Сайт викладача фізики

РОЗДІЛ 1. Механіка. частина 2.

 

Лекційне заняття №15. Тема: Пара сил. Момент сили. Важелі.

Рівновага тіла, що має вісь обертання.

Лекційне заняття №16. Тема: Рівновага тіла під дією довільної

системи сил. Розв’язування задач.

Лекційне заняття №17. Тема: Динаміка. Принцип відносності.

Закони Ньютона, теоретична основа механіки.

Лекційне заняття №18. Тема: Імпульс. Закон збереження

Імпульсу. Реактивний рух.

Лекційне заняття №19. Тема: Енергія. Механічна енергія.

Закон збереження енергії.

Лекційне заняття №20. Тема: Імпульсно-енергетичний метод

розв’язування задач.

Лекційне заняття №21. Тема: Робота. Механічна робота.

Лекційне заняття №22. Потужність. Коефіцієнт корисної дії.

Розв’язування задач.

Лекційне заняття №23. Тема: Загальні відомості про коливання,

та ті фізичні величини, що їх характеризують.

Лекцйне заняття №24. Тема: Фізичний, математичний та

пружинний маятники.

Лекційне заняття №25. Тема. Механічна картина Всесвіту.

 

Лекційне заняття №15.

Тема: Пара сил. Момент сили. Рівновага тіла що має вісь обертання.

До сих пір, говорячи про механічну та динамічну рівновагу тіла, ми мали на увазі, що це тіло знаходиться під дією так званої збіжної системи сил, тобто такої сукупності одночасно діючих сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці.

Однак, далеко не всяка діюча на тіло система сил є збіжною і далеко не всяку систему сил можна замінити рівнодіючою. Наприклад, якщо на тіло діють дві рівні за величиною і протилежні за напрямком сили F і Fꞌ які не лежать на одній прямій (мал.75), то замінити цю систему сил відповідною рівнодіючою, не можливо. Дійсно. Формально визначивши рівнодіючу сил F і Fꞌ ми отримаємо нульову величину: F+Fꞌ=0. Та чи означає це, що загальна механічна дія сил F₁ і Fꞌ є нульовою? Очевидно що ні. Адже дана система сил надає або намагається надати тілу певного обертального руху.

  

Мал.75.  Пару сил не можливо замінити  рівнодіючою силою.

Систему двох рівних за величиною і протилежних за напрямком сил, які не лежать на одній прямій і спільно діють на одне і те ж тіло, називають парою сил (або парою). Пара сил надає (або намагається надати) тілу обертального руху. Пару сил не можливо замінити або зрівноважити однією силою. Пару сил можна замінити чи зрівноважити лише іншою парою сил.

Загалом, тіло яке має нерухому вісь обертання може рухатись лише обертально. І це обертання створює відповідна пара сил. Інша справа, що однією з цих сил може бути та реакція опори яка виникає в нерухомій осі обертання.

  

Мал.76.  Пара сил надає тілу, або прагне надати, обертального руху.

Основною характеристикою пари сил, або тієї сили що діє на тіло з нерухомою віссю обертання, є фізична величина яка називається моментом сили.

 Момент сили – це фізична величина, яка характеризує обертальну дію сили (пари сил) і яка дорівнює добутку цієї сили F на плече її дії d, тобто на найкоротшу відстань між лінією дії сили та віссю обертання тіла.

Позначається: М

Визначальне рівняння: М=Fd

Одиниця вимірювання:  [М] = Н∙м,   (ньютон-метр).

   

Мал.77. Якщо пара сил повертає тіло за годинниковою стрілкою, то момент сили додатній, а якщо проти годинникової стрілки – від’ємний.

Коли ми стверджували, що тіло буде знаходитись в стані механічної рівноваги тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил дорівнює нулю (∑F=0), то мали на увазі, що система діючих на тіло сил є збіжною, тобто такою, яка надає тілу поступального руху. В загальному ж випадку, система діючих на тіло сил може бути довільною. І ця довільна система сил може надавати тілу не лише поступального руху, а й руху обертального. В такій ситуації основний закон статики  (загальна умова рівноваги тіла) набуває вигляду: тіло буде знаходитись в стані загальної механічної рівноваги (v=0; ω=0) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та моментів цих сил дорівнюють нулю. Іншими словами: якщо {∑F=0; ∑M=0} то {v=0; ω=0} і навпаки.

З’ясовуючи закономірності так би мовити обертальної рівноваги тіла, розглянемо ситуацію в якій тіло має нерухому вісь обертання. Оскільки те тіло яке має нерухому вісь обертання, поступально не рухається і рухатись не може, то векторна сума діючих на нього зовнішніх сил гарантовано дорівнює нулю. А це означає, що для тіла з нерухомою віссю обертання, умова рівноваги набуває вигляду: якщо ∑М=0, то ω=0 або ω=cons і навпаки.

Одним з практично важливих прикладів тіла, що має нерухому вісь обертання є простий механізм який називається важелем. Важіль – це прилад, який представляє собою довге тверде тіло, що може обертатись навколо відносно нерухомої точки, яку називають точкою опори.

Зазвичай важіль застосовується для підсилення силової дії. Таке підсилення відбувається за рахунок того, що плече дії «вхідної» сили, тобто тієї сили яку ми прикладаємо до важеля і яка потребує підсилення, значно більше за плече дії сили «вихідної». Дійсно. Якщо сила F₁ (мал.79) має плече d₁, а сила F₂ – плече d₂, то у відповідності з умовою рівноваги даного тіла (важеля) F₁d₁=F₂d₂. А це означає, що коли плече дії сили F₁ буде більшим за плече дії сили F₂ (d₁˃d₂) то у відповідну кількість разів сила F₂ буде більшою за силу F₁:   F₂=F₁(d₁/d₂).

З іншого боку було б дивним та неприроднім, якби за допомогою важеля ми отримували виграш в силі, що називається «безкоштовно», тобто не програючи в чомусь іншому. І очевидно, що цим «іншим» є програш в тому переміщенні яке спричиняє підсилена сила. Дійсно. З геометричних міркувань (дивись мал.79) випливає, що виграючи в силі (F₂=nF₁ де n=d₁/d₂=h₁/h₂) ми в таку ж кількість разів програємо в тому переміщенні яке здійснює ця сила (h₂=h₁/n).

Мал.79.   Важіль – механізм який підсилює силову дію. При цьому, виграючи в силі (F₂>F₁), ми неминуче програємо у відстані (h₂<h₁).

Про те, що «безкоштовних» виграшів у силі не буває, вчені знали ще з стародавніх часів. Досліджуючи властивості важеля, Архімед сформулював правило, яке стосувалось всіх простих механізмів і в якому стверджувалось: у скільки разів виграєш в силі, у стільки ж разів програєш у відстані. Це правило прийнято називати золотим правилом механіки. По суті, золоте правило механіки є одним з перших формулювань базового закону сучасної науки – закону збереження енергії.

Завершуючи розмову про важелі, розглянемо питання про те, наскільки реальним є вислів Архімеда: «Дайте мені точку опори і я підніму Землю»? Ясно, що мова йде про певну гіпотетичну задачу, гіпотетичне рішення якої базується на властивостях того простого механізму який називається важелем.

Припустимо, що у Всесвіті є така точка спираючись на яку Архімед мігби підняти Землю. Припустимо, що знайшовся такий надзвичайно довгий, надміцний, невагомий стержень, за допомогою якого Архімед міг би підняти Землю. Припустимо, що Земля має такі маленькі розміри, які дозволять розмістити її на короткій частині важеля, плече якої d=1м. Запитується, плече якої довжини (D) повинен мати важіль, щоб Архімед прикладаючи силу еквівалентну масі m=60кг, міг би підняти Землю маса якої M=60·10²³кг? На яку відстань (H) має переміститися той кінець стержня на який буде тиснути Архімед, щоб Земля піднялася на h=1см? Скільки часу знадобиться Архімеду, щоб постійно рухаючись з швидкістю 1м/с подолати цю відстань?

Мал.82. Дайте мені точку опори і я підніму Землю.

Рішення.

Оскільки маса Землі 60·10²³кг, то для того щоб сила еквімалентна масі 60кг, зрушила Землю, знадобиться важіль плечі якого знаходяться у співвідношенні: D/d=M/m=60·10²³кг/60кг=1·10²³разів. Таким чином, якщо довжина короткого плеча важеля становитиме 1м, то довжина його довгого плеча має дорівнювати D=d·10²³=1·10²³м. Для порівняння, відстань від Землі до Сонця 1,49·10¹¹м, тобто в 670 000 000 000 разів менша.

Тепер давайте визначимо ту відстань (H) на яку Архімед, постійно тиснучи на свій край важеля з силою 600Н повинен перемістити цей край, щоб Земля піднялась на h=1см. А цю відстань можна визначити із співвідношення: Н/h=D/d. Звідси H=hD/d=1см1·10²³=1·10²¹м. А це «всього» у 6 700 000 000 разів більше за відстань від Землі до Сонця.

Скільки ж часу знадобиться Архімеду, щоб постійно рухаючись з швидкістю 1м/с подолати цей шлях? А цей час визначити не складно: t=H/v=1·10²¹м/1(м/с)=1·10²¹с= 1·10²¹/365·24·60·60=31,7·10¹²років. А це «всього» у 2300 разів більше за вік нашого Всесвіту.

Висновки зробіть самі.

Задача. До кінців важеля довжиною 1,2м  підвішені вантажі масою 12кг і 6кг. Де потрібно встановити опору, щоб вантажі перебували у рівновазі?

Дано:                                                 Рішення:

ℓ=1,2м                          Виконуємо малюнок на якому вказуємо діючі

F₁=m₁g=120Н               на важіль сили та відстані до них. Зважаючи

F₂=m₂g=60Н                 на те, що d₂=ℓ–d₁ записуємо умову рівноваги

d₁ = ?                             важіля відносно осі його обертання.

d₂ = ?                             ∑M_O = –F₁d₁ + F₂(ℓ–d₁) = 0, або

–F₁d₁ + F₂ℓ– F₂d₁ = 0, звідси d₁(F₁ +F₂)=F₂ℓ, звідси d₁= F₂ℓ/(F₁ +F₂).

Розрахунки: d₁= F₂ℓ/(F₁ +F₂) = 120Н1,2м/(120Н+60Н)= 0,8м;

d₂=ℓ–d₁= 1,2м – 0,8м= 0,4м.

Відповідь: d₁=0,8м; d₂=0,4м.

Вправа 15.

1. До точки 1 (мал.а) прикріплено вантаж масою 2кг. Якої маси вантаж треба закріпити в точці 2, щоб важіль був у рівновазі. Маса важеля 4кг.

а)

2. Відомо що маса слона 5т, а маса мухи 0,1г. Якої довжини має бути довше плече важіля, щоб муха зрівноважила слона. Довдина того плеча на якому стоїть слон 2м. Масу важеля не враховувати. На скільки має опуститися муха, щоб слон піднявся на 10см?

3. На землі лежить балка масою 80кг. Яку силу потрібно прикласти, щоб підняти один кінець цієї балки.

4. Щоб підняти один кінець труби що лежить на землі, потрібно прикласти силу 400Н. Яка маса труби

5. До кінців важеля довжиною 1м підвішені вантажі масою 6кг і 14кг. Де потрібно встановити опору, щоб вантажі перебували у рівновазі?

6. До кінців стержня масою 20кг і довжиною 1м підвішено вантажі масою 10кг і 40кг. Де потрібно встановити опору щоб стержень був в горизонтальному положенні.

7. Стержень довжиною 1м горизонтально висить на двох динамометрах. При цьому перший знаходиться на відстані 10см від лівого кінця стержня і показує 30Н, а другий – знаходиться на відстані 30см від правого кінця. Яка маса стержня і що показує другий динамометр?

 

Лекційне заняття №16.

Тема: Рівновага тіла під дією довільної системи сил. Розв’язування задач.

           В загальному випадку умову рівноваги тіла що знаходиться під дією плоскої системи довільних сил, можна записати у вигляді:

.                                              ∑ F_x = 0

.                                              ∑ F_y = 0

.                                              ∑ M = 0

Виходячи з цієї умови та дотримуючись загально прийнятого порядку розв’язку задач статики, розв’яжемо декілька з них. А загально прийнятий порядок розв’язку задач на рівновагу тіла під дією довільної системи сил, є наступним:

1.На основі аналізу умови задачі виконати малюнок (обов’язково), на якому чітко вказати всі діючі на задане тіло сили, їх кутові орієнтації, відстані між ними, та діючі на тіло обертальні моменти.

2. Оптимальним чином задати систему координат.

3. Записати умову рівноваги даного тіла, тобто систему рівнянь:

.                                              ∑ F_x = 0

.                                              ∑ F_y = 0

.                                              ∑ M = 0

4. Розв’язавши цю систему, визначити невідомі величини.

Загальні зауваження. До числа тих базових опор, які широко застосовуються в інженерно-технічній практиці, відносяться:

1) Шарнірно рухома опора (мал.88в). Реакція опори (R) направлена перпендикулярно до напрямку можливого руху опори.

2) Шарнірно нерухомі опори (мал.88б). Реакція опори має дві складові: вертикальну R_y (або Y) та горизонтальну R_x (або Х).

3) Жорстко закріплений стержень (мал.88а). Реакція опори має три складові: вертикальну R_y горизонтальну R_x та протидіючий момент сили М.

Мал.88. Базові опори інженерно-технічної практики.

Задача 1. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: Р₁=200H, Р₂=300Н, α=30º. Вагою балки знехтувати.

Рішення.

1.Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на балку сили та відстані між ними. Задаємо систему координат.

