Механіка рідин

Тема 1.4      Механіка рідин та газів.

 

         Механіка рідин та газів (гідрогазомеханіка) – це розділ механіки, в якому вивчають механічні властивості рідин і газів, параметри, закономірності та причини їх механічного руху, а також закономірності їх механічної взаємодії з твердими тілами.

 

§56. Тиск. Атмосферний тиск.

Однією з основних фізичних величин механіки рідин та газів є тиск.

Тиск – це фізична величина, яка характеризує усереднену силове дію що припадає на одиницю площі поверхні і яка дорівнює відношенню діючої на дану поверхню сили F до площі цієї поверхні S.

Позначається:  р

Визначальне рівняння:  р=F/S

Одиниця вимірювання:  [р]=Н/м2=Па ,  паскаль.

Паскаль – це одиниця вимірювання тиску, що дорівнює такому тиску який  чинить  сила  в  1Н, будучи  рівномірно розподіленою по поверхні площею 1м2. Наприклад, якщо 102г води (Fт=mg=0,102кг∙9,8м/с2=1Н), рівномірно розподілити по поверхні площею 1м2 , то тиск води на цю поверхню становитиме один паскаль. Ясно, що такий тиск є відносно незначним.

На поверхні тиснуть не лише тверді тіла та рідини, а й гази. Скажімо, над кожним об’єктом земної поверхні знаходиться шар атмосферного повітря який створює певний атмосферний тиск. Першим хто визначив величину цього тиску, був італійський вчений Еванджеліста Торрічеллі (1608-1647). Дослідження Торрічеллі були пов’язані з вирішенням однієї нагальної технічної проблеми. Суть проблеми полягала в тому, що тогочасні водяні насоси “відмовлялись” піднімати воду на висоту більшу за десять метрів. При цьому виникало закономірне запитання – чому? Відповідаючи на це запитання проведемо та проаналізуємо наступний експеримент (мал.89). Опустивши вхідний отвір медичного шприцу в воду, та піднімаючи його поршень, ви неодмінно з’ясуєте, що простір під поршнем заповнюється водою. Заповнюється тому, що поверхня води знаходиться під постійною дією зовнішнього атмосферного тиску. Тому, коли в процесі піднімання поршня, над певною ділянкою води утворюється безповітряний простір, то зовнішній атмосферний тиск змушує воду заповнювати цей простір.

                 

мал.90   В процесі піднімання поршня, вода під дією зовнішнього атмосферного тиску, заповнює безповітряний простір.

Виникає питання: а до якої висоти може підніматись вода за поршнем? Сьогодні, коли ми знаємо причини цього піднімання, відповідь очевидна – вода буде підніматись до тих пір, допоки її ваговий тиск не стане рівним зовнішньому атмосферному тиску. Дослідження показують, що ця висота становить 10,3 метра.

Однак те, що є очевидним сьогодні, було зовсім не очевидним в часи Торрічеллі. Неочевидним бодай тому, що в науці тих часів беззаперечним авторитетом був Аристотель. А у відповідності з поглядами Аристотеля, природа не терпить пустоти і тому рідини та гази неминуче заповнюють пустий простір. А це означає, що згідно з Аристотелем, вода піднімається за поршнем не тому що на неї діє сила зовнішнього атмосферного тиску, а тому що вона просто прагне заповнити наявну пустоту. Втім, виникало закономірне запитання: якщо теорія Аристотеля правильна, то чому вода заповнює пустоту лише до позначки 10,3м і відмовляється це робити після цієї позначки?

Торрічеллі був учнем Галілея і тому затямив, що в науці критерієм істини є експеримент. Виходячи з цього, він дійшов висновку, що причиною піднімання води в поршневих насосах є не метафізичне бажання заповнити пустоту, а силова дія атмосферного тиску. Далі він розмірковував приблизно так. Якщо атмосферний тиск здатний піднімати воду на приблизно десятиметрову висоту, то напевно в 13,6 разів важчу ртуть він підніме на висоту яка буде в 13,6 разів меншою, тобто на висоту меншу за 1м. Виходячи з таких міркувань, Торрічеллі взяв запаяну з одного краю скляну трубку довжина якої була близькою до одного метра і заповнив її ртуттю. Потім, він закрив вільний кінець трубки, перевернув її та вертикально опустивши її в чашку з ртуттю відкрив попередньо закритий отвір (мал.91). При цьому, частина ртуті вилилась в чашку, а висота тієї ртуті що залишилась в трубці становила приблизно 76см.

мал.91    В 1643р. Торрічеллі експериментально довів можливість  існування пустоти та факт існування атмосферного тиску.

Дослід Торрічеллі безумовно вказував на те, що вода, ртуть та інші рідини заповнюють пустоту не тому, що їм притаманне внутрішнє бажання це робити, а тому що на них діє певний атмосферний тиск. Однак, сам по собі цей дослід не був настільки переконливим, щоб безповоротно зламати той стереотип мислення, який за півтори тисячі років сформувався під впливом ідей Аристотеля. Вирішальний крок на шляху доведення факту існування атмосферного тиску зробив французький фізик Блез Паскаль (1623-1662).

Паскаль, абсолютно обгрунтовано вважав: якщо причиною піднімання ртуті в досліді Торрічеллі є атмосферний тиск, то рівень цієї ртуті на вершині гори має бути меншим а ніж біля її підніжжя. Він писав: “Легко зрозуміти чому біля підніжжя гори повітря створює більший тиск а ніж на її вершині. Але нема жодних підстав вважати, що внизу природа боїться пустоти більше а ніж вверху”.

В 1648 році Паскаль провів серію експериментів які безумовно підтвердили, що атмосферний тиск на різних висотах різний і що при збільшенні висоти, цей тиск зменшується. Сучасні дані про залежність атмосферного тиску від висоти над рівнем моря (світового океану)  представлені на мал.92. Дослідження показують, що на висотах які не перевищують 2км над рівнем моря, зміна висоти на 12м в середньому супроводжується зміною атмосферного тиску на 1мм.рт.ст. (міліметрів ртутного стовпчика).

мал.92   Залежність атмосферного тиску від висоти.

Дослідження показують, що в залежності від погодних умов, величина атмосферного тиску може дещо змінюватись. При цьому, на рівні моря усереднена величина цього тиску становить 760мм.рт.ст. Цей тиск прийнято називати нормальним атмосферним тиском. Знаючи величину атмосферного тиску виміряну в міліметрах ртутного стовпчика, не важко визначити цю величину в паскалях. Дійсно. Виходячи з визначального рівняння р=F/S , можна довести, що ваговий тиск рідини визначається за формулою р=ρgh ; ( p=F/S=Fт/S=mg/S=ρVg/S=ρShg/S=ρgh)  де  ρ – густина рідини,  g – прискорення вільного падіння, h – висота рідини над заданим рівнем. Оскільки густина ртуті ρ=13,6∙103кг/м3 , то

р = 760мм.рт.ст.= 13,6∙103кг/м3∙9,8м/с2∙0,760м = 101∙103Па. Таким чином, тиск в одну атмосферу становить 101кПа (точніше 101325Па). А це еквівалентно тому якби на горизонтальну поверхню площею 1м2 поставили вантаж масою 10,3тони !!!

Ви можете запитати, а чому знаходячись під постійною дією такого величезного тиску, ми практично не відчуваємо його? До речі, однією з причин того, чому люди довгий час відмовлялися визнавати факт існування атмосферного тиску, була та, що вони не могли зрозуміти, чому за наявності такого величезного тиску, ми не відчуваємо його силової дії. А й дійсно, чому? Перш ніж відповісти на це запитання, візьміть аркуш паперу і тримаючи його в горизонтальному положенні запитайте себе, – чому під дією величезного атмосферного тиску, тонкий папір навіть не прогинається? Правильно! Це пояснюється тим, що атмосферне повітря рівномірно тисне з усіх сторін і тому результуюча силова дія цього тиску є нулевою.

Подібна ситуація характерна не лише для аркушів паперу, а й для таких надскладних об’єктів як живі організми. Адже ці організми складаються з клітин, які представляють собою  тонку оболонку наповнену водою та певною кількістю надскладних органічних молекул. При цьому, тиск внутріклітинної рідини практично не відрізняється від зовнішнього атмосферного тиску. А це означає, що результуюча силова дія цих тисків є практично нулевою. Більше того, живий організм, це певна саморегульована система, в якій зміна зовнішнього тиску автоматично призводить до відповідної зміни внутріклітинного тиску. Про можливості такого саморегулювання говорить той факт, що треновані аквалангісти здатні пірнати на стометрову глибину. А це означає, що їх організм витримує десятикратне тискове перевантаження.

Якщо ж говорити про ті зміни атмосферного тиску які відбуваються в самій атмосфері, то вони відносно не значні і зазвичай повільні. Тому здорові люди практично не відчувають коливань атмосферного тиску. Однак іноді, і особливо у людей похилого віку, організм не встигає за відносно швидкими змінами атмосферного тиску, що призводить до певних больових відчуттів. І ви напевно чули, як іноді люди бідкуються, що на зміну погоди у них болить голова, “крутять” ноги, тощо.

Прилади, які безпосередньо вимірюють атмосферний тиск називаються барометрами ( від грец. barus – важкий, metros – міряти). Першим барометром був той прилад яким Торрічеллі виміряв атмосферний тиск. Подібні барометри називаються ртутними. Сучасні ртутні барометри є еталонними вимірювачами атмосферного тиску, тобто тими базовими приладами за якими налаштовують та перевіряють всі інші барометри. Однак з практичної точки зору ртутні барометри мають ряд суттєвих недоліків. По-перше, ртутні барометри досить громіздкі та масивні. По-друге, ці прилади потребують обережного поводження з ними (їх не можна нахиляти, перевертати, піддавати значним ударним навантаженням, тощо). По-третє (і це головне), ртуть – це отруйна та шкідлива речовина, заборонена для вільного використання. Тому в науковій практиці, а тим більше в побуті, атмосферний тиск вимірюють механічними барометрами які часто називають барометрами-анероїдами тобто безрідинними барометрами. Основним вимірювальним елементом такого приладу (мал.93) є герметична коробка (К) внутрішній тиск якої незмінний і значно менший атмосферного. Однією з сторін цієї коробки є гофрована пружна мембрана (М) рівновага якої підтримується пружиною (П). При зміні зовнішнього тиску, мембрана деформується, що призводить до відповідного відхилення стрілки приладу.

            

мал.93  Механічний барометр: а) принципова схема; б) загальний вигляд.

Оскільки атмосферний тиск певним чином залежить від висоти, то барометром можна вимірювати не лише атмосферний тиск, а й висоту над рівнем моря, наприклад висоту польоту літака, гелікоптера, тощо. Барометр за шкалою якого визначають висоту над рівнем моря називають барометричним альтиметром (від лат. altus – високо) .

Коли ми говоримо про тиск повітря в футбольному м’ячі, тиск в шинах автомобіля, тиск газу в газопроводі чи води в водопроводі, то маємо на увазі не тиск так би мовити “взагалі”, а те наскільки даний тиск перевищує атмосферний. Навіть в тому випадку, коли ми стверджуємо, що шар води створює на дно відкритої посудини певний тиск, то фактично мова йде про певний надатмосферний тиск. Адже сама вода знаходиться під тиском в одну атмосферу. Із вище сказаного ясно, що на практиці нас зазвичай цікавить той надатмосферний тиск який існує в тій чи іншій ситуації. Прилади які вимірюють не атмосферний тиск, а те на скільки наявний тиск рідини або газу відрізняється від атмосферного, називаються манометрами (від грец. manos – не густий).

Існує багато різновидностей манометрів. При цьому, в технічній практиці найбільш поширеними є так звані деформаційні манометри і зокрема ті з них, в яких чутливим елементом є спеціальна манометрична трубка (мал.94а). Ця трубка представляє собою з одного краю запаяну, суттєво сплющену металеву трубку зігнуту у вигляді напівкільця. Коли в манометричну трубку надходить зовнішній тиск (тиск який вимірюють), то вона деформується і відповідним чином відхиляє стрілку приладу. Деформація кільцеподібної трубки відбувається тому, що при одному і тому ж внутрішньому тиску, на поверхню більшого радіусу, а отже і більшої площі, діє більша сила.

мал.94   Деформаційний манометр (а); рідинний манометр (б).

