Механіка. ч.2

РОЗДІЛ 1. Механіка. частина 2.

 

Лекційне заняття №15. Тема: Пара сил. Момент сили. Важелі.

Блоки. Рівновага тіла, що має вісь обертання.

Лекційне заняття №16. Тема: Рівновага тіла під дією довільної

системи сил. Розв’язування задач.

Лекційне заняття №17. Тема: Динаміка. Загальні відомості

про масу. Принцип відносності.

Лекційне заняття №18. Тема: Закони Ньютона, теоретична

основа механіки.

Лекційне заняття №19. Тема: Імпульс. Закон збереження

Імпульсу. Реактивний рух.

Лекційне заняття №20. Тема: Енергія. Механічна енергія.

Закон збереження енергії.

Лекційне заняття №21. Тема: Імпульсно-енергетичний метод

розв’язування задач.

Лекційне заняття №22. Тема: Робота. Механічна робота.

Лекційне заняття №23. Потужність. Коефіцієнт корисної дії.

Розв’язування задач.

Лекційне заняття №24. Тема: Загальні відомості про коливання,

та ті фізичні величини, що їх характеризують.

Лекцйне заняття №25. Тема: Фізичний, математичний та

пружинний маятники.

Лекційне заняття №26. Тема. Загальні відомості про хвилі.

Лекційне заняття №27. Тема. Механічна картина Всесвіту.

 

Лекційне заняття №15.

Тема: Пара сил. Момент сили. Рівновага тіла що має вісь обертання.

До сих пір, говорячи про механічну та динамічну рівновагу тіла, ми мали на увазі, що це тіло знаходиться під дією так званої збіжної системи сил, тобто такої сукупності одночасно діючих сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці. По суті це означає, що до сих пір ми вивчали статику матеріальної точки, тобто ту частину статики в якій тіло можна вважати матеріальною точкою, а діючу на це тіло систему сил, можна замінити однією рівнодіючою силою. Силою, яка надає тілу поступального руху.

Однак, далеко не всяка діюча на тіло система сил є збіжною і далеко не всяку систему сил можна замінити рівнодіючою. Наприклад, якщо на тіло діють дві рівні за величиною і протилежні за напрямком сили F1 і F2 які не лежать на одній прямій (мал.43), то замінити цю систему сил відповідною рівнодіючою, не можливо. Дійсно. Формально визначивши рівнодіючу сил F1 і F2 ми отримаємо нульову величину: F1 + F2= 0. Та чи означає це, що загальна механічна дія сил F1 і F2 є нульовою? Очевидно що ні. Адже дана система сил надає або намагається надати тілу певного обертального руху.

 

Мал.43.  Пару сил не можливо замінити  рівнодіючою силою.

Систему двох рівних за величиною і протилежних за напрямком сил, які не лежать на одній прямій і спільно діють на одне і те ж тіло, називають парою сил (або парою). Пара сил надає (або намагається надати) тілу обертального руху. Пару сил не можливо замінити або зрівноважити однією силою. Пару сил можна замінити чи зрівноважити лише іншою порою сил.

Ви можете заперечити в тому сенсі, що в певних випадках тіло може обертатись під дією лише однієї сили. Наприклад, відчиняючи двері, ми прикладаємо лише одну силу яка і надає їм обертального руху. Дійсно. На перший погляд здається, що двері обертаються під дією лише однієї сили. Насправді ж, одна сила не може змусити тіло обертатись. Це може зробити лише пара сил. І якщо двері обертаються, то це тільки тому, що на них діють дві сили які і утворюють відповідну пару. При цьому не важко збагнути, що другою силою пари є та реакція опори, яка виникає в петлях дверей. Петлях, які утворюють нерухому вісь обертання тіла.

Загалом, тіло яке має нерухому вісь обертання може рухатись лише обертально. І це обертання створює відповідна пара сил. Інша справа, що однією з цих сил є та реакція опори яка неминуче виникає в нерухомій осі обертання.

Мал.44.  Пара сил надає тілу (прагне надати) обертального руху.

Основною характеристикою пари сил, або тієї сили що діє на тіло з нерухомою віссю обертання, є фізична величина яка називається моментом сили або моментом пари сил.

         Момент сили – це фізична величина, яка характеризує обертальну дію сили (пари сил) і яка дорівнює добутку цієї сили F на плече її дії d.

Позначається: М

Визначальне рівняння: М=Fd,  де  d – плече сили, тобто найкоротша відстань між лінією дії сили та віссю обертання тіла.

Одиниця вимірювання:  [М] = Н∙м ,   (ньютон на метр).

По суті, момент сили – величина векторна. Однак, зважаючи на те, що в межах програми загальноосвітньої школи вивчають лише плоскі системи сил, момент сили можна вважати величиною скалярною, тобто такою яка характеризується абсолютною величиною та знаком. При цьому, знак моменту сили зазвичай визначають за правилом: якщо сила повертає (або намагається повернути) тіло за годинниковою стрілкою, то момент сили додатній, а якщо проти годинникової стрілки – від’ємний.

  

Коли ми стверджували, що тіло буде знаходитись в стані механічної рівноваги тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил дорівнює нулю (∑F=0), то мали на увазі, що по-перше, система діючих на тіло сил є збіжною, а по-друге, що рівновага тіла є так би мовити поступальною.    В загальному ж випадку, система діючих на тіло сил може бути довільною. І ця довільна система сил може надавати тілу не лише поступального руху, а й руху обертального. В такій ситуації основний закон статики  (загальна умова рівноваги тіла) набуває вигляду: тіло буде знаходитись в стані загальної механічної рівноваги (v=0; ω=0) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та моментів цих сил дорівнюють нулю. Іншими словами:  якщо {∑F =0; ∑M=0} то {v = 0; ω=0} і навпаки .

Відразу ж зауважимо, що в загальному випадку механічною рівновагою тіла вважають будь яку ситуацію при якій [v=0 або v=const] та [ω=0 або ω=const].

Оскільки те тіло яке має нерухому вісь обертання, поступально не рухається і рухатись не може, то векторна сума діючих на нього зовнішніх сил гарантовано дорівнює нулю. А це означає, що для тіла з нерухомою віссю обертання, умова рівноваги набуває вигляду: якщо ∑М=0 то ω=0 або ω=const.

Одним з найпростіших і в той же час дуже важливих механічних приладів є важіль. Важіль – це прилад, який представляє собою довге тверде тіло яке має нерухому вісь обертання (одну точку опори) та застосовується для підсилення силової дії. Принцип дії важеля полягає в наступному. Якщо сила F1 (мал.66) має плече d1, а сила F2 – плече d2, то у відповідності з умовою рівноваги даного тіла (важеля) F1d1=F2d2 . А це означає, що коли плече дії сили F1 буде більшим за плече дії сили F2 (d1˃d2) то у відповідну кількість разів сила F2 буде більшою за силу F1 : F2=F1(d1/d2) .

Мал.45.   Важіль – механізм який підсилює силову дію.

Коли ви хочете трішки підняти, перекотити чи просто зсунути з місця непосильний вантаж, то напевно берете достатньо міцну та довгу палицю, трубу, лом чи щось подібне і застосовуючи їх як певний важіль, виконуєте відповідну роботу. Про підсилювальні властивості важелів люди знали з незапам’ятних часів. Скажімо важелі були тими основними механізмами за допомогою яких стародавні єгиптяни ще за три тисячі років до нашої ери, будували свої знамениті піраміди. Споруди які і сьогодні дивують своїми масштабами та величчю. Важільні механізми та їх елементи можна зустріти і в багатьох сучасних приладах. Деякі з них представлені на мал.46.

Мал.46  Деякі приклади застосування важільних механізмів.

Було б дивним та неприроднім, якби за допомогою важеля ми отримували б виграш в силі що називається “безкоштовно”, тобто не програючи в чомусь іншому. І очевидно, що цим “чимось іншим” є програш в тому переміщенні яке здійснює підсилена сила. Дійсно. З геометричних міркувань (дивись мал.45) випливає, що виграючи в силі (F2=nF1 де n=d1/d2=s1/s2) ми в таку ж кількість разів програємо в тому переміщенні яке здійснює ця сила (s2=s1/n).

Про те, що “безкоштовних” виграшів в силі не буває, вчені знали ще з стародавніх часів. Приблизно дві тисячі років тому, давньогрецький механік Герон Олександрійський, сформулював правило, яке стосувалось всіх простих механізмів і в якому стверджувалось: у скільки разів виграєш в силі, у стільки ж разів програєш у відстані. Це правило прийнято називати золотим правилом механіки. По суті, золоте правило механіки є одним з перших формулювань базового закону сучасної науки – закону збереження енергії.

Словник фізичних термінів.

Парою сил, називають систему двох рівних за величиною і протилежних за напрямком сил, які не лежать на одній прямій і спільно діють на одне і те ж тіло.

Момент сили – це фізична величина, яка характеризує обертальну дію сили (пари сил) і яка дорівнює добутку цієї сили F на плече її дії d.

Позначається: М

Визначальне рівняння: М=Fd

Одиниця вимірювання:  [М] = Н∙м,   (ньютон на метр).

Загальна умова рівноваги тіла – це закон в якому стверджується: тіло буде знаходитись в стані загальної механічної рівноваги (v=0; ω=0) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та моментів цих сил дорівнюють нулю. Іншими словами:  якщо {∑F =0; ∑M=0} то {v = 0; ω=0} і навпаки.

Важіль – це прилад (механізм), який представляє собою довге тверде тіло яке має нерухому вісь обертання (одну точку опори) та застосовується для підсилення силової дії.

Золоте правило механіки – це закон, в якому стверджується: в простих механізмах (важелі, блоки, системи важелів та блоків, тощо), у скільки разів виграєш в силі, у стільки ж разів програєш в відстані.

Контрольні запитання.

1.Яку систему сил називають збіжною? Чи може така система надати тілу обертального руху?

2.Чому пару сил не можна замінити рівнодіючою силою?

3.Чому загальна умова рівноваги тіла (∑F=0; ∑M=0), для тіла що знаходиться під дією збіжної системи сил набуває вигляду ∑F=0 , а для тіла що має нерухому вісь обертання ∑М=0.

4.Чому дверні ручки розташовують на краю дверей, а не на їх середині?

5.Яку силу потрібно прикласти в заданих місцях важеля щоб зрівноважити вантаж.

6.Як, за допомогою лінійки і тягарця відомої маси визначити масу іншого, значно важчого тіла?

Вправа 9.

Загальні зауваження. При розв’язуванні задач, діючу на тіло силу тяжіння прикладають в центрі мас цього тіла. В однорідних тілах (ρ=const) постійної площі поперечного перерізу (стержні, труби, балки, тощо), центр мас тіла співпадає з його геометричним центром.

1.На землі лежить балка масою 80кг. Яку силу потрібно прикласти, щоб підняти один кінець цієї балки.

2.Щоб підняти один кінець труби що лежить на землі, потрібно прикласти силу 400Н. Яка маса труби?

3.До кінців важеля довжиною 1м підвішені вантажі масою 6кг і 14кг. Де потрібно встановити опору, щоб вантажі перебували у рівновазі?

4.До кінців стержня масою 20кг і довжиною 1м підвішено вантажі масою 10кг і 40кг. Де потрібно встановити опору щоб стержень був в горизонтальному положенні.

5.Стержень довжиною 1м горизонтально висить на двох динамометрах. При цьому перший знаходиться на відстані 10см від лівого кінця стержня і показує 30Н, а другий – знаходиться на відстані 30см від правого кінця. Яка маса стержня і що показує другий динамометр?

6.Балка масою 100кг під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опори.

7.Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=100H/м, F=300H, α=60º. Вагою балки знехтувати.

 

 

Лекційне заняття №16.

Тема: Рівновага тіла під дією довільної системи сил. Розв’язування задач.

         В загальному випадку умову рівноваги тіла що знаходиться під дією плоскої системи довільних сил, можна записати у вигляді:

.                                              ∑Fx = 0

.                                              ∑Fy = 0

.                                              ∑M = 0

Виходячи з цієї умови та дотримуючись загально прийнятого порядку розв’язку задач статики, розв’яжемо декілька з них.

Задача 1. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=100H/м, F=300H, α=60°, M=400Н·м. Вагою балки знехтувати.

Рішення.

1.Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на балку сили та відстані між ними. Задаємо систему координат. (Розподілене навантаження q=100H/м, замінюємо рівнодіючою силою Q=q·l=100Н/м·3м=300Н).

2. Записуємо систему рівнянь які відповідають умові рівноваги даної балки.

∑Fх = Fcosα – RBx = 0                                   (1)

∑Fу = − Q + RA – Fsinα + RBy = 0                  (2)

∑MB = – Q·6,5 + R6 – Fsinα·4 – M = 0       (3)

Зауваження.  1). Визначаючи момент сили F відносно точки B, доцільно розкладати цю силу на дві складові:  Fx = Fcosα;  Fy = Fsinα.  При цьому:  M(Fx) = 0,  (d=0);   M(Fy) = (Fsinα)4 ,  (d=4м). 2). Ту точку відносно якої визначаються моменти сил, обирається довільно. При цьому зазвичай її обирають таким чином, щоб максимальне число невідомих сил створювали нульові моменти.

3. Розв’язавши систему рівнянь, визначаємо невідомі величини:

Із (1) → RBx = Fcos60° = 300·0,5=150H

Із (3) → RA = [Q·6,5 + Fsin60°·4 + M]/6 = … = 406H

Із (2) → RB= Q – RA + Fsinα = … = 155H.

Відповідь: RBx=150H; RBy=155H; RA= 406H.

Задача 2. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=100H/м, P1=300H, P2=400H. Вагою балки знехтувати.

Зауваження. В науково-технічній практиці, діючі на тіло сили та реакції опор часто позначають по різному. Зважаючи на цей факт, при розв’язуванні задач будемо дотримуватись тих буквених позначок які зазначені на відповідному малюнку.

Рішення.

1.Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на балку сили та відстані між ними. Задаємо систему координат.

2. Записуємо систему рівнянь які відповідають умові рівноваги даної балки.

∑Fх = XA – P2cos30° = 0                                    (1)

∑Fу = YA – P2sin30°− P1 + RB – Q = 0               (2)

∑MA = (P2sin30°)2 + P1·3 – RB·4 + Q·5 = 0       (3)

де Q = q·2 = 200H.

3.Розв’язавши систему рівнянь, визначаємо невідомі величини:

Із (1) → XA =P2cos30° = 400·0,87=348H

Із (3) → RB = [(P2sin30°)·2 + P1·3 + Q·5]/4 = … = 575H

Із (2) → YA = P2sin30° + P1 – RB + Q = … = 125H.

Відповідь: XA=348H; YA=125H; RB= 575H.

Задача 3. Під дією зображеної на малюнку системи сил жорстко закріплена балка знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити наявні в точці закріплення реакції опори. Вагою балки знехтувати.

Зауваження. В загальному випадку реакція жорстко закріпленої опори має три складові: горизонтальну Nx (Rx, XA,…), вертикальну Nу (Rу, YA,…) та протидіючий момент сили М. Однак в умовах нашої задачі, горизонтально діючі сили відсутні і тому горизонтальна складова реакції опори дорівнює нулю.

Рішення.

1.Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на балку сили та відстані між ними. Задаємо систему координат.

2. Записуємо систему рівнянь які відповідають умові рівноваги даної балки.

∑Fу = RA + F – Q = 0                            (1)

∑MA = −MA – F·0,5 + Q·1 – M = 0       (2)

де Q = q·1 = 100кH.

3. Розв’язавши систему рівнянь, визначаємо невідомі величини:

Із (1) → RA = − F + Q = −70+100 =30кH

Із (2) → MA = – F·0,5 + Q·1 – M = … = 15кH·м

Відповідь: RA=30кН ; M=15кН·м.

Задача 4. Труба масою 30кг і довжиною 4м приставлена до стіни під кутом 30° до поверхні стіни. З якою, прикладеною до центру труби горизонтальною силою F потрібно тягнути трубу, щоб відірвати її від стіни? Нижній кінець труби не ковзає.

.             

Дано:                             Аналіз:

m = 30кг

l = 4м                        Малюнок

α = 30°

F = ?

Виконуємо малюнок, на якому вказуємо діючі на трубу сили і задаємо систему координат (вісь Ох направлена вздовж труби). При цьому враховуємо, що в момент відриву труби від вертикальної стіни, труба і стіна перестають взаємодіяти. В таких умовах на трубу діють чотири сили: Fт=mg, F, N, Fтер, при цьому три з них є невідомими. Визначаючи ці сили ми могли б записати три рівняння рівноваги і розв’язавши їх, визначити F, N, Fтер . Однак, за умовою задачі, нас цікавить лише одна величина – сила F. Тому ми запишемо і розв’яжемо лише одне рівняння ∑MO=0 . (в цьому випадку моменти сил NA і Fтер дорівнюють нулю).

∑MO = F·d– Fт·d2 = F(l/2)cos30° – Fт(l/2)sin30° = 0.   Звідси

F = [Fт(l/2)sin30°]/[(l/2)cos30°] = Fтtg30° = mgtg30°.

Розрахунки: F = mgtg30° = 30кг·10м/с2·0,577= 173H .

Відповідь: F = 173H.

Задача 5. Колесо радіусом R і масою m стоїть перед сходинкою висотою h. Яку горизонтальну силу F потрібно прикласти до осі колеса, щоб воно викотилось (піднялось) на сходинку?

Рішення.

Виконуємо відповідний малюнок на якому вказуємо всі діючі на колесо сили. При цьому враховуємо, що в момент відриву колеса від горизонтальної поверхні, його взаємодія з цією поверхнею буде нулевою.

Для визначення невідомої сили F достатньо записати лише одне рівняння ∑MA=0 . Адже відносно точки А силові моменти створюють лише сила тяжіння (Fт) і та зовнішня горизонтальна сила (F) яка і піднімає колесо на сходинку. При цьому плечі цих сил (відповідно АС і АВ) можна визначити із геометричних міркувань (див. мал.): 1) АС = R – h;  2) (АВ)2 + (АС)= R2, або (АС)+ (R-h)2 = R2. Звідси  (АВ)2 = R2 – (R-h)2 = 2Rh – h2, або АВ = (2Rh – h2)1/2.

Враховуючи вище сказане, можна записати

∑МА= F(R – h) – Fт(2Rh-h2)1/2 = 0 .

Звідси  F = [F (2Rh-h2)1/2]/(R-h) = [mg(2Rh-h2)1/2]/(R-h).

Відповідь: F = [mg(2Rh-h2)1/2]/(R-h).

Задача 6. Однорідний куб масою m знаходиться на горизонтальній площині. Якою мінімальною силою можна перекинути цей куб через його нерухоме ребро? Яким має бути при цьому мінімальний коефіцієнт тертя між кубом і площиною?

    

Загальні зауваження.  Ми не одноразово наголошували і будемо наголошувати на тому, що фізика – це не формули, а вміння творчо та логічно мислити. Ми наголошували на тому, що успішність розв’язку задачі, на 50% залежить від того, наскільки уважно ви прочитаєте умову задачі; наскільки точно представите фізичну суть того про що йде мова в цій задачі; наскільки точно виділите те, що в умовах відповідної задачі є головним, а що – другорядним та не суттєвим. І в цьому сенсі, дана задача є показовою. Адже для того щоб її розв’язати ви маєте дійти до усвідомлення цілої низки важливих нюансів, зокрема:

1.Для того, щоб та сила яка перевертає куб мала мінімально можливу величину, вона має бути перпендикулярною до діагоналі того квадрату якій проходить через центр мас відповідного куба і є перпендикулярним до осі його обертання (до нерухомого в процесі обертання ребра куба).

2. В момент відриву куба від горизонтальної поверхні, діючі на нього сила тертя та реакція опори будуть взаємно перпендикулярними і такими, що розподілені вздовж осі обертання куба (лінії нерухомого ребра) та перпендикулярними до цієї осі.

3. Діючі на куб сили (сила тяжіння Fт = mg; реакція опори N; сила тертя Fтер= µN і та зовнішня сила F яка перекидає куб), можна представити як такі, що діють в площині того квадрату, який проходить через центр мас куба і є перпендикулярним до осі його обертання. При цьому, всі ці сили знаходяться на одній прямій – діагоналі відповідного квадрату.

4. В момент відриву куба від горизонтальної поверхні, величини тих обертальних моментів, які створюють сила тяжіння та зовнішня обертальна сила, є гранично великими. І тому, визначаючи величину тієї мінімально необхідної сили що може перекинути куб, потрібно розглядати саме цей момент – момент відриву куба від горизонтальної поверхні.

Зважаючи на вище сказане, рішення даної задачі є наступним.

Дано:                       Аналіз:

m

F=Fmin=?                 Малюнок

μ=μmin=?

Виконуємо відповідний плоский малюнок, на якому вказуємо всі діючі на куб сили. Вводимо систему координат: вісь Ах – горизонтальна, вісь Ау – вертикальна. Записуємо умову рівноваги куба. (для моменту його обертального відриву від горизонтальної площини).

∑Fх = Fcos45° − Fтер = Fcos45° − μN = 0 ;                                   (1)

∑Fу = Fsin45° − Fт = Fsin45° – mg = 0 ;                                        (2)

∑MА = F·l − (Fт sin45°)/(l/2) = F·l − (mgsin45°)/(l/2) = 0 .        (3)

Із  (3) → F = (mgsin45°l)/2l = mgsin45°/2;

із  (1) → µN = Fcos45°  →  µ = mg/4N , де  N =?

із  (2) →  N = Fт – Fsin45° = mg – mg/4 = 3mg/4 = N;

Таким чином  µ = mg/4N = mg/4(3mg/4) = 1/3 .

Відповідь: F = Fmin = mgsin45°/2;  µ = µmin= 1/3 .

 

Вправа 21.

1.Балка масою 100кг під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опори.

2. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=100H/м, F=300H, α=60°. Вагою балки знехтувати.

3. Балка АВ під дією зображеної на малюнку системи сил знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити діючі на балку реакції опор, якщо: q=75H/м, Р=300H, G=200H, M=400H·м. Вагою балки знехтувати.