2. Записуємо систему рівнянь які відповідають умові рівноваги даної балки.

1) ∑F_x = R_Asinα – X_B = 0;

2) ∑F_y = R_Acosα – P₁ – P₂ – Y_B = 0;

3) ∑M_A = P₁·2 + P₂·4 – Y_B·6 = 0.

Сили R_A та Х_В обертальних моментів відносно точки А не створюють. Не створюють тому, що лінії дії цих сил проходять через т.А і тому плече дії цих сил дорівнює нулю.

3. Розв’язавши систему рівнянь, визначаємо невідомі величини:

Із (3) → Y_B = (P₁·2 + P₂·4)/6 = (200·2+300·4)/6 = 267Н;

Із (2) → R_A = (P₁ + P₂ + Y_B)/cos30° = (200 + 300 + 267)/0,87 = 882Н;

Із (1) → Х_В = R_Asin30° = 882·0,5 = 441Н.

Відповідь: R_A = 882Н, X_B = 441Н, Y_B = 267Н.

Задача 2. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=100H/м, F=300H, α=60º, M=400Н∙м. Вагою балки знехтувати.

Рішення.

1. Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на балку сили та відстані між ними. Задаємо систему координат. (Розподілене навантаження q=100H/м, замінюємо рівнодіючою силою Q=q∙ℓ=100Н/м∙3м=300Н).

2. Записуємо систему рівнянь які відповідають умові рівноваги даної балки.

∑ F_х = Fcosα – R_Bx = 0                                   (1)

∑ F_у = –Q + R_A – Fsinα + R_By = 0                  (2)

∑ M_B = –Q∙6,5 + R_A∙6 – Fsinα∙4 – M = 0       (3)

Зауваження.  1). Визначаючи момент сили F відносно точки B, доцільно розкладати цю силу на дві складові:  F_x = Fcosα;  F_y = Fsinα.  При цьому:  M(F_x) = 0,  (d=0);   M(F_y) = (Fsinα)4,  (d=4м). 2). Ту точку відносно якої визначаються моменти сил, обирається довільно. При цьому зазвичай її обирають таким чином, щоб максимальне число невідомих сил створювали нульові моменти.

3. Розв’язавши систему рівнянь, визначаємо невідомі величини:

Із (1) → R_Bx = Fcos60° = 300∙0,5=150H

Із (3) → R_A = [Q∙6,5 + Fsin60º∙4 + M]/6 = … = 406H

Із (2) → R_By = Q – R_A + Fsinα = … = 155H.

Відповідь: R_Bx=150H; R_By=155H; R_A= 406H.

Задача 3. Під дією зображеної на малюнку системи сил жорстко закріплена балка знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити наявні в точці закріплення реакції опори. Вагою балки знехтувати.

Зауваження. В загальному випадку реакція жорстко закріпленої опори має три складові: горизонтальну R_x, вертикальну R_у, та протидіючий момент сили М. Однак в умовах нашої задачі, горизонтально діючі сили відсутні і тому горизонтальна складова реакції опори дорівнює нулю.

Рішення.

1. Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на балку сили та відстані між ними. Задаємо систему координат.

2. Записуємо систему рівнянь які відповідають умові рівноваги даної балки.

∑ F_у = R_A + F – Q = 0                            (1)

∑ M_A = –M_A – F∙0,5 + Q∙1 – M = 0       (2)

де Q = q∙1 = 100кH.

3. Розв’язавши систему рівнянь, визначаємо невідомі величини:

Із (1) → R_A = –F + Q = –70+100 =30кH

Із (2) → M_A = – F∙0,5 + Q∙1 – M = … = 15кH∙м

Відповідь: R_A=30кН ; M=15кН∙м.

Вправа 16.

1.Балка масою 100кг під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опори.

2. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=100H/м, F=300H, α=60º. Вагою балки знехтувати.

3. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=75H/м, Р=300H, G=200H, M=400H∙м. Вагою балки знехтувати.

4. Під дією зображеної на малюнку системи сил жорстко закріплена балка знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити наявні в точці закріплення реакції опори. Вагою балки знехтувати.

5. Однорідна балка лежить на платформі так, що одна четверта її довжини звисає з платформи. До звисаючого краю балки прикладають силу, направлену вертикально вниз. Коли ця сила досягає 2000Н протилежний край балки починає підніматись. Визначити масу балки.

6. До кінців стержня масою 10кг і довжиною 80см підвішено вантажі масами 40кг і 10кг. Де треба розмістити опору, щоб стержень перебував у рівновазі?

7. Драбина довжиною 4м приставлена до гладенької стіни під кутом 30º. Коефіцієнт тертя між драбиною та підлогою 0,3. На яку відстань виміряну вздовж драбини може піднятись людина, перш ніж драбина почне зсковзувати підлогою.

8. Однорідна куля підвішена на нитці, кінець якої закріплено на вертикальній стіні. Яким повинен бути коефіцієнт тертя μ між кулею і стіною, щоб точка кріплення нитки до кулі і центр кулі могли знаходитися на одній вертикалі? Радіус кулі R, довжина нитки ℓ.

 

Лекційне заняття №17.

Тема: Динаміка. Принцип відносності. Закони Ньютона,

теоретична основа механіки.

Динаміка – це узагальнюючий розділ механіки, в якому вивчаються силові та імпульсно-енергетичні параметри механічного руху тіл в усіх його проявах. В динаміці, ті знання які були отримані при вивченні кінематики та статики, доповнюються новими знаннями і узагальнюються. До числа основних фізичних величин динаміки, а точніше динаміки матеріальної точки, відносяться: маса (m), імпульс (р), енергія (Е), робота (А), потужність (N) та коефіцієнт корисної дії (η). До числа основних законів динаміки і механіки загалом, відносяться: принцип відносності, перший, другий та третій закони Ньютона, закон збереження енергії та закон збереження імпульсу.

В 1630 році, в своїх знаменитих «Діалогах про дві системи світу – Птоломеєву та Копернікову» видатний італійський вчений Галілео Галілей (1564-1642) сформулював закон, який лежить в основі сучасної науки і який прийнято називати принципом відносності або принципом Галілея.

Принцип відносності (перше формулювання), це закон в якому стверджується:

Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково/

Якщо вам потрібні докази того, що принцип відносності безумовно правильний, безумовно достовірний, то ось один з них. Кожен з нас знаходиться в кабіні, яка називається планета Земля. Ця кабіна з швидкістю 30км/с=108000км/год обертається навколо Сонця. При цьому, жоден з нас не відчуває факту того, що Земля мчить з такою шаленою швидкістю. Швидкістю, яка в 60 разів перевищує швидкість кулі. І даний факт не є результатом певних особливостей людського організму. Адже в незалежності від наших відчуттів, всі фізичні процеси на Землі відбуваються так, ніби вона знаходиться в стані механічного спокою.

Мал.97. Земля з швидкістю 30км/с обертається навколо Сонця. Чи відчуваєте ви факт цього надшвидкого руху?

 

Принцип відносності (друге формулювання), це закон в якому стверджується:  У всіх інерціальних системах відліку, тобто таких системах де виконується закон інерції (перший закон Ньютона) всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково. Іншими словами, в тих системах відліку де виконується закон інерції, діють ті ж закони, що і в інших подібних (інерціальних) системах.

Чи задумувались ви над тим, чому вчені з такою впевненістю говорять про ті події, які відбуваються в практично недосяжних частинах Всесвіту? Чому вони впевнені в тому, що ті закони які відкривались на тій піщинці Всесвіту яка називається планета Земля, діють і в інших куточках Всесвіту. А можливо там, в інших галактиках, все відбувається по іншому? Можливо там, діють інші закони, існують інші атоми, інші молекули, інші біологічні структури? Хто був в тих далеких світах та перевіряв це?

Відповіді на ці та їм подібні запитання дає принцип відносності. Адже згідно з цим принципом для з’ясування того, діють чи не діють відкриті на Землі закони природи в інших місцях Всесвіту зовсім не обов’язково вирушати в далеку космічну подорож. Достатньо з’ясувати, виконується чи не виконується у відповідному місці закон інерції. І якщо цей закон виконується, то це автоматично означає, що відповідна система є інерціальною, і що тому у відповідному куточку Всесвіту діють ті ж закони що і на Землі.

І от ми вдивляємось в безмежні простори Всесвіту, аналізуємо ті події які відбуваються в ньому і бачимо, що у всіх його куточках, всі об’єкти рухаються у повній відповідності з законом інерції. А це означає, що у всіх частинах Всесвіту діють одні і ті ж закони. І що ці закони співпадають з тими що діють на Землі. Не вірити цьому факту, це все рівно ніби заперечувати факт того, що Земля обертається навколо Сонця та своєї осі. Заперечувати лише на тій підставі, що ми не відчуваємо відповідного руху.

Мал.98. Бачимо: у Всесвіті безпричинних змін швидкості не буває. Висновок: у всіх куточках Всесвіту діють одні і ті ж закони Природи.

 

 В основі ньютонівської механіки лежать три твердження, які називаються законами Ньютона. Сформулюємо ці твердження та проаналізуємо їх.

          Перший закон Ньютона, це закон, в якому стверджується: Будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан.

На перший погляд, даний закон не має суттєвого практичного значення. Його навіть важко записати у вигляді відповідної формули. Однак насправді, мова йде про надзвичайно важливий, по суті базовий закон не лише механіки, а й всієї сучасної науки. Адже в рамках першого закону Ньютона по суті стисло сформульовано два базові закони: принцип відносності та закон інерції.

          Дійсно. В першому законі Ньютона стверджується: будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан. По суті це означає, що з фізичної точки зору, стан спокою (v=0) і стан прямолінійного рівномірного руху (v=const), це один і той же механічний стан (цей стан). Один і той же в тому сенсі, що всі фізичні процеси які відбуваються в кабіні що стоїть і  в кабіні що рівномірно рухається, відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності). Іншими словами: v=0  « = »  v=const, де знак « = » вказує на те, що ті фізичні процеси які відбуваються в кабіні яка стоїть і в кабіні яка рівномірно рухається, відбуваються «однаково».

          З іншого боку, в тому ж першому законі Ньютона  стверджується, що причиною зміни стану спокою, або стану прямолінійного рівномірного руху, тобто причиною зміни швидкості руху тіла, є дія на це тіло певної зовнішньої сили. Іншими словами, в першому законі Ньютона стверджується, що безпричинних змін швидкості руху тіла не буває, і що цією причиною є дія зовнішньої сили (закон інерції). А зважаючи на те, що зміну швидкості руху тіла характеризує величина яка називається прискоренням, закон інерції можна сформулювати у вигляді: причиною прискореного руху тіла, є дія на це тіло певної зовнішньої сили: F → a.

 

Мал.99. Безпричинних змін швидкості руху тіл не буває, а цією причиною є дія певної зовнішньої сили (закон інерції).

Таким чином, в першому законі Ньютона, опосередковано сформульовано два твердження: принцип відносності та закон інерції.

а) v=0  « = »  v=const (принцип відносності)

б)  F → a  (закон інерції)

Другий закон Ньютона, це закон, в якому стверджується: Під дією зовнішньої сили F, тіло масою m отримує прискорення   а   величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі. Іншими словами:  

F  →   a = F/m

Не важко бачити, що другий закон Ньютона, є логічним продовженням першого. Адже в тій частині першому законі Ньютона яка називається законом інерції, по суті стверджується, що причиною зміни швидкості руху тіла, а отже причиною його прискореного руху, є дія зовнішньої сили, тобто стверджується, що сила породжує прискорення: F → a. В другому ж законі Ньютона, це твердження формулюється в явному вигляді та конкретизується:  F →  a = F/m.

  

Мал.100. Сила – є причиною прискореного руху тіла, при цьому величина прискорення прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна масі тіла:  F  →   a = F/m.

Третій закон Ньютона, це закон, в якому стверджується: Діюча на тіло сила F, завжди породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу F′. Іншими словами:

F → F′ = –F

Наприклад, якщо тіло з певною силою діє на опору, то опора з такою ж силою діє на тіло. Якщо нога футболіста діє на м’яч, то м’яч з такою ж силою діє на ногу футболіста. Якщо Місяць притягується до Землі, то Земля з такою ж силою притягується до Місяця.

  

Мал.101. Діюча F та протидіюча Fꞌ сили, завжди рівні за величиною, протилежні за напрямком і прикладені до різних тіл.

Говорячи про діючу та протидіючу сили, потрібно зауважити, що ці сили завжди чисельно рівні, однак результат їх дії може бути абсолютно різним. Наприклад, підняте над Землею тіло з певною силою F притягується до Землі, а Земля з такою ж силою F′ притягується до тіла. Однак, якщо для відносно легкого тіла сила F є значною, то для надмасивної Землі, така ж сила F′ є мізерно малою. Тому в системі Земля – тіло, тіло падає на Землю, а не Земля «підстрибує» до тіла.

Аналізуючи закони Ньютона, не важко бачити, що це не просто набір правильних тверджень, а струнка система взаємопов’язаних та взаємодоповнюючих законів. Законів, які у своїй сукупності дозволяють пояснити величезне різноманіття механічних явищ. Законів, в яких при ґрунтовному аналізі можна відшукати не лише формулювання принципу відносності та закону інерції, а й приховані формулювання інших законів, зокрема закону збереження механічної енергії та закону збереження імпульсу. Взаємопов’язаність та взаємодоповнюваність законів Ньютона з усією очевидністю випливає з їх наступних математичних формулювань:

1. а) v=0  « = »  v=const

.  б)  F → a

2. F → a = F/m

3. F → Fꞌ = – F

Вправа 17.

