу інерції Ньютон називає силою напору, то має на увазі факт того, що в процесі взаємодії (удару) рухомого і нерухомого тіл, рухоме тіло гальмується і виникаюча при цьому сила інерції, фактично є тим силовим напором, який і змушує нерухоме тіло рухатись з певним прискоренням.

Словник фізичних термінів.

        Сила інерції – це та сила, поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і яка завжди протидіє появі та зростанню цього прискорення.

Позначається: Fі

Визначальне рівняння: Fі = – ma

Одиниця вимірювання: [Fі] = Н

         Динамічною рівновагою називають такий механічний стан тіла, при якому воно, під дією зовнішніх сил та сили інерції, знаходиться в стані рівноприскореного руху (а=const).

         Умова динамічної рівноваги тіла – це закон в якому стверджується: тіло (матеріальна точка) буде знаходитись в стані динамічної рівноваги

(а=const), тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та сили інерції дорівнює нулю. Іншими словами:

якщо    Σ F+Fi = 0,     то     а=const,  або

якщо    а=const,          то     Σ F+Fi = 0.

Контрольні запитання.

1.Чи правильне твердження: сила – це те що змушує тіло рухатись?

2. Наведіть приклади ситуацій, в яких проявляється сила інерції.

3. Поясніть, чому важкі і легкі тіла падають з однаковим прискоренням?

4. Поясніть, чому Земля дещо “розтягнута” в екваторіальній площині ?

5. Чи завжди під дією рівних і протилежно направлених сил, тіло знаходиться в стані механічної рівноваги (v=0 або v=const )?

6. Чим динамічна рівновага тіла відрізняється від його механічної рівноваги?

7. Чи є рух тіла за інерцією безпричинним, тобто таким, що не підтримується жодною з відомих сил?

Вправа 15

1.З яким прискоренням рухатиметься брусок похилою площиною, якщо кут нахилу площини 30°, а коефіцієнт тертя 0,15?

2. Автомобіль масою 5т рухається вгору з прискоренням 0,1м/с2. Визначити силу тяги автомобіля, якщо кут нахилу дороги 5°, а коефіцієнт опору руху (коефіцієнт тертя) 0,05.

3. Маса автомобіля 4т, а швидкість його руху 54км/год. З якою силою буде тиснути цей автомобіль на середину опуклого моста, радіус кривизни якого 50м?

4. Автомобіль масою 2т рушаючи з місця досягає швидкості 30м/с за 20с. Визначити силу тяги автомобіля, якщо коефіцієнт опору руху становить 0,05.

5. Ліфт масою 800кг і вантажопід’ємністю 1т, розрахований на рух з максимальним прискоренням 3м/с2. Якого діаметру має бути сталевий трос ліфта? Запас міцності троса 5. Межа пружності сталі 450МПа.

6. Вантаж підвішений на нитці довжиною 50см, рухаючись рівномірно описує в горизонтальній площині коло. З якою швидкістю рухається вантаж, якщо під час його руху нитка утворює з вертикаллю кут 30°?

 

§24. Розвязування задач. Тема: силовий метод розвязування задач динаміки.

 

         Загальні зауваження. Фізика загалом і механіка зокрема, це єдиний цілісний організм всі частини якого, взаємопов’язані та взаємопереплетені. Тому, коли ми ділимо механіку на кінематику, статику та динаміку, то робимо це досить умовно. Скажімо, на даний момент ми вивчаємо тему, яка називається “статика”. Тобто ту тему в якій вивчають параметри, закономірності та причини стану механічної рівноваги тіл (v=0 або v=const). В цій темі основною фізичною величиною є сила, а основним законом – умова механічної рівноваги тіла.

З іншого боку, однією з найважливіших сил механіки є сила інерції, тобто та сила, поява якої обумовлена прискореним рухом тіла.  Формально, ті задачі в яких тіло під дією певної системи сил рухається з прискоренням, є задачами динаміки. Однак ці силові задачі динаміки є органічним продовженням та доповненням задач статики. По суті, мова йде про пласт фактично одних і тих же задач. І розв’язувати ці задачі в відриві одна від одної є не доцільним та методологічно не правильним. Тому ті ситуації, в яких тіло під дією певної системи сил рухається з прискоренням, ми будемо розглядати не лише в динаміці, а й в статиці.

За великим рахунком є два базові методи розв’язування задач динаміки: силовий та імпульсно-енергетичний. Про суть та можливості імпульсно-енергетичного методу ми поговоримо в найближчому майбутньому. Наразі ж, мова піде про силовий метод розв’язування задач динаміки. Суть цього методу дуже проста: на основі аналізу діючих на тіло сил (втому числі і сили інерції), та на базі умови його динамічної рівноваги (якщо а=const, то ∑F+Fi=0) визначаються невідомі величини.

Задача 1. З яким прискоренням рухається брусок похилою площиною кут нахилу якої 30°, якщо коефіцієнт тертя 0,2?

.                      

Дано:                     Аналіз:

α=30°

µ=0,2                  Малюнок

а=?

Виконуємо малюнок на якому: вказуємо всі діючі на тіло сили (сила тяжіння, реакція опори, сила тертя, сила інерції); задаємо систему координат; вказуємо кутову орієнтацію сил.

Записуємо умову динамічної рівноваги тіла і, розв’язавши систему відповідних рівнянь, визначаємо невідому величину.

∑ Fх = – Fтер – Fі + Fт sinα = 0        (1)

∑ Fу = N – Fт cosα = 0                  (2)

Враховуючи, що: Fтер =µN,  Fі = ma,  Fт = mg,  можна записати

– µN – ma + mgsinα = 0,  звідси

ma = mgsinα – µN .

Враховуючи, що згідно з рівнянням (2)

N = Fт cosα = mgcosα,  отримаємо

ma = mgsinα – µmgcosα,  звідси

a = g(sinα – µcosα).

Розрахунки:   а = … = 3,2м/с2.

Відповідь:  а = 3,2м/с2.

Задача 2. Пілот літака виконує так звану «петлю Нестерова», яка представляє собою вертикальну колову траєкторію (мал.60). З якою силою пілот тисне на сидіння літака (на опору) у верхній та нижній точках «петлі Нестерова», якщо швидкість літака 360км/год, а радіус петлі 200м? Маса пілота 80кг.

.       

Дано:                   СІ                      Аналіз

m = 80кг               –

v = 360км/год    100м/с              Малюнок

R = 200м               –

P1 = ?

P2 = ?

В процесі руху по колу на пілота діють три сили:

1) Сила тяжіння Fт = mg.

2) Реакція опори N тобто та сила з якою опора діє на пілота і яка чисельно дорівнює тій силі Р з якою пілот діє на опору: N = Р.

3) Сила інерції поява якої обумовлена фактом того, що рухаючись по колу, тіло рухається з певним доцентровим прискоренням а = v2/R, якому відповідає певна сила інерції: Fi = mv2/R.

При цьому, у верхній та нижній точках траєкторії, вище згадані сили діють вздовж вертикалі 0у. Зважаючи на це, запишемо умову рівноваги тіла (пілота) для верхньої (1) і нижньої (2) точок траєкторії та визначимо з цієї умови невідому величину Р1 = N1; P2 = N2.

1) ∑Fy = Fi – Fт – N1= 0, звідси випливає:

N1 = Fi – Fт = mv2/R – mg = 80(1002/200 – 10) =3200Н

2) ∑Fy = – Fi – Fт + N2= 0, звідси випливає:

N2 = Fi + Fт = mv2/R + mg = 80(1002/200 + 10) =4800Н

Відповідь: Р1 = 3200Н; Р2 = 4800Н.

Потрібно зауважити, що ту силу Р з якою тіло діє на опору, називають вагою тіла. Про суть та особливості цієї сили ми поговоримо в §27. Наразі ж зауважимо, що за звичайних умов, вагу тіла прийнято визначати за формулою Р = mg. Скажімо за звичайних умов вага тіла масою 80кг становить 800Н. А це означає, що в умовах попередньої задачі, вага того пілоту який виконує «петлю Нестерова» у верхній точці петлі збільшується у 3200/800=4 рази, а в нижній точці, збільшується в 4800/800=6 разів.

Задача 3. З якою максимальною швидкістю може їхати мотоцикліст горизонтальною дорогою, описуючи дугу радіусом 90м, якщо коефіцієнт тертя коліс об дорогу 0,4? Під яким кутом відносно вертикалі має нахилятися мотоцикліст, забезпечуючи відповідну швидкість руху?

.                            

Загальні зауваження. Оскільки мотоцикліст з швидкістю v рухається по колу радіусу R, то він рухається з доцентровим прискоренням а=v2/R. А це означає, що на мотоцикліста (точніше, на систему мотоцикліст-мотоцикл) окрім трьох зовнішніх сил (сила тяжіння Fт=mg, реакція опори N та сила тертя Fтер) діє прикладена до центру мас системи сила інерції Fi= -ma.

Рухаючись по колу та прагнучи забезпечити механічну рівновагу системи, мотоцикліст має нахилятися на такий кут α при якому рівнодійна реакції опори та сили тертя Q = N + Fтер проходить через центр мас системи мотоцикліст-мотоцикл. Інакше, діючі на систему сили будуть створювати певний обертальний момент сил, наявність якого призведе до падіння мотоцикліста.

Факт того, що рівнодійна реакції опори та сили тертя проходить через центр мас системи мотоцикліст-мотоцикл, по суті означає, що динамічна рівновага цієї системи забезпечується трьома діючими на центр мас системи силами: сила тяжіння Fт=mg, сила інерції Fi=mv2/R та рівнодійна реакції опори і сили тертя Q = N + Fтер.

Зважаючи на вище сказане, розв’яжемо нашу задачу.

Дано:                      Аналіз

R = 90м

μ = 0,4                   Малюнок

vм = ?

αм = ?            Максимальну швидкість руху мотоцикла (vм) заокругленням горизонтальної дороги та їй відповідний кут нахилу мотоцикла (αм), можна визначити із наступних міркувань.

1) Діюча на систему мотоцикліст-мотоцикл сила інерції Fi=mv2/R має бути не більшою за ту максимальну силу тертя, що виникає між дорогою та колесами мотоцикла. Іншими словами: Fi ≤ Fт, або mv2/R ≤ μmg. А це означає, що та швидкість з якою може рухатись мотоцикліст заокругленням горизонтальної дороги, має задовільняти умові v2 ≤ μgR або v ≤ (μgR)1/2. При цьому максимальне значення цієї швидкості становить: vм = (μgR)1/2. В умовах нашої задачі: vм = (0,4∙9,8∙90)1/2=18,8м/с.

2) Оскільки для забезпечення динамічної рівноваги системи, рівнодіюча реакції опори (N) та сили тертя (Fтер) Q = N + Fтер має проходити через центр мас системи мотоцикл-мотоцикліст, то кут нахилу цієї системи відносно вертикалі, має дорівнювати куту між векторами N i Q. Виходячи з цього можна записати:

N = Qcosα;

Fтер = Qsinα.

Звідси випливає, що Qsinα/Qcosα = Fтер/N, або tgα = Fтер/N.

Таким чином, величину кута нахилу системи мотоцикл-мотоцикліст до вертикалі, можна визначити за формулою α = arctg(Fтер/N). При цьому, якщо мова йде про максимальне значення цього кута, тобто те значення при якому величина сили тертя є гранично великою (Fтер= μN), то в цьому випадку, αм = arctg(Fтер/N) = arctg(μN/N) = arctg μ. В умовах нашої задачі αм = arctg0,4=22º

Відповідь: vм =18,8м/с; αм =22º.

На завершення зауважимо, що заокруглені ділянки сучасних доріг мають певний нахил, який сприяє максимально безпечному руху транспорту на цих ділянках.

Задача 4. Через нерухомий блок перекинуто нитку до кінців якої прив’язано вантажі масою М=0,24кг кожний. На один з вантажів поклали тягарець масою m=10г. На якій вертикальній відстані один від одного будуть вантажі через 2с, якщо на початку руху вони перебували на одній висоті?

.                                  

Зауваження.  Нерухомий блок представляє собою легкий шків, що вільно обертається навколо нерухомої осі. Вважається, що рухомий шків не змінює натяг перекинутої через нього нитки (мотузки, канату, тощо). А це означає, що на ті тіла які знаходяться по обидва боки шківа діють однакові реакції опори (Т12. Зазвичай ту силу з якою нитка діє на тіло називають силою натягу нитки і позначають Т). За відсутності додаткової інформації, прийнято вважати, що маса рухомого шківа є нулевою, а тертя в його осі відсутнє.

Дано:         СІ                        Аналіз:

М=0,24кг        –

m =10г      0,01кг               Малюнок

t=2с                –

s =?

Під дією тієї додаткової сили тяжіння що діє на тіло масою m1=M+m, це тіло буде опускатись з певним прискоренням а. При цьому тіло масою m2=M з таким же прискоренням буде підніматись. А це означає, що дані тіла будуть віддалятись одне від одного з прискоренням 2а, і тому рівняння їх відносного руху можна записати у вигляді s=2at2/2=at2.

Таким чином, задача зводиться до того, щоб визначити величину того прискорення з яким рухаються тіла. Вирішуючи цю задачу, виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на кожне тіло сили в тому числі і сили інерції. З аналізу малюнку, а по суті з умови динамічної рівноваги тіла,

випливає:  Т1 = m1g – m1a = (M+m)g – (M+m)a,

Т2 = m2g + m2a = Mg + Ma.

А оскільки  Т12 , то  Mg + Ma = (M+m)g – (M+m)a, або

Ma + (M+m)a = (M+m)g – Ma, або  a(2M+m) = mg.

Звідси  a = mg/(2M+m) .

Враховуючи що  s = at2, можна записати s = [mg/(2M+m)]t2.

Розрахунки:  s = … = 0,8м

Відповідь:  s = 0,8м

Задача5. На горизонтальному диску який обертається з кутовою швидкістю 4рад/с встановлено вертикальний стержень, до вершини якого прикріплена нитка з кулькою. На якій відстані від центру диску треба встановити стержень, щоб в процесі обертання диску, відхилення системи кулька-нитка становило 30º від вертикалі?

 

Дано:                              Аналіз

ω = 4рад/с

α = 30º                           Малюнок

ℓ = ?

Розглянемо ті сили, що діють на кульку в процесі обертання диску. А цими силами є:

1) сила тяжіння Fт = mg (на малюнку Р);

2) сила натягу нитки Т;

3) виникаюча в процесі обертання системи сила інерції Fi=ma=mv2/ℓ.

Оскільки лінійна швидкість (v) тіла що обертається, зв’язана з кутовою швидкістю його обертання (ω) співвідношенням v=ωℓ, то можна записати Fi=mv2/ℓ=m(ωℓ)2/ℓ=mω2ℓ, звідси ℓ= Fi/mω2.

Визначаючи величину діючої на кульку сили інерції, запишемо рівняння умови динамічної рівноваги кульки в проекціях на осі системи координат.