4. Під дією зображеної на малюнку системи сил жорстко закріплена балка знаходиться в стані механічної рівноваги. Визначити наявні в точці закріплення реакції опори. Вагою балки знехтувати.

5. Однорідна балка лежить на платформі так, що одна четверта її довжини звисає з платформи. До звисаючого краю балки прикладають силу, направлену вертикально вниз. Коли ця сила досягає 2000Н протилежний край балки починає підніматись. Визначити масу балки.

6. Драбина довжиною 4м приставлена до гладенької стіни під кутом 30°. Коефіцієнт тертя між драбиною та підлогою 0,3. На яку відстань виміряну вздовж драбини може піднятись людина, перш ніж драбина почне зсковзувати підлогою.

7. Драбина спирається на вертикальну стіну і горизонтальну підлогу. Коефіцієнт тертя між драбиною і стіною 0,3, а між підлогою і драбиною – 0,4. Визначте той найменший кут нахилу драбини, при якому вона ще може залишатися в рівновазі.

 

 

Лекційне заняття №117.

Тема: Динаміка. Загальні відомості про масу. Принцип відносності. 

         Динаміка – це розділ механіки, в якому вивчають параметри, закономірності та причини стану динамічної рівноваги тіла. Динамічною рівновагою тіла називають такий механічний стан тіла, при якому воно, під дією зовнішніх сил та сили інерції, знаходиться в стані рівноприскореного руху (а=соnst).

Динаміка, це узагальнюючий розділ механіки, в якому ті знання які були отримані при вивченні кінематики та статики, доповнюються новими знаннями і узагальнюються. До числа основних фізичних величин динаміки, а точніше динаміки матеріальної точки, відносяться: маса (m), імпульс (р), енергія (Е), робота (А), потужність (Р) та коефіцієнт корисної дії (η). До числа основних законів динаміки і механіки загалом, відносяться: принцип відносності, перший, другий та третій закони Ньютона, закон збереження енергії та закон збереження імпульсу.

 

         В фізиці нема більш ємкої, більш складної та більш суперечливої величини аніж та, яку називають «маса». На перший погляд, пояснити що характеризує фізична величина яка називається масою, не важко. Якщо ви візьмете кулю великої і малої маси, то неодмінно з’ясуєте, що більш масивна куля сильніше притягується до Землі. Пояснюючи даний факт ви напевно скажете, що велика куля має більшу масу і що тому вона сильніше притягується до Землі. Відповівши таким чином, ви будете праві. Адже маса дійсно характеризує здатність тіла притягуватись до Землі, або в більш загальному сенсі – здатність тіла до гравітаційних взаємодій.

Гравітація  (від лат. gravitas – тяжіння), це універсальна властивість тіла (а точніше, того фізичного об’єкту що має масу), яка полягає в здатності цього тіла до тих взаємодій які описуються законом всесвітнього тяжіння. Кількісною мірою гравітаційних властивостей тіла є його маса. А об’єктивним відображенням того факту, що маса є мірою гравітаційних властивостей тіла, є закон всесвітнього тяжіння (Fгр=Gm1m2/ℓ2) та визначальне рівняння сили тяжіння (Fт=mg).

Висновок 1. Маса є мірою гравітаційних властивостей тіла.

Мал.62. Маса – міра гравітаційних властивостей тіла (Fгр=Gm1m2/r2; Fт=mg).

Тепер розглянемо ті ж кулі в інших обставинах. Припустимо, що кулі великої і малої маси рухаються з однаковими швидкостями. Якщо вас запитають: “Яку кулю зупинити важче?”, то напевно ви скажете що велику, і що це пов’язано з величиною її маси. Відповівши таким чином ви будете абсолютно праві. Адже здатність тіла протидіяти будь якій зміні його швидкості, дійсно напряму залежить від маси цього тіла.

Якщо тіло важко зупинити, важко зрушити з місця і взагалі, важко примусити змінювати свою швидкість, то про таке тіло говорять, що воно має велику інерцію. При цьому мають на увазі, що тіло важко зрушити з місця не тому що воно занурене в пісок чи прибите гвіздками до підлоги, а тому що воно саме по собі має певну інерцію, кількісною мірою якої є маса тіла.

Інерція, це універсальна властивість тіла (а точніше, того фізичного об’єкту що має масу), яка полягає в тому, що відповідне тіло протидіє будь якій зміні його швидкості. Кількісною мірою інерційних властивостей тіла є його маса. А об’єктивним відображенням цього факту, є другий закон Ньютона (a=F/m) та визначальне рівняння сили інерції (Fi = – ma).

Висновок 2. Маса є мірою інерціальних властивостей тіла.

Мал.63. Маса – міра інерціальних властивостей тіла (Fi = – ma).

По суті, інерція і гравітація, це абсолютно різні властивості фізичного об’єкту. Однак дослідження показують, що та маса яка характеризує гравітаційні властивості тіла (гравітаційна маса mгр) і та маса яка характеризує його інерціальні властивості (інерціальна маса mі), за будь яких обставин є чисельно рівними величинами (mгр = mі). І це не теоретичний домисел, а експериментальний факт.

Потрібно зауважити, коли ми стверджуємо, що інерція і гравітація це абсолютно різні властивості фізичного об’єкту, то маємо на увазі факт того, що ці властивості абсолютно не схожі одна на одну. Однак не будемо забувати, що всі ці фізичні об’єкти і всі ці властивості, є складовими частинами єдиного цілого, назва якому Природа. А Природа влаштована таким чином, що в ній навіть ті речі які здаються абсолютно різними, насправді виявляються такими що є різними проявами одного і того ж. І в цьому сенсі гравітація та інерція не є винятком.

Втім, про той зв’язок який існує між гравітацією та інерцією ми поговоримо в тому розділі фізики який називається теорією відносності. Наразі ж зауважимо, що в загальній теорії відносності доводиться: гравітація та інерція – це різні прояви одного і того ж, при цьому гравітаційна та інерціальна маси є еквівалентними. Зауважимо також, що в теорії відносності доводиться: маса є загальною мірою того, що називають енергією.

Коли Альберт Ейнштейн створив теорію відносності, то одним з її найважливіших висновків було твердження про те, що будь яке тіло масою m представляє собою згусток енергії, кількість якої визначається за формулою Е=mс2, де с=3∙108м/с – постійна величина яка дорівнює швидкості світла в вакуумі. По суті це означало, що масу можна вважати мірою кількості енергії і що цю кількість можна вимірювати не лише в джоулях а й в кілограмах.

Зроблений Ейнштейном висновок отримав своє експериментальне підтвердження і сьогодні його справедливість не викликає жодних сумнівів. Енергія Сонця і зірок, енергія ядерних та термоядерних вибухів, енергія атомних електростанцій, – це прямий результат перетворення певної кількості маси у відповідну кількість енергії. І це перетворення відбувається у повній відповідності з формулою Ейнштейна Е=mс2.

Висновок 3.  Маса є мірою енергетичних властивостей тіла.

Мал.64. Маса – міра енергетичних властивостей тіла (Е=mс2).

Про те, що маса є кількісною мірою інерціальних, гравітаційних та енергетичних властивостей фізичних об’єктів, написано практично в кожному довіднику з фізики. Однак, щоб вам не говорили про масу, а кожен з вас знає, маса – це міра кількості речовини в тілі. Адже коли в крамниці ви цікавитесь масою (в побутовій практиці – вагою) товару, то вам нема діла до його інерціальних, гравітаційних чи загально енергетичних властивостей. Вас цікавить кількість певної речовини у відповідному товарі, і ви знаєте, чим більша маса товару, тим більше в ньому відповідної речовини.

Маса є мірою кількості речовини не лише в побуті, а й в науці. Втім, питання про масу, як міру кількості речовини, настільки важливе та складне, що потребує окремої розмови. І така розмова відбудеться в тому розділі, який називається “Молекулярна фізика”  і в тому параграфі який називається “Маса, як міра кількості речовини”. Наразі ж просто констатуємо той факт, що маса є універсальною мірою кількості речовини в тілі, і що це випливає з самого визначення терміну “речовина”. Речовина – це вид матерії, який складається з тих чи інших частинок і має масу спокою.

Висновок 4. Маса є загальною мірою кількості речовини в тілі, виміряну в кілограмах.

Мал.65. Маса – міра кількості речовини в тілі.

Таким чином: Маса – це фізична величина яка є мірою :

1) інерціальних властивостей тіла;

2) гравітаційних властивостей тіла;

3) енергетичних властивостей тіла;

4) кількості речовини в тілі, виміряну в кілограмах.

Позначається:  m

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [m]= кг,    кілограм.

Кілограм – це одиниця вимірювання маси, яка в точності дорівнює масі Міжнародного еталону кілограма. Один кілограм приблизно дорівнює масі одного літра (1дм3) дистильованої води, взятої при температурі 15°С.

 

 

В фізиці існує багато сотень фізичних величин. При цьому практично кожна з них певним чином характеризує одну з властивостей того, що називають Природою. Навіть такі багатогранні та багатоликі величини як сила та енергія, по суті характеризують щось одне: сила – є мірою взаємодії фізичних об’єктів; енергія – є мірою здатності фізичного об’єкту виконати роботу, тобто певну енергозатратну дію. І в цьому сенсі маса є унікальною. Адже вона характеризує не одну, не дві і не три, а цілих чотири, при цьому фундаментальних властивості Природи. По суті, терміном “маса” позначають чотири різні фізичні величини:

1) інерційна маса  mі

2) гравітаційна маса  mгр

3) енергетична маса  mен

4) маса як міра кількості речовини  mк.р..

І потрібно зауважити, що в різних розділах фізики термін “маса” може мати різні значення. Наприклад, в механіці, маса – міра інерціальних властивостей тіла, в теорії гравітації – міра гравітаційних властивостей тіла, в молекулярній фізиці – міра кількості речовини в тілі, а в фізиці елементарних частинок – міра енергетичних властивостей цих частинок.

Факт того, що такі на перший погляд абсолютно різні параметри навколишнього світу як інерція, гравітація, енергія та речовина, характеризуються однією і тією ж фізичною величиною та вимірюються в одних і тих же одиницях, безумовно вказує на те, що Природа – це єдиний цілісний організм, в якому все взаємопов’язано та взаємообумовлено.

Завершуючи розмову про масу, сформулюємо те визначення цієї величини, що є загально прийнятим в механіці.

         Маса (в механіці) – це фізична величина, яка є мірою інерціальних властивостей тіла.

Позначається: m

Визначальне рівняння: нема

Одиниця вимірювання: [m]=кг.

 

В 1630 році, в своїх знаменитих “Діалогах про дві системи світу – Птоломеєву та Копернікову” Галілео Галілей сформулював закон, який лежить в основі сучасної науки і який сьогодні називають принципом відносності або принципом Галілея.

Як відомо, заперечуючи факт обертання Землі навколо Сонця, прибічники середньовічної церкви стверджували: “Якби Земля дійсно рухалась, то ми б фізично відчували цей рух. Відчували б подібно до того, як відчуваємо рух карети, човна чи будь чого іншого”. Відповідаючи на подібні аргументи, Галілей стверджував: “Дійсно, сидячи в кареті, ми безумовно відчуваємо, рухається вона чи не рухається. Відчуваємо тому, що карета їде не по ідеально рівній дорозі, її колеса не ідеально круглі, тягові зусилля коней постійно змінюються, дорога вкрита дрібними камінчиками, ямками, тріщинками, тощо. А це означає, що сидячи в кареті, ми постійно відчуваємо певні поштовхи, тобто різкі, короткотривалі зміни швидкості, які власне і вказують на те, що карета рухається. А от якби мене, вас чи кого завгодно посадити в закриту, ізольовану карету, яка б дійсно рухалась рівномірно, тобто без будь яких змін швидкості, то ні ви, ні я, ні хто завгодно, не змогли б визначити, рухається карета чи стоїть.

Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.

Мал.67. Ніякими експериментами які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна (v=0), чи рівномірно рухається (v=const).

Іноді думають, що в законі, який називається принципом відносності, стверджується що все в цьому світі відносне. Це не правда. Не правда по-перше тому, що не все у Всесвіті відносне. Скажімо, наскільки нам відомо,  абсолютно незмінними є ті співвідношення які називаються законами Природи і які відображають ті зв’язки що існують між об’єктами та явищами Всесвіту. В інерціальних системах відліку абсолютно незмінною є швидкість світлових фотонів. Абсолютно незмінною залишається загальна кількість зосередженого у Всесвіті електричного заряду, мас-енергії, спіну, тощо. По-друге, в законі який називається принципом відносності стверджується те що стверджується, а саме: Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.

Якщо вам потрібні докази того, що принцип відносності є безумовно правильним (достовірним), то ось один з них. Кожен з нас знаходиться в кабіні яка називається планета Земля. Ця кабіна з швидкістю 30км/с=108000км/год обертається навколо Сонця. При цьому, жоден з нас не відчуває того, що Земля мчить з такою шаленою швидкістю. Швидкістю, яка в 60 разів більша за швидкість кулі. І даний факт не є результатом певних особливостей людського організму. Адже в незалежності від наших відчуттів, всі фізичні процеси на Землі відбуваються так, ніби вона знаходиться в стані механічного спокою.

Мал.68. Земля з швидкістю 30км/с обертається навколо Сонця. Чи відчуваєте ви факт цього надшвидкого руху?

Щоправда, Земля рухається не зовсім рівномірно. Адже в процесі обертання навколо Сонця та своєї осі, напрям руху Землі, а отже і тіл на її поверхні постійно змінюється. А це означає, що факт обертального руху Землі можна експериментально зафіксувати, наприклад за допомогою спеціального маятника.

Переоцінити значимість відкритого Галілеєм принципу відносності практично не можливо. Дійсно. Якби в кожній рухомій системі відліку, події відбувались по різному, то описуючи ці події, ми були б змушені досліджувати кожну конкретну ситуацію. І кожну конкретну ситуацію описувати своєю системою законів. При цьому, для кожної системи відліку ми б мали своє рівняння руху, свою умову рівноваги, свої закони Ньютона, свій закон всесвітнього тяжіння, свій закон Гука, свій закон Ома, свій закон електромагнітної індукції і т.д. Ясно, що в такій ситуації, наука про Природу представляла б собою сукупність безкінечно великої кількості експериментальних фактів. Фактів, які б описувались в мільйонах книжок і які не можливо б було представити у вигляді стислої, цілісної системи знань. І якщо така система знань існує, то це тільки тому, що в нерухомій (v=0) та в будь якій рівномірно рухомій (v=const) системах відліку всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності).

Значимість принципу відносності полягає не лише в тому, що він дозволяє створити стислу та цілісну систему знань про Природу, а й в тому, що дозволяє обгрунтовано розповсюдити ці знання на увесь Всесвіт. Дійсно. Чи задумувались ви над тим, чому вчені з такою впевненістю говорять про ті події, які відбуваються в практично недосяжних частинах Всесвіту? Чому вони впевнені в тому, що ті закони які відкривались на Землі, діють і в інших куточках Всесвіту. А можливо там, в інших галактиках, все відбувається по іншому? Можливо там, діють інші закони, існують інші молекули, інші біологічні структури? Хто був в тих далеких світах та перевіряв це?

Відповіді на ці та їм подібні запитання дає принцип відносності. Адже в ньому по суті стверджується: У всіх інерціальних системах відліку, тобто таких системах де виконується закон інерції (перший закон Ньютона) всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково. А це означає, що для з’ясування того, діють чи не діють в певному місці Всесвіту відкриті на Землі закони, фізики, хімії чи будь якої іншої природничої науки, зовсім не обов’язково вирушати в далеку космічну подорож. Достатньо з’ясувати, виконується чи не виконується у відповідному місці перший закон Ньютона (закон інерції). І якщо цей закон виконується, то це автоматично означає що у відповідному куточку Всесвіту всі інші відомі закони Природи гарантовано та безумовно виконуються.

І от ми вдивляємось в безмежні простори Всесвіту, аналізуємо ті події які відбуваються в ньому і бачимо, що у всіх його куточках, всі об’єкти рухаються у повній відповідності з законом інерції. А це означає, що у всіх частинах нашого Всесвіту діють одні і ті ж закони. І що ці закони співпадають з тими що діють на Землі. Не вірити цьому факту, це все рівно ніби не вірити тому, що Земля обертається навколо Сонця та своєї осі. Не вірити лише на тій підставі, що ми не відчуваємо відповідного руху.

Таким чином, коли ми стверджуємо, що принцип відносності є базовим законом сучасної науки, то маємо на увазі факт того, що по-перше, застосування цього принципу дозволяє представити відому інформацію про Природу у вигляді стислої та цілісної системи знань. А по-друге, обгрунтовано довести, що відкриті на Землі закони Природи діють і в інших частинах Всесвіту.

Словник фізичних термінів.

Маса – це фізична величина яка є мірою :

1) інерціальних властивостей тіла;

2) гравітаційних властивостей тіла;

3) енергетичних властивостей тіла;

4) кількості речовини в тілі, виміряну в кілограмах.

Позначається:  m

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [m]= кг  ,  кілограм .

Гравітація, це універсальна властивість тіла (а точніше, того фізичного об’єкту що має масу), яка полягає в здатності цього тіла до тих взаємодій які описуються законом всесвітнього тяжіння. Кількісною мірою гравітаційних властивостей тіла є його маса. А об’єктивним відображенням того факту, що маса є мірою гравітаційних властивостей тіла, є закон всесвітнього тяжіння (Fгр=Gm1m2/ℓ2) та визначальне рівняння сили тяжіння (Fт=mg).

Інерція, це універсальна властивість тіла (а точніше, того фізичного об’єкту що має масу), яка полягає в тому, що відповідне тіло протидіє будь якій зміні його швидкості. Кількісною мірою інерційних властивостей тіла є його маса. А об’єктивним відображенням цього факту, є другий закон Ньютона (a=F/m) та визначальне рівняння сили інерції ( Fi = – ma).

Маса (в механіці) – це фізична величина, яка є мірою інерціальних властивостей тіла.

Позначається:  m

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [m]=кг .

Принцип відносності (перше формулювання) – це закон, в якому стверджується: Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.

Принцип відносності (друге формулювання) – це закон в якому стверджується: У всіх інерціальних системах відліку, тобто таких системах де виконується перший закон Ньютона (закон інерції) всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково.

Інерціальна система відліку – це така система відліку в якій виконується перший закон Ньютона (закон інерції).

Контрольні запитання.

1.Поясніть суть тверджень: а) маса – міра інерції; б) маса – міра гравітації; в) маса – міра енергії; г) маса – міра кількості речовини.

2.Які закони та визначальні рівняння вказують на те, що маса є мірою

а) інерції; б) гравітації; в) енергії?

3.Чому маса не має визначального рівняння?

4.Що стверджували ті, хто заперечував факт обертання Землі навколо Сонця?

5.Чому, сидячи в реальній закритій кабіні (кареті, автомобілі, потязі, тощо) ми практично завжди можемо визначити рухається ця кабіна чи не рухається?

6.Чи відчуваєте ви, що Земля рухається? Чому?

7.Чи є правильним твердження: все у Всесвіті відносне?

8.Яка роль принципу відносності в створенні цілісної системи знань про Природу?

 

Лекційне заняття №18.

Тема: Закони Ньютона – теоретична основа механіки.

В попередньому параграфі ми говорили про те, що теоретичним фундаментом механіки та всієї сучасної науки загалом є принцип відносності, тобто закон, в якому стверджується: Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.

Принцип відносності є базовим законом сучасної науки. Але сам по собі цей принцип ще не є тим законом який пояснює широке коло явищ та дозволяє розв’язувати відповідно широке коло конкретних задач. Цю функцію виконує наукова теорія, тобто цілісна система достовірних знань, яка кількісно описує та пояснює певну групу споріднених явищ.

В 1687 році видатний англійський фізик Ісаак Ньютон (1643-1727) опублікував свої знамениті “Математичні начала натуральної філософії”, в яких виклав основи першої наукової теорії сучасного зразку. Теорії, яку прийнято називати механікою або ньютонівською механікою. В основі цієї теорії лежать три твердження, які називаються законами Ньютона. Сформулюємо ці твердження та проаналізуємо їх.

         Перший закон Ньютона. Будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан.

На перший погляд, даний закон не має суттєвого практичного значення. Його навіть важко записати у вигляді відповідної формули. Однак, насправді, мова йде про надзвичайно важливий, по суті базовий закон не лише механіки, а й всієї сучасної науки. Адже в рамках першого закону Ньютона стисло сформульовано два фундаментальні закони: принцип відносності та закон інерції.

         Дійсно. В першому законі Ньютона стверджується: будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан. По суті це означає, що з фізичної точки зору, стан спокою (v=0) і стан прямолінійного рівномірного руху (v=const), це один і той же механічний стан системи (“цей стан”). Один і той же в тому сенсі, що всі фізичні процеси які відбуваються в кабіні що стоїть і  в кабіні що рівномірно рухається відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності). Іншими словами: v=0   =   v=const, де знак “ = “ вказує на те, що ті фізичні процеси які відбуваються в кабіні яка стоїть і в кабіні яка рівномірно рухається, відбуваються “однаково”.

         З іншого боку, в тому ж першому законі Ньютона  стверджується, що безпричинних змін швидкості руху тіла не буває, і що цією причиною є дія зовнішньої сили (закон інерції). Наприклад, якщо планети Сонячної системи обертається навколо Сонця, тобто рухається таким чином, що напрям їх швидкості постійно змінюється, то у відповідності з першим законом Ньютона така зміна не може бути безпричинною. І як натепер загально відомо, цією причиною є сила гравітаційної взаємодії між планетами та Сонцем.

 

Мал. 70. Безпричинних змін швидкості руху тіла не буває, а цією причиною є дія зовнішньої сили (закон інерції).

Таким чином, в першому законі Ньютона, опосередковано сформульовано два твердження: принцип відносності та закон інерції.