1. З яким прискоренням рухається під час розгону реактивний літак масою 60т, якщо сила тяги двигунів 90кН?

2. Сила 40Н надає тілу прискорення 0,8м/с². Яка сила надасть цьому ж тілу прискорення 2,0м/с² ?

3. Снаряд масою 5кг при пострілі набуває швидкості 800м/с. Визначити середню силу тиску порохових зарядів, якщо довжина дула гармати 2м. Рух снаряду вважати рівноприскореним.

4. М’яч масою 400г в процесі удару який триває 0,02с набуває швидкості 15м/с. Яка середня сила удару?

5. Під дією сили 5Н, швидкість матеріальної точки змінюється за законом v=6 – 0,3t. Яка маса матеріальної точки?

6. Тіло масою 400г рухаючись прямолінійно та маючи деяку початкову швидкість, за 5с під дією сили 6Н набуло швидкості 10м/с. Визначити початкову швидкість тіла.

7. На мотузці що витримує натяг 100Н з стану спокою, вертикально вгору піднімають вантаж масою 6кг. На яку максимальну висоту можна підняти цей вантаж за 2с? Рух вантажу є рівноприскореним.

8. Кулька масою 500г скочується з похилої площини довжиною 2м, маючи початкову швидкість 2м/с. Яку швидкість матиме кулька в кінці похилої площини, якщо рівнодійна діючих на неї сил дорівнює 4Н?

 

Лекційне заняття №18.

Тема: Імпульс. Закон збереження. Імпульсу. Реактивний рух.

          Імпульс (кількість руху) – це фізична величина, яка є мірою кількості механічного руху тіла (матеріальної точки) і яка дорівнює добутку маси тіла m на вектор його швидкості v.

Позначається: р

Визначальне рівняння: p=mv

Одиниця вимірювання: [p]=кг∙м/с,  кілограм-метр на секунду.

Із визначального рівняння р=mv ясно, що імпульс – величина векторна і що напрям вектора імпульсу співпадає з напрямком швидкості руху тіла.

Закон збереження імпульсу, це закон в якому стверджується: При будь яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість імпульсу цієї системи залишається незмінною тобто зберігається. Іншими словами:  ∑р_до=∑р_після,   або    ∑р = соnst.

Зазвичай закон збереження імпульсу (∑р_до = ∑р_після) застосовують в тих випадках коли мова йде про короткотривалі взаємодії (удари, поштовхи, вибухи, тощо). При цьому розрізняють дві ідеалізовані різновидності короткотривалих взаємодій: абсолютно пружні та абсолютно непружні удари. Абсолютно пружним ударом називають таку ідеалізовану, короткотривалу механічну взаємодію тіл, яка не супроводжується перетворенням механічної енергії в теплоту і після якої взаємодіючі тіла повністю відновлюючи свою попередню форму відокремлюються одне від одного. Абсолютно непружним ударом називають таку короткотривалу механічну взаємодію тіл, яка супроводжується перетворенням механічної енергії в теплоту і після якої взаємодіючі тіла не відновлюючи свою попередню форму рухаються як єдине ціле. Відразу ж зауважимо, що ударами можна вважати будь які короткотривалі взаємодії, наприклад постріли, вибухи, поштовхи, тощо. Навіть процес ходьби чи бігу можна вважати певною послідовністю ударних взаємодій.

а) б)

Мал.102. Закон збереження імпульсу виконується як при пружних (а) так і при непружних (б) ударах.

Задачі на застосування закону збереження імпульсу, зазвичай розв’язують дотримуючись наступного порядку дій:

1.Виконують малюнок на якому вказують маси та напрямки швидкостей всіх тіл системи, до та після їх взаємодії. Задають систему координат.

2. На базі векторної картини імпульсів, записують рівняння вигляду ∑р_до=∑р_після. При цьому, якщо векторна картина імпульсів не лінійна, то вектори імпульсів розкладають на відповідні проекції і записують систему двох рівнянь:

∑(р_до)_х = ∑(р_після)_х

∑(р_до)_у = ∑(р_після)_у

3. Математично розв’язуючи дані рівняння, визначають невідомі величини.

Зважаючи на вище сказане, розв’яжемо декілька конкретних задач.

Задача 1. Вагонетка масою 100кг рухаючись зі швидкістю 5м/с, непружним чином зіштовхується з аналогічною за масою нерухомою вагонеткою. Визначити швидкість вагонеток після їх непружної взаємодії (зчеплення).

Дано:                                   Рішення:

m₁ = 100кг          Виконуємо малюнок на якому вказуємо маси і

v₁ = 5м/с             швидкості вагонеток до та після їх непружної взаємодії.

m₂ = m₁               Задаємо систему координат. Відповідно малюнку та

v₂ = 0м/с             заданій системі координат, записуємо рівняння закону

u₁₂= ?                 збереження імпульсу, тобто рівняння виду ∑р_до=∑р_після.

В умовах нашої задачі, це рівняння набуває вигляду:

m₁v₁ + 0 = (m₁+m₂)u₁₂  звідси  u₁₂=m₁v₁/(m₁+m₂).

Розрахунки: u₁₂=m₁v₁/(m₁+m₂) = (100кг5м/с)/(100кг+100кг) = 2,5м/с.

Відповідь: u₁₂= 2,5м/с.

Загальні зауваження. Застосовуючи закон збереження імпульсу, швидкості елементів системи після їх взаємодії зазвичай позначають символом «u» або «v’».

Задача 2. З корми початково не рухомого човна масою 100кг, на берег зістрибує підліток масою 50кг. Якої швидкості при цьому набуває човен, якщо горизонтальна складова швидкості стрибка підлітка 5м/с? Опором води знехтувати.

Дано:                                    Рішення:

m₁=100кг            Виконуємо малюнок на якому вказуємо маси і швидкості

m₂=50кг              всіх тіл системи до та після їх взаємодії. Задаємо систему

v₁=v₂=0м/с          координат. Відповідно малюнку та заданій системі

u₂=5м/с             координат, записуємо рівняння виду ∑р_до=∑р_після.

u₁= ?                 В умовах нашої задачі це рівняння набуває вигляду:

(m₁+m₂)0= –m₁u₁+m₂u₂  звідси m₁u₁=m₂u₂  звідси  u₁=m₂u₂/m₁.

Розрахунки: u₁=m₂u₂/m₁ = (50кг5м/с)/100кг = 2,5м/с.

Відповідь: u₁= 2,5м/с.

Із аналізу задачі ясно, що коли з початково нерухомого човна в певному напрямку викидати камінці, весла чи що завгодно, то згідно з законом збереження імпульсу, човен з відповідною швидкістю буде рухатись в протилежному напрямку. Подібний рух тіл прийнято називати реактивним рухом. Реактивний рух – це такий механічний рух тіла, поява якого обумовлена відокремленням від цього тіла частини його маси (відштовхуванням цієї частини від базового тіла). Наприклад, рух гармати (мал.103а) обумовлений вильотом снаряду з неї, є реактивним. Рух гумової повітряної кульки (мал103б), обумовлений витіканням з неї струменю повітря, є реактивним. Рух ракети (мал.103в), обумовлений вильотом з неї продуктів згорання її двигуна, є реактивним.

  

Мал.103. Якщо рух тіла обумовлений тим, що певна частина його маси відокремлюється (відштовхується) від базового тіла, то цей рух є реактивним.

Задача3. В платформу з піском що рухається зі швидкістю 2,0м/с влучає та застряє в піску снаряд який рухався назустріч платформі з швидкістю 400м/с. Визначте швидкість платформи після влучання снаряду. Маса платформи 10тон, а маса снаряду 10кг.

Дано:               СІ                                 Рішення:

m₁ = 10т       10000кг          Виконуємо малюнок на якому вказуємо маси

m₂ = 10кг          –                 і швидкості всіх тіл системи до та після їх

v₁ = 2,0м/с         –                 взаємодії. Задаємо систему координат.

v₂ = 400м/с        –                 У відповідності з малюнком та заданою

u₁₂ = ?                                 системою координат, записуємо рівняння

закону збереження імпульсу (∑р_до=∑р_після):

m₁v₁ – m₂v₂ = (m₁+m₂)u₁₂. Звідси u₁₂ = (m₁v₁ – m₂v₂)/(m₁+m₂).

Розрахунки: u₁₂ = … = 1,6м/с

Відповідь: u₁₂ = 1,6м/с.

Задача4. В платформу з піском що рухається зі швидкістю 5,0м/с влучає та застряє у піску снаряд який рухався в напрямку руху платформі з швидкістю 500м/с. Визначте швидкість платформи після влучання снаряду, якщо маса платформи 10т, маса снаряду 10кг, а напрям швидкості снаряду 30° до горизонту.

Дано:               СІ                                 Рішення:

m₁ = 10т       10000кг          Виконуємо малюнок на якому вказуємо маси

m₂ = 10кг          –                 і швидкості всіх тіл системи до та після їх

v₁ = 5,0м/с         –                 взаємодії. Задаємо систему координат.

v₂ = 500м/с        –                 У відповідності з малюнком і заданою

α = 30°                                 системою координат та з урахуванням того, що

u₁₂ = ?                                 рух платформи як до так і після влучання снаряду

відбувається вздовж осі 0х, записуємо рівняння закону збереження імпульсу (∑р_до=∑р_після) в проекції на вісь 0х. (При цьому враховуємо те, що в момент влучання снаряду в платформу, його швидкість вздовж осі 0х становить v_2x = v₂cos30° = (500м/с)0,87 = 435м/с).

m₁v₁ + m₂v₂cos30° = (m₁+m₂)u₁₂, звідси u₁₂ =(m₁v₁ + m₂v₂cos30°)/(m₁+m₂).

Розрахунки: u₁₂ = (10000кг5м/с + 10кг435м/с)/(10000кг+10кг) = 5,43м/с.

Відповідь: u₁₂ = 5,43с/м.

          Задача 5. На краю стола висотою 0,8м лежить тіло масою 1кг. В це тіло влучає та застряє в ньому куля масою 7г, що летить з горизонтальною швидкістю 400м/с. На якій відстані від підніжжя стола впаде тіло?

Дано:                                      Рішення:

h = 0,8м                    Виконуємо малюнок який відображає наявну

m₁ = 1,0кг                ситуацію. Оскільки після взаємодії з кулею тіло

m₂ = 0,007кг            отримує певну горизонтальну швидкість u₁₂, яка в

v₂ = 400м/с              процесі падіння тіла залишається незмінною, то

s = ?                          можна записати s = u₁₂t_пад, де t_пад – час падіння тіла

величину якого можна визначити із рівняння руху тіла по вертикалі: h=(g/2)t_пад², звідси t = √(2h/g) = √(2·0,8м/10м/с²) = 0,4с.

Величину тієї горизонтальної швидкості яку отримує тіло після взаємодії з кулею, визначаємо із закону збереження імпульсу (∑р_до=∑р_після):

m₁·0 + m₂v₂ = (m₁+m₂)u₁₂. Звідси u₁₂ = m₂v₂/(m₁+m₂) = (0,007кг400м/с)/1,007кг = 2,8м/с.

Розрахунки: s = u₁₂t_пад = (2,8м/с)·0,4с = 1,12м

Відповідь: s = 1,12м.

Вправа 18.

1. З якою швидкістю має летіти хокейна шайба масою 160г, щоб її імпульс дорівнював імпульсу кулі масою 8г при її польоті з швидкістю 600м/с?

2. Рух матеріальної точки масою 0,5кг описує рівняння x=100–10t+2t². Визначити імпульс цієї точки через 2с і через 5с від початку відліку часу.

3. Снаряд масою 20кг, що летить з горизонтальною швидкістю 500м/с влучає в платформу з піском загальною масою 10т і застряє в піску. З якою швидкістю почне рухатись платформа?

4. З нерухомого човна загальна маса якого 155кг кидають на берег весло масою 5кг з горизонтальною швидкістю 10м/с. Якої швидкості при цьому набуває човен?

5. В платформу з піском що рухається зі швидкістю 6,0м/с влучає та застряє у піску снаряд який рухався в напрямку руху платформі з швидкістю 600м/с. Визначте швидкість платформи після влучання снаряду, якщо маса платформи 8т, маса снаряду 10кг, а напрям швидкості снаряду 45° до горизонту.

6. Якої швидкості набуває ракета масою 600г, якщо гази масою 25г вилітають з неї зі швидкістю 600м/с?

7. Ядро, що летіло горизонтально зі швидкістю 50м/с, розірвалось на два осколки масами 5кг і 10кг. При цьому, менший осколок з швидкістю 200м/с продовжував летіти в попередньому напрямку. Визначити напрям та швидкість руху більшого осколку.

8. Два тіла масою 5кг і 4кг рухаються назустріч одне одному з швидкостями відповідно 5м/с і 8м/с. Визначити швидкості цих тіл після їх непружного зіткнення.

 

Лекційне заняття №19.

Тема: Енергія. Механічна енергія. Закон збереження енергії.

 

Мал.105.  Коли ми стверджуємо, що певний фізичний об’єкт має певну енергію, то це означає, що цей об’єкт здатний виконати певну роботу (певну енергозатратну дію).

Енергія – це фізична величина, яка є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій і яка характеризує здатність тіла, частинки або поля виконати роботу.

Позначається: Е

Визначальне рівняння:  1) для загальної кількості енергії:   Е=mс² ;

.                                             2) для конкретних видів енергії:   різні.

Одиниця вимірювання: [E] = Дж = Н∙м = кг∙м²/с²,   джоуль.

