Тема 1.1

                      КІНЕМАТИКА

 

   Розділ 1. Механіка

§4. Механіка. Загальні відомості.                                                                    24

         Тема 1.1. Кінематика.

§5. Кінематика. Основні поняття кінематики.                                             29

§6. Основні фізичні величини кінематики                                                   38

§7. Загальні відомості щодо методики розв’язування

задач фізики.                                                                                                        45

§8. Розв’язування задач. Тема: Визначення середньої

швидкості руху тіла                                                                                            50

§9. Прискорення та його різновидності.                                                      54

§10. Рівняння руху – основний закон кінематики.                                     59

§11. Розв’язування задач. Тема: Практичне застосування

рівняння руху.                                                                                                     65

§12. Вільне падіння тіл. Прискорення вільного падіння.                         70

§13. Розв’язування задач. Тема: Вільне падіння тіл.

Рух тіла кинутого вертикально.                                                                      75

§14. Рух тіла кинутого горизонтально, та під кутом до горизонту.       78

§15. Про графічний метод розв’язування задач кінематики.                 82

§16. Основні поняття, величини та закони кінематики

обертального руху.                                                                                            88

§17. Кінематика. Узагальнююче повторення.                                            96

 

         Розділ I .  Механіка.

 

§4. Механіка. Загальні відомості.

 

       Основи сучасної фізики загалом і механіки зокрема, заклав видатний італійський вчений Галілео Галілей (1564-1642). Галілео зробив багато визначних відкриттів: сформулював закон інерції  і закон вільного падіння тіл, закон руху тіла по похилій площині та тіла кинутого під кутом до горизонту.      Він сформулював принцип відносності і висловив ідею про  кінечність швидкості світла. Галілей побудував перший телескоп і перший термометр,  відкрив гори на Місяці і плями на Сонці. Але основним, неоціненим досягненням Галілея було те, що він запровадив в наукову практику такий метод дослідження природи, який дозволяв отримувати гарантовано достовірні результати. Сьогодні цей метод називають  фізичним методом досліджень.

Фізичний метод досліджень – це такий метод отримання достовірних знань, при якому вибір правильних теорій здійснюється на основі експериментальної перевірки тих передбачень, які випливають з відповідної теорії. Це означає, що для перевірки правильності тієї чи іншої теорії (точніше гіпотези), необхідно на основі цієї теорії, зробити логічно обгрунтовані передбачення і перевірити їх на практиці. При цьому, якщо передбачення справджуються, значить теорія правильна, а якщо не справджуються – не правильна.

Сьогодні кожен вчений знає, якщо результати експериментів не співпадають з передбаченнями теорії, значить теорія хибна. При цьому немає значення, хто автор теорії. Наскільки він відомий, розумний і авторитетний. Немає значення, подобається вам ця теорія, чи не подобається. Розумієте ви її, чи не розумієте. Якщо результати експериментів не співпадають з передбаченнями теорії, значить теорія  не правильна. От і все.

Звичайно, експерименти мають бути достовірними і такими, що враховують всі суттєві обставини. Адже, якщо, наприклад, на основі того факту, що важкий камінь падає швидше за легку пір’їну, ви почнете заперечувати те, що всі тіла падають однаково швидко, то в своїх запереченнях ви будете спиратись на результати неправильно поставленого експерименту. Неправильного в тому сенсі, що при його проведенні ви не врахували суттєво важливу обставину – гальмуючу дію навколишнього повітря.

Спираючись на науковий спадок Галілея, видатний англійський фізик Ісаак Ньютон (1642-1727) створив першу наукову теорію, яку прийнято називати  механікою, або ньютонівською механікою   (від грецького  mechanike –  наука про машини).

Подивіться навколо себе і ви побачите величезне різноманіття великих і малих, твердих і рідких, живих і неживих, одним словом різноманітних об’єктів, які так чи інакше рухаються або  не рухаються, тобто рухаються з  нулевою швидкістю. Аналізуючи ці рухи і розмірковуючи над їх параметрами та причинами, ви починаєте вивчати механіку.

Механіку люди вивчали та застосовували з незапам’ятних часів. Достатньо згадати шедеври стародавніх культур, які називаються дивами світу (піраміда Хеопса, Колос Родоський, Олександрійський маяк, храм Артеміди, статуя Зевса в Олімпії, висячі сади Семіраміди, мавзолей в Галікарнасі)  і створення яких було неможливим без розуміння певних законів механіки та застосування їх на практиці. Але люди створювали не лише “дива”, а й будували будинки, храми, фортеці, замки, мости. Будували кораблі, створювали різноманітні види військової та цивільної техніки. І все це, передбачало певний рівень знань законів механіки.

Значний внесок в розвиток та становлення механіки як науки зробили Аристотель, Архімед, Птоломей, Леонардо-да-Вінчі, Коперник, Кеплер, Галілей.   Але тільки Ньютон перетворив механіку на сучасну наукову теорію, тобто цілісну систему достовірних знань, яка не лише описувала та пояснювала механічні явища, а й дозволяла робити точні кількісні прогнози.

Визначаючи термін “механіка” можна сказати наступне. Механіка – це розділ фізики, в якому вивчають параметри, закономірності та причини механічного руху тіл в усіх його проявах. Іншими словами, механіка – це наука  про механічний рух.

Коли ми говоримо про механічний рух, то маємо на увазі такий процес (рух) при якому тіло, як єдине ціле, або певні цілісні фрагменти цього тіла,  переміщуються відносно інших тіл. Човен  пливе, автомобіль іде, вода тече , Земля обертається, колесо крутиться, газ розширюється, яблуко падає, собака біжить, дерево хитається, м’яч  стрибає, стержень деформується – все це конкретні приклади  механічного руху тих чи інших фізичних об’єктів (тіл).         Потрібно зауважити, що однією з різновидностей механічного руху є такий рух, швидкість якого дорівнює нулю (v=0). Цю різновидність руху називають механічним спокоєм. Крім цього, різновидністю механічного руху тіла є його механічна деформація, тобто та чи інша зміна форми (розмірів) тіла, що відбувається під дією певної сили. А це означає, що в механіці вивчають не лише параметри, закономірності та причини власне самого механічного руху (спокою) тіла, а й параметри, закономірності та причини всіх видів його механічної деформації.

Коли ми говоримо про тіла, то маємо на увазі такі фізичні об’єкти, механічна поведінка яких практично не залежить від руху молекул навколишнього середовища. Дрібна пісчинка і масивний камінь, вода в склянці і сама склянка, і стіл  на якому вона стоїть і будинок, в якому вони знаходяться, і планета, на якій ми всі живемо, все це приклади конкретних фізичних тіл.

   Як правило, в механіці не вивчається глибинна суть тих процесів, результатом яких є механічний рух тіла. Наприклад, вивчаючи механіку, ми не будемо цікавитись тим, чому деформована пружина штовхає тіло? Чому повітряно-бензинова суміш в процесі згорання штовхає поршень двигуна? В чому причина появи сили тертя, сили опору повітря, сили пружності, сили тяги автомобіля, м’язової сили людини, тощо. В механіці просто констатується той факт, що причиною зміни швидкості руху тіла і причиною його пружної деформації є певна механічна дія на це тіло іншого фізичного об’єкту, і що мірою цієї дії є фізична величина, яка називається силою.

Теоретичну основу механіки складають принцип відносності, три закони Ньютона та закон всесвітнього тяжіння. Це означає, що на базі цих законів, можна кількісно пояснити практично все різноманіття механічних явищ. Але це не означає, що в механіці не діють і не мають широкого застосування інші закони. Просто ці закони, як-то закон збереження механічної енергії, закон збереження імпульсу, умова рівноваги тіла, рівняння руху, закон Бернуллі, тощо, – так чи інакше випливають із законів Ньютона та визначальних рівнянь відповідних фізичних величин. Щоправда, в механіці є і такі закони, які не є прямими наслідками законів Ньютона. Скажімо, закон Гука не є похідним ані від законів Ньютона, ані від закону всесвітнього тяжіння.

Сучасна Ньютонівська механіка дозволяє пояснити надзвичайно широкий спектр явищ і не лише механічних. Наприклад, на її основі можна пояснити теплові і звукові явища, різноманітні властивості твердих, рідких і газоподібних тіл. Ця механіка дозволяє точно передбачити механічну поведінку як простих тіл, так і їх складних систем, починаючи від дрібної пісчинка і закінчуючи гігантськими зірковими системами, від простого футбольного м’яча до складного автомобіля, від підводного човна до космічного корабля.

Але ньютонівська механіка не є тією теорією, яка дозволяє пояснити все. Наприклад, вона не може пояснити електричні, магнітні, оптичні та ядерні явища. Пояснити хімічні властивості речовин, будову атомів і молекул, властивості елементарних частинок, тощо. Іншими словами, ньютонівська механіка має певні межі свого застосування і певні межі своєї достовірності. При цьому, ці межі визначаються не лише рамками визначення “ механіка – це наука про механічний рух тіл”, а й тим, що параметри цього руху, параметри простору, часу та самих тіл, певним чином залежать від багатьох факторів, зокрема – від швидкості руху тієї системи відліку в якій описується відповідний рух. Тому, наприклад, при швидкостях близьких до швидкості світла (300 000 км/с), закони ньютонівської механіки, а разом з ними і наші уявлення про навколишній світ, потребують певного суттєвого уточнення.

Та як би там не було, а ньютонівська механіка була і залишається однією з основ сучасної науки. І якщо сьогодні ми говоримо про існування нових, більш точних наукових теорій, зокрема квантової механіки і теорії відносності, то ви маєте знати,  що ці нові теорії не “відміняють”  ньютонівську механіку, а лише доповнюють та уточнюють її, розширюючи тим самим її можливості.

Намагаючись певним чином систематизувати процес вивчення механіки ми умовно розділимо її на три базові теми:

1.Кінематика

2. Статика

3. Динаміка

При цьому ви маєте  знати, що в рамках цих тем ми будемо вивчати лише основи механіки. Адже насправді, сучасна механіка це надзвичайно ємка та багатогранна наука, складовими частинами якої, окрім кінематики, статики і динаміки є механіка періодичних  процесів, механіка рідин і газів, механіка тіл змінної маси, теорія пружності і теорія пластичності, теорія коливань і теорія стійкості, теорія гіроскопів,  теорія ударів, тощо. Крім цього, прикладними розділами механіки є безліч технічних дисциплін: технічна механіка, деталі машин та механізмів, опір матеріалів (сопромат), підіймально-транспортні механізми, тощо.

 

Словник фізичних термінів.

          Механіка (ньютонівська механіка) – це розділ фізики, в якому вивчають параметри,  закономірності та причини механічного  руху тіл в усіх його проявах, за умови, що швидкість цього руху значно менша за швидкість світла в вакуумі (300 000 км/с). Теоретичною основою механіки є принцип відносності, три закони Ньютона та закон всесвітнього тяжіння.

Контрольні запитання.

1. Хто заклав основи сучасної науки? В чому суть цих основ?

2. Хто перетворив механіку на цілісну наукову теорію? Що лежить в основі цієї теорії?

3. Що є предметом вивчення механіки?

4. Що називають механічним рухом?

5. Чи є механічний спокій різновидністю механічного руху?

6. Чи є механічна деформація тіла, механічним рухом цього тіла?

7. Які фізичні об’єкти називають тілами?

8. Чи є ньютонівська механіка наукою, яка може пояснити все?

9.Що може і чого не може пояснити ньютонівська механіка?

 

 

Тема 1.1.   Кінематика.

 

§5. Кінематика. Основні поняття кінематики.

 

Слово “ кінематика” в перекладі з грецької означає “рух” (від грецького  “kinematos” – рух). Кінематика – це розділ механіки, в якому вивчають параметри та закономірності  механічного руху тіл, без врахування їх  мас та діючих на них сил. Іншими словами, в кінематиці вивчають параметри та закономірності механічного руху і не вивчають причини цього руху, а також не враховують фізичні властивості рухомого тіла.

До числа основних понять кінематики, тобто тих загальних термінів суть яких потрібно знати, відносяться: механічний рух, поступальний рух, обертальний рух, матеріальна точка, абсолютно тверде тіло, відносність руху, система відліку, траєкторія.

     Механічний рух –  це такий рух (процес), при якому тіло як єдине ціле, або певні цілісні фрагменти цього тіла, переміщується відносно інших тіл. Розрізняють дві прості різновидності механічного руху: поступальний та обертальний. Поступальний рух – це такий механічний рух, при якому будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі. Наприклад, якщо книга рухається поверхнею стола таким чином, що будь яка з її бічних сторін залишається паралельними самі собі, то рух книги є поступальним (мал.5). Він буде поступальним навіть тоді, коли книга рухається по колу, або будь-якій  іншій складній  кривій. Якщо  в процесі руху будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі, то це тіло рухається поступально.

 

Мал.5. При поступальному русі, будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі..

Характерною та практично важливою особливістю поступального руху тіла є факт того, що при такому русі, всі точки тіла рухаються однаково. Однаково в тому сенсі, що мають однакові траєкторії руху, за однакові проміжки часу проходять однакові відстані, мають однакові миттєві і середні швидкості, однакові прискорення, тощо. А це означає, що описуючи поступальний рух тіла, нема потреби описувати рух кожної його окремої точки. Достатньо охарактеризувати рух будь-якої з цих точок, наприклад, центру маси тіла. Зважаючи на ці обставини, описуючи поступальний рух тіла, це тіло зазвичай замінюють його спрощеною (ідеалізованою) моделлю, яку прийняти називати матеріальною точкою.

Матеріальна точка, це така умовна точка, якою теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли розмірами, формою та внутрішнім устроєм цього тіла можна знехтувати. Матеріальна точка зберігає лише одну механічну характеристику реального тіла – його масу. При цьому положення матеріальної точки практично завжди співпадає з положенням центру мас відповідного тіла. Представляючи реальне тіло у вигляді матеріальної точки, ми абстрагуємося від несуттєвих в умовах даної задачі характеристик тіла і зосереджуємо свою увагу на його суттєво важливих характеристиках. В кінематиці такими характеристиками є час руху, траєкторія руху, швидкість руху, прискорення, пройдений шлях, тощо.

Потрібно підкреслити, що визначаючись з тим, можна чи не можна дане тіло вважати матеріальною точкою, в першу чергу враховують не реальні розміри тіла, а характер його руху та характер тих запитань які поставлені в даній задачі. Наприклад, якщо книга поступально рухається поверхнею стола і ми говоримо про швидкість її руху, її прискорення, пройдений шлях, то цю книгу можна  вважати матеріальною точкою. Адже при поступальному русі всі точки книги проходять однаковий шлях, рухаються з однаковими швидкостями та з однаковими прискореннями. Якщо ж описуючи положення      книги, ми говоримо про її координати, то скоріш за все цю книгу  не можна вважати матеріальною точкою. Адже в масштабах стола, різні точки мають суттєво різні координати. Та як би там не було, а зазвичай в кінематиці поступального руху, тіла представляють у вигляді відповідних матеріальних точок.

Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання. Наприклад, обертально рухаються стрілка годинника, колесо автомобіля, двері класної кімнати, – звичайно за умови, що годинник “іде”, колесо крутиться, двері відчиняються.

  

Мал.6. При обертальному русі, всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій (осі обертання).

При обертальному русі різновіддалені від осі обертання точки тіла, рухаються суттєво по-різному: мають різні траєкторії руху, різні пройдені шляхи, різні лінійні швидкості, різні прискорення, тощо. А це означає, що обертальний рух тіла не можна описати, охарактеризувавши рух його однієї точки. Описуючи обертальний рух тіла, це тіло зазвичай представляти у вигляді так званого абсолютно твердого тіла. Абсолютно тверде тіло, це таке умовне тіло, яким теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли його механічними деформаціями можна знехтувати.

В загальному випадку механічний рух тіла представляє собою певну комбінацію поступального і обертального рухів. Наприклад, коли ви кидаєте камінь, або  б’єте футбольного м’яча, то скоріш за все рухи цих тіл будуть поступально-обертальними. Або, наприклад, якщо автомобіль їде  прямолінійною дорогою, то його корпус рухається поступально, колеса –   поступально-обертально, а рух поршнів двигуна є певною комбінацією двох поступальних рухів. Якщо ж рельєф дороги складний,  то всі ці руху стають набагато складнішими. Але яким би складним не був механічний рух тіла, його завжди можна представити як певну комбінацію двох простих рухів: поступального і обертального. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності поступального і обертального руху можна описати та спрогнозувати будь-який найскладніший механічний рух.

 

Мал.7 В загальному випадку рух тіла є поступально-обертальним.

Зважаючи на ці обставини та реалізуючи базовий методологічний принцип науки – від простого до складного, від часткового до загального,  кінематику розділяють на дві частини  кінематика поступального та кінематика обертального руху.  І потрібно зауважити, що у відповідності з програмою загальноосвітньої школи, левову частину уваги та часу ми приділимо вивченню кінематики поступального руху тіла.

Напевно ви чули про те, що будь-який механічний рух є відносним. Факт цієї відносності закарбовано в самому визначені  механічного руху. Механічний рух, це такий рух при якому тіло переміщується відносно інших тіл. Автомобіль рухається відносно дороги. Поршень автомобільного двигуна рухається як відносно двигуна так і відносно тієї дороги якою їде автомобіль. Дорога разом з Землею рухається відносно Сонця, разом з Сонячною системою – відносно центру Галактики і т.д. При цьому рух поршня відносно двигуна автомобіля, суттєво відрізняється від руху того ж поршня відносно дороги.

По суті, твердження про те, що механічний рух є відносним означає, що різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж об’єкту можуть бачити суттєво різні рухи. Дійсно. Уявіть собі велосипед, який з певною постійною швидкістю рухається прямолінійною дорогою. Уявіть також, що за певним елементом цього велосипеда, наприклад, за штуцером колеса (мал.8) спостерігають три спостерігачі. При цьому перший сидить на рамі велосипеда, другий – на землі, а третій – на самому колесі.

Кожен із спостерігачів дивиться на один і  той же об’єкт (штуцер колеса) та описує його поведінку. Аналізуючи побачене, перший буде стверджувати, що штуцер рухається по колу. Другий, буде запевняти, що штуцер рухається певною кривою, яку прийнято називати циклоїдою. Третій же буде наполягати на тому, що штуцер не рухається. І як це не дивно, але кожен з спостерігачів абсолютно правий. Адже відносно рами велосипеда штуцер дійсно рухається по колу, відносно дороги – по циклоїді, а відносно елементів колеса – не рухається взагалі.

 

Мал.8 Різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж об’єкту бачать суттєво різні рухи.

Із вище сказаного ясно, що описуючи механічний рух тіла, необхідно чітко вказати, в якій системі відліку описується цей рух. Адже в різних системах відліку один і той же рух може виглядати по різному. Тому, наприклад, якщо не вказати ту систему відліку в якій описується рух штуцера, то можна як завгодно довго та як завгодно запекло сперечатись відносно того, як рухається штуцер – по колу, по циклоїді чи якось інакше. І кінця краю цій суперечці не буде.

Звичайно, якщо в тому чи іншому контексті, або в умові тієї чи іншої задачі не вказана система відліку, то скоріш за все, це означає що цією системою є та, що жорстко з’єднана з умовно нерухомою землею. Наприклад, коли ми говоримо, що будинок не рухається, то маємо на увазі що він не рухається відносно землі. Або, якщо ми стверджуємо, що автомобіль рухається з швидкістю 90 км/год, то скоріш за все маємо на увазі його швидкість відносно дороги. При цьому відносно іншого автомобіля ця швидкість може бути іншою.

Говорячи про систему відліку мають на увазі взаємопов’язану сукупність (систему) двох складових: системи координат та вимірювача часу (годинник, секундомір, тощо). Ця сукупність дозволяє однозначно описати просторово-часові параметри руху тіла. Це означає, що система відліку не лише визначає “адресу” (координати) рухомої точки, а й вказує на те в який момент часу ця “адреса”  зафіксована.

Система відліку – це взаємопов’язана сукупність системи координат та вимірювача часу, яка застосовується для того, щоб кількісно описати механічний рух матеріальної точки (тіла) в цій системі.

Система координат – це взаємопов’язана сукупність точки відліку та осей системи координат, яка застосовується для того щоб кількісно описати положення (розташування, місцезнаходження) матеріальної точки в цій системі.

Точка відліку – це така умовно нерухома точка,  яка є центром (нулевою точкою)  відповідної системи координат.

Задати систему координат означає: 1) вказати точку відліку даної системи; 2) задати просторову орієнтацію осей координат системи; 3) на кожній осі координат вказати масштаб вимірювань.

Мал.9 Системи відліку, це сукупність системи координат та вимірювача часу.

