Статика 2

§31. Пара сил. Момент сили.

Умова рівноваги тіла, що має вісь обертання.

§32. Важелі.

§33. Механічні блоки та їх системи.

§34. Розв’язування задач. Тема: Рівновага тіла що має вісь обертання.

§35. Основи механіки рідин та газів. Тиск. Атмосферний тиск.

§36. Закон Паскаля.

§37. Сполучені посудини.

§38. Закон Архімеда. Сила Архімеда. Умова плавання тіла.

§39. Що важче, кілограм заліза чи кілограм вати?

§40. Розв’язування задач. Тема: Механіка рідин та газів.

 

§31. Пара сил. Момент сили. Умова рівноваги тіла, що має вісь обертання.

 

До тепер, говорячи про механічну та динамічну рівновагу тіла, ми мали на увазі, що це тіло знаходиться під дією так званої збіжної системи сил, тобто такої системи одночасно діючих на тіло сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці. По суті це означає, що ми вивчали статику матеріальної точки, тобто ту частину статики в якій тіло можна вважати матеріальною точкою, а діючі на нього сили, можна замінити однією рівнодійною силою. Силою, яка надає тілу поступального руху.

Однак, далеко не всяка діюча на тіло система сил є збіжною і далеко не всяку сукупність сил можна замінити рівнодійною. Наприклад, якщо на тіло діють дві рівні за величиною і протилежні за напрямком сили F1 і F2 які не лежать на одній прямій (мал.71), то замінити цю систему сил відповідною рівнодійною, не можливо. Дійсно. Формально визначивши рівнодійну сил F1 і F2 ми отримаємо нульову величину: F1 + F2= 0. Та чи означає це, що загальна механічна дія сил F1 і F2 є нульовою? Очевидно що ні. Адже дана система сил надає або намагається надати тілу певного обертального руху.

Мал.71.  Пару сил не можливо замінити  рівнодійною силою. Пара сил надає тілу не поступального, а обертального руху.

Систему двох рівних за величиною і протилежних за напрямком сил, які не лежать на одній прямій і спільно діють на одне і те ж тіло, називають парою сил (або парою). Пара сил надає (або намагається надати) тілу обертального руху. Пару сил не можливо замінити або зрівноважити однією силою. Пару сил можна замінити чи зрівноважити лише іншою парою сил.

Ви можете заперечити в тому сенсі, що в певних випадках тіло може обертатись під дією лише однієї сили. Наприклад, відчиняючи двері (мал.72а), ми прикладаємо лише одну силу яка і надає їм обертального руху. Або коли наприклад, за допомогою гайкового ключа ми закручуємо болт чи гайку (мал.72б), то це закручування здійснюємо шляхом прикладання однієї сили. Дійсно. На перший погляд здається, що двері та гайкові ключі обертаються під дією лише однієї сили. Насправді ж, одна сила не може змусити тіло обертатись. Це може зробити лише пара сил. І якщо двері та гайкові ключі обертаються, то це тільки тому, що на них діють дві рівні за величиною і протилежні за напрямком сили які і утворюють відповідну пару. При цьому не важко збагнути, що другою силою пари є та реакція опори, яка виникає в петлях дверей або в точках дотику болта з елементами нерухомої конструкції.

Мал.72. Якщо тіло обертається, то це означає, що на нього діє пара сил.

Загалом же, тіло яке має нерухому вісь обертання може рухатись лише обертально. І це обертання створює відповідна пара сил. Інша справа, що однією з цих сил може бути та реакція опори яка виникає в нерухомій осі обертання.

Основною характеристикою пари сил, або тієї сили що діє на тіло з нерухомою віссю обертання, є фізична величина яка називається моментом сили або моментом пари сил.

          Момент сили – це фізична величина, яка характеризує обертальну дію сили (пари сил) і яка дорівнює добутку цієї сили F на плече її дії d, тобто найкоротшу відстань між лінією дії сили та віссю обертання тіла.

Позначається: М

Визначальне рівняння: М=F·d

Одиниця вимірювання:  [М] = Н∙м,   (ньютон-метр).

Із аналізу рівняння М=F·d ясно, що момент сили залежить як від величини самої сили F, так і від величини плеча її дії d. При цьому величина плеча дії сили залежить як від точки прикладання сили, так і від напрямку її дії. Наприклад, прикладаючи одну і ту ж силу в різних точках руків’я гайкового ключа (мал.73а), ми отримаємо різні моменти сили: Fh2>Fh1. Різні тому, що плечі дії цих сил є різними h2>h1. З іншого боку, точки прикладання сили можуть бути однаковими, а моменти цих сил – різними. Наприклад в зображених на мал.73б,в ситуаціях, точки прикладання сили F є однаковими. А от створювані цими силами моменти є різними. Різними тому, що плечі дії сил різні. Бо плече дії сили, це не відстань від точки прикладання сили до осі обертання тіла. Плече сили – найкоротша відстань від лінії дії сили до осі обертання тіла.

 

Мал.73. Плече сили, це найкоротша відстань від лінії дії сили до осі обертання тіла.

Потрібно зауважити, що момент сили – величина векторна. Однак, зважаючи на те, що в межах програми загальноосвітньої школи вивчають лише плоскі системи сил, момент сили можна вважати величиною скалярною, тобто такою яка характеризується абсолютною величиною та знаком. При цьому, знак моменту сили зазвичай визначають за правилом: якщо сила обертає (або намагається обертати) тіло за годинниковою стрілкою, то момент сили додатній (мал.74а), а якщо проти годинникової стрілки – від’ємний (мал.74б).

  

а)                                                            б)

Мал.74. Якщо сила (пара сил) обертає тіло за годинниковою стрілкою, то момент сили додатній, а якщо проти годинникової стрілки – від’ємний.

Коли ми стверджували, що тіло буде знаходитись в стані механічної рівноваги тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил дорівнює нулю (∑F=0), то мали на увазі, що система діючих на тіло сил є збіжною, і що тому рівновага тіла є так би мовити поступальною. В загальному ж випадку, система діючих на тіло сил може бути довільною. І ця довільна система сил може надавати тілу не лише поступального руху, а й руху обертального. В такій ситуації основний закон статики  (загальна умова рівноваги тіла) набуває вигляду: тіло буде знаходитись в стані повної механічної рівноваги (спрощено кажучи, не буде рухатись ані поступально ані обертально) тоді і тільки тоді, коли  векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та моментів цих сил дорівнюють нулю, тобто за умови:

∑F =0; ∑M=0.

Оскільки те тіло яке має нерухому вісь обертання, поступально не рухається і рухатись не може, то векторна сума діючих на нього зовнішніх сил гарантовано дорівнює нулю. А це означає, що для такого тіла умова рівноваги набуває вигляду: тіло з нерухомою віссю обертання, буде знаходитись в стані обертальної рівноваги (обертального спокою), тоді і тільки тоді, коли сума діючих на нього моментів сил дорівнює нулю, тобто за умови: ∑М=0.

Потрібно зауважити, що формула ∑М=0 є справедливою в незалежності від того, відносно якої точки тіла ви визначаєте діючі на нього моменти сил. Однак, якщо цією точкою буде не точка осі обертання тіла, то в цьому випадку потрібно враховувати і ту силу, яка виникає в осі обертання і яка називається реакцією опори. Зважаючи на ці обставини, застосовуючи формулу ∑М=0, в якості тієї точки відносно якої визначаються моменти сил, ми будемо обирати точку осі обертання тіла. Адже в цьому випадку момент реакції опори дорівнює нулю (поясніть чому).

Задача. На основі аналізу малюнку, визначте величину тієї сили F яку треба прикласти на краю стержня масою 4кг і довжиною 80см, щоб урівноважити вантаж масою 5кг.

Дано:                                       Рішення.

m1=5кг              Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на стержень

m2=4кг              сили та плечі дії цих сил. (Нагадаємо, прийнято вважати, що

l=80cм              діюча на тіло сила тяжіння, діє на центр маси відповідного

l1=20см             тіла, в нашому випадку на точку, яка є геометричним

F = ?                   центром  стержня l2=40см)

 

 

 

Записуємо умову рівноваги тіла: ∑М=0. В умовах нашої задачі:

∑М= Fт1·l1 + Fт2·l2 – F·l = 0. Звідси, F·l = Fт1·l1 + Fт2·l2.

Звідси, F = (Fт1· l1 + Fт2·l2)/l. Або F = (m1gl1 + m2gl2)/l.

Розрахунки: F = (5кг10м/с220см + 4кг10м/с240см)/80см = 32,5кг(м/с2)=32,5Н

Відповідь: F = 32,5Н.

Контрольні запитання.

1.Яку систему сил називають збіжною?

2. Чи може збіжна система сил надати тілу обертального руху?

3. Що називають парою сил?

4. Чи можна замінити пару сил рівнодійною силою? Чому?

5. Що називають моментом сили?

6. Який момент сили називають додатнім, а який від’ємним?

7. Що називають плечем дії сили? Від чого залежить це плече?

8. Чому ручки дверей ставлять на гранично великій відстані від осі їх обертання?

Вправа №25.

1.На основі аналізу малюнку, визначте величину тієї сили F яку треба прикласти на краю довжиною 80см, щоб урівноважити вантаж масою 4кг.

2. На основі аналізу малюнку визначте масу m2, якщо m1=2кг.

3. На основі аналізу малюнку визначте масу m3, якщо m1=2кг, m2=3кг. Масою стержня знехтувати.

4. Розв’язати попередню задачу за умови, що маса стержня 5кг.

5. На основі аналізу малюнку визначити масу стержня, якщо маса вантажу10кг.

6. На основі аналізу малюнку визначте, чи буде стержень в стані обертальної рівноваги?

7. На основі аналізу малюнку визначте величину тієї сили яку потрібно прикласти в точці А, для забезпечення обертальної рівноваги стержня.

 

§32. Важелі.

 

Одним з найпростіших і в той же час дуже важливих механічних приладів є важіль. Важіль – це прилад, який представляє собою довге тверде тіло, що може обертатись навколо відносно нерухомої точки, яку називають точкою опори.

Так чи інакше важелі застосовувались з незапам’ятних часів. Скажімо, коли використовуючи підручну палицю, прадавня людина зрушувала з місця важкий камінь, то вона  фактично застосовувала важіль. Якщо ж говорити про історично зафіксовані факти системного застосування важелів, то вони відносяться до періоду будівництва великих єгипетських пірамід (приблизно 4600 років тому).

 

Мал.75. Люди використовували важелі з прадавніх часів.

Напевно першим хто дослідив важіль як науковець, хто пояснив його принцип дії та основні властивості, був видатний давньогрецький вчений (механік, математик, інженер, винахідник) Архімед (287-212 р.р. до н.е.). Саме Архімеду належить крилатий вираз: «Дайте мені точку опори і я підніму Землю».

Зазвичай важіль застосовується для підсилення силової дії. Таке підсилення відбувається за рахунок того, що плече дії «вхідної» сили, тобто тієї сили яку ми прикладаємо до важеля і яка потребує підсилення, значно більше за плече дії сили «вихідної». Дійсно. Якщо сила F1 (мал.76) має плече d1, а сила F2 – плече d2, то у відповідності з умовою рівноваги даного тіла (важеля) F1d1=F2d2. А це означає, що коли плече дії сили F1 буде більшим за плече дії сили F2 (d1˃d2) то у відповідну кількість разів сила F2 буде більшою за силу F1:   F2=F1(d1/d2).

З іншого боку було б дивним та неприроднім, якби за допомогою важеля ми отримували виграш в силі, що називається «безкоштовно», тобто не програючи в чомусь іншому. І очевидно, що цим «іншим» є програш в тому переміщенні яке спричиняє підсилена сила. Дійсно. З геометричних міркувань (дивись мал.76) випливає, що виграючи в силі (F2=nF1 де n=d1/d2=h1/h2) ми в таку ж кількість разів програємо в тому переміщенні яке здійснює ця сила (h2=h1/n).