В науці ті системи відліку в яких виконується перший закон Ньютона називаються інерціальними. Визначальною властивістю інерціальних систем відліку є факт того, що в кожній з них всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково. Адже фізична суть принципу відносності в тому й полягає, що у всіх інерціальних системах відліку, тобто таких системах де виконується закон інерції (перший закон Ньютона) всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково. А це означає, що в будь-якій інерціальній системі відліку виконується не лише перший закон Ньютона, а й всі інші відомі закони Природи. Власне цей факт і визначає виняткову практичну значимість першого закону Ньютона. Адже для того щоб з’ясувати виконуються чи не виконується в тому чи іншому місці Всесвіту відкриті на Землі закони фізики, хімії, біології та інших природничих наук, нема потреби вирушати в далеку космічну подорож. Достатньо з’ясувати виконується чи не виконується у відповідному місці перший закон Ньютона. І якщо цей закон виконується то відповідно виконуються і всі інші закони Природи.

І от коли ми бачимо що у всіх найвіддаленіших куточках Всесвіту без-причинних подій не буває, коли ми бачимо, що у повній відповідності з першим законом Ньютона, будь-які зміни швидкості, будь якого космічного об’єкту мають певну силову причину, то робимо обґрунтований висновок про те, що у  всіх куточках Всесвіту діють ті ж закони що і на Землі.

Другий закон Ньютона. Під дією зовнішньої сили F, тіло масою m отримує прискорення   а,    величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі, тобто  →  a = F/m.

Не важко бачити, що другий закон Ньютона, є логічним продовженням першого. Адже крім всього іншого, в першому законі Ньютона стверджується, що причиною зміни швидкості руху тіла, а по суті причиною прискореного руху тіла, є дія зовнішньої сили, тобто стверджується, що сила є причиною прискореного руху тіла: F a. В другому ж законі Ньютона, це твердження формулюється в явному вигляді та конкретизується: сила є причиною прискореного руху тіла, при цьому величина прискорення залежить як від величини діючої сили, так і від маси тіла: F a = F/m.

Мал.71. Під тією сили F, тіло масою m отримує прискорення а, при цьому а=F/m.

Потрібно зауважити, що другий закон Ньютона часто (а в наших підручниках, майже завжди) формулюють так: сила що діє на тіло, дорівнює добутку маси тіла на його прискорення, тобто F = ma. Як би то нам не подобалось, а таке формулювання не є другим законом Ньютона. Формула F = ma є визначальним рівнянням сили, яке в свою чергу є прямим наслідком другого закону Ньютона. Нагадаємо:

Сила – це фізична величина яка є мірою силової взаємодії тіл (фізичних об’єктів) і яка дорівнює добутку маси тіла на величину того прискорення яке воно отримує під дією відповідної сили

Позначається: F

Визначальне рівняння: F = ma

Одиниця вимірювання: [F] = кг·м/с2 = Н,   (ньютон).

Втім, про те як правильно формулюються та математично записуються фізичні закони загалом і другий закон Ньютона зокрема, ми детально поговоримо в наступному параграфі, який так і називається “Про фізичні закони та про те, як математично правильно їх записувати”. Наразі ж просто зауважимо, що фізичний закон є стислим відображенням того причинно-наслідкового зв’язку, що існує між певними проявами Природи. Це означає, що відображаючи той зв’язок який існує між певними проявами Природи, потрібно вказувати на те, що в даному зв’язку є причиною (незалежною величиною), а що наслідком (залежною величиною). Наприклад, другий закон Ньютона наголошує на тому, що причиною прискореного руху тіла є діюча  на нього зовнішня сила і що саме прискорення тіла залежить від діючої на нього зовнішньої сили, а не навпаки. А це означає, що другий закон Ньютона потрібно записувати у вигляді а =F/m (коректніше F a = F/m),  а не у вигляді F = ma, чи m = F/a.

Третій закон Ньютона. Діюча на тіло сила F, завжди породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу F′, тобто F → F′ = – F. Наприклад (мал.72), якщо тіло з певною силою діє на опору, то опора з такою ж силою діє на тіло. Якщо нога футболіста діє на м’яч, то м’яч з такою ж силою діє на ногу футболіста. Якщо Місяць притягується до Землі, то Земля з такою ж силою притягується до Місяця.

Мал.72. Діюча F та протидіюча сили, завжди рівні за величиною, протилежні за напрямком і прикладені до різних тіл.

Говорячи про діючу та протидіючу сили, потрібно зауважити, що ці сили завжди чисельно рівні, однак результат їх дії може бути абсолютно різним. Наприклад, підняте над Землею тіло з певною силою F притягується до Землі, а Земля з такою ж силою F′ притягується до тіла. Однак, якщо для відносно легкого тіла сила F є значною, то для надважкої Землі така ж сила F′ є мізерно малою. Тому в системі Земля – тіло, тіло падає на Землю, а не Земля “підстрибує” до тіла.

Потрібно наголосити ще й на тому, що діюча та протидіюча сили, завжди прикладені до різних тіл. А це означає, що ці сили не можуть забезпечити механічну рівновагу системи діюче-протидіюче тіло. М’яч, в результаті взаємодії з ногою футболіста з певним прискоренням відлітає від ноги. Тіло, в результаті взаємодії з Землею з певним прискоренням падає на підлогу і т.д. І якщо тіло що лежить на столі (мал.73), знаходиться в стані механічної рівноваги, то це не тому що діюча і протидіюча сили зрівноважують одна одну. Адже в системі тіло-опора, на тіло фактично діє лише одна з цих сил – реакція опори (N). Рівновага тіла забезпечується не зрівноваженням діючої та протидіючої сил, а фактом того, що на тіло окрім реакції опори діє ще одна зовнішня сила – сила тяжіння(Fт). При цьому сила тяжіння, не є протидіючою реакції опори. Не є бодай тому, що реакція опори, це результат взаємодії тіла з поверхнею стола (опорою), а сила тяжіння, це результат взаємодії тіла з планетою Земля.

 

Мал.73. Механічна рівновага тіла та опори забезпечується не зрівноваженням діючої та протидіючої сил, а фактом того, що на кожен з цих об’єктів діють дві рівні за величиною і протилежні за напрямком сили.

Загалом, оперуючи тими силами які називаються силою тяжіння, реакцією опори, вагою тіла та силою пружності, потрібно керуватись не особистими уподобаннями, а загально прийнятими визначеннями. Ці ж визначення стверджують. Сила тяжіння (Fт), це та сила з якою тіло притягується до Землі. Реакція опори (N), це та сила з якою опора діє на тіло. Вага тіла (P), це та сила з якою тіло діє на опору. Сила пружності (Fпр), це та сила яка виникає в пружно деформованому тілі і яка протидіє цій деформації. Із визначень ясно, що в системі опора-тіло, на тіло діє сила тяжіння та реакція опори, а на опору – вага тіла та виникаюча в цій опорі сила пружності.

Аналізуючи закони Ньютона, не важко бачити, що це не просто набір правильних тверджень, а струнка система взаємопов’язаних та взаємодоповнюючих законів. Законів, які у своїй сукупності дозволяють пояснити величезне різноманіття механічних явищ. Законів, в яких при ґрунтовному аналізі можна відшукати не лише формулювання принципу відносності та закону інерції, а й приховані формулювання інших законів, зокрема закону збереження механічної енергії та закону збереження імпульсу. Взаємопов’язаність та взаємодоповнюваність законів Ньютона з усією очевидністю випливає з їх наступних математичних формулювань:

.  а)   v=0   =   v=const,

б)     F a

.         Fa = F/m

.       FF = F

Словник фізичних термінів.

Перший закон Ньютона (закон інерції) – це закон, в якому стверджується: Будь-яке тіло, буде знаходитись в стані механічного спокою

(v = 0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v = const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан.

Другий закон Ньютона – це закон, в якому стверджується: Під дією зовнішньої сили F, тіло масою  m отримує прискорення  а ,  величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі, тобто:   F   a = F/m .

Третій закон Ньютона – це закон, в якому стверджується: Діюча на тіло сила F, завжди породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу F′, тобто:  F → F′ = – F .

Контрольні запитання.

1.Яким чином в першому законі Ньютона стисло сформульовано принцип відносності?

2.В чому суть закону інерції?

3.Чому ми говоримо, що другий закон Ньютона є логічним продовженням першого?

4.Чи можуть діюча та протидіюча сили забезпечити механічну рівновагу тіла? Чому?

5.Двоє хлопців тягнуть мотузку в протилежні сторони з силою 150Н кожний. Чи розірветься мотузка, якщо вона витримує навантаження 200Н?

6.Барон Мюнхгаузен стверджував, що витяг себе з болота за волосся. Чи можливо це? Чому?

Вправа 10.

1.Сила 40Н надає тілу прискорення 0,8м/с2. Яка сила надасть цьому ж тілу прискорення 2,0м/с2 ?

2.Снаряд масою 5кг при пострілі набуває швидкості 800м/с. Визначити середню силу тиску порохових зарядів, якщо довжина дула гармати 2м. Рух снаряду вважати рівноприскореним.

3.М’яч масою 400г в процесі удару який триває 0,02с набуває швидкості 15м/с. Яка середня сила удару?

4.Тіло масою 400г рухаючись прямолінійно та маючи деяку початкову швидкість, за 5с під дією сили 6Н набуло швидкості 10м/с. визначити початкову швидкість тіла.

5.На мотузці що витримує натяг 100Н з стану спокою, вертикально вгору піднімають вантаж масою 6кг. На яку максимальну висоту можна підняти цей вантаж за 2с? Рух вантажу є рівноприскореним.

6.З висоти 25м тіло падає протягом 2,5с. Яку частину від сили тяжіння складає середня сила опору повітря?

 

Лекційне заняття №19.

Тема: Імпульс. Закон збереження імпульсу. Реактивний рух. 

         В ньютонівській механіці, величина яка називається кількістю руху, або за сучасною термінологією – імпульсом (від лат. impulsus – удар, поштовх), є однією з найважливіших. Достатньо сказати, що в “Математичних началах натуральної філософії” першою визначеною величиною є кількість матерії (маса), а другою – кількість руху (імпульс).

         Імпульс (кількість руху) – це фізична величина, яка є мірою кількості механічного руху тіла (матеріальної точки) і яка дорівнює добутку маси тіла на вектор його швидкості.

Позначається: р

Визначальне рівняння: p=mv

Одиниця вимірювання: [p]=кг∙м/с,  кілограм-метр на секунду.

Із визначального рівняння р=mv ясно, що імпульс – величина векторна і що напрям вектора імпульсу співпадає з напрямком швидкості руху тіла.

На основі математичного аналізу другого та третього законів Ньютона можна довести: При будь яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість імпульсу цієї системи залишається незмінною тобто зберігається. Іншими словами:  ∑ рдо=∑ рпісля ,   або    ∑ р = соnst .

Вище сформульоване твердження називається законом збереження імпульсу.

Мал.75. Загальна кількість імпульсу системи до та після взаємодії зберігається.

Потрібно зауважити, що закон збереження імпульсу (як власне і всі інші закони збереження) справедливий лише для так званих замкнутих систем. Тобто таких систем в яких силові, імпульсні, енергетичні та інші взаємодії відбуваються лише з членами відповідної системи.

Крім цього, потрібно мати на увазі, що в процесі механічної взаємодії тіл, певна частина їх механічного імпульсу практично неминуче передається атомам та молекулам відповідних тіл, тобто фактично перетворюється на енергію їх теплового (хаотичного) руху. При цьому, не дивлячись на те, що загальна кількість імпульсу всіх елементів системи залишається незмінною, кількість механічного імпульсу системи змінюється (зменшується). Тому в межах механіки, закон збереження імпульсу (∑рдо = ∑рпісля) ми будемо застосовувати лише в тих випадках коли мова йде про короткотривалі взаємодії (удари, поштовхи, вибухи, тощо). Тобто такі взаємодії в процесі яких, тепловими втратами механічного імпульсу можна знехтувати.

Одним з практично важливих проявів закону збереження імпульсу є так званий реактивний рух. З’ясовуючи суть цього руху та його зв’язок з законом збереження імпульсу, розглянемо конкретну задачу.

Задача 1. З корми початково не рухомого човна масою 100кг, на берег зістрибує підліток масою 50кг. Якої швидкості при цьому набуває човен, якщо горизонтальна складова швидкості стрибка підлітка 5м/с? Опором води знехтувати.

Дано:                                 Аналіз:

m1=100кг

m2=50кг                             Малюнок.

v1=v2=0м/с

v2ʹ=5м/с

v1ʹ= ?               Розглянемо імпульсні характеристики тіл системи човен- підліток, до і після події (стрибка підлітка). Виконуємо відповідний малюнок на якому задаємо лінійну систему координат. Оскільки згідно з законом збереження імпульсу  ∑рдо = ∑рпісля, то в умовах нашої задачі можна записати: (m1+m2)0= -m1v1+m2v2,  звідси  v1=m2v2/m1=2,5м/с.

Відповідь: v1= 2,5м/с.

Із аналізу задачі ясно, що коли з початково нерухомого човна в певному напрямку викидати камінці, весла чи що завгодно, то згідно з законом збереження імпульсу, човен з відповідною швидкістю буде рухатись в протилежному напрямку. Подібний рух тіл прийнято називати реактивним рухом. Реактивний рух – це такий механічний рух тіла, поява якого обумовлена відокремленням від цього тіла частини його маси (відштовхуванням цієї частини від базового тіла). Наприклад, рух гумової повітряної кульки (мал76б), обумовлений витіканням з неї струменю повітря, є реактивним. Рух гармати (мал.76а) обумовлений вильотом снаряду з неї, є реактивним. Рух човна (мал.76в), обумовлений викидуванням з нього весел, камінців, м’ячів чи чого завгодно, є реактивним.

    

Мал.76. Якщо рух тіла обумовлений тим, що певна частина його маси відокремлюється (відштовхується) від базового тіла, то цей рух є реактивним.

Найбільш відомими та практично значимими проявами реактивного руху є рух різноманітних реактивних снарядів, реактивних літаків та космічних ракет. Принципова суть цих рухів дуже проста: продукти згорання палива, через спеціальний отвір, який називається соплом, з максимально великою швидкістю та максимально досяжною направленістю, вилітають за межі базового тіла (снаряду, літака, ракети, тощо). При цьому, згідно з законом збереження імпульсу, відповідне тіло отримує певну кількість поступального руху.

Мал.77. Реактивний рух – прямий наслідок закону збереження імпульсу.

Характерною та надзвичайно важливою особливістю реактивного руху є його автономність, яка полягає в тому, що цей рух не потребує силового контакту з навколишнім середовищем. Наприклад, людина рухається тому, що відштовхується від землі. Човен пливе тому, що так чи інакше відштовхується від води. Гвинтокрил (гелікоптер) летить тому, що певним чином відштовхується від повітряного середовища. Якщо ж говорити про реактивний рух, то він не є результатом того, що тіло так чи інакше відштовхується від інших зовнішніх тіл чи навколишнього середовища. Реактивний рух відбувається за рахунок відштовхування однієї частини початково єдиного тіла, від іншої його частини. А це означає, що реактивний рух може відбуватись не лише в тому чи іншому середовищі, а й в пустоті (вакуумі).

На завершення додамо, що в ньютонівській механіці, наряду з тією фізичною величиною яка називається імпульсом (кількістю руху), застосовується ще одна подібна величина, яка називається імпульсом сили.

Імпульс сили – це фізична величина, яка є мірою того силового поштовху який отримує тіло і яка дорівнює добутку вектора діючої на тіло сили на час її дії.

Позначається: FΔt

Визначальне рівняння: FΔt=FΔt

Одиниця вимірювання: [FΔt]=Н∙с,  ньютон-секунда.

Імпульс (кількість руху) та імпульс сили, це споріднені, взаємопов’язані величини, які з різних сторін характеризують частини єдиного цілого: імпульс (mv) – характеризує кількість руху тіла; імпульс сили (FΔt) – характеризує ту рушійну силу, яка призводить до появи цієї кількості руху. При цьому, дослідження показують, що імпульс та імпульс сили, це величини які в рівних кількостях перетворюються одна в одну. Факт цього взаємного перетворення з усією очевидністю відображає ньютонівське формулювання другого закону механіки: якщо тілу надати певний імпульс сили FΔt, то його кількість руху p=mv зміниться на величину наданого імпульсу сили, тобто  FΔt=Δmv   або   FΔt=Δp.

Та не дивлячись на всю схожість і кількісну тотожність імпульсу сили  FΔt та зміни кількості руху Δp=mΔv, мова йде про суттєво різні величини. Адже імпульс сили  FΔt характеризує силову дію на тіло, а зміна кількісті руху (зміна імпульсу) Δp=mΔv, характеризує кінематичні наслідки цієї дії. Втім, потрібно зауважити, що в сучасній науці, та величина яка називається імпульсом сили FΔt, має обмежене  застосування. Бо як би там не було, а імпульс сили певним чином дублює ту величину яку називають імпульсом (кількістю руху).

В механіці, зазвичай, закон збереження імпульсу застосовують в тих випадках, коли мова йде про короткочасні взаємодії тіл (поштовхи, удари вибухи, тощо). При цьому розрізняють дві ідеалізовані різновидності таких взаємодій: абсолютно пружні та абсолютно не пружні удари. Абсолютно пружним ударом називають таку ідеалізовану, короткотривалу механічну взаємодію тіл, яка не супроводжується перетворенням механічної енергії в теплоту і після якої взаємодіючі тіла повністю відновлюючи свою попередню форму відокремлюються одне від одного. Абсолютно не пружним ударом називають таку короткотривалу механічну взаємодію тіл, яка не супроводжується перетворенням механічної енергії в теплоту і після якої взаємодіючі тіла не відновлюючи свою попередню форму рухаються як єдине ціле. Відразу ж зауважимо, що ударами можна вважати будь які короткотривалі взаємодії, наприклад постріли, вибухи, поштовхи, тощо. Навіть процес ходьби чи бігу можна вважати певною послідовністю ударних взаємодій.

Зазвичай при розв’язуванні задач на застосування закону збереження імпульсу, дотримуються наступного порядку:

1.В вибраній системі координат зображають вектори імпульсів всіх взаємодіючих тіл, до та після їх взаємодії.

2.На базі векторної картини імпульсів, записують відповідне рівняння закону збереження імпульсу: ∑ рдо=∑ рпісля . При цьому, якщо векторна картина імпульсів не лінійна, а плоска, то вектори імпульсів розкладають на відповідні проекції і записують систему двох рівнянь:

·                                               ∑ (рдо)х=∑ (рпісля)х

·                                               ∑ (рдо)у=∑( рпісля)у

3.Математично розв’язуючи рівняння закону збереження імпульсу визначають невідомі величини.

Задача2. В платформу з піском що рухається зі швидкістю 2,0м/с влучає та застряє в піску снаряд який рухався назустріч платформі з швидкістю 400м/с. Визначте швидкість платформи після влучання снаряду. Маса платформи 10тон, а маса снаряду 10кг.

Дано:               СІ                     Аналіз

m1 = 10т       10000кг

m2 = 10кг          –                     Малюнок

v1 = 2,0м/с         –

v2 = 400м/с        –

u = ?                          У вибраній системі координат розглядаємо імпульсні характеристики складових системи платформа-снаряд, до та після взаємодії. Записуємо відповідне рівняння закону збереження імпульсу(∑рдо=∑рпісля):

m1v1 – m2v2 = (m1+m2)u. Звідси u = (m1v1 – m2v2)/(m1+m2).

Розрахунки: u = … = 1,6м/с

Відповідь: u = 1,6м/с.

Задача 3. Снаряд вилітає з гармати під кутом 60º до горизонту з початковою швидкістю 800м/с. Визначити початкову швидкість відкату гармати, якщо маса снаряду 10кг, а маса гармати 500кг.

Дано:                            Аналіз:

m=10кг

M=500кг                       Малюнок

u12=0м/с

v2=800м/с

α=60°

v1=?                 У вибраній системі координат, розглянемо імпульсні характеристики тіл системи гармата-снаряд до та після пострілу. Оскільки за умовою задачі нас цікавить швидкість відкату гармати, тобто горизонтальна складова швидкості гармати (v1), то для її визначення закон, збереження імпульсу достатньо записати в проекціях на вісь 0х:

(M+m)u12 = -mv2x+Mv1   де   u12=0м/с ;    v2x=v2cosα.

Звідси        v1 = mv2 cosα/M

Розрахунки:  v1 = … = 8м/с

Відповідь: v1 =8м/с.

Словник фізичних термінів.

Імпульс (кількість руху) – це фізична величина, яка є мірою кількості механічного руху тіла (матеріальної точки) і яка дорівнює добутку маси тіла на вектор його швидкості.

Позначається: р

Визначальне рівняння: p=mv

Одиниця вимірювання: [p]=кг∙м/с,  кілограм-метр на секунду.

Імпульс сили – це фізична величина, яка є мірою того силового поштовху який отримує тіло і яка дорівнює добутку вектора діючої на тіло сили на час її дії.

Позначається: FΔt

Визначальне рівняння: FΔt=FΔt

Одиниця вимірювання: [FΔt]=Н∙с,   ньютон-секунда.

Закон збереження імпульсу – це закон, в якому стверджується: при будь яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість імпульсу цієї системи залишається незмінною тобто зберігається. Іншими словами:   ∑рдо=∑рпісля,   або    ∑р = соnst .

Замкнутою системою називають таку сукупність матеріальних об’єктів, в якій силові, імпульсні, енергетичні та інші взаємодії відбуваються лише між членами цієї сукупності.

Реактивний рух – це такий механічний рух тіла, поява якого обумовлена відокремленням від цього тіла частини його маси (відштовхуванням цієї частини від базового тіла).

Контрольні запитання.

1.Тіло рівномірно рухається по колу. Чи змінюється при цьому його імпульс?

2.Чим схожі і чим відрізняються імпульс сили та імпульс (кількість руху)?

3.Який зв’язок між імпульсом сили та імпульсом (кількістю руху)? Як називають цей зв’язок?

4.Який зв’язок між законом збереження імпульсу та реактивним рухом?

5.Теоретичним наслідком яких законів є закон збереження імпульсу?

6.В чому полягає автономність реактивного руху? Наведіть приклади корисної та шкідливої дії реактивного руху.

Вправа 11.