В лабораторній практиці часто застосовують рідинні манометри (мал.94б). Вони представляють собою відкриту U-подібну скляну трубку частково заповнену рідиною. Коли в одне з колін цієї трубки надходить той тиск який потрібно виміряти, то рівень рідини відповідним чином змінюється. За цією зміною і визначають величину тиску.

Словник фізичних термінів.

Тиск – це фізична величина, яка характеризує усереднену силове дію що припадає на одиницю площі поверхні і яка дорівнює відношенню діючої на дану поверхню сили F до площі цієї поверхні S.

Позначається:  р

Визначальне рівняння:  р=F/S

Одиниця вимірювання:  [р]=Н/м2=Па ,  паскаль.

 

Контрольні запитання.

  1. Тиск в один паскаль, це багато чи мало.
  2. Відомо, що атмосферний тиск становить 760мм.рт.ст. Яким є цей тиск виміряний в паскалях та в метрах водяного стовпчика?
  3. Вантаж якої маси потрібно поставити на стіл площа поверхні якого 1м2, щоб він відчув тиск в одну атмосферу.
  4. Чому ми практично не відчуваємо дію атмосферного тиску?
  5. Чому в рідинних барометрах використовують ртуть а не воду?
  6. Чому в побуті застосовують не ртутні, а механічні барометри?
  7. Яким приладом, барометром чи манометром, вимірюють тиск в шинах автомобіля? Чому?

§57. Закон Паскаля – основний закон гідрогазостатики.

 

         Гідрогазостатика – це розділ гідрогазомеханіки (механіки рідин і газів) в якому вивчають параметри, закономірності та причини стану механічної рівноваги рідин і газів, а також їх механічну дію на занурені тверді тіла.

Механічною рівновагою рідини (газу) – називають такий механічний стан рідини, при якому відсутній не лише рух рідини як єдиного цілого, а й її суттєві внутрішні рухи.

Коли ми стверджуємо що рідина (газ) знаходиться в стані механічної рівноваги, то маємо на увазі не лише факт того що рідина не рухається як єдине ціле, а й те що в ній відсутні будь які суттєві внутрішні рухи (внутрішні течії, коливання поверхні, тощо). Наприклад, якщо в цистерні з рідиною є отвір через який вона витікає, то стан рідини не є станом механічної рівноваги. Навіть в тому випадку, коли в зовні спокійній рідині існують суттєві внутрішні течії, обумовлені наприклад певними механічними, тепловими чи іншими чинниками, то строго кажучи механічний стан відповідної рідини не є станом механічної рівноваги.

Основний закон гідрогазостатики був сформульований французьким фізиком Паскалем. В 1651-1654 роках, розмірковуючи над тим, чому атмосферний тиск в кімнаті та за її межами однаковий, чому аркуш паперу і людський організм не відчувають силової дії атмосферного тиску, чому занурені в рідину тіла виштовхуються з неї, а також проводячи відповідні експериментальні дослідження, Паскаль з’ясував: той зовнішній тиск що діє на поверхню механічно зрівноваженої рідини (газу) без змін передається у всі точки цієї рідини і діє у всіх можливих напрямках. (закон Паскаля). Наприклад, якщо поршень (мал.95) створює певний тиск на усталену рідину або газ, то цей тиск без змін передається у всі точки відповідної рідини або газу.

                

мал.95    Тиск (р) який створює вантаж, передається у всі точки рідини (газу) і діє в кожній з цих точок у всіх можливих напрямках.

Застосовуючи закон Паскаля потрібно мати на увазі, що окрім діючого на рідину (газ) зовнішнього тиску, в ній неминуче існує певний додатковий тиск, поява якого обумовлена дією на рідину сили тяжіння, тобто вагою самої рідини. Цей тиск прийнято називати ваговим або гідростатичним.

Ваговий (гідростатичний) тиск – це той тиск, який створює певний шар рідини (газу) за рахунок того що на неї діє сила тяжіння, тобто за рахунок своєї ваги.

Позначається: рв

Визначальне рівняння: рв=ρgh

де ρ – густина рідини (газу),

g – прискорення вільного тяжіння,

h – висота рідини над заданим рівнем.

Одиниця вимірювання: [рв] = Па.

Аналізуючи рівняння рв=ρgh не важко бачити, що в різних точках ваговий тиск рідини може бути суттєво різним, і що по мірі занурення в рідину, величина цього тиску лінійним чином зростає (мал.96). Звичайно, якщо мова йде про гази, то в багатьох випадках величиною їх вагового тиску можна знехтувати. Адже густина газів відносно незначна. Однак, якщо мова йде про великі перепади висот, то ваговий тиск газу може бути суттєвим. До речі, той тиск який ми називаємо атмосферним фактично є ваговим тиском того шару повітря, що знаходиться над рівнем даної точки. І якщо вже ми заговорили про ваговий тиск газу, то зауважимо, що на суттєво різних висотах густина газу суттєво різна. А це означає, що застосовуючи формулу рв=ρgh потрібно враховувати даний факт .

 

мал.96    Ваговий тиск рідини пропорційний висоті того шару рідини що знаходиться над рівнем даної точки.

Потрібно зауважити, що величина того вагового тиску який створює рідина на дно посудини, не залежить ні від площі цього дна, ні від форми посудини, ні від кількості рідини в ній. Величина цього тиску залежить лише від густини рідини (), прискорення діючої на рідину сили тяжіння () та висоти рідини над заданим рівнем (). Скажімо, маса (а відповідно і вага) тієї рідини що міститься в зображених на мал 97а посудинах, є різною. При цьому тиск цієї рідини на дно кожної посудини є однаковим. Даний факт здається парадоксальним. Парадоксальним бодай тому, що з одного боку тиск рідини на дно різних посудин є однаковим. З іншого ж боку, тиск самих посудин на поверхню опори (стола) з різним. Не відповідність між тиском рідини на дно посудини та вагою цієї рідини, часто називають гідростатичним парадоксом або парадоксом Паскаля .

 

Мал.97  Тиск рідини на дно та бічні поверхні посудини не залежить від маси (ваги) налитої в посудину рідини.

Застосовуючи закон Паскаля можна довести, що ніяких реальних протиріч в гідростатичному парадоксі нема. Адже у відповідності з цим законом, в тих посудинах стінки яких є похилими, ці стінки приймають активну участь в сприйнятті силової дії наявної рідини (мал.97б). Результатом цього сприйняття є факт того, що той тиск який створює рідина на дно та бічні поверхні посудини по суті не залежить від кількості рідини в цій посудині. При цьому тиск рідини на дно посудини і тиск цієї рідини на опору (поверхню стола) може бути різним.

Демонструючи факт того, що тиск рідини на дно та бічні поверхні посудини не залежить від кількості рідини в цій посудині, Паскаль в 1648 році провів наступний показовий експеримент. В невеличкий отвір наповненої водою герметичної діжки, він вставив відповідну довгу трубку. Піднявшись на балкон другого поверху, Паскаль влив в цю трубку кухоль води. Яким же було здивування присутніх, коли під силовою дією цієї відносно мізерної кількості водо, міцна винна діжка лопнула.

Знаючи та застосовуючи закон Паскаля можна пояснити не лише гідростатичний парадокс, а й те чому в сполучених посудинах рівень рідини однаковий, чому на занурені в рідину (газ) тіла діє виштовхувальна сила (сила Архімеда). Пояснити будову та принцип дії багатьох приладів, зокрема гідравлічних пресів, домкратів, гальмівних систем, тощо. Що ж давайте застосуємо закон Паскаля для вище згаданих пояснень. І почнемо з гідравлічних систем, зокрема гідравлічних пресів.

На мал.98 зображена система двох сполучених циліндрів, які заповнені рідиною і закриті відповідними поршнями. Не важко довести, що коли на поршень площею S1 діє сила F1 , то діюча на поршень S2 сила F2 , визначатиметься за формулою  F2=F1(S2/S1) .

Дійсно. Діюча на поршень S1 сила F1 створює тиск р1=F1/S1 . Цей тиск, згідно з законом Паскаля без змін передається у всі точки рідини, в тому числі і ті що знаходяться під поршнем S2 . При цьому діючий на поршень S2 тиск р21 , створюватиме відповідне силове зусилля: F2=p2S2=(F1/S1)S2=F1(S2/S1).

мал.98   Схема гідравлічної системи, що дозволяє збільшувати силове зусилля.

Таким чином, зображена на мал.98 система, дозволяє в n=S2/S1 разів збільшувати силове зусилля. Однак, говорячи про те, що певна гідравлічна система в певну кількість разів збільшує силову дію, не слід забувати про закон збереження енергії. А згідно з цим законом, та робота яку виконує сила F2 і яка дорівнює A2=F2h2 , не може перевищувати ту роботу яку виконує сила F1 : A1=F1h1 . А це означає, що виграючи в силі (F2=nF1) ми неминуче програєм в пройденому шляху (h2=h1/n) – золоте правило механіки.

Зважаючи на вище сказане не важко пояснити будову та принцип дії зображеного на мал.99  гідравлічного преса. Втім, маю надію, що ви зможете зробити це самостійно.

1, 2 – малий та великий поршні,   3, 4 – вхідний та вихідний клапани,

5 – нерухома платформа,      6 – резервуар з рідиною.

мал.99  Принципова схема гідравлічного пресу.

Застосовуючи закон Паскаля не важко пояснити факт того, що в сполучених посудинах, рівень однорідної рідини є однаковим. Дійсно. Згідно з законом Паскаля, існуючий в довільній точці Х (мал.100) тиск рх складається із діючого на поверхню рідини зовнішнього (атмосферного) тиску р0 та відповідного цій точці вагового тиску ρgh , тобто рх0+ρgh . Припустимо, що рівень рідини в різних посудинах різний і становить h1, h2, h3 . Виходячи з цього можна стверджувати, що той тиск який створюється в точці Х  різними стовпами рідини, має визначатись за формулами:  px1 = p0 + ρgh1 ,

px2 = p0 + ρgh2 ,

px3 = p0 + ρgh3 .

Але ж, в точці Х тиск не може бути одночасно різним. Він може бути лише однаковим (рх1х2х3). А оскільки той атмосферний тиск (р0) що діє на вільну поверхню рідини, в кожній посудині є однаковим, то можна стверджувати: ρgh1=ρgh2=ρgh3 . А це можливо лише за умови  h1=h2=h3 .

мал.100   а) Якщо в сполучених посудинах міститься однорідна рідина, то її рівень в цих посудинах однаковий. б) Якщо ж в сполучених посудинах містяться рідини різної густини, то їх рівень буде різним.

Звичайно, якщо в сполучених посудинах містяться рідини різної густини (мал.100б), то рівень цих рідин може бути різним. Однак і в цьому випадку все відбувається у відповідності з законом Паскаля. Адже якщо ρ1≠ρ2, то із формули ρ1gh12gh2 випливає, що h2≠h1 ; (h2=h1ρ12) .

Знаючи та застосовуючи закон Паскаля можна довести, що на будь яке занурене в рідину (газ) тіло, діє виштовхувальна сила, величина якої дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини (закон Архімеда) . Дійсно. Розглянемо силову дію рідини на занурене в неї тіло. Для простоти розрахунків та пояснень, в якості такого тіла візьмемо прямокутний паралепіпед висотою h і  S (мал.101). Оскільки сили тиску рідини на бічні грані паралепіпеда попарно симетричні і попарно протилежні, то їх результуюча дія дорівнює нулю. З іншого боку, згідно з законом Паскаля, сили тиску рідини на верхню F1 і нижню F2 основи паралепіпеда суттєво різні:

F1 = p1S = (p0 + ρgh1)S ,

F2 = p2S = (p0 + ρgh2)S .

Рівнодіюча цих сил і є виштовхувальною силою Архімеда:

Fa = F2 – F1 = (p0 + ρgh2 – p0 – ρgh1)S = ρghS .

А враховуючи що  Sh=V – об’єм тіла;  ρV=m – маса тієї рідини яку виштовхує тіло;  mg=Pр – вага тієї рідини, яку виштовхнуло тіло, можна записати:

Fa = ρgV = mg = Pp .

Що і потрібно було довести.

мал.101   На будь яке занурене в рідину тіло, діє виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини.

 

Словник фізичних термінів.

         Гідрогазостатика – це розділ гідрогазомеханіки (механіки рідин і газів) в якому вивчають параметри, закономірності та причини стану механічної  рівноваги рідин і газів, а також їх механічну дію на занурені тверді тіла.