Мал.76.   Важіль – механізм який підсилює силову дію. При цьому, виграючи в силі (F2>F1), ми неминуче програємо у відстані (h2<h1).

Про те, що «безкоштовних» виграшів у силі не буває, вчені знали ще з стародавніх часів. Досліджуючи властивості важеля, Архімед сформулював правило, яке стосувалось всіх простих механізмів і в якому стверджувалось: у скільки разів виграєш в силі, у стільки ж разів програєш у відстані. Це правило прийнято називати золотим правилом механіки. По суті, золоте правило механіки є одним з перших формулювань базового закону сучасної науки – закону збереження енергії.

Певні важільні системи можна побачити в найрізноманітніших сучасних приладах, починаючи від дитячих гойдалок, весел, шлагбаумів та ножиць і закінчуючи елементами піднімально-транспортних механізмів, автомобілів, кораблів, літаків, тощо. Деякі приклади простих важільних систем представлені на мал.77.

Мал.77. Деякі приклади простих важільних систем.

Все різноманіття важелів можна розділити на два типи. Важелями першого типу називають такі важелі, в яких точки прикладання сил знаходяться по різні сторони від точки опори, при цьому напрямки моментів цих сил є взаємно протилежними: одна сила намагається повернути важіль за годинниковою стрілкою, а інша – проти годинникової стрілки (мал.78а). Важелями другого типу називають такі важелі, в яких точки прикладання сил знаходяться по один бік від точки опори, при цьому напрямки моментів цих сил є взаємно протилежними (мал.78б). Потрібно зауважити, що діючим на важіль силам зовсім не обов’язково бути паралельними. Наприклад, на мал.78в представлено важіль другого типу, в якого напрямки діючих на нього сил не є паралельними. Однак ці напрямки завжди такі, що одна сила прагне повернути важіль за годинниковою стрілкою, а інша – проти годинникової стрілки.

  

Мал.78. Різноманіття важелів можна розділити на важелі першого (а) та другого типу (б, в).

Певні важільні системи можна побачити не лише в штучно створених приладах, а й в організмах живих істот, зокрема в організмі людини. Наприклад ліктьова кістка руки, ліктьовий суглоб та той м’яз який називають біцепсом (мал.79а) утворюють важільну систему, яка забезпечує рухливість ліктьової частини руки. Аналогічне можна сказати і про ступню ноги (мал.79в), рухливість якої забезпечує важільна система елементами якої є кістки стопи, великогомілкова кістка та ахілесове сухожилля. Або наприклад череп людини (мал.79б), у поєднанні з кістками шийного відділу хребта та ремінним м’язом, утворюють важільну систему яка забезпечує рухливість голови.

  

Мал.79. Приклади важільних систем людського тіла.

Завершуючи розмову про важелі, розглянемо питання про те, наскільки реальним є вислів Архімеда: «Дайте мені точку опори і я підніму Землю»? Ясно, що мова йде про певну гіпотетичну задачу, гіпотетичне рішення якої базується на властивостях того простого механізму який називається важелем.

Припустимо, що у Всесвіті є така точка спираючись на яку Архімед мігби підняти Землю. Припустимо, що знайшовся такий надзвичайно довгий, надміцний, невагомий стержень, за допомогою якого Архімед міг би підняти Землю. Припустимо, що Земля має такі маленькі розміри, які дозволять розмістити її на короткій частині важеля, плече якої d=1м. Запитується, плече якої довжини (D) повинен мати важіль, щоб Архімед прикладаючи силу еквівалентну масі m=60кг, міг би підняти Землю маса якої M=60·1023кг? На яку відстань (H) має переміститися той кінець стержня на який буде тиснути Архімед, щоб Земля піднялася на h=1см? Скільки часу знадобиться Архімеду, щоб постійно рухаючись з швидкістю 1м/с подолати цю відстань?

Мал.80. Дайте мені точку опори і я підніму Землю.

Рішення.

Оскільки маса Землі 60·1023кг, то для того щоб сила еквімалентна масі 60кг, зрушила Землю, знадобиться важіль плечі якого знаходяться у співвідношенні: D/d=M/m=60·1023кг/60кг=1·1023разів. Таким чином, якщо довжина короткого плеча важеля становитиме 1м, то довжина його довгого плеча має дорівнювати D=d·1023=1·1023м. Для порівняння, відстань від Землі до Сонця 1,49·1011м, тобто в 670 000 000 000 разів менша.

Тепер давайте визначимо ту відстань (H) на яку Архімед, постійно тиснучи на свій край важеля з силою 600Н повинен перемістити цей край, щоб Земля піднялась на h=1см. А цю відстань можна визначити із співвідношення: Н/h=D/d. Звідси H=hD/d=1см1·1023=1·1021м. А це всього в 6 700 000 000 разів більше за відстань від Землі до Сонця.

Скільки ж часу знадобиться Архімеду, щоб постійно рухаючись з швидкістю 1м/с подолати цей шлях? А цей час визначити не складно: t=H/v=1·1021м/1(м/с)=1·1021с= 1·1021/365·24·60·60=31,7·1012років. А це всього у 2300 разів більше за вік нашого Всесвіту.

Висновки зробіть самі.

Контрольні запитання.

1.Поясніть принцип дії важеля.

2. Чи означає факт підсилення важелем силової дії, що це підсилення є «безкоштовним»?

3. Що стверджується в золотому правелі механіки?

4. Які важелі називаються важелями першого типу? Наведіть приклади.

5. Які важелі називаються важелями другого типу? Наведіть приклади.

6. Як направлені діючі на важіль сили?

7. Поясніть принцип дії тієї важільної системи, яка представлена на мал.79а.

8. Важелями якого типу є ті, що представлені на мал.79?

Вправа №25.

1.За допомогою гострозубців перекушують цвях. Відстань від осі обертання гострозубців до цвяха 2см, а до точки прикладання сили руки 16см. Рука стискає гострозубці з силою 200Н. Яка сила діє на цвях.

2. На кінцях важеля діють сили 40Н і 240Н, відстань від точки опори до меншої сили 6см. Визначте довжину важеля, якщо він перебуває в рівновазі.

3. На кінцях важеля діють сили 2Н і 18Н. Довжина важеля 1м. Де буде точка опори, якщо важіль перебуває у рівновазі?

4. До точки 1 прикріплено вантаж масою 2кг. Якої маси вантаж треба закріпити в точці 2, щоб важіль був у рівновазі. Маса важеля 4кг.

5. На основі аналізу малюнка визначте величину тієї сили яка діє на біцепс руки що утримує гирю масою 2кг.

6. Відомо що маса слона 5т, а маса мухи 0,1г. Якої довжини має бути довше плече важіля, щоб муха зрівноважила слона. Довдина того плеча на якому стоїть слон 2м. Масу важеля не враховувати. На скільки має опуститися муха, щоб слон піднявся на 10см?

7. На землі лежить балка масою 80кг. Яку силу потрібно прикласти, щоб підняти один кінець цієї балки.

8. Щоб підняти один кінець труби що лежить на землі, потрібно прикласти силу 400Н. Яка маса труби

 

§33. Механічні блоки та їх системи.

 

До числа найбільш розповсюджених простих механізмів, окрім важелів, відносяться різноманітні блоки. Блок – це прилад (механізм), який представляє собою круглий шків що має вісь обертання і по жолобу якого проходить елемент гнучкого зв’язку (канат, мотузка, трос, ланцюг, тощо). Якщо в процесі руху вантажу вісь блоку залишається нерухомою (мал.81а), то блок називається нерухомим. А якщо в процесі руху вантажу вісь блоку рухається разом з вантажем (мал.81б), то відповідний блок називають рухомим.

  

Мал.81.  Загальний устрій та найпростіші застосування блоку.

Оскільки шків блоку вільно обертається, то силовий натяг перекинутого через нього канату на вході та на виході шківа має бути однаковим. Власне ця однаковість випливає з умови обертальної рівноваги шківа. Дійсно. Під дією двох різнонаправлених сил F1 і F2 (мал.82а), шків буде знаходитись в стані обертальної рівноваги за умови, що момент тієї сили яка обертає  шків за годинниковою стрілкою (M2=F2R) дорівнює моменту тієї сили яка обертає його проти годинникової стрілки (M1=F1R), тобто за умови F2R=F1R, де R – радіус шківа. А це можливо лише тоді, якщо  F2=F1.

І потрібно зауважити, що натяг перекинутого через шків канату, не залежить від того, в якому напрямку цей канат натягують (мал.82б). А це означає, що нерухомий блок, не даючи виграшу в силі, дозволяє змінювати напрям цієї сили. Вже цей факт, робить подібні механізми потрібними та загальновживаними.

Мал.82. Нерухомий блок, не даючи виграшу в силі, дозволяє змінювати напрям цієї сили.

Але можливості блоків не вичерпуються лише зміною напрямку дії сили. В цьому не важко переконатись на прикладі системи яка складається з рухомого та нерухомого блоків (мал.83а). Не важко бачити, що в такій системі на рухомий блок, а отже і на те тіло яке він піднімає, діють дві рівні за величиною співнаправлені сили. А це означає, що натягуючи канат з силою F, на осі рухомого блоку ми отримаємо вдвічі більше тягове зусилля. Якщо ж в системі буде два рухомих блоки (мал.83б), то та загальна вага яку підніматиме ця система, буде у 4 рази більшою за величину тієї сили з якою натягують канат. Загалом же, додавання до системи кожного додаткового рухомого блоку, збільшує загальну вантажопід’ємність системи на 2F, де F – сила натягу канату.

   

Мал.83. Кожний рухомий блок, збільшує вантажопід’ємність системи на 2F, де F – сила натягу канату.

Втім, потрібно мати на увазі, що загальна вантажопід’ємність системи рухомих та нерухомих блоків залежить не лише від числа рухомих блоків в ній, а й від місця закріплення нерухомого кінця канату. При цьому, якщо цей кінець кріпиться до нерухомої опори (мал.83а,б; 84а,б), то загальна вантажопід’ємність системи n рухомих блоків дорівнює 2nF. Якщо ж нерухомий кінець канату кріпиться до рухомої опори, тобто тієї опори яка рухається разом з рухомими блоками (мал.84в), то в цьому випадку загальна вантажопід’ємність системи n блоків дорівнює (2n+1)F. Дійсно. Оскільки сила натягу канату в усіх його точках однакова, то в зображеній на мал.84в системі, на рухому опору діють п’ять рівних за величиною співнаправлених сил, кожна з яких дорівнює силі натягу канату. При цьому величина результуючої сили становить (2n+1)F.

  

Мал.84. Загальна вантажопід’ємність системи блоків, залежить не лише від числа рухомих блоків в ній, а й від місця закріплення нерухомого кінця канату.

Ясно, що у вище наведених ситуаціях, отриманий виграш в силі не може бути «безкоштовним». Платою за цей виграш є неминучий програш в пройденому шляху. Дійсно. Для того, щоб за допомогою представленого на мал.83а рухомого блоку, підняти вантаж на l метрів, потрібно на l метрів зменшити довжину як правої так і лівої частин того канату який піднімає блок. А це означає, що той робітник який тягне канат з силою F, повинен прикладаючи цю силу протягнути 2l метрів канату. Якщо ж система блоків дозволяє збільшити піднімальну силу в 4 рази (мал.83б), то відповідно в 4 рази зменшується та висота на яку піднімається вантаж (порівняно з довжиною переміщеного канату).

Таким чином, виграючи в тій силі яка піднімає вантаж, ми неминуче та у відповідну кількість разів програємо у тій висоті на яку піднімається вантаж. Що ж, Природу не можливо обманути: у скільки разів виграєш в силі, у стільки ж разів програєш в пройденому шляху (золоте правило механіки).