1.З якою швидкістю має летіти хокейна шайба масою 160г, щоб її імпульс дорівнював імпульсу кулі масою 8г при її польоті з швидкістю 600м/с?

2.Рух матеріальної точки масою 0,5кг описує рівняння x=100-10t+2t2. Визначити імпульс цієї точки через 2с і через 5с від початку відліку часу.

3.Два тіла однакового об’єму, сталеве і свинцеве, рухаються з однаковими швидкостями. Імпульс якого тіла більший і у скільки разів?

4.Матеріальна точка масою m рухається по колу з швидкістю v. На скільки зміниться імпульс цієї точки за чверть періоду; половину періоду; період?

5.Снаряд масою 20кг, що летить з горизонтальною швидкістю 500м/с влучає в платформу з піском загальною масою 10т і застряє в піску. З якою швидкістю почне рухатись платформа?

6.Кулька масою 300г падає вертикально вниз, вдаряється об підлогу зі швидкістю 5м/с і підстрибує на висоту 46см. На скільки змінюється імпульс кульки в процесі удару?7.Мисливець стріляє з рушниці з рухомого човна у напрямку його руху. Яку швидкість мав човен, якщо він зупинився після трьох пострілів? Маса човна разом з мисливцем 150кг, маса заряду 20г, швидкість вильоту заряду 500м/с.

 

Лекційне заняття №20.

Тема: Енергія. Механічна енергія. Закон збереження енергії.

Уявити сучасну науку без величини яку називають енергією (від грец. energeia – дія, діяльність) практично не можливо. Адже саме енергія є тією стержневою фізичною величиною яка об’єднує найрізноманітніші явища Природи в цілісну наукову картину. Сучасне розуміння суті того що називають енергією, це результат тривалого еволюційного розвитку науки, вінцем якого стала теорія відносності. Лише після створення цієї теорії, стало зрозумілим, що енергія є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій і що будь який фізичний об’єкт масою m, представляє собою згусток енергії загальна кількість якої визначається за формулою Е=mс2, де с=3·108м/с=соnst.

Втім, відразу ж зауважимо, що глибинну суть твердження: “енергія – загальна міра всіх видів рухів та взаємодій”, ми будемо розкривати поступово, в процесі вивчення не лише ньютонівської механіки, а й молекулярної фізики, термодинаміки, електродинаміки, оптики, фізики атома та атомного ядра, теорії відносності, космології. При цьому, кожен новий розділ буде збагачувати наші знання про енергію і розкривати все нові і нові її грані та прояви.

Твердження про те, що енергія це загальна міра всіх видів рухів і взаємодій, є загально прийнятою та вичерпною характеристикою того, що називають енергією. Однак воно має той суттєвий недолік, що не дозволяє визначати величину конкретного виду енергії в тій чи іншій конкретній ситуації. А потрібно зауважити, що на практиці говорячи про енергію тіла, мають на увазі не ту загальну енергію що зосереджена в даному тілі і кількість якої визначається за формулою Е=mс2, а певну, зазвичай мізерну частину цієї енергії яка пов’язана з тим чи іншим конкретним явищем. Наприклад, коли ми стверджуємо, що підняте над підлогою тіло має певну енергію, то маємо на увазі не повну енергію цього тіла (Е=mс2), а ту її мізерну частину яка обумовлена взаємодією даного тіла з Землею. Коли ми стверджуємо, що деформована пружина має енергію, то маємо на увазі не повну енергію цієї пружини (Е=mс2), а ту її мізерну частину яка обумовлена взаємодією атомів та молекул пружно деформованого тіла.

По суті, коли ми стверджуємо, що той чи інший об’єкт має певну енергію, то маємо на увазі факт того, що відповідний об’єкт може виконати певну роботу, тобто певну енерго затратну дію. Власне енергія і є мірою здатності фізичного об’єкту виконати роботу. Наприклад, коли ми стверджуємо, що підняте над підлогою тіло (мал.77а) має енергію Е=mgh (де m – маса тіла, h – висота тіла над рівнем підлоги,  g – прискорення сили тяжіння), то це означає, що за певних умов (за умови падіння тіла) буде виконана певна робота: в процесі удару об підлогу, тіло деформується і деформує підлогу; в процесі падіння та удару, тіло, підлога та повітря нагріються; в процесі удару, тіло заб’є гвіздок, створить звукову хвилю, тощо. При цьому, загальна кількість виконаної тілом роботи, становитиме А=mgh. Коли ми стверджуємо, що тіло масою m, рухаючись з швидкістю v, має енергію Е=mv2/2 (мал.77б), то це означає, що за певних умов (за умови зустрічі тіла з перешкодою) буде виконана певна робота. При цьому, загальна кількість цієї роботи становитиме А=mv2/2. Коли ми стверджуємо, що деформована пружина (мал.77в) має енергію Е=kΔl2/2, де k – жорсткість пружини, Δl – її  абсолютна деформація, то це означає, що за певних умов (за умови випрямлення пружини), буде виконана певна робота і загальна кількість цієї роботи становитиме А= kΔl2/2.

 

Мал.77  Коли ми стверджуємо, що певний фізичний об’єкт має певну енергію, то це означає, що цей об’єкт здатний виконати певну роботу (певну енергозатратну дію).

Зважаючи на вище сказане, можна дати наступне визначення:

Енергія – це фізична величина, яка є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій і яка характеризує здатність тіла, частинки або поля виконати роботу.

Позначається: Е

Визначальне рівняння:  1) для загальної кількості енергії:   Е=mс2 ;

.                                             2) для конкретних видів енергії:   різні.

Одиниця вимірювання: [E] = Дж = Н·м = кг·м22,   джоуль.

Джоуль – це одиниця вимірювання енергії та роботи, яка дорівнює тій роботі (тим затратам енергії) яку виконує сила в один ньютон при переміщенні матеріальної точки (тіла) на один метр в напрямку дії сили: Дж=Н·м=кг·м22. Щоб мати уявлення про величину роботи в один джоуль, візьміть тіло масою 102г та підніміть його на висоту один метр. При цьому виконана вами робота, а відповідно і затрачена вами енергія, дорівнюватимуть одному джоулю. Або якщо наприклад, яблуко масою 102гр впаде з висоти 1м, то виконана силою тяжіння робота дорівнюватиме 1Дж.

.           

Мал. 78. Піднімаючи тіло масою 102г з висоту 1м, ви виконуєте роботу 1Дж.

Потрібно зауважити, що енергія невичерпно різноманітна в своїх проявах. Різноманітна в тій же мірі як і самі явища Природи. Наприклад говорять про енергію гравітаційних, електричних, електромагнітних та інших полів. Про енергію механічну, теплову, звукову, світлову, хімічну, біологічну, електричну, магнітну, електромагнітну, ядерну, внутрішню. Про енергію піднятого тіла та енергію пружно деформованого тіла, про енергію нагрітого тіла та енергію тіла що горить, про енергію хімічних реакцій та енергію термоядерного синтезу. І навіть те що не називають енергією, як то температура, кількість теплоти, робота чи маса, фактично характеризує ті чи інші прояви енергії.

Та не дивлячись на все різноманіття енергій, практично будь яку її різновидність можна представити як певну комбінацію двох складових: енергії руху або кінетичної енергії та енергії взаємодії або потенціальної енергії.

Кінетична енергія (енергія руху) – це та енергія, яку має фізичний об’єкт (тіло, частинка або поле) за рахунок того що він рухається і яка дорівнює половині добутку маси об’єкту на квадрат його швидкості.

Позначається: Ек

Визначальне рівняння: Ек=mv2/2

Одиниця вимірювання: [Ек] = кг·м22=Дж.

Якщо той чи інший фізичний об’єкт, будь то камінь, планета, атом чи фотон світла, рухається, то він має певну кінетичну енергію величина якої визначається за формулою Ек=mv2/2. Кінетична енергія є явною, очевидною, активною формою енергії, наявність і величину якої легко встановити. Але окрім цією активної енергії, практично з кожним тілом нерозривно пов’язана певна кількість пасивної, прихованої енергії, яку прийнято називати потенціальною.

Потенціальна енергія (енергія взаємодії) – це та енергія яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він так чи інакше взаємодіяє з іншими об’єктами, або за рахунок тих взаємодій які відбуваються в середині цього об’єкту.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = ?   Потенціальна енергія – це дуже складний вид прихованої енергії, величину якої в загальному         випадку ми не вміємо визначати.

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Твердження про те, що в загальному випадку, визначати величину потенціальної енергії ми не вміємо, означає лише те, що на сьогоднішній день нема тієї універсальної формули, яка б дозволяла визначати потенціальну енергію системи в усьому різноманітті проявів цієї енергії. Однак це зовсім не означає, що ми не вміємо визначати величину потенціальної енергії в тих чи інших конкретних випадках. Наприклад, в механіці вивчають дві різновидності потенціальної енергії:

Потенціальна енергія сили тяжіння (піднятого тіла). Визначальне рівняння: Еп =mgh, де  m – маса тіла,   g – прискорення сили тяжіння,   h – висота на яку піднято тіло.

Потенціальна  енергія сили пружності (пружно деформованого тіла). Визначальне рівняння: Еп=kΔl2/2,  де  k – жорсткість тіла, Δl – абсолютна деформація тіла

.           

Мал.79. Результатом взаємодії яких об’єктів є потенціальна енергія сили тяжіння та сили пружності?

Напевно, енергія не мала б такого фундаментального, загальнонаукового значення, якби не той факт що: при будь яких процесах, що відбуваються в замкнутій (енергоізольованій) системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами:∑Едо = ∑Епісля  або  ∑Е = соnst.

Переоцінити значимість цього факту, який називається законом збереження енергії, практично не можливо. Ілюструючи можливості та значимість закону збереження енергії, наведемо лише один показовий приклад. В 1896 році французький фізик Беккерель експериментально встановив, що уран без будь яких видимих енергетичних причин, постійно випромінює енергію. Це означало, що в цьому явищі, яке назвали радіоактивністю, закон збереження енергії не виконується. Досліджуючи це та інші явища, вчені:

-з’ясували будову атома;

-з’ясували будову атомного ядра;

-створили квантову механіку;

-створили теорію еволюційного Всесвіту;

-створили теорію еволюції зірок;

-зробили та перевірили на практиці багато інших відкриттів;

і зрештою беззаперечно довели, що радіоактивність не є енергетично безпричинною подією. Вони довели, що ядра атомів урану утворюються в надрах надмасивних зірок і що це відбувається з поглинанням величезної кількості енергії. А це означає, що одного разу накопичивши цю енергію, уран поступово, на протязі мільярдів років віддає її. Віддає у повній відповідності з законом збереження енергії.

Якщо ж говорити про закон збереження енергії в механічних процесах, то буде доречним розглянути конкретну ситуацію. Припустимо що тіло масою 1кг знаходиться на висоті 5м. Ясно, що в процесі вільного падіння тіла, величина його потенціальної енергії (Eп=mgh) буде зменшуватись (оскільки h↓ то Еп↓). З іншого боку, в процесі того ж падіння, кінетична енергія тіла (Ек=mv2/2) буде збільшуватись (оскільки v↑ то Ек↑). І не важко довести, що на всьому шляху вільного польоту тіла, загальна кількість його механічної енергії (Е=Епк) залишається незмінною. Дійсно. Виходячи з того, що в процесі вільного падіння, висота тіла над поверхнею землі зменшується за законом h=h− gt2/2, а його швидкість – збільшується за законом v=v0+gt, визначимо параметри падаючого тіла (h, v, Еп, Ек, Е=Епк) через кожні 0,2с польоту. Результати обчислень запишемо у відповідну таблицю.

 

       t (c)              h (м)      v (м/с)   Ек (Дж)       Еп (Дж) Е=Екп(Дж)
      0,0      5,0      0,0    0,0    50,0        50,0
      0,2      4,8      2,0    2,0    48,0        50,0
      0,4      4,2      4,0    8,0    42,0        50,0
      0,6      3,2      6,0   18,0    32,0        50,0
      0,8      1,8      8,0   32,0    18,0        50,0
      1,0      0,0     10,0   50,0      0,0        50,0

Не важко бачити, що в процесі вільного падіння тіла, загальна кількість його механічної енергії залишається незмінною, тобто зберігається.

      

Мал.80.  При будь яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною.

Ви можете заперечити в тому сенсі, що коли тіло впаде, то його кінетична і потенціальна енергії матимуть нулеві значення. Чи не означатиме це, що енергія зникла і що закон збереження енергії не виконується? Ні, не означатиме! Просто в процесі взаємодії з землею (підлогою, поверхнею стола, тощо), та механічна енергія яка спочатку була потенціальною, а потім кінетичною, перетворилась у відповідну кількість внутрішньої енергії, тобто в кінетичну та потенціальну енергію молекул взаємодіючих тіл.

А якщо ви не помітили цього перетворення, то це тільки тому, що енергоємність тіл є надзвичайно великою. Скажімо, для того щоб один літр води нагріти всього на 1°С потрібно витратити 4200Дж енергії. А це означає, що енергія величиною в 50Дж спромоглась би нагріти літр води всього на 0,012°С. Тому не дивно, що спостерігаючи за тими подіями які відбуваються в процесі падіння даного тіла, ви не помітили факту того, що навколишнє повітря, земля і саме тіло дещо нагрілись. Однак, якщо ви дійсно виконаєте необхідні вимірювання, то неодмінно з’ясуєте, що в процесі падіння тіла і в процесі його взаємодії з поверхнею землі, загальна кількість внутрішньої енергії взаємодіючих тіл дійсно збільшилась, і збільшилась рівно на 50Дж.

До речі, якщо в момент падіння тіла, його кінетична енергія становитиме не 50Дж, а скажімо 47Дж, то не поспішайте стверджувати, що закон збереження енергії не працює. Просто в процесі падіння тіла та в результаті його тертя об повітря, частина механічної енергії тіла (а саме 3Дж) перетворилась на відповідну кількість внутрішньої енергії тіла та повітря.

Незліченна кількість експериментальних досліджень та фактів доводять. Енергія не виникає безпричинно і не зникає безслідно. Вона лише перетворюється з одного виду в інший та переходить від одних фізичних обєктів до інших. При цьому, за будь яких перетворень та будь яких переходів загальна кількість енергії залишається незмінною, тобто зберігається.

Словник фізичних термінів.

Енергія – це фізична величина, яка є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій і яка характеризує здатність тіла, частинки або поля виконати роботу.

Позначається:  Е

Визначальне рівняння:  1) для загальної кількості енергії:   Е=mс2 ;

2) для конкретних видів енергії:     різні .

Одиниця вимірювання: [E] = Дж ,  джоуль.

Кінетична енергія (енергія руху) – це та енергія, яку має фізичний об’єкт (тіло, частинка або поле) за рахунок того що він рухається і яка дорівнює половині добутку маси об’єкта на квадрат його швидкості.

Позначається:  Ек

Визначальне рівняння:  Ек=mv2/2 ,

Одиниця вимірювання:  [Ек] =Дж.

Потенціальна енергія (енергія взаємодії) – це та енергія яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він так чи інакше взаємодіяє з іншими об’єктами, або за рахунок тих взаємодій які відбуваються в середині цього об’єкту.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = ?

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Потенціальна енергія сили тяжіння (піднятого тіла) – це та енергія яку має підняте над землею тіло за рахунок його взаємодії з Землею.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = mgh

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Потенціальна енергія сили пружності (деформованого тіла) – це та енергія, яку має пружно деформоване тіло за рахунок тих міжмолекулярних взаємодій які відбуваються всередині цього тіла.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = kΔl2/2

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Закон збереження енергії – це закон, в якому стверджується: при будь яких процесах, що відбуваються в замкнутій (енергоізольованій) системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами: ∑Едо = ∑Епісля  або   ∑Е = соnst.

Контрольні запитання.

1.Як ви розумієте твердження: енергія є мірою здатності фізичного об’єкту виконати роботу?

2.Коли ми стверджуємо, що шматок вугілля має певну енергію, то що це означає? Якою (кінетичною чи потенціальною) є ця енергія?

3.Які різновидності потенціальної енергії вивчають в механіці? Які визначальні рівняння цих величин?

4.Результатом взаємодії яких об’єктів є потенціальна енергія сили тяжіння та сили пружності?

5.Камінь кинули вертикально вгору. Які перетворення енергії відбуваються в процесі його польоту? Чи буде кінетична енергія каменя в момент його вильоту та момент падіння абсолютно однаковою? Чому?

6.Які перетворення енергії відбуваються в зображених на малюнку ситуаціях?

 

 

Вправа 12.

1.Куля масою 8г летить з швидкістю 500м/с. Порівняйте величину кінетичної енергії кулі з величиною тієї загальної енергії згустком якої є ця куля?

2.Під дією вантажу 200кг пружина деформувалась на 5см. Визначте енергію деформованої пружини.

3.Тіло кинули вертикально вгору з швидкістю 20м/с. На якій висоті, його кінетична енергія дорівнюватиме потенціальній?

4.Камінь масою 5кг впав з певної висоти. Визначте кінетичну та потенціальну енергію каменя в середній точці його шляху, якщо він падав 2с.

5.На якій висоті кінетична енергія вільно падаючого тіла дорівнює його потенціальній енергії, якщо на висоті 10м швидкість цього тіла 8м/с ?

6.Нитяний маятник з тілом масою 5кг відхилено на кут 60° від вертикалі. Яка сила натягу нитки при проходженні маятником положення рівноваги.

 

Лекційне заняття №21.

Тема: Імпульсно-енергетичний метод розв’язування задач.

Складність динаміки визначається різноманіттям тих задач які в ній розв’язуються. А що ці задачі можуть бути надзвичайно різноманітними, випливає вже з факту того, що динаміка це той розділ механіки в якому кінематика, статика та власне динаміка, об’єднуються в єдине ціле. Чітко класифікувати задачі динаміки практично не можливо. Тим не менше, можна виділити два базових методи їх розв’язку: силовий та імпульсно-енергетичний.

Суть силового методу полягає в тому, що невідомі величини визначають на основі векторного аналізу діючих на тіло сил та на базі умови його динамічної рівноваги (∑F+Fi=0). При імпульсно-енергетичному методі, невідомі величини визначають на основі аналізу імпульсно-енергетичних параметрів тіл (імпульс, енергія, робота, потужність, к.к.д) та на базі відповідних визначальних рівнянь, закону збереження енергії, та закону збереження імпульсу.

Звичайно, подібна класифікація є досить умовною. Умовною по-перше тому, що в багатьох випадках одну і ту ж задачу можна розв’язати як силовим так і імпульсно-енергетичним методом. А по-друге, рішення багатьох задач передбачає застосування певної комбінації обох методів. Крім цього, в багатьох випадках задачі динаміки є скоріш задачами кінематики аніж власне динаміки. Втім, нема кращого способу розібратися в різноманітті динамічних задач та методах їх рішення, як практичне розв’язування максимально великої їх кількості.

Задача 1.  З якою початковою швидкістю v0 потрібно кинути вниз м’яч з висоти h, щоб він підскочив на вдвічі більшу висоту H=2h? Удар об землю вважати абсолютно пружним.

.                 

Як і безліч інших задач, дану задачу можна розв’язати по різному. Дійсно. З одного боку, цю задачу можна вважати задачею кінематики і розв’язати відповідним кінематичним методом. З іншого боку, цю ж задачу можна і навіть потрібно розв’язувати енергетичним методом. Щоб переконатись в цьому “потрібно”, давайте розв’яжемо задачу обома способами. А висновки ви зробите самі.

Кінематичне рішення.

Дано:                          Аналіз:

h

H=2h                        Малюнок

v0=?

Будемо виходити з того, що та швидкість v0 з якою потрібно кинути м’яч, є результатом вільного падіння тіла з певної додаткової висоти, величина якої H – h = h. Іншими словами, будемо виходити з того, що м’яч вільно падає з висоти H=2h. Намагаючись встановити залежність v0=ƒ(h) опишемо рух тіла на різних його ділянках, зокрема:

1) на ділянці 2h→0:  2h=gt12/2, де t1 – тривалість руху на ділянці 2h0→0;

2) на ділянці h→0:   h=v0t2 + gt22/2, де t2 – тривалість руху на ділянці h0→0.

Оскільки ми маємо систему двох рівнянь з трьома невідомими (t1=?, t2=?, v0=?) то така система не має однозначного рішення. Однак, аналізуючи дану ситуацію можна записати ще два незалежних рівняння:

3) на ділянці 2h→h:  v0= 0 +gt3;

4) t2 + t3 = t1.

Таким чином, аналізуючи дану кінематичну ситуацію ми можемо записати систему чотирьох незалежних рівнянь з чотирма невідомими:

1) 2h=gt12/2;

2) h=v0t2 + gt22/2;

3) v0= gt3;

4) t2 + t3 = t1.

Розв’язуючи систему цих рівнянь можна визначити залежність v0=ƒ(h). Дійсно:

Із  (1)→ t1=2(h/g)1/2;

з  (3)→ t3=v0/g;

з  (4)→  t2=t1-t3.

Підставляючи ці дані в (2) отримаємо:

h = v0(t1-t3) + (g/2)(t1-t3)2 = v0[2(h/g)1/2 – v0/g)] + (g/2)[2(h/g)1/2 – v0/g]2 = 2v0(h/g)1/2 – v02/g + g/2(4h/g – 2(h/g)1/2(v0/g) + v02/g2) = 2v0(h/g)1/2 – v0/g + 2h – 2v0(h/g)1/2 +v02/2g = 2h – v02/g + v02/2g = 2h – v02/2g = h.

Звідси  h = v02/2g,  або    v0 = (2gh)1/2.

Відповідь: v0 = (2gh)1/2.

Енергетичне рішення.

Оскільки абсолютно пружний удар не супроводжується втратами механічної енергії, то можна стверджувати, то згідно з законом збереження енергії, загальна кількість механічної енергії в момент вильоту м’яча Е = mgh + mv02/2, та в момент його максимального підйому (v1=0м/с) Е = mgН + 0 = 2mgh; має бути однаковою. Тобто mgh + mv02/2 = 2mgh.

Звідси v0 = (2gh)1/2.

Відповідь: v0 = (2gh)1/2.