∑Fx = Fi – Tsinα = 0;

∑Fy = Tcosα – Fт = 0.

Із (2) → Т = Fт/cosα = mg/cosα.

Із (1) → Fi = Tsinα = mgsinα/cosα = mgtgα.

Таким чином: ℓ= Fi/mω2 = mgtgα/mω2 = gtgα/ω2.

Розрахунки. ℓ = gtg30º/ω2 = 10(м/с2)0,577/(4рад/с)2 = 0,36м = 36см.

Відповідь: ℓ = 36см.

Вправа 16.

1.При якому прискоренні розірветься трос міцність якого 10кН, якщо ним піднімають вантаж масою 500кг?

2. З якою швидкістю має рухатись автомобіль опуклою ділянкою дороги радіус кривизни якої 40м, щоб в верхній точці опуклості, тиск на дорогу дорівнював нулю?

3. Літак виконує “мертву петлю” радіусом 480м і рухається по ній з швидкістю 432км/год. З якою силою льотчик масою 85кг буде тиснути на сидіння літака: а) у верхній точці петлі, б) в нижній точці петлі?

4. На одному кінці нитки перекинутої через нерухомий блок, прив’язано вантаж масою m, а на другому – в двічі легший вантаж. З яким прискоренням рухаються вантажі?

5. Вантажі m1 m2 з’єднані ниткою перекинутою через блок (мал.). Маса вантажу m1=2кг, кути α=30º, β=60º. Якою має бути маса m2, щоб вантажі рухались з прискоренням 4м/с2? Тертям знехтувати.

6. Два вантажі масою 200г і 400г з’єднані ниткою перекинутою через блок, підвішений на пружинних терезах. Визначити прискорення вантажів, показання пружинних терезів та силу натягу нитки. Масою блока знехтувати.

7. З вершини похилої площини довжиною 10м і кутом нахилу 30° починає зісковзувати тіло. Визначити швидкість тіла вкінці спуску та тривалість спуску. Коефіцієнт тертя тіла об площину 0,1.

 

§25. Закон всесвітнього тяжіння. Про силу гравітаційну та силу тяжіння.

 

         В 1667 році аналізуючи поведінку Місяця та планет Сонячної системи 24-річний англійський фізик Ісаак Ньютон дійшов висновку: масивні тіла взаємно притягуються з силою (цю силу прийнято називати гравітаційною, від лат. gravitas – тяжіння), величина якої прямо пропорційна добутку взаємодіючих мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Однак, лише через двадцять років, цей висновок був офіційно опублікований у вигляді закону всесвітнього тяжіння. В цьому законі стверджується: дві матеріальні точки масою m1 і m2 взаємно притягуються з гравітаційною силою (Fгр), величина якої прямо пропорційна добутку взаємодіючих мас (m1m2) і обернено пропорційна квадрату відстані між ними (r2). Іншими словами:  Fгр=Gm1m2/r2,

де  G – гравітаційна стала, постійна величина значення якої визначається експериментально. За сучасними даними   G = 6,6720∙10-11Н∙м2/кг2.

Гравітаційна стала (G = 6,6720∙10-11Н∙м2/кг2) – це постійна величина, яка чисельно дорівнює тій гравітаційній силі з якою взаємодіють дві матеріальні точки масою по 1кг кожна, будучи розташованими на відстані 1м одна від одної. Іншими словами: якщо m1=m2=1кг; r=1м то Fгр= 6,67∙10-11Н = 0,0000000000667Н.

Із вище сказаного ясно, що за питомою (одиничною) величиною, сили гравітаційної взаємодії є надзвичайно слабкими. Тому ми абсолютно не помічаємо факту того, що з певною гравітаційною силою притягуємся до навколишніх предметів. Однак, коли мова заходить про тіла космічних масштабів, то для них питомо слабкі гравітаційні сили, набувають фантастично великих значень. Скажімо, Місяць притягується до Землі (а відповідно й Земля до Місяця) з силою 2∙1020Н. Ілюструючи масштаб цієї сили, достатньо сказати, що для її передачі від Землі до Місяця знадобився б сталевий канат діаметром 5000км і масою яка дорівнює масі Землі.

  

 

1кг              1м             1кг                        Земля                                                  Місяць

·        Fгр=0,0000000000667Н                             Fгр=200 000 000 000 000 000 000Н

Мал.51 В масштабах земних тіл, сили гравітаційної взаємодії є гранично малими, а в масштабах космічних об’єктів – фантастично великими.

Можна довести, що формула  Fгр=Gm1m2/r2 справедлива не лише для матеріальних точок, а й для тіл довільних розмірів та форм. При цьому, має виконуватись лише одна умова: речовина у відповідному тілі має бути симетрично розподіленою відносно його центру мас. Наприклад, при взаємодії Землі з тілом що лежить на її поверхні, нашу планету навряд чи можна назвати матеріальною точкою. Але оскільки Земля, це куля з практично ідеально симетричним розподілом речовини в ній, то при розрахунках цілком обгрунтовано застосовують формулу Fгр=GMm/R2, де  m – маса тіла,

М – маса Землі (М=5,98∙1024кг),  R – радіус Землі (R= 6,37∙106м).

Втім, потрібно зауважити, що формула  Fгр=GMm/R2, або в більш загальному випадку  Fгр=GMm/(R+h)2 (де h – висота тіла над поверхнею Землі), є справедливою лише в тих випадках, коли Земля взаємодіє з тілами які знаходяться на її поверхні, або над цією поверхнею. Адже якщо тіло знаходиться всередині земної кулі, то оцінюючи діючу на нього гравітаційну силу, потрібно враховувати всю сукупність тих мас які оточують це тіло. І можна довести, що по мірі наближення до центру земної кулі, та гравітаційна сила що діє на тіло яке знаходиться всередині цієї кулі, поступово наближається до нуля.

Говорячи про силу гравітаційної взаємодії, не можна не згадати і про ту силу, яку називають силою тяжіння. Часто думають, що сила тяжіння (Fт) і сила гравітаційної взаємодії (Fгр), це дві назви однієї і тієї ж сили. Така думка не є безумовно правильною. Адже мова йде хоч і про дуже схожі, але все таки суттєво різні сили. Пояснюючи суть тих відмінностей які існують між силою тяжіння та силою гравітаційної взаємодії, можна сказати наступне.

Коли говорять про силу гравітаційної взаємодії, то мають на увазі ту силу з якою взаємодіють тіла, у відповідності з законом всесвітнього тяжіння. Іншими словами: Сила гравітаційної взаємодії (гравітаційна сила) – це та сила, з якою тіла взаємодіють згідно з законом всесвітнього тяжіння.

Позначається:  Fгр

Визначальне рівняння:  Fгр =Gm1m2/r2

Одиниця вимірювання: [Fгр]=H.

Для тих тіл, що знаходяться на поверхні землі та в близьких околицях цієї поверхні (r=R), визначальне рівняння сили гравітаційної взаємодії між Землею та відповідним тілом набуває вигляду  Fгр=GMm/R2 .

Якби Земля не оберталась навколо своєї осі, то та сила яку ми називаємо силою тяжіння (Fт=mg) в точності дорівнювала б тій силі яку прийнято називати гравітаційною (Fгр=GMm/R2). Однак, як відомо, Земля обертається. І тому, всі тіла на її поверхні рухаються відповідними круговими траєкторіями, а отже рухаються з певним доцентровим прискоренням: aд =v2/r, де r – відстань від даного тіла до осі обертання Землі  (для полюсів r=0; для екватора r=R). А це означає, що на кожне тіло земної поверхні діє певна сила інерції Fi = maд, яка направлена в протилежну сторону від доцентрового прискорення.

.                     

Мал.52. Оскільки Земля обертається, то на кожне тіло її поверхні окрім гравітаційної сили неминуче діє і певна сила інерції.

Таким чином, на кожний земний об’єкт масою m постійно та одночасно діють дві сили: сила гравітаційної взаємодії та сила інерції: Fгр =m(GM/R2);

Fі =mад.  І не важко бачити, що кожна з цих сил пропорційна масі тіла. Більше того, в загальній теорії відносності стверджується, що силові прояви інерції та гравітації є тотожними (еквівалентними). А це означає, що ніякими експериментами і ніякими приладами не можливо відділити силу інерції від сили гравітації. Не можливо тому, що ці дві, на перший погляд абсолютно різні сили, є різними проявами фактично однієї і тієї ж сили.

В такій ситуації, та сила яку ми називаємо силою тяжіння, фактично є результуючою двох сил: сили гравітаційної взаємодії тіла з Землею, та діючої на це ж тіло сили інерції, поява якої обумовлена обертанням Землі навколо своєї осі. Іншими словами:

Сила тяжіння – це та сила, з якою тіла притягуються до Землі і яка дорівнює векторній сумі сили гравітаційної взаємодії тіла з Землею та обумовленої обертальним рухом Землі, сили інерції.

Позначається: Fт

Визначальне рівняння: Fт = Fгр + Fі

Одиниця вимірювання: [Fт]=H

Зазвичай силу тяжіння визначають дещо простіше: Сила тяжіння – це та сила з якою тіла притягуються до землі і яка визначається за формулою

Fт = mg,  де g – прискорення сили тяжіння (прискорення вільного падіння).

По суті, визначальні рівняння Fт = Fгр + Fі  та  Fт = mg  є тотожними. При цьому ясно, що з практичної точки зору, рівняння Fт = mg є більш зручним і тому більш вживаним.

Можна довести, що інерційна складова сили тяжіння, набагато менша за гравітаційну складову цієї сили. Дійсно. Оскільки за добу (t=Т=24∙60∙60с), те тіло що знаходиться на поверхні Землі описує повне коло, тобто проходить відстань ℓ=2πr, то швидкість руху цього тіла v=ℓ/t=2πr/T. Звідси випливає, що Fi = maд =mv2/r=m(2πr/T)2/r=m4π2r/T2. А це означає, що на полюсі (r=0) сила інерції є нулевою, а на екваторі (r=R) – максимально великою. При цьому, для максимального значення сили інерції  Fгр/(Fi)max=(GMm/R2) : ( m4π2R/T2) = … = 300.

Таким чином, навіть максимальна величина тієї сили інерції поява якої обумовлена добовим обертанням Землі, в 300 разів менша за величину тієї гравітаційної сили з якою відповідне тіло притягується до Землі.

Зважаючи на факт того, що інерційна складова сили тяжіння в сотні разів менша за її гравітаційну складову, в подальшому будемо вважати, що Fт = Fгр. Однак, в будь якому випадку ви маєте знати, на земні об’єкти, окрім гравітаційної сили, постійно діє певна сила інерції, і що сила тяжіння є результуючою цих двох сил.

 

Словник фізичних термінів.

Закон всесвітнього тяжіння – це закон, в якому стверджується: дві матеріальні точки масою m1 і m2 взаємно притягуються з гравітаційною силою (Fгр), величина якої прямо пропорційна добутку взаємодіючих мас (m1m2) і обернено пропорційна квадрату відстані між ними (r2). Іншими словами:

Fгр=Gm1m2/r2, де G = 6,6720∙10-11Н∙м2/кг2 – гравітаційна стала.

Гравітаційна стала (G = 6,6720∙10-11Н∙м2/кг2) – це постійна величина, яка чисельно дорівнює тій гравітаційній силі з якою взаємодіють дві матеріальні точки масою по 1кг кожна, будучи розташованими на відстані 1м одна від одної.

         Сила гравітаційної взаємодії (гравітаційна сила) – це та сила, з якою тіла взаємодіють згідно з законом всесвітнього тяжіння.

Позначається:  Fгр

Визначальне рівняння:  Fгр =Gm1m2/r2

Одиниця вимірювання: [Fгр]=H.

         Сила тяжіння – це та сила, з якою тіла притягуються до Землі і яка дорівнює векторній сумі сили гравітаційної взаємодії тіла з Землею та обумовленої обертальним рухом Землі сили інерції.

Позначається: Fт

Визначальне рівняння: Fт = Fгр + Fі     або      Fт = mg

Одиниця вимірювання: [Fт]=H.

Контрольні запитання.

1.Поясніть фізичний зміст гравітаційної сталої.

2. Чому на земні тіла, окрім гравітаційної сили діє сила інерції?

3. Як ви думаєте, чому на полюсах тіла падають з прискоренням 9,83м/с2, а на екваторі – з прискоренням 9,78м/с2 ?

3. Як ви думаєте, з якого географічного місця (полюса, екватора чи середніх широт) енергетично доцільніше запускати космічні кораблі?

4. Чи проходить лінія дії сили тяжіння через центр мас Землі? Якщо проходить то де і чому?

5. Доведіть, що на екваторі, гравітаційна складова сили тяжіння приблизно в 300 разів більша за її інерційну складову.

Вправа 17.

1.Знаючи прискорення вільного падіння (g=9,8м/с2) та радіус Землі (R=6,4∙106м), визначити масу Землі та її середню густину.

2. Визначте силу гравітаційної взаємодії між Землею та Сонцем, якщо відомо що відстань між ними 1,5∙1011м, а їх маси відповідно 6∙1024кг і 2∙1030кг.

3. Космонавт масою 75кг знаходиться на висоті 300км над поверхнею Землі. З якою силою він притягується до Землі? Порівняйте цю силу з тією яка діяла б на нього на поверхні Землі. Радіус Землі 6400км.

4. З якою максимальною гравітаційною силою можуть притягуватись дві однакові бетонні кулі масою по 1т кожна? Густина бетону 2,4∙103кг/м3 .

5. Радіус планети Марс становить 0,53 від радіусу Землі, а її маса 0,11 від маси Землі. Визначити прискорення вільного падіння на Марсі.

 

§26. Механіка Сонячної системи. Штучні супутники Землі.

 

В свій час, ми поговоримо про те як і коли виникла Сонячної системи. Сьогодні ж, просто констатуємо той факт, що сучасна Сонячна система, це злагоджений цілісний механізм, який сформувався приблизно 4,5 мільярдів років тому і який з тих пір бездоганно працює. Центральним об’єктом цього механізму є зірка середніх розмірів, яку ми називаємо Сонцем і навколо якої обертаються її великі та малі природні супутники: планети, астероїди, комети та інші тіла При цьому, більшість планет мають свої супутники. Наприклад Земля має один, але відносно великий природний супутник – Місяць. Марс, має два супутники, а Юпітер – 79.

Мал.53 Схема загального устрою Сонячної системи.

Сонячна система, це складний, злагоджений механізм. Однак, якщо говорити про загальний принцип дії цього механізму, то він досить простий і полягає в наступному. Кожен елемент системи, під дією сили гравітаційної взаємодії та сили інерції, обертається навколо центрального тіла. При цьому, швидкість обертання є такою, що забезпечує динамічну рівновагу між силою гравітаційної взаємодії та силою інерції. Наприклад, Місяць (мал.54) обертається навколо Землі з такою швидкістю при якій діюча на нього гравітаційна сила (Fгр=GMm/ℓ2) динамічно зрівноважується відповідною силою інерції (Fi=mv2/ℓ), тобто з швидкістю v=(GM/ℓ)1/2= …=1,02км/с;

(де М=6,0∙1024кг – маса Землі,   ℓ=3,84∙108м – відстань між центрами мас Землі та Місяця).