Механічною рівновагою рідини (газу) – називають такий механічний стан рідини, при якому відсутній не лише рух рідини як єдиного цілого, а й її суттєві внутрішні рухи.

Закон Паскаля – це закон, в якому стверджується: той зовнішній тиск що діє на поверхню механічно зрівноваженої рідини (газу) без змін передається у всі точки цієї рідини і діє у всіх можливих напрямках.

Ваговий (гідростатичний) тиск – це той тиск, який створює певний шар рідини (газу) за рахунок того що на неї діє сила тяжіння, тобто за рахунок своєї ваги.

Позначається: рв

Визначальне рівняння: рв=ρgh

Одиниця вимірювання: [рв] = Па.

Закон сполучених посудин – це закон, в якому стверджується: в сполучених посудинах, вільні поверхні однорідних рідин знаходяться на одному рівні.

Закон Архімеда – це закон, в якому стверджується: на будь яке занурене в рідину (газ) тіло, діє виштовхувальна сила, величина якої дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини (газу).

 

Контрольні запитання.

  1. Чим відрізняється стан механічної рівноваги рідини, від стану механічної рівноваги твердого тіла?
  2. Виходячи з загального визначального рівняння тиску р=F/S , доведіть, що ваговий тиск рідини можна визначити за формулою р=ρgh.
  3. Поясніть будову та принцип дії зображеного на мал. 99 гідравлічного пресу.
  4. Чи може рівень рідини в сполучених посудинах бути різним? Якщо може, то коли і чому?
  5. Чому ми стверджуємо, що закон Паскаля, це основний закон гідрогазостатики?
  6. В зображених на малюнку посудинах, площа дна однакова. Чи з однаковою силою тисне рідина на дно кожної посудини? Чи з однаковою силою тиснуть ці посудини на поверхню стола?

  1. Чи не здається вам, що вище наведена ситуація є парадоксальною? Спробуйте пояснити її.

Вправа 38.

  1. В підводній частині корабля, на глибині 3м від рівня води, утворилась пробоїна загальною площею 20см2. Яке мінімальне зусилля знадобиться для того, щоб втримати латку з внутрішньої частини корабля?
  2. Знаючи радіус землі (R=6,4∙106м) і величину атмосферного тиску (р0=1∙105Па) визначте масу земної атмосфери.
  3. Ширина шлюзу 10м. Шлюз заповнений водою, надлишковий рівень якої 7м. З якою силою вода тисне на ворота шлюзу?
  4. До якої висоти потрібно налити рідину в циліндричну посудину радіусом R, щоб сила з якою ця рідина тисне на бічну поверхню посудини дорівнювала силі тиску на її дно? Дію атмосферного тиску не враховувати.
  5. В циліндричну посудину налита ртуть і вода в рівних за масою кількостях. Загальна висота двох шарів рідин становить 29,2см. Визначити тиск рідини на дно посудини. Густина ртуті 13,6∙103кг/м3.
  6. В двох циліндричних, сполучених посудинах, площі поперечних перерізів яких однакові і становлять по 11,5см2, знаходиться ртуть. В одну з посудин поверх ртуті налили 2л води і опустили плавати в воду тіло масою 150г. На яку висоту підніметься рівень ртуті в другій посудині?

§58. Розвязування задач.

                    Тема: механіка рідин та газів.

 

         Задача 1.  Куля плаває таким чином, що одна її половина занурена у ртуть (ρ=13,6∙103кг/м3), а друга – в машинне масло (ρ=0,9∙103кг/м3). Визначити густину кулі.

Дано:                                       Аналіз:

ρ1=13,6∙103кг/м3

ρ2=0,9∙103кг/м3                                       малюнок

V1=V2=V/2

————————–Розглянемо діючі на кулю сили і виходячи з умови її

ρ3=?                             рівноваги (∑F=0), визначимо невідому величину.

На дану нерухому кулю діють три сили: сила тяжіння Fт,

сила Архімеда збоку ртуті F1 та сила Архімеда збоку

машинного масла F2 . При цьому:

Fт = mg = ρ3gV

F1 = ρ1gV1 = ρ1gV/2

F2 = ρ2gV2 = ρ2gV/2 .

Оскільки, згідно з умовою рівноваги кулі:

F = F1 + F2  ,  то

ρ3gV = ρ1gV/2 + ρ2gV,  або   ρ3gV = gV(ρ12)/2 .

Звідси               ρ3 = (ρ1 + ρ2)/2.

Розрахунки: ρ3 = … = 7,25∙103кг/м3 .

Відповідь:  ρ3 = 7,25∙103кг/м3.

Задача 2.  В U – подібній посудині знаходиться ртуть. При цьому діаметр вузького коліна посудини в чотири рази менший за діаметр широкого коліна. В вузьку частину посудини налили шар води висотою 70см. На скільки підніметься ртуть в широкій частині посудини і на скільки опуститься в вузькій?

Дано:                                       Аналіз:

d2=4d1

h0 = 0,7м                                   малюнок

ρв = 1∙103кг/м3

ρр = 13,6∙103кг/м3            Оскільки той об’єм ртуті, який був витіснений з

————————   вузького циліндру (ΔV1) має дорівнювати тому об’єму

h1 =  ?;  h2 = ?                  ртуті, який добавиться в широкому циліндрі (ΔV2), та                                       враховуючи що:

ΔV1 = S1h1 = (πd12h1)/4 ;

ΔV2 = S2h2 = (πd22h2)/4 = (π(4d1)2h2)/4 = 4πd12h2 ,

можна записати: πd12h1/4 = 4πd12h2 ,      звідси:  h1 = 16h2     (1).

З іншого боку, той тиск який створює шар води висотою h0 : рввgh0 ,

має дорівнювати тому тиску який створює шар ртуті висотою h1+h2 :

pppg(h1+h2)   тобто:  ρвgh0 = ρpg(h1+h2) .

Звідси  h1+h2 = h0вр) ,  або   h1 = h0вр) – h2        (2).

Таким чином, ми маємо два незалежних рівняння (1 і 2 ) з двома невідомими. Розв’язуючи систему цих рівнянь можна записати:

16h2 = h0вр) – h2  , звідси  17h2 = h0вр) ,   або   h2 = h0ρв/17ρр .

У підсумку: h1 = 16h2   ,   h2 = h0ρв/17ρр .

Розрахунки:  h2 = … = 0,003м = 3мм,

h1 = … = 0,048м = 48мм.

Відповідь: h1 = 48мм  , h2 = 3мм.

 

Задача 3.  В посудині з водою плаває шматок льоду до якого примерзла коркова пробка. Як зміниться рівень води в посудині після того як лід розтане? Розглянути два варіанти: в початковий момент часу примерзла пробка знаходиться 1) над водою, 2) під водою.

         Загальні зауваження.  На перший погляд, дана задача представляється такою, що не має кількісно обгрунтованого рішення. Насправді ж, таке рішення існує. Однак, воно буде реалізовано лише в тому випадку, якщо аналізуючи умову задачі, ви звернете увагу на факт того, що в процесі плавлення льоду, тиск рідини на дно посудини залишається незмінним.

Аналіз:

 

малюнок

 

В незалежності від того плаває щось в рідині чи не плаває, її тиск на дно посудини визначається за формулою р=ρgh  , де h – висота рідини над рівнем дна посудини.

Оскільки загальна маса тих речовин що знаходяться в посудині як до, так і після плавлення льоду залишається незмінною, та зважаючи на те, що в обох випадках на дно посудини тисне лише вода, можна стверджувати, що тиск води на дно посудини як в процесі так і після плавлення льоду залишається незмінним. При цьому, величина цього тиску не буде залежати від того де початково знаходилась коркова пробка – над водою, під водою чи де інде.

Таким чином, з одного боку тиск води на дно посудини до (р1) і після (р2) танення льоду має визначатись за формулами  р1=ρgh1  ; р2=ρgh2  . З іншого ж боку: р12. А це означає, що ρgh1 = ρgh2  і тому h1=h2.

Відповідь: в обох випадках рівень води в посудині залишається                                       незмінним і рівним його початковій величині.

Зауваження.  Якби частиною шматка льоду було не пробкове тіло, а тіло залізне, то після того як це тіло опинилось би на дні посудини, тиск рідини на це дно дещо зменшився б. Зменшився б на ту величину яку спричиняло те додаткове занурення льоду, джерелом якого була сила ΔF = Fт – Fa , де Fт,Fa – діючі на залізне тіло, відповідно, сила тяжіння та сила Архімеда. А це означає що рівень рідини у відповідній посудині дещо зменшився б.

Задача 4.  Сплав міді (ρ=8,9∙103кг/м3) з сріблом (ρ=10,5∙103кг/м3) в повітрі важить 29,40Н, а в воді 26,46Н. Визначити масові частки міді і срібла в цьому сплаві.

 

Дано:                                           Аналіз:

Р1=29,40Н

Р2=26,46Н                                       малюнок

ρ1=8,6∙103кг/м3

ρ2=10,5∙103кг/м3   Будемо виходити з того що наявна різниця ваги ΔР=Р12

ρ=1,0∙103кг/м3       є результатом того, що у воді на сплав діє відповідна сила

————————–Архімеда, тобто що ΔР=Fa

m1=?      m2=?             де  Fa = ρgV = ρg(V1+V2) = ρg(m11+m22).

Таким чином:

ρg(m11+m22)=ΔP      або    m11+m22 =ΔP/ρg       (1).

З іншого боку, вага тіла в повітрі (Р1) практично дорівнює діючій на нього силі тяжіння, тобто:  Р1 = Fт = mg = (m1+m2)g. Звідси m1+m2=P1/g    (2).

Таким чином, ми маємо систему двох незалежних рівнянь з двома невідомими. Розв’яжемо цю систему і визначимо невідомі величини.

Із (2) випливає:  m1 = P1/g – m2        (2´)

Із (1) випливає:  m1 = ΔPρ1/gρ – m2ρ12    (1´).

Із (1´) і (2´) випливає:

P1/g – m2 = ΔPρ1/gρ – m2ρ12 .

Звідси   m2(1-ρ12) = P1/g – ΔPρ1/gρ .

У підсумку:   m2 = (P1/g – ΔPρ1/gρ)/( 1-ρ12) ;   m1 = P1/g – m2  .

Розрахунки:   m2 = … = 2,32кг,

m1 = … = 0,68кг.

Відповідь: m1=0,68кг ,   m2=2,32кг.

                           

                                      Вправа 39.

  1. Визначити густину однорідного тіла, якщо відомо що його вага в повітрі становить 28,0Н, а у воді 16,9Н. Втратами ваги в повітрі знехтувати.
  2. На одній чаші вагів лежить шматок срібла масою 105г, а на іншій – шматок скла масою 130г. Яка чаша переважить при зануренні вагів у воду? Густина срібла 10,5∙103кг/м3, скла 2,6∙103кг/м3.
  3. Шматок заліза у воді важить 40,0Н. Визначити його об’єм. Густина заліза 7,8∙103кг/м3.
  4. Тіло кубічної форми плаває у ртуті так, що в ртуть занурено 0,25 його об’єму. Яка частина об’єму тіла буде занурена в ртуть після того як зверху неї налити шар води, який повністю покриє тіло?
  5. В сполучених посудинах знаходиться ртуть. Діаметр вузької посудини в 2 рази менший за діаметр широкої. В широку посудину налили шар води висотою 50см. На скільки підніметься ртуть у вузькій посудині і наскільки опуститься в широкій?
  6. Крижина площею 40м2 і товщиною 40см плаває у воді. Тіло якої максимальної маси може втримати на плаву ця крижина? Густина льоду 900кг/м3.
  7. В посудині з водою плаває кусок льоду в середині якого знаходиться кусок дерева, кусок заліза та велика бульбашка повітря. Як зміниться рівень води в посудині після того як лід розтане?

§59. Основні поняття та основні величини гідрогазодинаміки.

 

         Гідрогазодинаміка – це розділ гідрогазомеханіки (механіки рідин та газів), в якому вивчають параметри, закономірності та причини механічного руху рідин і газів, а також їх механічні взаємодії з твердими тілами.

До числа основних понять гідрогазодинаміки відносяться: стаціонарний, ламінарний та турбулентний рух середовища, вязкість середовища, ідеальна рідина. Відразу ж зауважимо, що все, що в подальшому буде сказано про динамічні параметри рідини, з певними поправками стосується не лише рідин, а й газів.