Джоуль – це одиниця вимірювання енергії та роботи, яка дорівнює тій роботі (тим затратам енергії) яку виконує сила в один ньютон при переміщенні тіла (матеріальної точки) на один метр в напрямку дії сили: Дж=Н∙м=кг∙м²/с². Щоб мати уявлення про величину роботи в один джоуль, візьміть тіло масою 102г та підніміть його на висоту один метр. При цьому виконана вами робота, а відповідно і затрачена вами енергія, дорівнюватимуть одному джоулю. Або якщо наприклад, яблуко масою 102гр впаде з висоти 1м, то виконана силою тяжіння робота дорівнюватиме 1Дж.

Мал.106. Піднімаючи тіло масою 102г з висоту 1м, ви виконуєте роботу 1Дж.

Вивчаючи механіку, ми будемо говорити про ту частину енергії, яка характеризує тіло як єдине ціле і яка пов’язана з його механічним рухом, пружними деформаціями та гравітаційними взаємодіями. Цю енергію називають механічною. Механічна енергія, це така енергія, яку має тіло як єдине ціле і яка пов’язана з його механічним рухом, пружними деформаціями та гравітаційними взаємодіями. Енергію загалом і механічну енергію зокрема, можна представити як певну комбінаціє двох базових різновидностей: енергії руху (кінетична енергія) та енергії взаємодії (потенціальна енергія).

Кінетична енергія (енергія руху) – це та енергія, яку має фізичний об’єкт за рахунок того що він рухається і яка дорівнює половині добутку маси об’єкту на квадрат його швидкості.

Позначається: Е_к

Визначальне рівняння: Е_к=mv²/2

Одиниця вимірювання: [Е_к] = кг∙м²/с²=Дж.

  

Мал.107. Кінетична енергія – це та енергія, яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він рухається.

Кінетична енергія є явною, очевидною, активною формою енергії, наявність і величину якої легко встановити: якщо тіло, частинка чи що завгодно, маючи масу m рухається з швидкістю v, то воно має кінетичну енергію величина якої визначається за формулою Е_к = mv²/2.  Але окрім цією активної енергії, практично з кожним тілом нерозривно пов’язана певна кількість пасивної, прихованої енергії, яку прийнято називати потенціальною

Потенціальна енергія (енергія взаємодії) – це та енергія яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він так чи інакше взаємодіяє з іншими об’єктами, або за рахунок тих взаємодій які відбуваються в середині цього об’єкту.

Позначається: Е_п

Визначальне рівняння: Е_п=?, це означає, що єдиної, універсальної формули для визначення потенціальної енергії не існує.

Одиниця вимірювання: [Е_п] = Дж.

В механіці вивчають дві різновидності потенціальної енергії: потенціальна енергія сили тяжіння та потенціальна енергія сили пружності.

Потенціальна енергія сили тяжіння (піднятого тіла) –  це така енергія яку має тіло за рахунок його взаємодії з Землею і яка дорівнює добутку маси тіла (m), прискорення сили тяжіння (g) та тієї висоти (h) на яку піднято тіло.

Позначається: Е_п

Визначальне рівняння: Е_п =mgh,

Одиниця вимірювання: [Е_п] = Н, ньютон.

   

Мал.108. Потенціальна енергія сили тяжіння – це та енергія яку має тіло за рахунок його взаємодії з Землею

Потенціальна енергія сили пружності (пружно деформованого тіла) – це та енергія яку має пружно деформоване тіло за рахунок тих внутрішніх взаємодій які відбуваються в ньому і яка дорівнює половині добутку жорсткості тіла (k) на величину його абсолютної деформації (Δℓ).

Позначається: Е_п

Визначальне рівняння: Е_п=kΔℓ²/2,

Одиниця вимірювання: [Е_п] = Н, ньютон.

   

Мал.109. Потенціальна енергія сили пружності – це та енергія яку має тіло за рахунок тих взаємодій що відбуваються всередині пружно деформованого тіла.

Закон збереження енергії. це закон в якому стверджується: при будь яких процесах, що відбуваються в замкнутій (енергоізольованій) системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами:∑Е_до = ∑Е_після  або  ∑Е = соnst.

Задача 1. З якою початковою швидкістю v₀ потрібно кинути вниз м’яч з висоти h, щоб він підскочив на вдвічі більшу висоту H=2h? Удар об землю вважати абсолютно пружним.

Дано:                                Рішення:

h

H=2h

v₀=?

Оскільки абсолютно пружний удар не супроводжується втратами механічної енергії, то можна стверджувати, то згідно з законом збереження енергії, загальна кількість механічної енергії в момент вильоту м’яча Е = mgh + mv₀²/2, та в момент його максимального підйому (v₁=0м/с) Е = mgН + 0 = 2mgh; має бути однаковою. Тобто mgh + mv₀²/2 = 2mgh.

Звідси v₀ = √(2gh).

Відповідь: v₀ = √(2gh).

Задача 2. Тіло масою 500г, що рухається з швидкістю 15м/с, при взаємодії з горизонтально розташованою пружиною деформує її на 10см. Визначити жорсткість пружини.

Дано:           СІ                      Рішення:

m=500г       0,5кг         На основі аналізу умови задачі виконуємо

v = 15м/с       –             відповідний малюнок, на якому вказуємо

Δℓ=10см     0,1м          енергетичні параметри системи до та

k = ?                              після взаємодії.

Оскільки в процесі взаємодії тіла з пружиною, його кінетична енергія Е_к=mv²/2 повністю перетворюється на потенціальну енергію деформованої пружини Е_п=kΔℓ²/2, то у відповідності з законом збереження енергії mv²/2= kΔℓ²/2. Звідси випливає k=mv²/Δℓ².

Розрахунки: k=0,5кг(15м/с)²/(0,1м)²=112,5Н/0,01м=11250Н/м.

Відповідь: k=11250Н/м.

Вправа №19.

1.Автомобіль масою 5т рухається з швидкістю 90км/год. Визначте кінетичну енергію автомобіля.

2. Земля з швидкістю 30км/с обертається навколо Сонця. Яка кінетична енергія Землі, якщо її маса 6·10²⁴кг?

3. Для того щоб нагріти 1кг води на 1°С потрібно 4200Дж енергії. Порівняйте цю енергію з кінетичною енергією смертельної для людини кулі (m=3г; v=300м/с). Зробіть висновок.

4. Пружину жорсткістю 400Н/м стиснули на 10см. Визначте потенціальну енергію деформованої пружини.

5. Тіло масою 200г кинули вертикально вгору зі швидкістю 15м/с. Якою буде кінетична і потенціальна енергія цього тіла на висоті 5м?

6. На яку максимальну висоту підніметься тіло, якщо його кинули вертикально вгору з швидкістю 10м/с?

7. Тіло кинули вертикально вгору з швидкістю 20м/с. На якій висоті, його кінетична енергія дорівнюватиме потенціальній?

8. Камінь масою 5кг впав з певної висоти. Визначте кінетичну та потенціальну енергію каменя в середній точці його шляху, якщо він падав 2с.

 

Лекційне заняття №20.

Тема: Імпульсно-енергетичний метод розв’язування задач.

Можна виділити два базових методи розв’язування задач динаміки: силовий та імпульсно-енергетичний. Суть силового методу полягає в тому, що невідомі величини визначають на основі векторного аналізу діючих на тіло сил та на базі умови його динамічної рівноваги (∑F+F_i=0). При імпульсно-енергетичному методі, невідомі величини визначають на основі аналізу імпульсно-енергетичних параметрів тіл (імпульс, енергія, робота, потужність, к.к.д) та їм відповідних визначальних рівнянь і на базі законів збереження енергії та імпульсу.

адача 1. На яку максимальну висоту підніметься тіло, якщо його кинули вертикально вгору з швидкістю 10м/с? Задачу розв’язати кінематичним та енергетичним методом.

 

Дано :                                    Рішення:

v₀ = 10 м/с         На основі аналізу умови задачі виконуємо малюнок

h_max = ?               на якому вказуємо енергетичні параметри тіла в

початковий та кінцевий моменти часу:

на висоті h=0:  E_k=mv₀²/2; E_п =0;

на висоті h=h_max:  E_k=0; E_п=mgh_max.

Оскільки згідно з законом збереження енергії mgh_max=mv₀²/2 то h_max=v₀²/2g.

Розрахунки: h_max=v₀²/2g = (10м/с)²/2·10(м/с²) = 5м

Відповідь:  h_max=5м.

Задача 2. Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 20м/с. На якій висоті його кінетична енергія дорівнюватиме потенціальній?

Дано:                                   Рішення:

v₀=20м/с           На основі аналізу умови задачі виконуємо малюнок

E_k = E_п              на якому вказуємо енергетичні параметри тіла на

h = ?                  нульовій висоті (Е_п=0; Е_к=mv₀²/2), та на тій висоті

де h кінетична і потенціальна енергія тіла однакова (Е_п=mgh; E_k=mv²/2).

Оскільки згідно з законом збереження енергії загальна кількість цієї енергії на будь якій висоті залишається незмінною, та враховуючи що на висоті h:  mgh=mv²/2=2mgh, можна записати 2mgh=mv₀²/2. Звідси h=v₀²/4g.

Розрахунки h= (20м/с)²/4·10м/с² = 10м.

Відповідь: h = 10м.

Задача 3. Визначити швидкість вильоту кульки масою m з дула пружинного пістолета при горизонтальному пострілі, якщо жорсткість пружини k, а її деформація Δℓ.

Дано:                                         Рішення:

m                На основі аналізу умови задачі, виконуємо малюнок на

k                 якому вказуємо енергетичні параметри тіла в момент

Δℓ               максимального стиснення пружини (Е_к=0; Е_п=kΔℓ²/2),

v= ?             та в момент її випрямлення (Е_к=mv²/2; Е_п=0)

Будемо виходити з того, що в процесі пострілу, потенціальна енергія пружно деформованого тіла Е_п=kΔℓ²/2 йде на збільшення кінетичної енергії кульки Е_к=mv²/2. При цьому, згідно з законом збереження енергії можна записати:  kΔℓ²/2 = mv²/2, звідси v = √(kΔℓ²/m).

Відповідь: v = √(kΔℓ²/m).

Задача 4. Тіло без тертя зісковзує з похилої площини, яка переходить у так звану «мертву петлю». З якої мінімальної висоти Н має зісковзувати тіло, щоб бути здатним описати «мертву петлю» радіусом R.

Рішення.

Оскільки за умовою задачі, в процесі руху тіла втратами енергії можна знехтувати, то та потенціальна енергія яку має тіло на висоті Н (Е_п1=mgH), в нижній точці спуску перетвориться на відповідну кількість кінетичної енергії Е_к1=Е_п1. При цьому, цієї енергії має вистачити на те, щоб по перше підняти тіло на висоту h=2R, тобто щоб надати тілу потенціальної енергії Е_п2=mg2R. А по друге, забезпечити таку швидкість руху тіла в верхній точці петлі, при якій діюча на нього сила тяжіння (F_т=mg), буде зрівноваженою відповідною силою інерції (F_i=ma_д=mv₂²/R). А це означає, що у верхній точці петлі, тіло повинно мати певний запас кінетичної енергії Е_к2=mv₂²/2, де v₂² визначається із співвідношення mv₂²/R = mg. Звідси v₂²=gR. При цьому Е_к2=mgR/2

Таким чином, для тієї мінімальної висоти Н, яка за відсутності енергетичних втрат забезпечує виконанням тілом «мертвої петлі», має виконуватись співвідношення mgH = 2mgR + mgR/2. Звідси H = 2R+R/2=2,5R.

Відповідь: H = 2,5R.

Задача 5.  Визначити швидкість вильоту кульки масою m з дула пружинного пістолета при вертикальному пострілі, якщо жорсткість пружини k, а її деформація Δℓ.

Дано:                                         Рішення:

m                   Виконуємо малюнок на якому вказуємо енергетичні

k                    параметри системи пружина-кулька до та після пострілу.

Δℓ                 Будемо виходити з того, що в процесі пострілу, потенціальна

v= ?              енергія пружно деформованого тіла Е^пр=kΔℓ²/2 йде не лише

на збільшення кінетичної енергії кульки Е_к=mv²/2, а й на

збільшення її потенціальної енергії Е_п=mgΔℓ.

При цьому, згідно з законом збереження енергії можна записати:

kΔℓ²/2 = mv²/2 + mgΔℓ,  або  mv²/2 = kΔℓ²/2  – mgΔℓ, звідси

v = √(kΔℓ²/m – 2gΔℓ).

Відповідь: v = √(kΔℓ²/m – 2gΔℓ).

Вправа №20.

1.Тіло масою 400г кинули вертикально вгору зі швидкістю 20м/с. Визначте кінетичну і потенціальну енергію тіла на висоті 10м.

2. З якою вертикальною швидкістю потрібно кинути тіло, щоб воно піднялось на висоту 10м?

3. В пружинному пістолеті жорсткість пружини 100Н/м. З якою горизонтальною швидкістю вилітатиме з нього кулька масою 3г, якщо пружина стиснута на 10см?

4. Тіло масою 500г, кинуте вертикально вгору зі швидкістю 20м/с, впало на землю зі швидкістю 16м/с. Визначити величину енергетичних втрат в процесі польоту тіла.

5. Тіло масою 200г рухаючись з швидкістю 20м/с стикається з пружиною жорсткість якої 100Н/м. На скільки деформується пружина після взаємодії з цим тілом?

6. З якою початковою швидкістю v₀ потрібно кинути вниз м’яч з висоти h₀, щоб він відбившись від пружної поверхні, підскочив на вдвічі більшу висоту h=2h₀?

7. Тіло масою кинули вертикально вгору зі швидкістю 12м/с. На якій висоті швидкість руху тіла зменшиться вдвічі?

8. В пружинному пістолеті жорсткість пружини 100Н/м. З якою вертикальною швидкістю вилітатиме з нього кулька масою 3г, якщо пружина стиснута на 10см?

 

Лекційне заняття №21.

Тема: Робота. Механічна робота.

В науковій практиці термін «робота» має два значення: робота, як певна енергозатратна подія і робота, як певна фізична величина.

   

Мал.111. Виконання роботи нерозривно пов’язане з переходом енергії від одного тіла до іншого та з перетворенням одного виду енергії в інший.

В подальшому, терміном «робота» ми будемо позначати відповідну фізичну величину. Виходячи з цього дамо лише одне визначення терміну «робота».

Робота – це фізична величина, яка характеризує затрати енергії на виконання роботи, тобто певної енергозатратної дії і яка дорівнює цим затратам.

Позначається: А

Визначальне рівняння: А=ΔЕ

Одиниця вимірювання: А=Дж,   джоуль.

Із аналізу визначень, енергія – характеризує здатність виконати роботу; робота – характеризує затрати енергії на виконання роботи, з усією очевидністю випливає, що ці величини є дуже схожими та взаємопов’язаними.

Формула А=ΔЕ є базовим, визначальним рівнянням роботи. Однак, якщо мова йде про механічну роботу, то її часто визначають за формулою А=Fscosα, де F – усереднена величина тієї сили що виконує роботу, s – величина того переміщення яке відбувається під дією даної сили, α – кут між напрямком вектора сили (F) та напрямком вектора переміщення (s). Зверніть увагу, в формулі A=Fscosα символом F позначають середнє значення діючої на тіло сили (середнє на ділянці переміщення s). Тому, якщо наприклад, на ділянці виконання роботи, величина діючої на тіло сили лінійним чином змінюється від F₁ до F₂, то визначаючи виконану роботу, в якості діючої на тіло сили потрібно обирати F=(F₁+F₂)/2.

Мал.112. Якщо під дією сили F тіло перемістилось на відстань s то виконана цією силою робота дорівнює А=Fscosα.

Аналіз формули А=Fscosα вказує на те, що механічна робота виконується за умови виконання трьох вимог: 1) наявність діючої на тіло сили (F); 2) наявність переміщення тіла (s); 3) кут між напрямком дії сили та напрямком переміщення не повинен дорівнювати 90° (для α=90°, соsα=0 і тому А=Fscos90°=0).

 

 

.             s = 0                                             F = 0                                      cosα = 0

Мал.113. Ситуації в яких механічна робота не виконується.

Механічна робота може бути як додатною так і від’ємною. При цьому, якщо напрям діючої на тіло сили співпадає з напрямком переміщення тіла, то робота відповідної сили є додатною (сила сприяє переміщенню тіла). Якщо ж напрям діючої на тіло сили протилежний до напрямку його переміщення, то робота відповідної сили є від’ємною (сила протидіє переміщенню тіла). Наприклад робота сили тертя завжди від’ємна.

Потрібно зауважити, що робота однієї і тієї ж сили може бути як додатною, так і від’ємною. Наприклад, коли ви відпускаєте яблуко і воно під дією сили тяжіння падає на землю, то сила тяжіння виконує додатню роботу (сприяє переміщенню яблука). Якщо ж ви піднімаєте яблуко, то сила тяжіння протидіє переміщенню яблука і тому виконує від’ємну роботу. Власне аналогічні результати випливають не лише з логічних міркувань, а й з формули А=Fscosα. Дійсно, якщо під дією сили тяжіння яблуко падає вниз, то α=0°, cos0°=1 і тому A=mghcos0°=mgh. Якщо ж всупереч дії сили тяжіння яблуко піднімається вгору, то кут між напрямком дії сили тяжіння та напрямком руху тіла дорівнює 180° і тому: α=180°, cos180°= –1 а отже A=mghcos180°= –mgh.

  

Мал.114. Механічна робота може бути як додатною так і від’ємною.

На перший погляд, формули А=ΔЕ і А=Fscosα є абсолютно різними. Насправді ж мова йде про споріднені і в певному сенсі тотожні формули. Різниця між ними лише в тому, що перша (А=ΔЕ) дозволяє визначати роботу енергетичним методом, а друга (А=Fscosα) – силовим. Ілюструючи та перевіряючи фізичну тотожність формул А=ΔЕ і А=Fscosα, а заодно і порівнюючи силовий та енергетичний методи розв’язування задач, розглянемо декілька конкретних прикладів.

          Задача 1. Під дією сили тяжіння тіло масою m падає з висоти h на землю. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

Дано:                                Рішення:

m                Виконуємо малюнок який відображає

h                 а) для енергетичного рішення: енергетичні параметри системи;

g                 б) для силового рішення: силові параметри системи.

А=?               Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи (в процесі падіння тіла) величина потенціальної енергії тіла змінилась від Е_п=mgh  до Е_п=0, то

А=ΔЕ=0 – mgh = –mgh, де знак  « – » вказує на те, що в процесі виконання роботи потенціальна енергія тіла зменшилась.

Відповідь: А=mgh.

Силове рішення.

Виходячи з того що дану роботу виконує постійна за величиною сила тяжіння F=mg, та враховуючи що напрям цієї сили співпадає з напрямком переміщення тіла (α=0°; соs0°=1) можна записати: А=Fscosα=mgh.

Відповідь: A=mgh.

Задача 2. Горизонтально розташована та деформована на величину Δℓ пружина жорсткістю k, штовхає тіло. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

Дано:                                     Рішення:

Δℓ                 Виконуємо малюнок який відображає

k                   а) для енергетичного рішення: енергетичні параметри системи;

А=?              б) для силового рішення: силові параметри системи.

Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи, величина потенціальної енергії пружини змінюється від Е_п=kΔℓ²/2  до  Е_п=0,  то А=ΔЕ=0 –  kΔℓ²/2= – kΔℓ²/2, де знак « – » вказує на те, що в процесі виконання роботи, величина потенціальної енергії пружини зменшилась.

Відповідь:  А= kΔℓ²/2 .

Силове рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи величина діючої на тіло сили пружності лінійним чином змінюється від максимального значення (F=kΔℓ) до нуля (F=0), то усереднена величина цієї сили становитиме F_c=kΔℓ/2. А враховуючи що напрям сили пружності співпадає з напрямком переміщення (α=0°; соs0°=1), можна записати: A=F_cscosα=(kΔℓ/2)Δℓ=kΔℓ²/2.

Відповідь:   A=kΔℓ²/2.

Задача 3.  Тіло масою m, рухається з горизонтальною швидкістю v . При взаємодії з горизонтально розташованою пружиною, тіло деформує її і зупиняється. Визначити величину виконаної при цьому механічної роботи.

Дано:                                     Рішення:

m                    Виконуємо малюнок який відображає

v                    а) для енергетичного рішення: енергетичні параметри системи;

А=?               б) для силового рішення: силові параметри системи.

Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи величина кінетичної енергії тіла змінюється від Е_к=mv²/2  до Е_к=0, то А=ΔЕ=0 – mv²/2 = – mv²/2,

де знак « – » вказує на те, що в процесі виконання роботи, величина кінетичної енергії тіла зменшилась.

Відповідь:  А=mv²/2.

Силове рішення.

По суті, тією силою яка виконує роботу по деформації пружини є сила інерції, тобто та сила поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і величина якої визначається за формулою F_i=ma. Величину того прискорення з яким рухається тіло в процесі деформації пружини, можна визначити із кінематичних міркувань:

Δℓ=(v_k² – v₀²)/2a = – v₀²/2a=v²/2a;  звідси  a = – v²/2Δℓ, де знак « – » вказує на те, що рух тіла є рівносповільненим.

Враховуючи, що напрям тієї сили яка виконує роботу (сили інерції) співпадає з напрямком деформації пружини, тобто що α=0°; соs0°=1, можна записати:  A=Fℓcosα=m(v²/2Δℓ)Δℓ=mv²/2 .

Відповідь:  A=mv²/2.

Задача 4. Тіло масою 2кг падає з висоти 10м, при цьому в момент падіння на землю його швидкість становить 13м/с. Визначити роботу сили опору повітря.

Дано:                                    Рішення:

m = 2кг             Виконуємо малюнок на якому вказуємо енергетичні

h = 10м             параметри тіла в початковий (Е_к=0, Е_п=mgh) та

v_к = 13м/с         кінцевий (Е_к= mv_к²/2, Е_п=0) моменти часу.

А_оп = ?              Визначаємо числові значення відповідних енергій:

Е_поч = mgh = 2кг9,8(м/с²)10м = 196Дж;

Е_кінц = mv_к²/2 = 2кг(13м/с)²/2 = 169Дж.

Оскільки величина початкової енергії тіла (Е_поч=196Дж) більша за величину його кінцевої енергії (Е_кінц=169Дж), то це означає, що в процесі падіння, частина енергії тіла пішла на подолання сил опору повітря, і що робота цих сил має дорівнювати різниці між початковим і кінцевим значенням енергії тіла, тобто А_оп = 196Дж – 169Дж = 27Дж.

Відповідь: А_оп = 27Дж.

Задача 5. Вантаж масою 2кг вільно падає протягом 3с. Яку роботу виконує при цьому сила тяжіння?

Дано:                                  Рішення:

m = 2кг            Виходячи з того, що A=Fscosα, та враховуючи, що

t = 3c                в умовах нашої задачі F=F_т=mg, s=h, α=0°,

А_тяж = ?            можна записати А_тяж=mgh, де h=?

Величину h визначаємо із кінематичних міркувань.

В умовах нашої задачі (v₀=0, x₀=0, a=g) рівняння руху x=x₀+v₀t+(a/2)t² набуває вигляду h=(g/2)t² = 5t² = 5(м/с²)(3с)² = 45м.

Таким чином: А_тяж = mgh = 2кг9,8(м/с²)45м = 882Дж.

Відповідь: А_тяж = 882Дж.

Вправа №21.

1.Яку роботу виконує сила тяжіння в процесі падіння тіла масою 2кг з висоти 3м? Задачу розв’язати енергетичним та силовим методом.

2. Яку роботу виконує сила пружності при стисненні пружини жорсткістю 1000Н/м на 6см? Задачу розв’язати енергетичним та силовим методом.

3. Яку роботу треба виконати, щоб підняти вантаж масою 3кг на висоту 2м з прискоренням 4м/с²?

4. Тіло масою 3кг падає з висоти 5м, при цьому в момент падіння на землю його швидкість становить 9м/с. Визначити роботу сили опору повітря.

5.Автокран, піднімаючи вантаж масою 1,5т виконав роботу 22,5кДж. На яку висоту піднято при цьому вантаж?

6. Визначити роботу сил тертя, якщо автомобіль масою 2т переміщується горизонтальною дорогою на 500м. Коефіцієнт тертя 0,02

7. Вантаж масою 50кг вільно падає протягом 3с. Яку роботу виконує при цьому сила тяжіння?

8. Тіло масою 2кг падає з висоти 10м, при цьому в момент падіння на землю його швидкість становить 11м/с. Визначити роботу сили опору повітря.

 

Лекційне заняття №22.

Тема: Потужність. Коефіцієнт корисної дії. Розв’язування задач. 

          До числа основних характеристик будь якого приладу відносяться потужність та коефіцієнт корисної дії (к.к.д.).

Потужність – це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи і яка дорівнює відношенню виконаної роботи (А) до того проміжку часу (t) за який ця робота була виконана.

Позначається: N (або Р)

Визначальне рівняння: N=А/t

Одиниця вимірювання: [N]=Дж/с=Вт,  ват.

Ват – це одиниця вимірювання потужності, яка дорівнює такій потужності при якій за одну секунду виконується робота в один джоуль. Скажімо, якщо ви візьмете в руку вантаж масою 102г то відчуєте силу в один ньютон. Якщо цей вантаж ви піднімете на один метр – то виконаєте роботу в один джоуль. А якщо цю роботу ви виконаєте за одну секунду – то розвинута вами середня потужність становитиме один ват.

Задача 1. Гиря годинника має масу 0,8 кг і за добу опускається на 110см. Яка потужність годинникового механізму?

Дано:              СІ                         Рішення:

m=0,8кг          –             За визначенням N=A/t.

t = 1доба    86400с        Будемо виходити з того, що джерелом тієї роботи

h = 110см     1,1м          яку виконує годинниковий механізм є та енергія

N = ?                               яку отримує цей механізм в процесі опускання гирі

і яка дорівнює А=F_тh=mgh.

Таким чином N=mgh/t.

Розрахунки: N=0,8кг·10(м/с²)1,1м/86400с=0,0001Вт.

Відповідь N= 0,0001Вт.

Формула N=А/t є базовим визначальним рівнянням потужності. Однак, якщо мова йде про потужність тих приладів які виконують механічну роботу (А=Fℓcosα), то для них формула потужності набуває вигляду:

N=А/t=(Fℓcosα)/t=Fvcosα.  Тобто N=Fvcosα ,

де F – усереднене значення тієї сили що виконує роботу;

v – швидкість того тіла що рухається під дією сили F;

α – кут між напрямком дії сили та напрямком руху тіла.

Зазвичай α=0° і тому N=Fv.

В процесі виконання роботи, в будь якому механічному, електричному, тепловому чи іншому приладі, частина наданої йому енергії неминуче і безповоротно втрачається. Характеризуючи ці втрати, або якщо хочете, характеризуючи ефективність використання енергії в приладі, говорять про його коефіцієнт корисної дії (к.к.д.).

Коефіцієнт корисної дії (к.к.д) – це фізична величина, яка характеризує ефективність використання енергії в тому чи іншому приладі і яка дорівнює відношенню тієї енергії що йде на виконання корисної роботи (Е_кор=А_кор), до загальної кількості наданої приладу енергії (Е_заг=А_заг).

Позначається: η

Визначальне рівняння: η=(Е_кор/Е_заг)100%,  або   η=(А_кор/А_заг)100%

Одиниця вимірювання: [η] = %,  відсотки.

Рішення тих задач в яких фігурує параметр к.к.д. практично завжди починається з визначального рівняння к.к.д тобто з формули η=(А_кор/А_заг)100%. При цьому в подальшому дотримуються наступної послідовності дій.

1.На основі аналізу умов конкретної задачі визначаються з тим, яка робота в цих умовах є корисною (А_кор), а яка затраченою, загальною (А_заг).

2. На основі аналізу умов задачі, виражають А_кор та А_заг через відомі величини та ту величину яку треба зайти:

А_кор = ….

А_заг = ….

3. Підставляють отримані результати в базову формулу: η=(А_кор/А_заг)100% = …

4. Із отриманої формули визначають невідому величину.

Ілюструючи дієвість вище описаного алгоритму, розв’яжемо ряд конкретних задач.

Задача 2.  Електровоз рухаючись з швидкістю 54км/год споживає потужність 600кВт. Визначити силу тяги електровоза, якщо його к.к.д 75%.

Дано:                    СІ                        Рішення:

v=54км/год       15м/с         За визначенням   η = (А_кор/А_заг)100% .

N=600кВт       6∙10⁵Вт        Із аналізу умови задачі ясно, що корисною

η=75%                  –              роботою є та механічна робота яку виконує

F_тяг=?                                    сила тяги електровозу і яку можна визначити

.                                            За формулою    А_кор=F_тягs.

Оскільки, величина тієї загальної потужності яку споживає електровоз визначається за формулою N=А_заг/t  то А_заг= Nt .

Таким чином  η = (А_кор/А_заг)100% =(F_тягs100%)/Nt .

А враховуючи, що при рівномірному русі електровоза s/t=v, можна записати

η=(F_тягv100%)/N,  звідси   F_тяг=ηN/v100%.

Розрахунки: [F] = (%Вт)/(%м/с) = Н(м/с)/(м/с) = Н

F_тяг = 6·10⁵·75/15·100 =15∙10³Н=15кН.

Відповідь: F_тяг = 15кН .

Задача 3. Підйомний кран піднімає вантаж 3т на висоту 8м зі сталою швидкістю. За який час піднімається цей вантаж, якщо потужність двигуна 12кВт, а к.к.д. крана 80%?

Дано:             СІ                       Рішення:

m = 3т         3·10³кг           За визначенням   η = (А_кор/А_заг)100% .

h = 8м                                 Із аналізу умови задачі ясно, що корисною

N = 12кВт  12·10³Вт         роботою є та, що йде на піднімання вантажу

η = 80%                              тобто А_кор=mgh.

t = ?                                    Загальною роботою є та робота яку виконує

двигун потужністю N. А оскільки N=A_заг/t, то A_заг= Nt.

Таким чином  η = mgh100%/Nt. Звідси t = mgh100%/Nη.

Розрахунки: [t] = (кг(м/с²)м%)/(Вт%) = Дж/Дж/с = с

t = mgh100%/Nη = (3·10³кг·10(м/с²)·8м·100%)/12·10³Вт·80% = 25с

Відповідь: t = 25с

Задача 4.  Ящик з цвяхами, маса якого 54кг піднімають за допомогою рухомого блока, діючи на мотузку з силою 360Н. Визначити к.к.д установки..  .

Дано:                                   Рішення:

m=54кг               За визначенням η = (А_кор/А_заг)100%.

F=360Н              Із аналізу умови задачі ясно, що корисною є та

η=?                     робота яка йде на піднімання вантажу.

Цю роботу можна визначити за формулою А_кор=mgh.

Оскільки загальну роботу виконує прикладена до мотузки сила F, та зважаючи на те що для переміщення рухомого блоку на висоту h переміщення мотузки має становити ℓ=2h, можна записати: A = Fℓ = F2h.

Таким чином  η = (А_кор/А_заг)100% =(mgh100%)/2Fh.

Звідси  η = (mg100%)/2F .

Розрахунки:  η = 54кг9,8(м/с²)100%/2·360Н = 73,5% .

Відповідь:  η = 73,5%.

Задача 5. Висота похилої площини 1,2м а її довжина 10,8м. Під дією якої сили підніматиметься вантаж, якщо к.к.д похилої площини 80%?

Дано:                              Рішення:

h = 1,2м             За визначенням η = (А_кор/А_заг)100%.

ℓ = 10,8м           В умовах даної задачі, корисною є та робота

m = 180кг          яка йде на піднімання тіла на висоту h.

η = 80%             А це означає, що А_кор=mgh.

F = ?                  Загальною є та робота яку виконує сила F

при переміщенні тіла на відстань ℓ, тобто А_заг=F·ℓ. Таким чином:

η = mgh100%/ F·ℓ, звідси F = mgh100%/ η·ℓ

Розрахунки: F = mgh100%/ η·ℓ = (180кг·10(м/с²)·1,2м·100%)/10,8м·80% = 250Н.

Відповідь: F = 250Н.

Вправа 21.

1.Яку середню потужність розвиває людина, яка піднімає відро води масою 12кг з колодязя глибиною 20м за 15с?

2.В колодязі відро з водою загальною масою 12кг піднімають прикладаючи зусилля 140Н. Визначити к.к.д. процесу.

3. Насос, двигун якого розвиває потужність 2кВт, за 8хв піднімає певну масу води на висоту 6м. Визначте цю масу, якщо к.к.д установки 80%.

4. Підйомний кран піднімає вантаж 4т на висоту 10м зі сталою швидкістю. За який час піднімається цей вантаж, якщо потужність двигуна 15кВт, а к.к.д. крана 75%?

5. Вантаж масою 20кг за допомогою перекинутої через нерухомий блок мотузки піднімають на висоту 8м. Визначити величину тягової сили, величину загальної та корисної роботи, силу тиску на вісь блоку. К.к.д процесу 80%.

6. Вантаж масою 150кг за допомогою важеля піднімають на висоту 0,2м. При цьому, до довшого плеча важеля прикладають силу 600Н, під дією якої кінець цього плеча опускається на 0,6м. Визначте к.к.д важеля.

7. Яка робота була виконана в процесі піднімання вантажу похилою площиною, якщо маса вантажу 60кг, довжина похилої площини 4м, кут її нахилу 30°, коефіцієнт тертя 0,2. Визначити к.к.д похилої площини.

8. Кут нахилу похилої площини 30°, а її к.к.д 70%. Визначте коефіцієнт тертя площини.

 

Лекційне заняття №23.

Тема: Загальні відомості про коливання, та ті фізичні величини, що їх характеризують.

 

В фізиці, процеси які так чи інакше повторюються називаються коливаннями.

За різними класифікаційними ознаками коливання поділяються на:

– періодичні та неперіодичні;

– вільні та вимушені;

– згасаючі та незгасаючі;

– гармонічні та негармонічні;

– механічні та електромагнітні.

Стисло пояснюючи ознаки та властивості вище згаданих класифікаційних груп, можна сказати наступне.

1. За точністю і ритмічністю повторювань, коливання поділяються на періодичні та неперіодичні. Періодичними називають такі коливання, які через певні, однакові проміжки часу вточності повторюються. Неперіодичними називають такі коливання, які повторюються через різні проміжки часу, або повторюються частково.

2. За ступенем автономності коливальної системи, коливання поділяються на вільні та вимушені. Вільними називають такі коливання, які починаються після виведення коливальної системи з стану рівноваги і продовжуються самостійно, а точніше, під дією певної комбінації внутрішньо системних сил.

Мал.127. Вільні коливання не є безпричинними.

Вимушеними називають такі коливання, які відбуваються під дією певної змінної зовнішньої сили, сили, джерелом якої не є коливальна система. При цьому мається на увазі, що після припинення дії цієї сили, коливання припиняються.

а)  б) 

Мал.128 Приклади вільних (а) та вимушених (б) коливань.

3. За ступенем енергетичних втрат в коливальній системі, коливання поділяються на згасаючі та незгасаючі. Згасаючими називають такі коливання, амплітуда яких з плином часу зменшується. Незгасаючими називають такі коливання, амплітуда яких з плином часу залишається незмінною. Залишається незмінною тому, що ті енергетичні втрати які неминуче відбуваються в процесі коливань є несуттєвими, або тому, що ці втрати компенсуються зовнішнім джерелом енергії.

           

  

Мал.129.  Згасаючі (а) та незгасаючі (б) коливання.

4. За характером зміни параметрів коливальної системи, коливання поділяються на гармонічні та негармонічні. Гармонічними називають такі коливання які відбуваються за гармонічним законом. Це означає, що будь яке гармонічне коливання можна описати формулою x = х_мsinφ, або x = х_мcosφ, де

х – миттєве значення змінної величини;

х_м – амплітудне значення змінної величини;

φ – фаза коливань.

 

Мал.130. Звук камертона є гармонічним, а голос людини – комбіновано гармонічним, тобто таким, що складається з певної сукупності гармонічних коливань.

Негармонічними називають такі коливання які не є гармонічними, наближено гармонічними чи комбіновано гармонічними. Це означає, що негармонічні коливання не можна представити у вигляді певної сукупності гармонічних коливань. Зазвичай негармонічними є спеціально створені, штучні коливання. Наприклад, негармонічно коливаються елементи клапанного механізму двигуна внутрішнього згорання (мал.131а), елементи так званого храпового механізму (мал.131б), тощо.

Мал.131. Приклади коливальних систем, елементи яких здійснюють вимушені негармонічні коливання.

 

В межах програми загальноосвітньої школи вивчають лише так звані періодичні коливання, тобто такі коливання, які через певні однакові проміжки часу вточності повторюються. Основними характеристиками таких коливань є період, частота, амплітуда та фаза коливань.

Період коливань (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) коливального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює одне повне коливання.

Позначається: Т

Визначальне рівняння: Т=t/n, де n – кількість коливань системи здійснених за час t;

Одиниця вимірювання: [Т] = с,  секунда.

Наприклад, якщо нитяний маятник за 20 секунд здійснює 16 повних коливань, то період цих коливань 1,25с:  Т= t/n = 20с/16 = 1,25с.

Частота коливань (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність коливального процесу і яка дорівнює тій кількості коливань системи, яку здійснює ця система за одиницю часу.

Позначається: ν

Визначальне рівняння: ν = n/t

Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц,  герц.

Наприклад, якщо за 20 секунд нитяний маятник здійснює 16 коливань, то частота цих коливань 0,8Гц:  ν = n/t = 16/20c = 0,8Гц.

Із визначальних рівнянь періоду і частоти (T=t/n; ν=n/t) з усією очевидністю випливає, що ці фізичні величини взаємопов’язані, і що цю взаємопов’язаність відображають співвідношення: T=1/ν; ν=1/T. Тому якщо наприклад, за умовою задачі задано період коливань системи Т=2с, то ви завжди можете визначити частоту цих коливань ν=1/Т=1/2с=0,5Гц і навпаки.

Амплітуда коливань (амплітуда) – це фізична величина, яка характеризує максимальне за величиною (амплітудне) значення змінної величини і яка дорівнює цьому значенню. Позначається символом відповідної змінної величини з індексом «м»: х_м, v_м, І_м, U_м, тощо. Визначається як параметр конкретного коливального процесу. Вимірюється в одиницях відповідної фізичної величини: [x_м]=м; [v_м]=м/с; [I_м]=А; [U_м]=В і т.д.

Фаза коливань (фаза) це фізична величина яка характеризує стан коливальної системи в заданий момент часу і яка однозначно визначає параметри цієї системи в цей момент часу.

Позначається: φ

Визначальне рівняння: фазу коливань можна визначити по різному, зокрема:

– через кут повороту системи: φ=α,

– через кількість коливань системи: φ=2πn,

– через частоту коливань системи: φ=2πνt,

– через період коливань системи: φ=2πt/T,

іншими словами: φ=α=2πn=2πνt=2πt/T. Зазвичай: φ = 2πνt.

Одиниця вимірювання: [φ] = рад,   радіан.

Найбільш поширеною різновидністю періодичних коливань є так звані гармонічні коливання.

Будь яке гармонічне коливання можна представити у вигляді математичної формули, яка називається рівнянням гармонічного коливання. В загальному випадку це рівняння має вигляд: х=х_мsinφ, де  х – миттєве значення змінної величини, х_м – амплітудне (максимальне) значення змінної величини, φ – фаза коливань. Оскільки фазу коливань можна визначити по різному (φ=α=2πn=2πνt=2πt/T), то зустрічаються і відповідно різні записи рівняння гармонічного коливання. Зазвичай, це рівняння записують у вигляді: х=х_мsin2πνt.

Коли ми стверджуємо, що обертальний рух колеса (мал.132) є певним гармонічним коливанням, і що цей процес описується формулою  x = х_мsinφ, то це означає, що в процесі рівномірного обертання колеса (ω=const), координата будь якої точки цього колеса буде змінюватись за законом  x = х_мsinφ. При цьому графіком зміни цієї координати в системі відліку координата-час, буде відповідна синусоїда.

Мал.132. В процесі рівномірного обертання колеса, координата х точки 1, змінюється за законом  x = х_мsinφ.

Потрібно зауважити, що синусоїда і косинусоїда, це по суті дві різні назви однієї і тієї ж кривої. Наприклад, зображений на мал.134а графік коливань матеріальної точки є синусоїдою, а рівняння відповідного гармонічного коливання має вигляд х=х_мsin2πνt. Графіком же тих коливань які представлені на мал.134б є косинусоїда, а рівняння відповідного гармонічного коливання має вигляд х=х_мcos2πνt.

Мал.134. Синусоїда та косинусоїда, це дві аналогічні криві зсунуті одна відносно одної на чверть періоду.

Коли ми стверджуємо, що гармонічне коливання описується рівнянням х=х_мsin2πνt, то це означає, що в процесі коливань величина певного параметру коливальної системи змінюється за законом х=х_мsin2πνt.

  

Мал.135. В процесі гармонічних коливань, певні параметри коливальної системи змінюються за законом х=х_мsin2πνt.

Рівняння гармонічного коливання містить велику кількість інформації про відповідний коливальний процес. Воно дозволяє не лише визначити числове значення змінної величини в будь який момент часу, а й максимально повно описати інші параметри цього процесу. Ілюструючи лише незначну частину можливостей цього рівняння, розглянемо конкретну задачу.

Задача 1. Тіло нитяного маятника здійснює гармонічні коливання за законом х = 0,1sinπt. Визначити: 1) амплітуду, період та частоту коливань; 2) координату тіла в момент часу 0,5с; 10с; 3) кількість коливань маятника здійснених за 0,5с; за 10с.

Дано:                                        Рішення.

х = 0,1sinπt

1) х_м, Т, ν – ?               1).  Із порівняльного аналізу заданого рівняння

2) х(0,5)-? х(10)-?        х = 0,1sinπt  та загального вигляду цього рівняння

3) n(0,5)-?  n(10)-?       х = х_мsin2πνt,   ясно що: х_м = 0,1м;

.                                     ν = 0,5Гц;   (оскільки  2πνt = πt, то ν=0,5Гц).

.                                     А оскільки Т=1/ν, то   Т =1/0,5= 2с

2). Розв’язуючи рівняння х = 0,1sinπt  для заданих значень часу (t=0,5с; t=2с) визначаємо відповідні значення координати тіла маятника:

х(0,5) =  0,1sinπ·0,5 = 0,1·1 = 0,1м;

х(10) = 0,1sinπ·10 = 0,1·0 = 0,0м.

3). Кількість коливань системи (n) за час t можна визначити із співвідношень: n = t/T = νt   Тому:

n(0,5) = 0,5c/2c = 0,25 (коливань).

n(10) = 10c/2c = 5,0 (коливань).

Аналізуючи рівняння х=0,1sinπt можна відповісти на значно більшу кількість запитань. Наприклад, можна представити даний коливальний процес у вигляді відповідного графіка, визначити довжину відповідного маятника, величину максимального кута його відхилення, швидкість тіла в момент проходження ним положення рівноваги та в будь який інший момент часу, пройдений тілом шлях за певний проміжок часу, тощо. Знаючи рівняння гармонічного коливання тіла та масу цього тіла, можна не лише вичерпно описати кінематику коливального руху, а й динаміку цього руху. Втім, оцінити реальні можливості та значимість рівняння гармонічного коливання, ви зможете лише в процесі розв’язування задач та вивчення наступних параграфів даної теми.

Задача 2. За заданим графіком визначити амплітуду, період та частоту коливань. Записати рівняння відповідного коливання.

Рішення. Із аналізу заданого графіку випливає: 1) амплітуда коливань х_м = 6см = 0,06м; 2) період коливань Т=2с; 3) частота коливань ν=1/Т=1/2с=0,5Гц; 4) рівняння коливань х = 0,06cos2π·0,5t = 0,06cosπt.

Потрібно зауважити: за відсутності додаткової інформації, в рівнянні гармонічних коливань, одиниці вимірювання всіх фізичних величин мають відповідати Міжнародній системі одиниць (СІ). Наприклад, у відповідності з заданим графіком х_м = 6см, в рівнянні ж гармонічного коливання записують х_м = 0,06м

Вправа 23.

1. .Визначте період та частоту коливань тіла, що здійснює 50 повних коливань за 20с.

2. Визначте період та частоту обертання: а) секундної стрілки годинника; б) хвилинної стрілки годинника; в) Землі навколо своєї осі та навколо Сонця.

3. Напишіть рівняння гармонічного коливання, якщо частота коливань 0,5Гц, а її амплітуда 50см.

4. Частота коливань крил комара 600Гц, а період коливань крил бджоли 5мс. Яка з камах і наскільки більше зробить помахів крил за 1хв польоту?

5. Тіло нитяного маятника здійснює гармонічні коливання за законом х = 0,3sinπt/2. Визначити: 1) амплітуду, період та частоту коливань; 2) координату тіла в момент часу 0,5с; 10с; 3) кількість коливань маятника здійснених за 0,5с; за 10с.

6. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання за законом х=0,2cos2πt. Визначити амплітуду, період та частоту цих коливань. Визначте кількість коливань за 5с.

7. Амплітуда коливань точки струни становить 1мм, а частота цих коливань 1кГц. Який шлях пройде ця точка за 0,2с? запишіть рівняння відповідного гармонічного коливання.

8. За заданими графіками визначте амплітуду, період та частоту коливань. Запишіть рівняння відповідних коливань.

а)   б)

 

Лекцйне заняття №24.

Тема: Фізичний, математичний та пружинний маятники.

Фізичний, математичний та пружинний маятники.

          Однією з найпростіших коливальних систем є так званий фізичний маятник. Фізичний маятник, це механічна коливальна система, яка представляє собою тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо осі, що не проходить через центр маси тіла. Наприклад, якщо ви візьмете будь яке тверде тіло, скажімо лінійку, виделку, ножиці чи молоток і закріпите його так щоб воно могло вільно обертатись навколо осі яка не проходить через центр маси тіла, то отримаєте відповідний фізичний маятник. Однією з різновидностей фізичного маятника є так званий нитяний маятник, який представляє собою масивне тіло що висить на тонкій нитці (мотузці, дротині, тощо).

   

Мал.135 Приклади фізичних маятників.

Математичний маятник, це ідеалізована модель фізичного маятника, яка представляє собою масивну матеріальну точку що висить на надтонкій, невагомій та нерозтяжній нитці і в процесі коливань якої відсутні будь які втрати енергії.

Можна довести, що період коливань математичного маятника визначається за формулою Т=2π√(ℓ/g), де ℓ – довжина маятника (відстань від точки закріплення нитки маятника до центру мас його тіла), g – прискорення сили тяжіння. Формула Т=2π√(ℓ/g) в достатній мірі точності справедлива не лише для ідеалізованого математичного маятника, а й для реальних фізичних маятників. При цьому для фізичних маятників довжина маятника ℓ дорівнює відстані від осі обертання тіла до центру його маси.

.                                          

 

Мал.136. Вільні коливання реального фізичного маятника в тій чи іншій мірі згасаючі, а коливання математичного маятника – незгасаючі.

Із аналізу формули Т=2π√(ℓ/g) видно, що період коливань математичного маятника не залежить ні від маси тіла ні від кута його відхилення. Цей період визначальним чином залежить лише від довжини маятника ℓ та прискорення сили тяжіння g. Наприклад на Землі (g=9,8м/с²), період коливань математичного маятника довжиною 1м дорівнює Т=2π√(ℓ/g) = 2·3,14√1/9,8 = 2с, а період коливань такого ж маятника на Місяці (g=1,6м/с²): Т=2π√(ℓ/g) = 2·3,14√1/1,6 = 5с.

 

Мал.137. Коливання математичного (фізичного) маятника супроводжуються перетвореннями потенціальної енергії сили тяжіння в кінетичну енергію і навпаки: mg∆h ↔ mv²/2.

Таким чином, коливання математичного, а відповідно і фізичного маятників, супроводжуються не лише певними коливаннями координати тіла маятника, а й відповідними коливаннями інших параметрів системи, зокрема:

– коливаннями висоти ∆h центру мас системи над нулевим рівнем;

– коливаннями швидкості руху v центру мас системи;

– коливаннями величини потенціальної енергії системи Е_п;

– коливаннями величини кінетичної енергії системи Е_к;

– коливаннями кута відхилення маятника α, тощо.

Ще однією простою коливальною системою є так званий пружинний маятник. Пружинний маятник – це така механічна коливальна система, яка складається з легкої пружини та масивного тіла і в якій це тіло здійснює поступальні коливання вздовж осі пружини.

            

Мал.138.  Загальний вигляд пружинного маятника.

Якщо пружинний маятник вивести з стану механічної рівноваги, то він буде здійснювати вільні коливання. Джерелом цих коливань є взаємопов’язана дія двох силових факторів: тієї сили пружності (F_пр= –k∆ℓ) що виникає в процесі деформації пружини, та тієї сили інерції (F_i= –ma) що виникає в процесі прискореного руху тіла. При цьому можна довести, що період коливань ідеального пружинного маятника визначається за формулою Т=2π√(m/k), m – маса тіла маятника, k – жорсткість пружини маятника. В достатній мірі точності, формула Т=2π√(m/k) справедлива не лише для ідеальних, а й для реальних пружинних маятників.

 

Механічні коливання пружинного маятника нерозривно пов’язані з періодичними перетвореннями одного виду механічної енергії в інший її вид.

Мал.140.  Коливання пружинного маятника супроводжуються періодичними перетворюваннями потенціальної енергії сили пружності в кінетичну енергію і навпаки:  k∆ℓ²/2 ↔ mv²/2.

Таким чином, механічні коливання пружинного маятника супроводжуються певними коливаннями багатьох параметрів цієї системи, зокрема:

– коливаннями абсолютної деформації пружини;

– коливаннями виникаючої в пружині сили пружності;

– коливаннями швидкості руху тіла;

– коливаннями діючої на тіло сили інерції;

– коливаннями потенціальної енергії деформованої пружини;

– коливаннями кінетичної енергії тіла, тощо.

Не важко бачити, що ті формули за якими визначаються періоди коливань фізичних та пружинних маятників (Т=2π√(ℓ/g); Т=2π√(m/k)) характеризуються певним набором споріднених рис, головною з яких є наявність коефіцієнту 2π, який по суті є ознакою періодичності (повторюваності) будь якого процесу. Адже результатом повороту тіла на 2π радіан є повернення цього тіла до початкового положення.

Задача 1. Коливання математичного маятника відбуваються за законом х = 0,1sin2πt. Визначити: 1) амплітуду, період та частоту коливань; 2) довжину маятника; 3) максимальне значення висоти тіла над рівнем точки рівноваги; 4) максимальне значення швидкості руху тіла маятника.

.                            

Рішення.

1).  Із порівняльного аналізу заданого рівняння х = 0,2sin2πt  та загального вигляду цього рівняння х = х_мsin2πνt, ясно що: х_м = 0,1м; ν = 1Гц; (оскільки  2πνt = 2πt, то ν=1Гц). А оскільки Т=1/ν, то   Т =1/1= 1с.

2).  Оскільки період коливань математичного маятника визначається за формулою Т=2π√(ℓ/g), де =9,8м/с², то можна записати Т²=[2π√(ℓ/g)]² звідси Т²=4π²ℓ/g звідси ℓ=Т²g/4π² = (1с)²9,8(м/с²)/4(3,14)² = 0,25м.

3). Максимальне значення висоти тіла (h_max) над рівнем точки рівноваги визначаєм із геометричних міркувань. Оскільки в прямокутному трикутнику 0-2-2Ꞌ відрізок 0-2 = ℓ = 0,25м = 25см, а відрізок 2-2Ꞌ = х_м = 0,1м = 10см, то у відповідності з теоремою Піфагора можна записати 0-2Ꞌ = √(ℓ² – х²) = √(25² – 10²) = 23см. Із аналізу малюнку ясно, що h_max=ℓ – 23см = 2см.

4). Оскільки в точці максимального відхилення маятника (т.2) величина його потенціальної енергії дорівнює mgh_max. Та зважаючи на те, що у відповідності з законом збереження енергії, в нижній точці траєкторії руху тіла маятника (т.1) ця енергія повністю перетворюється на енергію кінетичну mv_max²/2, можна записати mv_max²/2 = mgh_max.  v_max = √2gh_max = √2·9,8·0,02 = 0,62м/с.

Задача 2. Визначити період коливань пружинного маятника який складається з тіла масою 1кг та системи двох пружин жорсткості яких 30Н/м і 70Н/м. При цьому, у першому випадку пружини з’єднані паралельно, а в другому – послідовно.

         

Дано:                                        Рішення:

m = 1кг             Виконуємо малюнок який відображає фізичний зміст задачі.

k₁ = 30Н/м        Період коливань пружинного маятника визначається за

k₂ = 70Н/м        формулою Т=2π√(m/k), де k – загальна жорсткість

Т₁ = ?                 пружини маятника.

Т₂ = ?                Оскільки при паралельному з’єднані пружин k=k₁+k₂=100Н/м,

то Т₁=2π√(m/k) = 2·3,14√(1/100) = 0,628с.

Оскільки при послідовному з’єднані пружин k=k₁·k₂/(k₁+k₂) = 30·70/(30+70) =21Н/м, то Т₂=2π√(m/k) = 2·3,14√(1/21) = 1,38с.

Вправа 24.

1. Довжина математичного маятника 0,5м. Визначте період та частоту коливань цього маятника.

2. Виконуючи лабораторну роботу по визначенню прискорення сили тяжіння, учень встановив, що маятник довжиною 80см, за 1хв здійснює 34 коливань. Який результат отримав учень?

3. Вантаж масою 4кг коливаючись на легкій пружині робить 5 коливань за 4 секунди. Визначте жорсткість пружини.

4. Під дією сили 2Н пружина розтягується на 1см. До цієї пружини прикріпили вантаж масою 2кг. Визначте період коливань даного пружинного маятника.

5. Визначити період коливань пружинного маятника який складається з тіла масою 1кг та системи двох пружин жорсткість кожної з яких 40Н/м. При цьому, у першому випадку пружини з’єднані паралельно, а в другому – послідовно.

6. Рівняння коливань математичного маятника має вигляд х = 0,1sin2πt. Визначте період і частоту коливань маятника. Визначте довжину маятника.

7. Вантаж масою 300г є частиною пружинного маятника і здійснює коливання за законом х=0,06sinπt. Визначте період і частоту коливань, жорсткість пружини та максимальну швидкість тіла.

8. Коливання математичного маятника масою 0,2кг відбуваються за законом х = 0,2sinπt. Визначити: амплітуду, період та частоту коливань; довжину маятника; максимальне значення висоти тіла над рівнем точки рівноваги; максимальне значення швидкості руху тіла маятника.

 

 

Лекційне заняття №25.

Тема: Механічна картина Всесвіту.

         З незапам’ятних часів, люди розмірковували над тим, як влаштований навколишній світ (Всесвіт). Створення першої науково подібної систему знань про навколишній світ, нерозривно пов’язано з видатним давньогрецьким філософом-енциклопедистом Арістотелем (384–322 до н.е). Саме Арістотель зібрав, систематизував та критично узагальнив всю сукупність знань античного світу. Результати цих узагальнень він представив у вигляді системи літературно філософських творів, які прийнято називати трактатами. Арістотелівські трактати стосувались не лише тих питань що є предметом вивчення сучасних природничих наук, а й питань загально філософських, морально-етичних, психологічних, релігійних, медичних, літературних, політичних та інших.

Свої погляди на загальний  устрій навколишнього світу Арістотель виклав в таких трактатах як «Фізика», «Механіка», «Метереологіка», «Про небо», «Про походження і знищення» та деяких інших. Згідно з Арістотелем, в центрі Всесвіту знаходиться нерухома Земля, навколо якої певним чином обертаються Сонце, Місяць, п’ять відомих на той час планет (Меркурій, Венера, Марс, Юпітер, Сатурн) та небесна зоряна сфера.

 

Мал.183. Згідно з Арістотелем, в центрі Всесвіту знаходиться нерухома Земля, навколо якої певним чином обертаються всі інші космічні об’єкти.

Звичайно сьогодні, в епоху телебачення, інтернету та суцільної комп’ютеризації, навіть діти знають, що не Сонце обертається навколо Землі, а Земля обертається навколо Сонця та власної осі. Виходячи з цього, ми схильні вважати, що прадавні уявлення про будову Всесвіту, а точніше Сонячної системи, є примітивними та абсолютно хибними. Подібні твердження не є ані коректними, ані безумовно правильними. Не є бодай тому, що відносність руху в тому й полягає, що різні спостерігачі, спостерігаючи за одними і тими ж об’єктами, можуть бачити суттєво різні рухи, а відповідно по різному і описувати їх. Скажімо, той спостерігач, який знаходиться так би мовити над Сонячною системою («сторонній спостерігач») бачить: в центрі системи знаходиться Сонце, навколо якого на фоні зоряного неба обертаються планети, в тому числі і Земля. Той же спостерігач, який знаходиться на Землі («земний спостерігач») дивлячись на ті ж об’єкти, бачить: навколо відносно нерухомої Землі, обертаються Сонце, Місяць, планети та зірки. Будучи земними спостерігачами, та не відчуваючи руху самої Землі, стародавні вчені цілком обгрунтовано вважали, що Земля знаходиться в центрі Всесвіту і що всі інші космічні об’єкти так чи інакше обертаються навколо цього центру.

Якщо ж говорити про загальний устрій земних об’єктів (об’єктів підмісячного світу), то згідно з Арістотелем вони складаються з двох пар взаємно протилежних якостей: тепле – холодне, сухе – вологе. Ці якості в певних комбінаціях та пропорціях утворюють основні елементи (стихії) підмісячного (земного) світу, зокрема: поєднання сухого і холодного утворюють тверді тіла (земля); поєднання холодного і вологого утворюють рідини (вода); поєднання вологого і теплого утворюють газоподібне (повітря), а поєднання теплого з сухим утворюють те, що прийнято називати плазмою (вогонь). При цьому ті пропорції в яких поєднуються базові якості, визначають різноманіття наявних на Землі твердих, рідких, газоподібних та плазмових речовин.

Мал.184.  У відповідності з Арістотелем, все різноманіття матеріальних об’єктів неживої природи, є результатом поєднання двох пар взаємно протилежних якостей: тепле – холодне, сухе – вологе.

Арістотель безумовно був видатним вченим. Він не лише зібрав, систематизував та творчо опрацював величезну кількість знань, а й запровадив в наукову практику інструмент, який дозволяв отримувати ці знання. Сьогодні цей інструмент називають дедуктивним методом досліджень. Дедуктивний метод досліджень – це такий метод отримання теоретичних знань, при якому на базі певних припущень та на основі логічно очевидних міркувань, робляться певні узагальнюючі висновки. Класичним прикладом успішного застосування дедуктивного методу є та геометрія, основи якої заклав давньогрецький математик Евклід (325–270 до н.е). Евклід на базі невеликої кількості очевидно правильних тверджень (аксіом) та дедуктивного методу досліджень, створив цілісну систему знань яка пояснювала широке різноманіття властивостей геометричних фігур.

Сам по собі дедуктивний метод отримання теоретичних знань, був видатним відкриттям. Але він мав і має один недолік: зроблені на основі цього методу висновки, будуть правильними лише в тому випадку, якщо базові припущення є правильними. А ось тут-то і була «ахілесова п’ята» в системі знань Арістотеля. Скажімо, виходячи з того, що все різноманіття об’єктів неживої природи, це результат поєднання певних якостей (тепла, холоду, сухості та вологості), логічно передбачити, що змішуючи ці якості в певних пропорціях можна отримати будь який матеріал, в тому числі дорогоцінні метали, коштовне каміння, еліксир молодості, філософський камінь, тощо.

Власне те, що прийнято називати алхімією і що представляє собою певне поєднання наукових та антинаукових практик (хімії, фізики, металургії, астрології, містицизму, спіритизму, тощо), є прямим наслідком ідеї про те, що будь яку матеріальну субстанцію можна отримати шляхом механічного змішування певних базових елементів. Алхіміки вважали, що варто вдало підібрати базові матеріали, в потрібних пропорціях їх змішати, прочитати магічне заклинання і, о диво: свинець, пісок чи що завгодно, перетворюються на золото. Протягом багатьох століть, вони придумували все нові і нові рецепти, випробовували все нові і нові співвідношення, шептали, стогнали та  викрикували все нові і нові заклинання. Однак, диво   не відбулося. Вони працювали не покладаючи рук. Сподівались… Вірили… Чекали… Вони відчували, ось-ось…, вже зовсім поряд…, вже майже  те що треба… Але диво не відбувалось. І не могло відбутися. Адже базові твердження алхімії  були хибними.

Протягом вісімнадцяти століть арістотелівський підхід до вирішення наукових проблем був панівним на теренах всього цивілізованого світу. А невтішним результатом цього панування є факт того, що за цей шалено великий історичний період, тогочасною наукою не було створено жодної достовірної теорії і не було зроблено жодного більш менш суттєвого наукового відкриття.

Не відомо скільки б ще тривав цей інтелектуальний застій, якби не видатний італійський вчений Галілео Галілей (1564–1642). Галілей першим зрозумів, що арістотелівський шлях розвитку науки та його метод здобуття наукових знань є хибним. Він зрозумів, що в науці критерієм істини має бути не суб’єктивна логіка наших думок, а об’єктивні експериментальні докази.

Геніальність Галілея полягала не лише в тому, що він першим почав експериментально перевіряти сумнівні теорії, а й в тому, що саме він запропонував та почав застосовувати на практиці такий метод дослідження Природи, який прийнято називати фізичним методом досліджень. Фізичний метод досліджень – це такий метод отримання достовірних знань, при якому вибір правильних теорій здійснюється на основі експериментальної перевірки тих передбачень, які випливають з цих теорій. Це означає, що для перевірки правильності тієї чи іншої теорії (а точніше гіпотези), необхідно на основі цієї теорії та дедуктивного методу досліджень, зробити логічно обгрунтовані передбачення і перевірити їх на практиці. При цьому, якщо передбачення справджуються, значить теорія правильна, а якщо не справджуються – не правильна.

Сьогодні кожен вчений знає, якщо результати експериментів не співпадають з передбаченнями теорії, значить теорія хибна. При цьому немає значення, хто автор теорії. Наскільки він відомий, розумний чи авторитетний. Немає значення, подобається нам теорія, чи не подобається, розуміємо її, чи не розуміємо. Якщо результати експериментів не співпадають з передбаченнями теорії, значить теорія не правильна. От і все.

Звичайно, експерименти мають бути достовірними і такими, що враховують всі суттєві обставини. Адже якщо наприклад, на основі факту того, що важкий камінь падає швидше за легку пір’їну, ви почнете заперечувати те, що всі тіла падають однаково швидко, то у своїх запереченнях будете спиратись на результати неправильно поставленого експерименту. Неправильного в тому сенсі, що при його проведенні ви не врахували суттєво важливу обставину – гальмуючу дію навколишнього повітря.

 

Мал.185. Галілей – правильність теорії визначається експериментальною достовірністю її передбачень.

Запровадивши новий підхід до вирішення наукових проблем, Галілей заклав основи сучасної науки. Науки, яка за неповні чотириста років не лише кардинально змінила наші уявлення про навколишній світ, а й саме цивілізоване життя. Ефективність запровадженого Галілеєм методу наукового пізнання навколишнього світу, з усією очевидністю була продемонстрована геніальним англійським фізиком Ісааком Ньютоном (1643–1727). Аналізуючи широкий спектр експериментальних фактів, Ньютон сформулював базові закони сучасної класичної механіки: три закони Ньютона та закон всесвітнього тяжіння. Спираючись на ці закони та сформульований Галілеєм принцип відносності, Ньютон створив першу, дійсно наукову теорію Всесвіту. Тобто таку цілісну систему достовірних знань, яка не лише описувала загальний устрій Всесвіту та Сонячної системи, а й пояснювала, яким чином ця система працює.

Згідно з Ньютоном, наша Сонячна система є мізерним фрагментом безкінечного, вічного, ізотропного та стаціонарного Всесвіту. Це означає, що ньютонівський Всесвіт є безмежним в просторі та вічним в часі. Що в ньому міститься безкінечно велика кількість зірок та зіркових систем. Що ці зірки усереднено рівномірно (ізотропно) розкидані в безмежних просторах Всесвіту. Що ті події, які відбуваються у Всесвіті, не змінюють ані усереднено рівномірного розподілу матерії в ньому, ані параметрів його простору, ані монотонності плину часу.

 

Мал.186. Ньютон – перша безумовно наукова теорія Сонячної системи та

Всесвіту загалом.

З механічної точки зору, ньютонівський Всесвіт нагадував бездоганний годинниковий механізм, об’єкти якого у повній відповідності з законами механіки утворюють дивовижно гармонійну та саморегульовану систему. В цьому механізмі не було місця для гіпотетичних сфер, напівсфер, важелів, канатів, тощо. Він не потребував ремінних, зубчатих чи будь яких інших механічних передач. Його основними дійовими особами та виконавцями були закони механіки, сили гравітаційної взаємодії та сили інерції. При цьому, гравітаційні взаємодії не потребували будь яких посередників. Адже у відповідності з поглядами тогочасної науки, ці взаємодії здійснювались безпосередньо через пустоту.

Створена Ньютоном система світу була дивовижно гармонійною, точною та передбачуваною. Вона не лише з математичною точністю описувала поведінку всіх відомих космічних об’єктів, а й дозволяла робити нові відкриття. Наприклад, існування планети Нептун було спочатку теоретично передбаченим, а лише потім експериментально підтвердженим. При цьому відповідна планета виявилась саме в тому місці Сонячної системи на яку вказувала теорія Ньютона.

Звичайно, ньютонівська теорія Всесвіту не була такою що відповідала на всі наявні запитання. Зокрема, вона не пояснювала яким чином та за рахунок чого Сонце і зірки постійно випромінюють величезну кількість енергії. Не пояснювала відомі магнітні та електричні явища. Не пояснювала різноманіття хімічних та механічних властивостей речовин. Не пояснювала як виник Всесвіт і чому він саме такий.

І це закономірно. Адже реальний Всесвіт набагато складніший та багатогранніший за ту механістичну картину яка була «намальована» великим Ньютоном понад три століття тому. Достатньо сказати, що в ньютонівській теорії Всесвіту поведінка та властивості всього різноманіття матеріальних об’єктів Природи, по суті описуються лише однією фундаментальною взаємодією – гравітаційно-інерційною. Насправді ж ці властивості та ця поведінка визначаються чотирма фундаментальними взаємодіями – гравітаційно-інерційною, електромагнітною, сильною ядерною та слабкою ядерною.

Зважаючи на вище сказане, не будемо забувати, що та система знань яку прийнято називати ньютонівською механікою, була лише першим вагомим кроком сучасної науки на шляху пізнання навколишнього світу. Про наступні ж кроки науки на цьому складному, тернистому та дивовижно цікавому шляху, ви дізнаєтесь в процесі подальшого вивчення фізики – науки про Природу.