На практиці часто застосовують системи блоків, які називаються поліспастами. Поліспаст (мал.85) представляє собою систему двох складних блоків, кожен з яких складається з n шківів які мають спільний корпус та спільну вісь обертання. При цьому, один блок є нерухомою частиною поліспасти, а інший – його рухомою частиною. Принцип дії цієї системи полягає в наступному. Якщо до вільного кінця канату, який почергово огинає шківи рухомого та нерухомого блоків, прикласти силу F, то натяг всіх частин цього канату буде однаковим і чисельно рівним силі F. А це означає, що на рухомий блок системи  діятимуть 2n однакових співнаправлених сил F, які можуть зрівноважити (підняти) результуючу силу Fрез=2nF, де n – кількість шківів в рухомій частині поліспасти. Втім, формула Fрез=2nF є справедливою лише в тому випадку, якщо нерухомий кінець канату кріпиться до нерухомої частини поліспасти (мал.85б,г,д). Якщо ж нерухомий кінець канату кріпиться до рухомої частини поліспасти (85а,в), то в цьому випадку Fрез=(2n+1)F.

Мал.85. Загальний вигляд деяких поліспаст.

Поліспасти є важливими частинами механізмів підйому та зміни вильоту стріли різноманітних підйомно-транспортних засобів. Вони використовуються для підйому та опускання вантажів в автомайстернях, на будівництві, на річковому та морському транспорті. В альпінізмі поліспасти застосовують для натягування канатів, для підйому вантажів, постраждалих людей, тощо.

На завершення зауважимо, що визначаючи вантажопідйомність блоків та їх систем, треба враховувати не лише кількість рухомох блоків та місце закріплення нерухомого кінця канату, а й загальну вагу рухомих блоків. Крім цього, в реальних умовах між шківом та віссю його обертання діють певні сили тертя, які протидіють обертанню шківа, а отже певним чином зменшують вихідний натяг канату. Та якби там не було, а якщо в умовах задачі не наголошується на необхідності врахування ваги блоків та наявних сил тертя, то це означає, що враховувати цю вагу і ці сили не потрібно.

Задача. Який виграш у силі дає зображена на малюнку система блоків? Чому дорівнює сила натягу мотузки b, якщо маса вантажу 40кг?

Рішення. Будемо виходити з того, що натяг суцільної мотузки в усіх її точках однаковий. Зважаючи на це, можна стверджувати:

1) Оскільки натяг мотузки с дорівнює силі F, то на рухомий блок с діє сила 2F.

2) Оскільки натяг мотузки b дорівнює силі 2F, то на рухомий блок b діє силa 2(2F)=4F.

3) Оскільки натяг мотузки a дорівнює силі 4F, то на рухомий блок a діє силa 2(4F)=8F.

Таким чином, дана система блоків забезпечує 8 разовий виграш в силі. А це означає, що ту силу тяжіння яка діє на вантаж масою 40кг і яка дорівнює 400Н, зрівноважить сила F=400H/8=50H. При цьому, враховуючи що напяг мотузки b дорівнює 2F, можна стверджувати що величина цього натягу 100Н.

Контрольні запитання.

1.З яких деталей складається механічний блок?

2. Який блок називають нерухомим, а який – рухомим?

3. Поясніть яким чином зображена на мал.83а система нерухомого та рухомого блоків, забезпечує подвійний виграш в силі?

4. Чи може подвійний виграш в силі забезпечити лише один рухомий блок?

5. Як працює золоте правило мехатіки, в зображених на мал.83 системах блоків?

6. Зображені на мал.84а,б системи блоків забезпечують чотирьох кратний виграш у силі. Які переваги та які недоліки кожної із цих схем?

7. Чи може система яка складається з двох рухомих та двох нерухомиж блоків забезпечити пятикратний виграш у силі. Якщо може, то як?

8. Що називають поліспастом? Наведіть прикладизастосування поліспастів.

Вправа №26.

1.Який вантаж можна підняти за допомогою рухомого блоку вага якого 20Н, прикладаючи до вільного кінця мотузки силу 210Н?

2. Яка сила забезпечить рівномірне піднімання вантажу?

3. Який виграш у силі забезпечують зображені на малюнку системи блоків?

4. Який виграш у силі забезпечують зображені на малюнку системи блоків?

5. На основі аналізу малюнку визначте масу вантажу 2, якщо маса вантажу 1 дорівнює 20кг, а система перебуває в рівновазі.

6. Маса третього вантажу 20кг. Яка маса першого та другого вантажів. На скільки піднімуться ці вантажі, при опусканні третього вантажу на 1м?

7. За допомогою рухомого блока піднімають вантаж прикладаючи силу 100Н. Визначте силу тертя, якщо вага блоку 20Н, а вага вантажу 165Н.

 

§34. Розв’язування задач. Тема: Рівновага тіла, що має вісь обертання.

 

Алгоритм розв’язку задач на рівновагу тіла, що має нерухому вісь обертання є наступним:

1.Уважно прочитати умову задачі та з’ясувати її фізичну суть.

2. Зробити стислий запис цієї умови.

3. Обов’язково виконати малюнок на якому вказати всі діючі на тіло сили та плече дії кожної з них.

4. Записати умову обертальної рівноваги тіла, тобто рівняння ∑М=0.

5. Розв’язавши це рівняння, визначити невідому величину.

Потрібно зауважити, що формула ∑М=0 є справедливою в незалежності від того, відносно якої точки тіла ви визначаєте діючі на нього моменти сил. Однак, якщо цією точкою буде не точка осі обертання тіла, то в цьому випадку потрібно враховувати і ту силу, яка виникає в цій осі і яка називається реакцією опори. Зважаючи на ці обставини, застосовуючи формулу ∑М=0, в якості тієї точки відносно якої визначаються моменти сил, ми будемо обирати точку осі обертання тіла. Адже в цьому випадку момент реакції опори дорівнює нулю (поясніть чому).

Доречно сказати і про те, що рішення далеко не всіх задач на рівновагу тіла яке має вісь обертання, базуються на застосуванні формули ∑М=0. Скажімо, розв’язуючи задачі на рівновагу механічних блоків, зазвичай застосовують не базову формулу ∑М=0, а твердження про те, що в системі шківів які вільно обертаються, сила натягу канату (нитки, мотузки, троса, тощо) в усіх точках є однаковою. Втім, потрібно розуміти, що ця однаковість, є прямим наслідком того, що сума моментів тих сил які діють на шків дорівнює нулю, тобто прямим наслідком умови обертальної рівноваги шківа: ∑М=0.

Задача 1. Відомо що маса слона 5т, а маса мухи 0,1г. Якої довжини має бути довше плече важіля, щоб муха зрівноважила слона. Довдина того плеча на якому стоїть слон 2м. Масу важеля не враховувати. На скільки має опуститися муха, щоб слон піднявся на 10см?

  

Дано:            СІ                              Рішення:

m1 = 0,1г    1·10-4кг          Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі

m2 = 5т       5·103кг           діючі на тіло важеля сили та плече дії кожної

d2 = 2м            –                 з них.

h2 = 10см     0,1м              Записуємо умову обертальної рівноваги важеля:

d1 = ?                                 ∑М = F2d2 – F1d1 = m2gd2 – m1gd1 = 0.

h1 = ?                                 Звідси випливає m1gd1 – m2gd2, звідси

d1 = d2m2/m1 = 2м5·103кг/1·10-4кг = 10·107м = 100·106м.

Для порівняння: радіус Землі 6,37·106м.

Із геометричних міркувань ясно: h2/h1 = d2/d1. Звідси випливає

h1 = h2d1/d2 = 0,1м100·106м/2м = 5·106м

Відповідь: d1 = 100·106м;  h1 = 5·106м.

Задача 2. На землі лежить труба довжиною 2м і масою 100кг. Яку силу треба прикласти, щоб підняти трубу за один з її кінців?

Дано:                                Рішення:

l = 2м            Коли трубу починають піднімати за один кінець, то вона по суті

m = 100кг      перетворюється на важіль точкою опори якого є другий кінець

F = ?             труби. При цьому на трубу (окрім реакції опори) діють дві вертикальні, протилежно направлені сили: сила тяжіння і та сила, що піннімає трубу. Зважаючи на вище сказане виконуємо відповідний малюнок та записуємо умову обертальної рівноваги труби:

∑М = Fт l/2 – Fl = mgl/2 – Fl = 0. Звідси випливає Fl = mgl/2,

звідси F = mgl/2l = mg/2.

Розрахунки F = 100кг10м/с2/2 = 500Н.

Відповідь: F = 500Н.

Задача 3. До країв важеля довжиною 2м підвісили вантажі масою 15кг і 10кг. На якій відстані від середини важеля треба встановити точку опори, щоб важіль перебував у рівновазі?

Дано:                              Рішення:

l = 2м            Виконуємо малюнок на якому позначаємо діючі на важіль

m1 = 15кг       сили F1=m1g=150Н, F2=m2g=100Н, та приблизне розташування

m2 = 10кг       точки опори (т.О), яке ясна річ буде ближчим до більшої сили.

х = ?               Позначимо відстань від центру мас важеля до точки опори х.

Зважаючи на напрямки дії сил та знаки створюваних ними моментів, записуємо умову обертальної рівноваги важеля:

∑М = F2(l/2 + x) – F1(l/2 – x) = 0

Або,  F2l/2 + F2x – F1l/2 + F1x = 0

Або,  F2x + F1x = F1l/2 – F2l/2

Або,  x(F2 + F1) = (l/2)(F1 – F2)

Або,  x = (l/2)(F1 – F2)/(F1 + F2)

Розрахунки: х = (2м/2)(150Н – 100Н)/(150Н + 100Н) = 0,2м

Відповідь: х = 0,2м.

Задача 4. Важіль, довжина якого 90см (дивись мал.) перебуває в рівновазі. На якій відстані від осі обертання важеля (т.О) підвішено вантаж2? Маса вантажів m1=8кг; m2=12кг.

Дано:                                 Рішення:

m1 = 8кг           Оскільки той рухомий блок на якому висить вантаж 1

m2 = 12кг         утримується в рівновазі двома рівними, співнаправленими

l = 90см           силами, то величина однієї з цих сил дорівнює половині від

х = ?                 сили тяжіння вантажу: F = Fт1/2= m1g/2= 8кг10м/с2/2=40Н.

А оскільки натяг перекинутої через блоки мотузки у всіх точках однаковий, то можна стверджувати, що на точку А діє вертикальна сила F=40Н.

Таким чином обертальну рівновагу важеля забезпечують дві сили F=40Н та Fт2=m2g=12кг10м/с2=120Н. Позначивши відстань від осі обертання важеля (т.О) до точки прикладання сили Fт2 через х, запишемо умову обертальної рівноваги важеля:

∑М = Fl – Fт2x = 0. Звідси Fт2x = Fl. Звідси x = Fl/Fт2.

Розрахунки: х = 40Н90см/120Н = 30см.

Відповідь: х = 30см.

Задача 5. Якою є маса кожного з вантажів, зображених на малюнку, якщо їх загальна маса 50кг?

Дано:                                   Рішення:

m1+m2=50кг          На основі аналізу малюнку запишемо умову обертальної

d1/d2=8/2=4/1        рівноваги важеля:

m1 = ?                    ∑М = F2d2 – F1d1 = m2gd2 – m1gd1 = 0. Звідси m2gd2 = m1gd1.

m2 = ?                   Оскільки числові значення величин d1 та d2 є невідомими,

а відомим є лише їх співвідношення (d1/d2=4), то рівняння m2gd2 = m1gd1 доречно записати у вигляді m1gd1/m2gd2=1. Звідси випливає, що 4m1/m2=1, або m2=4m1.Таким чином, ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими:

m1+m2=50кг

m2=4m1.