Стаціонарним (усталеним) називають такий рух рідини (газу) при якому її швидкість в заданій точці потоку з плином часу залишається незмінною. При цьому, в інших точках потоку ця швидкість може бути іншою. Якщо ж в заданій точці потоку, швидкість рідини змінюється, то такий рух називають нестаціонарним або неусталеним. В реальних умовах ідеально стаціонарний рух рідини (газу) зустрічається надзвичайно рідко. Тому на практиці стаціонарним (усталеним) прийнято вважати такий рух, в процесі якого через заданий переріз потоку, наприклад через поперечний переріз труби, за однакові проміжки часу протікає однакова кількість рідини.

За наявністю чи відсутністю вихрових збурень в потоці рідини (газу) ці потоки поділяють на ламінарні та турбулентні (мал.102а,б). Рух рідини при якому її потік можна представити у вигляді уявних паралельних шарів, які в процесі руху не перемішуються називається ламінарним (від лат. lamina – шар, пластинка). Зазвичай, в ламінарному ці режимі рухаються лише ті рідини які мають достатньо велику в’язкість (гліцерин, машинне масло, мед, тощо). Рідини малої в’язкості (вода, бензин, спирт, молоко, тощо), рухаються ламінарно лише при достатньо малих швидкостях, або в тих випадках коли вони течуть по дуже вузьким каналам (капілярам). В інших випадках рух таких рідин є турбулентним (від лат. turbulentus – безладний, хаотичний). В турбулентному потоці, кожен елемент рідини приймає участь в двох рухах: упорядкованому поступальному та неупорядкованому вихровому. При цьому, рідину не можна представити як таку, що складається з певних паралельних шарів. Адже в процесі турбулентного руху ці шари постійно перемішуються.

В турбулентному потоці швидкість рідини в будь якій заданій точці постійно змінюється. Змінюється не лише в напрямку поступального руху рідини, а й в інших напрямках. Тому, говорячи про швидкість руху рідини в заданій точці турбулентного потоку, мають на увазі усереднену величину цієї швидкості. Строго кажучи, будь який турбулентний рух є нестаціонарним. Однак на практиці, в тих випадках коли усереднена швидкість рідини в кожній точці турбулентного потоку залишається незмінною, цей потік вважають стаціонарним.

Експериментальні дослідження показують, що як в турбулентному, так і в ламінарному потоці, той шар рідини який безпосередньо контактує з твердою поверхнею, по суті залишається нерухомим (нерухомим відносно поверхні). При цьому, в ламінарному потоці, швидкість рідини по мірі віддалення від твердої поверхні плавно зростає від нуля до певної максимальної величини (мал.102в). В турбулентному ж потоці, таке зростання відбувається в межах дуже тонкого приповерхневого шару (мал.102г).

 

мал.102    Загальна картина ламінарного (а) та турбулентного (б) руху рідини. Характер розподілу усередненої швидкості потоку рідини в трубі, при її ламінарному (в) та турбулентному (г) русі.

Однією з основних властивостей будь якої рідини є її вязкість. Напевно, кожен з вас інтуїтивно розуміє яку властивість рідини характеризує термін в’язкість. Скажімо, якби вас запитали, чому із отвору в посудині мед витікає повільніше за воду, то скоріш за все ви б сказали, що мед має велику в’язкість і що тому він погано тече. І це правильно. Правильно по-перше тому, що в’язкість це дійсно щось протилежне текучості. А по-друге, величину в’язкості дійсно оцінюють по тому як швидко рідина витікає через стаціонарний отвір, або як швидко падає в ній стандартна металева кулька.

         В’язкість (внутрішнє тертя) – це властивість середовища (рідини або газу), яка проявляється в здатності цього середовища чинити опір переміщенню однієї його частини відносно іншої.

По суті, терміном в’язкість позначають складний комплекс взаємопов’язаних властивостей середовища, які певним чином проявляють себе та кількісно оцінюються. Наслідком цієї складності є факт того, що в різних обставинах в’язкість однієї і тієї ж рідини може бути суттєво різною. Наприклад, в’язкість рідини при її ламінарному русі і в’язкість тієї ж рідини при її турбулентному русі – це дві суттєво різні в’язкості. Різні не лише за своєю величиною, а й за своєю фізичною суттю. Ще більші відмінності існують між в’язкістю рідин та в’язкістю газів. Достатньо сказати, що при збільшенні температури, в’язкість рідин швидко зменшується, а в’язкість газів – повільно збільшується.

Про складність того, що прийнято називати в’язкістю, говорить і той факт, що на сьогоднішній день єдиної, загально прийнятої теорії в’язкості не існує. На практиці, в’язкість рідини кількісно оцінюють на основі ряду експериментально отриманих співвідношень, які в тій чи іншій мірі відображають залежність в’язкості від різних обставин: сорту рідини, характеру її руху, температури, тиску, тощо.

Загально прийнятою кількісною мірою в’язкості є величина, яка називається коефіцієнтом в’язкості. Ці величина має складне визначення. Тому просто зауважимо, що коефіцієнт в’язкості позначається η і вимірюється η=Па∙с (паскаль-секунда). Числове значення коефіцієнту в’язкості (або просто в’язкості) визначається експериментально і записується у відповідну таблицю (дивись тал. ). Прилад за допомогою якого визначають коефіцієнт в’язкості речовини називається віскозиметром (від лат. – в’язкий і грец. – вимірювати).

Таблиця

Коефіцієнт в’язкості деяких речовин визначені при  =20°С.

    Речовина     η (10-3Па∙с)     Речовина     η(10-3Па∙с)
    вода         1,00 гліцерин        1500
    спирт         1,20 касторове масло         986
    ефір         0,24 машинне масло      60 – 600
    ртуть         1,55 мазут         2050

В’язкість, а отже і коефіцієнт в’язкості рідини надзвичайно сильно залежать від її температури. Ілюстрацією цієї залежності є наведені в табл. х  значення коефіцієнтів в’язкості води і гліцерину визначені при різних температурах.

Таблиця

Коефіцієнти в’язкості деяких речовин при різних температурах.

        t  (°C)     0    20     50     100    200
вода         (мПа∙с)    1,80   1,00    0,55     0,28      –
гліцерин  (мПа∙с) 12110  1500    180      13     0,22

 

В механіці рідин та газів, при теоретичних поясненнях та наближених розрахунках, реальну рідину зазвичай замінюють її спрощеною (ідеалізованою) моделлю яка називається ідеальною рідиною. Ідеальна рідина – це спрощена (ідеалізована) модель реального середовища (рідини або газу), яка представляє собою таке умовне середовище яке не стискається і має нулеву в’язкість.

Потрібно зауважити, що реальні рідини і реальні гази певною мірою схожі і певною мірою не схожі на ідеальну рідину. При цьому рідини схожі тим що практично не стискаються і не схожі тим що мають відносно велику в’язкість. Гази ж, навпаки – схожі тим, що мають малу в’язкість (η~2∙10-5Па∙с) і не схожі тим, що сильно стискаються. Тим не менше, в багатьох практично важливих ситуаціях ті закони які можна отримати на основі теоретичного аналізу поведінки ідеальної рідини, достатньо точно описують механічну поведінку як реальних рідин так і реальних газів. Звичайно за умови, що в’язкість цих рідин не надто велика (η ≤ 2∙10-3Па∙с), а швидкість газів не перевищує 100м/с (при таких швидкостях стисненням газу в процесі його руху можна знехтувати).

Однією з основних фізичних величин гідрогазодинаміки як і гідрогазо-статики є тиск. При цьому, в гідрогазодинаміці розрізняють три різновидності тиску: статичний, ваговий та динамічний.

         Статичний тиск (або просто, тиск) – це той тиск, з яким потік рідини (газу) тисне на ту поверхню що обмежує цей потік і є паралельною до нього.

Позначається: р

Визначальне рівняння: р=F/S

Одиниця вимірювання:  р=Па.

Ваговий тиск – це той тиск, який створює певний шар рідини (газу) за рахунок своєї ваги.

Позначається: рв

Визначальне рівняння: рв=ρgh

Одиниця вимірювання:  [рв]=Па

Динамічний тиск – це той тиск, який створює потік рідини (газу) за рахунок енергії свого руху і який діє в напрямку цього руху.

Позначається: рд

Визначальне рівняння: рд=ρv2/2

де  ρ – густина рідини ;  v – швидкість її руху.

Одиниця вимірювання: [рд]=Па.

Характерною особливістю динамічного тиску є те, що він діє лише в напрямку руху рідини (газу). А це означає, що на ті тверді поверхні і на ті шари рідини які розташовані вздовж напрямку її руху, динамічний тиск практично не діє. Він діє лише на ті поверхні і на ті шари які розташовані перпендикулярно потоку (або під кутом до нього).

Певні уявлення про суть статичного, вагового та динамічного тисків можна отримати на основі аналізу тих ситуацій які зображені на мал.103. Аналізуючи ці ситуації можна сказати наступне. Той тиск з яким рідина тисне на верхню (р1), нижню (р2) чи будь яку іншу паралельну потоку поверхню труби є статичним тиском. Той додатковий тиск (Δр = р2 – р1) який створює рідина за рахунок своєї ваги є ваговим тиском. А той додатковий тиск який створює рідина за рахунок енергії свого руху і який діє лише на ті поверхні що розташовані перпендикулярно (поперек) потоку, є динамічним тиском.

р1=ρgh1 – статичний тиск на верхню поверхню труби;

р2=ρg(h1+d) – статичний тиск на нижню поверхню труби;

рв=p2 – p1 – ваговий тиск рідини;

рд=ρgΔh=ρv2/2 – динамічний тиск рідини.

мал.103  В гідрогазодинаміці розрізняють три різновидності тиску: статичний, ваговий, динамічний.

 

Словник фізичних термінів.

         Гідрогазодинаміка – це розділ гідрогазомеханіки (механіки рідин та газів), в якому вивчають параметри, закономірності та причини механічного руху рідин і газів, а також їх механічні взаємодії з твердими тілами.

         Стаціонарним (усталеним) називають такий рух рідини (газу) при якому її швидкість в заданій точці потоку з плином часу залишається незмінною. На практиці стаціонарним (усталеним) прийнято вважати такий рух, в процесі якого через заданий переріз потоку, за однакові проміжки часу протікає однакова кількість рідини.

В’язкість (внутрішнє тертя) – це властивість середовища (рідини або газу), яка проявляється в здатності цього середовища чинити опір переміщенню однієї його частини відносно іншої.

Ідеальна рідина – це спрощена (ідеалізована) модель реального середовища (рідини або газу), яка представляє собою таке умовне середовище  яке не стискається і має нулеву в’язкість.

         Динамічний тиск – це той тиск, який створює потік рідини (газу) за рахунок енергії свого руху і який діє в напрямку цього руху.

Позначається: рд

Визначальне рівняння: рд=ρv2/2

Одиниця вимірювання: [рд]=Па.

 

Контрольні запитання.

  1. Чому турбулентний рух рідини можна назвати упорядковано – хаотичним?
  2. По трубам однакового поперечного перерізу тече рідина. При цьому, в першій трубі режим руху ламінарний, а в другій – турбулентний. Чи однакова кількість рідини проходить через поперечний переріз труб за одиницю часу, якщо швидкість рідини в центральній частині обох труб однакова? Поясніть?
  3. Від чого залежить вязкість рідини?
  4. Чим реальні рідини і реальні гази схожі на ідеальну рідину і чим відрізняються від неї?
  5. Чим динамічний тиск суттєво відрізняється від тиску статичного і тиску вагового?
  6. Чи не суперечить закону Паскаля той факт, що динамічний тиск має направлену дію?

 

§60. Закон Бернуллі – основний закон гідрогазомеханіки.

 

В 1738 році швейцарський фізик Даніель Бернуллі (1700 – 1782) сформулював базовий закон сучасної гідрогазомеханіки (закон Бернуллі). З’ясовуючи фізичну суть цього закону, розглянемо енергетичні параметри ідеальної рідини, що усталено (стаціонарно) рухається в гравітаційному полі Землі  по трубі довільного поперечного перерізу.