Задача 2. Тіло без тертя зісковзує з похилої площини, яка переходить у так звану «мертву петлю». З якої мінімальної висоти Н має зісковзувати тіло, щоб бути здатним описати «мертву петлю» радіусом R.

Рішення.

Оскільки за умовою задачі, в процесі руху тіла втратами енергії можна знехтувати, то та потенціальна енергія яку має тіло на висоті Н (Еп1=mgH), в нижній точці спуску перетвориться на відповідну кількість кінетичної енергії Ек1п1. При цьому, цієї енергії має вистачити на те, щоб по перше підняти тіло на висоту h=2R, тобто щоб надати тілу потенціальної енергії Еп2=mg2R. А по друге, забезпечити таку швидкість руху тіла в верхній точці петлі, при якій діюча на нього сила тяжіння (Fт=mg), буде зрівноваженою відповідною силою інерції (Fi=maд=mv22/R). А це означає, що у верхній точці петлі, тіло повинно мати певний запас кінетичної енергії Ек2=mv22/2, де v22 визначається із співвідношення mv22/R = mg. Звідси v22=gR. При цьому Ек2=mgR/2

Таким чином, для тієї мінімальної висоти Н, яка за відсутності енергетичних втрат забезпечує виконанням тілом «мертвої петлі», має виконуватись співвідношення mgH = 2mgR + mgR/2. Звідси H = 2R+R/2=2,5R.

Відповідь: H = 2,5R.

Задача 3.  Визначити швидкість вильоту кульки масою m з дула пружинного пістолета при горизонтальному пострілі, якщо жорсткість пружини k, а її деформація Δl. Чи зміниться ця швидкість при вертикальному пострілі?

Дано:                                         Аналіз:

m

k                                           Малюнок

Δl

v= ?

v1=?

Розглянемо енергетичні параметри об’єктів системи кулька-пружина до та після пострілу. Будемо виходити з того, що в процесі пострілу, потенціальна енергія пружно деформованого тіла Епр=kΔl2/2  йде на збільшення кінетичної енергії кульки Ек=mv2/2. При цьому, згідно з законом збереження енергії можна записати:  kΔl2/2 = mv2/2, звідси v = (kΔl2/m)1/2.

При вертикальному розташуванні пістолета, енергія деформованої пружини Епр=kΔl2/2  йде як на збільшення кінетичної енергії кульки Ек=mv12/2, так і на збільшення її потенціальної енергії Еп=mgΔl. При цьому, згідно з законом збереження енергії можна записати: kΔl2/2 = mv12/2 + mgΔl,  або  mv12/2 = kΔl2/2 − mgΔl, звідси v1 = (kΔl2/m – 2gΔl)1/2.

Відповідь: v = (kΔl2/m)1/2; v1 = (kΔl2/m – 2gΔl)1/2.

Задача 4. Куля масою 7г летить в горизонтальному напрямку зі швидкістю 500м/с і влучає в брусок масою 2,0кг який висить на нитці, та застряє в ньому. На яку висоту підніметься брусок після удару кулі? Який відсоток кінетичної енергії кулі перетвориться на теплоту?

Дано:               СІ                                 Аналіз:

m=7г            7·10-3кг

v1=500м/с         –                                 Малюнок

М=2,0кг             –

v2=0м/с              –

h =?

Q/Eк1=?

Керуючись законом збереження імпульсу визначаємо швидкість бруска (v12) після взаємодії з кулею: mv1 + Мv2 = (m + М)v12.   Враховуючи, що v2=0  можна записати  v12=mv1(m1+М).

Виходячи з того, що після взаємодії з кулею, брусок отримав певну кількість кінетичної енергії  Ек=(m+М)v122/2  і що в процесі підйому бруска, ця енергія повністю перетворилась у відповідну кількість потенціальної енергії Еп=(m+М)gh  можна записати:  (m+М)gh = (m+М)v122/2, звідси h=v122/2g. А враховуючи що  v12=m1v1/(m1+m2), отримаємо

h = (1/2g)[mv1/(m+М)]2.

Кількість тієї енергії яка в процесі взаємодії з бруском перетворилась на теплоту, можна визначити як різницю між кінетичною енергією кулі до взаємодії та кінетичною енергією системи брусок-куля після взаємодії, тобто:

Q = mv12/2 – (m+М)v122/2,  або, враховуючи що v122 = mv1/(m+М):

Q = mv1/2 – m2v12/2(m+М) = (mv12/2)[1 – m/(m+М)] = Ek1[1-m/(m+М)].

Таким чином:      Q/Ek1 = 1 – m/(m+М) = [1 – m/(m+М)]100%.

Розрахунки:   h = … = 0,156м = 15,6см

.                        Q/Ek1 = … = 99,65%

Відповідь:   h = 15,6см;    Q/Ek1 = 99,65%.

Задача 5. Дві пружні кулі масами 1кг і 4кг рухаються назустріч одна одній з швидкістю 10м/с кожне. Визначити швидкість куль після їх лобового абсолютно пружного зіткнення.

Дано:                              Аналіз

m1 = 1кг

m2 = 4кг                       Малюнок

v01= v02=10м/с

v1 =?; v2 =?

На основі аналізу імпульсно-енергетичної ситуації, записуємо два рівняння: рівняння закону збереження імпульсу ∑рдо=∑рпісля та рівняння закону збереження енергії ∑Едо = ∑Епісля:

1) v01m1 – v02m2 = -m1v1+m2v2, оскільки v01=v02, то v01(m1 – m2) = -m1v1+m2v2

2) m1v012/2+m2v022/2 = m1v12/2+m2v22/2,  або (v012/2)(m1+m2) = m1v12/2+m2v22/2.

Таким чином, ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими (v1=?, v2=?):

1) v01(m1 – m2) = -m1v1 + m2v2;

2) (v012/2)(m1+m2) = m1v12/2 + m2v22/2.

Загальне математичне рішення подібних систем є досить складним. Тому розв’яжемо цю систему з врахуванням числових значень відомих величин.

З рівняння (1): 10(1–4) =-1v1+4v2, або 4v2–1v1 =-30, випливає що  v1=4v2+30.

Отримане значення v1=4v2+30, підставляємо в рівняння (2):

(102/2)(1+4)=(1/2)(4v2+30)2+(4/2)v22;

250=0,5(16v22 + 240v2 +900) + 2v22;

8v22 + 120v2 + 450 +2v22 = 250;

10v22 + 120v2 + 200 =0;

v22 + 12v2 + 20 = 0.

Розв’язуємо відповідне квадратне рівняння:

v2 = (-12 ± [122 – (4·1·20)]1/2)/2·1 = (-12 ± 8)/2.

Таким чином, ми отримали два рішення:

1) v2 = (-12 + 8)/2 = -2м/с ; v1=4v2+30 = 4(-2) + 30 = 22м/с.

2) v2 = (-12 – 8)/2 = -10м/с ; v1=4v2+30 = 4(-10) + 30 = -10м/с.

Пояснюючи отримані результати, можна сказати наступне. Згідно з умовою задачі, тіла рухаються назустріч одне одному. Однак, записана нами система рівнянь, дає відповіді як на пряму задачу (тіла рухаються назустріч одне одному) так і на зворотню задачу (тіла рухаються в одному напрямку). А це означає, що перша відповідь (v2= −2м/с; v1=22м/с), стосується ситуації коли тіла рухаються назустріч одне одному. При цьому знак « − » вказує на те, що після взаємодії тіло з масою 4кг буде рухатись в напрямку протилежному від того який вказано на малюнку. І це закономірно, адже абсолютно очевидно, що при пружній взаємодії тіл з масами 1кг і 4кг, друге тіло дещо зменшить свою швидкість, але не змінить напрямку свого руху. Власне про це і говорить отриманий нами результат.

Що ж стосується другої відповіді (v2=−10м/с; v1=−10м/с), то вона вказує на те, що після гіпотетичної взаємодії тіл які з однаковими швидкостями (v01= v02=10м/с) рухаються в одному напрямку, величини їх швидкостей та напрямки руху залишаються незмінними.

Відповідь: v1=22м/с; v2= −2м/с. (відносно тих напрямків які зображені на малюнку).

Вправа 13.

1.З якою вертикальною швидкістю потрібно кинути тіло, щоб воно піднялось на висоту 10м? Задачу розв’язати кінематичним та енергетичним методом.

2. В пружинному пістолеті жорсткість пружини 100Н/м. З якою швидкістю вилітатиме з нього кулька масою 3г, якщо пружина стиснута на 10см? На яку максимальну висоту може піднятись ця кулька?

3. Нитяний маятник масою 5кг відхилено на 60° від вертикалі. Яка сила натягу нитки при проходженні маятником положення рівноваги?

4. Тіло масою 1кг рівномірно обертається в вертикальній площині. На скільки сила натягу нитки в нижній точці траєкторії більша аніж у верхній?

5. Тіло масою 0,5кг падає з деякої висоти на плиту масою 1кг укріплену на пружині жорсткістю 1кН/м. Визначте максимальне стиснення пружини, якщо в момент удару тіло мало швидкість 7м/с. Удар вважати непружним.

6. Кулька підвішена на невагомій нерозтяжній нитці довжиною 0,5м. Яку мінімальну швидкість потрібно надати кульці, щоб вона описала коло у вертикальній площині? Опором повітря знехтувати.

7. Невеличке тіло починає зісковзувати з вершини сфери радіусом 60см. На якій висоті від вершини це тіло відірветься від поверхні сфери? Тертям знехтувати.

 

Лекційне заняття №22.

Тема: Робота. Механічна робота. 

В науковій практиці термін “робота” має два значення: робота, як певна енергозатратна подія і робота, як певна фізична величина. Наприклад, коли ми стверджуємо, що піднімаючи стілець учень виконує роботу, то маємо на увазі певну подію. А коли говоримо, що піднімаючи стілець учень виконує роботу величиною 40Дж, то маємо на увазі фізичну величину яка певним чином характеризує виконану роботу.

Потрібно зауважити, що в фізиці загалом і в механіці зокрема не всяка подія і не всяке переміщення тіла супроводжується виконанням роботи. Наприклад, рух Місяця навколо Землі, або Землі навколо Сонця відбувається без виконанням механічної роботи. Адже цей рух відбувається без енергетичних затрат, не супроводжується перетворенням одного виду енергії в інший та передачею цієї енергії від одного тіла до іншого. Звичайно, якщо не враховувати ту відносно мізерну роботу яку спричиняє обертальний рух Місяця і яка полягає в переміщенні певних мас води на Землі.

Загалом, виконання роботи нерозривно пов’язано по-перше з передачею енергії від одного тіла до іншого, а по-друге, з перетворенням цієї енергії з одного виду в інший. Наприклад, в процесі удару молотка по гвіздку, енергія молотка передається гвіздку. При цьому кінетична енергія молотка в процесі виконання роботи перетворюється на теплову енергію об’єктів взаємодії (молоток, гвіздок, дошка). В процесі пострілу, енергія порохових газів передається кулі. При цьому, теплова енергія газів перетворюється на кінетичну енергію кулі. В процесі вільного падіння тіла, гравітаційна енергія Землі передається тілу. При цьому, потенціальна енергія системи Земля-тіло перетворюється в кінетичну енергію тіла.

В подальшому, терміном “робота” ми будемо позначати відповідну фізичну величину. Виходячи з цього дамо лише одне визначення терміну “робота”.

Робота – це фізична величина, яка характеризує затрати енергії на виконання роботи і яка дорівнює цим затратам.

Позначається:  А

Визначальне рівняння:  А=ΔЕ

Одиниця вимірювання:  А=Дж,   джоуль.

Формула А=ΔЕ=Екінц – Епоч, по-перше вказує на універсальний спосіб вимірювання роботи, а по-друге, на факт того, що в процес виконання будь якої роботи нерозривно пов’язаний з затратами енергії.

Формула А=ΔЕ є базовим, визначальним рівнянням роботи. Однак, якщо мова йде про механічну роботу, то її часто визначають за формулою А=Flcosα, де F – усереднена величина тієї сили що виконує роботу, l – величина того переміщення яке відбувається при виконанні роботи, α – кут між напрямком вектора сили (F) та напрямком вектора переміщення (l).

 

Мал.81.  Сила F переміщуючи тіло на відстань l виконує роботу А=Flcosα .

Формула А=Flcosα відображає той факт, що необхідними умовами виконання механічної роботи (А≠0) є: F≠0; l≠0; cosα≠0. При цьому, якщо бодай одна з цих умов не виконується, то не виконується (є нулевою) і відповідна механічна робота. Наприклад, якщо ви штовхаєте шафу, а вона залишається на місці (l=0), то роботу по механічному переміщенню шафи ви не виконуєте. Можливо ви виконуєте якусь іншу роботу, скажімо роботу по деформації стінок шафи або роботу по розігріву своїх м’язів, але роботу по механічному переміщенню шафи ви не виконуєте. Або, наприклад, коли Місяць обертається навколо Землі, то діюча на нього гравітаційна сила не виконує механічної роботи. Не виконує тому, що кут між напрямком дії цієї сили і напрямком руху Місяця становить 90°. А це означає що:

А=Flcos90°= Fl·0=0Дж.

Механічна робота не виконується і в тому випадку, коли тіло не зустрічаючи жодного опору з боку зовнішніх сил рухається прямолінійно-рівномірно (за інерцією). Звичайно, таке тіло має певний запас кінетичної енергії. Однак в процесі рівномірного руху ця енергія не змінюється і не передається іншим тілам, а отже і не призводить до виконання тієї чи іншої роботи. Лише в тому випадку коли рухоме тіло відчує протидію зовнішніх сил, наприклад сили тертя чи сили пружності зустрічної перешкоди, воно виконає певну роботу.

Формула А=Flcosα, а точніше А=(Fcosα)l, вказує ще й на те, що величина виконаної механічної роботи, фактично залежить не від величини діючої на тіло сили F, а від величини проекції цієї сили на напрям переміщення тіла (Fcosα). Наприклад, якщо людина з силою F тягне санчата (мал.82) то роботу по переміщенню санчат фактично виконує лише та частина сили яка дорівнює проекції цієї сили на напрям переміщення, тобто сила F1=Fcosα. При цьому: А=F1l=(Fcosα)l. Втім, вертикальна складова сили F також опосередковано впливає на величину виконаної роботи. Адже від неї залежить величина реакції опори, а отже і тієї сили тертя що протидіє переміщенню санчат.

 

Мал.82.   Роботу по переміщенню санчат та возу фактично виконує лише певна частина діючої на них сили, а саме  F1=Fcosα .

Потрібно зауважити, що робота однієї і тієї ж сили може бути як додатною, тобто такою що сприяє переміщенню тіла, так і від’ємною, тобто такою що протидіє цьому переміщенню. Наприклад, коли ви відпускаєте яблуко і воно під дією сили тяжіння падає на землю, то сила тяжіння виконує додатню роботу (сприяє переміщенню яблука). Дійсно, для такої ситуації α=0°, cos0°=1 і тому A=mghcos0°=mgh. Якщо ж ви піднімаєте яблуко, то сила тяжіння протидіє переміщенню яблука і тому виконує від’ємну роботу. Дійсно, для такої ситуації α=180°, cos180°= −1 і тому A=mghcos180°= −mgh.

Звернемо увагу і на те, що в формулі A=Flcosα символом F позначають середнє значення діючої на тіло сили (середнє на ділянці переміщення l). Тому, якщо наприклад, на ділянці виконання роботи, величина діючої на тіло сили лінійним чином змінюється від F1 до F2, то визначаючи виконану роботу, в якості діючої на тіло сили потрібно обирати F=(F1+F2)/2.

Якщо ж на ділянці виконання роботи, величина діючої на тіло сили змінюється складним чином, наприклад так як це показано на мал.83, то в цьому випадку визначаючи величину роботи, відповідну ділянку (l) розбивають на певну кількість дрібних фрагментів (l=l1+l2+ …+ln). Фрагментів, для кожного з яких діючу на тіло силу можна вважати усереднено незмінною. При цьому величина загальної роботи визначається як сума окремих робіт виконаних на всіх послідовних фрагментах ділянки ?:

A=A1+A2+ …+An .

Втім, величину загальної роботи можна визначити і як площу тієї фігури що обмежена кривою F=ƒ(l), віссю переміщення l та тими вертикальними відрізками які проходять через початкову та кінцеву точки ділянки переміщення (lп ; lк)

 

Мал.83.   Роботу змінної сили F=ƒ(l) можна визначити як площу тієї фігури яка обмежена графіком F=ƒ(l), віссю переміщення l та вертикальними відрізками що проходять через точки lп і lк .

На перший погляд, формули А=ΔЕ і А=Flcosα є абсолютно різними. Насправді ж мова йде про споріднені і в певному сенсі тотожні формули. Різниця між ними лише в тому, що перша (А=ΔЕ) дозволяє визначати роботу енергетичним методом, а друга (А=Flcosα) – силовим. Ілюструючи та перевіряючи фізичну тотожність формул А=ΔЕ і А=Flcosα, розглянемо декілька конкретних задач.

         Задача 1. Під дією сили тяжіння тіло масою m падає з висоти h на землю. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

Дано:                      Аналіз:

m

h                        Малюнок

g

А=?               Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи (в процесі падіння тіла) величина потенціальної енергії тіла змінилась від Еп=mgh  до Еп=0, то

А=ΔЕ=0-mgh = −mgh, де знак  “ – “ вказує на те, що в процесі виконання роботи потенціальна енергія тіла зменшилась.

Відповідь: А=mgh.

Силове рішення.

Виходячи з того що дану роботу виконує постійна за величиною сила тяжіння F=mg, та враховуючи що напрям цієї сили співпадає з напрямком переміщення тіла (α=0°; соs0°=1) можна записати: А=Flcosα=mgh.

Відповідь: A=mgh.

Задача 2. Горизонтально розташована і деформована на величину Δl пружина жорсткістю k, штовхає тіло. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

Дано:                              Аналіз:

Δl

k                                 Малюнок

А=?

Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи, величина потенціальної енергії пружини змінилась від Еп=kΔl2/2  до  Еп=0,  то А=ΔЕ=0 − kΔl2/2= − kΔl2/2, де знак “ – “ вказує на те, що в процесі виконання роботи, величина потенціальної енергії пружини зменшилась.

Відповідь:  А= kΔl2/2 .

Силове рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи величина діючої на тіло сили пружності лінійним чином змінюється від максимального значення (F=k??) до нуля (F=0), то усереднена величина цієї сили становитиме Fc=kΔl/2. А враховуючи що напрям сили пружності співпадає з напрямком переміщення (α=0°; соs0°=1), можна записати: A=Fclcosα=(kΔl/2)Δl=kΔl2/2.

Відповідь:   A=kΔl2/2 .

Задача 3.  Тіло масою m, рухається з горизонтальною швидкістю v . При взаємодії з горизонтально розташованою пружиною тіло деформує її і зупиняється. Визначити величину виконаної при цьому механічної роботи.

Дано:                        Аналіз:

m

v                           Малюнок

А=?

Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи величина кінетичної енергії тіла змінюється від Ек=mv2/2  до Ек=0, то А=ΔЕ=0 – mv2/2 = −mv2/2 ,

де знак “ – “ вказує на те, що в процесі виконання роботи, величина кінетичної енергії тіла зменшилась.

Відповідь:  А=mv2/2 .

Силове рішення.

По суті, тією силою яка виконує роботу по деформації пружини є сила інерції, тобто та сила поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і величина якої визначається за формулою Fi=ma.

Величину того прискорення з яким рухається тіло в процесі деформації пружини, можна визначити із кінематичних міркувань: Δl=(vk2-v02)/2a= − v02/2a=v2/2a;  звідси  a= − v2/2Δl, де знак “ – “ вказує на те, що рух тіла є рівносповільненим.

Враховуючи, що напрям тієї сили яка виконує роботу (сили інерції) співпадає з напрямком деформації пружини, тобто що α=0°; соs0°=1, можна записати:  A=Flcosα=m(v2/2Δl)Δl=mv2/2.

Відповідь:  A=mv2/2.

Висновок.  Таким чином, визначаючи величину виконаної механічної роботи, практично з однаковим успіхом можна застосовувати як формулу А=ΔЕ так і формулу А=Flcosα. Однак потрібно мати на увазі, що в формулі А=Flcosα  знак результату вказує на те яку роботу (додатню чи від’ємну) виконує відповідна сила. В формулі ж А=ΔЕ, знак результату говорить про те, як змінюється (збільшується чи зменшується) відповідна енергія в процесі виконання роботи.

На завершення додамо, що робота та енергія, це дві споріднені величини. Ця спорідненість з усією очевидністю випливає з визначальних рівнянь цих величин: енергія – характеризує здатність виконати роботу; робота – характеризує затрати енергії на виконання роботи.

Якщо ж говорити про ті відмінності які існують між роботою та енергією, то основна з них полягає в тому, що робота характеризує лише ту частину енергії яка йде на виконання певної конкретної дії (певної роботи). І в цьому сенсі енергія є більш загальною та ємкою величиною. Крім цього, робота характеризує дію яка вже виконана або буде виконана. Енергія ж характеризує саму здатність виконати роботу, не вказуючи при цьому на те, коли і як ця здатність буде реалізована.

Словник фізичних термінів.

Робота – це фізична величина, яка характеризує затрати енергії на виконання роботи і яка дорівнює цим затратам.

Позначається:  А

Визначальне рівняння:  А=ΔЕ

Одиниця вимірювання:  А=Дж,   джоуль.

Контрольні запитання.

1.Дайте визначення одиниці вимірювання роботи – джоулю.

2. Які енергетичні перетворення відбуваються в процесі: а) вільного падіння тіла; б) стиснення пружини; в) непружного удару тіла.

3. Наведіть приклади того коли процес переміщення тіла не супроводжується виконанням механічної роботи.

4. В якому випадку робота сили є додатною, а в якому від’ємною?

5. Як визначають роботу змінної сили?

6. Тіло підкинули вертикально вгору і піймали в тій же точці. Яку загальну роботу виконала при цьому сила тяжіння.

7. Чим схожі і чим відрізняються робота та енергія?

Вправа 14.