Мал.54.  При обертальному русі супутника, має виконуватись умова його  динамічної рівноваги:  Fгр = Fi .

Переконатись в тому, що Місяць дійсно обертається з швидкістю 1,02км/с не важко. Дійсно. Оскільки за один оберт навколо Землі, який, як відомо, триває t=Т=27,3доби=23,6∙105с, Місяць проходить відстань L=2πℓ=24,1∙108м , то його швидкість становить  v=L/T= … =1,02км/с .

Сучасне людство досягло такого рівня науково-технічного розвитку, який дозволяє створювати штучні супутники планет. Штучний супутник планети – це такий штучний, тобто людиною створений літальний апарат, який перебуваючи в стані вільного польоту, може достатньо довго обертатись навколо відповідної планети. Ту мінімальну швидкість при якій тіло може стати штучним супутником планети, називають першою космічною швидкістю (позначається v1).

Перша космічна швидкість є певною ідеалізованою швидкістю, величину якої визначають виходячи з того, що висота польоту супутника над поверхнею планети є гранично малою (в ідеалі h=0), а опором атмосфери планети та фактом її обертання навколо своєї осі, можна знехтувати. За таких умов, кругова траєкторія руху супутника забезпечується рівністю двох діючих на нього сил: сили гравітаційної взаємодії з планетою F=GMm/R2 та їй відповідної сили інерції Fi=mv12/R. Виходячи з рівності цих сил і визначається величина першої космічної швидкості: оскільки GMm/R2 = mv12/R, то  v1=(GM/R)1/2 (де М – маса планети; R – радіус планети). Наприклад  для Землі v1=7,9км/с;  для Місяця v1=1,7км/с; для Марса v1=3,5км/с.

Можна довести, що  траєкторія руху штучного супутника Землі, певним чином залежить від величини наданої йому швидкості. Наприклад, при швидкості 7,9км/с, цією траєкторією буде коло. А при швидкостях більших за 7,9км/с але менших за 11,2км/с – еліпс, витягнутість якого пропорційна швидкості супутника (мал.55). Якщо ж швидкість супутника дорівнює, або перевищує 11,2км/с (точніше 11,18км/с), то траєкторія його руху стає параболічною. А це означає, що земне тяжіння не зможе перешкодити супутнику відірватись від Землі і, стати супутником іншої планети або Сонця.          Величину тієї мінімальної швидкості при якій тіло, здолавши гравітаційне поле планети зможе назавжди відірватись від неї, називають другою космічною швидкістю. Можна довести, що перша (v1) та друга (v2) космічні швидкості планети, зв’язані співвідношенням  v2 = v1√2 =1,41v1.

.                

Мал.55  Траєкторія руху штучного супутника Землі, визначається величиною його швидкості.

Якщо ж земному тілу надати швидкість яка дорівнює або перевищує 16,6км/с, то воно зможе не лише назавжди відірватись від Землі, а й від всієї Сонячної системи. Цю швидкість називають третьою космічною швидкістю. А якщо ви захочите здійснити міжгалактичну подорож, тобто вилетіти за межі нашої Галактики, то маєте надати своїй ракеті швидкість не меншу за 550км/с. Цю швидкість називають четвертою космічною швидкістю.

         Можливо ви подумали, що за певної швидкості зможете вилетіти не лише за межі нашої Галактики, а й за межі нашого Всесвіту? Облиште ці сподівання. Бо це принципово не можливо. Втім, про те, як влаштований наш Всесвіт і чому не можливо зазирнути за його межі, ми поговоримо в тому розділі фізики який так і називається космологія, тобто наука про Всесвіт  

         Знаючи та розуміючи механіку Сонячної системи, не важко визначити маси її основних елементів. Звичайно, планети, зірки та галактики “зважують” не так як картоплю на базарі. Однак не вірити результатам цього “зважування” це все рівно ніби не вірити тому, що площа круга S=πd2/4. Не вірити лише на підставі того, що ми вимірювали не площу круга, а його діаметр (читай §3).

Задача.   Знаючи період обертання Землі навколо Сонця (365 днів) та відстань між їх центрами (1,49∙1011м) визначити масу Сонця та швидкість обертання Землі навколо Сонця.

Дано:                 СІ                                  Аналіз:

Т=365 днів      31,54∙106с

ℓ=1,49∙1011м         –                                 Малюнок

v = ?

М=?

Оскільки Земля обертається навколо Сонця по практично круговій орбіті, то можна стверджувати, що діючі не неї сила гравітаційної взаємодії з Сонцем (Fгр = GMm/ℓ2) та виникаюча в процесі обертального руху сила інерції (Fi =mv2/ℓ), є рівні за величиною і протилежні за напрямком, тобто що: GMm/ℓ2= mv2/ℓ. Звідси випливає, що М=v2ℓ/G, де G=6,6710-112/кг2; v – швидкість обертання Землі навколо Сонця, величину якої можна визначити із наступних міркувань. Оскільки за рік (Т=365 днів = 31,54∙106с) Земля проходить відстань L=2πℓ, то швидкість її руху v = 2πℓ/T

Таким чином, швидкість обертання Землі навколо Сонця та масу Сонця, можна визначити за формулами v = 2πℓ/T; М=v2ℓ/G.

Розрахунки:

v = 2πℓ/T = … = 3104м/с = 30км/с

М = v2ℓ/G = … = 2,0∙1030кг.

Вище описаний метод визначення мас, можна застосовувати не лише для системи двох окремо взятих тіл, а й для будь яких систем в яких тіло вільно обертається навколо спільного центру мас. Скажімо, наше Сонце є частиною величезної космічної Галактики в якій налічується близько 200∙109 зірок. Визначаючи масу цієї Галактики зовсім не обов’язково “зважувати” кожну окрему зірку. Достатньо визначити відстань цієї зірки від центру Галактики (ℓ) та швидкість її обертання навколо цього центру (v), а потім скористатися формулою   M = v2ℓ/G . При цьому отримана маса буде загальною масою всіх тих об’єктів які зосереджені у внутрішньому об’ємі тієї сфери радіус якої дорівнює відстані від центру мас Галактики до відповідної зірки.

Наприклад відомо, що Сонце віддалено від центру мас Галактики на 33 тисячі світлових років (3∙1020м) і обертається навколо цього центру з швидкістю 2,5∙105м/с. А це означає, що загальна маса тих космічних об’єктів які знаходяться в об’ємі обмеженому радіусом галактичної орбіти Сонця становить  М = … = 2,8∙1041кг =140∙109М . Звісно, дана маса ще не є масою всієї Галактики. Адже Сонце знаходиться не на периферії Галактики, а на відстані 2/3 від її центру. Однак, якщо виміряти параметри однієї з периферійних зірок, то і загальну масу Галактики можна визначити достатньо точно.

Втім, стосовно галактик, вище описаний спосіб визначення мас не є безумовно достовірним. Про причини цієї недостовірності ми поговоримо в процесі вивчення астрономії. Наразі ж зауважимо, що галактики практично завжди утворюють певні системи галактик, в яких вони обертаються одна навколо одної та навколо спільного центру мас. А це означає, що маси галактик досить точно та безумовно достовірно визначаються на основі аналізу їх міжгалактичних обертань.

 

Контрольні запитання.

1.Чи могла б існувати планетарна Сонячна система, якби її об’єкти не рухались? Чому?

2. Які сили забезпечують динамічну рівновагу кожного об’єкту Сонячної системи?

3. Сформулюйте умову динамічної рівноваги планети, що обертається навколо Сонця.

4. Яку швидкість називають першою космічною?; другою космічною?

5. Чому штучні супутники Землі не літають на висоті 10км?

6. Чи може тіло яке летить на висоті 10км з горизонтальною швидкістю 1,7км/с, бути штучним супутником Місяця? Чому?

Вправа 18.

1.Знаючи період обертання Місяця (27,3доби) та відстань до нього (3,84∙108м), визначити масу Землі.

2. Визначити першу космічну швидкість для Юпітера (М=19∙1026кг; R=7∙104км).

3. Одна з периферійних зірок нашої Галактики віддалена від її центру на відстань 5∙1020м, обертається з швидкістю 2,8∙105м/с. яка загальна маса Галактики? У скільки разів ця маса перевищує масу Сонця?

4. Відомо, що за рік, Місяць здійснює 13 обертів навколо Землі і що відстань від Землі до Сонця в 390 разів більша за відстань від Землі до Місяця. У скільки разів маса Сонця більша за масу Землі?

5. Визначити першу космічну швидкість для Місяця, якщо його радіус 1760км, а прискорення вільного падіння на ньому в 6 раз менше за земне.

 

§27. Про вагу, невагомість та силу Архімеда. Або про те, що важче кілограм заліза чи кілограм вати?  

 

Однією з найбільш суперечливих фізичних величин механіки є вага. В науковій літературі її часто плутають з силою тяжіння, а у побуті – з масою. Насправді ж:

Вага – це та сила з якою тіло діє на опору.

Позначається: Р

Визначальне рівняння: Р = – N, де N – реакція опори

Одиниця вимірювання: [P] = H,  (ньютон).

Більшість людей схильні вважати, що вага тіла вимірюється в кілограмах. Ця, глибоко вкорінена помилкова думка, має своє логічне пояснення. І це пояснення полягає в наступному. Коли ви приходите в крамницю за цукром, картоплею чи м’ясом, то приходите за певною кількістю речовини, мірою якої є маса, тобто та величина яка вимірюється в кілограмах. А як вимірюють цю саму кількість речовини? Правильно – шляхом зважування. І це зважування полягає в тому, що відповідну речовину кладуть на спеціальну опору (ваги), ця опора відчуває відповідну силу (вагу тіла) і відповідним чином реагує на цю силу. Результатом цієї реакції є відповідне відхилення стрілки приладу або показання на електронному табло. А оскільки ви прийшли не за силою (не за ньютонами), а за певною речовиною, тобто за тим що вимірюється в кілограмах, то результат зважування вам видають в цих самих кілограмах.

Ясно, що така повсякденно повторювана практика, формує у вашій свідомості впевненість в тому, що вага – це те що вимірюється в кілограмах. Насправді ж, вага – це сила яку відчуває та опора на якій знаходиться дане тіло. І як будь яка сила, вага вимірюється в ньютонах.

Ще однією загально розповсюдженою помилкою є думка про те, що вага тіла дорівнює тій силі з якою тіло притягується до Землі і що тому вага визначається за формулою P = mg. Насправді ж, вага – це та сила з якою тіло діє на опору. А це означає, що у повній відповідності з третім законом Ньютона, вага чисельно рівна і протилежно направлена тій силі з якою опора діє на тіло. А цією силою є реакція опори. Нагадаємо, реакція опори – це та сила з якою опора діє на тіло. Власне констатацією даних фактів і є визначальне рівняння P = – N.

Загалом, на відміну від маси тіла, яка за будь яких обставин залишається незмінною (звичайно, якщо не враховувати ті практично не помітні ефекти про які ви дізнаєтесь вивчаючи теорію відносності), вага тіла в різних обставинах може бути абсолютно різною. Скажімо, на Землі (g=9,81м/с2) вага тіла масою 10кг становитиме 98,1Н. На Місяці (g=1,6м/с2) ця вага буде рівною 16Н; на Марсі (g=3,7м/с2) – 37Н; на Юпітері (g=25,9м/с2) – 259Н; а на Сонці (g=274,1м/с2) – 2741Н.

Більше того, вага тіла залежить не лише від параметрів того гравітаційного поля яке створює відповідна планета, а й від багатьох інших обставин. Зокрема від того, з яким прискоренням і в якому напрямку рухається система опора–тіло.  Ілюструючи цю залежність розглянемо конкретну задачу.

Задача.  Тіло масою 70кг знаходиться в ліфті. Визначити вагу цього тіла в наступних ситуаціях: а) ліфт знаходиться в стані механічної рівноваги (v=0 або v=const, тобто а=0м/с2);  б) ліфт рухається з прискоренням а=5м/с2 і це прискорення направлене вгору;  в) ліфт рухається з прискоренням а=5м/с2 і це прискорення направлене вниз;  г) ліфт знаходиться в стані вільного падіння тобто падає з прискоренням а=g=10м/с2.

Дано:                                      Аналіз:

m = 70кг                 Будемо виходити з того, що вага тіла – це та сила з якою

а1 = 0м/с2                тіло діє на опору, в нашому випадку – на підлогу ліфта,

а2 = 5м/с2↑               і що величина цієї сили дорівнює відповідній реакції

а3 = 5м/с2↓               опори (Р=N). А це означає, що рішення задачі зводиться

а4 =g=10м/с2↓          до того, щоб визначити величину реакції опори в

Р1=?,  Р2=?,             кожній з чотирьох ситуацій. Розв’язуючи цю задачу,

Р3=?,  Р4=?             виконуємо відповідні малюнки на яких вказуємо ті сили

що діють на дане тіло в системі опора-тіло. А цими силами є: сила тяжіння Fт = mg, реакція опори N та, за наявності прискорення, сила інерції Fi = – ma. Зважаючи на вище сказане, проаналізуємо кожну з чотирьох ситуацій і визначаємо вагу тіла в кожній з них.

.             а=0м/с2                  а=5м/с2↑                  а=5м/с2↓              а=g=10м/с2

.     P1 = N1 = Fт         P2 = N2 = Fт + Fi         P3 = N3 = Fт – Fi          P4 = N4 = Fт – Fi

.     P1 = mg                P2 = m(g+a)                P3 = m(g-a)                P4 = mg-mg=0

.     P1 =700H             P2 =1050H                 P3 =350H                    P4 =0H

Мал.56. Маса тіла одна і та ж, а вага – різна.

Не важко бачити, що вага тіла, тобто та сила з якою тіло тисне на опору, не є постійною величиною. При цьому, лише в тому випадку коли система опора – тіло знаходиться в стані механічної рівноваги (v=0 або v=const), вага тіла чисельно дорівнює діючій на нього силі тяжіння: Р1=mg. В інших випадках, вага тіла може бути як більшою так і меншою за цю силу: Р2=m(g+a); Р3=m(g-a). Якщо ж система опора – тіло знаходиться в стані вільного падіння (а=g), то тіло не тисне на опору і тому його вага дорівнює нулю: Р4=mg-mg=0. Характеризуючи дану ситуацію говорять про те, що тіло знаходиться в стані невагомості.

Зверніть увагу, тіло знаходиться в стані невагомості (має нульову вагу) не тому що на нього не діє сила тяжіння, а тому, що дія цієї сили зрівноважується відповідною силою інерції. Наприклад загальновідомо, що на борту штучного супутника Землі, тіла знаходяться в стані невагомості. При цьому люди часто думають, що ця невагомість пояснюється відсутністю сили тяжіння. Насправді ж, на тих висотах де зазвичай літають наші пілотовані космічні кораблі (200км – 400км), сила тяжіння майже така ж як і на поверхні землі. А невагомість в космічному кораблі (штучному супутнику Землі) пояснюється не відсутністю сили тяжіння, а фактом того, що ця сила зрівноважується відповідною силою інерції.