Якщо виходити з того що:

  1. рідина ідеальна, тобто така що не стискається і в якій відсутні енергетичні втрати на внутрішнє тертя (нулева в’язкість);
  2. в процесі руху, відсутній теплообмін рідини з навколишнім середовищем;
  3. гравітаційне поле Землі є потенціальним, тобто таким в якому будь яке зменшення потенціальної енергії тіла, призводить до еквівалентного збільшення його кінетичної енергії і навпаки (а гравітаційне поле, дійсно потенціальне), –

то можна стверджувати, що повна механічна енергія довільно вибраної маси Δm ідеальної рідини, в процесі руху має залишатись незмінною, тобто зберігатись (закон збереження енергії). А це означає, що коли в точці 1 певна елементарна маса Δm ідеальної рідини має певний запас енергії Е1, то опинившись в точці 2, ця ж маса повинна мати той же запас енергії: Е2 = Е1 .

Оскільки довільно вибраний фрагмент рідини масою Δm, по-перше рухається, по-друге взаємодіє з Землею, по-третє знаходиться під дією певного зовнішнього тиску, то його повна механічна енергія  складається з трьох частин:

  1. тієї кінетичної енергії Ек яку має рідина масою Δm за рахунок її руху:   Ек = Δmv2/2;
  1. тієї потенціальної енергії Еп , яку має рідина масою Δm за рахунок її взаємодії з Землею: Еп = Δmgh;
  2. тієї внутрішньої механічної енергії Евн (а по суті потенціальної енергії сили пружності), яку має рідина масою Δm за рахунок її всебічного стиснення і яка визначається як добуток внутрішнього тиску рідини р на її об’єм ΔV: Евн = рΔV .

Таким чином, в довільній точці потоку, наприклад в точці 1, повна механічна енергія Е1 елементарної маси Δm рідини, визначається за формулою:

Е1 = p1ΔV + Δmgh1 + Δmv12/2 ;

або, враховуючи що Δm=ρΔV:

E1 = p1ΔV + ρΔVgh1 + ρΔVv12/2 .

Оскільки, згідно з законом збереження енергії Е1 = Е2 , то

p1ΔV + ρΔVgh1 + ρΔVv12/2 = p2ΔV + ρΔVgh2 + ρΔVv22/2 .

Розділивши на ΔV, отримаємо:

p1 + ρgh1 + ρv12/2 = p2 + ρgh2 + ρv22/2 ,

або     p + ρgh + ρv2/2 = const .

Висновок:  При усталеному (стаціонарному) русі ідеальної рідини, сума її статичного, вагового і динамічного тисків в будь якому поперечному перерізі труби залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами:  p + ρgh + ρv2/2 = const .

Даний висновок був математично доведений, експериментально перевірений і сформульований швейцарським фізиком Даніелем Бернуллі і тому по праву називається законом Бернуллі.

         В механіці рідин і газів, закон Бернуллі відіграє надзвичайно важливу роль. Достатньо сказати, що відомі закони гідрогазостатики, як-то закон Паскаля, закон сполучених посудин та закон Архімеда, є прямими наслідками закону Бернуллі. Дійсно. Якщо рух рідини в трубі відсутній (v=0), то формула  p + ρgh + ρv2/2 = const , набуває вигляду  p + ρgh = const ,  тобто того вигляду, який можна вважати математичним формулюванням як закону Паскаля так і закону сполучених посудин.

Однак, найбільш важливі та цікаві наслідки закону Бернуллі стосується саме динаміки рідин і газів. При цьому, деякі з цих наслідків здаються такими, що суперечать нашому “здоровому глузду”, тобто тим не систематичним поглядам на навколишній світ, які підсвідомо формуються на основі нашого повсякденного досвіду. Скажімо, якби вас запитали: “В якому місці труби – вузькому чи широкому – тиск рухомої води на стінки посудини буде більшим?” , то скоріш за все, ви б сказали, що в вузькому. І це абсолютно прогнозована відповідь. Адже загально відомо, що коли воду, повітря чи що завгодно, з великого об’єму заштовхувати в малий, то в процесі цього заштовхування тиск відповідного середовища зростає. Керуючись цим повсякденним досвідом “здоровий глузд” твердо заявляє: “в вузькому місці труби, тиск водяного потоку на стінки труби має бути більшим!”, тобто що р21 .Та от парадокс. Якщо ви дійсно в різних місцях труби виміряєте той тиск що діє на її поверхню, то неминуче з’ясуєте, що в найвужчому місці труби, цей тиск буде найменшим, тобто що р21 .

Мал.104  Всупереч передбаченням “здорового глузду”, в вузькому місці труби, тиск водяного потоку на стінки цієї труби є меншим аніж в широкому.

Наявний результат здається дивним. Втім, не будемо поспішати з висновками. Не будемо бодай тому, що передбачення нашого “здорового глузду” грунтуються на аналізі тих ситуацій в яких, при заштовхуванні речовини в меншу посудину, об’єм цієї речовини зменшується. В нашому ж випадку, ніякого зменшення об’єму рідини не відбувається. Просто в процесі руху, ця рідина в одних місцях тече повільніше, а в інших – швидше. При цьому, згідно з законом Бернуллі, а по суті згідно з законом збереження енергії, в тих місцях труби де швидкість рідини збільшується, тиск цієї рідини на стінки труби зменшується і навпаки.

Дійсно. Для поперечних перерізів труби 1-1 і 2-2 (мал.104) можна записати   p1 + ρgh1 + ρv12/2 = p2 + ρgh2 + ρv22/2 .

Оскільки в будь якому поперечному перерізі труби, величина того вагового тиску що діє на її верхню поверхню є нулевою, то для цієї поверхні, закон Бернуллі набуває вигляду    p1 + ρv12/2 = p2 + ρv22/2 .

З факту ж усталеного руху рідини, а отже і факту того, що v2>v1 , з усією очевидністю випливає,  що р2 < р1 .

Таким чином: при усталеному русі ідеальної рідини, збільшення швидкості її руху призводить до відповідного зменшення її статичного тиску і навпаки, тобто:  якщо  v↑ то р↓  ;   якщо  v↓ то р↑ .

Якщо в вашій фізичній лабораторії знайдеться труба змінного поперечного перерізу, яка до того ж буде обладнана відповідними індикаторами тиску (мал.105), то ви легко переконаєтесь в тому, що в вузькому місці труби тиск водяного потоку на її стінки є найменшою. Ви навіть з’ясуєте,  що за достатньо малої площі поперечного перерізу труби і відповідно великої швидкості потоку в ній, тиск на поверхню цієї труби стає меншим атмосферного. А це означає, що коли в такій трубі зробити отвір, то з нього не те що не вдарить фонтан рідини, а скоріш навпаки – атмосферне повітря буде засмоктуватись всередину труби.

мал.105  При достатньо великій швидкості водяного потоку, його тиск на поверхню труби може стати меншим атмосферного.

Однак, як бути в тому випадку, коли у вас нема спеціального обладнання? Чи можна в такій ситуації   перевірити справедливість закону Бернуллі? Виявляється, можна. І для цього не потрібні надскладні прилади. Достатньо вашої кмітливості та вміння логічно мислити. Скажімо, якщо ви візьмете аркуш папера і покладете його на дві паралельно розташовані так, щоб утворилась імпровізована труба , а потім, за допомогою своїх легень змусите повітря рухатись в цій трубі, то неодмінно з’ясуєте, що у повній відповідності з законом Бернуллі, статичний тиск всередині цієї “труби” зменшиться і зовнішній атмосферний тиск відповідним чином деформує паперову стінку труби. При цьому, повітряний потік не підніме цю стінку, як того вимагає логіка “здорового глузду”, а навпаки – притисне її до поверхні стола.

мал.106.  Деякі прості прояви закону Бернуллі.

Або, наприклад, якщо над аркушем паперу що зігнувся під дією сили тяжіння (мал.106б), тим же легеневим “насосом” створите повітряний потік, то всупереч дії сили тяжіння цей аркуш почне випрямлятись. І це відбуватиметься тому, що згідно з законом Бернуллі, повітряний потік зменшить тиск над паперовим аркушем.

А от ще один простий експеримент. В склянку з водою опускають трубку невеликого діаметру, наприклад трубчасту основу звичайної ручки. Опускають так, щоб вода не доходила до верхнього краю трубки на 2-3см (мал106в). Створивши над цим краєм повітряний потік, ви побачите що вода піднімається вгору і потрапляючи в повітряний потік відповідним чином розбризкується. Не важко збагнути, що і в цьому досліді, закон Бернуллі відіграє визначальну роль: повітряний потік створює над трубкою область зниженого тиску і тому вода, під дією зовнішнього атмосферного тиску піднімається вгору.

Багато цікавих експериментів можна провести використовуючи в якості джерела повітряного потоку звичайний фен. Наприклад, якщо в створений феном повітряний струмінь помістити тенісну кульку (мал. 107), то з’ясується, що в цьому струмені кулька перебуватиме в стані рівноваги. На перший погляд, така поведінка кульки здається дивною та неприродньою. Однак нічого неприроднього в цій поведінці нема. Просто і в даному випадку ми маємо справу з проявами закону Бернуллі. Дійсно. Згідно з цим законом, повітряний потік сильніше зменшує тиск з тієї сторони кульки, де його інтенсивність більша. Тому, коли кулька відхиляється, наприклад вправо, то більша частина потоку обтікає її зліва. При цьому тиск повітря з цієї сторони зменшується і кулька повертається в попереднє положення.

мал.107   Повітряний потік зменшує тиск з тієї сторони де його інтенсивність більша.

Звичайно, подібні експерименти не є такими що кількісно доводять справедливість співвідношення p + ρgh + ρv2/2 = const .Однак в даному випадку нас більше цікавить сам факт того, що збільшення швидкості потоку рідини або газу, призводить до зменшення його тиску на відповідну поверхню. Власне, не будемо забувати і про те, що співвідношення   p + ρgh + ρv2/2 = const в точності справедливо лише для усталеного потоку ідеальної рідини і лише за умови відсутності теплообміну з навколишнім середовищем. А це означає, що в реальних ситуаціях користуючись формулою

p + ρgh + ρv2/2 = const , потрібно робити певні поправки:

  1. на наявність в’язкості в реальних рідинах і газах;
  2. на факт стискання цих рідин, а особливо газів;
  3. на наявність теплообміну з навколишнім середовищем;
  4. на характер руху (ламінарний чи турбулентний) рідини або газу.

Та як би там не було, а закон Бернуллі є тією теоретичною основою, на базі якої можна розв’язати велику кількість практично важливих задач. Втім, про практичне застосування закону Бернуллі, ми поговоримо в наступному параграфі.

 

Словник фізичних термінів.

         Закон Бернуллі – це закон, в якому стверджується: При усталеному (стаціонарному) русі ідеальної рідини, сума її статичного, вагового і динамічного тисків в будь якому поперечному перерізі труби залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами:    p + ρgh + ρv2/2 = const .

 

Контрольні запитання.

  1. Сформулюйте закон збереження енергії.
  2. Який зв’язок між законом Бернуллі та законом збереження енергії?
  3. Який зв’язок між законом Паскаля, законом сполучених посудин, законом Архімеда та законом Бернуллі?
  4. За яких умов закон Бернуллі виконується у повному кількісному обсязі? Чи виконуються ці умови на практиці?
  5. Чому ми звикли вважати що в вузькому місці труби, тиск потоку рідини на стінки труби має бути більшим аніж в широкому?
  6. Придумайте, реалізуйте на практиці та поясніть експеримент в якому наочно проявляється дія закону Бернуллі.

Вправа 40.

  1. Швидкість течії води в широкій частині труби становить 3м/с. Яка швидкість цієї води в вузькій частині труби, якщо її діаметр в 4 рази менший за діаметр широкої частини.
  2. Виходячи з того, що при усталеному русі рідини через будь який поперечний переріз труби, за однакові проміжки часу проходить однакова кількість рідини (Δm1/Δt=Δm2/Δt), доведіть що для будь якого поперечного перерізу труби, добуток площі цього перерізу на швидкість рідини в ньому є величиною постійною: v1S1=v2S2=const.
  3. Підводний човен знаходиться на глибині 100м. З якою швидкістю через отвір в корпусі човна вривається струмінь води? Скільки води проникне в човен за одну годину, якщо діаметр отвору 2см? Тиск повітря в човні дорівнює атмосферному.
  4. В водопровідній трубі утворився отвір перерізом 4мм2 з якого б’є струмінь води висотою 80см. Скільки води витече з цієї труби за добу?
  5. Бак заввишки 1,5м заповнений до краю водою. На відстані 1м від верхнього краю бака утворився невеликий отвір. На якій відстані від бака падає на підлогу струмінь тієї води що витікає з отвору? Опором повітря знехтувати.
  6. Одну з двох однакових посудин заповнили ртуттю, а другу – водою. З якої посудини швидше витече рідина, якщо пробиті в дні отвори однакові? Рідини вважати ідеальними.