1.Визначити роботу сил тертя, якщо автомобіль масою 2т переміщується горизонтальною дорогою на 500м. Коефіцієнт тертя 0,02

2. Яку роботу потрібно виконати, щоб змусити автомобіль масою 3т збільшити свою швидкість від 0 до 36км/год?

3. Вантаж масою 50кг вільно падає протягом 3с. Яку роботу виконує при цьому сила тяжіння?

4. Тіло масою 2кг падає з висоти 10м, при цьому в момент падіння на землю його швидкість становить 11м/с. Визначити роботу сили опору повітря.

5. Тіло масою m з постійною швидкістю піднімають похилою площиною на висоту h. Визначити роботу сили тяги, роботу сили тяжіння, роботу сили тертя і роботу реакції опори. Коефіцієнт тертя ?, кут нахилу площини до горизонту ?.

6. Порівняйте роботи сили тяжіння при вільному падінні тіла за першу і другу половини часу падіння.

 

Лекційне заняття №23.

Тема: Потужність. Коефіцієнт корисної дії. Розв’язування задач.

До числа основних характеристик будь якого приладу відносяться потужність та коефіцієнт корисної дії (к.к.д.).

Потужність – це фізична величина, яка характеризує роботу виконану за одиницю часу і яка дорівнює цій роботі (роботі виконаній за одиницю часу).

Позначається:  Р

Визначальне рівняння:  Р=А/t

Одиниця вимірювання:   [Р]=Дж/с=Вт,  ват.

Ват – це одиниця вимірювання потужності, яка дорівнює такій потужності при якій за одну секунду виконується робота в один джоуль. Скажімо, якщо ви візьмете в руку вантаж масою 102г то відчуєте силу в один ньютон. Якщо цей вантаж ви піднімете на один метр – то виконаєте роботу в один джоуль. А якщо цю роботу ви виконаєте за одну секунду – то розвинута вами середня потужність становитиме один ват.

Одиниця потужності (ват) названа на честь англійського винахідника Джеймса Ватта  (1736-1819), який в 1776 році створив перший автоматизований тепловий двигун (парову машину). До речі, саме Ватт в якості одиниці вимірювання потужності запропонував кінську силу – одиницю, яка і на сьогоднішній день застосовується як позасистемна міра потужності теплових двигунів та інших приладів. В перерахунку на мову сучасних одиниць 1к.с.=735,5Вт.

 

Формула Р=А/t є базовим визначальним рівнянням потужності. Однак, якщо мова йде про потужність тих приладів що виконують механічну роботу (А=Flcosα), то для них формула потужності набуває вигляду:

Р=А/t=(Flcosα)/t=Fvcosα.  Тобто Р=Fvcosα,

де F – усереднене значення тієї сили що виконує роботу;

v – швидкість того тіла що рухається під дією сили F;

α – кут між напрямком дії сили та напрямком руху тіла.

Зазвичай α=0° і тому Р=Fv.

Таким чином, механічна потужність приладу, наприклад автомобіля, визначається добутком тієї тягової сили що змушує прилад рухатись на швидкість його руху. Знаючи даний факт, не важко збагнути, як це так виходить, що великий трактор і легковий автомобіль мають однакову потужність. Правильно, трактор – сильний але повільний, натомість легковик – слабкий але швидкий. Втім, той же трактор чи той же автомобіль, маючи один і той же двигун, на різних передачах можуть мати дуже різну величину як сили так і швидкості. Скажімо перша передача, забезпечує максимальну силову тягу при мінімальній швидкості руху. Четверта ж передача навпаки, забезпечує максимальну швидкість руху при мінімальній тяговій силі.

В процесі виконання роботи, в будь якому механічному, електричному, тепловому чи іншому приладі, частина наданої йому енергії неминуче і безповоротно втрачається. Характеризуючи ці втрати, або, якщо хочете, характеризуючи ефективність використання енергії в приладі, говорять про його коефіцієнт корисної дії (к.к.д.).

Коефіцієнт корисної дії (к.к.д) – це фізична величина, яка характеризує ефективність використання енергії в тому чи іншому приладі і яка дорівнює відношенню тієї енергії що йде на виконання корисної роботи (Екоркор), до загальної кількості наданої приладу енергії (Езагзаг).

Позначається: η

Визначальне рівняння:  η=(Екорзаг)100% ,  або  η=(Акорзаг)100%

Одиниця вимірювання:  [η] = % ,    відсотки.

Зважаючи на те, що за визначенням 1%=0,01, можна стверджувати 75%=0,75. Іншими словами, формули η=(Акорзаг)100%  і  η=Акорзаг, а також твердження “ к.к.д приладу 75% “ і “ к.к.д приладу 0,75 “ є тотожними. Твердження про те, що к.к.д приладу становить75% означає що 75% наданої приладу енергії (тобто 75Дж із 100Дж) йде на виконання корисної роботи, а решта, тобто 25%  – на ті чи інші енергетичні втрати. Оскільки в процесі виконання будь якої корисної роботи неминучі теплові втрати енергії, то к.к.д  будь якого реального приладу завжди менший за 100%.

Потрібно зауважити, що певний коефіцієнт корисної дії мають не лише двигуни, генератори, автомобілі та інші складні прилади які власне і виконують роботу, а й прості механізми, які самі по собі роботу не виконують, а являються лише певними посередниками при її виконанні (важелі, блоки, похилі площини, тощо).

Задача.   Визначити к.к.д похилої площини, за умови що коефіцієнт тертя при рівномірному русі по ній 0,2. Кут нахилу площини до горизонту 30°.

Дано:                        Аналіз:

α=30°

μ=0,2                      Малюнок

η= ?

За визначенням  η=(Акорзаг)100%. На основі аналізу тих сил що діють на тіло при його рівномірному русі (підйомі) заданою похилою площиною, визначаємо величини загальної та корисної робіт.

Будемо виходити з того, що робота тієї сили яка тягне тіло вгору (сила тяги Fтяг) і є тією загальною роботою яка виконується при переміщенні тіла похилою площиною, тобто:  Азаг=Fтягl, де l – переміщення тіла, величина якого є невідомою. Однак, будемо сподіватися на те, що при застосуванні формули η=Акорзаг, величина l математично скоротиться.

Із аналізу векторної картини діючих на тіло сил, запишемо умову механічної рівноваги тіла в проекціях на осі системи координат, та визначимо величину Fтяг.

∑Fx = Fтяг − Fтер − Fтsinα = 0

∑Fy = N – Fтcosα = 0

Fтяг= Fтер + Fтsinα = μN + mgsinα = μmgcosα + mgsinα = mg(μcosα + sinα).

Таким чином Азаг =Fтягl = mgl(μcosα + sin).

Величину корисної роботи можна визначити як різницю між тією роботою яку виконує сила тяги (Азаг) та тією роботою яку виконує сила тертя (Атер) – сила тертя протидіє переміщенню тіла і тому виконує від’ємну роботу:

Акор = Азаг – Атер = Fтягl – Fтерl = (Fтер + Fт – Fтер)l = lFтsinα = mglsinα.

Таким чином: η = (Акорзаг)100% = (mglsinα100%)/mgl(μcosα+sinα).

Звідси:  η = [sinα/(μcosα+sinα)]100%.

Розрахунки:  η = … = 74%.

Відповідь:  η = 74%

 

         Загальні зауваження.  Рішення тих задач в яких так чи інакше фігурує коефіцієнт корисної дії, практично завжди починається з визначального рівняння к.к.д тобто з формули η=(Акорзаг)100%. При цьому в подальшому дотримуються наступної послідовності дій.

1.На основі аналізу умов конкретної задачі визначаються з тим, яка робота в цих умовах є корисною (Акор), а яка затраченою, загальною (Азатр).

2.На основі аналізу умов задачі, виражають Акор та Азатр через відомі величини та ту величину яку треба зайти:

Акор = ….

Азатр = ….

3.Підставляють отримані результати в базову формулу: η=(Акорзаг)100% = …

4.Із отриманої формули визначають невідому величину.

Задача 1.  Насос, двигун якого розвиває потужність 5кВт, за 8хв піднімає певний об’єм води на висоту 6м. Визначте цей об’єм, якщо к.к.д установки 40%.

Дано:            СІ                           Аналіз:

P=5кВт      5000Вт       За визначенням ? = (Акорзаг)100%.

t= 8хв           480с       За умовами даної задачі, корисною є та робота що

h= 6м               –           йде на піднімання води на висоту h. Цю роботу можна

η=40%             –           визначити за формулою Акор=mgh=ρVgh ,

V=?                              де ρ=1·103кг/м3 – густина води; g=9,8м/с2 – прискорення

вільного падіння. Оскільки корисну роботу виконує двигун насосу потужність якого Р, то величину загальної роботи, можна визначити за формулою Азаг=Рt.

Таким чином η=(Акорзаг)100% = (ρVgh/Pt)100%.

Звідси V = (ηPt)/(ρgh100%).

Розрахунки:  V = … = 16,3м3 .

Відповідь:  V = 16,3м3 .

Задача 2.  Електровоз рухаючись з швидкістю 54км/год споживає потужність 600Вт. Визначити силу тяги електровоза, якщо його к.к.д 75%.

Дано:                    СІ                        Аналіз:

v=54км/год       15м/с            За визначенням   η = (Акорзаг)100% .

P=600кВт       6·105Вт        Із аналізу умови задачі ясно, що корисною

η=75%                  –              роботою є та механічна робота яку виконує

Fтяг=?                                    сила тяги електровозу і яку можна визначити

.                                             За формулою    Акор=Fтягl .

Оскільки, величина тієї загальної потужності яку споживає електровоз визначається за формулою Р=Азаг/t  то Азаг= Рt .

Таким чином  η = (Акорзаг)100% =(Fтягl100%)/Pt .

Враховуючи що при рівномірному русі електровоза l/t=v , можна записати

η=(Fтягv100%)/P ,  звідси   Fтяг=ηР/v100%

Розрахунки:   Fтяг = … =30·103Н=30кН.

Відповідь:     Fтяг = 30кН .

Задача 3.  Ящик з цвяхами, маса якого 54кг піднімають за допомогою рухомого блока, діючи на мотузку з силою 360Н. Визначити к.к.д установки.

.               

Дано:                           Аналіз:

m=54кг

F=360Н                     Малюнок

η=?

За визначенням η = (Акорзаг)100%.

Із аналізу умови задачі ясно, що корисною є та робота яка йде на піднімання вантажу. Цю роботу можна визначити за формулою Акор=mgh.

Оскільки загальну роботу виконує прикладена до мотузки сила F, та зважаючи на те що для переміщення рухомого блоку на висоту h переміщення мотузки має становити l=2h, можна записати: A = Fl = F2h.

Таким чином  η = (Акорзаг)100% =(mgh100%)/2Fh.

Звідси  η = (mg100%)/2F .

Розрахунки:  η = … = 73,5% .

Відповідь:  η = 73,5%.

Словник фізичних термінів.

Потужність – це фізична величина, яка характеризує роботу виконану за одиницю часу і яка дорівнює цій роботі (роботі виконаній за одиницю часу).

Позначається:  Р

Визначальне рівняння:  Р=А/t

Одиниця вимірювання:   [Р]=Дж/с=Вт,  ват.

Коефіцієнт корисної дії (к.к.д) – це фізична величина, яка характеризує ефективність використання енергії в тому чи іншому приладі і яка дорівнює відношенню тієї енергії що йде на виконання корисної роботи (Екоркор), до загальної кількості наданої приладу енергії (Езагзаг).

Позначається: η

Визначальне рівняння:  η=(Екорзаг)100% ,  або   η=(Акорзаг)100%

Одиниця вимірювання:  [η] = % ,    відсотки.

Контрольні запитання.

1.Великою чи малою є потужність в один ват?

2. Тягове зусилля гусеничного трактора майже в 10 разів більше за тягове зусилля легкового автомобіля. При цьому потужності їх двигунів практично однакові. Як це пояснити?

3. Як ви розумієте твердження: “к.к.д – характеризує ефективність використання енергії в приладі”?

4. Чи може к.к.д приладу дорівнювати 100% ?

5. Чи можна створити “вічний двигун”? Чому?

Вправа 15.

1.Яку середню потужність розвиває людина, яка піднімає відро води масою 12кг з колодязя глибиною 20м за 15с?

2. Визначте потужність насосу який щохвилини піднімає 1300 літрів води на висоту 20м.

3. Двигун насосу, розвиваючи певну потужність піднімає 200м3 води на висоту 10м за 5хв. К.к.д двигуна 40%. Визначте потужність двигуна.

4. Вантаж масою 150кг за допомогою важеля піднімають на висоту 0,2м. При цьому, до довшого плеча важеля прикладають силу 600Н, під дією якої кінець цього плеча опускається на 0,6м. Визначте к.к.д важеля.

5.Визначте к.к.д похилої площини довжиною 2м і висотою 0,5м, якщо коефіцієнт тертя 0,2.

6.Відро з піском масою 24кг піднімають за допомогою нерухомого блока, діючи на мотузку з силою 260Н. Визначити к.к.д процесу.

7.Висота похилої площини 1,2м а її довжина 10,8м. Для рівномірного підйому по цій площині вантажу масою 180кг знадобилась сила 250Н. Визначити к.к.д похилої площини.

8.Вантаж масою 20кг за допомогою перекинутої через нерухомий блок мотузки піднімають на висоту 8м. Визначити величину тягової сили, величину загальної та корисної роботи, силу тиску на вісь блоку. К.к.д процесу 80%.

 

Лекційне заняття №24.

Тема: Загальні відомості про коливання, та ті фізичні величини, що їх характеризують.

В фізиці, процеси які так чи інакше повторюються називаються коливаннями. Коливається, наприклад, збурена поверхня води. В поривах вітру коливаються гілки дерев та листя на них. Під дією потягів та машин що рухаються, коливаються мости і дороги. Вібрують струни музичних інструментів та мембрани динаміків. Коливальним чином рухаються маятники, стрілки та шестерні механічних годинників, поршні, клапани і колінчасті вали автомобільних двигунів. Періодично змінюються дні і ночі, пори року та їм відповідні життєві цикли рослин і тварин. Ритмічно б’ється серце і працюють легені вашого організму. Певним чином коливаються атоми, молекули і ті частинки з яких вони складаються. Звук який ви чуєте і світло яке бачите, це також результат певних коливальних процесів. Не буде перебільшенням сказати, що майже все що відбувається в Природі, так чи інакше пов’язано з тими чи іншими коливальними процесами.

За різними класифікаційними ознаками коливання поділяються на:

– періодичні та неперіодичні;

– вільні та вимушені;

– згасаючі та незгасаючі;

– гармонічні та негармонічні;

– механічні, електричні, електромагнітні та інші.

1.За точністю і ритмічністю повторювань, коливання поділяються на періодичні та неперіодичні. Періодичними називають такі коливання, які через певні, однакові проміжки часу вточності повторюються. Наприклад, періодично коливається маятник годинника, його рухомі шестерні, секундна, хвилинна та годинникова стрілки. Періодично обертаються елементи колеса при його рівномірно-обертальному русі (ω=const). За умови рівномірної роботи, періодично коливаються деталі двигуна внутрішнього згорання (поршень, колінвал, шатун, клапани, …). Періодичним є рух Землі навколо своєї осі та навколо Сонця.

Неперіодичними називають такі коливання, які повторюються через різні проміжки часу, або повторюються частково. Неперіодично, наприклад, коливаються елементи колеса що обертається зі змінною кутовою швидкістю (?=const). Неперіодичними є коливання листя і гілок дерев, звукові коливання повітря, вібрації автомобіля що їде бруківкою. Неперіодично відбуваються землетрусами, виверження вулканів, зміни атмосферного тиску, буревії, цунамі, тощо.

2.За ступенем автономності коливальної системи, коливання поділяються на вільні та вимушені. Вільними називають такі коливання, які починаються після виведення коливальної системи з стану рівноваги і продовжуються самостійно, а точніше, під дією певної комбінації внутрішньо системних сил. Наприклад, підвішене на нитці тіло в сукупності з гравітаційним полем Землі, утворюють коливальну систему, яка називається нитяним маятником (мал.97). Якщо цю систему вивести з рівноваги, то в подальшому вона буде здійснювати вільні коливання. Ці коливання не є безпричинними. Вони обумовлені дією на тіло певної системи сил: сили тяжіння Fт, реакції опори N, та тієї сили інерції Fi що виникає в процесі прискореного руху тіла. При цьому, ці сили є результатом природної взаємодії тих елементів які утворюють дану коливальну систему: тіло, нитка, Земля.

Мал.84 Вільні коливання не є безпричинними.

Вільно коливаються, наприклад, елементи виведеного з рівноваги пружинного маятника, виведена з рівноваги падінням каменя поверхня води, вібруючий камертон, елементи колеса що вільно обертається навколо своєї осі, м’яч який вільно підстрибує після падіння, тощо.

Вимушеними називають такі коливання, які відбуваються під дією певної змінної зовнішньої сили, сили, джерелом якої не є коливальна система. При цьому мається на увазі, що після припинення дії цієї сили, коливання припиняються. Скажімо, якщо ви змушуєте книгу здійснювати певні коливальні рухи, то коливання книги є вимушеними. Вимушено, наприклад, коливаються всі елементи двигуна внутрішнього згорання, шестерні та стрілки механічного годинника, елементи працюючої швацької машинки, рухомі деталі механічного пресу, тощо.

  

Мал.85 Приклади вільних та вимушених коливань.

3.За ступенем енергетичних втрат в коливальній системі, коливання поділяються на згасаючі та незгасаючі. Згасаючими називають такі коливання, амплітуда яких з плином часу зменшується. Зменшується тому, що в процесі коливань, певна кількість енергії упорядкованого руху елементів коливальної системи, незворотнім чином перетворюється в теплоту, тобто в енергію хаотичного руху молекул речовини. Незгасаючими називають такі коливання, амплітуда яких з плином часу залишається незмінною. Залишається незмінною тому, що ті енергетичні втрати які неминуче відбуваються в процесі коливань є несуттєвими, або тому, що ці втрати компенсуються зовнішнім джерелом енергії.

Наприклад, коливання простого фізичного маятника (мал.99а) є згасаючими. Вони згасають тому, що в процесі коливань, частина енергії коливальної системи неминуче витрачається на теплові втрати, джерелом яких є ті чи інші сили тертя. Якщо ж аналогічний маятник є частиною годинникового механізму (мал.99б), то його коливання стають незгасаючими. Вони не згасають тому, що в годинниковому механізмі є спеціальна автоматизована система, яка постійно поповнює енергетичні втрати маятника.

   

  

Мал.86.  Згасаючі (а) та незгасаючі (б) коливання.

4.За загальним виглядом тієї кривої яка описує коливальний процес, коливання поділяються на гармонічні та негармонічні. Гармонічними називають такі коливання які описуються гармонічною кривою, (синусоїдою або косинусоїдою) тобто відбуваються за гармонічним законом. Це означає, що будь яке гармонічне коливання можна описати формулою x = хмsinφ, або   x = хмcosφ, де

х – миттєве значення змінної величини;

хм – амплітудне значення змінної величини;

φ – фаза коливань.

Наприклад, коливання того фізичного маятника що є частиною годинникового механізму (мал.86б) є гармонічними. Якщо ж говорити про вільні коливання нитяного маятника (мал.86а), то вони  наближено гармонічні. Наближено гармонічні тому, що є згасаючими, а отже такими амплітуда коливань яких поступово зменшується. Наближено гармонічними є коливання нитяного маятника, коливання виведеної з рівноваги поверхні води, вібрації камертона, тощо. Складними, комбінаціями наближено гармонічних коливань є коливання гілок дерев та листя на цих гілках. Комбіновано гармонічними є ті звукові коливання які створюють музикальні інструменти, наші голоси, тощо. Загалом, практично всі вільні природні коливань є гармонічними, наближено гармонічними або комбіновано гармонічними. Зважаючи на цей факт, вивченню гармонічних коливань ми будемо приділяти особливу увагу.

  

Мал.87 Деякі приклади гармонічних, наближено гармонічних та комбіновано гармонічних коливань.

Негармонічними називають такі коливання які описуються будь якою негармонічною (в тому числі не наближено гармонічною та не комбіновано гармонічною) кривою, тобто відбуваються за негармонічним законом. Зазвичай негармонічними є спеціально створені, штучні коливання. Наприклад, негармонічно коливаються елементи клапанного механізму двигуна внутрішнього згорання, елементи так званого храпового механізму, тощо.

Мал.89.  Приклади коливальних систем, елементи яких здійснюють вимушені негармонічні коливання.

5.За фізичною суттю тих процесів які відбуваються в коливальній системі, коливання поділяються на механічні та електромагнітні. Механічними називають такі коливання, які пов’язані з механічними переміщеннями тіл та їх частин, або частин пружного середовища. Механічними є коливання рухомих деталей двигуна внутрішнього згорання, пульсації нашого серця, коливання гілок та листя на цих гілках, обертальні рухи коліс, тощо. Механічними є і ті коливання середовища, які ми називаємо звуком, поверхневими хвилями, сейсмічними хвилями, тощо. Електромагнітними, називають такі коливання, які пов’язані з коливаннями електричних зарядів та електромагнітних полів. Електромагнітними є ті коливання які називаються змінним електричним струмом, радіохвилями, інфрачервоним випромінюванням, видимим світлом, ультрафіолетовим, рентгенівським та гама випромінюванням.

В межах програми загальноосвітньої школи вивчають лише так звані гармонічні коливання, тобто ті коливання які описуються формулою  x = хмsinφ, або   x = хмcosφ. Коли ми стверджуємо, що обертальний рух колеса (мал.90) є певним гармонічним коливанням, і що цей процес описується формулою  x = хмsinφ, то це означає, що в процесі рівномірного обертання колеса (ω=const), координата будь якої точки цьго колеса буде змінюватись за законом  x = хмsinφ. При цьому графіком зміни цієї координати в системі відліку координата-час, буде відповідна синусоїда.

Мал.90. В процесі рівномірного обертання колеса, координата х точки 1, змінюється за законом  x = хмsinφ.

Потрібно зауважити, що синусоїда і косинусоїда, це по суті дві різні назви однієї і тієї ж кривої. Наприклад, зображений на мал.90 графік коливань матеріальної точки, є синусоїдою. Але якби за початкове положення цієї точки ми вибрали не положення 1, а положення 4, то цим графіком була б відповідна косинусоїда. Загалом же, між синусом та косинусом будь якого кута, існує просте співвідношення: cosφ=sin(φ+π/2); sinφ=cos(φ−π/2)

До числа тих базових фізичних величин, які так чи інакше характеризують гармонічні коливання відносяться: період коливань, частотаколивань, амплітуда та фаза коливань.

Період коливань (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) коливального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює одне повне коливання.

Позначається: Т

Визначальне рівняння: Т = t/n , де n – кількість коливань системи здійснених за час t;

Одиниця вимірювання:  [Т] = с  (секунда).

Наприклад, якщо нитяний маятник за 20 секунд здійснює 16 повних коливань, то період цих коливань 1,25с:  Т= t/n = 20с/16 = 1,25с.

Частота коливань (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність коливального процесу і яка дорівнює тій кількості коливань системи, яку здійснює ця система за одиницю часу.

Позначається: ν

Визначальне рівняння: ν = n/t

Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц   (герц).

Наприклад, якщо за 20 секунд  нитяний маятник здійснює 16 коливань, то частота цих коливань 0,8Гц :  ν = n/t = 16/20c = 0,8Гц.

Із визначальних рівнянь періоду і частоти (T=t/n; ν=n/t) з усією очевидністю випливає, що ці фізичні величини взаємопов’язані, і що цю взаємопов’язаність відображають співвідношення: T=1/ν; ν=1/T. Тому якщо, наприклад, за умовою задачі задано період коливань системи Т=2с, то ви завжди можете визначити частоту цих коливань ν=1/Т=1/2с=0,5Гц, і навпаки.

Амплітуда коливань (амплітуда) – це фізична величина, яка характеризує максимальне за величиною (амплітудне) значення змінної величини і яка дорівнює цьому значенню. Позначається символом відповідної змінної величини з індексом «м»: хм, vм, Ім, Uм, тощо. Визначається як параметр конкретного коливального процесу. Вимірюється в одиницях відповідної фізичної величини: [xм]=м; [vм]=м/с; [Iм]=А; [Uм]=В і т.д.

Фаза коливань (фаза) це фізична величина яка характеризує стан коливальної системи в заданий момент часу і яка однозначно визначає параметри цієї системи в цей момент часу.

Позначається: φ

Визначальне рівняння: фазу коливань можна визначити по різному, зокрема:

– через кут повороту системи: φ=α

– через кількість коливань системи: φ=2πn,

– через частоту коливань системи: φ=2πνt,

– через період коливань системи: φ=2πt/T,

іншими словами: φ=α=2πn=2πνt=2πt/T.  Зазвичай: φ = 2πνt.

Одиниця вимірювання: [φ] = рад   (радіан).

Найбільш поширеною різновидністю періодичних коливань є так звані гармонічні коливання. Гармонічно або наближено гармонічно коливаються різноманітні маятникові системи, частинки збуреної поверхні рідини, струни та робочі поверхні музикальних інструментів, точки тіла що обертаються і тіла що рухаються по колу. Результатом певних гармонічних коливань є звук, світло і те що називають радіохвилями, інфрачервоним, ультрафіолетовим та рентгенівським випромінюванням. Гармонічні коливання відбуваються в лініях електропередач, трансформаторах, електродвигунах, тощо. Власне, практично всі природні вільні коливання є гармонічними або наближено гармонічними.

Будь яке гармонічне коливання можна представити у вигляді математичної формули, яка називається рівнянням гармонічного коливання. В загальному випадку це рівняння має вигляд: х=хмsinφ, де  х – миттєве значення змінної величини, хм – амплітудне (максимальне) значення змінної величини, φ – фаза коливань. Оскільки фазу коливань можна визначити по різному (φ=α=2πn=2πνt=2πt/T), то зустрічаються і відповідно різні записи рівняння гармонічного коливання. Зазвичай, це рівняння записують у вигляді: х=хмsin2πνt. Якщо в початковий момент часу (t0=0c) коливальна система знаходиться в певному не нульовому положенні, то це положення характеризують відповідною початковою фазою φ0. При цьому рівняння гармонічного коливання набуває вигляду х=хмsin(2πνt+φ0). В подальшому ми будемо виходити з того, що початкова фаза коливань є нульовою (φ0=0), і що тому рівняння гармонічного коливання має вигляд  х=хмsin2πνt.

Коли ми стверджуємо, що гармонічне коливання описується рівнянням х=хмsin2πνt, то це означає, що в процесі коливань величина певного параметру коливальної системи змінюється за законом х=хмsin2πνt. Наприклад, описуючи коливання нитяного маятника (мал.91а), пружинного маятника (мал.91б) та тієї матеріальної точки, що рівномірно обертається навколо нерухомого центру (мал.90), можна говорити про те, що з плином часу координата (х) відповідних матеріальних точок змінюється за законом х=хмsin2πνt.

Втім, описуючи коливання нитяного та пружинного маятників, можна говорити не лише про гармонічні коливання координати тіла, а й про гармонічні коливання швидкості його руху v=vмsin2πνt; сили пружності F=Fмsin2πνt; потенціальної та кінетичної енергій Е= Емsin2πνt, тощо. Якщо ж говорити про гармонічні коливання точок того колеса що вільно обертається навколо своєї осі, то вони вирізняються тим, що не супроводжуються перетвореннями одного виду енергії в інший. І тому ці коливання не характеризуються певними коливаннями швидкості, енергії, тощо.

 

Мал.91 В процесі гармонічних коливань, певні параметри коливальної системи змінюються за законом х=хмsin2πνt.

Рівняння гармонічного коливання містить велику кількість інформації про відповідний коливальний процес. Воно дозволяє не лише визначити числове значення змінної величини в будь який момент часу, а й максимально повно описати інші параметри цього процесу. Ілюструючи лише незначну частину можливостей цього рівняння, розглянемо конкретну задачу.

Задача. Тіло нитяного маятника здійснює гармонічні коливання за законом х = 0,1sinπt. Визначити: 1) амплітуду, період та частоту коливань; 2) координату тіла в момент часу 0,5с; 10с; 3) кількість коливань маятника здійснених за 0,5с; за 10с.

Дано:                                        Рішення.

х = 0,1sinπt

1) хм, Т, ? – ?               1).  Із порівняльного аналізу заданого рівняння

2) х(0,5)-? х(10)-?        х = 0,1sinπt  та загального вигляду цього рівняння

3) n(0,5)-?  n(10)-?       х = хмsin2πνt,   ясно що: хм = 0,1м;

ν = 0,5Гц;                    (оскільки  2πνt = πt, то ν=0,5Гц).

.                                     А оскільки Т=1/ν, то   Т =1/0.5= 2с

2).  Розв’язуючи рівняння х = 0,1sinπt  для заданих значень часу (t=0,5с; t=2с) визначаємо відповідні значення координати тіла маятника:

х(0,5) =  0,1sinπ·0,5 = 0,1·1 = 0,1м;

х(10) = 0,1sinπ·10 = 0,1·0 = 0,0м.

3).  Кількість коливань системи (n) за час t можна визначити із співвідношень: n = t/T = νt   Тому:

n(0,5) = 0,5c/2c = 0,25 (коливань).

n(10) = 10c/2c = 5,0 (коливань).

Аналізуючи рівняння х = 0,1sinπt можна відповісти на значно більшу кількість запитань. Наприклад, можна представити даний коливальний процес у вигляді відповідного графіка, визначити довжину відповідного маятника, величину максимального кута його відхилення, швидкість тіла в момент проходження ним положення рівноваги та в будь який інший момент часу, пройдений тілом шлях за певний проміжок часу, тощо. Знаючи рівняння гармонічного коливання тіла та масу цього тіла, можна не лише вичерпно описати кінематику коливального руху, а й динаміку цього руху. Втім, оцінити реальні можливості та значимість рівняння гармонічного коливання, ви зможете лише в процесі розв’язування задач та вивчення наступних параграфів даного розділу.

Словник фізичних термінів.

Період коливань (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) коливального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює одне повне коливання.

Позначається: Т

Визначальне рівняння: Т = t/n

Одиниця вимірювання:  [Т] = с,   (секунда).

Частота коливань (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність коливального процесу і яка дорівнює тій кількості коливань системи, яку здійснює ця система за одиницю часу.

Позначається: ν

Визначальне рівняння: ν = n/t

Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц,    (герц).

Амплітуда коливань (амплітуда) – це фізична величина, яка характеризує максимальне за величиною (амплітудне) значення змінної величини і яка дорівнює цьому значенню.

Позначається: хм, vм, Ім, Uм, тощо,

Визначається як параметр конкретного коливального процесу,

Одиниця вимірювання: [xм]=м; [vм]=м/с; [Iм]=А; [Uм]=В і т.д.

Фаза коливань (фаза) це фізична величина яка характеризує стан коливальної системи в заданий момент часу і яка однозначно визначає параметри цієї системи в цей момент часу.

Позначається: φ

Визначальне рівняння: φ=α=2πn=2πνt=2πt/T,  зазвичай: φ= 2πνt.

Одиниця вимірювання: [φ = рад,    (радіан).

Рівняння гармонічного коливання – це рівняння (закон), яке описує кінематику гармонічно-коливального процесу і яке має вигляд

х = хмsinφ = хмsin(2πνt+φ0)

Контрольні запитання.

1.Чому коливання простого маятника є згасаючими, а маятника як частини годинникового механізму – незгасаючими?

2.Які перетворення механічної енергії відбуваються при вільних коливаннях нитяного маятника?

3.Які перетворення механічної енергії відбуваються при коливаннях пружинного маятника?

4.М’яч вільно падає з певної висоти і зробивши декілька стрибків зупиняється. Які перетворення енергії відбуваються при цьому? Дайте класифікаційну характеристику коливального руху м’яча. Чому ці коливання є згасаючими?

5.Який зв’язок між періодом та частотою коливань? Звідки випливає цей зв’язок?

6.Що називають амплітудою коливань? В чому вона вимірюється?

7.Чим схожі та чим відрізняються синусоїда та косинусоїда?

Вправа 16.

1.Визначте період та частоту обертання: а) секундної стрілки годинника; б) хвилинної стрілки годинника; в) Землі навколо своєї осі та навколо Сонця.

2.Колесо діаметром 60см рухаючись рівномірно за 4с проходить відстань 12м. Визначте кутову швидкість, період та частоту коливань (обертання) колеса. Запишіть рівняння коливань.

3.Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання за законом х=0,2cos2πt. Визначити амплітуду, період та частоту цих коливань.

4.Частота коливань крил комара 600Гц, а період коливань крил бджоли 5мс. Яка з камах і наскільки більше зробить помахів крил за 1хв польоту?

5.Амплітуда коливань точки струни становить 1мм, а частота цих коливань 1кГц. Який шлях пройде ця точка за 0,2с? запишіть рівняння відповідного гармонічного коливання.

 

Лекційне заняття №25. Тема: Фізичний, математичний та пружинний маятники.

Однією з найпростіших коливальних систем є так званий фізичний маятник. Фізичний маятник, це механічна коливальна система, яка представляє собою тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо осі, що не проходить через центр маси тіла. Наприклад, якщо ви візьмете будь яке тверде тіло, скажімо лінійку, виделку, ножиці чи молоток і закріпите його так щоб воно могло вільно обертатись навколо осі яка не проходить через центр маси тіла, то отримаєте відповідний фізичний маятник. Однією з різновидностей фізичного маятника є так званий нитяний маятник, який представляє собою масивне тіло що висить на тонкій нитці (мотузці, дротині, тощо).

  

Мал.92 Приклади фізичних маятників.

Параметри коливального руху реального фізичного маятника, складним чином залежать від багатьох обставин: геометричних і вагових характеристик тіла, величини сили опору повітря, величини виникаючих в осі обертання тіла сил тертя, деформаційних енергетичних втрат, тощо. Тому, при теоретичних дослідженнях, реальний фізичний маятник замінюють відповідною ідеалізованою моделлю яка називається математичним маятником.

Математичний маятник, це ідеалізована модель фізичного маятника, яка представляє собою масивну матеріальну точку що висить на надтонкій, невагомій та нерозтяжній нитці і в процесі коливань якої відсутні будь які втрати енергії. Якщо нитка реального нитяного маятника достатньо тонка, міцна та легка, а прикріплене до неї тіло достатньо масивне і таке що виготовлено з щільного матеріалу (залізо, мідь, свинець, тощо), то фізичні властивості цього реального маятника майже не відрізнятимуться від властивостей відповідного за довжиною математичного маятника.

По суті, основна відмінність фізичного маятника від відповідного математичного маятника полягає в тому, що вільні коливання реального фізичного маятника в тій чи іншій мірі згасаючі, а коливання математичного маятника – незгасаючі.

Можна довести, що період коливань математичного маятника визначається за формулою   Т=2π(l/g)1/2, де l – довжина маятника, g – прискорення сили тяжіння. Строго кажучи, формула Т = 2π(l/g)1/2    вточності справедлива лише для малих кутів відхилення маятника (α ≤ 10°). Для більших кутів, ця формула потребує певних уточнень. Втім, величина цих уточнень є незначною.

Із аналізу формули Т=2π(l/g)1/2 видно, що період коливань математичного маятника не залежить ні від маси тіла ні від кута його відхилення. Цей період визначальним чином залежить лише від довжини маятника та прискорення сили тяжіння.

Дослідження показують, що період коливань реального фізичного маятника, визначається за формулою  Т = 2π(lзв/g)1/2, де lзв – зведена довжина фізичного маятника. При наближених розрахунках прийнято вважати, що lзв дорівнює відстані від осі обертання тіла фізичного маятника, до центру мас цього тіла. Загалом же, зведена довжина фізичного маятника, певним чином залежить не лише від відстані між віссю обертання та центром мас тіла маятника, а й від геометричних параметрів цього тіла.

Аналізуючи вільні коливання математичного маятника не важко бачити, що вони нерозривно пов’язані з певними періодичними перетвореннями одного виду механічної енергії в інший її вид. Дійсно. Коли маятник (мал.93) знаходиться в положенні максимального відхилення (мал.93б) його матеріальна точка є піднятою на певну максимальну висоту (відносно того рівня де положення цієї точки є найнижчим). При цьому маятник має певний максимальний запас надлишкової потенціальної енергії та нулеву величину енергії кінетичної (Еп=mgΔh=max, Ek=mv2/2=0). В процесі руху маятника в напрямку центру його рівноваги, потенціальна енергія маятника зменшується, а кінетична – відповідно збільшується (Еп↓, Ек↑). В момент проходження положення механічної рівноваги маятника (мал.93в), величина його потенціальної енергії стає нулевою, натомість кінетична енергія – досягає максимальної величини (Еп=0, Ек=max). Продовжуючи рухатись за інерцією (мал.93г) кінетична енергія тіла маятника поступово зменшується, а потенціальна – відповідно збільшується (Ек↓, Еп↑). В протилежно крайньому положенні (мал.93д),  величина потенціальної енергії маятника знову досягає своєї максимальної величини, а величина кінетичної енергії – знову стає нулевою (Еп=max, Ек=0). Ясно, що в подальшому процес повториться. При цьому напрям руху матеріальної точки зміниться на протилежний.

Мал.93.  Коливання математичного (фізичного) маятника супроводжуються перетвореннями потенціальної енергії сили тяжіння в кінетичну енергію і навпаки:   mg?h ↔ mv2/2.

Таким чином, коливання математичного, а відповідно і фізичного маятників, супроводжуються не лише певними коливаннями координати тіла маятника, а й відповідними коливаннями інших параметрів системи, зокрема:

– коливаннями висоти Δh центру мас системи над нулевим рівнем;

– коливаннями швидкості руху v центру мас системи;

– коливаннями величини потенціальної енергії системи Еп;

– коливаннями величини кінетичної енергії системи Ек;

– коливаннями кута відхилення маятника α, тощо.

Ще однією простою коливальною системою є так званий пружинний маятник. Пружинний маятник – це така механічна коливальна система, яка складається з легкої пружини та масивного тіла і в якій це тіло здійснює поступальні коливання вздовж осі пружини (мал.94).

 

Мал.94.  Загальний вигляд пружинного маятника.

Потрібно зауважити, що в науковій практиці реальні та ідеалізовані (ідеальні) пружинні маятники, позначають одним і тим же терміном – пружинний маятник. Параметри коливального руху реального пружинного маятника, складним чином залежать від багатьох обставин: геометричних та вагових характеристик пружини і тіла маятника; тих енергетичних втрат які неминучі при періодичних деформаціях пружини; втрат на механічне тертя, тощо. Тому при теоретичних дослідженнях, реальні пружинні маятники замінюють на їм відповідні ідеальні пружинні маятники, які відрізняються від реальних тим, що маса їхньої пружини є нульовою, а в процесі коливань відсутні будь-які енергетичні втрати. І не важко збагнути, що коливання реальних пружинних маятників є згасаючими, а ідеальних – незгасаючими.

Якщо пружинний маятник вивести з стану механічної рівноваги, то він буде здійснювати вільні коливання. Джерелом цих коливань є взаємопов’язана дія двох силових факторів: тієї сили пружності (Fпр= -kΔl) що виникає в процесі деформації пружини, та тієї сили інерції (Fi= -ma) що виникає в процесі прискореного руху тіла. При цьому можна довести, що період коливань ідеального пружинного маятника визначається за формулою Т=2π(m/k)2, m – маса тіла маятника, k – жорсткість пружини маятника.

Не важко бачити, що період коливань пружинного маятника практично не залежить від прискорення сили тяжіння (g), а отже і від самої сили тяжіння. На перший погляд, такий стан речей здається дивним. Адже здається очевидним, що при вертикальному розташуванні маятника, активну роль в коливальному процесі має відігравати сила тяжіння. Насправді ж, результуючий вплив цієї сили є практично нулевим. Адже сила тяжіння, це постійна за величиною та напрямком сила, яка в рівній мірі як сприяє так і протидіє коливальному процесу. Єдиним суттєвим результатом дії сили тяжіння є те, що при вертикальному розташуванні маятника, точка його рівноваги зсувається на величину  Δl=mg/k. При цьому, якщо тіло знаходиться під пружиною, то відстань до точки рівноваги збільшується (l=l0 + Δl), а якщо тіло знаходиться над пружиною – зменшується (l=l0 – Δl).

мал.95.  Положення точки рівноваги пружинного маятника суттєво залежить від маси тіла маятника.

Механічні коливання пружинного маятника нерозривно пов’язані з періодичними перетвореннями одного виду механічної енергії в інший її вид. Дійсно. Коли пружина маятника знаходиться в положенні максимального розтягнення (мал.108), кількість зосередженої в ній потенціальної енергії буде максимальною, а кількість кінетичної енергії тіла – нулевою (Еп= kΔl2/2=max; Ek=mv2/2=0). В процесі руху тіла в напрямку положення рівноваги, потенціальна енергія пружини буде зменшуватись, а кінетична енергія тіла – відповідно збільшуватись (Еп↓; Ек↑). При цьому, в положенні рівноваги потенціальна енергія пружини стає нулевою, а кінетична енергія тіла досягає максимальної величини (Еп=0; Ек=max). Рухаючись за інерцією в напрямку стиснення пружини, кінетична енергія тіла зменшується, а потенціальна енергія пружини збільшується (Еп↑; Ек↓). В положенні максимального стиснення пружини, її потенціальна енергія знову стає максимальною, а кінетична енергія тіла – нулевою (Еп=max; Ек=0). В подальшому, процес повторюється. При цьому, напрям руху тіла змінюється на протилежний.

Мал.96.  Коливання пружинного маятника супроводжуються періодичними перетворюваннями потенціальної енергії сили пружності в кінетичну енергію і навпаки:  kΔl2/2 ↔ mv2/2.

Таким чином, механічні коливання пружинного маятника супроводжуються певними коливаннями багатьох параметрів цієї системи, зокрема:

– коливаннями абсолютної деформації пружини;

– коливаннями виникаючої в пружині сили пружності;

– коливаннями швидкості руху тіла;

– коливаннями діючої на тіло сили інерції;

– коливаннями потенціальної енергії деформованої пружини;

– коливаннями кінетичної енергії тіла, тощо.

Словник фізичних термінів.

Фізичний маятник, це така механічна коливальна система, яка представляє собою тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо осі, що не проходить через центр маси тіла. В процесі коливань фізичного маятника потенціальна енергія піднятого тіла маятника перетворюється на енергію його поступального руху і навпаки:   mgΔh ↔ mv2/2.

Математичний маятник, це ідеалізована модель фізичного маятника, яка представляє собою масивну матеріальну точку що висить на надтонкій, невагомій та нерозтяжній нитці і в процесі коливань якого відсутні будь які втрати енергії.

Пружинний маятник – це така механічна коливальна система, яка складається з легкої пружини та масивного тіла і в якій це тіло здійснює поступальні коливання вздовж осі пружини. В процесі коливань пружинного маятника, потенціальна енергія деформованої пружини перетворюється на кінетичну енергію поступального руху тіла маятника і навпаки:   kΔl2/2 ↔ mv2/2.

Контрольні запитання.

1.Результатом дії яких сил є коливання математичного маятника?

2.Чому коливання фізичного маятника є згасаючими, а коливання математичного маятника – незгасаючими?

3.Чи залежить період коливань математичного маятника від амплітуди цих коливань? Від маси матеріальної точки?

4.Чи змінюється в процесі згасання коливань нитяного маятника, період цих коливань?

5.Які сили визначають механічну поведінку пружинного маятника?

6.Які енергетичні перетворення відбуваються в процесі коливань пружинного маятника та чим вони відрізняються від аналогічних перетворень в фізичному маятнику?

7.Чому сила тяжіння не впиває на період коливань пружинного маятника.

8.Порівняйте формули періодів коливань математичного та пружинного маятників. Як ви думаєте, на що вказує в цих формулах коефіцієнт 2π?

Вправа 17.

1.Довжина нитки математичного маятника 0,5м. Визначте період та частоту коливань цього маятника.