Розв’язуючи цю систему отримаємо: m1+4m1=50кг, або 5m1=50кг, звідси m1=50кг/5=10кг. m2=4m1=4·10кг=40кг.

Відповідь: m1=10кг; m2=40кг.

Вправа №27.

1.Щоб підняти один кінець труби що лежить на землі, потрібно прикласти силу 400Н. Яка маса труби

2. До кінців важеля довжиною 1м підвішені вантажі масою 6кг і 14кг. Де потрібно встановити опору, щоб вантажі перебували у рівновазі?

3. Маса вантажу 2 – 2кг, маса вантажу 3 – 6кг, якою є маса вантажу 1, якщо важіль перебуває в рівновазі?

4. Якою є маса кожного з зображених на малюнку вантажів, якщо один з них важчий за інший на 160Н?

5.Маса зображених на малюнку вантажу 1 – 2кг, маса вантажу 2 – 14кг. Якою є маса важеля, якщо він перебуває у рівновазі?

6. На основі аналізу малюнку, визначте масу вантажу 2, якщо маса вантажу 1 дорівнює 40кг. Система перебуває у рівновазі.

7. Під дією сили F=9Н тіло масою М починає рухатись з прискоренням 2м/с2 (дивись малюнок). Яка маса цього вантажу, якщо m=0,25кг? Всіма видами тертя знехтувати.

 

§35. Основи механіки рідин та газів. Тиск. Атмосферний тиск.

 

          Механіка рідин та газів – це розділ механіки, в якому вивчають механічні властивості рідин і газів, параметри, закономірності та причини їх механічного руху, а також закономірності їх механічної взаємодії з твердими тілами. Однією з основних фізичних величин механіки рідин і газів є тиск.

Тиск – це фізична величина, яка характеризує усереднену силове дію, що припадає на одиницю площі поверхні і яка дорівнює відношенню діючої на дану поверхню сили F до площі цієї поверхні S.

Позначається: р

Визначальне рівняння: р=F/S

Одиниця вимірювання: [р]=Н/м2=Па,  паскаль.

Паскаль – це одиниця вимірювання тиску, яка дорівнює такому тиску який чинить сила  в 1Н, будучи рівномірно розподіленою по поверхні площею 1м2. Наприклад, якщо 102г води (Fт=mg=0,102кг∙9,8м/с2=1Н), рівномірно розподілити поверхнею площа якої 1м2, то тиск води на цю поверхню становитиме один паскаль. Ясно, що такий тиск є відносно незначним.

На поверхні тиснуть не лише тверді тіла та рідини, а й гази. Скажімо, над кожним об’єктом земної поверхні знаходиться шар атмосферного повітря який створює певний атмосферний тиск. Першим хто визначив величину цього тиску, був італійський вчений Еванджеліста Торрічеллі (1608-1647). Дослідження Торрічеллі були пов’язані з вирішенням однієї нагальної технічної проблеми. Суть проблеми полягала в тому, що тогочасні водяні насоси “відмовлялись” піднімати воду на висоту більшу за десять метрів. При цьому виникало закономірне запитання – чому? Відповідаючи на це запитання проведемо та проаналізуємо наступний експеримент (мал.86). Опустивши вхідний отвір медичного шприцу у воду, та піднімаючи його поршень, ви неодмінно з’ясуєте, що простір під поршнем заповнюється водою. Заповнюється тому, що поверхня води знаходиться під постійною дією зовнішнього атмосферного тиску. Тому, коли в процесі піднімання поршня, над певною ділянкою води утворюється безповітряний простір, то зовнішній атмосферний тиск змушує воду заповнювати цей простір.

        

Мал.86. В процесі піднімання поршня, вода під дією зовнішнього атмосферного тиску, заповнює безповітряний простір.

Розуміючи факт того, що причиною піднімання води за поршнем є дія атмосферного тиску, Торрічеллі розмірковував приблизно так. Якщо атмосферний тиск здатний піднімати воду на приблизно десятиметрову висоту, то напевно у 13,6 разів важчу ртуть він підніме на висоту яка буде в 13,6 разів меншою, тобто на висоту меншу за 1м. Виходячи з таких міркувань, Торрічеллі взяв запаяну з одного краю скляну трубку довжина якої була близькою до одного метра і заповнив її ртуттю. Потім, він закрив вільний кінець трубки, перевернув її та вертикально опустивши в чашку з ртуттю відкрив попередньо закритий отвір (мал.87). При цьому, частина ртуті вилилась в чашку, а висота тієї ртуті що залишилась в трубці становила приблизно 76см.

Мал.87. В 1643р. Торрічеллі експериментально довів можливість існування пустоти та факт існування атмосферного тиску.

Сучасні вимірювання показують, що на рівні моря (світового океану), усереднена величина атмосферного тиску дорівнює 760мм.рт.ст. Цей тиск прийнято називати нормальним атмосферним тиском. Ясно, що по мірі збільшення висоти над рівнем моря, шар того атмосферного повітря яке знаходиться над цією висотою зменшується, а тому відповідно зменшується і величина атмосферного тиску. При цьому дослідження показують, що на висотах які не перевищують 2км над рівнем моря, зміна висоти на 12м в середньому супроводжується зміною атмосферного тиску на 1мм.рт.ст. (міліметрів ртутного стовпчика). Загальна ж картина залежності атмосферного тиску від висоти представлена на малюнку 88.

Мал.88.   Залежність атмосферного тиску від висоти.

          Знаючи величину атмосферного тиску виміряну в міліметрах ртутного стовпчика, не важко визначити цю величину в паскалях. Дійсно. Виходячи з визначального рівняння р=F/S, можна довести, що ваговий тиск рідини визначається за формулою р=ρgh; ( p=F/S=Fт/S=mg/S=ρVg/S=ρShg/S=ρgh),  де  ρ – густина рідини,  g – прискорення вільного падіння, h – висота рідини над заданим рівнем. Оскільки густина ртуті ρ=13,6∙103кг/м3, то

р = 760мм.рт.ст.= 13,6∙103кг/м3∙9,8м/с2∙0,760м = 101∙103Па. Таким чином, тиск в одну атмосферу становить 101кПа (точніше 101325Па). А це еквівалентно тому якби на горизонтальну поверхню площею 1м2 поставили вантаж масою 10,3 тон !!!

Ви можете запитати, а чому знаходячись під постійною дією такого величезного тиску, ми практично не відчуваємо його? До речі, однією з причин того, чому люди довгий час відмовлялися визнавати факт існування атмосферного тиску, була та, що вони не могли зрозуміти, чому за наявності такого величезного тиску, ми не відчуваємо його силової дії. А й дійсно, чому? Перш ніж відповісти на це запитання, візьміть аркуш паперу і тримаючи його в горизонтальному положенні запитайте себе, – чому під дією величезного атмосферного тиску, тонкий папір навіть не прогинається? Правильно! Це пояснюється тим, що атмосферне повітря рівномірно тисне з усіх сторін, зокрема як зверху так і знизу. А це означає, що результуюча силова дія цього тиску є нулевою.

Подібна ситуація характерна не лише для аркушів паперу, а й для таких надскладних об’єктів як живі організми. Адже ці організми складаються з клітин, які представляють собою  тонку оболонку наповнену водою та певною кількістю надскладних органічних молекул. При цьому, тиск внутріклітинної рідини практично не відрізняється від зовнішнього атмосферного тиску. А це означає, що результуюча силова дія цих тисків є практично нулевою. Більше того, живий організм, це певна саморегульована система, в якій зміна зовнішнього тиску автоматично призводить до відповідної зміни внутріклітинного тиску. Про можливості такого саморегулювання говорить той факт, що треновані аквалангісти здатні пірнати на стометрову глибину. А це означає, що їх організм витримує десятикратне тискове перевантаження.

Якщо ж говорити про ті зміни атмосферного тиску які відбуваються в самій атмосфері, то вони відносно не значні і зазвичай повільні. Тому здорові люди практично не відчувають коливань атмосферного тиску. Однак іноді, особливо у людей похилого віку, організм не встигає за відносно швидкими змінами атмосферного тиску, що призводить до певних больових відчуттів. І ви напевно чули, як іноді люди бідкаються, що на зміну погоди у них болить голова, “крутять” ноги, тощо.

Прилади, які безпосередньо вимірюють атмосферний тиск називаються барометрами ( від грец. barus – важкий, metros – міряти). Першим барометром був той прилад яким Торрічеллі виміряв атмосферний тиск. Подібні барометри називаються ртутними. Сучасні ртутні барометри є еталонними вимірювачами атмосферного тиску, тобто тими базовими приладами за якими налаштовують та перевіряють всі інші барометри. Однак з практичної точки зору ртутні барометри мають ряд суттєвих недоліків. По-перше, ртутні барометри досить громіздкі та масивні. По-друге, ці прилади потребують обережного поводження з ними (їх не можна нахиляти, перевертати, піддавати значним ударним навантаженням, тощо). По-третє (і це головне), ртуть – це отруйна та шкідлива речовина, заборонена для вільного використання. Тому в науковій практиці, а тим більше у побуті, атмосферний тиск вимірюють механічними барометрами які часто називають барометрами-анероїдами тобто безрідинними барометрами. Основним вимірювальним елементом такого приладу (мал.89) є герметична коробка (К) внутрішній тиск якої незмінний і значно менший атмосферного. Однією з сторін цієї коробки є гофрована пружна мембрана (М), рівновага якої підтримується пружиною (П). При зміні зовнішнього тиску, мембрана деформується, що призводить до відповідного відхилення стрілки приладу.

   

мал.89. Механічний барометр: а) принципова схема; б) загальний вигляд.

Оскільки атмосферний тиск певним чином залежить від висоти, то барометром можна вимірювати не лише атмосферний тиск, а й висоту над рівнем моря, наприклад висоту польоту літака, гелікоптера, тощо. Барометр за шкалою якого визначають висоту над рівнем моря називають барометричним альтиметром (від лат. altus – високо).

Коли ми говоримо про тиск повітря в футбольному м’ячі, тиск в шинах автомобіля, тиск газу в газопроводі чи води у водопроводі, то маємо на увазі не тиск так би мовити “взагалі”, а те наскільки даний тиск перевищує атмосферний. Навіть в тому випадку, коли ми стверджуємо, що шар води створює на дно відкритої посудини певний тиск, то фактично мова йде про певний надатмосферний тиск. Адже сама вода знаходиться під тиском в одну атмосферу. Із вище сказаного ясно, що на практиці нас зазвичай цікавить той надатмосферний тиск який існує в тій чи іншій ситуації. Прилади які вимірюють не атмосферний тиск, а те на скільки наявний тиск рідини або газу відрізняється від атмосферного, називаються манометрами (від грец. manos – не густий).

Існує багато різновидностей манометрів. При цьому, в технічній практиці найбільш поширеними є так звані деформаційні манометри і зокрема ті з них, в яких чутливим елементом є спеціальна манометрична трубка (мал.90а). Ця трубка представляє собою з одного краю запаяну, суттєво сплющену металеву трубку зігнуту у вигляді напівкільця. Коли в манометричну трубку надходить зовнішній тиск (тиск який вимірюють), то вона деформується і відповідним чином відхиляє стрілку приладу. Деформація кільцеподібної трубки відбувається тому, що при одному і тому ж внутрішньому тиску, на поверхню більшого радіусу, а отже і більшої площі, діє більша сила.

   

мал.90. Деформаційний манометр (а); рідинний манометр (б).

В лабораторній практиці часто застосовують рідинні манометри (мал.90б). Вони представляють собою відкриту U-подібну скляну трубку частково заповнену рідиною. Коли в одне з колін цієї трубки надходить той тиск який потрібно виміряти, то рівень рідини відповідним чином змінюється. За цією зміною і визначають величину тиску.

Задача.

Контрольні запитання.

1. Тиск в один паскаль, це багато чи мало.

2. Відомо, що атмосферний тиск становить 760мм.рт.ст. Яким є цей тиск виміряний в паскалях та в метрах водяного стовпчика?

3. Вантаж якої маси потрібно поставити на стіл площа поверхні якого 1м2, щоб він відчув тиск в одну атмосферу.

4. Чому ми практично не відчуваємо дію атмосферного тиску?

5. Чому в рідинних барометрах використовують ртуть а не воду?

6. Чому в побуті застосовують не ртутні, а механічні барометри?

7. Поясніть загальний устрій та принцип дії механічного барометра (мал.74)

8. Яким приладом, барометром чи манометром, вимірюють тиск в шинах автомобіля? Чому?

Вправа №28.

1. Людина стоїть на підлозі. Як зміниться тиск на підлогу після того як людина підніме одну ногу?

2. Площа дна каструлі 20дм2. На скільки збільшиться тиск каструлі на стіл, якщо в неї налити воду об’ємом 4л.

3. Площа різального краю лопати становить 70мм2. Який тиск створює лопата на ґрунт, якщо людина діє на лопату з силою 210Н?

4. Порівняйте тиски які чинять на поверхню снігу турист і лижник, якщо маса кожного з них 80кг. При цьому площа підошви туриста 220см2, а площа лижі 1800см2.

 

§36. Закон Паскаля.

 

          В 1651-1654 роках, розмірковуючи над тим, чому атмосферний тиск в кімнаті та за її межами однаковий, чому аркуш паперу і людський організм не відчувають силової дії атмосферного тиску, чому занурені в рідину тіла виштовхуються з неї, а також проводячи відповідні експериментальні дослідження, французький фізик Блез Паскаль (1623-1662) з’ясував: той зовнішній тиск що діє на поверхню механічно зрівноваженої рідини (газу) без змін передається у всі точки цієї рідини і діє у всіх можливих напрямках. (закон Паскаля). Наприклад, якщо поршень (мал.91) створює певний тиск на усталену рідину або газ, то цей тиск без змін передається у всі точки відповідної рідини або газу.

  

мал.91.   Тиск (р) який створює вантаж, передається у всі точки рідини (газу) і діє в кожній з цих точок у всіх можливих напрямках.

Застосовуючи закон Паскаля потрібно мати на увазі, що окрім діючого на рідину (газ) зовнішнього тиску, в ній неминуче існує певний додатковий тиск, поява якого обумовлена дією на рідину сили тяжіння, тобто вагою самої рідини. Цей тиск прийнято називати ваговим або гідростатичним.

Ваговий (гідростатичний) тиск – це той тиск, який створює певний шар рідини (газу) за рахунок того що на неї діє сила тяжіння, тобто за рахунок своєї ваги.

Позначається: рв

Визначальне рівняння: рв=ρgh

де ρ – густина рідини (газу),

g – прискорення сили тяжіння (вільного падіння),

h – висота рідини над заданим рівнем.

Одиниця вимірювання: [рв] = Па, паскаль

Аналізуючи рівняння рв=ρgh не важко бачити, що по мірі занурення в рідину, величина її вагового тиску лінійним чином зростає. Звичайно, якщо мова йде про гази, то в багатьох випадках величиною їх вагового тиску можна знехтувати. Адже густина газів відносно мала. Однак, якщо мова йде про великі перепади висот, то ваговий тиск газу може бути суттєвим. До речі, той тиск який ми називаємо атмосферним фактично є ваговим тиском того шару повітря, що знаходиться над рівнем даної точки.

Потрібно зазначити, що величина того вагового тиску який створює рідина на дно посудини, не залежить ні від площі цього дна, ні від форми посудини, ні від кількості рідини в ній. Величина цього тиску залежить лише від густини рідини (ρ), прискорення діючої на рідину сили тяжіння (g) та висоти рідини над заданим рівнем (h). Скажімо, маса (а відповідно і вага) тієї рідини що міститься в зображених на мал.92а посудинах, є різною. При цьому тиск рідини на дно кожної посудини є однаковим. Не відповідність між тиском рідини на дно посудини та кількістю налитої в цю посудину рідини, часто називають гідростатичним парадоксом або парадоксом Паскаля.

Втім, не відповідність між тиском рідини на дно посудини та кількістю рідини в цій посудині, є не більш парадоксальною аніж не відповідність між мізерністю тієї кількості повітря що знаходиться у вашій квартирі, та величиною того тиску з яким це повітря тисне на підлогу квартири. Бо цей тиск фактично створюється не тим повітрям яке знаходиться в квартирі, а всією сукупністю атмосферного повітря. Адже повітря вашої квартири є невід’ємною складовою земної атмосфери. При цьому, у відповідності з законом Паскаля, загально атмосферний тиск передається у всіх можливих напрямках, в тому числі і в напрямку вашої квартири. І величина цього атмосферного тиску залежить не від висоти вашої квартири чи площі її підлоги, а від загальної висоти атмосфери. Власне за тієї ж причини, величина того вагового тиску який створює рідина на будь яку поверхню посудини, у відповідності з законом Паскаля, не залежить ні від площі цієї поверхні, ні від кількості рідини в посудині. Ця величина визначається лише висотою рідини над рівнем відповідної поверхні.

 

Мал.92.  Тиск рідини на дно посудини не залежить від кількості налитої в посудину рідини.

Демонструючи факт того, що тиск рідини на дно та бічні поверхні посудини не залежить від кількості рідини в цій посудині, Паскаль в 1648 році провів наступний показовий експеримент (мал.92б). В невеличкий отвір наповненої водою герметичної діжки, він вставив відповідну за діаметром довгу трубку. Піднявшись на балкон другого поверху, Паскаль влив в цю трубку кухоль води. Яким же було здивування присутніх, коли під силовою дією цієї відносно мізерної кількості водо, міцна винна діжка лопнула.

Застосовуючи закон Паскаля можна пояснити будову та принцип дії багатьох приладів, зокрема гідравлічних пресів, домкратів, гальмівних систем, тощо. Що ж давайте зробимо ці пояснення.

На мал.93а зображена система двох сполучених циліндрів, які заповнені рідиною і закриті відповідними поршнями. Не важко довести, що коли на поршень площею S1 діє сила F1, то діюча на поршень S2 сила F2, визначатиметься за формулою  F2=F1(S2/S1) .

Дійсно. Діюча на поршень S1 сила F1 створює тиск р1=F1/S1. Цей тиск, згідно з законом Паскаля без змін передається у всі точки рідини, в тому числі і ті, що знаходяться під поршнем S2. При цьому діючий на поршень S2 тиск р21, створюватиме відповідне силове зусилля: F2=p2S2=(F1/S1)S2=F1(S2/S1).

мал.93. Схема гідравлічної системи, що дозволяє збільшувати силове зусилля.

Таким чином, зображена на мал.93 система, дозволяє в n=S2/S1 разів збільшувати силове зусилля. Однак, говорячи про те, що певна гідравлічна система в певну кількість разів збільшує силову дію, не слід забувати про закон збереження енергії. А згідно з цим законом, та робота яку виконує сила F2 і яка дорівнює A2=F2h2, не може перевищувати ту роботу яку виконує сила F1: A1=F1h1. А це означає, що виграючи в силі (F2=nF1) ми неминуче програєм в пройденому шляху (h2=h1/n) – золоте правило механіки.

Зважаючи на вище сказане не важко пояснити будову та принцип дії зображеного на мал.94  гідравлічного преса. А ця будова та цей принцип дії полягають в наступному.

1, 2 – малий та великий поршні,

3, 4 – вхідний та вихідний клапани,

5 – нерухома платформа,

6 – резервуар з рідиною.

Мал.94.  Загальний устрій та принципова схема гідравлічного пресу.

Коли під дією зовнішньої сили F1, малий поршень площею S1 опускається на висоту Δh1, то відповідна кількість рідини через клапан 2 заштовхується у великий циліндр. При цьому, у відповідності з законом Паскаля, на поршень великого циліндра площею S2, діє тиск p2 = p1 = F1/S1. А це означає, що силове навантаження на поршень великого циліндра буду в n=S2/S1 разів більшим аніж на поршень малого циліндра: F2=nF1. З іншого боку, поршень великого циліндра підніметься на відносно меншу висоту: Δh2=Δh1/n. Для збільшення цієї висоти, в об’єм великого циліндра потрібно заштовхати відповідно велику кількість рідини. А це заштовхування забезпечується багаторазовістю повторювальних рухів (вверх-вниз) поршня малого циліндра, та наявністю в системі додаткового резервуара з рідиною і двох автоматично працюючих клапанів.

Дійсно, в процесі піднімання поршня малого циліндра, клапан 2 автоматично закривається, а клапан 1 автоматично відкриваються (поясніть чому). При цьому, певна порція рідини із додаткового резервуара засмоктуються в малий циліндр. При опусканні поршня малого циліндра, клапан 1 автоматично закривається, натомість клапан 2 – відкривається і додаткова порція рідини заштовхується в об’єм великого циліндра, забезпечуючи тим самим відповідне додаткове піднімання його поршня.

Таким чином, в процесі багаторазових повторювальних рухів поршня малого циліндра, в об’єм великого циліндра заштовхується все більша і більша кількість рідини, яка з одного боку забезпечує відповідно велике силове навантаження на поршень (F2=nF1), а з іншого – необхідно велике піднімання цього поршня (h2=NΔh1, де N – кількість тих циклів (качань) які здійснює поршень малого циліндра).

Задача.

Контрольні запитання.

1.Що стверджується в законі Паскаля?

2. Наведіть приклади, які підтверджують достовірність закону Паскаля.

3. Виходячи з загального визначального рівняння тиску р=F/S, доведіть, що ваговий тиск рідини можна визначити за формулою р=ρgh.

4. Чому в зображеній на мал.93 системі, сили F1 і F2 є різними? Як в цій системі проявляється золоте правило механіки.

5. Поясніть будову та принцип дії зображеного на мал.79 гідравлічного пресу.

6. Чому в момент піднімання малого поршня (мал.79) клапан 1 відкривається, а клапан 2 закривається. А при його опусканні – навпаки?

7. В зображених на малюнку посудинах, площа дна однакова. Чи з однаковою силою тисне рідина на дно кожної посудини? Чи з однаковою силою тиснуть ці посудини на поверхню стола?

8. Чи не здається вам, що вище наведена ситуація парадоксальною? Спробуйте пояснити її.

Вправа №29.

1.В підводній частині корабля, на глибині 3м від рівня води, утворилась пробоїна загальною площею 20см2. Яке мінімальне зусилля знадобиться для того, щоб втримати латку з внутрішньої частини корабля?

2. В підводному човні, на глибині 200м утворилась пробоїна загальною площею 20см2. Яке мінімальне зусилля знадобиться для того, щоб втримати латку з внутрішньої частини човна?

3. За даними малюнку до запитання 7, визначити величину вагового тиску води на дно кожної посудини та величини тих тисків, які створюють ці посудини на поверхню стола. Площа дна кожної посудини 10см2. Масою посудин знехтувати.

4. Площа малого поршня гідравлічного пресу 10см2, а великого – 3дм2. Яке силове зусилля створюватиме цей прес, якщо на малий поршень діє сила 250Н?

5. Під дією сили 300Н малий поршень гідравлічного пресу опустився на 10см, а великий – піднявся на 0,5см. Визначте силу, що діє на великий поршень.

6. Знаючи радіус землі (R=6,4∙106м) та величину атмосферного тиску (р0=1∙105Па) визначте масу земної атмосфери.

7. Ширина шлюзу 10м. Шлюз заповнений водою, надлишковий рівень якої 6м. З якою силою вода тисне на ворота шлюзу?

 

§37. Сполучені посудини.

 

Загально відомо, що у відкритих сполучених посудинах, вільні поверхні однорідної рідини знаходяться на одному горизонтальному рівні (мал.95).

Мал.95. У відкритих сполучених посудинах рівень однорідної рідини є однаковим.

Звичайно, якщо в сполучених посудинах містяться рідини різної густини (мал.96а), то рівень цих рідин може бути різним. Однак і в цьому випадку все відбувається у відповідності з законом Паскаля. Адже якщо ρ1≠ρ2, то із формули р01gh102gh2 випливає, що h2≠h1.

Рівень рідини буде не однаковим і в тому випадку, якщо той зовнішній тиск який існує над її різними вільними поверхнями є різним. Наприклад, якщо за допомогою того чи іншого пристрою над вільною поверхнею одного з колін U-подібної сполученої посудини створити певний додатковий тиск (мал.96б), то рівень вільних поверхонь цієї рідини буде різним. Втім і в цьому випадку, все відбувається у відповідності з законом Паскаля. Адже якщо р01≠р02, то із факту того, що для рівня АВ має виконуватись співвідношення p01+ρgh1=p0+ρgh2 випливає, що h1≠h2.

   

Мал.96. Якщо в сполучених посудинах містяться різні рідини (а,б), або величина зовнішнього тиску над вільними поверхнями є різною (в), то рівень рідини в цих сполучених посудинах може бути різним.

Важливим прикладом застосування закону сполучених посудин є гідротехнічні споруди які називаються шлюзами. Шлюзи забезпечують перехід водного транспорту через ті ділянки шляху, які характеризуються різким перепадом рівня води. Наприклад на Дніпрі існує каскад великих водосховищ. Ці водосховища утворюються за рахунок потужних дамб, які стримуючи потік річкової води, піднімають її на певну висоту. При цьому по різні боки дамби існує великий перепад рівня води. Власне для подолання транспортними засобами цього перепаду і призначені шлюзи.

Мал.97. Схема загального устрою та принципу дії шлюзу.

Найпростіший (одно каскадний) шлюз представляє собою перехідну камеру обмежену потужними вхідними і вихідними воротами та обладнану клапанами для перетікання води. Принцип дії цієї системи наступний. При закритих вихідних воротах, вхідні ворота відчиняються і судно заходить в перехідну камеру. Вхідні ворота зачиняються. Відкривається перепускний клапан. При цьому вода з більш високого рівня перетікає в перехідну камеру і заповнюючи її піднімає судно на відповідну висоту. (При зворотному переході, вода із перехідної камери витікає і судно відповідно опускається). Нарешті вихідні ворота відчиняються і судно виходить на простори більш високого рівня води.

Ще одним прикладом практично важливого застосування закону сполучених посудин є система водопостачання за допомогою водонапірних башт (мал.98). Принцип дії цієї системи очевидно простий. За допомогою електро насосу, вода періодично закачується у водонапірну башту, що височіє над навколишніми споживачами води. А оскільки ця башта за допомогою водопровідної системи з’єднана з цими споживачами, то у відповідності з законом сполучених посудин, вода піднімається до кожного з них.

Мал.98. Схема загального устрою та принципу дій системи водопостачання за допомогою водонапірних башт.

Задача 1. В одне з колін U-подібної трубки, в якій міститься певна кількість води, налили шар гасу висотою 12,5см. Визначте різницю рівнів води і гасу в правому і лівому колінах трубки. Гас і вода не змішуються.

Дано:                                           Рішення:

hг = 12,5см              Виконуємо малюнок, який наочно відображає

ρв =1000кг/м3          фізичну суть задачі.

ρг = 800кг/м3

Δh = ?                        В якості нульового горизонтального рівня обираємо

рівень АВ. Рівень, нижче якого знаходиться лише однорідна рідина (вода). Оскільки нижче горизонтального рівня АВ в трубці міститься лише однорідна рідина, то згідно з законом Паскаля, той тиск який існує над цим рівнем в обох колінах трубки має бути однаковим. А враховуючи, що для точок А і В величина цього тиску становить: рА0гghг; рВ0вghв, можна записати р0гghг0вghв, або ρгghгвghв, або ρгhгвhв. Звідси випливає, що hв=hгρгв. Зважаючи на те, що Δh=hг-hв, виконуємо відповідні розрахунки.

Розрахунки: hв=12,5(см)800(кг/м3)/1000(кг/м3)=10см;

Δh=12,5(см) – 10(см)=2,5см.

Відповідь: Δh = 2,5см.

Контрольні запитання.

1.За яких умов, рівень рідини в сполучених посудинах буде однаковим?

2. Чи впливає на рівень рідини в сполучених посудинах атмосферний тиск?

3. Чи впливає густина рідини на положення рівня рідини в сполучених посудинах?

4. Чому в зображених на малюнку ситуаціях рівень рідини в сполучених посудинах є різним?

  

5. На основі аналізу мал.97 поясніть загальний устрій та принцип дії шлюзу.

6. Поясніть загальний устрій та принцип дії зображеної на мал.98 системи водопостачання.

7. В деяких храмах Стародавньої Греції демонструвалось диво під назвою «невичерпна чаша». Поясніть принцип дії даного «дива».

 

Вправа №30.

1. Нижню частину сполучених посудин заповнили ртуттю. У ліве коліно налили гас, а в праве воду, висота стовпчика якої 48см. Якої висоти має бути стовпчик гасу, щоб рівень ртуті був однаковим?

2. Нижню частину двох сполучених посудин площею поперечного перерізу 1,5см2 заповнили ртуттю. У ліве коліно налили 75г води. Якої висоти має бути стовпчик налитого в праве коліно гасу, щоб рівень ртуті був однаковим?

3. У ліве коліно сполучених посудин нали воду, а у праве – гас. Висота стовпа гасу 20см. На скільки рівень води в лівому коліні нижчий від верхнього рівня гасу?

4. В сполучених посудинах міститься ртуть, коли в праве коліно посудини налили шар гасу, то рівень ртуті в лівому коліні піднявся на 2см. Визначте висоту налитого в посудину гасу. Який шар води потрібно налити в праве коліно, щоб ртуть в трубці встановилася на однаковому рівні?

 

§38. Закон Архімеда. Сила Архімеда. Умова плавання тіла.

 

Понад дві тисячі років тому, видатний давньогрецький вчений Архімед (287–212р.р. до н.е) відкрив закон, який прийнято називати законом Архімеда. В цьому законі стверджується: на будь яке занурене в рідину (газ) тіло, діє виштовхувальна сила, величина якої дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини. Наочно переконатися в достовірності даного твердження дозволяє проста система, складовими якої є (мал.84): штатив, пружинний динамометр (1), маленьке відерце (2), досліджуване тіло (3), відливний стакан (4), стакан для відлитої води (5).

Принцип дії даної системи очевидно простий. Під вагою досліджуваного тіла, пружина динамометра видовжується (мал.99а) і це видовження фіксує стрілка приладу, вказуючи на жовту точку відповідної шкали. Коли досліджуване тіло опиняється у воді вщерть заповненого відливного стакана (мал.99б), то: по-перше, діюче на пружину динамометра навантаження зменшиться на величину тієї виштовхувальної сили яка діє на тіло; по-друге, певна кількість води вильється з відливного стакана і ця кількість дорівнюватиме об’єму зануреного у воду тіла. Якщо ж взяти виштовхнуту тілом воду і вилити у відерце системи (мал.99в), то неодмінно з’ясується, що вага цієї води в точності дорівнює величині діючої на тіло сили Архімеда (стрілка динамометра знову вказує на жовту точку).

Мал.99. На занурене в рідину тіло діє виштовхувальна сила, величина якої дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини (закон Архімеда).

Не важко довести, що величина тієї виштовхувальної сили, яка називається силою Архімеда (FA) і яка дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини (FA=Pр), залежить від густини рідини (ρр), об’єму зануреної в рідину частини тіла (V) та прискорення сили тяжіння (g), і що цю залежність можна записати у вигляді FAрVg. Дійсно. Оскільки в нерухомій системі вага витісненої тілом рідини визначається за формулою Рр=mрg, та враховуючи, що маса витісненої тілом рідини дорівнює добутку густини рідини ρр на її об’єм (mррV), можна записати: FA=Pр=mрg=ρрVg.

Зважаючи на вище сказане, можна дати наступне визначення:

Сила Архімеда – це та сила, з якою тіла виштовхуються з рідин та газів і яка дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини або газу.

Позначається: FА

Визначальне рівняння: FАрVg, де ρр – густина рідини (газу); V- об’єм зануреної в рідину (газ) частини тіла; g-прискорення сили тяжіння;

Одиниця вимірювання: [FА] = H, ньютон.

Характерною особливістю сили Архімеда є факт того, що її величина залежить не від загального об’єму тіла, а від об’єму тієї частини тіла яка занурена в рідину. А це означає, що по мірі занурення тіла в рідину, величина діючої на нього сили Архімеда збільшується. Збільшується до тих пір поки тіло повністю не зануриться в рідину. При цьому в процесі подальшого занурення, величина діючої на тіло сили Архімеда залишається сталою.

Загально відомо, що деякі тіла плавають у воді, а деякі – тонуть в ній. Тепер, коли ви знаєте про силу Архімеда та її основні властивості не важко пояснити все різноманіття тих явищ, які пов’язані з плаванням чи не плаванням тіл. Дійсно. Якщо діюча на тіло сила тяжіння зрівноважується виштовхувальною силою Архімеда (Fт=FA), то відповідне тіло не тоне в рідині. А якщо сила тяжіння більша за силу Архімеда (Fт>FA), то відповідне тіло тоне в рідині.

      

Мал.100. Якщо діюча на тіло сила тяжіння зрівноважується силою Архімеда (Fт=FA), то відповідне тіло не тоне, а якщо сила тяжіння більша за силу Архімеда (Fт>FA), то тіло тоне в рідині.

Говорячи про те, що дане тіло не тоне в рідині, потрібно мати на увазі, що ступінь отого «не тоне» може бути різною. Скажімо у воді, пінопласт (ρ≈20кг/м3) занурюється лише на 2% свого об’єму, пробкове дерево (ρ=240кг/м3) – на 24%, суха сосна (ρ=400кг/м3) – на 40%, а сухий дуб (ρ=800кг/м3) – на 80%.

Пояснюючи даний факт, можна сказати наступне. Діюча на дане тіло сила тяжіння є постійною величиною, значення якої залежить від усередненої густини тіла (ρт), його загального об’єму (Vт) та прискорення сили тяжіння (g): Fт=mтg=ρтVтg. Натомість діюча на тіло сила Архімеда (FAрVg), в процесі його занурення в рідину (в процесі збільшення об’єму V) змінюється від практично нульової величини (якщо V≈0, то FA≈0), до певної максимальної величини (якщо V=Vт, то  FAрVтg=max). В такій ситуації для різних тіл умова плавання (Fт=FA) настає при різному співвідношенні між загальним об’ємом тіла (Vт) та об’ємом його зануреної частини (V). І не важко довести, що величина цього співвідношення залежить від співвідношення між густиною рідини (ρр) та усередненою густиною тіла (ρт). Дійсно, якщо Fт=FA, то ρтVтg= ρрVg. Звідси випливає, що Vт/V=ρрт.

Аналізуючи співвідношення Vт/V=ρрт можна зробити декілька висновків. 1) Якщо ρрт, то Vт>V. А це означає, що тіло плаває, причому так, що певна його частина знаходиться над рідиною. 2) Якщо ρрт, то Vт=V. А це означає, що тіло не тоне, тобто будучи повністю зануреним в рідину, не піднімається вгору і не опускається вниз. 3) Якщо ρрт, то Vт<V. А це означає, що відповідне тіло тоне. Тоне тому, що об’єм зануреної в рідину частини тіла (V) не може бути більшим за загальний об’єм цього тіла (Vт).

Потрібно зауважити, що говорячи про усереднену густину тіла (ρт), мають на увазі не густину того матеріалу з якого виготовлено тіло, а саме усереднену густину всього тіла. Скажімо, якщо ви візьмете суцільний шматок сталі (ρ=7800кг/м3) і опустите його у воду (ρ=1000кг/м3), то він неодмінно потоне. Потоне тому, що густина сталі більша за густину води. Але якщо з цієї сталі ви виготовите пустотілий корпус човна, то він залишатиметься на плаву. Адже усереднена густина корпусу човна буде значно меншою за густину води. Меншою тому, що об’єм корпусу човна складається не лише з об’єму тієї сталі з якої він виготовлений, а й з об’єму того простору який знаходиться всередині корпусу та є недоступним для потрапляння води.

Мал.101. Усереднена густина човна, менша за густину води.

В певному сенсі, всі плаваючі тіла починаючи від деревяних колод і закінучуючи океанськими лайнерами, представляють собою певні саморегульовані системи. Саморегульовані в тому сенсі, що збільшення навантаження на плаваюче тіло, автоматично призводить до відповідного додаткового занурення цього тіла, яке в свою чергу призводить до автоматичного збільшення виштовхувальної сили Архімеда. Ясно, що така саморегуляція може відбуватися лише до тих пір поки об’єм зануреної в рідину частини тіла не зрівняється з загальним об’ємом цього тіла. Втім, якщо мова йде про плаваючі транспортні засоби, то для них зазвичай передбачена певна обмежувальна межа, яка гарантує безпечну експлуатацію відповідного транспортного засобу. Цю межу називають ватерлінією.

Цікавим прикладом застосування сили Архімеда є підводні човни. Підводний човен (мал.102) може знаходитись над водою (ρрт), під водою (ρрт) або лежати на дні водойми (ρрт). Він може занурюватись на глибину (ρрт) та виринати з цієї глибини (ρрт). Реалізацію всіх цих можливостей забезпечує наявна на підводному човні система баластових відсіків (мал.102б). В залежності від потреб, ці відсіки заповнюються навколишньою водою, або звільняються від неї. При цьому реальний об’єм човна (Vт), тобто той об’єм який недоступний для потрапляння навколишньої води, змінюється, а відповідно змінюється і усереднена густина човна (ρт=mт/Vт).

  

Мал.102. Загальний вигляд підводного човна та схема його занурення у воду.

Потрібно зауважити, що в живій природі, подібний до застосованого в підводних човнах способу регуляції плавучості тіла, можна спостерігати у риб. Адже всередині будь якої риби є так званий плавальний міхур (мал.103). В процесі плавання та в залежності від потреб, риба шляхом мязових зусиль, змінює об’єм свого плавального міхура, а відповідно і загальний об’єм свого тіла. А це в свою чергу дозволяє здійснювати маневри стосовно зміни глибини плавання.

Мал.103. Плавальний міхур, дозволяє рибам змінювати глибину плавання.

Завершуючи розмову про силу Архімеда зауважимо, що все вище сказане стосується не лише рідин, а й газів. Суттєва різниця лише в тому, що в газах і зокрема у повітрі, прояви сили Архімеда є менш помітними. І це закономірно. Адже густина повітря (ρ=1,29кг/м3) в 775 разів менша за густину води. А це означає, що у повітрі, діюча на тіло сила Архімеда в 775 разів менша аніж у воді. В газах прояви сили Архімеда стають очевидними лише в тому випадку, коли усереднена густина тіла є співрозмірною або меншою за густину відповідного газу. Наочними прикладами дії сили Архімеда у повітрі є заповнені гелієм або теплим повітрям гумові кульки, величезні повітряні кулі, дирижаблі, тощо.

  

Мал.104.Наочні приклади дії сили Архімеда у повітрі.

Задача.

Контрольні запитання.

1.Що стверджується в законі Архімеда?

2. Від чого залежить діюча на тіло виштовхувальна сила Архімеда?

3. Залізне і дерев’яне тіла однакових розмірів знаходяться у воді. При цьому, залізне тіло лежіть на дні посудини, а дерев’яне плаває. Чи однакові сили Архімеда діють на ці тіла? Поясніть.

4. Від чого залежить ступінь занурення тіла в рідину, (відношення загального об’єму тіла до об’єму його зануреної в рідину частини)?

5. Що можна сказати про ситуацію в якій між густиною рідини ρр та усередненою густиною тіла ρт існує співвідношення: а) ρрт; б) ρрт; в) ρрт?

6. Що мають на увазі коли говорять про усереднену густину плаваючого тіла?

7. В чому полягає саморегульованість плаваючого тіла? Які межі цієї саморегульованості?

8. Яким чином підводні човни досягають того, що можуть плавати як над водою так і підводою?

Вправа №31.

1.На основі аналізу малюнку, порівняйте густини плаваючих в рідині тіл.

2. На основі аналізу малюнку порівняйте густини тих рідин в яких знаходяться однакові тіла.

3. На гачку пружинного динамометра висить гиря, яка має об’єм 130см3 і масу 1кг. Що покаже динамометр, якщо гирю занурити у воду?

4. Визначте показання динамометра якщо тіла об’ємом 100см3 з алюмінію, заліза, міді, свинцю зважувати у воді,

5. Повітряна куля має об’єм 300м3. Визначте діючу на кулю силу Архімеда. Вантаж якої максимальної маси може підняти ця куля, якщо її власна маса 180кг?

6. На тіло яке перебуває у воді діє виштовхувальна сила 270Н. З якою силою це тіло виштовхується гасом?

7. Чи буде плавати у воді мідна куля масою 445г, всередині якої є порожнина об’ємом 450см3?

8. У річковому порту судно взяло на борт 100т вантажу, при цьому осадка судна збільшилась на 0,2м і досягла ватерлінії. Визначте площу поперечного перерізу судна на рівні ватерлінії.

 

§39. Що важче, кілограм заліза чи кілограм вати?

 

В параграфі 29 ми з’ясували, що вага одного і того ж тіла за різних обставин може бути різною, і що вона залежить як від силових параметрів того гравітаційного поля в якому знаходиться тіло (від діючої на тіло сили тяжіння), так і від величини та напрямку того прискорення з яким рухається тіло (від діючої на тіло сили інерції). Однак дослідження показують, що вага тіла залежить не лише від діючої на нього сили тяжіння та сили інерції, а й від інших силових факторів, зокрема сили Архімеда. Дійсно. Загально відомо, що у воді камінь суттєво легший аніж на суходолі (мал.105). І це закономірно. Адже у воді на камінь діє значна виштовхувальна сила Архімеда, яка і зменшує його вагу.

Мал.105. У воді камінь легший аніж у повітрі, і це пов’язано з виштовхувальною дією сили Архімеда.

Звичайно, коли тіло знаходиться в рідині, то завжди можна сказати, що рідина є певною не жорсткою опорою, і що тому певна частина ваги тіла зрівноважується цією не жорсткою опорою. З одного боку це правда, – рідину дійсно можна вважати певною не жорсткою об’ємною опорою для того тіла яке знаходиться в цій рідині. Скажімо, коли тіло вільно плаває у воді і не тисне на тверду опору, то це зовсім не означає, що воно знаходиться в стані невагомості. Просто діюча на тіло сила тяжіння зрівноважується відповідною силою Архімеда, яка для цього тіла фактично є не жорсткою, об’ємною реакцією опори.

Однак з іншого боку, щоб ми не говорили, а будь яка жорстка опора на якій висить, лежить чи стоїть тіло, неодмінно зафіксує, що вага тіла у воді значно менша аніж у повітрі. Тому, якщо вага, це та сила з якою тіло діє на  опору, а опора, це те що жорстко обмежує рух тіла, то потрібно визнати, що вага залежить не тільки від сили тяжіння та сили інерції, а й від діючої на тіло сили Архімеда.

Іноді можна почути, як старші школярі провокативно запитують своїх молодших колег: “що важче, кілограм заліза чи кілограм вати?” І коли ті відповідають що залізо важче, – дружно сміються, хизуючись своєю кмітливістю. І потрібно сказати, сміються абсолютно безпідставно. Адже кілограм заліза дійсно важчий за кілограм вати. Звичайно за умови, що мова йде саме про кілограм, тобто про масу в 1000,00г.

Обґрунтовуючи тезу про те, що кілограм заліза важчий за кілограм пір’я, вати, пінопласту чи дерева, розв’яжемо наступну задачу.

Задача. Визначити на скільки кілограм заліза (ρ1=7800кг/м3) важчий за кілограм пінопласту (ρ2=20кг/м3). Густина повітря ρ=1,3кг/м3.

Дано:                                   Рішення:

m1=m2=1,000кг

ρ1=7800кг/м3                        Малюнок

ρ2=20кг/м3

ρ = 1,3кг/м3

g =9,81м/с2

ΔP = P1 – P2 = ?

Оскільки за визначенням, вага тіла чисельно дорівнює реакції відповідної опори (Р1=N1; Р2=N2), то рішення задачі полягає у визначенні цих реакцій Виходячи з цього, розглянемо ті сили що діють на залізне (1) та пінопластове (2) тіло і визначимо відповідні реакції опор.

Із умов рівноваги тіл випливає:

N1= Fт – FА1 = m1g – ρV1g = m1g – ρm1g/ρ1 = m1g(1 – ρ/ρ1);

N2 = Fт – FА2 = m2g – ρV2g = m2g – ρm2g/ρ2 = m2g(1 – ρ/ρ2) .

Таким чином:  N1 = m1g(1 – ρ/ρ1);   N2 = m2g(1 – ρ/ρ2) .

Розрахунки:  P1 = N1 = … = 9,81H;

P2 = N2 = … = 9,17H.

ΔP = P1 – P2 = 0,64H

Відповідь: кілограм заліза на 0,64Н важчий за кілограм пінопласту, що відповідає додатковій масі Δm=0,065кг=65г. Іншими словами, кілограм пінопласту на 6,5% легший за кілограм заліза (за умови, що визначення ваги відбувається у повітряному середовищі).

Таким чином, теорія стверджує що кілограм пінопласту на 6,5% легший за кілограм заліза. Причина появи цієї різниці очевидна – на більш об’ємний пінопласт діє більша сила Архімеда і тому його вага виявляється дещо меншою.

Чому ж ми вважаємо, що кілограм заліза і кілограм пінопласту мають однакову вагу? Більше того, якщо ми дійсно порівняємо вагу реального кілограму заліза і реального кілограму пінопласту, то скоріш за все ця вага виявиться однаковою. І справа не втому, що точність вимірювальних приладів не дозволяє зафіксувати наявну різницю ваги. Справа в іншому – цієї різниці просто не існує. Не існує тому, що зазвичай масу тіла ми визначаємо шляхом зважування. І як ви розумієте, це зважування відбувається у повітряному середовищі. А це означає, що в реальному кілограмі пінопласту, фактично не 1,000кг а 1,065кг. Поява цієї різниці знову ж таки обумовлена дією сили Архімеда. Адже для того, щоб пінопластове тіло зрівноважило залізу гирю масою 1,000кг, маса цього тіла має бути на 65г більшою за масу гирі. Більшою на ту величину яка дозволяє компенсувати надлишкову силу Архімеда.

Таким чином, якщо кілограм вати і кілограм заліза мають однакову вагу, то це тільки тому, що фактична маса вати дещо більша за кілограм. Якщо ж ми дійсно візьмемо кілограм заліза і кілограм вати, то вага заліза буде більшою за вагу вати. Звичайно за умови, що процес зважування відбувається у повітряному середовищі.

До речі. Не відомо, чи знають продавці пінопласту, вати, пір’я та інших їм подібних легких матеріалів, що в кілограмі їх товару більше речовини аніж в тій кілограмовій гирі за допомогою якої цей товар зважують. Але фактом залишається те, що подібні легкі матеріали кілограмами ніхто не міряє. А якщо і міряє, то собі на збиток.

Контрольні запитання.

1.Що називають вагою тіла?

2.Що називають опорою?

3. Від чого залежить вага тіла?

4. Чому у воді камінь легший аніж у повітрі?

5. Чому звичайним способом виміряний кілограм заліза і кілограм пінопласту мають однакову вагу?

6. Чи означає факт того, що той пінопласт який на шальках терезів зрівноважив гирю масою 1,000кг, також має масу 1,000кг? Чому?

7. Що покажуть розміщені у вакуумі терези, на одну шальку яких покладено гирю масою 1,000кг, а іншу – 1,000кг вати, маса якої визначалась у повітрі?

8. Чому на практиці кількість речовини в надлегких товарах не вимірюють в кілограмах?

Вправа №32.

1.На одну шальку терезів поклали сталеву гирьку, а на іншу – аналогічну за вагою кількість пінопласту. Нічого не змінюючи дуну систему перенесли на Місяць. Чи зміниться при цьому рівновага терезів? Якщо зміниться то як?

2. На одну шальку терезів поклали сталеву гирьку, а на іншу – аналогічну за вагою кількість пінопласту. Нічого не змінюючи дуну систему перенесли на Венеру. Чи зміниться при цьому рівновага терезів, якщо приповерхнева густина атмосфери Венери у 92 рази більша за приповерхневу густину атмосфери Землі?

3. У 1990 році, в США була синтезована тверда речовина з найменшою густиною – кремнієвий аерозоль. Густина цієї речовини всього 5кг/м3. Яку реальну масу цієї речовини треба покласти на точні терези, щоб урівноважити сталеву гирю масою 1,000кг?

4. У повітрі один кілограм корка важить 2000Н. Яка його вага у вакуумі?

5. З якою силою виштовхується з води тіло об’ємом 125см3, якщо воно виготовлено з алюмінію, скла, свинцю, корка?

6. Яку максимальну піднімальну силу має пліт, який складається з 10 колод об’ємом по 0,6м3 кожна, якщо густина дерева 700кг/м3?

7. На яку частина свого об’єму зануриться тіло густиною ρ1 в рідину, густина якої ρ2? ρ12.

 

§40. Розв’язування задач. Тема: Механіка рідин та газів.

 

Задача 1. Визначити густину однорідного тіла, якщо відомо, що його вага в повітрі 28,5Н, а у воді 16,9Н. Втратами ваги у повітрі знехтувати.

Дано:                                Рішення.

Рп=28,5Н     Оскільки за визначенням ρ=m/V, то рішення задачі зводиться

Рв=16,9Н     до того, щоб визначити масу та об’єм тіла.

 ρт = ?            Оскільки втратами ваги в повітрі можна знехтувати, то можна

стверджувати, що Рп=mg, звідси випливає: m=Pп/g=28,5Н/9,81м/с2=2,9кг.

Величину об’єму тіла (V) визначаємо із наступних міркувань. Оскільки вага тіла у воді (Pв) дорівнює різниці між діючою на тіло силою тяжіння (Fт=mg) і діючою на нього силою Архімеда (FAвVg), та зважаючи на те, що в умовах нашої задачі діюча на тіло сила тяжіння і його вага у повітрі є чисельно рівними (Pп=Fт), можна записати: Pв=mg – ρвVg=Pп – ρвVg. Звідси випливає: ρвVg=Pп – Pв. Звідси

V=(Pп – Pввg) = (28,5Н – 16,9Н)/1·103кг/м39,81м/с2 = 1,18·10-3м3.

Таким чином, в умовах даної задачі густина тіла дорівнює: ρт=m/V=2,9кг/1,18·10-3м3=2,45·103кг/м3.

Відповідь: ρт=2,45·103кг/м3.

 

Задача 2. У U-подібній трубці знаходиться певна кількість ртуті. В праве коліно трубки долили 25,2см гасу. Скільки води треба долити в ліве коліно трубки, щоб вільні поверхні води і гасу були на одному рівні?

   

Дано:                                    Рішення:

hг=25,2см             Виконуємо малюнок, який наочно відображає

ρг=800кг/м3          фізичний зміст задачі.

ρв=1000кг/м3

ρр=13600кг/м3              Оскільки густина води більша за густину гасу, то в

hв = ?                     заданій системі, вільні поверхні води і гасу будуть на одному рівні лише в тому випадку коли висота води над поверхнею ртуті, буде дещо більшою за відповідну висоту гасу (hв>hг).

Зважаючи на ці обставини, в якості нульового горизонтального рівня обираємо рівень АВ. Рівень, нижче якого знаходиться лише однорідна рідина (ртуть). Враховуючи, що над точкою А знаходиться лише шар води (hв), а над точкою В – шар гасу (hг) та певний шар ртуті (hр), та без урахування зовнішнього атмосферного тиску, який для обох колін трубки є однаковим, можна записати: рАвghв;  рВ= ρгghгрghр.

Оскільки нижче горизонтального рівня АВ в трубці міститься лише однорідна рідина, то згідно з законом Паскаля, тиск над точками цього рівня має бути однаковим: рАВ. Тому ρвghв= ρгghгрghр, або ρвhв= ρгhгрhр.

Оскільки рівняння ρвhв= ρгhгрhр містить дві невідомі величини (hв=? hр=?), то на перший погляд воно не має однозначного рішення. Однак, якщо врахувати факт того, що загальна висота шарів гасу і ртуті (hг+hр), має дорівнювати висоті води hг+hр=hв, то ми отримаємо систему двох незалежних рівнянь з двома невідомими:

(1)  ρвhв= ρгhгрhр;

(2)  hв=hг+hр.

Подібні системи розв’язуються за наступною схемою:

1.Із першого та другого рівнянь системи визначають одну з невідомих величин. В нашому випадку: (1) → hв=(ρгhгрhр)/ρв; (2) → hв=hг+hр.

2.Оскільки ці невідомі величини однакові (hв=hв), то на основі двох рівнянь з двома невідомими, можна записати одне рівняння з одним невідомим. В нашому випадку (ρгhгрhр)/ρв = hг+hр.

3 .Розв’язавши це рівняння, визначають одну з невідомих величин. В нашому випадку – величину hр:

гhгрhр)/ρв = hг+hр, звідси (переносним невідомі величини в одну сторону, відомі – в іншу) hрρрв – hр = hг – hгρгв, або hр[(ρрв) – 1] = hг(1 – ρгв). Звідси випливає hр= hг(1 – ρгв)/(ρрв) – 1.

4. Визначаємо другу невідому величину. В нашому випадку hв=hг+hр.

Розрахунки: hр=25,2см(1-800/1000)/(13600/1000)-1=25см(1-0,8)/(13,6-1)=0,4см

hв = 25,2см + 0,4см = 25,6см.

Відповідь: hв = 25,6см.

 

Задача 3.  В посудині з водою плаває шматок льоду до якого примерзла коркова пробка. Як зміниться рівень води в посудині після того як лід розтане? Розглянути два варіанти: в початковий момент часу примерзла пробка знаходиться 1) над водою; 2) під водою.

          Загальні зауваження.  На перший погляд, дана задача представляється такою, що не має кількісно обгрунтованого рішення. Насправді ж, таке рішення є. Однак, воно буде реалізовано лише в тому випадку, якщо аналізуючи умову задачі, ви звернете увагу на факт того, що в процесі плавлення льоду, тиск рідини на дно посудини залишається незмінним.

.                            Рішення:

 

.                            Малюнок

 

В незалежності від того плаває щось в рідині чи не плаває, її тиск на дно посудини визначається за формулою р=ρgh, де h – висота рідини над рівнем дна посудини.

Оскільки загальна маса тих речовин що знаходяться в посудині як до, так і після плавлення льоду залишається незмінною, та зважаючи на те, що в обох випадках на дно посудини тисне лише вода, можна стверджувати, що тиск води на дно посудини як в процесі так і після плавлення льоду залишається незмінним. При цьому, величина цього тиску не буде залежати від того де початково знаходилась коркова пробка – над водою, під водою чи де інде.

Таким чином, з одного боку тиск води на дно посудини до (р1) і після (р2) танення льоду має визначатись за формулами  р1=ρgh1; р2=ρgh2. З іншого ж боку: р12. А це означає, що ρgh1 = ρgh2  і тому h1=h2.

Відповідь: в обох випадках рівень води в посудині залишається незмінним і рівним його початковій величині.

Зауваження.  Якби частиною шматка льоду було не пробкове тіло, а тіло залізне, то після того як це тіло опинилось би на дні посудини, тиск рідини на це дно дещо зменшився б. Зменшився б на ту величину яку спричиняло те додаткове занурення льоду, джерелом якого була сила ΔF = Fт – Fa, де Fт, Fa – діючі на залізне тіло, відповідно, сила тяжіння та сила Архімеда. А це означає що рівень рідини у відповідній посудині дещо зменшився б. Втім, загальний тиск рідини та тіла на дно посудини залишився б незмінним.

 

          Задача 4.  Куля плаває таким чином, що одна її половина занурена у ртуть (ρ=13,6∙103кг/м3), а друга – в машинне масло (ρ=0,9∙103кг/м3). Визначити густину кулі.

Дано:                                       Рішення:

ρ1=13,6∙103кг/м3

ρ2=0,9∙103кг/м3                          малюнок

V1=V2=V/2

ρ3=?

Розглянемо діючі на кулю сили і виходячи з умови рівноваги (∑F=0), визначимо невідому величину. На дану нерухому кулю діють три сили: сила тяжіння Fт, сила Архімеда збоку ртуті F1 та сила Архімеда збоку машинного масла F2 . При цьому:

Fт = mg = ρ3gV

F1 = ρ1gV1 = ρ1gV/2

F2 = ρ2gV2 = ρ2gV/2.

Оскільки, згідно з умовою рівноваги кулі:

Fт = F1 + F2,  то

ρ3gV = ρ1gV/2 + ρ2gV,  або   ρ3gV = gV(ρ12)/2.

Звідси  ρ3 = (ρ1 + ρ2)/2.

Розрахунки: ρ3 = … = 7,25∙103кг/м3 .

Відповідь:  ρ3 = 7,25∙103кг/м3.

                    Вправа №33.

1.Крижина площею 40м2 і товщиною 40см плаває у воді. Тіло якої максимальної маси може втримати на плаву ця крижина? Густина льоду 900кг/м3.

2. Якого мінімального об’єму має бути надувний човен масою 8кг, щоб утримувати на воді рибалку масою 80кг?

3. Теплохід власна маса якого 2000т при завантаженні до ватерлінії має об’єм підводної частини 6000м3. Яка вантажопідйомність теплоходу?

4. В посудині з водою плаває кусок льоду в середині якого знаходиться кусок дерева, кусок заліза та велика бульбашка повітря. Як зміниться рівень води в посудині після того як лід розтане?

5. Визначити густину однорідного тіла, якщо відомо що його вага у повітрі 18,6Н, а у гасі 12,6Н. Втратами ваги у повітрі знехтувати.

6. На одній чаші вагів лежить шматок срібла масою 105г, а на іншій – шматок скла масою 130г. Яка чаша переважить при зануренні вагів у воду? Густина срібла 10,5∙103кг/м3, скла 2,6∙103кг/м3.

7. Шматок заліза у воді важить 40,0Н. Визначити його об’єм. Густина заліза 7,8∙103кг/м3.

8. Оболонка повітряної кулі масою 60кг, вміщує 350м3 газу, густина якого 0,6кг/м3. Яке мінімальне зусилля знадобиться для того, щоб утримати кулю за допомогою канату масою 30кг?

 

Подобається