Невагомість – це такий стан системи опора – тіло, при якому тіло та його окремі елементи не мають ваги, тобто не тиснуть на опору і одне на одне. Не мають ваги тому, що діюча на них сила тяжіння зрівноважується відповідною силою інерції.

  

Мал.57. Невагомість, це не тому що на тіло не діє сила тяжіння, а тому що діюча на тіло сила тяжіння зрівноважується силою інерції.

Вага тіла залежить не лише від діючої на нього сили тяжіння та сили інерції, а й від інших силових факторів, зокрема сили Архімеда. Дійсно. Загально відомо, що у воді камінь суттєво легший аніж на суходолі (мал.56). І це закономірно. Адже у воді на камінь діє значна виштовхувальна сила Архімеда, яка і зменшує його вагу.

Нагадаємо. Сила Архімеда – це та сила, з якою тіла виштовхуються з рідин та газів і яка дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини або газу.

Позначається: Fa

Визначальне рівняння: Fa=ρVg, де  ρ – густина рідини (газу);  V- об’єм зануреної в рідину (газ) частини тіла;  g-прискорення вільного падіння;

Одиниця вимірювання: [Fa] = H.

Звичайно, коли тіло знаходиться в рідині, то завжди можна сказати, що рідина є певною не жорсткою опорою для тіла. З одного боку це правда, – рідину дійсно можна вважати певною не жорсткою об’ємною опорою для тіла. Скажімо, коли тіло вільно плаває в рідині і не тисне на тверду опору, то це зовсім не означає, що воно знаходиться в стані невагомості. Просто діюча на тіло сила тяжіння зрівноважується відповідною силою Архімеда, яка для цього тіла фактично є не жорсткою, об’ємною реакцією опори.

Однак з іншого боку, щоб ми не говорили, а будь яка жорстка опора на якій висить, лежить чи стоїть тіло, неодмінно зафіксує, що вага тіла у воді значно менша аніж у повітрі. Тому, якщо вага, це та сила з якою тіло діє на  опору, а опора, це те що жорстко обмежує рух тіла, то потрібно визнати, що вага залежить не тільки від сили тяжіння та сили інерції, а й від діючої на тіло сили Архімеда.

.                  

Мал.58. У воді камінь легший аніж в повітрі, і це пов’язано з виштовхувальною дією сили Архімеда.

Іноді можна почути, як старші школярі провокативно запитують своїх молодших колег: “що важче, кілограм заліза чи кілограм вати?” І коли ті відповідають що залізо важче, – дружно сміються, хизуючись своєю кмітливістю. І потрібно сказати, сміються абсолютно безпідставно. Адже кілограм заліза дійсно важчий за кілограм вати. Звичайно за умови, що мова йде саме про кілограм, тобто про масу в 1000,00г.

Обґрунтовуючи тезу про те, що кілограм заліза важчий за кілограм пір’я, вати, пінопласту чи дерева, розв’яжемо наступну задачу.

Задача.  Визначити на скільки тона заліза (ρ1=7800кг/м3) важча за тону вати*)2=200кг/м3). Густина повітря ρ=1,3кг/м3. *) Звичайно, вата не має певної чітко визначеної густини, тому будемо умовно вважати, що густина вати дорівнює густині пробкового дерева, а ця густина становить 200кг/м3.

.         

Дано:                                   Аналіз:

m1=m2=1000,00кг

ρ1=7800кг/м3                        Малюнок

ρ2=500кг/м3

ρ = 1,3кг/м3

g =9,81м/с2

ΔP = P1 – P2 = ?

Оскільки за визначенням, вага тіла чисельно дорівнює реакції відповідної опори (Р1=N1; Р2=N2), то рішення задачі полягає у визначенні цих реакцій Виходячи з цього, розглянемо ті сили що діють на залізне (1) та ватне (2) тіло і визначимо відповідні реакції опор.

Із умов рівноваги тіл випливає:

N1= Fт – Fa1 = m1g – ρV1g = m1g – ρm1g/ρ1 = m1g(1 – ρ/ρ1);

N2 = Fт – Fa2 = m2g – ρV2g = m2g – ρm2g/ρ2 = m2g(1 – ρ/ρ2) .

Таким чином:  N1 = m1g(1 – ρ/ρ1);   N2 = m2g(1 – ρ/ρ2) .

Розрахунки:  P1 = N1 = … = 9808,4H;

P2 = N2 = … = 9746,2H.

ΔP = P1 – P2 = 62,2H

Відповідь: тона заліза на 62,2Н важча за тону вати, що відповідає додатковій масі Δm=6,3кг (за умови, що визначення ваги відбувається в повітряному середовищі).

Таким чином, теорія стверджує що тона заліза на 62,2Н важча за тону вати. Причина появи цієї різниці очевидна – на більш об’ємну вату діє більша сила Архімеда і тому його вага виявляється дещо меншою.

Чому ж ми вважаємо, що тона заліза і тона вати мають однакову вагу? Більше того, якщо ми дійсно зважимо реальну тону заліза і реальну тону вати, то скоріш за все ця вага виявиться однаковою. І справа не втому, що точність вимірювальних приладів не дозволяє зафіксувати наявну різницю ваги. Справа в іншому – цієї різниці просто не існує. Не існує тому, що зазвичай масу тіла ми визначаємо шляхом зважування. І як ви розумієте, це зважування відбувається у повітряному середовищі. А це означає, що в реальній тоні вати, фактично не 1000,0кг а приблизно 1006,3кг. Поява цієї різниці знову ж таки обумовлена дією сили Архімеда. Адже для того, щоб залізне і ватне тіло зрівноважили одне одного, маса ватного тіла має бути дещо більшою за масу залізного. Більшою на ту величину яка дозволяє компенсувати надлишкову силу Архімеда (в умовах нашої задачі Δm=6,3кг).

Таким чином, якщо кілограм вати і кілограм заліза мають однакову вагу, то це тільки тому, що фактична маса вати дещо більша за кілограм. Якщо ж ми дійсно візьмемо кілограм заліза і кілограм вати, то вага заліза буде більшою за вагу вати. Звичайно за умови, що процес зважування відбувається в повітряному середовищі.

На завершення скажемо декілька узагальнюючих слів про чотири сили, які часто плутають одна з одною та застосовують не за призначенням. Ситуація ускладнюється ще й тим, що в багатьох випадках числові значення цих сил є однаковими. Тому, фактично не правильно застосувавши сили, ви можете отримати формально правильну відповідь і заслужено не задовільну оцінку.

Мова йде про силу тяжіння (Fт), вагу (P), реакцію опори (N) та силу пружності (Fпр). Нагадаємо. Сила тяжіння (Fт) – це та сила з якою тіло притягується до Землі. Вага (P) – це та сила з якою тіло діє на опору. Реакція опори (N) – це та сила з якою опора діє на тіло. Сила пружності (Fпр) – це та сила яка виникає в пружно деформованому тілі і яку протидіє його деформації.

Із визначень ясно, що коли ми говоримо про ті сили які діють на тіло (мал.57) то ними є сила тяжіння (Fт) та реакція опори (N). Якщо ж мова йде про ті сили які діють на опору, то ними є вага тіла (P) та виникаюча в опорі сила пружності (Fпр).

   

Мал.59  На тіло діє сила тяжіння та  реакція опори. На опору діє вага тіла та виникаюча в опорі сила пружності.

 

Словник фізичних термінів.

Вага – це та сила з якою тіло діє на опору.

Позначається: Р

Визначальне рівняння: Р = – N,  де N – реакція опори

Одиниця вимірювання: [P] = H,     (ньютон).

         Невагомість – це такий стан системи опора – тіло, при якому тіло та його окремі елементи не мають ваги, тобто не тиснуть на опору і одне на одне. Не мають ваги тому, що діюча на них сила тяжіння зрівноважується відповідною силою інерції.

         Сила Архімеда – це та сила, з якою тіла виштовхуються з рідин та газів і яка дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини або газу.

Позначається: Fa

Визначальне рівняння:  Fa=ρVg, де  ρ – густина рідини (газу);  V – об’єм зануреної в рідину (газ) частини тіла;  g – прискорення вільного падіння;

Одиниця вимірювання: [Fa] = H.

Контрольні запитання.

1. Чому рівняння Р=mg не можна вважати визначальним рівнянням ваги?

2. Що відчуватимуть колінні суглоби ваших ніг та підлога ліфту в ситуаціях, коли ліфт рухаючись вгору а) набирає швидкість; б) збавляє швидкість? Поясніть ці відчуття.

3. Чи правильні твердження: а) на тіло діє його вага; б) на опору діє сила тяжіння тіла; в) на тіло діє сила пружності опори? Сформулюйте ці твердження правильно.

4. Залізне і дерев’яне тіла однакових розмірів знаходяться у воді. При цьому, залізне тіло лежіть на дні посудини, а дерев’яне плаває. Чи однакові сили Архімеда діють на ці тіла? Поясніть.

5. Тіло кинули вертикально вгору. Коли тіло перебуває в стані невагомості: а) тільки в верхній точці польоту; б) тільки підчас руху вниз; в) тільки підчас руху вгору; г) протягом всього вільного польоту?

6. Чому на Землі тіло в процесі вільного падіння, перебуває не в стані абсолютної а лише наближеної невагомості?

Вправа 19.

1.Прямокутна баржа довжиною 10м і шириною 4м після завантаження осіла на 50см. Визначити масу взятого на борт вантажу.

2. Ліфт рівноприскорено розганяється до швидкості 7м/с за 5с. За такий же час він і зупиняється. Визначити вагу людини масою 80кг на ділянках розгону та зупинки ліфта.

3. Яка вага тіла масою 40кг у верхній та нижній точках зображеної на малюнку траєкторії, якщо R1=10м, v1=10м/с, R2=20м, v2=5м/с.

4. Тіло плаває у воді занурюючись при цьому на 3/4 свого об’єму. Яка густина речовини тіла?

5. На яку частина свого об’єму зануриться тіло густиною ρ1 в рідину, густина якої ρ2? ρ1 ˂ ρ2.

6. В посудину налита ртуть а зверху вода. В посудину опущена куля яка плаває так, що одна її половина знаходиться в ртуті, а інша у воді. Визначити густину матеріалу кулі. Густина ртуті 13,6∙103кг/м3.

 

§28* Сила Коріоліса, як один з проявів сили інерції.

 

Як відомо, в процесі свого обертального руху матеріальна точка рухається з певним доцентровим прискоренням (мал.60а), величина якого визначається за формулою ад=v2/r, де v – лінійна швидкість обертального руху точки, r – радіус траєкторії руху точки. А оскільки між лінійною швидкістю (v) обертального руху точки та її кутовою швидкістю (ω) існує співвідношення v=ωr, то формулу доцентрового прискорення можна записати у вигляді ад2r.

Прямим наслідком факту того, що в процесі обертального руху, матеріальна точка масою m рухається з певним доцентровим прискоренням, є дія на цю точку відповідної сили інерції: Fi=mад=mv2/r=mω2r. Цю силу часто називають відцентровою силою інерції. Адже як і будь яка сила інерції, вона направлена в сторону протилежну від напрямку прискорення. А оскільки доцентрове прискорення направлене до центру криволінійної траєкторії руху матеріальної точки, то відповідна сила інерції направлена від цього центру.

  

Мал.60 На будь яку матеріальну точку що обертається навколо певного центру, неминуче діє певна відцентрова сила інерції.

Із аналізу рівняння Fi=mω2r ясно, що величина відцентрової сили інерції, залежить не лише від швидкості обертання (ω) матеріальної точки, а й від її відстані (r) до осі обертання. Скажімо ті точки земної поверхні які знаходяться в близьких околицях географічного полюса Землі, знаходяться на гранично малій відстані від осі добового обертання Землі і тому діюча на них відцентрова сила інерції є гранично малою (r=min → Fi=min, для географічних полюсів r=0 → Fi=0). Натомість ті точки які знаходяться в близьких околицях екватора Землі, максимально віддалені від осі її обертання і тому на них діє гранично велика відцентрова сила інерції (r=max → Fi=max).

Відцентрова сила інерції діє на всі точки земної поверхні, та її надр, а також на ті точки близьких околиць Землі, які обертаються разом з нею. Але за певних умов на земні обʼєкти діє ще одна сила інерції, яку прийнято називати силою Коріоліса (названа на честь французького вченого Гаспара Коріоліса). Зʼясовуючи суть, прояви та причини появи сили Коріоліса, розглянемо та проаналізуємо наступний експеримент. Припустимо, що кулька масою m, з постійною швидкістю v рухається вздовж радіусу диску (мал.61). Коли диск не обертається, то траєкторією руху кульки буде радіальна пряма ОА. Якщо ж диск обертається, то траєкторією руху кульки буде певна крива ОВ.

.         

Мал.61. Якщо диск не обертається, то траєкторією руху кульки буде пряма ОА, а якщо диск обертається – то крива ОВ.

Пояснюючи причини викривлення траєкторії руху кульки, а по суті причини зміни швидкості її руху, можна сказати наступне. Оскільки по мірі віддаленя від осі обертання диску, лінійна швидкість його точок збільшується (мал.62), то при переході кульки від точки з швидкістю v1=ωr1 до точки з швидкістю v2=ωr2 (r2>r1), швидкість кульки змінюється. При цьому змінюється в напрямку перпендикулярному до напрямку її основної радіальної швидкості v. А це означає, що в системі відліку «диск що обертається», кулька рухається з певним прискоренням, напрям якого є перпендикулярним до напрямку радіальної швидкості руху кульки. При цьому на кульку діє відповідна сила інерції, яка і називається силою Коріоліса (Fk). Можна довести, що величина сили Коріоліса залежить як від швидкості поступального руху кульки (v) так і від швидкості кутового обертання диску (ω), і що ця залежність має вигляд Fk=2mωv.

 

Мал.62. На кульку яка з швидкістю v рухається в системі відліку «диск що обертається», діє перпендикулярна до напрямку швидкості сила, яка називається силою Коріоліса.

Сила Коріоліса – це така перпендикулярна до напрямку руху тіла сила інерції, поява якої обумовлена тим, що рухаючись в обертальній системі відліку, тіло переміщується між точками з різними швидкостями обертання. А це означає, що тіло рухається з певним бічним прискоренням, яке і спричиняє появу направленої в протилежну сторону від прискорення сили інерції (сили Коріоліса).

Позначається: Fk

Визначальне рівняння: Fk = 2mωv;

Одиниця вимірювання: [Fk] = H.

Потрібно зауважити, що лінійна (v) та кутова (ω) швидкості є векторними величинами і що тому їх добуток визначається як добуток відповідних векторів (ω×v). Питання ж про те, як перемножаються векторні величини, виходить за межі програми загальноосвітньої школи. Втім, якщо мова йде про ситуацію в якій рух тіла відбувається в площині перпендикулярній до осі обертання системи (мал.60), то в цьому випадку числові значення векторного (ω×v) та скалярного (ω∙v) добутків є однаковими.

Таким чином, якщо в системі відліку яка обертається з кутовою швидкістю ω, тіло масою m рухається з лінійною швидкістю v, то на це тіло діють дві сили інерції (Fi = – ma): 1) відцентрова сила інерції Fi=mω2r, поява якої обумовлена обертальним рухом системи; 2) бічна сила інерції Коріоліса Fk = 2mωv, поява якої обумовлена переходом тіла між точками з різними швидкостями обертання. Власне результуюча цих двох сил інерції і визначає відповідну криволінійну траєкторію руху тіла.

Сила Коріоліса є джерелом багатьох важливих та цікавих явищ земного буття. Адже всі земні обʼєкти є частиною системи яка з певною кутовою швидкістю (ω=Δφ/Δt=2π/24∙60∙60с=7,27∙10-5рад/с) обертається навколо певної осі. При цьому земні обʼєкти так чи інакше рухаються і тому на них неминуче діє відповідна сила Коріоліса.

Звичайно, зважаючи на відносно малу величину швидкості кутового обертання Землі (ω=7,27∙10-5рад/с), миттєві прояви сили Коріоліса є мало помітними. Однак, якщо мова йде про великі масштаби мас, довжин, швидкостей та часових інтервалів, то мало помітні прояви сил Коріоліса стають очевидними та потужними. Ілюструючи цю потужність розглянемо вплив сил Коріоліса на ті процеси які відбуваються в атмосфері Землі. А ці процеси є наступними.

Нагірте повітря екваторіальних областей планети, піднімається вгору та створє зону зниженого тиску. В цю зону постійним потоком направляється відносно холодне повітря більш віддалених широт. Рухаючись в напрямку екватора, повітряні потоки знаходяться під постійною дією сил Коріоліса, які закручують ці потоки у північній півкулі за годинниковою стрілкою, а у південній півкулі – проти годинникової стрілки. При цьому в широкій смузі географічних широт (приблизно між 30º північної та 30º південної широти) утворюються потужні атмосферні циркуляції (мал.63). Приповерхневими проявами цих циркуляцій є постійно направлені вітри, які прийнято називати пасатами. Подібні, але менш масштабні циркуляції атмосферного повітря відбуваються і в більш високих географічних широтах. Крім цього, сили Коріоліса визначально впливають на формування циклонів та антициклонів, ураганів, тайфунів та інших вихрових збурень атмосфери.

Під визначальним впливом сил Коріоліса формуються не лише потужні циркуляції повітряних мас, а й не менш потужні океанічні течії. А ці течії у повній відповідності з напрямком дії сил Коріоліса, у північній півкулі обертаються за годинниковою стрілкою, а в південній – проти годинникової стрілки.

 

Мал.63. В результаті не рівномірності нагрівання поверхні та під значним впливом сил Коріоліса, в атмосфері Землі та в її океанах виникають потужні циркуляції повітря і води.

Сили Коріоліса спричиняють й інші силові ефекти, зокрема наступні:

1.Під дією сил Коріоліса річки північної півкулі підмивають праві береги, а річки південної півкулі – ліві. При цьому наявні перешкоди річки північної півкулі огинають з правого боку, а річки південної півкулі – з лівого.

2.Під дією сил Коріоліса, вільно падаючі тіла відхиляються на схід від вертикалі. При цьому на екваторі це відхилення є максимальним, а на полюсах – нульовим.

3юСнаряд випущений у північному напрямку, в північній півкулі відхиляється на схід, а в південній – на захід. При пострілі в зворотньому напрямку, напрямки відхилень будуть протилежними.

4.Снаряд випушений у східному напрямку, відхиляється вгору, а снаряд випущений в західному напрямку – відхиляється до землі.

Та що там кулі, снаряди і вітри, під дією сил Коріоліса навіть зношуваність залізничних рейок при одностороньому русі потягів буде суттєво різною: у північній півкулі більш зношеними будуть праві рейки, а в південній – ліві.

Малоприємною, субєктивно-надуманою особливістю сил інерції загалом і сили Коріоліса закрема, є факт того що ці сили часто називають неіснеючими, віртуальними, придуманими, тощо. Про безпідставність подібних тверджень ми говорили в §23. Цю безпідставність ми аргументовано підтверджували відповідаючи на питання про те чому різні тіла падають з однаковим прискореннями; чому тіла рухаються за інерцією; чому Земля розтягнута в екваторіальній площині; чому Місяць не падає на Землю, а Земля не падає на Сонце; чому планети Сонячної системи знаходяться практично в одній площині; чому в процесі вертикального прискореного руху системи опора-тіло, вага тіла в залежності від напрямку та величини прискорення може бути різною; чому в кабіні штучного супутника Землі тіла перебувають в станів невагомості і що представляє собою цей стан; чим сила тяжіння (Fт=mg) відрізняється від сили гравітаційної взаємодії (Fгр= GMm/R2) і чому в загальному випадку сила тяжіння не проходить через центр маси Землі, тощо.

Зважаючи на ці обставини, ще раз наголосимо: вся «нереальність» сил інерції загалом і сили Коріоліса зокрема полягає лише в тому, що наше спрощене розуміння, а відповідно і пояснення, природи цих сил, надумано не вписується в рамки того визначення яке ми придумали для поняття «сила» (сила – міра взаємодії фізичних об’єктів). А якщо сили інерції загалом та сила Коріоліса зокрема і відрізняються від інших так би мовити «нормальних» сил, то лише тим, що причиною їх появи є не взаємодія тіла з тим чи іншим речовинним об’єктом, а його взаємодія з тим фізичним об’єктом який називається «простір».

Якщо ж говорити про теоретичне підґрунтя безумовної реальності сил інерції, то ним є загальна теорія відносності, яка безумовно доводить, що сили інерції не менш реальні аніж сили гравітаційних взаємодій.

 

Контрольні запитання.

1.Чому та сила інерції, що діє на тіло при його обертальному русі, є відцентровою?

2. Чи не суперечить формула Fi=mv2/r, твердженню про те, що величина відцентрової сили інерції, прямо пропорційна відстані до осі обертання тіла?

3. Чому космічні ракети доцільно запускати з тих місць, які наближені до екватора Землі?

4. Результатом чого є те бічне прискорення яке набуває кулька в процесі свого радіального руху поверхнею диску що обертається?

5. Які сили діють на кульку при її радіальному русі поверхнею диску що обертається?

6. Чому в екваторіальному поясі нашої планети практично постійно існує зона зниженого атмосферного тиску?

7. Назвіть ті природні явища, причиною яких є дія сил Коріоліса.

8. Чому ми практично не відчуваємо дію сили Коріоліса?

 

 

§29. Пара сил. Момент сили. Рівновага тіла що має вісь обертання. Важелі. Блоки.

 

До сих пір, говорячи про механічну та динамічну рівновагу тіла, ми мали на увазі, що це тіло знаходиться під дією так званої збіжної системи сил, тобто такої сукупності одночасно діючих сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці. По суті це означає, що до сих пір ми вивчали статику матеріальної точки, тобто ту частину статики в якій тіло можна вважати матеріальною точкою, а діючу на це тіло систему сил, можна замінити однією рівнодіючою силою. Силою, яка надає тілу поступального руху.

Однак, далеко не всяка діюча на тіло система сил є збіжною і далеко не всяку систему сил можна замінити рівнодіючою. Наприклад, якщо на тіло діють дві рівні за величиною і протилежні за напрямком сили F1 і F2 які не лежать на одній прямій (мал.58), то замінити цю систему сил відповідною рівнодіючою, не можливо. Дійсно. Формально визначивши рівнодіючу сил F1 і F2 ми отримаємо нульову величину: F1 + F2= 0. Та чи означає це, що загальна механічна дія сил F1 і F2 є нульовою? Очевидно що ні. Адже дана система сил надає або намагається надати тілу певного обертального руху.

   

Мал.64.  Пару сил не можливо замінити  рівнодіючою силою.

Систему двох рівних за величиною і протилежних за напрямком сил, які не лежать на одній прямій і спільно діють на одне і те ж тіло, називають парою сил (або парою). Пара сил надає (або намагається надати) тілу обертального руху. Пару сил не можливо замінити або зрівноважити однією силою. Пару сил можна замінити чи зрівноважити лише іншою парою сил.

Ви можете заперечити в тому сенсі, що в певних випадках тіло може обертатись під дією лише однієї сили. Наприклад, відчиняючи двері, ми прикладаємо лише одну силу яка і надає їм обертального руху. Дійсно. На перший погляд здається, що двері обертаються під дією лише однієї сили. Насправді ж, одна сила не може змусити тіло обертатись. Це може зробити лише пара сил. І якщо двері обертаються, то це тільки тому, що на них діють дві сили які і утворюють відповідну пару. При цьому не важко збагнути, що другою силою пари є та реакція опори, яка виникає в петлях дверей. Петлях, які утворюють нерухому вісь обертання тіла.

Загалом, тіло яке має нерухому вісь обертання може рухатись лише обертально. І це обертання створює відповідна пара сил. Інша справа, що однією з цих сил може бути та реакція опори яка виникає в нерухомій осі обертання.

 

 

Мал.65.  Пара сил надає тілу (прагне надати) обертального руху.

Основною характеристикою пари сил, або тієї сили що діє на тіло з нерухомою віссю обертання, є фізична величина яка називається моментом сили або моментом пари сил.

         Момент сили – це фізична величина, яка характеризує обертальну дію сили (пари сил) і яка дорівнює добутку цієї сили F на плече її дії d.

Позначається: М

Визначальне рівняння: М=Fd ,  де  d – плече сили, тобто найкоротша відстань між лінією дії сили та віссю обертання тіла.

Одиниця вимірювання:  [М] = Н∙м,   (ньютон-метр).

По суті, момент сили – величина векторна. Однак, зважаючи на те, що в межах програми загальноосвітньої школи вивчають лише плоскі системи сил, момент сили можна вважати величиною скалярною, тобто такою яка характеризується абсолютною величиною та знаком. При цьому, знак моменту сили зазвичай визначають за правилом: якщо сила повертає (або намагається повернути) тіло за годинниковою стрілкою, то момент сили додатній, а якщо проти годинникової стрілки – від’ємний.

  

Коли ми стверджували, що тіло буде знаходитись в стані механічної рівноваги тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил дорівнює нулю (∑F=0), то мали на увазі, що по-перше, система діючих на тіло сил є збіжною, а по-друге, що рівновага тіла є так би мовити поступальною.    В загальному ж випадку, система діючих на тіло сил може бути довільною. І ця довільна система сил може надавати тілу не лише поступального руху, а й руху обертального. В такій ситуації основний закон статики  (загальна умова рівноваги тіла) набуває вигляду: тіло буде знаходитись в стані загальної механічної рівноваги (v=0; ω=0) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та моментів цих сил дорівнюють нулю. Іншими словами:  якщо {∑F =0; ∑M=0} то {v = 0; ω=0} і навпаки .

Оскільки те тіло яке має нерухому вісь обертання, поступально не рухається і рухатись не може, то векторна сума діючих на нього зовнішніх сил гарантовано дорівнює нулю. А це означає, що для тіла з нерухомою віссю обертання, умова рівноваги набуває вигляду: якщо ∑М=0 то ω=0.

Одним з найпростіших і в той же час дуже важливих механічних приладів є важіль. Важіль – це прилад, який представляє собою довге тверде тіло яке має нерухому вісь обертання (одну точку опори) та застосовується для підсилення силової дії. Принцип дії важеля полягає в наступному. Якщо сила F1 (мал.66) має плече d1, а сила F2 – плече d2, то у відповідності з умовою рівноваги даного тіла (важеля) F1d1=F2d2. А це означає, що коли плече дії сили F1 буде більшим за плече дії сили F2 (d1˃d2) то у відповідну кількість разів сила F2 буде більшою за силу F1 : F2=F1(d1/d2) .

  

Мал.66.   Важіль – механізм який підсилює силову дію.

Було б дивним та неприроднім, якби за допомогою важеля ми отримували б виграш в силі що називається “безкоштовно”, тобто не програючи в чомусь іншому. І очевидно, що цим “іншим” є програш в тому переміщенні яке здійснює підсилена сила. Дійсно. З геометричних міркувань (дивись мал.66) випливає, що виграючи в силі (F2=nF1 де n=d1/d2=s1/s2) ми в таку ж кількість разів програємо в тому переміщенні яке здійснює ця сила (s2=s1/n).

Про те, що “безкоштовних” виграшів в силі не буває, вчені знали ще з стародавніх часів. Приблизно дві тисячі років тому, давньогрецький механік Герон Олександрійський, сформулював правило, яке стосувалось всіх простих механізмів і в якому стверджувалось: у скільки разів виграєш в силі, у стільки ж разів програєш у відстані. Це правило прийнято називати золотим правилом механіки. По суті, золоте правило механіки є одним з перших формулювань базового закону сучасної науки – закону збереження енергії.

До числа найбільш розповсюджених простих механізмів, окрім важелів, відносяться різноманітні блоки. Блок – це прилад (механізм), який представляє собою круглий шків що має вісь обертання і по жолобу якого проходить елемент гнучкого зв’язку (канат, мотузка, трос, ланцюг, тощо).

 

Мал.67  Будова та найпростіші застосування блоку.

Оскільки шків блоку вільно обертається, то силовий натяг перекинутого через нього канату на вході та на виході шківа має бути однаковим. Дійсно. Під дією двох різнонаправлених сил F1 і F2 (мал.67а), шків буде знаходитись в стані обертальної рівноваги за умови, що момент тієї сили яка обертає  шків за часовою стрілкою (M2=F2R) дорівнює моменту тієї сили що обертає його проти часової стрілки (M1=F1R), тобто за умови F2R=F1R , де R – радіус шківа. А це можливо лише тоді, якщо  F2=F1 .

Таким чином, відносно нерухомий блок (блок, вісь обертання якого є відносно нерухомою), не даючи виграшу в силі, дозволяє змінювати напрям цієї сили. Вже цей факт, робить подібні механізми потрібними та загальновживаними. Але можливості блоків не вичерпуються лише зміною напрямку дії сили. В цьому не важко переконатись на прикладі системи яка складається з рухомого та нерухомого блоків (мал.67б). Не важко бачити, що в такій системі на рухомий блок, а отже і на те тіло яке він піднімає, діють дві рівні за величиною співнаправлені сили. А це означає, що натягуючи канат з силою F, на осі рухомого блоку ми отримаємо вдвічі більше тягове зусилля.

Ясно, що в вище розглянутій ситуації, отриманий виграш в силі не може бути “безкоштовним”. Платою за цей виграш є неминучий програш в пройденому шляху. Дійсно. Для того, щоб за допомогою рухомого блоку підняти вантаж на ℓ метрів, потрібно на ℓ метрів зменшити довжину як правої так і лівої (відносно рухомого блоку) частин канату. А це означає, що той робітник який тягне канат з силою F, повинен прикладаючи цю силу протягнути 2ℓ метрів канату.

 

Словник фізичних термінів.

         Парою сил, називають систему двох рівних за величиною і протилежних за напрямком сил, які не лежать на одній прямій і спільно діють на одне і те ж тіло.

Момент сили – це фізична величина, яка характеризує обертальну дію сили (пари сил) і яка дорівнює добутку цієї сили F на плече її дії d.

Позначається: М

Визначальне рівняння: М=Fd

Одиниця вимірювання:  [М] = Н∙м,   (ньютон-метр).

Загальна умова рівноваги тіла – це закон в якому стверджується: тіло буде знаходитись в стані загальної механічної рівноваги (v=0; ω=0) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та моментів цих сил дорівнюють нулю. Іншими словами:  якщо {∑F =0; ∑M=0} то {v = 0; ω=0} і навпаки.

Важіль – це прилад (механізм), який представляє собою довге тверде тіло яке має нерухому вісь обертання (одну точку опори) та застосовується для підсилення силової дії.

Блок – це прилад (механізм), який представляє собою круглий шків що має вісь обертання і по жолобу якого проходить елемент гнучкого зв’язку. Блок застосовується як для зміни напрямку дії сили так і для підсилення силової дії.

Золоте правило механіки – це закон, в якому стверджується: в простих механізмах (важелі, блоки, системи важелів та блоків, тощо), у скільки разів виграєш в силі, у стільки ж разів програєш у відстані.

 

Контрольні запитання.

1.Яку систему сил називають збіжною? Чи може така система надати тілу обертального руху?

2. Чому пару сил не можна замінити рівнодіючою силою?

3. Чому загальна умова рівноваги тіла (∑F=0; ∑M=0), для тіла що знаходиться під дією збіжної системи сил набуває вигляду ∑F=0, а для тіла що має нерухому вісь обертання ∑М=0.

4. Чому дверні ручки розташовують на краю дверей, а не на їх середині?

5. Вчому полягає золоте правили механіки для важелів; для блоків?

6. Яку силу потрібно прикласти в заданих місцях важеля щоб зрівноважити вантаж (маса тягарця 102гр).

 

7. Яку силу потрібно прикладати до кінця канату, щоб в зображеній на мал.67в ситуації, піднімати вантаж вагою 120Н?

Вправа 20.

Загальні зауваження. При розв’язуванні задач, діючу на тіло силу тяжіння прикладають в центрі мас цього тіла. В однорідних тілах (ρ=const) постійної площі поперечного перерізу (стержні, труби, балки, тощо), центр мас тіла співпадає з його геометричним центром.

1.На землі лежить балка масою 80кг. Яку силу потрібно прикласти, щоб підняти один кінець цієї балки.

2. Щоб підняти один кінець труби що лежить на землі, потрібно прикласти силу 400Н. Яка маса труби

3. До кінців важеля довжиною 1м підвішені вантажі масою 6кг і 14кг. Де потрібно встановити опору, щоб вантажі перебували у рівновазі?

4. До кінців стержня масою 20кг і довжиною 1м підвішено вантажі масою 10кг і 40кг. Де потрібно встановити опору щоб стержень був в горизонтальному положенні.

5. Стержень довжиною 1м горизонтально висить на двох динамометрах. При цьому перший знаходиться на відстані 10см від лівого кінця стержня і показує 30Н, а другий – знаходиться на відстані 30см від правого кінця. Яка маса стержня і що показує другий динамометр?

6. З якою силою потрібно тягнути канат в зображеній на мал.67в системі блоків, щоб піднімати вантаж масою 120 кг?

 

§30. Розв’язування задач. Тема: Рівновага тіла під дією довільної системи сил.

 

         В загальному випадку умову рівноваги тіла що знаходиться під дією плоскої системи довільних сил, можна записати у вигляді:

.                                              ∑ Fx = 0

.                                              ∑ Fy = 0

.                                              ∑ M = 0

Виходячи з цієї умови та дотримуючись загально прийнятого порядку розв’язку задач статики, розв’яжемо декілька з них.

Задача 1. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=100H/м, F=300H, α=60º, M=400Н∙м. Вагою балки знехтувати.

Рішення.

1.Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на балку сили та відстані між ними. Задаємо систему координат. (Розподілене навантаження q=100H/м, замінюємо рівнодіючою силою Q=q∙ℓ=100Н/м∙3м=300Н).

2. Записуємо систему рівнянь які відповідають умові рівноваги даної балки.

∑ Fх = Fcosα – RBx = 0                                   (1)

∑ Fу = – Q + RA – Fsinα + RBy = 0                  (2)

∑ MB = – Q∙6,5 + RA∙6 – Fsinα∙4 – M = 0       (3)

Зауваження.  1). Визначаючи момент сили F відносно точки B, доцільно розкладати цю силу на дві складові:  Fx = Fcosα;  Fy = Fsinα.  При цьому:  M(Fx) = 0,  (d=0);   M(Fy) = (Fsinα)4 ,  (d=4м). 2). Ту точку відносно якої визначаються моменти сил, обирається довільно. При цьому зазвичай її обирають таким чином, щоб максимальне число невідомих сил створювали нульові моменти.

3. Розв’язавши систему рівнянь, визначаємо невідомі величини:

Із (1) → RBx = Fcos60° = 300∙0,5=150H

Із (3) → RA = [Q∙6,5 + Fsin60º∙4 + M]/6 = … = 406H

Із (2) → RBy = Q – RA + Fsinα = … = 155H.

Відповідь: RBx=150H; RBy=155H; RA= 406H.

Задача 2. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=100H/м, P1=300H, P2=400H. Вагою балки знехтувати.

Зауваження. В науково-технічній практиці, діючі на тіло сили та реакції опор часто позначають по різному. Зважаючи на цей факт, при розв’язуванні задач будемо дотримуватись тих буквених позначок які зазначені на відповідному малюнку.

Рішення.

1.Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на балку сили та відстані між ними. Задаємо систему координат.

2. Записуємо систему рівнянь які відповідають умові рівноваги даної балки.

∑ Fх = XA – P2cos30º = 0                                   (1)

∑ Fу = YA – P2sin30º – P1 + RB – Q = 0             (2)

∑ MA = (P2sin30º)2 + P1∙3 – RB∙4 + Q∙5 = 0       (3)

де Q = q∙2 = 200H.

3.Розв’язавши систему рівнянь, визначаємо невідомі величини:

Із (1) → XA =P2cos30° = 400∙0,87=348H

Із (3) → RB = [(P2sin30º)∙2 + P1∙3 + Q∙5]/4 = … = 575H

Із (2) → YA = P2sin30º + P1 – RB + Q = … = 125H.

Відповідь: XA=348H; YA=125H; RB= 575H.

Задача 3. Під дією зображеної на малюнку системи сил жорстко закріплена балка знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити наявні в точці закріплення реакції опори. Вагою балки знехтувати.

Зауваження. В загальному випадку реакція жорстко закріпленої опори має три складові: горизонтальну Nx (Rx, XA,…), вертикальну Nу (Rу, YA,…) та протидіючий момент сили М. Однак в умовах нашої задачі, горизонтально діючі сили відсутні і тому горизонтальна складова реакції опори дорівнює нулю.

Рішення.

1.Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на балку сили та відстані між ними. Задаємо систему координат.

2. Записуємо систему рівнянь які відповідають умові рівноваги даної балки.

∑ Fу = RA + F – Q = 0                            (1)

∑ MA = – MA – F∙0,5 + Q∙1 – M = 0       (2)

де Q = q∙1 = 100кH.

3. Розв’язавши систему рівнянь, визначаємо невідомі величини:

Із (1) → RA = – F + Q = -70+100 =30кH

Із (2) → MA = – F∙0,5 + Q∙1 – M = … = 15кH∙м

Відповідь: RA=30кН ; M=15кН∙м.

Задача 4. Труба масою 30кг і довжиною 4м приставлена до стіни під кутом 30° до поверхні стіни. З якою, прикладеною до центру труби горизонтальною силою F потрібно тягнути трубу, щоб відірвати її від стіни? Нижній кінець труби не ковзає.

.             

Дано:                             Аналіз:

m = 30кг

ℓ = 4м                        Малюнок

α = 30°

F = ?

Виконуємо малюнок, на якому вказуємо діючі на трубу сили і задаємо систему координат (вісь Ох направлена вздовж труби). При цьому враховуємо, що в момент відриву труби від вертикальної стіни, труба і стіна перестають взаємодіяти. В таких умовах на трубу діють чотири сили: Fт=mg, F, N, Fтер, при цьому три з них є невідомими. Визначаючи ці сили ми могли б записати три рівняння рівноваги і розв’язавши їх, визначити F, N, Fтер . Однак, за умовою задачі, нас цікавить лише одна величина – сила F. Тому ми запишемо і розв’яжемо лише одне рівняння ∑MO=0 . (в цьому випадку моменти сил NA і Fтер дорівнюють нулю).

∑ MO = F∙d1 – Fт∙d2 = F(ℓ/2)cos30º – Fт(ℓ/2)sin30º = 0.   Звідси

F = [Fт(ℓ/2)sin30º]/[(ℓ/2)cos30º] = Fтtg30º = mgtg30º.

Розрахунки: F = mgtg30º = 30кг∙10м/с2∙0,577= 173H .

Відповідь: F = 173H.

Задача 5. Колесо радіусом R і масою m стоїть перед сходинкою висотою h. Яку горизонтальну силу F потрібно прикласти до осі колеса, щоб воно викотилось (піднялось) на сходинку?

Рішення.

Виконуємо відповідний малюнок на якому вказуємо всі діючі на колесо сили. При цьому враховуємо, що в момент відриву колеса від горизонтальної поверхні, його взаємодія з цією поверхнею буде нулевою.

Для визначення невідомої сили F достатньо записати лише одне рівняння ∑MA=0 . Адже відносно точки А силові моменти створюють лише сила тяжіння (Fт) і та зовнішня горизонтальна сила (F) яка і піднімає колесо на сходинку. При цьому плечі цих сил (відповідно АС і АВ) можна визначити із геометричних міркувань (див. мал.): 1) АС = R – h;  2) (АВ)2 + (АС)2 = R2, або (АС)2 + (R-h)2 = R2. Звідси  (АВ)2 = R2 – (R-h)2 = 2Rh – h2, або АВ = (2Rh – h2)1/2.

Враховуючи вище сказане, можна записати

∑ МА= F(R – h) – Fт(2Rh-h2)1/2 = 0 .

Звідси  F = [F (2Rh-h2)1/2]/(R-h) = [mg(2Rh-h2)1/2]/(R-h).

Відповідь: F = [mg(2Rh-h2)1/2]/(R-h).

         Задача 6. Однорідний куб масою m знаходиться на горизонтальній площині. Якою мінімальною силою можна перекинути цей куб через його нерухоме ребро? Яким має бути при цьому мінімальний коефіцієнт тертя між кубом і площиною?

    

Загальні зауваження.  Ми не одноразово наголошували і будемо наголошувати на тому, що фізика – це не формули, а вміння творчо та логічно мислити. Ми наголошували на тому, що успішність розв’язку задачі, на 50% залежить від того, наскільки уважно ви прочитаєте умову задачі; наскільки точно представите фізичну суть того про що йде мова в цій задачі; наскільки точно виділите те, що в умовах відповідної задачі є головним, а що – другорядним та не суттєвим. І в цьому сенсі, дана задача є показовою. Адже для того щоб її розв’язати ви маєте дійти до усвідомлення цілої низки важливих нюансів, зокрема:

1.Для того, щоб та сила яка перевертає куб мала мінімально можливу величину, вона має бути перпендикулярною до діагоналі того квадрату якій проходить через центр мас відповідного куба і є перпендикулярним до осі його обертання (до нерухомого в процесі обертання ребра куба).

2. В момент відриву куба від горизонтальної поверхні, діючі на нього сила тертя та реакція опори будуть взаємно перпендикулярними і такими, що розподілені вздовж осі обертання куба (лінії нерухомого ребра) та перпендикулярними до цієї осі.

3. Діючі на куб сили (сила тяжіння Fт = mg; реакція опори N; сила тертя Fтер= µN і та зовнішня сила F яка перекидає куб), можна представити як такі, що діють в площині того квадрату, який проходить через центр мас куба і є перпендикулярним до осі його обертання. При цьому, всі ці сили знаходяться на одній прямій – діагоналі відповідного квадрату.

4. В момент відриву куба від горизонтальної поверхні, величини тих обертальних моментів, які створюють сила тяжіння та зовнішня обертальна сила, є гранично великими. І тому, визначаючи величину тієї мінімально необхідної сили що може перекинути куб, потрібно розглядати саме цей момент – момент відриву куба від горизонтальної поверхні.

Зважаючи на вище сказане, рішення даної задачі є наступним.

Дано:                       Аналіз:

m

F=Fmin=?                 Малюнок

µ=µmin=?

Виконуємо відповідний плоский малюнок, на якому вказуємо всі діючі на куб сили. Вводимо систему координат: вісь Ах – горизонтальна, вісь Ау – вертикальна. Записуємо умову рівноваги куба. (для моменту його обертального відриву від горизонтальної площини).

∑ Fх = Fcos45° – Fтер = Fcos45° – µN = 0 ;                                   (1)

∑ Fу = Fsin45° – Fт = Fsin45° – mg = 0 ;                                        (2)

∑ MА = F∙ℓ – (Fт sin45°)/(ℓ/2) = F∙ℓ – (mgsin45°)/(ℓ/2) = 0 .        (3)

Із  (3) → F = (mgsin45°ℓ)/2ℓ = mgsin45º/2;

із  (1) → µN = Fcos45°  →  µ = mg/4N , де  N =?

із  (2) →  N = Fт – Fsin45° = mg – mg/4 = 3mg/4 = N;

Таким чином  µ = mg/4N = mg/4(3mg/4) = 1/3 .

Відповідь: F = Fmin = mgsin45º/2;  µ = µmin= 1/3 .

 

Вправа 21.

1.Балка масою 100кг під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опори.

2. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=100H/м, F=300H, α=60º. Вагою балки знехтувати.

3. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=75H/м, Р=300H, G=200H, M=400H∙м. Вагою балки знехтувати.

4. Під дією зображеної на малюнку системи сил жорстко закріплена балка знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити наявні в точці закріплення реакції опори. Вагою балки знехтувати.

5. Однорідна балка лежить на платформі так, що одна четверта її довжини звисає з платформи. До звисаючого краю балки прикладають силу, направлену вертикально вниз. Коли ця сила досягає 2000Н протилежний край балки починає підніматись. Визначити масу балки.

6. Драбина довжиною 4м приставлена до гладенької стіни під кутом 30º. Коефіцієнт тертя між драбиною та підлогою 0,3. На яку відстань виміряну вздовж драбини може піднятись людина, перш ніж драбина почне зсковзувати підлогою.

7. Драбина спирається на вертикальну стіну і горизонтальну підлогу. Коефіцієнт тертя між драбиною і стіною 0,3, а між підлогою і драбиною – 0,4. Визначте той найменший кут нахилу драбини, при якому вона ще може залишатися в рівновазі.

 

§31*. Центр тяжіння та центр мас тіла. Розв’язування задач.

 

Коли ми говоримо, що на тіло діє певна сила тяжіння, то маємо на увазі ту результуючу силу, що є рівнодіючою величезної кількості співнаправлених елементарних сил, з якими окремі дрібні фрагменти тіла притягуються до Землі. Точку прикладання цієї результуючої сили, називають центром тяжіння тіла.

На практиці центр тяжіння будь якого (зазвичай плоского) тіла можна визначити наступним чином. Відповідне тіло, за допомогою нитки (мотузки, ланцюга чи іншої гнучкої опори) вільно підвішують за довільно обрану периферійну точку (мал.68а). При цьому, діючі на тіло сили, – сила тяжіння F та реакція опори N, зрівноважують одна одну. А це означає, що центр тяжіння даного тіла лежить на тій прямій яка є продовженням напрямку нитки. Уявно чи реально помічаємо цей напрям. Закріпивши нитку в іншій точці тіла, повторюємо експеримент і проводимо ще одну пряму (мал.68б). Точка перетину цих двох прямих і є центром тяжіння даного тіла. Закріплюючи нитку в різних місцях та багаторазово повторюючи експеримент, ви неодмінно переконаєтесь в тому, що за будь якого положення тіла, лінії дії результуючої сили тяжіння дійсно перетинаються в одній і тій же точці, яка і є центром тяжіння тіла.

 

Мал.68. Ілюстрація способів експериментального визначення центру тяжіння тіла.

Центром тяжіння тіла – називають ту пов’язану з цим тілом умовну геометричну точку, яка є точкою прикладання результуючої сили тяжіння і яка визначається як точка перетину ліній дій цієї результуючої сили, визначених при різних орієнтаціях тіла у просторі.

В науковій та побутовій практиці на ряду з поняттям центр тяжіння тіла застосовують більш загальне поняття – центр маси тіла. Центром мас (центром інерції) тіла – називають ту пов’язану з цим тілом умовну геометричну точку, яка характеризує розподіл мас в тілі і яка визначається як точка перетину ліній дій результуючої тих сил, які надають тілу поступального руху при різних орієнтаціях тіла у просторі.

На відміну від центру тяжіння, який має сенс лише за наявності діючої на тіло сили тяжіння, центр мас тіла має сенс навіть за відсутності будь якого силового впливу на тіло. При цьому спосіб експериментального визначення центру мас тіла, по суті аналогічний способу визначення центру його тяжіння. Скажімо, якщо за прикріплену до точки А нитку (мал.68а), тіло прямолінійно тягти гладенькою поверхнею, то в процесі поступального руху, воно буде орієнтовано таким чином, що центр його мас буде знаходитись на тій прямій яка є продовженням нитки. Закріпивши нитку в точці В, та повторивши експеримент, ви отримаєте ще одну пряму якій належатиме центр мас тіла. Точка перетин отриманих прямих і є центром мас тіла.

Не заглиблюючись в деталі тих відмінностей які існують між центром тяжіння та центром мас тіла зауважимо, що за винятком певних, дуже специфічних умов, ці центри практично вточності співпадають. Тому на практиці терміни «центр тяжіння тіла» та «центр мас тіла» є тотожними. А зважаючи на більшу загальність терміну «центр мас тіла», саме цей термін є більш вживаним.

Якщо ви думаєте, що центр тяжіння (центр мас) тіла, це реальна приналежна тілу точка, до якої прикладена реальна сила тяжіння, то помиляєтесь. Помиляєтесь по-перше тому, що центр тяжіння часто знаходиться за межами відповідного тіла. Скажімо, якщо ви визначите центри тяжіння кільця, чайника, каструлі чи будь якого іншого пустотілого предмету, то неодмінно переконаєтесь в тому, що ці центри знаходяться за межами відповідних тіл. По-друге, центр тяжіння, це лише певна умовна точка до якої прикладена умовна результуюча сила тяжіння. Втім, якщо реальне тіло дійсно зосередити в тій точці яка називається центром тяжіння, і якщо до цієї точки дійсно прикласти ту силу яка називається силою тяжіння, то механічна поведінка цієї точки і відповідного реального тіла будуть однаковими.

Можна довести: якщо однорідне тіло має вісь симетрії, то центр тяжіння цього тіла знаходиться на цій осі. Керуючись цим твердженням не важко визначити центри тяжіння тих однорідних тіл які мають дві і більше осей симетрії (прямокутники, паралелограми, куби, циліндри, стержні, кулі, тощо).

 

Мал.69. Якщо однорідне тіло має вісь (площину) симетрії, то центр тяжіння (центр мас) цього тіла знаходиться на цій осі (цій площині).

Якщо ж мова йде про геометрично складні фігури, то їх завжди можна представити у вигляді певної сукупності геометрично простих фігур. Фігур, центри тяжінь яких легко визначаються. При цьому можна довести, що координати результуючого центру тяжіння складного тіла визначаються за формулами:  xc = ∑mixi/∑mi;  yc = ∑miyi/∑mi;  zc = ∑mizi/∑mi  ,     (1)   де   mi – маса і-того тіла системи;  xi , yi , zi  – координати  центру тяжіння і-того тіла системи.

Для однорідних плоских тіл (тіл постійної товщини) формули (1) набувають вигляду: хс = ∑Sixi/∑Si;  yc = ∑Siyi/∑Si ,   (2)   де  Si – площа і-того тіла системи. Власне за системою формул (2) ми і будемо визначати центрів тяжіння складних геометричних фігур.

Задача 1.  Визначити центр тяжіння плоского однорідного тіла, геометричні параметри якого представлені на малюнку.

Рішення:

1.Задаємо систему координат і максимально зручним чином розбиваємо складну фігуру на геометрично прості.

2.Визначаємо площі і координати центрів тяжіння кожної окремої фігури.

1) S1 = 50∙10 = 500см2;     x1 = 5см;     y1 = 25см

2) S2 = 20∙10 = 200см2;     x2 = 20см;    y2 = 5см

3) S3 = 10∙30 = 300см2;      x3 = 35см;    y3 =15см .

3.Визначаємо координати центру тяжіння всієї фігури.

хс =(500∙5 + 200∙20 + 300∙35)/(500+200+300) = 17см

ус =(500∙25 + 200∙5 + 300∙15)/(500+200+300) = 18см .

Відповідь:  хс = 17см;   ус = 18см .

Потрібно зауважити, що числові значення координат центру тяжіння тіла залежать від вибору системи координат. При цьому, за будь якого вибору цієї системи, фактичне розташування центру тяжіння тіла залишається незмінним.

Задача 2.  Визначити центр тяжіння плоского однорідного тіла, геометричні параметри якого представлені на малюнку (розміри в мм)

Загальне зауваження: якщо в однорідному тілі є отвори (пустоти), то визначаючи центр тяжіння цього тіла, в формулах (1) і (2), відповідно маси та площі отворів беруть зі знаком « – ».

Рішення:

1.Задаємо систему координат і максимально зручним чином розбиваємо складну фігуру на геометрично прості.

Оскільки дане тіло є однорідним та симетричним відносно осі 0у, то центр тяжіння цього тіла знаходиться на осі 0у. А це означає, що у вибраній системі координат, координата хс є відомою (хс = 0мм), і тому залишається визначити лише координату ус.

2.Визначаємо площі і потрібну координату (у) кожної окремої фігури.

1) S1 = 100∙10 = 1000мм2;                   y1 = 50мм

2) S2 = 80∙80 =6400мм2;                      y2 = 140мм

3) S3 = – πr2 = – 3,14∙202 = -628мм2;     y3 =140мм .

3.Визначаємо координати центру тяжіння всієї фігури.

ус =(1000∙50 + 6400∙140 – 628∙140)/(1000+6400-628) = 126,7мм .

Відповідь:  хс = 0,0мм;   ус = 126,7мм .

Задача 3.  Довести, що центр тяжіння трикутника знаходиться в точці перетину його медіан.

Рішення.

Визначаючи центр тяжіння трикутника, розіб’ємо його на велику кількість максимально тонких смужок, кожна з яких паралельна одній з сторін трикутника, наприклад стороні АD. Оскільки кожну  з цих смужок можна вважати тонким прямокутником, а центр тяжіння прямокутника знаходиться на перетині тих ліній які ділять цей прямокутник навпіл, то ясно, що центр тяжіння всього трикутника має знаходитись на лінії яка проходить через центри цих смужок. Цю лінію називають медіаною. (Медіана – лінія проведена з вершини трикутника до середини протилежної сторони). Аналогічним чином можна довести, що центр тяжіння трикутника має належати кожній з трьох його медіан. А це означає, що точка перетину цих медіан і є центром тяжіння трикутника.

Відповідь: центр тяжіння трикутника знаходиться в точці перетину його медіан.

Важливими складовими багатьох плоских тіл є прямокутні трикутники та напівсфери. І можна довести, що координати центрів тяжіння (центрів мас) цих геометричних фігур визначаються за представленими на малюнку формулами.

Словник фізичних термінів.

         Центр тяжіння тіла – це та пов’язана з даним тілом умовна точка, яка є точкою прикладання результуючої сили тяжіння і яка визначається як точка перетину ліній дій цієї результуючої сили, визначених при різних орієнтаціях тіла у просторі.

         Центр мас (центр інерції) тіла – це та пов’язана з даним тілом умовна точка, яка характеризує розподіл мас в тілі і яка визначається як точка перетину ліній дій результуючої тих сил які надають тілу поступального руху при різних орієнтаціях тіла у просторі.

 

Контрольні запитання.

1.Чи є сила тяжіння тією силою, що дійсно діє на центр тяжіння тіла?

2.Чи є центр тяжіння тіла тією реальною точкою на яку діє результуюча сила тяжіння?

3.Чи може центр тяжіння тіла знаходитись за межами цього тіла?

4.Як експериментально визначити центр тяжіння тіла?

5.Чи залежать визначені за формулами (2) координати центру тяжіння тіла, від вибору системи координат? Чи впливає вибір системи координат на реальне розташування центру тяжіння тіла?

6.Яке із понять “центр тяжіння” чи “центр мас” є більш загальним? Чому?

7.Зі шматка картону виріжте тіло довільної форми і визначте його центр тяжіння.

Вправа 27.

1.Визначити центр тяжіння плоского тіла, геометричні параметри якого представлені на малюнку (розміри задані в см).

 

2.З однорідної круглої пластинки радіусом 10см, вирізали круг вдвічі меншого радіусу, так що виріз дотикається до нижнього краю пластинки. Визначити координати центру тяжіння пластинки з вирізом.

3.Дві однорідні кулі маси яких m1=10кг і m2=12кг та радіусами R1=4см і R2=6см з’єднані стержнем масою 4кг і довжиною 8см. Центри куль лежать на осі стержня. Визначити центр тяжіння цієї системи.

4.Визначити положення центру тяжіння квадратної пластинки зі стороною d, в якій вирізали круглий отвір радіусом d/4 так, що утворене коло торкається середини однієї з сторін квадрата.

5.Визначити центр тяжіння плоского тіла, геометричні параметри якого представлені на малюнку R=10см.

 

§32*. Про види механічної рівноваги та про ступінь механічної

                    стійкості тіл.

 

         Зазвичай механічною рівновагою називають такий стан тіла, при якому воно під дією зовнішніх сил знаходиться в стані механічного спокою (v=0; ω=0). Однак, сама по собі механічна рівновага тіла може бути суттєво різною. Наприклад, в зображених на мал.70 ситуаціях, під дією зовнішніх сил (сили тяжіння Fт та реакції опори N) куля знаходиться в стані механічної рівноваги. При цьому не важко бачити, що кожна з цих рівноваг є суттєво різною. Ця різність з усією очевидністю відображена у відповідних назвах:

-стійка рівновага (мал.70в)

-нестійка рівновага (мал.70б)

-байдужа рівновага (мал.70а)

мал.70.  За характером поведінки тіла після виведення його із стану рівноваги, ця рівновага буває: стійкою (в), нестійкою (б) та байдужою (а).

Пояснюючи поведінку кулі при стійкій, нестійкій та байдужій рівновазі, розглянемо ситуацію в якій вона під дією випадкових зовнішніх чинників отримує незначне відхилення від положення рівноваги (мал.70). Не важко бачити, що в незалежності від виду рівноваги, на кулю постійно діють дві зовнішні сили: сила тяжіння Fт і реакція опори N. Однак результат дії цих сил в кожному випадку буде суттєво різним. Дійсно. При стійкій рівновазі (мал.70в), результуюча сили тяжіння і реакції опори повертає кулю в початкове положення. При нестійкій рівновазі (мал.70б), результуюча сили тяжіння та реакції опори віддаляє кулю від початкового положення. При байдужій рівновазі (мал.70а), результуюча сили тяжіння та реакції опори дорівнює нулю, а отже є такою що не повертає і не віддаляє кулю від початкового положення.

Таким чиним, за характером поведінки тіла після відхилення його від заданого положення рівноваги, розрізняють три різновидності цієї рівноваги: стійка, нестійка та байдужа. При цьому:

1.Якщо, після незначного відхилення тіла від положення рівноваги, система діючі на нього зовнішніх сил повертає тіло до попереднього положення, то таку рівновагу називають стійкою.

2.Якщо, після незначного відхилення тіла від положення рівноваги, система діючих на нього зовнішніх сил, віддаляє тіло від попереднього положення, то таку рівновагу називають нестійкою.

3.Якщо, після незначного відхилення тіла від положення рівноваги, система діючих на нього зовнішніх сил, не повертає тіло до попереднього положення, але й не віддаляють від нього, то таку рівновагу називають байдужою.

Важливим прикладом стійкої, нестійкої та байдужої рівноваги, є рівновага тіла що має вісь обертання. Аналізуючи таку рівновагу (мал.71) не важко бачити, що її характер визначається розташуванням центру тяжіння тіла відносно його осі обертання. При цьому, якщо центр тяжіння знаходиться  нижче цієї осі, то рівновага є стійкою, якщо вище – нестійкою, а якщо на осі – байдужою.

Мал.70. Характер рівноваги тіла що має вісь обертання залежить від розташування його центру тяжіння відносно осі обертання.

Вище розглянуті ситуації, наочно демонструють і пояснюють суть стійкої, нестійкої та байдужої рівноваги того тіла що має одну точку опори. Однак у повсякденному житті, ми зазвичай маємо справу з стійкістю тіл які спираються не на одну, а на велику кількість точок опори. Столи і стільці, телевізори і холодильники, книги і чайники, будинки і автомобілі, – всі вони певним чином спираються на велику кількість точок опор і мають певну механічну стійкість. Однак ступінь цієї стійкості може бути різною. При цьому, ми майже завжди зацікавлені в тому, щоб ступінь стійкості тіла була максимально великою.

З’ясовуючи ті фактори які так чи інакше впливають на ступінь стійкості тіла, розглянемо ряд простих ситуацій. Припустимо, що тіло в формі прямокутного паралепіпеда лежить на горизонтальній поверхні так, як це показано на мал.72. Не важко збагнути, що рівновага цього тіла в ситуації (б) є більш стійкою. Більш стійкою тому, що в цій ситуації центр тяжіння тіла знаходиться нижче, а площа його опори більша. Висновок очевидний: чим більша площа опори тіла і чим нижче центр його тяжіння, тим більша механічна стійкість тіла.

 

Мал.72.  Чим нижче центр тяжіння тіла і чим більша площа його опори, тим стійкіша рівновага.

Потрібно зауважити, що коли ми говоримо про площу опори того тіла яке спирається на декілька точок, то маємо на увазі не ту фактичну площу на яку спираються наприклад ніжки стола, а ту площу яка знаходиться в середині того чотирикутника, вершинами якого є ці ніжки.

Ступінь механічної стійкості тіла визначається не лише величиною його площі опори та висотою центру тяжіння над цією площею. Ця ступінь певним чином залежить і від того, як центр тяжіння тіла розташований відносно геометричного центру його опори. Дійсно. В зображених на мал.73 ситуаціях, тіла а, б, в, мають однакові площі опори, а їх центри тяжіння знаходяться на одній і тій же висоті. І тим не менше, ступінь стійкості цих тіл є очевидно різною. Різним тому, що центр тяжіння тіла по різному розташований відносно геометричного центру його опори. Власне одним з критеріїв стійкості тіла є так званий кут стійкості. Тобто той гранично великий кут, на який потрібно нахилити тіло до положення його нестійкої рівноваги. При цьому, потрібно мати на увазі, що кут стійкості тіла, а відповідно і його механічна стійкість, залежать не лише від площі та форми його опори, а й від того, в якому напрямку діють ті сили які спонукають тіло до втрати механічної стійкості. Наприклад механічна стійкість цеглини залежить не лише від того яка її сторона є опорною, а й від того, в якому напрямку нахиляють цеглину.

 

Мал.73.  Ступінь стійкості тіла, певним чином залежить від розташування вертикальної проекції його центру тяжіння відносно площі опори.

Загально відомим прикладом будівлі вісь симетрії якої суттєво нахилена до вертикалі, є Пізанська вежа (мал.74). Ця вежа має форму циліндра висотою 55м і радіусом опори 7м. При цьому вершина вежі відхилена від вертикалі на 4,5м. По суті це означає, що кут відхилення вежі від вертикалі становить α=arcsin(4,5/55)≈5º. Граничний же кут стійкості для подібної геометричної фігури, близький до 15º. Так що Пізанській вежі ще далеко до втрати механічної стійкості.

Втім, ми говоримо про певну ідеалізовану ситуацію, в якій суцільне абсолютно тверде тіло стоїть на абсолютно твердій та дещо нахиленій поверхні (або в якій тіло нахилене до поверхні). Реальні ж будівлі та їх опори не є суцільними та абсолютно твердими. Крім цього, вони знаходяться під постійним впливом величезної кількості силових навантажень, починаючи від вітрів, дощів та створюваних транспортом і людьми вібрацій, і закінчуючи ураганами, землетрусами, виверженнями вулканів, тощо.

Мал.74. Пізанська вежа – архітектурний, історичний та науковий пам’ятник.

Цікавим прикладом стійкої рівноваги є загально відома іграшка, яку називають по різному: в Росії «Ванька-встанька», в Америці «Bob of Toy», а в Україні «Іван-покиван»(мал.75). Пояснюючи принцип дії цієї іграшки, а заодно і їй подібних систем, можна сказати наступне. На твердій рівній поверхні, куля по суті представляє собою тіло яке має відносно нерухому (нерухому відносно кулі) точку обертання. І ця точка знаходиться в геометричному центрі відповідної кулі. Якщо куля однорідна(мал75б), то її точка обертання співпадає з центром тяжіння. При цьому на рівній горизонтальній поверхні куля буде знаходитись в стані байдужої рівноваги. Це означає, що за будь якого відхилення, центр обертання кулі, її центр тяжіння та точка дотику з поверхнею будуть знаходитись на одній вертикальній прямій.

Якщо ж куля неоднорідна, наприклад така що має певні пустоти (мал.75в), то в цьому випадку точка обертання кулі не співпадає з її центром тяжіння. В такій ситуації куля може знаходитись як в стані нестійкої рівноваги (центр тяжіння знаходиться над точкою обертання), так і в стані стійкої рівноваги (центр тяжіння знаходиться під точкою обертання). По суті це означає, що куля центр тяжіння якої не співпадає з її геометричним центром, завжди прагне прийти до такого стану, при якому її геометричний центр, центр тяжіння та точка дотику з поверхнею, лежать на одній вертикальній прямій. І цей стан є станом стійкої рівноваги. Власне тому за будь якого відхилення Івана-покивана від положення рівноваги, він неминуче повертається до цього положення.

  

Мал.75. Іван-покиван, як приклад тіла, що знаходиться в стані стійкої рівноваги.

На практиці зовсім не обов’язково щоб вся іграшка була кулястої форми. Достатньо щоб кулястою була лише її нижня частина. При цьому, прагнучи до максимального віддалення геометричного центру кулі (центру кривизни кулі) від її центру тяжіння, нижню кулясту частину іграшки зазвичай заповнюють відносно важкою речовиною.

Принцип «ваньки-встаньки» застосовують не лише в іграшках, а й в техніці. Наприклад певні різновидності човнів виготовляють таким чином, що при перекиданні, вони відразу ж повертаються в початкове положення. Для цього на човні передбачені спеціальні заповнені легким пінопластом відсіки.

 

Контрольні запитання.

1.Яку рівновагу називають стійкою; нестійкою; байдужою?

2.Наведіть приклади стійкої, нестійкої та байдужої рівноваг.

3.Від чого залежить вид рівноваги тіла що має нерухому вісь обертання?

4.Від чого залежить механічна стійкість того тіла яке має велику кількість точок опори?

5.Які заходи сприяють збільшенню механічної стійкості тіла?

6.Вантажний автомобіль перевозить вантажі однакової маси: в одному випадку – залізобетонні блоки, в іншому – дрова. В якому випадку автомобіль буде стійкішим?

7.В якій рівновазі буде перебувати куля на горизонтальній площині, якщо одна половина кулі дерев’яна, а інша – свинцева?

 

§33. Статика. Узагальнююче повторення.

 

         Статика – це розділ механіки в якому вивчають параметри, закономірності та причини механічної рівноваги тіл. Механічною рівновагою тіла називають такий механічний стан тіла, при якому воно під дією системи зовнішніх сил знаходиться в стані механічного спокою (v=0; ω=0). Основними фізичними величинами статики є сила та момент сили.

Сила – це фізична величина, яка характеризує силову дію одного тіла на інше (є мірою взаємодії фізичних об’єктів) і яка дорівнює добутку маси тіла на величину того прискорення яке воно отримує під дією даної сили.

Позначається:  F

Визначальне рівняння:  F=ma

Одиниця вимірювання:  [F]=H,   ньютон.

Момент сили – це фізична величина, яка характеризує обертальну дію сили (пари сил) і яка дорівнює добутку цієї сили F на плече її дії d.

Позначається: М

Визначальне рівняння: М=F∙d

Одиниця вимірювання:  [М] = Н∙м,   ньютон-метр.

До числа основних сил статики і механіки загалом, відносяться:

-сила інерції              Fi = -ma

-сила тяжіння           Fт = mg

-реакція опори         N

-вага                            P = – N

-сила пружності       Fпр = k(Δ)

-сила тертя                Fтер = µN

-гравітаційна сила   Fгр = Gm1m2/ℓ2

-сила Архімеда          FA= ρVg

Сила інерції  – це та сила, поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і яка завжди протидіє появі та зростанню цього прискорення.

Позначається: Fі

Визначальне рівняння:     Fі =  – ma

  Одиниця вимірювання:   [Fі] = Н

Сила тяжіння – це та сила,  з якою тіла притягуються до Землі і яка дорівнює добутку маси тіла на прискорення його вільного падіння.

Позначається:  Fт

Визначальне рівняння:  Fт= mg

Одиниця вимірювання:  [Fт]= H .

Реакція опори – це та сила, з якою опора діє на тіло.

Позначається:  N

Визначальне рівняння:  визначається з умов конкретної задачі.

Одиниця вимірювання:  [N]=H .

Вага – це та сила з якою тіло діє на опору.

Позначається: Р

Визначальне рівняння: Р = – N,  де N – реакція опори

Одиниця вимірювання: [P] = H,       ньютон.

Сила пружності – це та внутрішня сила, яка виникає в пружно деформованому тілі і яка завжди протидіє появі та зростанню цієї деформації.

Позначається:  Fпр

Визначальне рівняння:  Fпр = -k∆

Одиниця вимірювання:  [Fпр] =H

Сила тертя (сила тертя ковзання) – це та сила, з якою поверхні взаємодіючих твердих тіл протидіють їх взаємному поступальному (ковзальному) переміщенню, або можливості такого переміщення.

Позначається:  Fтер

Визначальне рівняння:  Fтер =µN

Одиниця вимірювання: [Fтер] = Н

Сила гравітаційної взаємодії (гравітаційна сила) – це та сила, з якою тіла взаємодіють згідно з законом всесвітнього тяжіння.

Позначається:  Fгр

Визначальне рівняння:  Fгр =Gm1m2/r2

Одиниця вимірювання: [Fгр]=H.

         Сила Архімеда – це та сила, з якою тіла виштовхуються з рідин та газів і яка дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини або газу.

Позначається: Fa

Визначальне рівняння:  Fa=ρVg ,

Одиниця вимірювання: [Fa] = H.

Основний закон статики називається загальною умовою рівноваги тіла. В цьому законі стверджується: тіло буде знаходитись в стані загальної механічної рівноваги (v=0; ω=0) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та моментів цих сил дорівнюють нулю. Іншими словами:  якщо {∑F =0; ∑M=0} то {v = 0; ω=0} і навпаки.

Для тіл які знаходяться під дією збіжної системи сил (для матеріальних точок) умова рівноваги набуває вигляду: якщо ∑F=0, то v=0. Для тіл які мають нерухому вісь обертання, умова рівноваги набуває вигляду: якщо ∑М=0, то ω=0.

На практиці (при розв’язуванні задач), вектор сили (F) тобто тієї величини яка характеризується модулем (F) та кутовою орієнтацією (α), розкладають на дві по суті скалярні величини: проекції даного вектора на осі системи координат (Fx=Fcosα; Fy=Fsinα). При цьому, для плоскої системи сил умова рівноваги тіла набуває вигляду:

·                                                 ∑Fx = 0

·                                                 ∑Fy = 0

·                                                 ∑M = 0

З формальної точки зору, ті ситуації в яких тіло рухається з певним прискоренням не є предметом вивчення статики. Однак з практичної точки зору, ситуація при якій тіло знаходиться в стані механічної рівноваги (v=0 або v=const), відрізняється від ситуації при якій воно рухається з певним прискоренням (a=const) лише тим, що в другому випадку на це тіло, окрім системи зовнішніх сил діє ще одна сила – сила інерції Fi = -mа.

Про тіло (матеріальну точку) яке під дією системи зовнішніх сил та сили інерції знаходиться в стані рівноприскореного руху (а=соnst) говорять, що воно перебуває в стані динамічної рівноваги. Цей стан характеризує закон, який називається умовою динамічної рівноваги тіла. В цьому законі стверджується: тіло (матеріальна точка) буде знаходитись в стані динамічної рівноваги (а =const) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та сили інерції дорівнює нулю. Іншими словами: якщо    а =const,    то     Σ F + Fi = 0 і навпаки.

Алгоритм розв’язку тих задач в яких тіло знаходиться як в стані механічної рівноваги (v=0 або v=const), так і в стані динамічної рівноваги (a=const) є однаковим. І цей алгоритм полягає в наступному.

1.Уважно прочитати умову задачі.

2. Зробити стислий запис цієї умови.

3. Обовязково виконати малюнок, на якому чітко вказати всі діючі на задане тіло сили та напрямки цих сил (ці напрямки визначаються відповідними кутами).

4. Оптимальним чином задати систему координат. Оптимальним в тому сенсі, що бодай одна з осей системи координат, має співпадати з напрямком невідомої сили.

5.Записати умову рівноваги даного тіла, тобто систему рівнянь

·                                                 ∑Fx = 0

·                                                 ∑Fy = 0

·                                                 ∑M = 0

6. Розв’язавши цю систему, визначити невідомі величини.

Однією з різновидностей механічного руху тіла є його механічна деформація. А оскільки під дією деформуючої сили та виникаючої в тілі сили пружності, пружно деформоване тіло фактично перебуває в стані механічної рівноваги, то параметри, закономірності та причини цієї рівноваги зазвичай вивчають в статиці. До числа тих фізичних величин які характеризують параметри пружно деформованого тіла відносяться:

-абсолютна деформація тіла    Δℓ = ℓ -ℓ0       (м)

-відносна деформація тіла        ɛ = Δℓ/ℓ0         (м)

-сила пружності                           Fпр = – k(Δ)   (Н)

-жорсткість тіла                            k = F/Δℓ         (Н/м)

-механічна напруга                    σ = Fпр/S         (Па)

-модуль пружності тіла              E = σ/ɛ            (Па) .

Основним законом механіки пружно деформованого тіла є закон Гука. Цей закон має два по суті тотожних формулювання.

Закон Гука (перше формулювання) – це закон, в якому стверджується: при пружних деформаціях тіла, величина його абсолютної деформації (∆ℓ) пропорційна величині діючої на нього деформуючої сили (F): ∆ℓ=F/k .

Закон Гука (друге формулювання) – це закон, в якому стверджується: при пружних деформаціях тіла, величина виникаючої в ньому механічної напруги (σ) пропорційна його відносній деформації (ε):  σ=Еε .

Недоліком першого формулювання закону Гука є факт того, що ті величини які фігурують в цьому формулюванні (Δℓ; F=Fпр ) не в повній мірі об’єктивності характеризують як ступінь деформованості тіла так і його внутрішній механічний стан. Натомість ті величини які фігурують в другому формулюванні закону Гука (ɛ=Δℓ/ℓ ; σ=Fпр/S ) характеризують ті ж параметри більш повно та об’єктивно. Зважаючи на ці обставини, а також на факт того, що пружні властивості матеріалу тіла характеризують табличною величиною яка називається модулем пружності (Е), в сучасній науці та інженерній практиці закон Гука прийнято формулювати у вигляді  σ=Еɛ.

 

 

Подобається