2.Виконуючи лабораторну роботу по визначенню прискорення сили тяжіння, учень встановив, що маятник довжиною 80см, за 1хв здійснює 34 коливань. Який результат отримав учень?

3.На Землі математичний маятник робить 20 коливань за хвилину. Скільки коливань за хвилину зробить такий же маятник на Місяці (g=1,6м/с2)?

4.На Місяці математичний маятник довжиною 1м за 1хв робить 12 коливань. Визначте масу Місяця, якщо відомо, що його радіус 1740км.

5.Вантаж масою 4кг коливаючись на легкій пружині робить 5 коливань за 4 секунди. Визначте жорсткість пружини.

6.Вантаж масою 200г коливається на пружині жорсткістю 0,5кН/м з амплітудою 6см. Визначте максимальну швидкість вантажу. Запишіть рівняння даного коливання.

7.Вантаж масою 0,2кг висить на пружині і здійснює 30 коливань за хвилину з амплітудою 10см. Визначте жорсткість пружини та кінетичну енергію вантажу через 1/6 періоду від моменту проходження ним положення рівноваги.

 

Лекційне заняття №26.

Тема: Загальні відомості про хвилі.

Дрібні хвилі на поверхні води та потужні океанські цунамі, звук і руйнівні ударні хвилі вибухів, світло і сейсмічні коливання земної кори, радіохвилі і рентгенівське випромінювання – все це приклади тих чи інших хвильових процесів, а простіше кажучи, хвиль. З’ясовуючи суть того що прийнято називати хвилею, розглянемо просту механічну модель, яка представляє собою сукупність великої кількості пружним чином пов’язаних масивних кульок (мал.97). Припустимо, що під діє зовнішньої сили одна з цих кульок, наприклад кулька 1, починає здійснювати певні гармонічні коливання. Оскільки кульки пружним чином взаємопов’язані, то коливання кульки 1 спричинять коливання кульки 2, які в свою чергу призведуть до коливань кульки 3 і т.д. При цьому, коливання кожної наступної кульки будуть вточності повторювати коливання попередньої, але повторювати з певним інерційним запізненням. А це означає, що процес розповсюдження таких взаємопов’язаних коливань відбувається в формі хвилі.

Мал.97. В системі взаємоповязаних кульок, коливання однієї з них, автоматично породжує аналогічні коливання сусідніх. При цьому процес розповсюдження цих взаємопов’язаних коливань має форму хвилі.

Визначальною рисою будь якої хвилі, є факт того, що процес її розповсюдження супроводжується переносом енергії збуреного матеріального середовища (речовини або поля) але не супроводжується переносом самого середовища. Наприклад, коли камінь падає на поверхню води, то в процесі удару він енергетично збурює цю поверхню та породжує відповідну поверхневу хвилю. В процесі розповсюдження, ця хвиля переносить надану воді енергію. При цьому сама вода по суті залишається на місці. Адже в процесі розповсюдження хвилі, частинки води лише здійснюють певні коливальні рухи. Або, наприклад, коли вчитель говорить, то він енергетично збурює навколишнє повітря та створює відповідну звукову хвилю. Оскільки ви чуєте вчителя, то це означає що в процесі розповсюдження, звукова хвиля переносить енергію. З іншого ж боку, цей процес не супроводжується переносом самого повітря. Адже за великим рахунком, повітря залишається на місці і лише здійснює коливальні вібрації.

Таким чином, визначаючи термін “хвиля” можна сказати наступне. Хвилею називають процес розповсюдження збурення матеріального середовища (речовини або поля), який супроводжується переносом енергії, але не супроводжується переносом самого середовища (частинки середовища або параметри поля, лише здійснюють певні гармонічні коливання).

Зазвичай хвилі поділяються на механічні та електромагнітні, а також на поздовжні, поперечні та поздовжньо-поперечні. Механічними (або пружними) називають такі хвилі, які розповсюджуються в пружному середовищі і які представляють собою взаємопов’язані коливання частинок цього середовища.  До числа механічних відносяться звукові хвилі, поверхневі хвилі (хвилі на поверхні рідини), сейсмічні хвилі, ударні хвилі вибухів і взагалі будь які пружні хвилі що розповсюджуються в твердих, рідких та газоподібних середовищах.

Електромагнітними називають такі хвилі, які розповсюджуються в електромагнітному полі і які представляють собою взаємопов’язані  коливання параметрів цього поля. Про те, що таке електромагнітне поле, які параметри його характеризують і яким чином коливання цих параметрів породжують відповідну електромагнітну хвилю, ми поговоримо ще не скоро. Наразі ж просто зауважимо, що радіохвилі, світло, інфрачервоне, ультрафіолетове, рентгенівське та гамма випромінювання – це різновидності електромагнітних хвиль.

В залежності від того як коливання частинок середовища (або параметрів поля), орієнтовані відносно напрямку розповсюдження хвилі, хвилі поділяються на поздовжні, поперечні та поздовжньо-поперечні. Поздовжніми називають такі хвилі, в яких коливання частинок середовища відбуваються вздовж напрямку розповсюдження хвилі. Наприклад звукові хвилі є поздовжніми. Адже в них коливання частинок повітря відбувається вздовж напрямку розповсюдження звуку.

Поперечними називають такі хвилі, в яких коливання частинок середовища (параметрів поля) відбуваються в площині що є перпендикулярною (поперечною) до напрямку розповсюдження хвилі. Прикладом строго поперечних хвиль є хвилі електромагнітні. В них коливання параметрів електричного і магнітного поля відбуваються в площині яка перпендикулярна до напрямку розповсюдження хвилі.

Поздовжньо-поперечними називають такі хвилі, в яких коливання частинок середовища мають як поздовжню так і поперечну складову. Наприклад в поверхневій хвилі, частинки поверхневого шару рідини рухаються не строго вверх-вниз, чи вперед-назад, а описують певні еліпси, тобто мають як поздовжню так і поперечну складову руху. В цьому не важко переконатись, уважно спостерігаючи за поведінкою дерев’яної трісочки що знаходиться в потоці поверхневих хвиль. (Звичайно за умови, що вода не тече і вітер не жене трісочку за хвилею).

На відміну від коливань, хвилі характеризуються подвійною періодичністю. Дійсно. З одного боку, кожна частинка хвилі здійснює певні гармонічні коливання, параметри яких можна охарактеризувати відповідним набором фізичних величин: період коливань (Т), частота коливань (ν), амплітуда коливань (хм), фаза коливань (φ). З іншого боку, взаємопов’язані частинки хвилі, мають певне просторове розташування, яке періодично повторюється. Характеризуючи цю просторову повторюваність говорять про довжину хвилі.

Довжина хвилі – це фізична величина, яка характеризує просторову періодичність (повторюваність) хвильового процесу і яка дорівнює тій відстані на яку розповсюджується хвильове збурення за той проміжок часу що дорівнює періоду коливань частинок даної хвилі.

Позначається: λ

Визначальне рівняння: λ = vT , де  v – швидкість хвилі, Т – період коливань частинок хвилі.

Одиниця вимірювання: [λ] = м   (метр).

По суті, довжина хвилі дорівнює відстані між двома її сусідніми гребнями, або двома сусідніми западинами, або взагалі – між будь якими двома сусідніми точками хвилі, фази коливань яких однакові.

Будь яка хвиля, це певний динамічний процес, який практично не можливо представити у вигляді відповідної статичної картинки. Зазвичай хвилю зображають у вигляді певної послідовності  згущень та розріджень середовища, або у вигляді певної синусоїди, відстань між сусідніми гребнями якої пропорційна довжині відповідної хвилі.

Мал.98. Звукову хвилю можна представити як у вигляді певного набору згущень та розріджень середовища, так і у вигляді відповідної синусоїди.

В наукові практиці хвилі зазвичай зображають певною сукупністю умовних ліній, якими можуть бути: 1) хвильові фронти; 2) хвильові промені (мал.99). Фронтом хвилі (хвилевою поверхнею) називають таку умовну лінію (поверхню), в кожній точці якої частинки (мікро фрагменти) хвилі мають однакову фазу коливань, тобто знаходяться на одній і тій же стадії коливального процесу. Зазвичай фронт багатогребеневої хвилі проводять по лінії розташування гребенів цієї хвилі Хвильовим променем (променем) називають таку умовну лінію, яка вказує на напрям розповсюдження хвильового збурення. Хвильовий промінь є перпендикулярним до фронту відповідної хвилі.

Мал.99. Хвилі зображають за допомогою хвильових фронтів або хвильових променів.

Хвилю можна не лише намалювати чи описати певним набором слів, а й представити у вигляді певної математичної формули. Цю формулу прийнято називати рівнянням хвилі. Рівняння хвилі – це рівняння, яке описує поведінку тих частинок середовища (параметрів поля) взаємопов’язані коливання яких утворюють дану хвилю і яке дозволяє визначати параметри будь якої з цих частинок в будь який момент часу. В загальному випадку рівняння хвилі має вигляд   х = хмsin2π(νt – l/λ),  де  х – миттєве значення змінної величини в момент часу t;  хм – амплітудне значення змінної величини; ν – частота коливань частинок хвилі; λ – довжина хвилі; l – відстань від джерела хвильового збурення до даної точки.

За визначенням, хвиля – це процес розповсюдження хвильового збурення матеріального середовища, який супроводжується переносом енергії але не супроводжується переносом самого середовища. А це означає, що розповсюдження хвиль нерозривно пов’язане з переносом енергії. При цьому, та енергія яку ми називаємо енергією хвилі має дві характерні особливості. По перше, в будь якій точці хвильового збурення, кількість зосередженої в ній хвильової енергії постійно змінюється. По друге, носієм хвильової енергії є не якась окремо взята частинка, а певний фрагмент хвилі. Тому, говорячи про енергію хвилі мають на увазі усереднене значення тієї енергії, носієм якої є певний фрагмент хвилі.

Словник фізичних термінів.

Хвилею називають процес розповсюдження збурення матеріального середовища (речовини або поля), який супроводжується переносом енергії, але не супроводжується переносом самого середовища (частинки середовища або параметри поля, лише здійснюють певні гармонічні коливання).

Механічними (або пружними) називають такі хвилі, які розповсюджуються в пружному середовищі і які представляють собою взаємопов’язані коливання частинок цього середовища.

Довжина хвилі – це фізична величина, яка характеризує просторову періодичність (повторюваність) хвильового процесу і яка дорівнює тій відстані на яку розповсюджується хвильове збурення за той проміжок часу що дорівнює періоду коливань частинок даної хвилі.

Позначається: λ

Визначальне рівняння: λ = vT ,

Одиниця вимірювання: [λ] = м   (метр).

Рівняння хвилі – це рівняння, яке описує поведінку тих частинок середовища (параметрів поля) взаємопов’язані коливання яких утворюють дану хвилю і яке дозволяє визначати параметри будь якої з цих частинок в будь який момент часу. В загальному випадку рівняння хвилі має вигляд

х = хмsin2π(νt – l/λ).

Контрольні запитання.

1.Яка визначальна риса всіх хвиль?

2.Чи можна гармонічні коливання однієї частинки речовини вважати хвилею?

3.Поздовжніми чи поперечними є хвилі на поверхні води? Чому?

4.Чому ми стверджуємо, що хвиля має подвійну періодичність?

5.Які величини характеризують періодичність коливань окремих частинок хвилі?

6.Як зображають хвилі?

7.Які особливості тієї енергії яку називають енергією хвилі?

Вправа 18.

1.Визначте довжину звукової хвилі, якщо швидкість її розповсюдження 340м/с, а частота коливань 200Гц.

2.Рибалка помітив, що за 10с поплавок зробив на хвилях 5 коливань, а відстань між сусідніми гребнями хвиль 4м. Яка швидкість поширення хвиль?

3.Катер рухається озером зі швидкістю 36км/год. Відстань між гребнями хвиль 5м, а період їх коливань 1с. З якою періодичністю битимуться хвилі об корпус катера якщо він рухається: а) назустріч хвилям; б) в напрямку руху хвиль ?

4.Джерело хвиль створює коливання, рівняння яких х=3sin20πt. Запишіть рівняння хвилі для точки яка віддалена від джерела на 10м, якщо довжина хвилі 4м. Визначте швидкість розповсюдження та амплітуду коливань цих хвиль.

 

Лекційне заняття №27.

Тема. Механічна картина Всесвіту.

         З незапам’ятних часів, люди розмірковували над тим, як влаштований навколишній світ (Всесвіт). Власне те, що ми називаємо сучасними та прадавніми релігіями, по суті представляє собою певну систему поглядів на устрій Всесвіту та сукупність тих правил які певним чином регламентують поведінку людини в тих чи інших життєвих обставинах.

Якщо ж говорити про першу науково подібну систему знань про навколишній світ, то загально визнаним уособленням цієї системи є видатний давньогрецький філософ Аристотель (384 – 322 р.р. до н.е). Саме Аристотель зібрав, систематизував та критично узагальнив всю сукупність знань античного світу. Результати цих узагальнень він представив у вигляді системи літературно філософських творів, які прийнято називати трактатами. Аристотелівські трактати стосувались не лише тих питань що є предметом вивчення сучасних природничих наук, а й питань загально філософських, морально-етичних, психологічних, релігійних, медичних, літературних, політичних та інших.

Свої погляди на загальний  устрій навколишнього світу Аристотель виклав в таких трактатах як “Фізика”, “Механіка”, “Метереологіка”, “Про небо”, “Про походження і знищення” та деяких інших. Згідно з Аристотелем, наш Всесвіт обмежений в просторі та безкінечний в часі. Він складається з нерухомої Землі та ряду невидимих кришталевих сфер, елементами яких є певні космічні об’єкти, зокрема Місяць, Сонце, планети та зірки. При цьому, найближча до Землі місячна сфера, розділяє Всесвіт на два світи: підмісячний та надмісячний.

Підмісячний світ є світом не ідеальних рухів та не ідеальних об’єктів. Цей світ складається з чотирьох базових елементів (землі, води, повітря та вогню), які в свою чергу є певними комбінаціями двох пар базових якостей: гаряче-холодне та сухе-вологе. Натомість, надмісячний світ є світом ідеальних рухів та ідеальних об’єктів. Цей світ складається лише з одного базового елементу – ефіру, якай представляє собою певну нетлінну, божественну сутність.

Згідно з Аристотелем, джерелом ідеальних рухів в надмісячному світі є божественна воля. Якщо ж говорити про підмісячний світ, то ті події (рухи) які відбуваються в ньому поділяються на примусові, тобто такі що відбуваються під дією певної сторонньої сили, та вільні, тобто ті причиною яких є природнє прагнення відповідного об’єкту зайняти своє доцільне місце в підмісячному світі. Скажімо, якщо людина піднімає камінь, то рух каменя є вимушеним, а причиною цього руху є діюча на камінь сила людських м’язів. Якщо ж камінь падає на землю, то його рух є вільним, тобто таким, причиною якого є прагнення каменя зайняти своє природньо доцільне місце в підмісячному світі.

Аристотель безумовно був видатним вченим. Він не лише зібрав та творчо опрацював величезну суму знань, а й розробив інструмент, який дозволяв отримувати ці знання. Сьогодні цей інструмент називають індукційним методом досліджень. Індукційний метод досліджень – це такий метод отримання теоретичних знань, при якому на базі певних припущень та на основі логічно очевидних міркувань, робиться певний узагальнюючий висновок.

Сама по собі індукційна система отримання теоретичних знань, була видатним відкриттям. Але вона мала і має один недолік, – зроблені на основі цієї системи висновки, будуть правильними лише в тому випадку, якщо базові припущення є правильними. А ось тут-то і була “ахілесова п’ята” в системі знань Аристотеля. Аристотель створив багато теорій (точніше гіпотез), але майже ніколи не перевіряв їх на практиці. І ось результат, – майже всі його теорії виявились хибними.

Мал.100. Аристотель – правильність теорії визначається логічністю її обгрунтувань.

На протязі вісімнадцяти століть аристотелівський підхід до вирішення наукових проблем був панівним на теренах всього цивілізованого світу. А невтішним результатом цього панування став факт того, що за цей шалено великий історичний період, тогочасною наукою не було створено жодної достовірної теорії і не було зроблено жодного більш менш суттєвого наукового відкриття.

Не відомо скільки б ще тривав цей інтелектуальний застій, якби не видатний італійський вчений Галілео Галілей (1564–1642). Галілей першим зрозумів, що аристотелівський шлях розвитку науки та його метод здобуття наукових знань є хибним. Він зрозумів, що в науці критерієм істини має бути не суб’єктивна логіка наших думок, а об’єктивні експериментальні докази.

Геніальність Галілея полягала не лише в тому, що він першим почав експериментально перевіряти сумнівні теорії, а й в тому, що саме він запропонував та почав застосовувати на практиці такий метод дослідження Природи, який прийнято називати фізичним методом досліджень. Фізичний метод досліджень – це такий метод отримання достовірних знань, при якому вибір правильних теорій здійснюється на основі експериментальної перевірки тих передбачень, які випливають з цих теорій. Це означає, що для перевірки правильності тієї чи іншої теорії (а точніше гіпотези), необхідно на основі цієї теорії та індукційного методу, зробити логічно обгрунтовані передбачення і перевірити їх на практиці. При цьому, якщо передбачення справджуються, значить теорія правильна, а якщо не справджуються – не правильна.

Сьогодні кожен вчений знає, якщо результати експериментів не співпадають з передбаченнями теорії, значить теорія хибна. При цьому немає значення, хто автор теорії. Наскільки він відомий, розумний і авторитетний. Немає значення, подобається нам теорія, чи не подобається. Розуміємо ми цю теорію, чи не розуміємо. Якщо результати експериментів не співпадають з передбаченнями теорії, значить теорія не правильна. От і все.

Звичайно, експерименти мають бути достовірними і такими, що враховують всі суттєві обставини. Адже, якщо, наприклад, на основі факту того, що важкий камінь падає швидше за легку пір’їну, ви почнете заперечувати те, що всі тіла падають однаково швидко, то у своїх запереченнях ви будете спиратись на результати неправильно поставленого експерименту. Неправильного в тому сенсі, що при його проведенні ви не врахували суттєво важливу обставину – гальмуючу дію навколишнього повітря.

Мал.101. Галілей – правильність теорії визначається експериментальною достовірністю її передбачень.

Запровадивши новий підхід до вирішення наукових проблем, Галілей заклав основи сучасної науки. Науки, яка за неповні чотириста років не лише кардинально змінила наші уявлення про навколишній світ, а й саме цивілізоване життя.

Ефективність запровадженого Галілеєм методу наукового пізнання навколишнього світу, з усією очевидністю була продемонстрована геніальним англійським фізиком Ісааком Ньютоном (1643–1727). Аналізуючи широкий спектр експериментальних фактів, Ньютон сформулював базові закони сучасної класичної механіки: три закони Ньютона та закон всесвітнього тяжіння. Спираючись на ці закони та сформульований Галілеєм принцип відносності, Ньютон створив першу, дійсно наукову теорію Всесвіту. Тобто таку цілісну систему достовірних знань, яка не лише описувала загальний устрій Всесвіту та Сонячної системи, а й пояснювала, яким чином ця система працює.

Згідно з Ньютоном, наша Сонячна система є мізерним фрагментом безкінечного, вічного, ізотропного та стаціонарного Всесвіту. Це означає, що ньютонівський Всесвіт є безмежним в просторі та вічним в часі. Що в ньому міститься безкінечно велика кількість зірок та зіркових систем. Що ці зірки усереднено рівномірно розкидані в безмежних просторах Всесвіту. Що ті події, які відбуваються у Всесвіті, не змінюють ані усереднено рівномірного розподілу матерії в ньому, ані параметрів його простору, ані монотонності плину часу.

З механічної точки зору, ньютонівський Всесвіт нагадував бездоганний годинниковий механізм, об’єкти якого у повній відповідності з законами механіки утворюють дивовижно гармонічну та саморегульовану систему. В цьому механізмі не було місця для гіпотетичних сфер, напівсфер, важелів, канатів, тощо. Він не потребував ремінних, зубчатих чи будь яких інших механічних передач. Його основними дійовими особами і виконавцями були закони механіки, сили гравітаційної взаємодії та сили інерції. При цьому, гравітаційні взаємодії не потребували будь яких посередників. Адже у відповідності з поглядами тогочасної науки, ці взаємодії здійснювались безпосередньо через пустоту.

Створена Ньютоном система світу була дивовижно гармонічною, точною та передбачуваною. Вона не лише з математичною точністю описувала поведінку всіх відомих космічних об’єктів, а й дозволяла робити нові відкриття. Наприклад, існування планети Нептун було спочатку теоретично передбаченим, а лише потім експериментально підтвердженим. При цьому відповідна планета виявилась саме в тому місці Сонячної системи на яку вказувала теорія Ньютона.

Мал.102. Ньютон – перша безумовно наукова теорія Сонячної системи та

Всесвіту загалом.

Звичайно, ньютонівська теорія Всесвіту не була такою що відповідала на всі наявні запитання. Зокрема, вона не пояснювала яким чином та за рахунок чого Сонце і зірки постійно випромінюють величезну кількість енергії. Не пояснювала відомі магнітні та електричні явища. Не пояснювала різноманіття хімічних та механічних властивостей речовин. Не пояснювала як виник Всесвіт і чому він саме такий.

І це закономірно. Адже реальний Всесвіт набагато складніший та багатогранніший за ту механістичну картину яка була “намальована” великим Ньютоном понад три століття тому. Достатньо сказати, що в ньютонівській теорії Всесвіту поведінка та властивості всього різноманіття матеріальних об’єктів Природи, по суті описуються лише однією фундаментальною взаємодією – гравітацією. Насправді ж ці властивості та ця поведінка визначаються чотирма фундаментальними взаємодіями – гравітаційною, електромагнітною, сильною та слабкою.

Тому не будемо забувати, що та система знань яку прийнято називати ньютонівською механікою, була лише першим вагомим кроком сучасної науки на шляху пізнання навколишнього світу. Про наступні ж кроки науки на цьому складному, тернистому та дивовижно цікавому шляху, ви дізнаєтесь в процесі подальшого вивчення фізики – науки про Природу.

 

 

Подобається