 

    §61. Практичне застосування закону Бернуллі. Піднімальна сила   крила. Ефект Магнуса.

 

Закон Бернуллі та зокрема той факт, що збільшення швидкості потоку рідини або газу супроводжується зменшенням їх статичного тиску, широко застосовується в сучасній техніці. Розглянемо деякі з цих застосувань.

На мал.108 зображено модель так званого струменевого насосу. Цей насос представляє собою пустотілий корпус, через який проходить система двох трубок – вхідної та вихідної. В звуженій частині вхідної трубки, водяний потік розганяється до такої швидкості при якій його статичний тиск значно менший атмосферного. В такій ситуації, через ту кільцеподібну щілину що відділяє вхідну та вихідну трубки, повітря засмоктується в середину вихідної трубки і разом з водяним потоком виноситься за межі корпусу насосу, створюючи в ньому відповідне розрідження.

мал.108 Схема принципового устрою струменевого насосу.

          Очевидними перевагами струменевих насосів є їх надзвичайна простоти та низька вартість. Однак такі насоси можуть працювати та бути ефективними лише за наявності надійного, стабільного та дешевого джерела водяного струму. Крім цього, вони не дозволяють створювати надто високі розрідження.

Велику групу приладів, принцип дії яких базується на застосуванні закону Бернуллі, складають різноманітні пульвізатори-розпилювачі. В цих приладах (мал.106б) повітряний потік створює над зануреною в рідину трубкою певне зниження тиску. В такій ситуації, під дією зовнішнього атмосферного тиску, рідина по трубці піднімається вгору і потрапляючи в повітряний потік розпилюється. В побуті і промисловості пульвізатори-розпилювачі застосовуються для нанесення фарб. В сільському господарстві – для розпилювання хімікатів. В медицині – для розпилювання лікарських речовин.

В певному сенсі, однією з різновидностей пульвізатора- розпилювача є такий важливий елемент автомобільного двигуна як карбюратор. Карбюратор – це прилад, який готує бензиново-повітряну суміш для карбюраторних (бензинових) двигунів внутрішнього згорання. Основним технологічним елементом карбюратора (мал109) є коротка трубка, звужена частина якої з’єднана з бензиновим резервуаром.

Мал.109  Принципова схема карбюратора.

Принцип дії карбюратора полягає в наступному. Коли поршень двигуна рухаючись вниз створює в циліндрі відповідне розрідження і атмосферне повітря починає втягуватись в циліндр, то проходячи через звужену частину трубки карбюратора, воно створює в ній область зниженого тиску. При цьому бензин засмоктується повітряним потоком і розпилюється в ньому. Ця повітряно-бензинова суміш потрапляє в циліндр двигуна і в процесі подальшого згорання, виконує корисну роботу.

Напевно одним з найвидатніших винаходів людства є літак. Та чи задумувались ви над тим, які сили змушують багатотонну металеву конструкцію прогнозовано літати в повітряному просторі. А між іншим, відповідь на це запитання має безпосереднє відношення до закону Бернуллі.

Головний секрет літака полягає в тому, що його крило має таку форму і таку орієнтацію (мал.110) при яких набігаючий повітряний потік над крилом рухається швидше аніж під крилом. При цьому, згідно з законом Бернуллі, між верхньою і нижньою поверхнями крила, виникає певний перепад тиску Δр, який і створює відповідну піднімальну силу  Fпс = ΔрS , де S – площа нижньої поверхні крила.

мал.110  Профіль крила має таку форму при якій набігаючий повітряний потік над крилом рухається швидше аніж під ним (v2>v1 і тому p2<p1).

Звичайно, вище наведене пояснення є гранично спрощеним. Адже в реальності ми маємо справу з турбулентним рухом повітря при аналізі якого потрібно враховувати складні вихрові процеси. Але якби там не було, а кінцевим підсумком цих процесів є факт того, що швидкість повітряного потоку над крилом (v2) є більшою за його швидкість під крилом (v2>v1). При цьому, згідно з законом Бернуллі, статичний тиск повітря на нижню поверхню крила (p1) дещо перевищує відповідний тиск на його верхню поверхню (p1>p2). Результатом такого перепаду тисків і є відповідно піднімальна сила крила:

Fпс = ΔрS.

Потрібно зауважити, що окрім тієї піднімальної сили поява якої обумовлена різницею статичних тисків над крилом та під ним і яку називають статичною , існує ще одна різновидність піднімальної сили, поява якої  обумовлена дією на крило певного динамічного тиску і яка називається динамічною.  Дійсно. Якщо крило під певним кутом (цей кут називають кутом атаки, позначається α) розташоване відносно набігаючого повітряного потоку (мал. 111), то на його нижню поверхню діє певний динамічний тиск (р=ρv2/2), вертикальна складова якого і створює відповідну піднімальну силу:  Fпс = ρv2Ssinα/2 .

мал.111   Якщо крило розташоване до напрямку набігаючого потоку під кутом α, то на нього діє відповідний динамічний тиск, який створює відповідну додаткову піднімальну силу.

Зважаючи на вище сказане, можна дати наступне визначення. Піднімальна сила крила – це та вертикальна сила яка діє на крило в набігаючому потоці рідини або газу і яка обумовлена дією двох силових чинників: 1) різницею статичного тиску над крилом та під ним; 2) наявністю динамічного тиску на нижню поверхню крила з боку набігаючого потоку.

Позначається: Fпс

Визначальне рівняння: Fпс= ΔpS + ρv2Ssinα/2

Одиниця вимірювання: [Fпс]=H.

Відразу ж зауважимо, що вище наведене визначальне рівняння відображає лише загальну фізичну суть піднімальної сили крила. Фактична ж величина цієї сили за різних обставин може визначатись за суттєво уточненими формулами. Тим не менше, формула Fпс= ΔpS + ρv2Ssinα/2 є загально прийнятим визначальним рівнянням піднімальної сили крила.

Дослідження показують, що результуюча піднімальна сила крила

(Fпс= ΔpS + ρv2Ssinα/2) досягає максимальних та безпечних для польотів величин при кутах атаки близьких до 16°.

Прояви закону Бернуллі можуть бути не лише корисними а й шкідливими. Наприклад, 20 вересня 1911 року стався наступний прикрий випадок. Англійський військовий крейсер “Хаук” рухаючись паралельним курсом наздоганяв величезний пасажирський лайнер “Олімпік” (до речі, “Олімпік” – це брат близнюк сумно відомого “Титанніка”). Порівнявшись з лайнером, крейсер несподівано втратив керованість і змінивши курс протаранив його.

мал.112   Аварія обумовлена дією закону Бернуллі.

Проведені дослідження показали, що причиною даного інциденту став один з проявів закону Бернуллі. Дійсно. Коли великі кораблі, на відносно невеликій відстані рухаються паралельними курсами, то в проміжку між їх корпусами потік води набуває великої швидкості. При цьому, згідно з законом Бернуллі статичний тиск цього потоку зменшується. А це означає, що на кожен з кораблів починає діяти певна, обумовлена перепадом тисків сила, яка прагне зблизити ці кораблі. А оскільки крейсер рухався швидше і був значно легшим, то наявний перепад тисків визначально змінив саме його курс, і всупереч намаганням екіпажу перешкодити аварії, спричинив її. На щастя, даний інцидент не призвів до трагічних наслідків. Натомість тепер моряки знають про підступні прояви закону Бернуллі і у відповідних випадках враховують це.

Існує ще одне явище, яке тісно пов’язане з законом Бернуллі. З’ясовуючи суть цього явища розглянемо циліндр, який примусово обертається в набігаючому повітряному потоці (мал.113а). Оскільки в процесі свого обертального руху, циліндр неминуче змушує при поверхневий шар повітря обертатись за ним, то в тих місцях де напрямки поступального і обертального рухів співпадають, швидкість повітря збільшується, а в тих, де ці напрямки протилежні – зменшується. А це означає що даний циліндр обтікають фактично різношвидкісні потоки. При цьому, згідно з законом Бернуллі виникає певний перепад тисків, результатом якого є відповідна, поперечна до потоку сила. Ця сила, по суті має ту ж природу що і піднімальна сила крила, а точніше та її складова, яку ми назвали статичною піднімальною силою.

мал.113  На тіло, що обертається в набігаючому потоці газу або рідини, діє певна поперечна до потоку сила (ефект Магнуса).

Явище, суть якого полягає в тому, що на тіло яке обертається в набігаючому потоці рідини або газу, діє певна поперечна до потоку сила, поява якої обумовлена дією закону Бернуллі, називається  ефектом Магнуса. Цей ефект був відкритий та досліджений в 1852 році німецьким фізиком Генріхом Магнусом (1802 – 1870). Криволінійні траєкторії руху “підкручених” футбольних, волейбольних, тенісних та інших м’ячів, при їх поступально-обертальному русі, є один з проявів ефекту Магнуса.

 

Словник фізичних термінів.

         Піднімальна сила крила – це та вертикальна сила яка діє на крило в набігаючому потоці рідини або газу і яка обумовлена дією двох силових чинників: 1) різницею статичного тиску над крилом та під ним; 2) наявністю динамічного тиску на нижню поверхню крила з боку набігаючого потоку.

Позначається: Fпс

Визначальне рівняння: Fпс= ΔpS + ρv2Ssinα/2

Одиниця вимірювання: [Fпс]=H.

Ефект Магнуса – це явище, суть якого полягає в тому, що на тіло яке обертається в набігаючому потоці рідини або газу, діє певна поперечна до потоку сила, поява якої обумовлена дією закону Бернуллі.

 

Контрольні запитання.

  1. Поясніть будову та принцип дії струменевого насосу.
  2. Поясніть будову та принцип дії пульвізатора-розпилювача.
  3. Що є причиною появи статичної складової піднімальної сили крила?
  4. Що є причиною появи динамічної складової піднімальної сили крила?
  5. Що називають кутом атаки крила?
  6. Розкажіть про шкідливі прояви закону Бернуллі.
  7. Чому футбольний м’яч іноді летить закругленою траєкторією?

§62. Сила опору середовища.

 

         Загально відомо, що на тіло яке рухається в газовому чи рідинному середовищі неминуче діє певна гальмуюча сила, яку прийнято називати силою опору середовища (позн. Fоп). Пояснюючи суть та принцип дії сили опору середовища, можна сказати наступне. В процесі руху твердого тіла в тому чи іншому середовищі, це середовище так чи інакше обтікає тіло. При цьому розрізняють два режими такого обтікання: ламінарне (безвихрове) та турбулентне (вихрове).

Ламінарним (безвихровим) називають такий режим обтікання тіла, в процесі якого шари середовища не перемішуються (мал114а). Ламінарний режим обтікання характерний для дрібних тіл (d<0,5см) що відносно повільно рухаються у в’язкому середовищі. Турбулентним (вихровим) називають такий режим обтікання тіла, в процесі якого шари середовища перемішуються, з утворенням вихрових збурень. В повітряному та водному середовищах звичайні тіла, практично завжди рухаються таким чином, що їх обтікання є турбулентним.

мал.114   Розрізняють два режими обтікання тіла:  ламінарний та турбулентний

Потрібно зауважити, що характер обтікання тіла і величина діючої на нього сили опору середовища, практично не залежать від того що рухається, тіло відносно середовища, чи середовище відносно тіла. Тому, коли в подальшому ми будемо говорити про ту силу опору що діє на тіло яке рухається в середовищі, то ви маєте знати, що величина цієї сили практично не залежить від того що рухається, тіло відносно середовища чи навпаки.

Дослідження показують, що сила опору середовища при ламінарному і турбулентному режимах обтікання тіла – це дві суттєво різні сили. Наприклад, величина тієї сили опору що діє на кулю при ламінарному режимі її обтікання, визначається за формулою  Fопл= 3πdηv , де d – діаметр кулі; v – швидкість її відносного руху; η – коефіцієнт вязкості середовища.