Розташування (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат, однозначно визначається її координатами. При цьому, якщо мова йде про одновимірну (лінійну) систему координат (мал.9а), то в ній місцезнаходження матеріальної точки характеризується однією координатою М(х). В двовимірній (плоскій) системі координат (мал.9б), розташування точки характеризується двома координатами М(х;y), а в тривимірній (об’ємній, мал. 8в) – трьома М(х;y;z).

Потрібно зауважити, що координата, це не просто число яке визначає положення матеріальної точки в вибраній системі координат. Координата, це величина яка дорівнює відстані від точки відліку заданої системи координат до проекції даної точки на відповідну вісь координат. Наприклад, в зображеній на мал.10а лінійній системі координат, автобус має координату (300), а вантажний автомобіль (-100). Це означає, що відносно точки відліку системи координат, автобус знаходиться на відстані 300м в додатному напрямку, а автомобіль – на відстані -100м в від’ємному напрямку. Або наприклад, в зображеній на мал.10б плоскій системі координат, точка А має координати А(5;3). Це означає, що для потрапляння в точку А потрібно пройти 5м вздовж додатного напрямку осі х, а потім пройти 3м вздовж додатного напрямку осі y

Мал.10 Координата точки дорівнює відстані від точки відліку системи координат до даної точки, виміряній вздовж відповідної осі системи координат.

Лінію яку описує матеріальна точка в процесі свого руху в вибраній системі відліку називають траєкторією. В різних системах відліку траєкторія руху однієї і тієї ж матеріальної точки може бути суттєво різною. Наприклад, в системі відліку пов’язаною з землею, траєкторією руху велосипедного штуцера (мал.8) є сукупність послідовних циклоїд. В системі ж відліку пов’язаною з рамою велосипеда, цієї траєкторією буде сукупність співпадаючих кіл. А в системі відліку пов’язаній з колесом велосипеда – нерухома точка.

За формою траєкторії, механічні рухи поділяються на прямолінійні та криволінійні. Прямолінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою пряму лінію.  Криволінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою криву лінію. Наприклад рух вертикально падаючого тіла (мал.11б) є прямолінійним, а рух тіла кинутого під кутом до горизонту (мал.11г) – криволінійним. Криволінійним є і рух тіла кинутого вертикально вгору (мал.11в). Його криволінійність полягає в тому, що відповідна траєкторія представляє собою ламану яка складається з двох прямолінійних відрізків.

Мал.11. За формою траєкторії, поступальні рухи поділяються на прямолінійні (б) та криволінійні (в; г)

Та якою б криволінійною не була траєкторія руху тіла, її завжди можна представити як певну сукупність послідовних прямолінійних відрізків. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності прямолінійного руху матеріальної точки, можна описати будь-який криволінійний рух. Виходячи з  цього, вивченню параметрів та закономірностей прямолінійного руху ми будемо приділяти особливу увагу.

На завершення додамо, що кінематика, це один з найскладніших розділів не лише механіки, а й фізики загалом. Він складний по-перше  тому, що саме в кінематиці ви зробите перші серйозні кроки як на шляху вивчення теоретичного матеріалу, так і на шляху застосування цього матеріалу на практиці, якою по суті є розв’язування задач. А як відомо, перші кроки завжди найважчі.

По-друге, кінематика це дійсно складна наука. Достатньо сказати, що вивчаючи наприклад статику, ви будете мати справу лише з двома фізичними величинами – сила і момент сили. В кінематиці ж таких величин щонайменше дев’ять: час, координата, пройдений шлях, швидкість, прискорення, кут, кут повороту, кутова швидкість, кутове прискорення. Тому, починаючи вивчення кінематики ви маєте налаштуватись на серйозну клопітку роботу, яка можливо не відразу принесе бажані результати. Але, якщо ви будете наполегливими, то ці результати обов’язково прийдуть.

 

Словник фізичних термінів.

Кінематика – це розділ механіки, в якому вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл, без врахування їх мас і діючих на них сил.

Механічний рух – це такий рух (процес), при якому тіло як єдине ціле, або певні цілісні фрагменти цього тіла, переміщується відносно інших тіл.

Поступальний рух – це такий механічний рух, при якому будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі.

Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання.

Матеріальна точка – це така умовна точка, якою теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли розмірами, формою та внутрішнім устроєм цього тіла можна знехтувати. Матеріальна точка зберігає лише одну динамічну характеристику реального тіла – його масу.

Абсолютно тверде тіло – це таке умовне тіло, яким теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли його механічними деформаціями можна знехтувати.

Відносність руху полягає в тому, що різні спостерігачі спостерігаючи за рухом одного і того ж об’єкту  можуть бачити суттєво різні рухи.

Система відліку – це взаємопов’язана сукупність системи координат та вимірювача часу, яка застосовується для того щоб кількісно описати механічний рух матеріальної точки (тіла) в цій системі.

Система координат – це взаємопов’язана сукупність точки відліку та осей системи координат, яка застосовується для того щоб кількісно описати положення (розташування, місцезнаходження) матеріальної точки в цій системі.

Траєкторія – це умовна лінія яку описує матеріальна точка в процесі свого руху в вибраній системі координат.

Прямолінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки траєкторія якого представляє собою пряму лінію.

Криволінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою криву лінію.

Контрольні запитання.

1.Який рух називають поступальним? Яка характерна особливість цього руху?

2. Який рух називають обертальним? Наведіть приклади такого руху.

3. Які критерії є визначальними при з’ясуванні того, можна чи не можна вважати дане тіло матеріальною точкою?

4. Чи можна вважати м’яч матеріальною точкою:

а) описуючи його поступальний рух по футбольному полю?

б) описуючи його обертальний рух відносно власної осі обертання ?

в) визначаючи   об’єм   м’яча?

г) визначаючи його координати на футбольному полі?

5. Що означає твердження: “механічний рух є відносним”?

6. Чим система відліку відрізняється від системи координат? Яка з цих систем є більш загальною?

7. Траєкторії руху двох тіл перетинаються. Чи означає це що тіла зіштовхуються? Поясніть.

Вправа 1.

1.Задайте плоску прямокутну систему координат і побудуйте в ній точки з координатами А(20;20); В(-20;40); С(20;0); Д(10;-30); К(0;20); М(-10;-20);    N(0;0); Р(30;-25).

2. Задайте лінійну систему координат і побудуйте в ній точки з координатами: А(200); В(-150);  С(50);  Д(250);  К(-50);  М(0);  N(100).

3. На малюнку зображено план футбольного поля. Визначте координати кутових прапорців (А,В,С,Д), м’яча (М) і футболістів (Е,К, L, P,N) в системі відліку  а) хоу ; б) х′о′у′.

 

4. Човен пливе перпендикулярно лінії берегів річки. Намалюйте приблизний вигляд

траєкторії руху човна відносно: а) берегів річки; б) плоту, що пливе за течією; в) іншого човна, що пливе поруч.

5. Пасажир потягу, що рухається з постійною швидкістю, підкидає вертикально вгору яблуко і ловить його. Намалюйте траєкторію руху яблука відносно: а) пасажира який сидить поруч; б) людини, яка стоїть на пероні вокзалу.

 

§6. Основні фізичні величини кінематики.

 

До числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час (t), координата (x), пройдений шлях (s) швидкість (v), прискорення (a).

              Час  – це фізична величина,  яка характеризує  тривалість подій (явищ, процесів, рухів, тощо) і яка дорівнює цій тривалості.

 Позначається:  t

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:   [t] = с, (секунда)

Твердження про те, що час немає визначального рівняння по суті означає, що час відноситься до числа тих базових фізичних величин одиниці вимірювання яких за домовленістю прийнято вважати основними. В механіці такими базовими величинами є час  (t), довжина (ℓ) і маса (m).

Зважаючи на те, що координати та пройдений шлях, а за одно і переміщення, висота, ширина, товщина, діаметр,  радіус, периметр, діагональ, тощо, є різновидностями тієї  фізичної величини яка називається довжина, визначимо цю величину.

         Довжина – це фізична величина, яка характеризує відстань між двома точками, виміряну вздовж певної лінії і яка дорівнює цій відстані.

 Позначається:  ℓ

Визначальне рівняння: нема

Одиниця вимірювання: [ ℓ ] = м.

Координата – це фізична величина, яка характеризує положення (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат і яка дорівнює відстані від  точки відліку цієї системи до проекції даної точки на відповідну вісь координат.

Позначається: х

Визначальне рівняння: х =ℓх

Одиниця вимірювання: [х] = м, (метр)

Пройдений  шлях – це фізична величина, яка характеризує пройдений матеріальною точкою (тілом) шлях і яка дорівнює довжині тієї траєкторії яку описує ця точка в процесі відповідного руху.

 Позначається:  s

Визначальне рівняння:   s = ℓтр

Одиниця вимірювання: [s]  = м

Реалізуючи базовий методологічний принцип науки – від простого до складного, від часткового до загального, та зважаючи на факт того, що будь який криволінійний рух можна представити як певну сукупність прямолінійних рухів, ми перш за все будемо вивчати кінематику прямолінійного руху. А в цій кінематиці, рівняння s = ℓтр набуває вигляду s = ∆х,  де ∆х = хк– хп.

 Зауваження. В науці  загалом і в фізиці зокрема, символом ∆ – дельта (∆х, ∆t, ∆v, ∆m  і т.д.) позначають різницю між кінцевим та початковим значенням відповідних величин:

∆х = хк – хп

∆t = tк – tп

∆v = vк – vп

∆m = mк – mп  і т.д.

Ілюструючи можливості та межі застосуванні формули s=∆х, розглянемо декілька простих ситуацій. Припустимо, що в заданій системі відліку точки А і В мають координати А(-300); В(200).  Виходячи з цього визначимо пройдений тілом шлях при його переміщенні: a) з точки А в точку В; б) з точки В в точку А; в) з точки А в точку В, а потім знову в точку А.

·    А                                                                                              В

—-♦——————————————-♦——————————♦———> х

– 300                                                   0                                   200

Із аналізу малюнка ясно, що при переміщенні    А →  В пройдений тілом шлях становить  s1 = 500  м, при переміщенні    В → А : s2 = 500  м,  при переміщенні А → В → А :   s3 = 500  + 500= 1000 м.

Тепер, застосуємо формулу s = ∆х   та отримаємо відповідні результати так би мовити теоретичним шляхом:

s1 = ∆x= хк– хп = (200) – (-300) = 500 м

s2 = ∆x= хк– хп = (-300) – (-200) = -500 м

s3 = ∆x= хк– хп = (-300) – (-300) = 0 м

Не важко бачити, що останній результат явно суперечить реальному стану речей. Це пояснюється тим, що рух тіла за маршрутом  А→В→А є криволінійним. І тому пройдений тілом шлях потрібно визначати не за формулою s=∆х, а  за формулою  s = ℓтр = |s1| + |s2|  + …  + |sN⌋,  де  N – кількість тих послідовних прямолінійних відрізків які утворюють відповідну криволінійну траєкторію.   Наприклад, в умовах нашої задачі   s =  |s1|  +  |s2|  =  |500| + |-500| = 1000 м 

Таким чином, застосовуючи визначальне рівняння s=∆х потрібно пам’ятати, що воно є справедливим лише для прямолінійної ділянки руху і лише за умови, що цей рух описується в лінійній системі координат. Втім, в котре наголошуємо, що будь-який криволінійний рух, завжди можна  представити як певну сукупність прямолінійних відрізків, кожен з яких можна описати в певній лінійній системі координат.

Потрібно зауважити, що рівняння s=∆х  не лише визначає величину пройденого тілом прямолінійного шляху, а й вказує на той напрямок в якому цей шлях пройдено. Наприклад,  при переміщенні з точки А в точку В тіло рухається в додатному напрямку  і тому s1= +500м. Коли ж тіло переміщується з точки В в точку А, то воно рухається в від’ємному напрямку і тому s2 = -500м.

В механіці наряду з пройденим шляхом, часто застосовують величину яка називається переміщення. Прагнучи максимально спростити процес вивчення кінематики, ми не будемо визначати цю величину. Просто зауважимо, що на відміну від пройденого шляху, переміщення є величиною векторною, і що воно дорівнює тому вектору, який з’єднує початкову та кінцеву координати точки. Наприклад, в вище розглянутій ситуації (в), пройдений тілом шлях дорівнює 1000м, а його переміщення 0м.

Важливими характеристиками поступального руху тіла є його швидкість та прискорення.

Швидкість –  це  фізична величина, яка характеризує швидкість поступального руху тіла (матеріальної точки), і яка показує на   скільки переміщується це тіло в заданій  системі відліку, за одиницю часу.

Позначається:  v

Визначальне рівняння: v =∆x/∆t,  де ∆х = хк – хп – переміщення тіла за час ∆t, за умови, що величина цього часу достатньо мала (наближається до нуля ∆t→0)

Одиниця вимірювання: [v] = м/с,  (метр за секунду).

Відразу ж зауважимо, що вище наведене визначальне рівняння швидкості є рівнянням так званої миттєвої швидкості, тобто тієї швидкості яку має матеріальна точка в даний момент часу. При цьому, мається на увазі що величина того проміжку часу ∆t за який відбувається переміщення ∆х є гранично малою, тобто такою що наближається до нуля (∆t→0). Після того як на уроках математики ви ознайомитесь з тим що називають “похідною” і що характеризує швидкість зміни функції, стане ясно, що швидкість є похідною від координат і що вона визначається  за формулою  v = dx/dt.

Швидкість – величина векторна, тобто така, що характеризується як певною величиною, так і певним напрямком. Напрям вектора швидкості завжди співпадає з напрямком руху тіла (матеріальної точки) у відповідній точці траєкторії. А це означає, що вектор швидкості завжди направлений по дотичній до траєкторії руху тіла.

 

Мал.12. Напрям вектора швидкості завжди співпадає з напрямком руху тіла в заданій точці траєкторії, тобто направлений по дотичній до цієї траєкторії.

Зазвичай, терміном швидкість позначають швидкість тіла в даний момент часу, тобто його миттєву швидкість. Але окрім миттєвої швидкості, існує багато різновидностей певним чином усереднених швидкостей: середня шляхова швидкість, середня швидкість переміщення, середня арифметична швидкість, середня квадратична швидкість, тощо. В кінематиці поступального руху ми будемо говорити лише про одну різновидність усередненої швидкості – середню шляхову швидкість, яку будемо називати просто: середня швидкість.

       Середня швидкість (середня шляхова швидкість) – це та усереднена швидкість  з якою тіло долає певну ділянку шляху і яка дорівнює відношенню пройденого тілом шляху s, до  того проміжку часу t, за який цей шлях було пройдено.

Позначається: vс

Визначальне рівняння: vс= s/t

Одиниця вимірювання: [vс] = м/с,  метр за секунду.

Найпростішою різновидністю прямолінійного руху є так званий прямолінійно-рівномірний рух. Тобто такий рух при якому величина і напрям швидкості залишаються незмінними (v=const). Для прямолінійного рівномірного руху визначальне рівняння   v =∆x/∆t  набуває вигляду v = s/t. А це означає, що для такого руху (v=const) відмінності між середньою та миттєвою швидкостями практично зникають.

Якщо ж рух матеріальної точки є прямолінійно-рівнозмінним (v≠ const, а=const), що в цьому випадку рівняння v =∆x/∆t  набуває вигляду  v=v0+a·t,

де   v – швидкість матеріальної точки в момент часу  t;

v0 – початкова швидкість точки, тобто її швидкість в момент часу t=0;

а – прискорення точки.

Зазвичай  формулу   v=v0 + a·t   називають рівнянням швидкості.

     Таким чином, на практиці швидкість прямолінійного руху тіла визначають за формулами:

– для v = const: v = s/t ;

– для v ≠ const: v=v0 + a·t .

В умовах повсякденного життя і практичних задач, швидкість часто виражають в різних одиницях: км/год; км/хв; км/с; м/хв;  При цьому, ви повинні вміти від одних одиниць вимірювань переходити до інших і навпаки. Як правило, при розв’язуванні задач, швидкість виміряну в будь яких не основних або позасистемних одиницях потрібно виражати в основних одиницях СІ, тобто в метрах за секунду (м/с). Вирішуючи цю задачу, діють  наступним чином. Виходячи з того, що

1 км = 100 м = 1∙103м

1дм = 0,1 м = 1∙10-1м

1 см = 0,01м = 1∙10-2м

1 мм = 0,001 м = 1∙10-3м

1 год = 3600с = 3,6∙103с

1хв = 60 с .

Можна записати :

v1= 72км/год=72·103м/3,6·103с=20м/с

v2= 120м/хв=120м/60с=2м/с;

v3= 60см/хв=60·0,01м/60с=0,01м/с.

 

Словник фізичних термінів.

         Час – це фізична величина,  яка характеризує  тривалість подій ( явищ, процесів, рухів, тощо) і яка дорівнює цій тривалості.

Позначається: t

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:   [t] = с, (секунда)

Довжина – це фізична величина, яка характеризує відстань між двома   точками виміряну вздовж певної лінії і яка дорівнює цій відстані.

 Позначається: ℓ

Визначальне рівняння: нема

Одиниця вимірювання: [ℓ] = м, (метр)

Координата – це фізична величина, яка характеризує положення (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат і яка дорівнює відстані від  точки відліку цієї системи до проекції даної точки на відповідну вісь координат.

Позначається: х

Визначальне рівняння: х =ℓх

Одиниця вимірювання: [х] = м, (метр)

         Пройдений  шлях – це фізична величина, яка характеризує пройдений матеріальною точкою (тілом) шлях і яка дорівнює довжині тієї траєкторії яку описує ця точка в процесі відповідного руху.

 Позначається:   s

Визначальне  рівняння:   s = ℓтр   або   s =∆х

Одиниця вимірювання: [s]  = м

Швидкість – це фізична величина, яка характеризує швидкість поступального  руху тіла (матеріальної точки) в заданій системі відліку і яка показує на скільки переміщується тіло в цій системі, за одиницю часу.

Позначається:  v

Визначальне рівняння: v =∆x/∆t ,       де     ∆t → 0

Одиниця вимірювання:[v] = м/с,  метр за секунду

         Середня швидкість (середня шляхова швидкість) – це та усереднена швидкість  з якою тіло долає певну ділянку шляху і яка дорівнює відношенню пройденого тілом шляху s, до  того проміжку часу t, за який цей шлях було пройдено.

Позначається: vс

Визначальне рівняння: vс= s/t

Одиниця вимірювання: [vс] = м/с,  метр за секунду

Прямолінійний рівномірний рух – це такий рух, при якому  величина і напрям швидкості руху тіла, залишаються незмінними, тобто при якому v=const.

Контрольні запитання.

1.Чому довжина та час не мають визначальних рівнянь?

2. Чому координата є різновидністю довжини?

3. Які різновидності довжини ви знаєте?

4. За яким рівнянням визначають швидкість: а) при прямолінійно-рівномірному русі; б) при прямолінійно-рівнозмінному русі.

5. Якщо тіло рухається прямолінійно і рівномірно, то чи відрізняються числові значення його миттєвої і середньої швидкостей?

6. Виразіть в метрах за секунду: 36км/год; 18км/год; 54км/год; 90км/год.

7. Виразіть в кілометрах за годину: 1м/с; 5м/с; 8м/с; 10м/с.

Вправа 2.

1. Яка швидкість більша 6м/с чи 18км/год?

2. Під час рівномірного прямолінійного руху, координата тіла за 5с змінилась від значення 10м до значення  -10м. Яка швидкість і напрям руху тіла?

3. Велосипедист їде прямолінійною дорогою зі швидкістю 20км/год. Через пів години, він повертає назад і рухається з тією ж швидкістю ще 45 хв. Визначити пройдений велосипедистом шлях та модуль його переміщення за повний час руху. Визначити координату велосипедиста через 30 хв від початку руху і в кінці руху.

4. За 20с перший автомобіль проїхав такий же шлях як і другий за 15с. Визначте швидкість першого автомобіля, якщо швидкість другого 72км/год.

5. Потяг довжиною 120м рівномірно рухається по мосту зі швидкістю 18км/год За який час він повністю перетне міст, якщо його довжина 240 м.

6.Першу половину шляху тіло рухалось зі швидкістю 20м/с а другу – з швидкістю 10м/с. Визначте середню швидкість тіла на всьому шляху.

 

§7. Загальні відомості щодо методики розв’язування задач фізики.

 

Знати фізику, визначальним чином означає, знати та розуміти фізичну суть тих термінів (понять, об’єктів, явищ, величин, законів, приладів, тощо) які складають термінологічно-теоретичну основу цієї науки. І це закономірно. Адже, якщо ви не знаєте фізичної суті того, що називається Природою, матерією, полем, силою, масою, густиною, температурою, термоелектронною емісією, законом електромагнітної індукції, принципом відносності, ідеальним газом, матеріальною точкою, напруженістю електричного поля, гравітаційною сталою, силою Ампера, амперметром, ампером, та ще великою кількістю сотень інших фізичних термінів – то ви не знаєте і не можете знати фізики. Власне тому, вивченню термінологічних основ фізичної науки ми і приділяємо таку величезну увагу.

Однак якщо, навіть найдовершеніші теоретичні знання ви не вмієте застосовувати на практиці, то гріш ціна цим знанням. А в фізиці, вміти застосовувати знання на практиці по суті означає, вміти розв’язувати задачі. І маю вам сказати, що навчитись цьому вмінню, ой як не просто. Можливо, даний параграф стане першим вагомим кроком на цьому тернистому, але захоплююче цікавому шляху.

Відразу ж зауважу, що задачі фізики суттєво відрізняються від тих задач, з якими ви маєте справу, наприклад, в математиці. Скажімо, коли в математиці вам говорять, що рівняння виду ах2+bx+c=0 називається квадратним рівнянням, і що в загальному випадку воно має два рішення:

x1,2 = [- b ± (b2 – 4ac)1/2]/2a, то вчителю достатньо розв’язати два, три подібних рівнянь, щоб в подальшому ви змогли самостійно розв’язувати будь-яку їх кількість.

З задачами фізики ситуація значно складніша. Наприклад, ви розв’язуєте задачі на визначення середньої швидкості, тобто на застосування формули vс=s/t.  Не важко бачити, що ця формула надзвичайно проста. У всякому разі, значно простіша за x1,2 = [- b ± (b2 – 4ac)1/2]/2a. Та от парадокс. Ви скільки завгодно можете знати цю формулу і не вміти розв’язувати задачі на визначення середньої швидкості. Навіть після того, як вчитель розв’яже вам п’ять,  десять ба навіть сто подібних задач, нема гарантії того, що задана вам сто перша задача буде розв’язана. І справа не в тому що ви забули формулу vс=s/t. Справа в іншому:  в фізиці, головне не формули, а вміння логічно мислити. Ви можете скільки завгодно “зазубрювати” правильні формули і навіть зазубрити їх, але якщо за цими формулами ви не будете бачити реальних об’єктів і подій, то всі ваші зусилля будуть марними – ви не будете знати, розуміти і любити фізику.

Якщо ж ви дійсно хочете навчитися розв’язувати задачі фізики, а по суті навчитися логічно мислити, то маєте усвідомити: це не можливо зробити просто спостерігаючи за тим як розв’язує задачі вчитель. Скажімо, ви хочете навчитися грати в хокей. Для цього ви наймаєте тренера і він пояснює вам всі нюанси цієї гри. Пояснює день, два,…., місяць,….рік. Ви схвально киваєте головою і вам все зрозуміло. Але якщо ви думаєте, що через рік такого навчання, ви станете класним хокеїстом, то неминуче помиляєтесь. Навчитися грати в хокей, просто спостерігаючи за тим як це роблять інші – неможливо. Для того, щоб стати хокеїстом, потрібно взувати ковзани, брати в руки ключку, виходити на лід і …. падати, вставати, знову падати і знову вставати, тобто вчитися грати в хокей. І якщо поруч буде фаховий тренер, то процес навчання буде успішним та ефективним.

Вчитель, це той же тренер. Без його допомоги навчитися розв’язувати задачі надзвичайно важко, але можливо. А от що дійсно неможливо, так це навчитися розв’язувати задачі не розв’язуючи їх самостійно.  І якщо на шляху опанування мистецтвом розв’язування задач, вас будуть переслідувати труднощі і помилки, знайте, ще нікому не вдавалось пройти цей шлях без труднощів і помилок. Але якщо ви будете наполегливими і кмітливими, то вас неминуче очікує успіх. І ви не лише будете знати фізику, а й безумовно полюбите цю найвеличнішу і найпрекраснішу з наук.

Різноманіття фізичних задач настільки велике, що практично не можливо сформулювати такі універсальні рекомендації, реалізація яких гарантовано забезпечувала б правильне рішення будь-якої задачі.  І тим не менше існує певний загально прийнятий порядок (алгоритм) розв’язку задач, який є тією методологічною основою, на базі якої можна розв’язувати переважну більшість задач фізики (і не тільки фізики). Цей алгоритм полягає в наступному.

1.Уважно (бажано декілька разів) прочитати умову задачі і детально розібратися в її (задачі) суті. Не буде перебільшенням сказати, що успішне рішення задачі на 50% залежить від того, настільки уважно ви прочитали її умову, настільки точно зрозумієте фізичну суть цієї умови, настільки правильно зрозумієте суть поставлених в задачі запитань.

2. Зробити стислий запис умови задачі, зазначивши в ньому всі суттєві моменти цієї умови.

3. Проаналізувати розмірності заданих фізичних величин і при необхідності привести ці розмірності до загальноприйнятої системи одиниць (СІ).

4. Виконати малюнок, який графічно відображає умову задачі і допомагає представити її фізичну суть. Для очевидно простих задач, виконання цього пункту не є обов’язковим. Але в будь-якому випадку, графічне представлення умов конкретної задачі є надзвичайно корисним. Якщо ж рішення задачі передбачає додавання векторних величин, то в цьому випадку, малюнок є обов’язковим. Адже без такого малюнку це рішення не має сенсу.

5. Провести теоретичний аналіз задачі. Суть цього аналізу полягає в тому, що на основі відомих базових формул (зазвичай цими базовими формулами є визначальні рівняння фізичних величин та математичні формулювання фізичних законів) та на основі логічного аналізу умов конкретної задачі, отримують відповідне розрахункове рівняння. Розрахункове рівняння, це отримана в процесі рішення задачі формула, в якій з одного боку знаходиться величина, значення якої потрібно визначити, а з іншого – відомі величини. Розрахункове рівняння  має вигляд:   ? = ƒ (Дано), що буквально означає: невідома   величина є функцією відомих. Потрібно підкреслити: Розрахункове рівняння це та формула, яку ви повинні не списати, наприклад з аналогічної задачі, а теоретично вивести на основі аналізу умов даної задачі  та відомих базових формул.  Звичайно, в дуже простих задачах, розрахункове рівняння може співпадати з базовою формулою. Наприклад.

Дано:                                Аналіз

s = 20 м                               vс=s/t

t = 10 c                              Розрахунки

vc=?                                  vс=20м/10с=2м/с.

Відповідь:  vс=2м/с

Однак, якщо ви будете орієнтуватись на розв’язування лише таких гранично простих задач, то користі від такого навчання буде не багато.

6. Методом аналізу розмірностей, перевірити правильність розрахункового рівняння. Необхідність такої перевірки обумовлена тим, що в процесі теоретичного аналізу, ви можете зробити певні помилки і отримати відповідно неправильне розрахункове рівняння. Наприклад, якщо ваше розрахункове рівняння має вигляд  vс=(v1+v2)/v1v2, то це рівняння принципово не правильне. Не правильне тому, що в ньому, розмірність тієї величини яка зліва [vc]=м/с не співпадає з розмірністю тієї величини що стоїть справа [(v1+v2)/v1v2]=с/м. Висновок:  формула vc=(v1+v2)/v1v2 принципово неправильна. А це означає, що в процесі виведення цієї формули (розрахункового рівняння)  ви припустились певних помилок.  Якщо ж ваше розрахункове рівняння має вигляд vc=v1v2/(v1+v2), то таке рівняння принципово правильне, адже [v1v2/(v1+v2)]= м/с =[vc]

Звичайно, метод аналізу розмірностей не дає сто відсоткової гарантії того, що отримане вами розрахункове рівняння є безумовно правильним. Наприклад, цей метод не дозволяє відрізнити формулу vc=v1v2/(v1+v2), від формули vc=2v1v2/(3v1+v2). Однак, як правило, практичне застосування методу аналізу розмірностей є надзвичайно ефективним і корисним.

7. Виконати математичні розрахунки, тобто підставити числові значення відомих величин в розрахункове рівняння і, виконавши відповідні розрахунки, отримати числове значення невідомої величини. На практиці, етап перевірки правильності розрахункового рівняння часто поєднують з етапом математичних розрахунків. Для цього в процесі розрахунків виконують відповідні дії не лише над числовими значеннями величин, а й над одиницями їх вимірювання. Але, якщо визначальне рівняння складне, або складається з багатьох різновимірних одиниць, то перевірку правильності цього рівняння доцільно виконувати окремо.

8. Проаналізувати правильність отриманої відповіді. Це означає, що отриману відповідь потрібно проаналізувати на предмет її відповідності очікуваному результату. Справа в тому, що вже на першому етапі розв’язку задачі, тобто на етапі “Уважно прочитати умову задачі”, ви повинні мати певне уявлення про очікуваний результат її  розв’язку. Наприклад, якщо за умовою задачі на першій ділянці шляху, тіло  рухалось з швидкістю 10 м/с, а на другій – зі швидкістю 20 м/с, то абсолютно очевидно, що середня швидкість тіла на всьому шляху не може бути меншою за 10 м/с, і більшою за 20 м/с. Тому якщо в результаті рішення задачі ви отримали vс = 8 м/с,  або  vс = 23 м/с, то ясно, що така відповідь є неправильною. А це означає, що на певному етапі розв’язку задачі ви зробили помилку. До речі, та формула, яку ми аналізували  vс=v1v2/(v1+v2) і яка успішно пройшла перевірку методом аналізу розмірностей, на справді є не правильною. Адже для v1 = 10м/с;  v2 = 20м/с,  вона дає результат vс = 6,67м/с.

Якщо на тому чи іншому етапі розв’язку задачі з’ясується, що отриманий результат є неправильним, то ви повинні ще раз уважно проаналізувати попередні етапи та з’ясувати на якому з них зроблена помилка і виправити її.

9.Записати відповідь.

Таким чином, алгоритм розв’язку задачі коротко можна представити у вигляді наступної послідовності дій:

1.Уважно прочитати умову задачі.

2. Зробити стислий запис цієї умови.

3. Проаналізувати розмірності заданих фізичних величин.

4. Виконати малюнок, який відображає фізичну суть задачі.

5. На основі теоретичного аналізу умови задачі і базових формул, вивести розрахункове рівняння.

6. Перевірити правильність розрахункового рівняння.

7. Виконати розрахунки.

8. Проаналізувати правильність отриманої відповіді.

9. Записати відповідь.

Як правило,  письмове оформлення рішення задачі,  виконується за наступною схемою.

 

Дано:             СІ                  Аналіз:

·                                         Малюнок

·                                   Базові формули

·                                               +

·                                           Аналіз

= ?                                          ↓

·                             Розрахункове рівняння

·                                      ? = ƒ (Дано)

·                                       Розрахунки

·                                        Відповідь.

Звичайно, далеко не кожну задачу можна і потрібно розв’язувати строго дотримуючись вище заданого алгоритму.  Але в загальних рисах, цей алгоритм є достатньо універсальним та ефективним. І якщо розв’язуючи конкретні задачі ви будете його дотримуватись, то рано чи пізно переконаєтесь в цьому.

 

                           Контрольні запитання.       

1.Які формули при проведенні теоретичного аналізу задачі є базовими?

2. Що називають розрахунковим рівнянням?

3. Що означає: розрахункове рівняння має вигляд ? = ƒ (Дано)

4. В чому суть методу аналізу розмірностей?

5. Чи можна методом аналізу розмірностей гарантовано точно встановити, що дана формула правильна? Наведіть приклад.

6. В чому полягає аналіз правильності, отриманої в результаті розв’язування задачі, відповіді?

7. Чи може розрахункове рівняння мати вигляд vс =(v1+v2)/v1v2 ?   Поясніть.

8. Чи може розрахункове рівняння мати вигляд vc=v1v2/(v1+v2) ? Чи правильне це рівняння для: v1=10м/с; v2=15м/с? Поясніть.

 

§8. Розв’язування задач.

                  Тема: Визначення середньої швидкості руху тіла.

 

       Задача 1.  Першу половину шляху автомобіль проїхав зі швидкістю 10м/с, а другу – з швидкістю 20м/с. Визначити середню швидкість автомобіля на  всьому шляху.

Загальні зауваження.   Дана задача може слугувати класичним прикладом того, як  на перший  погляд очевидно проста задача, насправді виявляється не такою вже й простою. Дійсно. На перший погляд здається, що в даній задачі середню швидкість автомобіля потрібно визначати за формулою:  vc=(v1+v2)/2=15м/с. Насправді ж, таке рішення є неправильним. Не правильним,  по-перше тому, що в якості розрахункового рівняння, ми абсолютно не обґрунтовано вибрали сумнівну формулу, яка не входить до числа базових формул кінематики і яка лише на перший погляд здається очевидно правильною. В принципі формула vc=(v1+v2)/2  має право на існування. Але це зовсім не означає, що в умовах даної задачі, середню швидкість потрібно визначати саме за цією формулою.

По-друге, навіть  якби формула vc=(v1+v2)/2  виявилась правильною і такою що підходить для розв’язування даної задачі, її необґрунтоване застосування в якості розрахункового рівняння, все рівно потрібно було б визнати неправомірним. Адже розрахункове рівняння потрібно не придумувати і не списувати, а теоретично доводити на основі відомих базових формул та аналізу умов конкретної задачі.

Враховуючи вище сказане,  розв’яжемо задачу так, як це потрібно, тобто дотримуючись загально прийнятого порядку розв’язування задач (читай §7).

Дано           СІ                        Аналіз

s1 = s2 = s/2     –                 s1=s/2                      s2=s/2

v1 = 10 м/с      –   ——♦———————-♦———————♦———-→х

v2 =20 м/с      –                  v1=10м/с                v2=20м/с

 

vc=?                            За визначенням  vc=s/t ,  де s =?  t =?

              На перший погляд здається, що в умовах даної задачі, визначити середню швидкість автомобіля за формулою vc=s/t  неможливо. Адже ми не знаємо ані довжини того шляху  s  який проїхав автомобіль, ані того часу  t, за який цей шлях було подолано. Однак, не будимо поспішати з висновками. А уважно проаналізуємо умову задачі і спробуємо виразити невідомі величини (s; t ) через відомі (v1; v2).

За умовою задачі:   s = s1 + s2,  де    s1 = s/2;      s2 = s/2

t = t1 + t2,   де      t1 = ?         t2 =?

По суті це означає, що в умовах нашої задачі, величини t1 і t2 потрібно виразити через v та s. А оскільки, для рівномірного руху  v=s/t,  то

v1=s1/t1=s/2t1 ,  звідси   t1=s/2v1;

v2=s2/t2=s/2t2 , звідси   t2=s/2v2.

Враховуючи вище сказане, можна записати :

vc = s/t = s/(t1+t2) = s/(s/2v1+s/2v2) = 2v1v2/(v1+v2);

Таким чином : vc=2v1v2/(v1+v2).

Розрахунки :      vc= . . . =13,3м/с.

Відповідь :          vc=13,3м/с.

Аналізуючи дану задачу потрібно звернути увагу на ще одну важливу обставину. Ця обставина полягає в наступному. Аналіз умови задачі показує, що в ній число невідомих величин, перевищує число тих незалежних рівнянь, в яких ці величини фігурують. Простіше кажучи, ми маємо одне рівняння з двома невідомими: vс = s/t ,  де    s = ?    t =?

А це означає, що таке рівняння не має гарантовано однозначного рішення. І якби ми дійсно спробували визначити числові значення s і t,  з тим, щоб підставивши їх у формулу vс= s/t, отримати правильний результат, то такого результату ми б не отримали.

І тим не менше дана задача має гарантовано однозначне рішення. Це рішення є можливим тому, що в процесі математичних перетворень, одна з невідомих величин (в даному випадку s) скорочується. Тому, коли ви будете мати справу з подібними ситуаціями, то не поспішайте опускати руки, а шукайте можливості того, щоб в процесі математичних перетворень, одна із зайвих невідомих величин скоротилась. А як правило, такі можливості існують. Адже зазвичай, вам задають такі задачі, які мають певне рішення.

     Задача 2. Першу половину часу автомобіль рухався зі швидкістю 10 м/с, а другу половину часу – з швидкістю 20 м/с.  Визначити середню швидкість автомобіля за увесь час руху.

Дано        СІ                          Аналіз

t1 = t2 = t/2      –                   t1=t/2                   t2=t/2

v1 = 10 м/с      –   —–♦————————♦————————♦—–→х

v2 = 20м/с       –                   v1=10м/с               v2=20м/с

vc=?                            За визначенням vc=s/t ,  де  s =?    t =?

За умовою задачі  s=s1+s2 , де   s1=?    s2=?

t=t1+t2           t1=t/2; t2=t/2.

Оскільки для рівномірного руху  v=s/t ,     то

v1=s1/t1=s1/(t/2)=2s1/t , звідси    s1=v1t/2

v2=s2/t2=s2/(t/2)=2s2/t , звідси    s2=v2t/2.

Враховуючи вище сказане можна записати

vc=s/t=(s1+s2)/(t1+t2)=[(v1t/2)+(v2t/2)]/t=(v1+v2)/2 .

Таким чином:  vc=(v1+v2)/2 .

Розрахунки:    vc= . . . =15м/с.

Відповідь:  vc=15м/с.

Задача 3.    Велосипедист третину шляху проїхав зі швидкістю 18 км/год, а решту шляху – зі швидкістю v2. Яка величина цієї швидкості, якщо відомо , що середня швидкість велосипедиста на всьому шляху становить 12 км/год ?

Зауваження. Оскільки в умовах даної задачі, величини швидкостей задані в одних і тих же одиницях, і оскільки ви розумієте, що в розрахунковому рівнянні будуть фігурувати лише ці одиниці, – то нема потреби ускладнювати рішення задачі перетворенням (км/год)   в   (м/с).

Дано :                                    Аналіз

s1 =  s/3                             s1=s/3                       s2=2s/3

s2 = 2s/3             ——♦——————♦————————————♦–→х

v1= 18 км/год               v1=18км/год                   v2 = ?

vс= 12 км/год                                               vc= 12км/год

v2 = ?                         Не важко збагнути, що для визначення v2, потрібно спочатку отримати розрахункове рівняння для vс, а вже потім з цього рівняння визначити невідому величину. Реалізуючи цю ідею, можна записати.

За визначенням : vс =s/t ,    s=?  ,   t=?

За умовою задачі :    s = s1 + s2   де      s1  = s/3,           s2 = 2s/3

t = t1 + t2,    де        t1 =                t2,  =  ?

Оскільки для рівномірного руху    v = s/t , то :   v1=s/3t1   звідси    t1=s/3v1

v2=2s/3t2  звідси    t2=2s/3v2

Враховуючи вище сказане можна записати :

vc=s/t=s/(t1+t2)=s/[(s/3v1)+(2s/3v2)]=3v1v2/(v2+2v1)

Таким чином:     vc=3v1v2/(v2+2v1)

Застосовуючи відомі математичні правила, визначаємо із цієї формули невідому величину v2:  vc(2v1+v2)=3v1v2   

vc2v1+vcv2=3v1v2

vcv2 – 3v1v2= – 2vcv1

v2(vc – 3v1)= – 2vcv1

v2= – 2vcv1/(vc – 3v1)  або   v2=2vcv1/(3v1 – vc)

Таким чином :      v2=2vcv1/(3v1 – vc) ;

Розрахунки :         v2= . . . = 10,3км/год .

Відповідь :         v2= 10,3км/год

Зауваження. Виконуючи теоретичний аналіз задачі, ви повинні не лише записувати голі формули, а й робити відповідні письмові коментарі до них. Звичайно, ці коментарі мають бути максимально стислими, але такими, що чітко відображають логіку ваших міркувань. Наприклад :

Виходячи з того, що ….     та враховуючи, що……     можна записати ….

Або:     Оскільки …   ,    то …

 

Вправа 3.

1.Турист за 25 хв пройшов 2 км, потім пів години відпочивав, а потім пробіг ще 800 м за 5 хв. Визначити середню швидкість туриста на всьому шляху.

2. Велосипедист проїхав 40 км зі швидкістю 20 км/год, а потім ще 30 км проїхав за 3 год. Яка середня швидкість велосипедиста на всьому шляху?

3. Рухаючись по шосе, велосипедист проїхав 900 м зі швидкістю 10 м/с, а потім грунтовою дорогою 400 м зі швидкістю 5 м/с. З якою середньою швидкістю він проїхав увесь шлях?

4. Мандрівник піднімався на гору зі швидкістю 3 км/год, а потім  спускався назад зі швидкістю 6 км/год. Яка середня швидкість мандрівника на всьому шляху?

5. Третину шляху велосипедист проїхав зі швидкістю 20км/год, а решту шляху – зі швидкістю 10км/год. Визначити середню швидкість велосипедиста на всьому шляху.

6. Швидкість потягу на підйомі 30 км/год, а на спуску 90 км/год. Визначити середню швидкість потягу на всьому шляху, якщо спуск в два рази довший за підйом .

7. На першій половині шляху, автомобіль рухався зі швидкістю в 4 рази більшою, ніж на другій. Середня швидкість автомобіля на всьому шляху 36 км/год. Визначте швидкість автомобіля на кожній ділянці шляху.

8. Пішохід частину шляху пройшов зі швидкістю 3 км/год затративши на це ¾ часу свого руху.  За час що залишився він пройшов решту шляху зі швидкістю 6 км/год. Яка середня швидкість пішохода на всьому шляху?

 

§9. Прискорення та його різновидності.

 

         Якщо швидкість тіла так чи інакше змінюється, то говорять що воно рухається з прискоренням.

Прискорення – це  фізична величина, яка характеризує  зміну швидкості руху тіла, і яка показує на скільки змінюється ця швидкість за одиницю часу.

Позначається: а

Визначальне рівняння:  а=∆v/∆t,

Одиниця вимірювання:  [a]  = м/с2,  метр за секунду в квадраті

Оскільки швидкість, величина векторна, то вона може змінюватись як за величиною (модулем) так і за напрямком. Виходячи з цього розрізнюють дві різновидності прискорення:

1.Прискорення яке характеризує зміну швидкості за величиною (його називають лінійним прискоренням, або просто прискоренням);

2. Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком (його називають доцентровим прискоренням).

Лінійне прискорення (прискорення) – це таке прискорення, яке характеризує зміну швидкості за величиною

Позначається: ал     або   а

Визначальне рівняння: ал=∆v/∆t

Одиниця вимірювання:  [ал]= м/с2

Зазвичай, лінійне прискорення називають просто “прискоренням”. Наприклад, коли ми говоримо, що той автомобіль який починає рух,  рухається з прискоренням, що автомобіль, який зупиняється має певне прискорення, що вільно падаюче тіло падає з прискоренням, то маємо на увазі лінійне прискорення, тобто те прискорення, яке характеризує зміну швидкості за величиною.  Лінійне прискорення завжди направлено вздовж лінії швидкості. При цьому, якщо величина швидкості зростає(v↑), то вектори швидкості та лінійного прискорення співнаправлені, а якщо швидкість зменшується (v↓) – то ці напрямки взаємно протинаправлені. На мал.13 зображено декілька ситуацій, які наглядно демонструють вище сказане.

 

 

Мал.13. Якщо швидкість зростає  (v↑), то напрям вектора aл  співпадає з напрямком швидкості. А якщо швидкість зменшується (v↓), то ці напрямки взаємно протилежні.

Таким чином, якщо модуль швидкості змінюється (збільшується, або зменшується), то це тіло рухається з певним  лінійним прискоренням. Величина цього прискорення визначається за формулою   ал=∆v/∆t, а його напрям, або співпадає з напрямком швидкості (якщо v↑), або протилежний йому (якщо v↓). Якщо ж модуль швидкості залишається незмінним( v1 = v2 = … = const), то лінійне прискорення дорівнює нулю. Дійсно: якщо v1=v2 , то

ал=∆v/∆t=(v2-v1)/∆t=0/∆t=0.

Однак бувають ситуації, в яких величина швидкості залишається незмінною (v1 = v2 = … = const), а тіло рухається з певним прискоренням. Наприклад, якщо автомобіль з незмінною за модулем швидкістю рухається по колу (мал.14) то він неминуче рухається з певним прискоренням. Це прискорення називають доцентровим (позначається ад). Його поява обумовлена не тим, що швидкість змінюється не за величиною (адже v=const), а тим, що вона змінюється за напрямком.

  

Мал.14. Тіло, що рухається криволінійною траєкторією, неминуче рухається з доцентровим прискоренням.

Виходячи з визначального рівняння прискорення (а=∆v/∆t), можна довести, що величина доцентрового прискорення визначається за формулою ад =v2/R

де    v – швидкість тіла в даній точці траєкторії;

R – радіус кривизни в цій точці траєкторії.

Коли ми говоримо про радіус кривизни в даній точці траєкторії, то маємо на увазі, що невеликі фрагменти будь-якої кривої лінії можна вважати частинами кола певного радіусу. При цьому для довільної кривої, цей радіус від точки до точки може змінюватись. І лише найпростіша крива, – коло, в усіх точках має один і той же радіус кривизни.

Доцентрове прискорення – це таке прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком.

Позначається:  ад

Визначальне рівняння:  ад=v2/R

Одиниця вимірювання:  [ад]= м/с2,  метр за секунду в квадраті.

Доцентрове прискорення завжди направлено до центру кривизни в даній точці траєкторії, тобто по перпендикуляру (нормалі) до напрямку швидкості в цій точці. Зважаючи на ці обставини доцентрове прискорення іноді називають нормальним тобто перпендикулярним.

Таким чином, якщо тіло рухається  криволінійною траєкторією, то в незалежності від того змінюється модуль його швидкості, чи не змінюється, це тіло має певне доцентрове прискорення, величина якого визначається за формулою  ад=v2/R ,   і яке завжди направлено до центру кривизни в даній точці траєкторії.

Не важко збагнути, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення неминуче дорівнює нулю. І це природньо.  Адже на таких ділянках, напрям швидкості залишається незмінним і тому прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком має бути нулевим. Те, що на прямолінійних ділянках траєкторії доцентрове прискорення дорівнює нулю,  випливає не лише з визначення цього прискорення, а й з його визначального рівняння. Дійсно. Будь-яку прямолінійну ділянку траєкторії, можна вважати частиною кола з безкінечно великим радіусом (R = ∞) А це означає,  що для таких ділянок  aд=v2/R=v2/∞= 0.

Зауваження. Можна довести, що в точках перегину кривої доцентрове прискорення дорівнює нулю.

Якщо швидкість тіла змінюється як за величиною так і за напрямком, то воно має як лінійне, так і доцентрове прискорення. Векторну суму цих прискорень називають повним прискоренням тіла.

         Повне прискорення – це таке прискорення, яке дорівнює векторній сумі лінійного і доцентрового прискорень тіла.

Позначається:  а

Визначальне рівняння : а = ал + ад

Одиниця вимірювання:  [а]= м/с2,  метр за секунду в квадраті

Оскільки вектори  ал і  ад   взаємно перпендикулярні, то величину повного прискорення можна визначити за формулою  а=(ал2д2)1/2

Мал.15 Якщо швидкість тіла змінюється як за  величиною так і за напрямком,  то його повне прискорення визначається як векторна сума лінійного і доцентрового прискорень.

По суті прискорення а=∆v/∆t  і повне прискорення   а=ал+ад, це одне і те ж прискорення, але визначене по різному. При цьому формула  а=ал+ад є тією практично значимою формулою, яка дозволяє визначити фактичну величину прискорення в ситуаціях, коли швидкість тіла змінюється як за величиною так і за напрямком.

В подальшому лінійне прискорення  ал=∆v/∆t  ми будемо   називати просто “прискорення” і позначати а. Наприклад, якщо в умовах тієї чи іншої задачі буде сказано, що тіло рухається з прискоренням 0,5м/с2, то це означатиме,  що мова йде про прискорення, яке характеризує зміну швидкості за величиною і яке визначається за формулою а=∆v/∆t. І лише в тих випадках, коли швидкість тіла буде змінюватись як за величиною так і за напрямком, ми будемо згадувати, що цю зміну швидкості характеризують дві різновидності прискорення.

Потрібно зауважити, що зазвичай, рух тіла описують з того моменту часу, який вважають нулевим і таким, що дорівнює нулю, тобто з моменту t0=0. При цьому ∆t=t–t0=t . А це означає, що на практиці формула a=∆v/∆t  набуває вигляду  a=(v-v0)/t .

На завершення додамо, що з визначального рівняння прискорення а=∆v/∆t або a=(v-v0)/t  з усією очевидністю випливає те рівняння яке ми назвали рівнянням швидкості:  v=v0+at.

                      

                                    Словник фізичних термінів.

           Прискорення – це  фізична величина, яка характеризує  зміну швидкості руху тіла,  і яка  показує на скільки змінюється ця швидкість за одиницю часу.

Позначається:  а

Визначальне рівняння:  а =∆v/∆t

Одиниця вимірювання:  [a]  = м/с2,  метр за секунду в квадраті.

         Лінійне прискорення (прискорення) – це таке прискорення, яке характеризує зміну швидкості за величиною.

Позначається:   ал     або    а

Визначальне рівняння:    ал=∆v/∆t

Одиниця вимірювання:   [ал]=м/с2

         Доцентрове прискорення – це таке прискорення, яке характеризує зміну     швидкості за напрямком.

Позначається:  ад

Визначальне рівняння:  ад=v2/R

Одиниця вимірювання:  [ад]=м/с2

         Повне прискорення – це таке прискорення, яке дорівнює векторній сумі  лінійного і доцентрового прискорень тіла.

Позначається: а

Визначальне рівняння: а = ал + ад

Одиниця вимірювання:  [а]  = м/с2

                      Контрольні запитання.

1.Чому лінійне прискорення називають лінійним, а доцентрове –доцентровим?

2. Чи може тіло, яке рухається прямолінійно, рухатись з доцентровим прискореннями? з лінійним прискоренням?

3. Чи може тіло, яке рухається по колу, рухатись без доцентрового прискорення? без лінійного прискорення?

4. Чи може повне прискорення тіла дорівнювати його лінійному прискоренню? його доцентровому прискоренню? нулю?

5. За якої умови формула а=∆v/∆t набуває вигляду a=(v-v0)/t?

6. Доведіть що з формули a=(v-v0)/t випливає v=v0+at.

                            Вправа 4

1.Через 20 с після початку руху спідометр автомобіля показував 72 км/год. З яким середнім прискоренням рухався автомобіль

2. Яку швидкість матиме тіло через 20с від початку руху, якщо воно рухається з прискоренням 0,2 м/с2 ?

3. За який час автомобіль, рухаючись з прискореннями 0,2 м/с2 збільшить свою швидкість від 10м/с до 20м/с ?

4. Велосипедист рухається під ухил з прискоренням 0,2м/с2. Яку швидкість матиме велосипедист через 10с, якщо його початкова швидкість 5м/с2?

5. Автомобіль рухається криволінійною дорогою (мал.) з постійною швидкістю 36км/год. Визначити прискорення автомобіля на кожній ділянці дороги, якщо  R1 = 200м, R2 = 300м, R3 = 100м, R = ∞ м,

6. Ліфт з першого поверху піднімається на п’ятий, а потім повертається назад. Графічно розбийте траєкторію руху ліфта на суттєво відмінні ділянки і вкажіть напрям швидкості і напрям прискорення на кожній ділянці.

 

§10. Рівняння руху – основний закон кінематики.

 

    Нагадаємо, до числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час (t), координата (х=ℓх), пройдений шлях (s=∆x),  швидкість (v=∆x/∆t) та прискорення (а=∆v/∆t). Якщо ж говорити про основний закон кінематики поступального руху, то він називається рівнянням руху.

Рівняння руху – це закон, в якому стверджується: в загальному випадку, прямолінійний рух матеріальної точки можна описати рівнянням:

х = х0 + v0t + (а/2)t2

де  х – координата матеріальної точки в момент часу t,

·   х0  – початкова координата точки, тобто її координата в момент часу t = 0

·   v0 – початкова швидкість матеріальної точки

·    а – прискорення матеріальної точки.

Відразу ж зауважимо, що в загальному випадку поступальний рух матеріальної точки може мати неймовірно складну траєкторію. Але якою б складною не була ця траєкторія, її завжди можна розкласти на прямолінійні відрізки. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності прямолінійного руху матеріальної точки, можна пояснити будь-який її рух. Скажімо рівняння  х=х0+v0t+(а/2)t2  фактично є рівнянням прямолінійного руху   матеріальної точки і воно не може описати її довільний криволінійний рух. Однак, з’ясувавши фізичну суть цього рівняння та навчившись застосовувати його на практиці, ви не матимете проблем з тим щоб описати будь-який плоско- чи об’ємно- криволінійний рух. Адже такий рух описує система двох або трьох  аналогічних рівнянь.

Зауважимо також, що рівняння  х=х0+v0t+(а/2)t2  по суті описує лише так звані рівноприскорені рухи, тобто ті рухи в процесі яких прискорення тіла (матеріальної точки) залишається незмінним (а=const, в тому числі а=0). В загальному ж випадку, можливі і такі варіанти руху при яких а≠const. Однак, в межах програми загальноосвітньої школи подібні рухи не вивчаються. Тому, будемо вважати, що рівняння  х=х0+v0t+(а/2)t2  математично описує будь який прямолінійний рух.

Не буде перебільшенням сказати, що знаючи рівняння руху х=х0+v0t+(a/2)t2 та похідне від нього рівняння швидкості (v=v0+at), можна розв’язати практично будь-яку задачу кінематики. У всякому разі ті задачі, складність яких не виходить за межі програми загальноосвітньої школи.

Втім, в фізиці не достатньо знати формули. В фізиці набагато важливіше бачити за цими формулами реальні події та їх параметри. Наприклад, в математиці рівняння    х = 200 –10t + 0,2t2  це просто квадратне рівняння, яке в загальному випадку має два рішення і яке графічно можна представити у вигляді відповідної параболи. В фізиці, все те що вивчалося в математиці ви маєте знати та вміти застосовувати на практиці. Однак цього зовсім не достатньо для того щоб розв’язувати фізичні задачі. Адже в фізиці за кожним рівнянням, за кожною цифрою за кожною буквою та за кожним знаком, ви маєте бачити реальні події та їх характеристики. Скажімо, просто поглянувши на рівняння   х= 200 –10t + 0,2t2, та розуміючи що це рівняння руху, тобто рівняння вигляду  х = х0 +v0t +(а/2)t2, ви відразу ж уявляєте наступну ситуацію. В  момент часу  t=0, дане тіло знаходиться в точці з координатою 200м і рухається в від’ємному напрямку з швидкістю 10м/с. При цьому величина цієї швидкості зменшується, а числове значення прискорення становить 0,4м/с2. (Сподіваюсь, ви розумієте, що з факту а/2=0,2 випливає а=0,4). Іншими словами, із аналізу заданого рівняння руху ясно:

хо= 200 м;   vo= -10 м/с;   а = 0,4м/с;   v↓

Таким чином, вже першого погляду на рівняння руху, має бути достатньо для того, щоб дати загальну характеристику цього руху. Наприклад:

x1 = -200 +15t – 0,4t2 :    хо = -200 м;  vo = 15 м/с;  а = -0,8 м/с2 ;  v↓

x2 = 100 – 8t – 0,1t2 :        хо = 100 м;   vo = -8 м/с;   а =  -0,2 м/с2 ; v↑

x3 = -5t :                            хо = 0 м;       vo = -5 м/с;   а =   0 м/с2 ;  v = const

x4 = 200  – t2 :                   хо = 200 м;   vo = -0 м/с;   а =  -2 м/с2 ;   v↑

x5 = -100 :                          хо = -100 м;  vo =  0 м/с;  а = 0 м/с2;  не рухається

Зауважимо. Якщо в поясненнях до рівняння руху не вказані одиниці вимірювання відповідних величин, то потрібно вважати що цими одиницями є основні одиниці міжнародної  системи (СІ):  [x]=м ;  [v]=м/с ;  [a]=м/с2 .

Зверніть увагу, ми просто дивимося на рівняння руху і отримуємо з нього достатньо велику кількість інформації. Тепер же уявіть скільки інформації можна отримати на основі математичного та логічного аналізу цього рівняння.  Ілюструючи лише частину цих інформаційних можливостей, розглянемо конкретну задачу.

Задача. За заданим рівнянням руху     х = 100 + 10t – 0,4t2 :

1) дати загальну характеристику руху тіла;

2) визначити координату тіла через 10с і через  20с;

3) визначити швидкість тіла через 10с і через  20с;

4) визначити де і коли тіло зупиниться;

5) визначити пройдений тілом шлях за  десять секунд;

6) визначити пройдений тілом шлях за десяту секунду;

7) визначити пройдений тілом шлях за  двадцять секунд;

8) визначити в який момент часу, тіло буде в точці з координатою 0м?

9) визначити де знаходилось тіло за десять секунд до початку відліку часу?;

10) визначити в який момент часу, тіло буде в точці з   координатою 200м?

Відповідаючи на кожне з поставлених запитань можна сказати наступне.

1.Дати  загальну  характеристику руху тіла:  хо =?  vo = ?  а = ? малюнок

Із аналізу  рівняння  х=100+10t –0,4t2  ясно:

хо =100м; vo = 10м/с; а = – 0,8м/с2;  v↓ .

2. Визначити  координату тіла через 10с і через 20с:  х(10)=?  х(20)=?

Із аналізу рівняння руху ясно:

якщо  t = 10c, то  х(10) = 100 + 10(10)- 0,4(10)2 = 160м

якщо  t = 20c, то   х(20) = 100 + 10(20)- 0,4(20)2 = 140м

Оскільки на двадцятій секунді тіло знаходиться ближче до початкової точки,  аніж на десятій секунді, то це означає, що між десятою і двадцятою секундами тіло змінило напрям свого руху.

3. Визначити швидкість тіла через 10  і  20 секунд:   v(10)= ?   v(20)= ?

Оскільки при рівноприскореному русі   v = v0 + at,  то в умовах нашої задачі (vo =10м/с , а = – 0,8м/с2) рівняння швидкості набуває вигляду v=10-0,8t

Зважаючи на ці обставини можна записати:

v(10)= 10 – 0,8(10) = 2 м/с

v(20)= 10 – 0,8(20) = – 6 м/с

Знак “-“ вказує на те, що у відповідний момент часу, тіло рухається в від’ємному напрямку. Факт того, що між десятою  так двадцятою секундами напрям швидкості змінився на протилежний, безумовно вказує на те, що у відповідному часовому інтервалі напрям руху тіла змінився на протилежний.

4. Визначити, де і коли тіло зупиниться:   хзуп  = ?   tзуп = ?

Оскільки  в момент зупинки швидкість тіла дорівнює нулю  (v=0), то можна записати: якщо t=tзуп, то  v = 10 – 0,8tзуп = 0 , звідси   tзуп = 10/0,8=12,5c

А це  означає, що   хзуп  = х(12,5) = 100+10(12,5) – 0,4(12,5)2  = 162,5 м

5. Визначити пройдений тілом шлях за десять секунд:    s(10)=?

Оскільки за визначенням   s = ∆х= хк – хп, та враховуючи що в умовах даної задачі    хк = х(10) = 160 м,   хп = хо = 100 м, можна записати

s(10) = х(10) – хо = 160 – 100 = 60 м.

6. Визначити пройдений тілом шлях за десяту секунду:   s(10ту)=?

Сподіваюсь ви розумієте, що в даному випадку потрібно визначити той шлях, який пройде тіло за одну, а саме за десяту секунду. При цьому не важко збагнути, що десятою секундою є та, що між дев’ятою і десятою. А оскільки хк=х(10)=160м,   хп=х(9)=100+10(9)–0,4(9)2 =157,6м.

То: s(10ту) = х(10)–х(9) = 160 -157,6=2,4 м

7. Визначити пройдений тілом шлях за двадцять секунд:   s(20) =?

Оскільки на 12,5 секунді, тіло змінило напрям свого руху, то ясно, що той шлях який пройшло тіло за 20 секунд складається з двох ділянок :

s(20)= s(0-12,5) +  s(12,5-20)

де    s (0-12,5)  = х(12,5) – хо = 162,5 – 100 = 62,5 м

s (12,5 -20) = х(20) – х(12,5) = 140 – 162,5 =  -22, 5 м

знак ” – “  вказує на те що шлях     s (12,5 -20)  пройдено в від’ємному напрямку.

А оскільки пройдений тілом шлях дорівнює довжині траєкторії, то при визначені цього шляху додаються абсолютні величини відповідних складових частин. Тому  х(20) = 62,65 + 22,5 = 85 м.

8. Визначити в який момент часу тіло буде в точці з координатою 0м?: х=0м; t=?

Для  х = 0, задане рівняння руху набуває вигляду: 100 + 10t – 0,4t2 = 0.

А зважаючи на те, що розв’язки (корені) рівняння  аt2 +вt + с = 0 визначаються

за формулою t1,2 = [- b ± (b2 – 4ac)1/2]/2a, можна записати

t1,2 = [- b ± (b2 – 4ac)1/2]/2a = [-10 ± (102 – 4∙(-0,4)∙100)1/2 ]/2(-0,4) =

= -10 ± (100+160)1/2/(-0,8) = (-10 ± 16,25)/(-0,8).

Звідси   t1= – 7,65 с;    t2= 32,65 с.

Отриманий результат означає наступне: в точці з координатою х=0м дане тіло побуває двічі:  1) t1= –7,65с, тобто за 7,65 секунди до початку відліку часу. Знак “-“ вказує на те що подія відбулась в минулому;  2) t2= 32,65с, тобто через 32,65 секунди  після початку відліку часу.

9.  Визначити де знаходилось тіло за десять секунд до початку відліку часу?:   t = -10с,  х (-10) =?     х (-10) = 100 +10(-10) – 0,4∙(-10)2 = -40 м.

Таким чином, рівняння руху може розповісти не лише про ті події які відбуваються в теперішньому та майбутньому, а й про ті, що відбулися в минулому. Звичайно за умови, що до початку відліку часу тіло також рухалось за відповідним законом.

10. Визначити в який момент часу тіло буде знаходитись в точці з     координатою 200м?:  х =200м;   t= ? .

Із попереднього розв’язку задачі ясно, що в точці х=200м дане тіло ніколи не було і не буде. Адже в точці х=162,5 м, воно зупиняється і починає рухатись в зворотному напрямку. Подивимось, яку ж відповідь дає аналіз рівняння руху

Оскільки х=200 м, то  100+10 t – 0,4 t2= 200   або    -100+10 t – 0,4 t2=0.

Звідси t1,2 = [- b ± (b2 – 4ac)1/2]/2a = [-10 ± (102 – 4∙(-0,4)∙(-100))1/2 ]/2(-0,4) =

= -10 ± (100 – 160)1/2/(-0,8) = (-10 ± (-60)1/2)/(-0,8).

Зважаючи на те, що квадратного кореня з від’ємного числа [(-60)1/2 = √-60] не існує, можна стверджувати: для х=200м дане рівняння руху не має розв ‘язків. А це означає, що в  точці х=200м дане тіло ніколи не було і не  буде.

Не важко бачити, що на основі аналізу рівняння руху, можна розв’язувати величезну кількість кінематичних задач. І відтепер ви розумієте, чому це рівняння називають основним законом кінематики.

Потрібно зауважити, що реальні механічні рухи дуже рідко бувають такими, що описуються одним і тим же рівнянням. Скажімо, в процесі руху, автомобіль на певних ділянках набирає швидкість, на певних пригальмовує, на певних їде з постійною швидкістю, а на певних робить ті чи інші маневри. При цьому кожна ділянка описується своїм рівнянням руху і має свої часові обмеження. Втім, яким би криволінійним не був рух тіла (матеріальної точки), а його завжди можна представити як певну сукупність прямолінійних ділянок. А це означає, що застосовуючи формулу х = х0 + v0t + (а/2)t2, можна описавши рух тіла на кожній ділянці, а відповідно і на всіх ділянках загалом.

На завершення додамо, що в умовах переважної більшості задач, кінематична ситуація задається не певними рівняннями руху, а описується відповідними словами. Тому ви повинні не лише вміти за заданими рівняннями руху уявляти відповідну ситуацію, а й навпаки – за заданою ситуацією записувати відповідні рівняння руху. А це  вміння формується в процесі розв’язування конкретних задач. Зважаючи на ці обставини, розв’язуванню задач ми будемо приділяти поглиблену увагу.

Загалом, ви маєте знати, що в тому розділі фізики який називається механікою, ваше головне надзавдання полягає в тому, щоб навчитися розв’язувати задачі. А отже, навчитися логічно мислити та застосовувати набуті знання на практиці.

 

                   Словник фізичних термінів.

         Рівняння руху –  це закон в якому стверджується: в загальному випадку,

прямолінійний рух матеріальної точки можна описати рівнянням

х = х0 +v0t +(а/2)t2

де х – координата матеріальної точки в момент часу t,

·   х0 – початкова координата точки, тобто її координата в момент часу t= 0

·   v0 – початкова швидкість матеріальної точки

·    а – прискорення матеріальної точки.

                           Контрольні запитання.

1.Чи можна стверджувати, що рівняння х=х0+v0t+(a/2)t2 описує не лише рівноприскорений (а =const), а й рівномірний рух (v=const) ?

2. Якого вигляду набуває рівняння руху для рівномірного руху?

3. Чи може рівняння руху описати ті події які відбувались в минулому?

4. Виходячи з того що s = ∆х = х – х0, запишіть рівняння пройденого шляху.

5. Якого вигляду набуває рівняння пройденого шляху за умови v0= 0 м/с?

6. За рівнянням руху дати загальну характеристику відповідного руху:

х=   100 + 10 t + 0,5 t2

х=  – 100 + 5 t – 0,2 t2

х=  – 10 t – 0,3 t2

х=   150 –  0,25 t2

х=    t2

 

Вправа 5.

1.За заданим рівнянням руху х =  100 – 15 t + 0,5 t2:

1) дати загальну характеристику руху тіла;

2) визначити координати тіла через 10 і 20 секунд;

3) визначити швидкість тіла через 10 і 20 секунд;

4) визначити де і коли тіло зупиниться;

5) визначити пройдений тілом шлях за десять секунд, за десяту секунду і за двадцять секунд;

6) в який момент часу тіло буде в точці з координатою 0 м; -200 м?

2. Який шлях проїде тіло за 5с, якщо його прискорення 2 м/с2?

3. За який час автомобіль, рухаючись з прискоренням 0,6 м/с2 проїде шлях 30м? Початкова швидкість автомобіля 0м/с .

4. В заданій системі відліку рівняння руху тіл мають вигляд х1 =15t,

х2= 200 +10t.    Де і коли зустрінуться ці тіла?

5. З стану спокою автомобіль набуває швидкість 72 км/год на ділянці шляху

50 м. З яким прискоренням рухається автомобіль?

6. Швидкість тіла яке рухається з прискоренням 2 м/с2 змінюється від 0 м/с до 20 м/с. Визначте пройдений тілом шлях.

 

§11. Розв’язування задач. Тема: Практичне застосування рівняння руху.

 

         Загальні зауваження. Дуже часто сучасні вітчизняні підручники з фізики просто лякають величезним різноманіттям наявних в них формул. І всі ці формули представляються як важливі та надважливі. І вже точно такі, кожну з яких потрібно знати та вміти застосовувати на практиці. Зважаючи на ці обставини вкотре наголошую – фізика, це не формули, а вміння логічно мислити. А що стосується формул, то в фізиці (справжній фізиці) їх не так вже й багато. Скажімо в кінематиці поступального руху, ви маєте знати визначальні рівняння п’яти базових величин (t, x, s, v, a) та основний  закон цієї кінематики х = х0 +v0t +(а/2)t2  – рівняння руху  .

Звичайно, говорячи про визначальні рівняння фізичних величин, я маю на увазі і ті похідні формули які характеризують відповідну величину в тій чи іншій ситуації. Наприклад:

·  пройдений шлях  s=lтр            а) прямолінійний рух          s=∆x

·                                                        б) криволінійний рух          s=s1+s2+…+sn

·   швидкість           v=∆x/∆t         а) середня швидкість           vc=s/t

·                                                        б) рівномірний рух                v=s/t

·                                                        в) рівноприскорений рух      v=v0+at

·   прискорення       a=∆v/∆t       а) звичайне прискорення      a=(v-v0)/t

·                                                        б) доцентрове прискорення   ад=v2/R

·                                                        в) повне  прискорення           а=аτ+ад

Власне, рівняння руху х=х0+v0t+(а/2)t2 та вище згадані визначальні рівняння і є тими базовими формулами, виходячи з яких можна і потрібно розв’язувати задачі кінематики.

Сподіваюсь ви розумієте, що в різних конкретних ситуаціях, те рівняння яке ми називаємо рівнянням руху (х=х0+v0t+(а/2)t2), може набувати різного вигляду, зокрема:

якщо  х0=0     то     х =v0t+(а/2)t2

якщо  а=0        то     x=x0+v0t

якщо  v0=0      то     x=x0+(a/2)t2

якщо  s=∆x     то     s=v0t+(a/2)t2

якщо  a=0       то     s=v0t

якщо  v0=0      то    s=(a/2)t2          і т.д.

Ясно, що зазубрювати ці та їм подібні формули нема жодної потреби. Рівно як і нема підстав вважати ці формули самостійними базовими законами кінематики. Адже всі ці та їм подібні формули, є прямими та очевидними наслідками рівняння руху. Що правда, в кінематиці є одна формула, яку бажано запам’ятати. Власне про цю формулу ми і поговоримо в наступній задачі.

          Задача 1.  За відомою величиною прискорення тіла (а) та за відомими величинами його початкової і кінцевої  швидкостей (v0, vк), визначити величину пройденого тілом шляху (s).

 

Дано:             Аналіз.

v0                     Згідно з рівнянням пройденого  шляху

vк                      s = v0t+(a/2)t2        де           t = ?

а                 Оскільки при рівноприскореному русі

s = ?          vк=v0+а∙t  то   t=(vk-v0)/a

Враховуючи вище сказане, можна записати:

s=v0t+(a/2)t2 = v0(vk-v0)/a + (a/2)[(vk-v0)/a]2 = v0(vk-v0)/a + a(vk-v0)2/2a2 =

= [2v0(vk-v0)+(vk-v0)2]/2a = [2v0vk -2v02 + vk2 – 2v0vk+v02]/2a = (vk2-v02)/2a .

Відповідь:   s = (vk2 – v02)/2a .

         Зауваження.  Формула  s=(vk2-v02)/2a  по суті не є базовою формулою кінематики. Однак, зважаючи на загальність та практичну значимість цієї формули, її зазвичай застосовують як одну з базових формул кінематики. Тому запам’ятайте: s=(vk2v02)/2a.

         Задача 2.  Куля, що летить зі швидкістю 44 м/с потрапляючи в земляний вал проникає в нього на глибину 36 см. З яким прискоренням і скільки часу рухалась куля в земляному валу?

Дано:                СІ                    Аналіз.

v0 = 400 м/с       –

vк = 0 м/с            –              ♦→ v0 —————————–♦v=0

s = 36 см       0,36 м                                  s

a= ?   t= ?

Будемо виходити з того, що рух кулі в земляному валу є рівноприскореним, тобто таким для якого а=const. Оскільки для рівноприскореного руху s=(vk2-v02)/2a,  та  зважаючи на те що  vк = 0 м/с, можна записати:    s = – v02/2a,   звідси     a = – v02/2s

З іншого боку   a=(vk – v0)/t,   звідси  t=(vk-v0)/a= – v0/(- v02/2s)=2s/v0 .

Таким чином, ми отримали два розрахункові рівняння: a= – v02/2s ;  t=2s/v0  Розрахунки.       a =…= – 22,2·104  м/с2

де знак “-“ вказує на те що рух кулі є рівносповільненим.

t =…=1,8·10-3 с

Відповідь:  a= -22,2·104 м/с ;   t=1,8·10-3 c .

         Задача 3.  Із пункту А в пункт В відстань між якими 1 км, виїхав автомобіль зі швидкістю 25 м/с. Одночасно на зустріч йому із пункту В виїхав другий автомобіль зі швидкістю 15 м/с. Де і коли ці автомобілі зустрінуться?

         Зауваження. Якщо в умові задачі фізичний зміст того чи іншого параметру чітко не визначений то завжди обирають таке значення цього параметру яке є найпростішим та дозволяє розв’язати дану задачу.  Наприклад в умові попередньої задачі не було чітко сказано про те, що в земляному валу, куля рухається з постійним прискоренням. При цьому, вибираючи між   а =const  і    а ≠const, ми вибрали а=const. Адже лише в цьому випадку задача має певне рішення. Або, наприклад, в умові даної задачі чітко не сказано якою (прямолінійною чи криволінійною) є та дорога що з’єднує пункти А і В. В подібних ситуаціях завжди обирають найбільш простий варіант. А цим варіантом є прямолінійна дорога. Крім цього, в умові даної задачі не визначена початкова координата жодного з автомобілів. Тому будемо вважати, що в початковий момент часу один з автомобілів знаходиться в нульовій точці нашої системи координат.

Дано :             СІ                       Аналіз.

v1      = 25 м/с     –             ♦→  v1                                                             v2 ←♦

·                                     —♦——————————♦———————————♦–→ x

ℓ    = 1км      1∙103м       0                                   500                                   1000

t = ?

х = ?           Представивши рух автомобілів у відповідній системі координат запишемо рівняння руху кожного з  них:     х1 = 25 t ;     х2 = 1000 – 15 t ;

Оскільки в момент зустрічі автомобілів      х1 = х2,  то

25t = 1000 – 15t ,   звідси  25t + 15t = 1000 ,  звідси    t =25 с

Для    t = 25 с;   х1(25)= 25(25)=625 м;     х2 (25) = 1000-15(25) = 625 м

Відповідь: автомобілі зустрінуться через 25  секунд в точці з координатою 625м, тобто на відстані 625м від пункту А.

Звичайно, дану задачу можна розв’язати й по-іншому, наприклад так. Оскільки автомобілі їдуть назустріч один одному з швидкостями v1 і v2 то швидкість їх взаємного наближення становить   v=v1 + v2. Оскільки до моменту зустрічі автомобілі мають проїхати шлях  s = 1000 м, та зважаючи на те, що при рівномірному русі  s=vt,  можна записати:  t=s/v=s/(v1+v2)=25с.

Таким чином автомобілі зустрінуться через 25 секунд. При цьому за ці 25с перший автомобіль проїде відстань s1= v1∙t = 625м. А це означає, що автомобілі зустрінуться через 25 с в точці віддаленій від пункту А на 625м.

Вище наведене рішення має право на існування. І напевно в 7-му класі дану задачу ви б розв’язали саме так. Однак подібний розв’язок має ряд суттєвих недоліків. По-перше, його практично не можливо зробити органічною частиною більш-менш універсальної системи розв’язку задач. По-друге. Такий спосіб дозволяє розв’язувати лише очевидно прості задачі. Тому, якщо ви хочете кваліфіковано та системно розв’язувати задачі кінематики то  повинні максимально широко застосовувати рівняння руху.

Задача 4.  Із станції вийшов товарний потяг зі швидкістю 36 км/год. Через 0,5год,  в тому ж напрямку вийшов пасажирський потяг, швидкість якого 72 км/год. Через який час і на якій відстані від станції пасажирський потяг наздожене товарний.

Дано :                                       Аналіз.

v1 = 36 к м/год     ♦→ v2                              ♦→ v1

v= 72 км/год   –♦——————————-♦———————————→ x

t1  = 0,5 год          0            x01

tзустр = ?

хзустр = ?               Представимо рух потягів в вибраній системі координат та запишемо рівняння руху кожного з них: х1 = х01 + v1t , де  х01= v1t1 ;

х2 = v2t

Оскільки в момент зустрічі (t=tзустр):    х1= х2 ,    то   v1t1 + v1t =  v2t , де  t = ?

Звідси     v2t – v1t = v1t1 , а отже   t=v1t1/(v2-v1) .

Таким чином :  tзустр=v1t1/(v2-v1)=…=0,5год

Для   t = 0,5 год ,   х2= 72 км/год ∙ 0,5 год = 36 км

Відповідь :   tзустр = 0,5 год

хзустр = 36 км.

         Задача 5. Спускаючись з гірки з певною початковою швидкістю, санчата за перші три секунди проходять 2м , а за наступні три – 4м. Вважаючи рух санчат рівноприскореним, визначте їх прискорення та початкову швидкість.

Дано:                             Аналіз

a = const                   Малюнок

t1= 3c

s1= 2м

t2= 3c

s2= 4м

а = ?

v0 =?               Представимо рух санчат в вибраній системі координат та запишемо рівняння пройденого шляху для першої та другої ділянок руху :

s1=v0t1+(a/2)t12        (1)

Оскільки, швидкість руху санчат в кінці першої ділянки становитиме

v=v0 + at1 ,    то     s2=(v0+at1)t2 +(a/2)t22     (2)

Таким чином, ми отримали  систему двох рівнянь з двома невідомими

(а = ? v0 =? ).  Як і в математиці така система рівнянь розв’язується стандартним чином: із першого рівняння визначається одна з невідомих і підставляється в друге рівняння (або навпаки). При цьому, ми отримуємо рівняння з одним невідомим. Наприклад, в умовах нашої задачі   із (1)  випливає:    v0=(s1-at12/2)/t1 ,      v0=s1/t1 – at1/2

Підставивши значення  v0  в  (2) отримаємо:

s2=(v0+at1)t2 + at22/2=(s1/t1 – at1/2 + at1)t2 +at22/2= s1t2/t1 + at1t2/2 + at22/2 = s2 .

Звідси: a(t1t2/2 + t22/2) = s2 – st2/t1 ;  звідси  a=(s2 – s1t2/t1)/(t1t2/2 + t22/2) .

Таким чином:  a=(s2 – s1t2/t1)/(t1t2/2 + t22/2) ;    v0=(s1-at12/2)/t1

Розрахунки.

а = …=0,22м/с2

v0= …=0,33м/с

Відповідь:  а=0,22м/с2 ;  v0=0,33м/с .

 

Вправа 6.

1.Велосипедист що рухається зі швидкістю 3 м/с почав спускатися з гори з прискоренням 0,8 м/с2. Визначити довжину гори, якщо спуск тривав 6с.

2. Який шлях проїде тіло за 5с, якщо його прискорення 2м/с2?

3. Автомобіль рухаючись рівномірно проїхав за 5с шлях 25м. Після цього він, рухаючись рівноприскорено проїхав 150м за 10с. З яким прискоренням рухався автомобіль на другій ділянці?

4. З яким прискоренням рухався автомобіль під час аварійного гальмування, якщо його швидкість перед гальмуванням становила 72км/год,  а гальмівний шлях  дорівнює 20м? Скільки часу пройшло до його зупинки?

5. З пунктів А і В відстань між якими ℓ, назустріч один одному рухаються два тіла з швидкостями v1 і v Причому, друге тіло почало свій рух на t0 пізніше, аніж перше. Де і коли тіла зустрінуться?

6.При рівноприскореному русі який починається зі стану спокою, тіло проходить за п’яту секунду 90см. Визначити пройдений тілом шлях за сьому секунду.

 

§12. Вільне падіння тіл. Прискорення вільного падіння.

 

         Вільним падінням  називають такий рух тіла,  який відбувається під дією  сили  тяжіння та за відсутності суттєвого впливу інших зовнішніх сил, зокрема сили опору повітря.  В загальному випадку вільно падаючими вважають не лише ті тіла падіння яких починається з нулевої швидкості  (мал.16а), а й ті які з певною швидкістю кинули вертикально вниз, вертикально вгору, або під кутом до горизонту (мал.16б,в,г). Адже в кожному з цих випадків, тіло після отримання певного початкового поштовху, рухається  під дією лише  однієї зовнішньої сили – сили тяжіння (звичайно за умови, що сила опору повітря є не суттєвою).

   

Мал.16. Рух тіла що відбувається під дією сили тяжіння та за відносності  дії інших зовнішніх сил (зокрема суттєвого впливу опору повітря), називають вільним падінням тіла.

Чесно кажучи, твердження про те, що  за відсутності опору повітря  вільно падаюче тіло рухається лише під дією сили тяжіння є не зовсім правильним. Адже насправді будь-яке  вільно падаюче тіло рухається під дією двох рівних за величиною і протилежних за напрямком сил, – сили тяжіння та сили інерції. Однак, сила інерції має ряд специфічних особливостей. І ці особливості такі, що силу інерції не відносять до числа діючих на тіло зовнішніх сил.  Втім, про фізичну суть сили інерції та про ту роль яку відіграє ця сила в процесі вільного падіння тіл, ми поговоримо дещо пізніше. Наразі ж просто зауважимо, що у відповідності з загально прийнятими уявленнями, вільне падіння тіла відбувається під дією однієї зовнішньої сили, – сили тяжіння.

Характерною особливістю того руху який називається вільним падінням, є те що це падіння відбувається з певним постійним прискоренням, величина якого не залежить від маси тіла, а отже і від діючої на нього сили тяжіння.  Дійсно. Якщо ви візьмете маленький камінчик та значно більший камінь і одночасно випустите їх з руки, то неодмінно з’ясуєте що ці різні тіла падають однаково швидко, а точніше, – з однаковим прискоренням. Нагадаємо, даний факт, був експериментально встановлений італійським вченим Галілеєм.

 

Мал.17. За не суттєвості опору повітря, важкі і легкі тіла падають однаково швидко (з однаковим прискоренням – прискоренням вільного падіння).

На перший погляд, така поведінка важкого і легкого тіл здається дивною. Адже та сила з якою важкий камінь притягується до Землі в сотні разів перевищує ту, з якою до Землі притягується легкий камінчик. І тим не менше, легкий камінчик і важкий камінь падають однаково швидко. Сьогодні ми не будемо говорити про те, чому важкі і легкі тіла падають однаково швидко. Сьогодні ми просто констатуємо той факт, що під дією сили тяжіння, та за відсутності суттєвого впливу опору повітря, всі тіла падають з однаковим прискоренням яке називається прискоренням сили тяжіння або прискоренням вільного падіння. Підкреслюючи важливість та значимість прискорення вільного падіння, його позначають окремою літерою g (від лат. gravitas – тяжіння). Напрям прискорення вільного падіння співпадає з напрямком діючої на тіло сили тяжіння, тобто є направленим вертикально вниз. Для Землі, усереднена величина прискорення вільного падіння становить  g = 9,8067 м/с2.

По суті, прискорення вільного падіння є силовою характеристикою того, що прийнято називати гравітаційним полем планети. При цьому кожна планета має своє гравітаційне поле (поле тяжіння), яке характеризується своїм прискоренням вільного падіння. Наприклад,  для Землі g = 9,8 м/с2, для Місяця g = 1,6 м/с2,  для Марса g = 3,8 м/с2,  для Венери g = 8,8 м/с2,  для Юпітера g = 23,5 м/с2, а для Сонця g = 274,0 м/с2.

Коли ми стверджуємо, що на Землі прискорення вільного падіння становить g = 9,8067 м/с2 то маємо на увазі певне усереднене значення цієї величини. Насправді ж, в різних місцях земної поверхні, прискорення вільного падіння може бути суттєво різним. Наприклад, на екваторі g = 9,78 м/с2, а на полюсі g = 9,83 м/с2. Ця різниця обумовлена фактом обертання Землі навколо своєї осі. А також фактом певної деформованості земної кулі.

Крім цього, числове значення прискорення вільного падіння певним чином залежить від тієї висоти на якій це прискорення вимірюється. Наприклад на Землі, для:

h = 0 км               g = 9,8067 м/с2

h = 1 км               g = 9,8036 м/с2

h = 10 км             g = 9,7736 м/с2

h = 50 км             g = 9,6542 м/с2

h = 500 км           g = 8,505 м/с2

h = 5000 км         g = 3,08 м/с2

При розв’язуванні задач, числове значення прискорення вільного падіння зазвичай приймають рівним g=9,8м/с2. При наближених розрахунках допускається g=10м/с2.

Потрібно зауважити, що величина та напрям прискорення вільного падіння не залежать від того в якому напрямку рухається тіло і з якою початковою швидкістю воно рухається. Наприклад, в незалежності від того вільно відпустили піднятий над землею камінь чи з певною швидкістю кинули вертикально вниз (мал.18а), вгору (мал.18б) чи під кутом до горизонту (мал.18в), цей камінь буде падати з прискоренням g=9,8м/с2. В незалежності від того рухається камінь вгору чи падає вниз, він рухається з прискоренням g=9,8м/с2 і це прискорення завжди направлено вертикально вниз. Навіть в точці максимального підйому тіла, де його швидкість дорівнює нулю, тіло має прискорення g=9,8м/с2. Іншими словами, на всій траєкторії вільного польоту тіла, це тіло рухається з прискоренням вільного падіння.

  

Мал.18. У всіх точках траєкторії вільного польоту, тіло рухається з прискоренням вільного падіння (g=9,8м/с2)

Щоправда, коли ми говоримо про вільне падіння тіла та про прискорення вільного падіння (g=9,8м/с2), то маємо на увазі ситуацію, коли опір повітря є несуттєвим. Насправді ж цей опір існує і певним чином впливає на величину того реального прискорення з яким падають тіла. Тому коли ми стверджуємо, що вільно падаюче тіло рухається з постійним прискоренням, величина якого

9,8 м/с2, то не враховуємо той факт, що цей рух відбувається в повітряному середовищі яке певним чином гальмує рух тіла. При цьому дослідження показують, що по мірі збільшення швидкості руху тіла, діюча на нього гальмуюча сила опору атмосферного повітря збільшується. А це означає, що в повітряному середовищі будь-яке тіло падає з прискоренням 9,8 м/с2 лише при відносно невеликих швидкостях. В процесі ж падіння, величина того реального прискорення з яким падає тіло зменшується і при певній критичній швидкості стає нулевою. З цього моменту тіло падає з постійною швидкістю. Втім, питання про вплив опору повітря на величину прискорення вільного падіння тіла, виходить за межі програми загально освітньої школи. Тому в подальшому будемо вважати, що на всьому шляху вільного польоту, тіло рухається з прискоренням яке називається прискоренням вільного падіння і величина якого 9,8 м/с2.

Як  і будь-який рівноприскорений рух, вільне падіння тіла можна описати рівнянням виду   х= хо+ v0t+(a/2)t2. Особливість цього описання лише в тому, що говорячи про вільне падіння матеріальної точки, її вертикальну координату (висоту)  позначають  літерою h, а прискорення – літерою g .  Іншими словами, рух вільно падаючого тіла можна описати формулою h=hо+v0t+(g/2)t2.  Наприклад, в зображених на мал.18 а,б,в ситуаціях, рівняння руху тіла  мають вигляд :

а) h1  = hо – v0t – (g/2)t2 ;

б) h2  = v0t – (g/2)t2 ;

в) h3  = (v0sinα)t – (g/2)t2 .

 

Словник фізичних термінів.

Вільним падінням називають такий рух тіла, який відбувається під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу інших зовнішніх сил, зокрема сили опору повітря.

Прискорення вільного падіння –  це те прискорення, яке  надає тілу сила тяжіння.

Контрольні запитання.

1.Чи можна стверджувати, що кинуте в горизонтальному напрямку тіло, знаходиться в стані вільного падіння? Чому?

2. Чи залежить прискорення вільного падіння від маси падаючого тіла?

3. Чи залежить прискорення вільного падіння від маси Землі?

4. Одне тіло випустили з руки, а друге кинули вертикально вниз. Яке з цих тіл матиме більше прискорення вільного падіння?

5. Від чого залежить прискорення вільного падіння?

6. Як змінюється величина того реального прискорення з яким падає тіло в атмосферному повітрі?

                                     Вправа 7.

1.Визначити глибину ущелини, якщо камінь, падаючи без початкової швидкості досягне її дна за 5с.

2. Тіло без початкової швидкості падає з висоти 30м. Визначити його швидкість в момент падіння.

3. Камінь кинули вертикально вниз з початковою швидкістю 7м/с. З якої висоти кинули камінь, якщо він падав 1,5с?

4. Тіло вільно падає з висоти 60м. Визначте пройдений тілом шлях за останню секунду його падіння.

5.Стрілу випустили з лука вертикально вгору. При цьому, вона впала на землю через 6с. Яка початкова швидкість стріли і максимальна висота її підйому?

 

§13. Розв’язування задач. Тема: Вільне падіння тіл. Рух тіла кинутого вертикально.

 

Загальні зауваження.  1. Як і будь-який рівноприскорений рух, вільне падіння описується рівнянням   h = hо +  v0t + (g/2)t2. При    цьому, в залежності від умов конкретної задачі та вибору системи координат, це рівняння набуває відповідного конкретного вигляду.

2.Оскільки, рішення переважної більшості задач на вільне падіння тіл фактично є наближеним (адже в них не враховується гальмівна дія атмосферного повітря), то будемо вважати, що g=10 м/с2. Це дозволить не лише суттєво скоротити розрахункову частину задач, а й більш чітко виділити характерні закономірності вільного падіння.

Задача 1. Визначити глибину колодязя, якщо відомо, що випущений із руки камінь досягає води за 2 с. Яку швидкість має камінь в момент падіння на воду

Дано :                                       Аналіз.

v0 = 0  м/с               • 0

 t1  =  2 с                  ↓     ↓g

—————          h  ↓

h   = ?                       ↓

v   = ?                    —↓—–

Задаємо систему координат і зважаючи на те що   h0 = 0(м),  v0 = 0  м/с, записуємо рівняння руху тіла:  h=(g/2)t2,  де  t=2c.

Оскільки при рівноприскореному русі:  v = v0 +gt, та враховуючи що

v0 = 0 м/с, можна  записати   v = gt

Розрахунки.    h=…=20 м;

v=…=20 м/с.

Відповідь:  h=20 м;  v=20 м/с .

         Задача 2.  На яку максимальну висоту підніметься тіло. Якщо його кинули вертикально вгору з швидкістю 20 м/с ?

Дано :                                        Аналіз.

v0 = 20 м/с

————-                                      ↓g

hmax   = ?                         hм   v0

·                                                ↑

·                                          —–•0—–

Задаємо систему координат та записуємо рівняння руху тіла в ній (hо = 0 м) :

h   =    v0t – (g/2)t2

Із аналізу рівняння руху ясно, що для визначення максимальної висоти підйому тіла (h  =  hmax)  необхідно визначити час цього підйому  t = t1.

Оскільки на максимальній висоті, тобто в момент часу  t = t1, швидкість тіла дорівнює нулю, та зважаючи на те, що величина цієї швидкості визначається за формулою  v = vo – gt,   можна записати:   vo – gt1= 0.

Звідси,  t1=v0/g .

Таким чином:      hmax = v0t1 – (g/2)t12 = v0(v0/g) – (g/2)(v0/g)2 = v02/2g ;

тобто,       hmax = v02/2g

Розрахунки.    hmax =…= 20 м

Відповідь:  hmax =20 м .

         Задача 3.  Дві кульки кинули вертикально вгору з інтервалом 1 с. Початкова швидкість кожної кульки 10 м/с.  На якій висоті  зустрінуться ці кульки ?

Дано:                                                Аналіз.

∆ t = 1c

v01 = v02 = 10 м/c                   ↑

——————-                          • v1   ↓g

hзустр – ?

·                                         h01 ↑ v02

·                                      ——–•0——-

Враховуючи те, що через час Δt, тіло 1 буде на висоті h01 та матиме швидкість v1, задаємо систему координат і записуємо рівняння руху кожного тіла в ній:

1)  h1 = h01 + v1t – (g/2)t2;

2)  h2  = v02t – (g/2)t2.

Числові значення h01 та v1 визначаємо із наступних міркувань:

·                                     h01 =v01∆t – (g/2)∆t2 = … = 5 м

·                                      v1 =v01 – g∆t = … = 0 м/с

Для визначення місця зустрічі куль, необхідно визначити час цієї зустрічі

tx = tзустр.  А оскільки в момент зустрічі куль h1=h2,  то:

h01 + v1tx – (g/2)tx2 = v02tx – (g/2)tx2 ,  або     h01 + v1tx = v02tx.

Звідси tx =h01/(v01-v1) = … = 0,5c

Таким чином, кулі зустрінуться через 0,5 с після вильоту другої кулі. Зустрінуться в точці з координатою  hзустр = h1(0,5) =…= 3,75 м.

Відповідь:  hзустр= 3,75 м.

 

Задача 4.  При вільному падінні, останні 10 м тіло пролетіло за 0,25с. Визначити з якої висоти падало тіло.

Дано:                                Аналіз.

v0 = 0 м/с               ——•——

h2 = 10 м                   g↓                t1

t2 = 0,25c

—————-               —–•————–

H = ?                           ↓v1   h2    t2

·                                  ————-

Задаємо систему координат та записуємо рівняння руху тіла в ній

( h0 = 0 м ;  v0 = 0 м/с ):   h = (g/2)t2 .

Оскільки в момент падіння (t=tx) тіла,  h=H, то  H = (g/2)tx2 .

Таким чином, задача зводиться до того, щоб визначити час падіння тіла. Визначаючи цей час можна сказати, що він складається з двох частин: tx=t1+t2 ,    де  t1= ?

Оскільки нам відома довжина та часова тривалість другої ділянки руху, то запишемо рівняння руху на цій ділянці:   h2 = v1t2 + (g/2)t22. Звідси випливає v1 = [ h – (g/2)t22 ]/t2 = … = 38м/с.

Оскільки v1 – є результатом вільного падіння тіла за час t1 : v1 = v0 + gt1, де v0 = 0м/с, то t1 = v1/g = 3,8c.

Таким чином: tx = t1+ t2 = 3,8 + 0,25 = 4,05с.

Враховуючи вище сказане можна записати: H = (g/2)tx2 = … = 82м.

Відповідь:  Н = 82 м .

 

Вправа 8.

1.З висоти 80 см на підлогу падає шматок крейди. Визначити час її падіння та швидкість в момент падіння на підлогу.

2. Тіло кинули вертикально вгору з швидкістю 20 м/с. Визначити пройдений тілом шлях та його переміщення за 3 с .

3.Камінь кинули вертикально вниз з початковою швидкістю 5м/с. З якої висоти кинули камінь, якщо він падав 2с?

4. Тіло падає без початкової швидкості з висоти 80 м. Визначити середню швидкість тіла на другій половині шляху.

5. Тіло кинули з висоти 15 м вертикально вгору з початковою швидкістю 10м/с. Визначити швидкість тіла в момент його падіння на землю. Визначити пройдений тілом шлях та його переміщення.

6. З висоти 10 м без початкової швидкості падає тіло. Одночасно з висоти 5м, вертикально вгору кинули друге тіло. З якою початковою швидкістю кинули це тіло, якщо тіла зустрілися на висоті 1 м над землею?

7. Кулька падає на підлогу з висоти 1,5 м і відбиваючись від неї втрачає 25% своєї швидкості. Через який час після відбивання, кулька знову вдариться об підлогу?

 

§14. Рух тіла кинутого горизонтально, або під кутом до горизонту.

 

         В ситуаціях, коли опором повітря можна знехтувати (а ми будемо розглядати лише такі ситуації), рух тіла кинутого горизонтально, або під кутом до горизонту, по суті є вільним падінням тіла, тобто таким рухом, який відбувається під дією лише одного силового фактору – сили тяжіння.

Рух тіла кинутого горизонтально, або під кутом до горизонту є криволінійним, причому таким, який завжди можна розкласти на дві складові: рівномірний (v=const) горизонтальний та рівноприскорений (a=const) вертикальний. А це означає, що описуючи такий криволінійний рух, можна записати два незалежних рівняння, аналіз яких дозволяє відповісти на практично будь які запитання кінематики. На підтвердження вище сказаного розглянемо декілька конкретних задач.

Задача 1. Тіло, що знаходиться на висоті 5м кинули горизонтально з швидкістю 20 м/с. Визначити горизонтальну дальність польоту тіла та його швидкість в момент падіння на землю.

Дано:                  •→ v0                    Аналіз.

h0 = 5 м            h0

v0= 20 м/с               ↓g

—————–

0 = ?                   0————————————–→ Ɩ

v = ?                   Криволінійний рух даного тіла по суті є результатом двох незалежних рухів: рівномірного горизонтального та рівноприскореного вертикального. Зважаючи на ці обставини, задаємо систему координат і записуємо рівняння кожного окремого руху.

1.горизонтальний рух: (ℓ0=0м; a=0м/с2)          ℓ = v0t ;

2. вертикальний рух: (v0=0м/с ; a=g=10м/с2)    h=h0 – gt2/2.

Із аналізу рівнянь ясно, що для того щоб визначити дальність польоту тіла (ℓ=v0t), необхідно визначити тривалість цього польоту (t=tx). А оскільки в момент падіння тіла,  h=0, то:  h0 – gtx2/2 = 0 , звідси  tх=(2h0/g)1/2 .

Тому:   ℓ = v0(2h0/g)1/2 = …= 20 м.

Визначаючи величину та напрям швидкості тіла в момент його падіння, потрібно зважити на те, що ця швидкість має дві складові:

– горизонтальну vx, значення якої залишається незмінною: vx=v0=20м/с

– вертикальну vy, величина якої змінюється за законом vy=gt.

Оскільки для моменту падіння  t=tx=(2h0/g)1/2=…=1c,  то  vy =gt =10м/с.

Таким чином, результуючий вектор швидкості  має дві складові:

vx =20м/с;   vy =10м/с

Знаючи правила додавання векторів, не важко визначити величину (v) і напрям (α) результуючої швидкості:   v = vx + vy

v = (vx2 +vy2)1/2=…= 22,3 м/с

tgα = vy/vx=…=0,5 ;   α=arctg0,5=27° .

α – кут між напрямком вектора vx та напрямком результуючого вектора v

Відповідь:  ℓ=20 м;  v = 22,3 м/с;  α =27° .

Задача 2. З якою горизонтальною швидкістю потрібно кинути тіло, щоб дальність його польоту дорівнювала тій висоті з якої кинули це тіло?

 

Дано:           •→  v0         Аналіз.

h0

ℓ = h0        h0      g↓

————

v0 = ?            0—————————————→ Ɩ

Задаємо  систему координат і записуємо рівняння горизонтального та        вертикального руху тіла:      ℓ = v0t ;

·                      h = h0 – gt2/2 .

Оскільки в момент падіння тіла (t=tx), h = 0 м,  то  h0 – gtx2/2 = 0,

звідси  tx = (2h0/g)1/2 .

Таким чином, дальність польоту тіла визначається за формулою

ℓ = v0(2h0/g)1/2,    звідси     v0 = ℓ /(2h0/g)1/2 = ℓ (g/2h0)1/2.

Оскільки за умовою задачі  ℓ = h0  то  v0 = h0(g/2h0)1/2= (h0g/2)1/2.

Відповідь:  v0 = (h0g/2)1/2.

Тепер, коли ви ознайомились з закономірностями руху тіла кинутого горизонтально, можна розглянути і більш загальний рух, – рух тіла кинутого під кутом до горизонту.

Мал.19. Кінематика руху тіла кинутого під кутом до горизонту.

На перший погляд, такий рух здається значно складнішим за рух тіла кинутого горизонтально. Насправді ж відмінності між цими рухами не такі вже й суттєві. Дійсно. Якщо вектор початкової швидкості (v0) розкласти на дві складові:

– горизонтальну  vx = v0 cosα

– вертикальну      vy = v0 sinα

то даний криволінійний рух можна представити як результуючу двох лінійних рухів: рівномірного горизонтального та рівноприскореного вертикального. При цьому, кожен з цих рухів можна описати відповідним рівнянням. Наприклад, вище зображений рух, можна описати системою двох рівнянь:

ℓ = (v0 cosα)t ;

h = (v0 sinα)t – gt2/2 .

Доречно зауважити, що в процесі руху тіла кинутого під кутом до горизонту, горизонтальна складова його швидкості (vx = v0 cosα) залишається незмінною (звичайно за умови не суттєвості опору повітря), а вертикальна складова цієї швидкості, змінюється за законом vy = v0 sinα – gt (спочатку зменшується до нуля, а потім збільшується, мал.19б).

Задача 3.  Снаряд вилетів з дула гармати під кутом 30° до горизонту, з швидкістю 800 м/с. Визначити дальність польоту снаряду та максимальну висоту його підйому.

Дано:                                            Аналіз.

v0 = 800м/с

α = 30°                              ↓g

—————–         v↑  v0

ℓ = ?                      •→vx ——————————————– Ɩ

hм = ?

В вибраній системі координат, вектор початкової швидкості розкладаємо на дві складові (vx=v0cosα, vy=v0sinα) та записуємо рівняння горизонтального і вертикального руху снаряду:

ℓ = (v0cosα)t;

h = (v0sinα)t – gt2/2.

Виходячи з того, що в момент падіння h = 0 м, визначаємо час польоту снаряду (t=tпол):  (v0sinα)t – gt2/2 =0, або t(v0sinα – gt/2) = 0, звідси:

1) t = 0

2) v0sinα – gt/2 = 0;  gt/2 = v0sinα;  t = 2v0sinα/g.

Отримані результати говорять про те, що на нулевій висоті (h=0) снаряд побував двічі: 1) в момент вильоту з дула гармати (t=0c); 2) в момент падіння на землю (t=2v0sinα/g).

Оскільки, тривалість польоту снаряду визначається як проміжок часу між моментом його вильоту та моментом падіння, то ясно, що tпол =2v0sinα/g.

Знаючи час польоту снаряду, не важко визначити дальність його польоту:

ℓ = (v0cosα)(2v0sinα)/g = 2v02cosα∙sinα/g. Таким чином, дальність польоту снаряду можна визначити за формулою:  ℓ =2v02cosα sinα/g.

Для того щоб визначити максимальну висоту підйому снаряду (hм), потрібно знати час цього підйому(tм). А оскільки рух снаряду є симетричним (тривалість підйому снаряду дорівнює тривалості його падіння), то можна стверджувати:  tм= tпол/2 = v0sinα/g.

Звичайно, якби тривалість польоту снаряду була невідомою, то значення того моменту часу який відповідає максимальній висоті підйому снаряду (tм), ми б визначали з інших міркувань. А ці міркування є наступними. В точці максимального підйому снаряду, вертикальна складова його швидкості (vв) дорівнює нулю. А оскільки ця складова змінюється за законом  vв=v0sinα – gt, то для  vв=0,  t = v0sinα/g. Враховуючи вище сказане, можна записати:

hм = (v0sinα)t – gt2/2 = (v0sinα)(v0sinα/g) – (g/2)(v0sinα/g)2 = v02sinα2/g – v02sinα2/2g = v02sinα2/2g; тобто hм = v02sinα2/2g.

Таким чином, дальність польоту снаряду, та максимальну висоту його підйому (), можна визначити за формулами:

ℓ =2v02cosα sinα/g;

hм = v02sinα2/2g.

Розрахунки.  ℓ = … = 55·103 м =55 км;

hм = … =8·103 м = 8 км.

Відповідь:  ℓ = 55 км;  hм = 8 км.

Із аналізу формули ℓ =2v02cosα sinα/g ясно, що максимальна дальність польоту тіла кинутого під кутом α до горизонту, відповідає максимальному значенню добутку cosα sinα. А динаміка зміни цих значень є наступною:

якщо α = 15º то cosα sinα = 0,195;

якщо α = 30º то cosα sinα = 0,433;

якщо α = 45º то cosα sinα = 0,500;

якщо α = 60º то cosα sinα = 0,433;

якщо α = 75º то cosα sinα = 0,195.

Висновок: максимальна дальність польоту тіла кинутого під кутом α до горизонту, буде в тому випадку, якщо величина цього кута становить 45º.

Мал.20. Залежність дальності польоту тіла від величини того кута під яким це тіло кинуте до лінії горизонту.

Потрібно зауважити, що для тих швидкостей з якими рухаються кулі та снаряди, опір атмосферного повітря є дуже великим. Тому реальні параметри траєкторії руху снаряду, будуть суттєво відрізнятись від тих, які отримані без врахування опору повітря.

На завершення ще раз нагадаємо. Рішення задачі полягає не в тому, щоб десь в подібних задачах відшукати (а по суті списати) те розрахункове рівняння яке дозволяє визначити потрібну величину. Сенс цього рішення в тому, щоб на основі відомих базових формул та певних логічних міркувань, теоретично вивести (довести) потрібне розрахункове рівняння. Скажімо, в останній задачі розрахункові рівняння ℓ =2v02cosα sinα/g; hм = v02sinα2/2g , ви повинні не списати з рішення подібної задачі і не вгадати, а теоретично вивести з базових формул кінематики. А цими формулами є:

1.рівняння руху (записане для даної конкретної ситуації);

2. визначальні рівняння базових фізичних величин (записані для даної конкретної ситуації);

3. формула s=(vk2-v02)/2a .

 

Вправа 9.

1.З балкону, в горизонтальному напрямку кинули камінь з швидкістю 15м/с. При цьому камінь упав на землю через 2с. З якої висоти кинули камінь і на якій відстані від підніжжя балкону він упав?

2. На скільки зміниться час польоту тіла кинутого горизонтально з певної висоти, якщо цю висоту збільшити в 2 рази?

3. Визначити максимальну висоту підйому каменя кинутого з швидкістю 20м/с під кутом 45º до горизонту.

4. Камінь, кинутий під кутом 30º до горизонту, побував на одній і тій же висоті двічі: через 1с і 3с після початку руху. Визначити початкову швидкість каменя.

5. Камінь кинуто під кутом 30º до горизонту з швидкістю 10м/с. Через який час камінь буде на висоті 1м?

6. Тіло кинуто під кутом 60º до горизонту з початковою швидкістю 20м/с. Через який час воно рухатиметься під кутом 45º до горизонту?

7. Під яким кутом до горизонту потрібно кинути камінь, щоб висота його підйому дорівнювала дальності польоту?

 

§15. Про графічний метод розв’язування задач кінематики.

 

В фізиці існує два базових методи розв’язування задач: алгебраїчний (аналітичний) та графічний (геометричний). До сих пір, задачі кінематики ми розв’язували алгебраїчним методом. Суть цього методу полягає в тому, що виходячи з умов конкретної задачі та відомих базових формул, шляхом логічних міркувань (аналізу) та відповідних математичних перетворень, отримують алгебраїчне рішення задачі, тобто те розрахункове рівняння яке і дозволяє визначити невідому величину.

Алгебраїчний метод є основним методом розв’язування задач фізики. Однак, фізика влаштована таким чином, що в ній одну і ту ж задачу можна розв’язати по різному, скажімо не шляхом математичного аналізу, а шляхом відповідних геометричних побудов. При цьому, геометричне (графічне) рішення задачі часто є більш простим та ефективним за відповідне алгебраїчне рішення.

Суть графічного (геометричного) методу розв’язування задач полягає в тому, що на основі максимально точних геометричних побудов, з дотриманням вибраного масштабу та з застосуванням відповідних геометричних приладів (лінійка, транспортир, циркуль, тощо), отримують графічну відповідь на поставлене в задачі запитання. Головною перевагою графічного методу є його візуальна наочність. А основним недоліком – факт того, що точність графічного рішення залежить від точності геометричних побудов. Крім цього, графічне рішення задачі може бути ефективним лише в тому випадку, коли досліджувані величини описуються лінійними функціями, тобто можуть бути представленими у вигляді певних прямих.

Ілюструючи можливості, переваги та недоліки графічного методу розв’язування задач кінематики, розглянемо декілька конкретних прикладів.

Задача 1.   За рівняннями руху  х1 =100 – 5t ; х2 = -50 +5t   побудувати відповідні графіки та виконати їх кінематичний аналіз.

Загальні зауваження.  З курсу математики відомо, що рівняння виду

y = ax + b, це лінійне рівняння, графіком якого є пряма. Для побудови цієї прямої достатньо знати координати двох її довільних точок. Обираючи ці точки керуються наступними правилами: 1) вибрані точки мають бути зручними для математичних розрахунків та геометричних побудов; 2) вибрані точки мають бути максимально віддаленими одна від одної (це забезпечує максимальну точність геометричних побудов).

Дано:

х1 = 100 – 5t                             На основі аналізу заданих рівнянь руху визначаємо

х2 = -50 + 5t                              координати базових точок:

——————-

побудувати                   х1 = 100 – 5t :  якщо t = 0с   то  х = 100м,   А1(0;100)

графіки                                                     якщо  t = 20с  то  х = 0м,     А2(20;0)  .

·                                         х2 = -50 + 5 :    якщо  t = 0с   то   х = -50м,  В1(0;-50)

·                                                                   якщо  t = 20с  то  х = 50м,   В2(20;50) .

Задаємо систему координат і виконуємо необхідні геометричні побудови.

x(м)

100 ↑•

80   ↑             •

60   ↑                           •

40   ↑                                        •

20   ↑                                                   •

·  0  ↑—————————————————•————————→  t(c)

-20  ↑               5             10            15           20            25

-40  ↑

-60  ↑

Побудувавши графіки заданих рухів та аналізуючи ці графіки, можна відповісти на безліч кінематичних запитань. Наприклад, можна встановити координати рухомих тіл (матеріальних точок) в будь який момент часу. Скажімо, в момент часу t= 6с: х1=70м;  х2= -20м. Для будь якого моменту часу, визначити відстань між рухомими об’єктами.  Наприклад: для   t=10с ,

ℓ=50м ;  для  t= 6с  ℓ= 90м. Визначити час та місце зустрічі тіл: зустрінуться через 15с в точці з координатою 25м. Визначити швидкість тіла (v=∆x/∆t), його прискорення (a=∆v/∆t), напрям руху, тощо. Іншими словами, геометричний аналіз графіків руху, дозволяє відповісти на той же спектр запитань що і математичний аналіз відповідних рівнянь руху.

Зазвичай, графічний метод розв’язування задач є ефективним лише в тих випадках, коли досліджувана величина (координата, пройдений шлях, швидкість, тощо) змінюється лінійним чином. Адже якщо, наприклад, рух матеріальної точки описується рівнянням х = 100 – 10t + 0,2t2, то графіком цього руху буде відповідна парабола, тобто певна крива. А як відомо, для побудови такої кривої потрібно визначити координати максимально великої кількості точок. В такій ситуації графічний метод розв’язування задач стає занадто трудоємким, занадто не точним та занадто не ефективним.

Задача 2. За заданими графіками руху матеріальної точки, записати відповідні рівняння руху.

Оскільки задані графіки руху представляють собою певні прямі, то можна стверджувати, що відповідні рухи є такими що відбуваються з постійною швидкістю, тобто такими які описуються формулою x=x0+vt . При цьому, із кількісного аналізу заданих графіків можна записати:

1) x0=10м; v=∆x/∆t=(0-10)/(4-0)= -2,5м/c;  тому x1=10 – 2,5t;

2) x0=0м; v=∆x/∆t=(10-0)/(4-0)= 2,5м/c;  тому x1=0 + 2,5t;

3) x0=5м; v=∆x/∆t=(0-5)/(1-0)= -5м/c;  тому x1=5 – 5t;

4) x0=-10м; v=∆x/∆t=(0-(-10))/(2-0)= 5м/c;  тому x1=-10 + 5t;

Не важко збагнути, що визначаючи швидкість руху матеріальної точки v=∆x/∆t, значення величин ∆x, ∆t  вибирають виходячи з міркувань практичної доцільності.

Задача 3. За заданими графіками швидкостей матеріальних точок, записати відповідні рівняння швидкостей та рівняння пройденого шляху.

На основі кількісного аналізу заданих графіків можна записати:

1).v0=2м/c; a=∆v/∆t=(5-2)/(2-0)= 1,5м/c, тому  v=2+1,5t;  s=2t+0,75t2;

2).v0= -3м/c; a=∆v/∆t=(0-(-3))/(3-0)= 1м/c, тому  v=-3+1t;  s=-3t+0,5t2;

3).v0= 1м/c; a=∆v/∆t=(1-1)/(2-0)= 0м/c, тому  v=1м/с=const;  s=1t;

4).v0= 5м/c; a=∆v/∆t=(0-5)/(2,5-0)= -2м/c, тому  v=5- t;  s=2t – t2.

Задача 4. За заданим графіком швидкості, описати рух тіла на кожній ділянці шляху. Визначити пройдений тілом шлях на кожній ділянці. Побудувати відповідний графік прискорення.

Оскільки задані рівняння швидкостей представляють собою певні прямі, то можна стверджувати, що відповідні рухи є рівноприскореними (а=соnst), тобто такими, які описуються формулами:

v = v0 + at – рівняння швидкості;

s = v0t + at2/2 – рівняння пройденого шляху;

для криволінійного руху: s = |s1| + |s2| + …

Кількісно аналізуючи графік швидкості на кожній ділянці, можна сказати наступне:

1.Ділянка №1: ∆t=20c; v=20м/c=const; a=0; s=15Δt=20∙20=400м

2. Ділянка №2: ∆t=20c; v≠const; v↑; v0=20м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с2;

s = v0Δt + aΔt2/2 = 20∙20 + 0,5∙202 = 600м.

3. Ділянка №3: ∆t=20c; v≠const; v↓; v0=40м/c; a=∆v/∆t=(-40м/с)/20с= -2м/с2;

s = v0Δt + aΔt2/2 = 40∙20 – 1∙202 = 400м.

4. Ділянка №4: ∆t=20c; v≠const; v↑; v0=0м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с2;

s = v0Δt + aΔt2/2 = 0∙20 + 0,5∙202 = 200м.

Для кожної ділянки графіку швидкості будуємо відповідний графік прискорень.

·   1  a(м/с2)

 

·  0             20          40          60          80                t(c)

· – 1

 

· – 2

Крім всього іншого, аналіз графіку швидкості руху тіла дозволяє графічним способом визначати величину пройденого шляху як на певній ділянці руху так і на будь якій сукупності цих ділянок. А величина цього шляху дорівнює площі тієї фігури, яка з одного боку обмежена графіком швидкості та віссю 0-t, а з іншого – тими вертикальними лініями, які відповідають тому проміжку часу в межах якого визначається пройдений шлях (мал.21). Перевіряючи достовірність даного твердження, за заданим в попередній задачі графіком швидкості, визначте величину пройденого шляху на кожній ділянці руху, та порівняйте отримані результати з тими, які були отримані аналітичним методом.

Мал.21. Пройдений тілом шлях дорівнює площі тієї фігури, яка обмежена відповідним графіком швидкості та межами відповідного часового інтервалу.

Задача 5. За заданим графіком швидкості, описати рух тіла та визначити пройдений ним шлях за 6с.

На перший погляд, рішення задачі є елементарно простим: ∆t=6c;

v0= – 8м/c; a=∆v/∆t=(12м/с)/6с=2м/с2; s=v0Δt + aΔt2/2 = -8∙6+1∙62= – 12м. Втім, останній результат явно насторожує. І не тільки своїм знаком (знак « – » може вказувати на той напрямок в якому рухається тіло), а й величиною (s=12м). Адже як з графічних, так і з аналітичних міркувань ясно, що величина пройденого тілом шляху є значно більшою за 12м. До речі, якщо ви думаєте, що в умовах даної задачі величина пройденого шляху дорівнює площі трикутника А(0;-8), В(0;4), С(6;4), яка становить (12∙6)/2=36м, то помиляєтесь.

А справа втому, що в даному випадку рух тіла не є прямолінійним. Адже факт того, що на заданій ділянці, знак швидкості змінюється на протилежний, по суті означає, що на цій ділянці, до певного моменту (до моменту v=0) тіло рухається в одному напрямку, а після цього моменту – в протилежному напрямку. Прикладом такого руху є рівносповільнений рух тіла похилою площиною: до моменту зупинки, тіло рухається в одному напрямку (вгору), а після зупинки – в протилежному (вниз). При цьому, як до зупинки так і після неї, тіло рухається з одним і тим же прискоренням (одним і тим же як за величиною, так і за напрямком).

Оскільки на заданій ділянці, рух тіла фактично є криволінійним (складається з двох частин: s1 – до зупинки, s2 – після зупинки), то на цій ділянці загальна величина пройденого шляху має визначатись за формулою s = |s1| + |s2|. При цьому: s1= -8Δt1 + 1∙Δt12 = -8∙4 + 1∙42 = 16;  s2= 0∙Δt2 + 1∙Δt22= 0 + 22=4м. Таким чином, загальна величина пройденого тілом шляху становить 20м.

Вправа 10.

1.За заданими графіками руху матеріальної точки, дайте загальну характеристику її руху та запишіть відповідне рівняння руху.

 

2.За заданими графіками руху, записати відповідні рівняння руху. Визначити час і місце зустрічі тіл 1 і 2. Задачу розв’язати алгебраїчно та графічно.

3. За заданими графіками швидкості, записати відповідні рівняння швидкості та пройденого шляху. Визначити пройдені тілами шляхи на кожній ділянці руху.

4. Рух тіл вздовж осі ох задано рівняннями х1=5t, х2=150 -10t. Визначити час та місце їх зустрічі. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.

5. З пунктів А і В, відстань між якими 160м одночасно і в одному напрямку почали рухатись два тіла з швидкостями 10м/с і 6м/с відповідно. Де і коли зустрінуться ці тіла? Задачу розв’язати алгебраїчно та графічно.

6. Зі стану спокою, кабіна ліфта рівноприскорено рухається вверх і за 4с досягає швидкості 4м/с. Наступні 10с вона рухається рівномірно, а останні 3с рівномірно сповільнює свій хід до зупинки. Побудуйте відповідні графіки швидкості та прискорення. Визначте пройдений ліфтом шлях і його середню швидкість на цьому шляху.

7. За заданим графіком швидкості, опишіть рух тіла на кожній ділянці шляху. Визначте пройдений тілом шлях. Побудуйте відповідний графік прискорення.

 

 

 

§16. Основні поняття, величини та закони кінематики

         обертального руху.

 

Нагадаємо. Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання.  Оскільки при обертальному русі, різні точки тіла мають суттєво різні кінематичні характеристики (рухаються з різними швидкостями та прискореннями, описують різні траєкторії, проходять різні шляхи, тощо), то ясно, що описуючи такий рух, представляти тіло у вигляді матеріальної точки не припустимо. Як правило, в кінематиці обертального руху, реальне тіло представляють не у вигляді матеріальної точки, а у вигляді так званого абсолютно твердого тіла. Абсолютно тверде тіло – це таке умовне (ідеалізоване) тіло, яке в процесі механічних рухів та взаємодій не деформується.

До числа основних фізичних величин кінематики обертального руху відносяться: час (t), кутова координата (φ), кут повороту (Δφ), кутова швидкість (ω), кутове прискорення (ε).

Визначаючи базові величини кінематики обертального руху і перш за все ту, яка називається кутовою координатою (φ), або просто кутом, можна сказати наступне. В кінематиці поступального руху, розташування (місцезнаходження) матеріальної точки визначають її координатою (х). При цьому, в процесі поступального руху матеріальної точки, відповідно змінюється і її координата. Якщо ж говорити про обертальний рух тіла, то в процесі цього руху, координата тіла (тіла як матеріальної точки) по суті залишається незмінною. При обертальному русі, змінюється не координатне положення тіла, а його кутова орієнтація (мал.20). Цю орієнтацію характеризують величиною, яка називається кутом, а точніше – кутовою координатою.

  

мал.20   В процесі обертального руху тіла змінюється його кутова орієнтація.

Кутова координата (кут) – це фізична величина, яка характеризує просторову (кутову) орієнтацію тіла в вибраній системі координат і яка дорівнює відношенню довжини тієї дуги що обмежує даний центральний кут, до радіусу цієї дуги.

Позначається:  φ

Визначальне рівняння:  φ=ℓ/R

Одиниця вимірювання:  [φ]=рад ,   радіан.

Із визначального рівняння φ=ℓ/R  ясно, що виміряти кут в радіанах, означає поділити довжину тієї дуги (ℓ) що обмежує даний кут, на радіус цієї дуги (R). При цьому, якщо довжина обмежуючої дуги дорівнює її радіусу (ℓ=R), то відповідний кут дорівнює одному радіану (від слова “радіус”).

Радіан – це одиниця вимірювання кутових величин, яка дорівнює такому центральному куту, довжина обмежуючої дуги якого дорівнює радіусу цієї дуги. По суті, радіан – величина безрозмірна [φ]=м/м=рад. Однак, щоб підкреслити, факт того, що ця безрозмірна величина характеризує саме кутову орієнтацію тіла, вона має спеціальну назву – радіан.

Вимірювання показують, що в повному колі міститься приблизно 6,28 радіан, а точніше 2π радіан, де  π=3,141592653…≈ 3,14 . Відображенням даного факту є та формула за якою визначають довжину кола: ℓ=2πR .

Напевно ви знаєте, що в математиці, геометрії та повсякденному житті, кутові величини зазвичай вимірюють не в радіанах, а в градусах. Градус – це одиниця вимірювання кутових величин, яка дорівнює такому центральному куту, що становить триста шістдесяту (1/360) частину повного кола. Іншими словами, якщо коло поділити на 360 рівних частин, то кутовий сектор в одну таку частину і є градусом.

Як ви думаєте, чому визначаючи одиницю кутових величин, люди з незапам’ятних часів, поділили коло на 360 частин? Не  на 10, не на 100, чи скажімо на 250, а саме на 360? Правильно! З незапам’ятних часів, люди звернули увагу на те, що приблизно через 360 днів, все в цьому світі повторюється. Виходячи з цієї повторюваності, коло життя, а за ним і геометричне коло, поділили на 360 частин.

З практичної точки зору, градус є надзвичайно зручною одиницею. Тому в сфері геометричних побудов та повсякденного життя, кутові величини зазвичай вимірюють в градусах. Але, ця одиниця має один суттєвий недолік –  вона жодним чином не пов’язана з параметрами того кола яке ми поділили на певну кількість кутових сегментів. А це означає, що градус не є органічною частиною цілісної системи взаємопов’язаних одиниць, а отже і цілісної системи знань про навколишній світ.

Для того щоб одиниця вимірювання кутових величин стала органічною частиною цілісної системи знань, коло потрібно поділити не так як нам подобається, чи здається зручним, а так щоб цей поділ відображав той реальний зв’язок який існує між кутовими та лінійними величинами. А цей зв’язок полягає в тому, що для будь якого кутового сегменту (φ) відношення його обмежуючої дуги (ℓ) до радіусу цієї дуги (R) є постійною величиною (мал.21). Власне це відношення і є тим кутом, величина якого виміряна в радіанах.

  

мал.21.  Для будь якого кута φ відношення його обмежуючої дуги ℓ до радіусу R цієї дуги є постійною величиною.

Оскільки у повному колі, з одного боку міститься 360 градусів, а з іншого – 2π радіан, то між відповідними одиницями існує співвідношення 2π(рад)=360º. Звідси випливає, що 1рад=360º/2π ≈ 57º.

З побутово-практичної точки зору, вимірювати кутові величини в радіанах (1рад ≈ 57º) досить незручно. Тому в побутовій практиці та при геометричних побудовах, кутові величини зазвичай вимірюють в градусах. Однак якщо мова йде про фізику та сучасну науку загалом, то в ній основною одиницею вимірювання кутових величин є не градус, а радіан. Адже виміряний в радіанах кут є не лише мірою кутових величин, а й певним відображенням тих зв’язків, які об’єктивно існують між кутовими та лінійними величинами.

Тепер, коли ви знаєте що просторову орієнтацію тіла характеризують певним кутом і що величина цього кута вимірюється в радіанах, можна визначити й інші характеристики обертального руху тіла, зокрема його кут повороту, кутову швидкість та кутове прискорення.

Кут повороту – це фізична величина, яка характеризує кут повороту тіла і яка дорівнює цьому куту (тобто тому куту, на який повернулось тіло в процесі свого обертального руху).

Позначається:  ∆φ

Визначальне рівняння: ∆φ=φк – φ0 ,  або  ∆φ=s/R

де s – довжина того шляху який пройшла певна точка тіла, рухаючись по колу радіусу R, при повороті тіла на кут ∆φ.

Одиниця вимірювання:  [∆φ]=рад,  радіан.

Кутова швидкість – це фізична величина, яка характеризує кутову швидкість тіла (швидкість обертального руху тіла) і яка показує на який кут повертається тіло за одиницю часу.

Позначається: ω

Визначальне рівняння: ω=∆φ/∆t

Одиниця вимірювання:  ω=рад/с,  радіан за секунду.

Кутове прискорення – це фізична величина, яка характеризує кутове прискорення тіла і яка показує на скільки змінюється кутова швидкість тіла за одиницю часу.

Позначається: ε

Визначальне рівняння: ε=∆ω/∆t

Одиниця вимірювання:  ε=рад/с2 ,  радіан за секунду в квадраті.

По суті, кутова швидкість (ω) та кутове прискорення (ε) – величини векторні. Однак, зважаючи на факт того, що в межах програми загальноосвітньої  школи, вивчають лише загальні основи механіки обертального руху, ми не будемо формулювати ті правила які визначають напрям цих векторів. Натомість будемо просто вважати, що кутова швидкість того тіла яке обертається за годинниковою стрілкою має знак “+” , а проти годинникової стрілки – знак  « ̶ ». При цьому, якщо в процесі обертання, кутова швидкість збільшується, то знаки кутової швидкості та кутового прискорення є однаковими. А якщо ця швидкість зменшується, то відповідні знаки є різними.

         Основний закон кінематики обертального руху називається рівнянням обертального руху.  В цьому законі стверджується: в загальному випадку  обертальний рух тіла можна описати рівнянням    φ = φ0 + ω0t + (ε/2)t2

де  φ – кутова координата тіла в момент часу t;

φ0 – початкова кутова координата тіла;

ω0 – початкова кутова швидкість тіла;

ε – кутове прискорення тіла.

В кінематиці обертального руху, рівняння  φ=φ0 + ω0t + (ε/2)t2  відіграє ту ж роль, що і рівняння  х=х0 + v0t + (a/2)/t2  в кінематиці поступального руху. А це означає, що на основі аналізу рівняння обертального руху тіла, можна розв’язати безліч задач які стосуються цього руху. Втім, програма загальноосвітньої школи не передбачає розв’язування подібних задач. Зважаючи на ці обставини, обмежимся лише тією загальною характеристикою обертального руху, яка з усією очевидністю випливає з аналізу рівняння цього руху.

Задача. За заданим рівнянням обертального руху φ=π/2+10t – 01t2 дати загальну характеристику цього руху.

Із порівняльного аналізу рівнянь

φ=φ0 + ω0t + (ε/2)t2

φ=π/2 + 10t  – 01t2

ясно:  φ0 = π/2 рад ;    ω0 = 10 рад/с ;  ε = -0,2 рад/с2 ;  ω↓  .

Це означає, що в заданій системі координат, початкова кутова координата тіла відповідає куту π/2 рад. При цьому тіло обертається в додатному напрямку (за годинниковою стрілкою) з початковою кутовою швидкістю 10 рад/с. Величина цієї швидкості зменшується, а числове значення кутового прискорення становить 0,2 рад/с2 .

         Поділ механічних рухів на поступальні та обертальні, в значній мірі є умовним. Наприклад кабіна “оглядового колеса” (мал.22а), з одного боку, рухається поступально (в процесі руху будь яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі), а з іншого – обертально (в процесі руху, всі точки кабіни описують практично концентричні кола). Загалом, рух будь якої матеріальної точки по колу, з одного боку можна вважати обертальним, а з іншого – поступальним. А це означає, що описуючи такий рух, з одного боку говорять про кутову швидкість (ω), кутове прискорення (ε) і кут повороту (∆φ), а з іншого – про лінійну швидкість (v), лінійне прискорення (a) та пройдений шлях (s).

  

Мал.22  Рух кабіни “оглядового колеса” (а) та рух матеріальної точки по колу (б), одночасно є як поступальним так і обертальним.

Оскільки у вище наведених прикладах мова йде про один і той же поступально-обертальний рух, то між параметрами його поступальної та обертальної складових, існують певні кількісні співвідношення. Власне, ці співвідношення випливають із визначальних рівнянь відповідних фізичних величин. Дійсно. Якщо в процесі обертального руху матеріальна точка здійснює поворот на кут ∆φ=s/R, то її лінійне переміщення (пройдений шлях) становитиме s=∆φR. Якщо кутова швидкість матеріальної точки ω, то її лінійна швидкість v=ωR  (за визначенням ω=∆φ/∆t=s/R∆t=v/R, звідси  v=ωR ). Якщо кутове прискорення матеріальної точки ε, то її лінійне прискорення  а=εR  (за визначенням ε=∆ω/∆t=∆v/R∆t=a/R, звідси а=εR).

Таким чином, якщо матеріальна точка рухається по колу радіусу R, то між параметрами її поступального (лінійного) та обертального руху існують співвідношення:       s=∆φR ;     v=ωR ;    a=εR ,  або

∆φ=s/R ;    ω=v/R ;    ε=a/R .

Характерною особливістю руху матеріальної точки по колу є те, що в незалежності від швидкості цього руху, ця точка завжди рухається з певним доцентровим прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке визначається за формулою а=v2/R. А зважаючи на те, що v=ωR, цю формулу можна записати у вигляді  ад2R.

Аналізуючи параметри та закони поступального і обертального рухів, не важко бачити, що між цими параметрами та законами є певні очевидні аналогії. Ці аналогії можна представити у вигляді наступної узагальнюючої

таблиці.

 

 

Параметри та закони

поступального руху

Параметри та закони

обертального руху

Взаємопов’язаність

цих параметрів

час                         t час                         t                        t=t
координата           x=ℓ кутова                   φ=ℓ/R

координата

             ℓ=φR
пройдений            s=∆x

шлях 

кут                        ∆φ=s/R

повороту

             s=∆φR
швидкість         v=∆x/∆t кутова                   ω=∆φ/∆t

швидкість

             v=ωR
прискорення     a=∆v/∆t кутове                  ε=∆ω/∆t

прискорення

             a=εR
доцентрове       aд =v2/R

прискорення

                  _              ад2
рівняння поступального

руху

 x = x0 + v0t + (a/2)t2

рівняння обертального

руху

  φ = φ0 + ω0t +(ε/2)t2

 

 

Словник фізичних термінів.

         Кутова координата (кут) – це фізична величина, яка характеризує просторову (кутову) орієнтацію тіла в вибраній системі координат і яка дорівнює відношенню довжини тієї  дуги що обмежує даний центральний кут до радіусу цієї дуги.

Позначається:  φ

Визначальне рівняння:  φ=ℓ/R

Одиниця вимірювання:  [φ]=рад,   радіан.

Радіан – це одиниця вимірювання кутових величин, яка дорівнює такому центральному куту, довжина обмежуючої дуги якого дорівнює радіусу цієї дуги.

         Кут повороту – це фізична величина, яка характеризує кут повороту тіла і яка дорівнює цьому куту

Позначається:  ∆φ

Визначальне рівняння: ∆φ=φк – φ0, або  ∆φ=s/R

Одиниця вимірювання:  [∆φ]=рад,  радіан.

Кутова швидкість – це фізична величина, яка характеризує кутову швидкість тіла (швидкість обертального руху тіла) і яка показує на який кут повертається тіло за одиницю часу.

Позначається: ω

Визначальне рівняння: ω=∆φ/∆t

Одиниця вимірювання:  ω=рад/с,  радіан за секунду.

Кутове прискорення – це фізична величина, яка характеризує кутове прискорення тіла і яка показує на скільки змінюється кутова швидкість тіла за одиницю часу.

Позначається: ε

Визначальне рівняння: ε=∆ω/∆t

Одиниця вимірювання:  ε=рад/с2,  радіан за секунду в квадраті.

Рівняння обертального руху – це закон, в якому стверджується: в загальному випадку, обертальний рух тіла описується рівнянням

φ = φ0 + ω0t + (ε/2)t2

 

Контрольні  запитання.

1.Чому, описуючи обертальний рух тіла, це тіло не можна представляти у вигляді матеріальної точки?

2. Чому, визначаючи кутовий градус, коло поділили на 360 частин?

3. Чому, в науковій практиці основною одиницею вимірювання кутових величин є не градус а радіан?

4. Якщо в будь якому повному колі міститься 2π радіан, то чому дорівнює довжина кола?

5. Чому дорівнює кут повороту хвилинної стрілки годинника за 15хв; за 30хв; за 2 години?

6. Визначте кутову швидкість секундної, хвилинної та годинної стрілок годинника.

7. За заданим рівнянням обертального руху, дати загальну характеристику цього руху: а)  φ= -2π/3 +8t -0,1t2; б)  φ= π – 10t – 0,2t2;в)  φ= -5t + 0,2t2.

 

§17. Кінематика. Узагальнююче повторення.

 

         Кінематика – це розділ механіки, в якому вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл і не вивчають причини цього руху.  Механічний рух – це такий процес (рух), при якому тіло як єдине ціле переміщується відносно інших тіл. Розрізняють дві базові різновидності механічного руху: поступальний рух та обертальний рух. Виходячи з цього, кінематику розділяють на дві базові частини: кінематика поступального руху (кінематика матеріальної точки) та кінематика обертального руху. При цьому, в межах програми загальноосвітньої школи, вивчають головним чином кінематику поступального руху.

Основними поняттями (загальними термінами) кінематики поступального руху є: поступальний рух, матеріальна точка, відносність руху, система відліку, траєкторія. Поступальний рух – це такий механічний рух в процесі якого будь яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі. Характерною особливістю поступального руху є те, що при такому русі, всі точки тіла рухаються однаково. Однаково в тому сенсі, що мають однакові траєкторії руху, за однакові проміжки часу проходять однакові відстані, мають однакові миттєві і середні швидкості, однакові прискорення, тощо. А це означає, що описуючи поступальний рух тіла, нема потреби описувати рух кожної його окремої точки. Достатньо охарактеризувати рух будь-якої з цих точок, наприклад, центру маси тіла.  Зважаючи на ці обставини, в кінематиці поступального руху, реальне тіло зазвичай замінюють його ідеалізованою моделлю, яка називається матеріальною точкою.  Матеріальна точка, це така умовна точка, якою теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли розмірами, формою та внутрішнім устроєм цього тіла можна знехтувати. Матеріальна точка зберігає лише одну динамічну характеристику реального тіла – його масу.

Загально відомо, що будь який механічний рух є відносним. Відносність руху полягає в тому, що різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж об’єкту, можуть бачити суттєво різні рухи. А це означає, що описуючи механічний рух тіла, потрібно вказати в якій системі відліку цей рух описується. Адже в різних системах відліку один і той же рух може виглядати по різному. Система відліку – це взаємопов’язана сукупність системи координат та вимірювача часу, яка застосовується для того, щоб кількісно описати механічний рух матеріальної точки (тіла) в цій системі. Траєкторія, це умовна лінія, яку описує матеріальна точка в процесі свого руху в вибраній системі відліку.

Оскільки будь яку криволінійну траєкторію завжди можна представити як певну сукупність прямолінійних відрізків, параметри кожного з яких можна описати в лінійній (одновимірній) системі координат, то основою кінематики поступального руху є кінематика прямолінійного руху. Власне, в межах шкільної програми, в тій частині кінематики яка називається кінематикою поступального руху, фактично вивчають кінематику прямолінійного руху. При цьому, в тих випадках коли мова йде про криволінійний рух (наприклад рух тіла кинутого під кутом до горизонту), цей рух представляють як певну сукупність взаємопов’язаних прямолінійних рухів.

До числа основних фізичних величин кінематики поступального руху, відносяться: час (t), координата (x), пройдений шлях (s), швидкість (v) та прискорення (a).

         Час – це фізична величина,  яка характеризує  тривалість подій (явищ, процесів, рухів, тощо) і яка дорівнює цій тривалості.

Позначається: t

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [t] = с, (секунда)

Координата – це фізична величина, яка характеризує положення (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат і яка дорівнює відстані від  точки відліку цієї системи до проекції даної точки на відповідну вісь координат.

Позначається: х

Визначальне рівняння: х =ℓх

Одиниця вимірювання: [х] = м, (метр)

         Пройдений  шлях – це фізична величина, яка характеризує пройдений матеріальною точкою (тілом) шлях і яка дорівнює довжині тієї траєкторії яку описує ця точка в процесі відповідного руху.

Позначається: s

Визначальне  рівняння:   s = ℓтр   або   s =∆х

Одиниця вимірювання: [s] = м

Швидкість – це фізична величина, яка характеризує швидкість руху тіла (матеріальної точки) в заданій системі відліку і яка показує на скільки переміщується тіло в цій системі, за одиницю часу.

Позначається:  v

Визначальне рівняння: v =∆x/∆t

Одиниця вимірювання:[v] = м/с,  метр за секунду.

Зазвичай, терміном швидкість позначають так звану миттєву швидкість, тобто швидкість тіла в даний момент часу. Однак, окрім миттєвої швидкості існує багато різновидностей певним чином усереднених швидкостей, зокрема: середня шляхова швидкість, середня швидкість переміщення, середня арифметична швидкість, середня квадратична швидкість, тощо. В кінематиці поступального руху, зазвичай говорять лише про одну різновидність усередненої швидкості – середню шляхову швидкість, яку називають просто – середня швидкість.

         Середня швидкість (середня шляхова швидкість), це та усереднена швидкість  з якою тіло долає певну ділянку шляху і яка дорівнює відношенню пройденого тілом шляху s, до  того проміжку часу t, за який цей шлях було пройдено.

Позначається: vс

Визначальне рівняння: vс= s/t

Одиниця вимірювання: [vс] = м/с,  метр за секунду

Прискорення – це  фізична величина, яка характеризує  зміну швидкості руху тіла,  і яка  показує на скільки змінюється ця швидкість за одиницю часу.

Позначається:  а

Визначальне рівняння:   а =∆v/∆t

Одиниця вимірювання:  [ a ]  = м/с2,  метр за секунду в квадраті.

Оскільки швидкість, величина векторна, то вона може змінюватись як за величиною так і за напрямком. Виходячи з цього, розрізняють дві різновидності прискорення: лінійне прискорення – характеризує зміну швидкості за величиною (ал=∆v/∆t),  доцентрове прискорення – характеризує зміну швидкості за напрямком (ад=v2/R ). При цьому, лінійне прискорення направлено вздовж лінії швидкості, а доцентрове – перпендикулярно цій лінії (до центру кривизни траєкторії). Зазвичай лінійне прискорення  називають просто прискоренням і позначають літерою а=∆v/∆t .

Основний закон кінематики поступального руху називається рівнянням руху. В цьому законі стверджується: в загальному випадку, прямолінійний рух матеріальної точки можна описати рівнянням

х = х0 +v0t +(а/2)t2

де    х – координата матеріальної точки в момент часу t,

х0 – початкова координата точки, тобто її координата в момент часу t= 0

v0 – початкова швидкість матеріальної точки

а – прискорення матеріальної точки.

Похідними від рівняння руху є рівняння пройденого шляху: s=v0t+at2/2, та рівняння швидкості: v=v0+at.  Крім  цього, в кінематиці поступального руху, важливе значення має похідна від рівняння руху формула  s=(vk2-v02)/2a

Важливою різновидністю поступального руху тіла, є його вільне падіння. Вільним падінням  називають такий рух тіла,  який відбувається під дією  сили  тяжіння та за відсутності суттєвого впливу інших зовнішніх сил, зокрема сили опору повітря.  В загальному випадку вільно падаючими вважають не лише ті тіла вільне падіння яких починається з нулевої швидкості, а й ті які з певною швидкістю кинули вертикально вниз, вертикально вгору, або під кутом до горизонту

Характерною особливістю того руху який називається вільним падінням, є те що це падіння відбувається з певним постійним прискоренням, величина якого не залежить від маси тіла, а отже і від діючої на нього сили тяжіння. Це прискорення називається прискоренням вільного падіння (позначається g). Для Землі, усереднена величина прискорення вільного падіння становить g=9,81м/с2.

Другою складовою кінематики, є кінематика обертального руху. До числа основних понять цієї складової (окрім таких загально кінематичних понять як механічний рух, відносність руху, система відліку, тощо) відносяться: обертальний рух та абсолютно тверде тіло. Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання.

Оскільки при обертальному русі, різні точки тіла мають суттєво різні параметри руху (рухаються з різними швидкостями та прискореннями, описують різні траєкторії, проходять різні шляхи, тощо), то описуючи такий рух, представляти тіло у вигляді матеріальної точки не припустимо. Як правило, в кінематиці обертального руху, реальне тіло представляють не у вигляді матеріальної точки, а у вигляді так званого абсолютно твердого тіла. Абсолютно тверде тіло – це таке умовне (ідеалізоване) тіло, яке в процесі механічних рухів та взаємодій не деформується.

До числа основних фізичних величин кінематики обертального руху відносяться: час(t), кутова координата(φ), кут повороту(∆φ), кутова швидкість(ω), кутове прискорення(ε).

         Кутова координата (кут) – це фізична величина, яка характеризує просторову (кутову) орієнтацію тіла в вибраній системі координат і яка дорівнює відношенню довжини тієї  дуги що обмежує даний центральний кут до радіусу цієї дуги.

Позначається:  φ

Визначальне рівняння:  φ=ℓ/R

Одиниця вимірювання:  [φ]=рад,   радіан.

Радіан – це одиниця вимірювання кутових величин, яка дорівнює такому центральному куту, довжина обмежуючої дуги якого дорівнює радіусу цієї дуги. Вимірювання показують, що в повному колі міститься 2π радіан, де π=3,14;  (1рад = 360°/2π ≈ 57,3°).

         Кут повороту – це фізична величина, яка характеризує кут повороту тіла і яка дорівнює цьому куту

Позначається:  ∆φ

Визначальне рівняння: ∆φ=φк – φ0 ,  або  ∆φ=s/R

Одиниця вимірювання:  [∆φ]=рад,  радіан.

Кутова швидкість – це фізична величина, яка характеризує кутову швидкість тіла (швидкість обертального руху тіла) і яка показує на який кут повертається тіло за одиницю часу.

Позначається: ω

Визначальне рівняння: ω=∆φ/∆t

Одиниця вимірювання:  ω=рад/с,  радіан за секунду.

Кутове прискорення – це фізична величина, яка характеризує кутове прискорення тіла і яка показує на скільки змінюється кутова швидкість тіла за одиницю часу.

Позначається: ε

Визначальне рівняння: ε=∆ω/∆t

Одиниця вимірювання:  ε=рад/с2,  радіан за секунду в квадраті.

Основний закон кінематики обертального руху називається рівнянням обертального руху. В цьому законі стверджується: в загальному випадку, обертальний рух тіла описується рівнянням    φ = φ0 + ω0t + (ε/2)t2

де  φ – кутова координата тіла в момент часу t  ;

φ0 – початкова кутова координата тіла ;

ω0 – початкова кутова швидкість тіла ;

ε – кутове прискорення тіла .

Поділ механічних рухів на поступальні та обертальні, значною мірою умовний. Скажімо, рух будь якої матеріальної точки по колу, з одного боку можна вважати обертальним, а з іншого – поступальним. А це означає, що описуючи такий рух, з одного боку говорять про кутову швидкість(ω), кутове прискорення (ε) та кут повороту (∆φ) точки, а з іншого – про її лінійну швидкість (v), лінійне прискорення (a) та пройдений шлях (s). При цьому, оскільки мова йде про один і той же рух, то між параметрами які характеризують його поступальну та обертальну сторони, існують певні кількісні співвідношення. Власне ці співвідношення випливають із визначальних рівнянь відповідних величин. Дійсно :

оскільки    ∆φ=s/R                                 то      s=∆φR

оскільки    ω=∆φ/t=s/Rt=v/R                 то      v=ωR

оскільки     ε=∆ω/t=∆v/Rt=a/R              то       a=εR

оскільки     ад=v2/R =(ωR)2/R=ω2R        то      aд2R .

 

Подобається