Якщо ж аналогічна куля, в тому ж середовищі рухається в турбулентному режимі, то діюча на неї сила опору, визначається за формулою: Fопт= cρv2S/2, де с – коефіцієнт лобового опору тіла (для кулі с=0,4); ρ – густина середовища; v – швидкість руху тіла; S – площа міделевого перерізу тіла. Площею міделевого перерізу тіла, називають площа проекції даного тіла на ту площину, що є перпендикулярною набігаючому потоку. Наприклад для кулі, площа міделевого перерізу, за будь якого її розташування відносно потоку, становить S=πd2/4 . А площа міделевого перерізу диску діаметром d і товщиною δ, при його поперечному розташуванні до  потоку дорівнює S=πd2/4, а при поздовжньому розтушуванні – S=δd .

Суттєва відмінність формул Fопл= 3πdηv   і    Fопт= cρv2S/2  є результатом того, що сила опору середовища при ламінарному і турбулентному режимі обтікання тіла, має різну природу. При ламінарному русі, основною причиною появи сили опору є вязкість середовища. І тому відповідна сила опору залежить від цієї вязкості: F=ƒ(η). При турбулентному ж русі, основною причиною появи сили опору є той перепад тисків який існує між передньою (передньою відносно потоку) і задньою поверхнями тіла. Тому величина сили опору при турбулентному режимі обтікання тіла, визначальним чином залежить від того динамічного тиску, що діє на передню поверхню цього тіла: F=ƒ(ρv2/2).

Відразу ж зауважимо, що коли мова йде про турбулентний потік, то будь які елементарні пояснення є досить умовними і наближеними. Адже при такому режимі руху тіла, ми маємо справу з вихровими, важко прогнозованими процесами, які практично не підпорядковуються точному теоретичному описанню. Дійсно. В процесі достатньо швидкого руху тіла (мал.115), за ним утворюється певна область розрідження. При цьому, з одного боку, ця область характеризується не лише відсутністю динамічного тиску, а й суттєвим зменшенням тиску статичного. З іншого ж боку, в цю область неминуче вриваються потоки навколишнього середовища, які утворюють важко прогнозовані вихрові потоки. Потоки, які певним чином змінюють як параметри статичного так і параметри динамічного тиску.

мал.115   При турбулентному обтіканні тіла, за його задньою поверхнею утворюється область зниженого тиску в якій відбуваються складні вихрові процеси.

Переконатись в тому, що набігаючий потік створює певний надлишковий тиск на передню поверхню тіла і певне зменшення тиску на його задню поверхню, допоможе наступний експеримент. На гладенькому стержні міститься легка кругла шайба що може  вільно переміщуватись вздовж стержня. Якщо на шайбу дмухнути (мал.116а), то вона буде переміщуватись в напрямку руху повітряного потоку. Це означає, що тиск повітря на передню частину шайби більший аніж на задню. Якщо ж перед рухомою шайбою поставити їй подібну нерухому шайбу і повторити експеримент (мал.116б), то з’ясується що рухома шайба буде рухатись в бік нерухомої шайби, тобто в сторону протилежну від напрямку руху повітряного потоку. А це означає, що за тим тілом яке знаходиться в набігаючому потоці, утворюється область зниженого тиску.

мал.116   Набігаючий потік створює певний надлишковий тиск на передню поверхню тіла (а) і певне зменшення тиску за його задньою поверхнею (б).

Вплив тих складних процесів що відбуваються в турбулентному потоці, на величину сили опору середовища, характеризують величиною яка називається коефіцієнтом лобового опору (позн. с). Величина цього коефіцієнту складним чином залежить від багатьох обставин і в першу чергу від форми тіла та його просторової орієнтації відносно набігаючого потоку. Точне числове значення коефіцієнту лобового опору конкретного тіла, можна визначити лише експериментально. Деякі з таких усереднених значень представлені на малюнку 117

Мал.117   Усереднені значення коефіцієнтів лобового опору деяких тіл простої геометричної форми.

Оскільки в повітряному і водному середовищі звичайні тіла майже завжди рухаються в турбулентному режимі, то на практиці під силою опору середовища мають на увазі ту силу, величина якої визначається за формулою Fоп=cρv2S/2. Власне в такому значенні ми і будемо в подальшому застосовувати термін “сила опору середовища”. Зважаючи на вище сказане, можна дати наступне визначення.

Сила опору середовища – це та сила, з якою дане середовище протидіє переміщенню тіла в ньому.

Позначається: Fоп

Визначальне рівняння: Fоп=cρv2S/2

Одиниця вимірювання: [Fоп] = Н.

Не важко бачити, що величина сили опору середовища визначальним чином залежить від швидкості руху тіла, а точніше, від квадрату цієї швидкості. Тому, якщо наприклад, швидкість руху автомобіля збільшиться в 3 рази, скажімо з 60км/год до 180км/год, то діюча на нього сила опору повітря зросте в 9 разів. Звідси ясно, чому так важливо оптимальним чином вибирати швидкісний режим руху транспортних засобів і чому так важливо щоб ці засоби мали максимально обтічну форму. Особливо в тих випадках, коли мова йде про швидкісний транспорт. Адже обтічна форма тіла дозволяє в рази, а іноді і в десятки разів зменшити силу опору середовища.

Оскільки в процесі збільшення швидкості руху тіла, діюча на нього сила опору середовища збільшується, причому збільшується в квадратичній прогресії, то ясно, що рано чи пізно ця сила досягає такої величини, яка зрівноважує ту рушійну силу (тягову силу Fтяг) яка власне і змушує тіло рухатись: Fоп =Fтяг . А це означає, що те тіло яке в повітряному, водному чи іншому середовищі, рухається під дією чисельно обмеженої тягової сили, не може рухатись швидше за певну наперед визначену величину. Значення цієї величини (vм) визначається із співвідношення: cρvм2S/2=Fтяг

Наприклад, коли ми стверджуємо, що вільно падаюче тіло рухається з постійним прискоренням g=9,8м/с2, то не враховуємо той факт, що рух тіла відбувається в повітряному середовищі і що тому на нього діє певна гальмуюча сила, величина якої залежить від швидкості руху відповідного тіла. А враховуючи цей факт, можна стверджувати, що в реальності тіло падає з прискоренням 9,8м/с2 лише в початкові миттєвості падіння. В процесі ж падіння, величина цього прискорення поступово зменшується і при певній максимальній швидкості (швидкості величина якої визначається із співвідношення cρvм2S/2=mg) досягає нульового значення. При цьому, подальше вільне падіння тіла відбувається з постійною швидкістю.

Задача.  З якою максимально можливою швидкістю може вільно падати дерев’яна куля діаметром 16см і масою 1кг.

Дано:                                         Аналіз:

d=16см    0,16м

m=1кг          –                             малюнок

 

 

vм =?                         Будемо виходити з того, що при максимальній швидкості

вільного падіння тіла (v=vм), діючі на нього сили (сила тяжіння  та сила опору повітря) зрівноважують одна одну, тобто з того що

cρvм2S/2=mg

де  с=0,4 ;   ρ=1,29кг/м3 ;   g=9,8м/с2 ;  S=πd2/4 .

Звідси   vм=(2mg/cρS)1/2=(4∙2mg/cρπd2)1/2=(1/d)(8mg/cρπ)1/2 .

Розрахунки:    vм= …=44м/с=158км/год.

Відповідь:       vм=44м/с.

 

Словник фізичних термінів.

         Сила опору середовища – це та сила, з якою дане середовище протидіє переміщенню тіла в ньому.

Позначається: Fоп

Визначальне рівняння: Fоп=cρv2S/2

Одиниця вимірювання: [Fоп] = Н.

 

Контрольні запитання.

  1. Чи залежить сила опору від того що рухається: тіло відносно середовища чи навпаки?
  2. Яке середовище (повітряне чи водне) сильніше протидіє руху тіла в ньому? Чому?
  3. Автомобіль потужністю 100кВт і моторний човен потужністю 15кВт рухаються з максимальними швидкостями. В якому випадку діюча на тіло сила опору більша? Чому?
  4. Яка основна причина появи сили опору при ламінарному режимі обтікання тіла?
  5. Яка основна причина появи сили опору при турбулентному режимі обтікання тіла?
  6. Чи з однаковим прискоренням рухається вільно падаюче тіло в першу, другу та третю секунди польоту? Чому?
  7. Як ви думаєте, чому тіло обтічної форми у випадку (б) має менший коефіцієнт лобового опору аніж у випадку (а)?

а)                                                       б)

 

Вправа 41.

  1. М’яч діаметром 30см летить з швидкістю 10м/с. Визначте силу опору повітря. Густина повітря 1,29кг/м3.
  2. З якою максимально можливою швидкістю може вільно падати сталева куля діаметром 6,3см і масою 1кг?
  3. Якого діаметру має бути купол парашута, щоб швидкість падіння парашутиста масою 90кг не перевищувала 6м/с?
  4. З якою максимальною швидкістю може вільно падати алюмінієва куля діаметром 2см? Густина алюмінію 2,7∙103кг/м3 .
  5. Стальна кулька діаметром 1мм вільно падаючи в машинному маслі рухається з постійною швидкістю 5см/с. Визначити коефіцієнт вязкості масла. Рух кульки є ламінарним. Густина сталі 7,8∙103кг/м3.
  6. Куля діаметром 10см вільно падає з постійною швидкістю 40м/с. Визначте діючу на кулю силу опору повітря.
  7. З якою максимальною швидкістю може вільно падати свинцева кулька масою 10г? Густина свинцю 11,4∙103кг/м3.

       §63. Механіка рідин та газів. Узагальнююче повторення.

 

         Механіка рідин та газів (гідрогазомеханіка) – це розділ механіки, в якому вивчають механічні властивості рідин і газів, параметри, закономірності та причини їх механічного руху, а також закономірності їх механічної взаємодії з твердими тілами.

Описуючи поведінку рідин та газів говорять про їх стан механічної рівноваги, про їх стаціонарний рух, про їх ламінарний чи турбулентний режим руху.

Механічною рівновагою рідини (газу) – називають такий механічний стан рідини, при якому відсутній не лише рух рідини як єдиного цілого, а й її суттєві внутрішні рухи (внутрішні течії, коливання поверхні, тощо).

Стаціонарним (усталеним) називають такий рух рідини (газу) при якому її швидкість в заданій точці потоку з плином часу залишається незмінною. При цьому, в інших точках потоку ця швидкість може бути іншою. В реальних умовах ідеально стаціонарний рух рідини (газу) зустрічається надзвичайно рідко. Тому на практиці стаціонарним (усталеним) прийнято вважати такий рух, в процесі якого через заданий переріз потоку, наприклад через поперечний переріз труби, за однакові проміжки часу протікає однакова кількість рідини (газу).

Розрізняють два режими механічного руху рідини (газу): ламінарний і турбулентний. Рух рідини при якому її потік можна представити у вигляді уявних паралельних шарів, які в процесі руху не перемішуються називається ламінарним (від лат. lamina – шар, пластинка). Зазвичай, в ламінарному режимі рухаються лише ті рідини які мають достатньо велику в’язкість (гліцерин, машинне масло, мед, тощо). Рідини малої в’язкості (вода, бензин, спирт, молоко, тощо), рухаються ламінарно лише при достатньо малих швидкостях, або в тих випадках коли вони течуть по дуже вузьким каналам (капілярам). В інших випадках рух таких рідин є турбулентним (від лат. turbulentus – безладний, хаотичний). В турбулентному потоці, кожен елемент рідини приймає участь в двох рухах: упорядкованому поступальному та неупорядкованому вихровому. При цьому, рідину не можна представити як таку, що складається з певних паралельних шарів. Адже в процесі турбулентного руху ці шари постійно перемішуються.

В турбулентному потоці швидкість рідини в будь якій заданій точці постійно змінюється. Змінюється не лише в напрямку поступального руху рідини, а й в інших напрямках. Тому, говорячи про швидкість руху рідини в заданій точці турбулентного потоку, мають на увазі усереднену величину цієї швидкості. Строго кажучи, будь який турбулентний рух є нестаціонарним. Однак на практиці, в тих випадках коли усереднена швидкість рідини в кожній точці турбулентного потоку залишається незмінною, цей потік вважають стаціонарним.

Теоретично описуючи, пояснюючи та прогнозуючи поведінку рідин і газів, в гідрогазодинаміці ці середовища представляють у вигляді так званої ідеальної рідини. Ідеальна рідина – це спрощена (ідеалізована) модель реального середовища (рідини або газу), яка представляє собою таке умовне середовище  яке не стискається і має нулеву в’язкість. Реальні рідини і реальні гази певною мірою схожі і певною мірою не схожі на ідеальну рідину. При цьому рідини схожі тим що практично не стискаються і не схожі тим що мають відносно велику в’язкість. Гази ж, навпаки – схожі тим, що мають малу в’язкість, і не схожі тим, що сильно стискаються. Тим не менше, в багатьох практично важливих ситуаціях ті закони які можна отримати на основі теоретичного аналізу поведінки ідеальної рідини, достатньо точно описують механічну поведінку як реальних рідин так і реальних газів. Звичайно за умови, що в’язкість цих рідин не надто велика (η ≤ 2∙10-3Па∙с), а швидкість газів не перевищує 100м/с (при таких швидкостях стисненням газу в процесі його руху можна знехтувати).

Однією з найважливіших механічних властивостей будь якої рідини та достатньо важливою властивістю будь якого газу, є їх в’язкість. В’язкість (внутрішнє тертя) – це властивість середовища (рідини або газу), яка проявляється в здатності цього середовища чинити опір переміщенню однієї його частини відносно іншої. Кількісною мірою в’язкості є величина яка називається коефіцієнтом в’язкості (позн.η). Значення цього коефіцієнту визначається експериментально.

Основною фізичною величиною механіки рідин і газів є тиск. При цьому, в цій механіці розрізняють три різновидності тиску:

– статичний тиск;

– ваговий тиск;

– динамічний тиск.

Статичний тиск (або просто, тиск) – це той тиск, з яким потік рідини (газу) тисне на ту поверхню що обмежує цей потік і є паралельною до нього.

Позначається: р

Визначальне рівняння: р=F/S

Одиниця вимірювання:  р=Па.

Ваговий тиск – це той тиск, який створює певний шар рідини (газу) за рахунок своєї ваги.

Позначається: рв

Визначальне рівняння: рв=ρgh

Одиниця вимірювання:  [рв]=Па

Динамічний тиск – це той тиск, який створює потік рідини (газу) за рахунок енергії свого руху і який діє в напрямку цього руху.

Позначається: рд

Визначальне рівняння: рд=ρv2/2

Одиниця вимірювання: [рд]=Па.

До числа основних законів механіки рідин і газів відносяться закон Паскаля та закон Бернуллі. Закон Паскаля – це закон, в якому стверджується: той зовнішній тиск що діє на поверхню механічно зрівноваженої рідини (газу) без змін передається у всі точки цієї рідини і діє у всіх можливих напрямках.

Прямими наслідками закону Паскаля є закон сполучених посудин та закон Архімеда.  Закон сполучених посудин – це закон, в якому стверджується: в сполучених посудинах, вільні поверхні однорідних рідин знаходяться на одному рівні. Закон Архімеда – це закон, в якому стверджується: на будь яке занурене в рідину (або газ) тіло, діє виштовхувальна сила, величина якої дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини (газу).

По суті, закон Паскаля є прямим наслідком більш загального закону – закону Бернуллі, який в свою чергу є прямим наслідком закону збереження енергії.  Закон Бернуллі – це закон, в якому стверджується: При усталеному (стаціонарному) русі ідеальної рідини, сума її статичного, вагового і динамічного тисків в будь якому поперечному перерізі труби залишається незмінною, тобто:    p + ρgh + ρv2/2 = const .

Закон Бернуллі і зокрема той факт, що при збільшенні швидкості руху середовища (рідини або газу) статичний тиск цього середовища зменшується, має широке практичне застосування: струменеві насоси, пульвізатори-розпилювачі, карбюратори, тощо. Однак, безумовно найважливішим проявом залежності статичного тиску середовища від швидкості його руху, є поява так званої піднімальної сили крила.

Піднімальна сила крила – це та вертикальна сила яка діє на крило в набігаючому потоці рідини або газу і яка обумовлена дією двох силових чинників: 1) різницею статичного тиску над крилом та під ним; 2) наявністю динамічного тиску на нижню поверхню крила з боку набігаючого потоку.

Позначається: Fпс

Визначальне рівняння: Fпс= ΔpS + ρv2Ssinα/2

Одиниця вимірювання: [Fпс]=H.

Одним з важливих проявів закону Бернуллі є так званий ефект Магнуса.

Ефект Магнуса – це явище, суть якого полягає в тому, що на тіло яке обертається в набігаючому потоці рідини або газу, діє певна поперечна до потоку сила, поява якої обумовлена дією закону Бернуллі.

Гальмуючу дію середовища (рідини або газу) на ті тверді тіла що рухаються в ньому, характеризує сила яка називається силою опору середовища.  Сила опору середовища – це та сила, з якою дане середовище протидіє переміщенню тіла в ньому.

Позначається: Fоп

Визначальне рівняння: Fоп=cρv2S/2

Одиниця вимірювання: [Fоп] = Н.

 

§64. Механічна картина Всесвіту.

 

         З незапам’ятних часів, люди розмірковували над тим, як влаштований навколишній світ (Всесвіт). Власне те, що ми називаємо сучасними та прадавніми релігіями, по суті представляє собою певну систему поглядів на устрій Всесвіту та сукупність тих правил які певним чином регламентують поведінку людини в тих чи інших життєвих обставинах.

Якщо ж говорити про першу науково подібну систему знань про навколишній світ, то загально визнаним уособленням цієї системи є видатний давньогрецький філософ Аристотель (384 – 322 р.р. до н.е). Саме Аристотель зібрав, систематизував та критично узагальнив всю сукупність знань античного світу. Результати цих узагальнень він представив у вигляді системи літературно філософських творів, які прийнято називати трактатами. Аристотелівські трактати стосувались не лише тих питань що є предметом вивчення сучасних природничих наук, а й питань загально філософських, морально-етичних, психологічних, релігійних, літературних, політичних та інших.

Свої погляди на загальний  устрій навколишнього світу Аристотель виклав в таких трактатах як “Фізика”, “Механіка”, “Метереологіка”, “Про небо”, “Про походження і знищення” та деяких інших. Згідно з Аристотелем, наш Всесвіт обмежений в просторі та безкінечний в часі. Він складається з нерухомої Землі та ряду невидимих кришталевих сфер, елементами яких є певні космічні об’єкти, зокрема Місяць, Сонце, планети та зірки. При цьому, найближча до Землі місячна сфера, розділяє Всесвіт на два світи: підмісячний та надмісячний.

Підмісячний світ є світом не  ідеальних рухів та  не ідеальних об’єктів. Цей світ складається з чотирьох базових елементів (землі, води, повітря та вогню), які в свою чергу є певними комбінаціями двох пар базових якостей: гаряче-холодне та сухе-вологе.  Натомість, надмісячний світ є світом ідеальних рухів та ідеальних об’єктів. Цей світ складається лише з одного базового елементу – ефіру, якай представляє собою певну нетлінну, божественну сутність.

Згідно з Аристотелем, джерелом ідеальних рухів в надмісячному світі є божественна воля. Якщо ж говорити про підмісячний світ, то ті події (рухи) які відбуваються в ньому поділяються на примусові, тобто такі що відбуваються під дією певної сторонньої сили, та вільні, тобто ті причиною яких є природнє прагнення відповідного об’єкту зайняти своє доцільне місце в підмісячному світі. Скажімо, якщо людина піднімає камінь, то рух каменя є вимушеним, а причиною цього руху є діюча на камінь сила людських м’язів. Якщо ж камінь падає на землю, то його рух є вільним, тобто таким, причиною якого є прагнення каменя зайняти своє природньо доцільне місце в підмісячному світі.

Вплив інтелектуального спадку Аристотеля на хід еволюційного розвитку науки був величезним та неоднозначним. З одного боку, Аристотель створив першу загально світову систему знань про навколишній світ, що безумовно сприяло розвитку науки. З іншого ж боку, створена ним система знань базувалась на хибних уявленнях про те, що устрій Всесвіту та ті події які відбуваються в ньому, можна пояснити виключно шляхом логічних міркувань. А це означало, що в системі знань Аристотеля правильним вважалось не те що підтверджується експериментальними фактами, а те що здається правильним.

На протязі вісімнадцяти століть аристотелівський підхід до вирішення наукових проблем був панівним на теренах всього цивілізованого світу. І ось результат – за цей шалено великий історичний період, тогочасною наукою не було створено жодної достовірної теорії і не було зроблено жодного більш менш суттєвого наукового відкриття.

Не відомо скільки б ще тривав цей інтелектуальний застій, якби не видатний італійський вчений Галілео Галілей (1564 – 1642). Галілей першим зрозумів, що аристотелівський шлях розвитку науки та його метод здобуття наукових знань є хибним. Він зрозумів, що в науці критерієм істини має бути не суб’єктивна логіка наших думок, а об’єктивні експериментальні докази. Запровадивши новий підхід до вирішення наукових проблем (цей підхід називають фізичним методом досліджень), Галілей заклав основи сучасної науки. Науки, яка за неповні чотириста років не лише кардинально змінила наші уявлення про навколишній світ, а й саме цивілізоване життя.

Ефективність запровадженого Галілеєм методу наукового пізнання навколишнього світу, з усією очевидністю була продемонстрована геніальним англійським фізиком Ісааком Ньютоном (1643 – 1727). Аналізуючи широкий спектр експериментальних фактів, Ньютон сформулював базові закони сучасної класичної механіки : принцип відносності, три закони Ньютона та закон всесвітнього тяжіння. Спираючись на ці закони, він створив першу, дійсно наукову теорію Всесвіту. Тобто таку  цілісну систему знань, яка не лише описувала загальний устрій  Всесвіту та Сонячної системи, а й  пояснювала, яким чином ця система працює. Згідно з Ньютоном, наша Сонячна система є мізерним фрагментом безкінечного, вічного, ізотропного та стаціонарного Всесвіту. Це означає, що ньютонівський Всесвіт є безмежним в просторі та вічним в часі. Що в ньому міститься безкінечно велика кількість зірок та зіркових систем. Що ці зірки усереднено рівномірно розкидані в безмежних просторах Всесвіту. Що ті події, які відбуваються у Всесвіті, не змінюють  ані усереднено  рівномірного розподілу матерії в ньому, ані параметрів його простору, ані монотонності плину часу.

З механічної точки зору, ньютонівський Всесвіт нагадував бездоганний годинниковий механізм, об’єкти якого у повній відповідності з законами механіки утворюють дивовижно гармонічну та саморегульовану систему. В цьому механізмі не було місця для гіпотетичних сфер, напівсфер, важелів, канатів, тощо. Він не потребував ремінних, зубчатих чи будь яких інших механічних передач. Його основними дійовими особами і виконавцями були закони механіки, сили гравітаційної взаємодії та сили інерції. При цьому, гравітаційні взаємодії не потребували будь яких посередників. Адже у відповідності з поглядами тогочасної науки, ці взаємодії здійснювались безпосередньо через пустоту.

Створена Ньютоном система світу була дивовижно гармонічною, точною та передбачуваною. Вона не лише з математичною точністю описувала поведінку всіх відомих космічних об’єктів, а й дозволяла робити нові відкриття. Наприклад, існування планети Нептун було спочатку теоретично передбаченим, а лише потім експериментально підтвердженим. При цьому відповідна планета виявилась саме в тому місці Сонячної системи на яку вказувала теорія Ньютона.

Звичайно, ньютонівська теорія Всесвіту не була такою що відповідала на всі наявні запитання. Зокрема, вона не пояснювала яким чином та за рахунок чого Сонце і зірки постійно випромінюють величезну кількість енергії. Не пояснювала відомі магнітні та електричні явища. Не пояснювала різноманіття хімічних та механічних властивостей речовин. Не пояснювала як виник Всесвіт і чому він саме такий.

І це закономірно. Адже реальний Всесвіт набагато складніший та багатогранніший за ту механістичну картину яка була “намальована” великим Ньютоном понад три століття тому. Достатньо сказати, що в ньютонівській теорії Всесвіту поведінка та властивості всього різноманіття матеріальних об’єктів Природи, по суті описуються лише однією фундаментальною взаємодією – гравітаційною. Насправді ж ці властивості та ця поведінка визначаються чотирма фундаментальними взаємодіями – гравітаційною, електромагнітною, сильною та слабкою.

Тому не будемо забувати, що та система знань яку прийнято називати ньютонівською механікою, була лише першим вагомим кроком сучасної науки на шляху пізнання навколишнього світу. Про наступні ж кроки науки на цьому складному, тернистому та дивовижно цікавому шляху, ви дізнаєтесь в процесі подальшого вивчення фізики – науки про Природу.

 

 

 

 

 

Подобається

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *