Лекції. РОЗДІЛ 1. Механіка. частина 1.
Даний опорний конспект лекцій з предмету “Фізика і астрономія” є гранично стислим та спрощеним викладенням відповідного предмету, розрахованим на студентів конкретного фахового коледжу.
РОЗДІЛ 1. Механіка. частина 1.
Лекційне заняття №1. Тема: Фізика – наука про Природу
Основи математичної грамотності.
Лекційне заняття №2. Тема: Загальні відомості про механіку.
Кінематика, основні поняття кінематики.
Лекційне заняття №3. Тема: Основні фізичні величини кінематики:
час, координата, пройдений шлях, швидкість, прискорення.
Лекційне заняття №4. Тема: Рівняння руху – основний закон
кінематики. Практичне застосування рівняння руху.
Лекційне заняття №5. Тема: Вільне падіння тіл. Рух тіла кинутого
вертикально, горизонтально та під кутом до горизонту.
Лекційне заняття №6. Тема. Алгебраїчний та графічний
методи розв’язування задач.
Лекційне заняття №7. Тема: Основні поняття, величини та
закони кінематики обертального руху.
Лекційне заняття №8. Тема: Статика. Основні поняття, величини
та закони статики. Додавання векторних величин.
Лекційне заняття №9. Тема: Сила тяжіння. Реакція опори. Сила тертя.
Загальні відомості щодо розв′язування задач статики.
Лекційне заняття №10. Тема: Силовий метод розв′язування задач.
Лекційне заняття №11. Тема: Сила інерції Силовий метод
розв′язування задач динаміки.
Лекційне заняття №12. Про вагу, невагомість та силу
Архімеда. Або про те, що важче кілограм заліза чи кілограм вати?
Лекційне заняття №13. Тема: Закон всесвітнього тяжіння.
Механіка Среячної системи.
Лекційне заняття №14. Тема: Механічні деформації. Сила
пружності. Механічна напруга. Закон Гука.
Лекційне заняття №15. Тема: Розв′язування задач статики.
Лекційне заняття №1.
Тема: Фізика – наука про Природу.
Основи математичної грамотності.
Загальну структуру Природи, загальну структуру науки про Природу та ту роль, яку відіграє при цьому людина, можна представити у вигляді наступної схеми
· ПРИРОДА ФІЗИКА
наука про Природу
Всесвіт Механіка
Галактика Молекулярна фізика
· спостерігає
Зірка аналізує Термодинаміка
· досліджує
Планета Електродинаміка
Людина Людина Оптика
Клітина Фізика атома і
· на основі атомного ядра
Молекула аналізу та
· досліджень Квантова механіка
Атом створює
· Теорія відносності
Елементарні
частинки і поля Космологія
Мал.1 Фізика – це об’єктивне і точне відображення Природи, викладене у вигляді певної системи знань.
Якщо ж говорити про набір тих конкретних речей які вивчає і пояснює сучасна фізика, та про ті конкретні задачі які вона вирішує, то можна сказати наступне. Фізика вивчає загальні властивості фізичних об’єктів і фізичних явищ, закони які визначають ці властивості та ті теорії які ці властивості пояснюють. Іншими словами, предметом вивчення фізики є фізичні об’єкти і фізичні явища.
Фізичним об’єктом називають будь-який реально існуючий об’єкт, який є предметом спостережень, досліджень та експериментів. Подивіться навколо себе і ви побачите величезне різноманіття великих і малих, твердих і рідких, живих і неживих одним словом різноманітних об’єктів, кожен з яких може стати предметом ваших спостережень, а отже є фізичним об’єктом. Більше того, навіть те, що ви ніколи не бачили і напевно ніколи не побачите, як-то атоми, елементарні частинки, поля, електромагнітні хвилі, або скажімо Всесвіт у всій його цілісності – все це фізичні об’єкти, тобто конкретні предмети вивчення фізики.
Фізичним явищем називають будь-яку подію, що відбувається з фізичним об’єктом, будь-то механічне переміщення тіла, зміна його кольору, форми, температури, твердості, пружності, електропровідності, чи чогось іншого. Наприклад камінь, це певний фізичний об’єкт. А камінь падає, світиться, нагрівається, плавиться – це певні фізичні явища.
Як не прикро але маємо визнати, що той навчальний предмет, вивчення якого починається ще в дитячому садочку і який називається «математика», на момент початку вивчення «фізики» не забезпечує належного рівня математичних знань учня. А фізика влаштована таким чином, що в ній учень постійно має справу як з надзвичайно великими так і надзвичайно малими числами. При цьому він повинен вміти записувати ці надвеликі та надмалі числа в зручному вигляді та вміти виконувати над ними базові математичні дії: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення в степінь, визначення кореня квадратного, тощо.
Наприклад маса Землі 5980 000 000 000 000 000 000 000 кг, а маса атома водню (гідрогену) 0,000 000 000 000 000 000 000 000 00166 кг. Ясно, що в подібних ситуаціях записувати відповідні числа в звичному для нас вигляді не зручно. Тому в фізиці та науковій практиці загалом, великі та малі числа зазвичай записують у так званому стандартному вигляді, тобто у вигляді певного малого числа помноженого на 10 у відповідній степені. Наприклад:
5 980 000 000 000 000 000 000 000 кг = 5,98·1024кг;
0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 66 кг = 1,66·10–27кг.
На жаль практика показує, що учні 7-8-9 класів мають дуже поверхові уявлення про представлення чисел в стандартному вигляді та про математичні дії над ними. Зважаючи на цей малоприємний факт, гранично стисло розглянемо дану, по суті математичну, тему. Тему, яку треба було б назвати «Математичний лікбез», що в буквальному перекладі означає «ліквідація математичної безграмотності».
1.Представлення чисел в стандартному вигляді.
Оскільки: 103 = 10·10·10=1000; 105 = 10·10·10·10·10=100000 і т.д, то
4·105 = 400 000;
4,5·105 = 450 000;
28·104 = 280 000;
2,8·104 = 28 000.
І навпаки:
3 800 000 = 38·105 = 3,8·106;
125 000 000 = 125·106 = 12,5·107 = 1,25·108.
Оскільки: 10–3 = 1:103 = 1/1000 = 0,001 і т.д, то
4·10–3 = 0,004;
5·10–5 = 0,00005;
3,5·10–4 = 0,00035.
І навпаки:
0,0002 = 2·10–4;
0,0000075 = 7,5·10–6 = 75·10–7;
0,000125 = 1,25·10–4 = 12,5·10–5 = 125·10–6.
2. Математичні дії над числами представленими в стандартному вигляді.
Оскільки: 105·103 = (10·10·10·10·10)·(10·10·10) = 105+3 = 108,
105·10–3 = (10·10·10·10·10):(10·10·10) = 105 –3 = 10–2
то в загальному випадку 10х·10у = 10х+у. Наприклад:
2·104·4·106 = 2·4·104+6 = 8·1010;
5·106·3·103 = 5·3·106+3 = 15·109;
7·108·5·10–4 = 7·5·108–4 = 35·104;
4,4·10–5·2·10–3 = 4,4·2·10–5–3 = 8,8·10–8.
Оскільки: 1/103 = 1/1000 = 0,001 = 1·10–3; 1/10–3 = 1/0,001 = 1·1000 =1·103, то в загальному випадку 1/10у = 10-у, а відповідно 10х/10у = 10х–у. Наприклад:
8·106/4·104 = (8:4)106-4 = 2·102;
12·105/3·10-4 = (12:3)105+4 = 4·109;
5·10-4/2·108 = (5:2)10-4-8 = 2,5·10-12;
15·103/3·108 = (15:3)103-8 = 5·10-5.
Оскільки (103)4 = (10·10·10)(10·10·10)(10·10·10)(10·10·10) = 103·4 = 1012, то в загальному випадку (10х)у = 10х·у. Наприклад:
(5·103)2 = 52·103·2 = 25·106;
(2·105)4 = 24·105·4 = 16·1020;
(4·10–3)2 = 42·10–3·2 = 16·10–6;
(3·10–4)3 = 33·10–4·3 = 27·10–12.
3. Математичні дії над числами представленими у змішаному вигляді.
В науковій практиці загалом і в фізиці зокрема, виконуючи математичні дії над числами записаними в нестандартному або змішаному вигляді, ці числа спочатку представляють в стандартному вигляді, а вже потім виконують відповідні математичні дії. Наприклад:
500 000 · 0,003 = 5·105·3·10–3 = 5·3·105–3 = 15·102;
0,00025·2·104 = 2,5·10–4·2·104 = 2,5·2·10–4+4 = 5·100 = 5 (нагадаємо, будь яке число в нульовій степені дорівнює одиниці: а0 = 1);
12·104/0,0003 = 12·104/3·10–4 = (12:3)104+4 = 4·108;
400 000 + 3,5·105 + 0,65·106 = 4·105 + 3,5·105 + 6,5·105 = 105(4+3,5+6,5) = 14·105.
4. Визначення квадратного кореня числа.
Квадратним коренем числа а (позначається √а, або (а)1/2) називають таке число х, квадрат якого дорівнює числу а. Іншими словами: якщо х2=а, то √а=х. Наприклад: √4=2; √9=3; √16=4; √25=5; √100=10; √2=1,41.
Можна довести: якщо мова йде про числа вигляду 10n, то √10n=10n/2. Наприклад:
√102=10; √104=102; √108=104.
Можна довести, що √(а·b)=√а·√b. Наприклад: √(25·106)=√25√106=5·103.
5. Математичні трансформації (перетворення) заданої формули.
В фізиці надзвичайно важливим вмінням, є вміння математично трансформувати (змінювати) задану формулу, а по суті, за заданою формулою визначати невідому величину. Загальне правило подібних трансформацій дуже просте: при переносі будь якої величини через знак дорівнює, пов’язана з цією величиною математична дія змінюється на протилежну: додавання змінюється на віднімання, віднімання змінюється на додавання, множення змінюється на ділення, а ділення змінюється на множення. При цьому відповідні величини переносять таким чином, щоб невідома величина (х) мала знак «+» та знаходилась в чисельнику. Наприклад:
якщо х + а = b то x = b – a;
якщо х – а = b то x = b + a;
якщо а – х = b то x = a – b
якщо a = b – x то x = b – a;
якщо a·x = b то x = b/a;
якщо a/x = b то x = а/b;
якщо а = b/x то x = b/a;
якщо ax/bc = d то x = dbc/a;
якщо ab/xc = d то x = ab/cd;
якщо (a + x)/b = c то a+x = cb звідси x = cb – a;
якщо a/(b – x) = c то b – x = a/c звідси x = b – a/c.
6. Визначення співвідношень між спорідненими одиницями вимірювання.
В фізиці, як власне і в побутовій практиці, потрібно вміти визначати ті співвідношення які існують між різними одиницями вимірювання однієї і тієї ж фізичної величини. Наприклад співвідношення між швидкістю виміряною в км/год та в м/с; між площею виміряною в см2 та в м2; між об’ємом виміряним в літрах та в см3 чи в м3; тощо. Ці співвідношення визначаються на основі загально відомих математичних правил, та на основі загально прийнятих співвідношень на кшталт год=3600с; км=103м; мм=10–3м; см=10–2м; дм=10–1м; л=дм3; тощо. Наприклад:
36(км/год) = 36(1000м/3600с) = (36/3,6)(м/с) = 10(м/с);
25(см2) = 25(10–2м)2 = 25·10–4 (м2);
8(см3) = 8(10–2м)3 = 8·10–6 (м3);
48(мм3) = 48(10–3м)3 = 48·10–9 (м3);
5(л) = 5(дм3) = 5(10–1м)3 = 5·10–3 (м3);
20(мл) = 20·10–3(дм3) = 20·10–3(10см)3 = 20·10–3·103(см3) = 20 (см3).
Вправа №1.
1.Задані числа представити у стандартному вигляді: 800000; 540000; 2540000; 0,000004; 0,00075; 0,00000128.
2. Виконати математичні обчислення: 3·104·4·103; 6·10-5·3·104; 8·108·0,5·10–3; 2,8·10–4·2·10–3.
3. Виконати математичні обчислення: 9·108/3·104; 45·10–3/5·105; 18·10–4/3·10–8; 3·106/2·10–4.
4. Виконати математичні обчислення: (4·103)2; (2·10–4)4; (3·10–5)3; (8·106)2.
5. Виконати математичні обчислення: 400000·3·105; 0,000025·2·10–5; 18·106/0,0006; 3,3·104 + 47000 – 50000.
6. Визначити корінь квадратний: √49; √81; √106; √(36·104); √(9·104); √(2·1010).
7. За заданою формулою визначити невідому величину (х): b – х = a; bx/c=a; (a+b)/x=c; a/(d+c)=d/x; b/(a-x)=c/d.
8. Визначте кількість молекул води на Землі, якщо маса цієї води 1,4·1021кг, а маса однієї молекули води 3·10–20кг.
9. Виразити в основних одиницях міжнародної системи одиниць (СІ): 72км/год; 54км/год; 25мм2; 8см3; 2,5л; 40мл.
Лекційне заняття № 2.
Тема. Загальні відомості про механіку. Кінематика. Основні поняття кінематики.
Механіка – це розділ фізики, в якому вивчають параметри, закономірності та причини механічного руху тіл в усіх його проявах. Іншими словами, механіка – це наука про механічний рух.
Механіку умовно розділяють на три базові теми:
1.Кінематика
2.Статика
3.Динаміка
Кінематика (від грецького «kinematos» – рух) – це розділ механіки, в якому вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл, без врахування їх мас та діючих на них сил. Іншими словами, в кінематиці вивчають параметри та закономірності механічного руху і не вивчають причини цього руху, а також не враховують фізичні властивості рухомого тіла. До числа основних понять кінематики, тобто тих загальних слів (термінів) які є термінологічною основою кінематики і суть яких треба знати, відносяться: механічний рух, поступальний рух, обертальний рух, матеріальна точка, абсолютно тверде тіло, система відліку, траєкторія, відносність руху.
Механічний рух – це такий рух (процес), при якому тіло як єдине ціле, або певні цілісні фрагменти цього тіла, переміщується відносно інших тіл. Розрізняють дві прості різновидності механічного руху: рух поступальний та рух обертальний. Поступальний рух – це такий механічний рух, при якому будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі. Наприклад, якщо книга рухається поверхнею стола таким чином, що будь яка з її бічних сторін залишається паралельними самі собі, то рух книги є поступальним. Він буде поступальним навіть тоді, коли книга не змінюватиме своєї кутової орієнтації, рухаючись по колу, або будь-якій іншій складній кривій. Якщо в процесі руху будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі, то це тіло рухається поступально.
Мал.3. В процесі поступального руху тіла, будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі.
Характерною та практично важливою особливістю поступального руху тіла є факт того, що при такому русі, всі точки тіла рухаються однаково. Однаково в тому сенсі, що мають однакові траєкторії руху, за однакові проміжки часу проходять однакові відстані, мають однакові миттєві і середні швидкості, однакові прискорення, тощо. А це означає, що описуючи поступальний рух тіла, нема потреби описувати рух кожної його окремої точки. Достатньо охарактеризувати рух будь-якої з цих точок, наприклад, центру маси тіла. Зважаючи на ці обставини, описуючи поступальний рух тіла, це тіло зазвичай замінюють його спрощеною (ідеалізованою) моделлю, яку прийняти називати матеріальною точкою.
Матеріальна точка, це така умовна точка, якою теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли розмірами, формою та внутрішнім устроєм цього тіла можна знехтувати. Матеріальна точка зберігає лише одну механічну характеристику реального тіла – його масу. При цьому положення матеріальної точки практично завжди співпадає з положенням центру мас відповідного тіла. Представляючи реальне тіло у вигляді матеріальної точки, ми абстрагуємося від несуттєвих в умовах даної задачі характеристик тіла і зосереджуємо свою увагу на його суттєво важливих характеристиках. В кінематиці такими характеристиками є час руху, траєкторія руху, швидкість руху, прискорення, пройдений шлях, тощо.
Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання. Наприклад, обертально рухаються стрілка годинника, колесо автомобіля, двері класної кімнати, тощо. Звичайно за умови, що годинник «іде», колесо крутиться, двері відчиняються.
Мал.4. В процесі обертального руху тіла, всі його точки описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій (осі обертання).
При обертальному русі різновіддалені від осі обертання точки тіла, рухаються суттєво по-різному: мають різні траєкторії руху, різні пройдені шляхи, різні лінійні швидкості, різні прискорення, тощо. А це означає, що обертальний рух тіла не можна описати, охарактеризувавши рух його однієї точки. Описуючи обертальний рух тіла, це тіло зазвичай представляють не у вигляді матеріальної точки, а у вигляді так званого абсолютно твердого тіла. Абсолютно тверде тіло, це таке умовне тіло, яким теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли його механічними деформаціями можна знехтувати.
В загальному випадку механічний рух тіла представляє собою певну комбінацію поступального і обертального рухів. Але яким би складним не був механічний рух тіла, його завжди можна представити як певну комбінацію двох простих рухів: поступального і обертального. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності поступального і обертального руху можна описати та спрогнозувати будь-який найскладніший механічний рух.
Мал.5. В загальному випадку рух тіла є поступально-обертальним.
Зважаючи на ці обставини та реалізуючи базовий методологічний принцип науки – від простого до складного, від часткового до загального, механіку загалом і кінематику зокрема, розділяють на дві частини механіка поступального руху (механіка матеріальної точки) та механіка обертального руху. І потрібно зауважити, що у відповідності з програмою загальноосвітньої школи, левову частину навчальних годин відведено вивченню механіки матеріальної точки, тобто механіки поступального руху.
Напевно ви чули про те, що будь-який механічний рух є відносним. Факт цієї відносності закарбовано в самому визначені механічного руху. Механічний рух, це такий рух при якому тіло переміщується відносно інших тіл.
По суті, твердження про те, що механічний рух є відносним означає, що різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж тіла можуть бачити суттєво різні рухи. Дійсно. Уявіть собі велосипед, який з певною постійною швидкістю рухається прямолінійною дорогою. Уявіть, що за певним елементом цього велосипеда, наприклад, за штуцером колеса (мал.6) спостерігають три спостерігачі. При цьому перший сидить на рамі велосипеда, другий – на землі, а третій – на самому колесі.
Кожен із спостерігачів дивиться на один і той же об’єкт (штуцер колеса) та описує його поведінку. Аналізуючи побачене, перший буде стверджувати, що штуцер рухається по колу. Другий, буде запевняти, що штуцер рухається певною кривою, яку прийнято називати циклоїдою. Третій же буде наполягати на тому, що штуцер не рухається. Не рухається тому, що розташування (положення) штуцера відносно елементів колеса велосипеда, а отже і відносно третього спостерігача, з плином часу залишається незмінним. І як це не дивно, але кожен з спостерігачів абсолютно правий. Адже відносно рами велосипеда штуцер дійсно рухається по колу, відносно дороги – по циклоїді, а відносно елементів колеса – не рухається взагалі.
Мал.6. Різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж об’єкту можуть бачити суттєво різні рухи.
Із вище сказаного ясно, що описуючи механічний рух тіла, необхідно чітко вказати, в якій системі відліку описується цей рух. Адже в різних системах відліку один і той же рух може виглядати по різному. Скажімо, якщо не вказати ту систему відліку в якій описується рух штуцера, то можна як завгодно довго та як завгодно запекло сперечатись стосовно того, як рухається штуцер – по колу, по циклоїді чи якось інакше. І кінця краю цій суперечці не буде.
Говорячи про систему відліку мають на увазі взаємопов’язану сукупність (систему) трьох складових: точки відліку, системи координат та вимірювача часу (годинник, секундомір, тощо). Ця сукупність дозволяє однозначно описати просторово-часові параметри руху тіла. Це означає, що система відліку не лише визначає «адресу» (координати) рухомої точки, а й вказує на те в який момент часу ця «адреса» зафіксована.
Система відліку – це взаємопов’язана сукупність точки відліку, системи координат та вимірювача часу, яка застосовується для того, щоб кількісно описати механічний рух матеріальної точки (тіла) в цій системі. Система координат – це взаємопов’язана сукупність осей системи координат з вказаним на цих осях масштабом вимірювань. Точка відліку – це така умовно нерухома точка, яка є центром (нулевою точкою) відповідної системи координат. Задати систему координат означає: 1) вказати точку відліку даної системи; 2) задати просторову орієнтацію осей системи координат; 3) на кожній осі координат вказати масштаб вимірювань.
Розташування (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат, однозначно визначається її координатами. При цьому, якщо мова йде про одновимірну (лінійну) систему координат (мал.7а), то в ній місцезнаходження матеріальної точки характеризується однією координатою М(х). В двовимірній (плоскій) системі координат (мал.7б), розташування точки характеризується двома координатами М(х;y), а в тривимірній (об’ємній, мал.7в) – трьома М(х;y;z).
Мал.7. Системи відліку, це сукупність точки відліку, системи координат та вимірювача часу.
Лінію яку описує матеріальна точка в процесі свого руху в вибраній системі відліку називають траєкторією. В різних системах відліку траєкторія руху однієї і тієї ж матеріальної точки може бути суттєво різною. Наприклад, в системі відліку пов’язаною з землею, траєкторією руху велосипедного штуцера (мал.6) є сукупність послідовних циклоїд. В системі ж відліку пов’язаною з рамою велосипеда, цієї траєкторією буде сукупність співпадаючих кіл. А в системі відліку пов’язаній з колесом велосипеда – нерухома точка.
За формою траєкторії, механічні рухи поділяються на прямолінійні та криволінійні. Прямолінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою пряму лінію. Криволінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою криву лінію. Наприклад рух вертикально падаючого тіла (мал.8б) є прямолінійним, а рух тіла кинутого горизонтально (мал.8г) – криволінійним. Криволінійним є і рух тіла кинутого вертикально вгору (мал.8в). Його криволінійність полягає в тому, що відповідна траєкторія представляє собою ламану яка складається з двох прямолінійних відрізків.
Мал.8. За формою траєкторії, поступальні рухи поділяються на прямолінійні (б) та криволінійні (в; г)
Та якою б криволінійною не була траєкторія руху тіла, її завжди можна представити як певну сукупність послідовних прямолінійних відрізків. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності прямолінійного руху матеріальної точки, можна описати будь-який криволінійний рух. Виходячи з цього, вивченню параметрів та закономірностей прямолінійного руху ми будемо приділяти особливу увагу.
Вправа 2.
1.Три тіла рухаються з швидкостями v1 = 36см/год, v2 = 0,01м/с, v3 = 120мм/хв. Порівняйте ці швидкості.
2. За 5год 30хв велосипедист проїхав шлях 99км. З якою середньою швидкістю рухався велосипедист?
3. Протягом 30хв автомобіль рухався зі швидкістю 72км/год. Який шлях за цей час проїхав автомобіль?
4. Один велосипедист протягом 12с рухався зі швидкістю 6м/с, а другий велосипедист проїхав ту саму ділянку за 9с. Яка середня швидкість другого велосипедиста на цій ділянці шляху?
5. На основі аналізу малюнку (а) визначити координати точок А;В;С;D.
6. На основі аналізу графіку руху тіла (мал. б), визначити його координати в момент часу 0с; 2с; 3с; 5с; 8с.
а)
б)
7. Пасажир потягу, що рухається з постійною швидкістю, підкидає вертикально вгору яблуко і ловить його. Намалюйте траєкторію руху яблука відносно: а) пасажира який сидить поруч; б) людини, яка стоїть на пероні вокзалу.
Лекційне заняття №3.
Тема: Основні фізичні величини кінематики:
час, координата, пройдений шлях, швидкість, прискорення.
До числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час (t), координата (x), пройдений шлях (s) швидкість (v), прискорення (a).
Час – це фізична величина, яка характеризує тривалість подій (явищ, процесів, рухів, тощо) і яка дорівнює цій тривалості.
Позначається: t
Визначальне рівняння: нема
Одиниця вимірювання: [t] = с, (секунда)
Твердження про те, що час немає визначального рівняння по суті означає, що час належить до числа тих базових фізичних величин, одиниці вимірювання яких за домовленістю прийнято вважати основними. В механіці такими базовими величинами є час (t), довжина (ℓ) і маса (m).
Координата – це фізична величина, яка характеризує положення (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат і яка дорівнює відстані від точки відліку цієї системи до проекції даної точки на відповідну вісь координат.
Позначається: х
Визначальне рівняння: х =ℓх
Одиниця вимірювання: [х] = м, (метр)
а)
б)
Мал.9. Координата точки дорівнює відстані від точки відліку системи координат до даної точки, виміряній вздовж відповідної осі системи координат.
Оскільки координата, пройдений шлях, переміщення, висота, ширина, товщина, діаметр, радіус, периметр, діагональ, тощо, це різновидності тієї фізичної величини яка називається довжина, то буде не зайвим визначити і цю величину.
Довжина – це фізична величина, яка характеризує відстань між двома точками, виміряну вздовж певної лінії і яка дорівнює цій відстані.
Позначається: ℓ
Визначальне рівняння: нема
Одиниця вимірювання: [ℓ] = м, (метр).
Пройдений шлях – це фізична величина, яка характеризує пройдений матеріальною точкою (тілом) шлях і яка дорівнює довжині тієї траєкторії яку описує ця точка в процесі відповідного руху.
Позначається: s
Визначальне рівняння: s = ℓтр
Одиниця вимірювання: [s] = м, (метр).
Наприклад, в зображеній на мал.10 ситуації, бджола в процесі перельоту від однієї квітки до іншої, рухається певною криволінійною траєкторією. При цьому довжина цієї траєкторії і є тим пройденим шляхом який характеризує відповідний рух.
Мал.10. Пройдений шлях, це відстань між двома точками, виміряна вздовж траєкторії руху тіла (матеріальної точки.
Оскільки будь яку криволінійну траєкторію можна представити у вигляді певної сукупності прямолінійних відрізків, то вивчення параметрів та закономірностей криволінійного руху по суті зводиться до вивчення параметрів та закономірностей прямолінійного руху. А для такого руху рівняння s=ℓтр набуває вигляду s=∆х, де ∆х = хк – хп.
Нагадаємо. В науці загалом і в фізиці зокрема, символом ∆ – дельта (∆х, ∆t, ∆v, ∆m і т.д.) позначають різницю між кінцевим та початковим значенням відповідних величин: ∆х = хк – хп; ∆t = tк – tп; ∆v = vк – vп; ∆m = mк – mп і т.д.
Ілюструючи можливості та межі застосуванні формули s=∆х, розглянемо декілька простих ситуацій. Припустимо, що в заданій системі відліку точки А і В мають координати А(–300); В(200). Виходячи з цього, визначимо пройдений тілом шлях при його переміщенні: a) з точки А в точку В; б) з точки В в точку А; в) з точки А в точку В, а потім знову в точку А.
. А В х(м)
———♦———————————————♦—————————♦————→
. −300 −200 −100 0 100 200
Із аналізу малюнка ясно, що при переміщенні А → В пройдений тілом шлях становить s1 = 500м, при переміщенні В → А: s2 = 500м, при переміщенні А → В → А: s3 = 500 + 500= 1000м.
Тепер, застосуємо формулу s = ∆х та отримаємо відповідні результати так би мовити теоретичним шляхом:
s1 = ∆x= хк – хп = (200) – (–300) = 500 м
s2 = ∆x= хк – хп = (–300) – (200) = –500 м
s3 = ∆x= хк – хп = (–300) – (–300) = 0 м
Не важко бачити, що останній результат явно суперечить реальному стану речей. Це пояснюється тим, що формула s=∆x є справедливою лише для прямолінійних ділянок руху. Рух же тіла за маршрутом А→В→А є криволінійним. І тому пройдений тілом шлях потрібно визначати не за формулою s=∆х, а за формулою s = ℓтр = |s1| + |s2| + … + |sN| , де N – кількість тих послідовних прямолінійних відрізків які утворюють відповідну криволінійну траєкторію. Наприклад, в умовах нашої задачі s = |s1| + |s2| = |500| + |–500| = 1000 м
Таким чином, застосовуючи визначальне рівняння s=∆х потрібно пам’ятати, що воно є справедливим лише для прямолінійної ділянки руху. Втім, в котре наголошуємо, що будь-який криволінійний рух, завжди можна представити як певну сукупність прямолінійних відрізків.
Потрібно зауважити, що рівняння s=∆х не лише визначає величину пройденого тілом прямолінійного шляху, а й вказує на той напрямок в якому цей шлях пройдено. Наприклад, при переміщенні з точки А в точку В тіло рухається в додатному напрямку і тому s1= +500м. Коли ж тіло переміщується з точки В в точку А, то воно рухається у від’ємному напрямку і тому s2 =–500м.
Швидкість – це фізична величина, яка характеризує швидкість поступального руху тіла (матеріальної точки), і яка дорівнює відношенню вектора того переміщення Δх яке здійснило тіло за гранично малий проміжок часу Δt, до величини цього проміжку часу.
Позначається: v
Визначальне рівняння: v=∆x/∆t
Одиниця вимірювання: [v] = м/с, (метр за секунду).
. хп Δх хк х(м)
————♦——————————————————♦—————————→
. tп Δt tк t(c)
.
Мал.13. Якщо за час Δt тіло (матеріальна точка) переміщується на відстань Δх, то швидкість цього тіла v=Δx/Δt.
Якщо ж мова йде про рівномірно-прямолінійний рух, тобто такий рух, швидкість якого не змінюється ні за величиною ні за напрямком, то в цьому випадку рівняння v=∆x/∆t набуває звичного для нас вигляду v=s/t
Таким чином, в загальному випадку визначальне рівняння швидкості має вигляд v=∆x/∆t. При цьому для прямолінійного руху, тобто такого руху в процесі якого напрям швидкості залишається незмінним, це рівняння набуває вигляду v=∆x/∆t. Якщо ж мова йде про прямолінійно-рівномірний рух, тобто такий рух в процесі якого величина і напрям швидкості залишаються незмінними, то в цьому випадку визначальне рівняння швидкості записують у вигляді v=s/t. Іншими словами:
– в загальному випадку v=∆x/∆t;
– для прямолінійного руху v=∆x/∆t;
– для прямолінійно-рівномірного руху v=s/t.
Зазвичай, терміном швидкість позначають швидкість тіла в даний момент часу, тобто його миттєву швидкість. Але окрім миттєвої швидкості, існує багато різновидностей певним чином усереднених швидкостей: середня шляхова швидкість, середня швидкість переміщення, середня арифметична швидкість, середня квадратична швидкість, тощо.
В кінематиці поступального руху ми будемо говорити лише про одну різновидність усередненої швидкості – середню шляхову швидкість, яку будемо називати просто: середня швидкість.
Середня швидкість (середня шляхова швидкість) – це та усереднена швидкість з якою тіло долає певну ділянку шляху і яка дорівнює відношенню пройденого тілом загального шляху s, до того загального проміжку часу t, за який цей шлях пройдено.
Позначається: vс
Визначальне рівняння: vс= s/t
Одиниця вимірювання: [vс] = м/с, метр за секунду.
На відміну від швидкості тіла в даний момент часу (миттєвої швидкості), середня шляхова швидкість є величиною скалярною, тобто такою яка характеризується лише числовим значенням.
Задача 1. За представленим на малюнку графіком руху птаха, визначити його швидкість на кожній ділянці шляху, та середню швидкість на всьому шляху.
Рішення. На основі аналізу малюнку можна стверджувати, що рух птаха складається з трьох ділянок. При цьому:
Ділянка №1: t1 = Δt1 = 50c – 0c =50c; ℓ1 = Δx1 = 1500м – 0м = 1500м;
v1 = ℓ1/t1 = 1500м/50с = 30м/с.
Ділянка №2: t2 = Δt2 = 150c – 50c =100c; ℓ2 = Δx2 = 1500м – 1500м = 0м;
v1 = ℓ2/t2 = 0м/100с = 0м/с.
Ділянка №3: t3 = Δt3 = 300c – 150c =150c; ℓ3 = Δx3 = 3000м – 1500м = 1500м;
v3 = ℓ3/t3 = 1500м/150с = 10м/с.
Середня швидкість: vc = (ℓ1+ℓ2+ℓ3)/(t1+t2+t3) = 3000м/300с =10м/с.
Задача 2. Велосипедист півтори години їхав зі швидкістю 20км/год. Потім велосипед зламався і останній кілометр велосипедист пройшов пішки за 30хв. Визначити середню швидкість велосипедиста на всьому шляху.
Дано: Рішення:
v1 = 20км/год Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі
t1 = 1,5год важливі деталі умови нашої задачі.
t2 = 30хв = 0,5год Оскільки за визначенням vc = s/t, та враховуючи,
ℓ2 = 1км що в умовах нашої задачі s = ℓ1+ℓ2, t = t1+t2,
vc = ? можна записати vc = (ℓ1+ℓ2)/(t1+t2), де ℓ1=?
Оскільки v1 = ℓ1/t1, то ℓ1 = v1·t1 = 20(км/год)1,5год = 30км.
Таким чином vc = (ℓ1+ℓ2)/(t1+t2) = (30км+1км)/(1,5год+0,5год) = 15,5км/год.
Відповідь: vc = 15,5км/год.
Якщо швидкість тіла так чи інакше змінюється, то говорять що воно рухається з прискоренням.
Прискорення – це фізична величина, яка характеризує зміну швидкості руху тіла, і яка дорівнює відношенню тієї зміни швидкості Δv, що відбулася за проміжок часу Δt, до величини цього проміжку часу.
Позначається: а
Визначальне рівняння: а=∆v/∆t,
Одиниця вимірювання: [a] = м/с2, метр за секунду в квадраті.
В подальшому терміном «прискорення» ми будемо позначати те прискорення яке характеризує зміну швидкості за величиною, і яке визначається за формулою а=(vк–v0)/t.Це прискорення завжди направлено вздовж лінії швидкості руху тіла. При цьому, якщо величина швидкості зростає (v↑), то вектори швидкості та прискорення співнаправлені, а якщо швидкість зменшується (v↓) – то ці напрямки протинаправлені.
. а) б)
Мал.14. Якщо швидкість автомобіля збільшується, то вектори a і v співнаправлені, а якщо зменшується – то протинаправлені.
Крім цього, потрібно мати на увазі, що коли рухаючись з постійним прискоренням (а=соnst), тіло збільшує свою швидкість, то відповідний рух називають рівноприскореним. При цьому говорять, що тіло має додатне прискорення (а>0). Якщо ж швидкість тіла зменшується, то відповідний рух називають рівносповільненим, а відповідне прискорення – від’ємним (а<0).
Мал.15. При рівноприскореному русі тіло має додатне прискорення (а>0), а при рівносповільненому русі – від’ємне (а<0).
Із визначального рівняння прискорення а=(vк–v0)/t, з усією очевидністю випливає, що при рівноприскореному русі (а=соnst) швидкість тіла можна визначити за формулою vк=v0+at або v=v0+at, де v0 – початкова швидкість тіла. Дійсно, оскільки а = (vк – v0)/t, то розкривши дужки отримаємо а = vk/t – v0/t. Звідси випливає vк/t=v0/t+а, або vк=v0+at. Зазвичай формулу v=v0+at називають рівнянням швидкості.
Таким чином, на практиці швидкість прямолінійного руху тіла визначають за формулами:
1) при рівномірному русі (v=const), v = s/t;
2) при рівноприскореному русі (а=const), v = v0+at.
Задача 3. Автомобіль що рухається зі швидкістю 108км/год, в процесі гальмування зупинився через 10с. З яким прискоренням рухався автомобіль?
Дано: СІ Рішення:
v0 = 108км/год 30м/с За визначенням а = (vк – v0)/t
vк = 0м/с – В умовах нашої задачі
t = 10с – а = (0м/с – 30м/с)/10с = –3м/с2,
а = ? де знак «–» вказує на те, що рух автомобіля
. є рівносповільненим.
. Відповідь: а = –3м/с2.
Задача 4. За заданим графіком швидкості руху тіла, визначити його прискорення на кожній ділянці шляху.
Рішення. На основі аналізу заданого графіку швидкості можна стверджувати, що даний рух складається з трьох ділянок. При цьому:
Ділянка №1: Δt1 = 3c – 0c = 3c; Δv1 = 3м/с – 0м/с = 3м/с;
а1 = Δv1/Δt1 = 3(м/с)/3с = 1м/с2;
рівняння швидкості: v1 = v0 + at = 0 + 1t = 1t
Ділянка №2: Δt2 = 5c – 3c = 2c; Δv2 = 3м/с – 3м/с = 0м/с;
а2 = Δv2/Δt2 = 0(м/с)/2с = 0м/с2;
рівняння швидкості: v2 = v0 + at = 3 + 0t = 3
Ділянка №3: Δt3 = 7c – 5c = 2c; Δv3 = 0м/с – 3м/с = –3м/с;
а3 = Δv3/Δt3 = –3(м/с)/2с = –1,5м/с2, де знак «–» вказує на те, що рух тіла є рівносповільненим (швидкість руху зменшується);
рівняння швидкості: v3 = v0 + at = 3 – 1,5t.
Вправа 3.
1.Турист пройшов 5км за 1,5год, а потім ще 2км за 30хв. Яка середня швидкість туриста на всьому шляху?
2. Турист за 25хв пройшов 1,2км, потім півгодини відпочивав, а далі пробіг ще 800м за 5хв. Яка середня швидкість туриста на всьому шляху?
3. Автомобіль проїхав 72км зі швидкістю 20м/с, а потім ще 108км – за 3год. Яка середня швидкість автомобіля на всьому шляху?
4. За заданими графіками руху (червона, синя, зелена прямі), визначити відповідні швидкості руху.
5. За представленим на малюнку графіком руху, визначити швидкість руху на кожній ділянці шляху, та середню швидкість на всьому шляху.
до задачі 4 до задачі 5
6.За 5с швидкість тіла зросла з 2м/с до 6м/с. Визначити прискорення тіла.
7. Яку швидкість матиме тіло через 20с від початку руху, якщо воно рухається з прискоренням 0,2 м/с2?
8. За який час автомобіль, рухаючись з прискореннями 0,2 м/с2 збільшить свою швидкість від 10м/с до 20м/с ?
9. За заданим графіком швидкості руху тіла, визначити його прискорення на кожній ділянці руху. Запишіть рівняння швидкості для кожної ділянки руху.
Лекційне заняття №4.
Тема: Рівняння руху – основний закон
кінематики. Практичне застосування рівняння руху.
Нагадаємо, до числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час (t), координата (х=ℓх), пройдений шлях (s=∆x), швидкість (v=∆x/∆t) та прискорення (а=∆v/∆t). Якщо ж говорити про основний закон кінематики поступального руху, то він називається рівнянням руху. Рівняння руху – це закон, в якому стверджується: в загальному випадку, прямолінійний рух матеріальної точки можна описати рівнянням:
х = х0 + v0t + (а/2)t2
де х – координата матеріальної точки в момент часу t,
х0 – початкова координата точки, тобто її координата в момент часу t=0,
v0 – початкова швидкість матеріальної точки,
а – прискорення матеріальної точки.
Потрібно зауважити, що в рівнянні х=х0+v0t+(а/2)t2 арифметичний знак (плюс чи мінус) кожного доданку визначається із умов конкретної задачі. А це означає, що в загальному випадку рівняння руху має вигляд х=±х0 ±v0t±(а/2)t2.
Не буде перебільшенням сказати, що знаючи рівняння руху х=х0+v0t+(a/2)t2 та визначальні рівняння базових фізичних величин кінематики (s=∆x, v=∆x/∆t, а=∆v/∆t), можна розв’язати практично будь-яку задачу кінематики. У всякому разі ті задачі, складність яких не виходить за межі програми загальноосвітньої школи.
Скажімо, просто поглянувши на рівняння х = 200 –10t + 0,2t2, та розуміючи що це рівняння руху, тобто рівняння вигляду х=х0+v0t+(а/2)t2, ви відразу ж уявляєте наступну ситуацію. В момент часу t=0, дане тіло знаходиться в точці з координатою 200м і рухається у від’ємному напрямку з швидкістю 10м/с. При цьому величина цієї швидкості зменшується (зменшується тому, що знаки (напрямки) швидкості та прискорення є протилежними), а числове значення прискорення становить 0,4м/с2. (Сподіваюсь, ви розумієте: якщо а/2=0,2 то а=0,2·2=0,4).
Таким чином, основі порівняльного аналізу рівнянь
х = х0 + v0t + (а/2)t2,
х = 200 –10t + 0,2t2,
можна стверджувати:
х0= 200м; v0= –10м/с; а = 0,4м/с2; v↓
Загальні зауваження. Якщо в поясненнях до рівняння руху не вказані одиниці вимірювання відповідних величин, то потрібно вважати що цими одиницями є основні одиниці міжнародної системи (СІ):
[x]=м; [v]=м/с; [a]=м/с2.
Задача 1. За заданим рівнянням руху дати загальну характеристику цього руху.
x1 = –200 +15t – 0,4t2: х0 = –200м; v0 = 15м/с; а = –0,8м/с2; v↓
x2 = 100 – 8t – 0,1t2: х0 = 100м; v0 = –8м/с; а = –0,2м/с2; v↑
х3 = 5 + 4t : х0 = 5м; v0 = 4м/с; а = 0м/с2; v = const
x4 = –5t: х0 = 0м; v0 = –5м/с; а = 0м/с2; v = const
x4 = 200 – 0,5t2: х0 = 200м; v0 = 0м/с; а = –1м/с2; v↑
x5 = –100: х0 = –100м; v0 = 0м/с; а = 0м/с2; не рухається
Зверніть увагу, ми просто дивимося на рівняння руху і отримуємо з нього достатньо велику кількість інформації. Тепер уявіть, скільки інформації можна отримати на основі математичного та логічного аналізу цього рівняння. Ілюструючи лише малу частину цих інформаційних можливостей, розглянемо конкретну задачу.
Задача 2. За заданим рівнянням руху х = 100 + 12t – 0,4t2:
1) дати загальну характеристику руху тіла;
2) визначити пройдений тілом шлях за десять секунд;
3) визначити пройдений тілом шлях за десяту секунду
4) записати рівняння швидкості руху тіла та визначити цю швидкість через 10с;
5) визначити де і коли тіло зупиниться;
Відповідаючи на кожне з поставлених запитань можна сказати наступне.
1.Дати загальну характеристику руху тіла: х0 =? v0=? а =? малюнок.
Із порівняльного аналізу рівнянь
х = х0 + v0t + (а/2)t2 та
х=100 +12t – 0,4t2, ясно:
х0 =100м; v0 = 12м/с; а = –0,8м/с2; v↓.
. а←——♦———→ v↓
———•————————————•———————————•——→х(м)
. 0 100 200
2. Визначити пройдений тілом шлях за десять секунд: s(10)=?
Оскільки за визначенням s=∆х=хк –хп
та враховуючи що в умовах даної задачі
хп = х0 = 100м
хк = х(10) = 100 + 12(10) – 0,4(10)2 = 180м, можна записати
s(10)= х(10) – х0 = 180 – 100 = 60м.
3. Визначити пройдений тілом шлях за десяту секунду: s(10ту)=?
Сподіваюсь ви розумієте, що в даному випадку потрібно визначити той шлях, який пройде тіло за одну, а саме за десяту секунду. При цьому не важко збагнути, що десятою секундою є та, що між дев’ятою і десятою, тобто s(10ту)= х(10) – х(9).
Оскільки х(10) = 180м, а х(9) = 100 + 12(9) – 0,4(9)2 = 100+108–32,4=175,6м, то
s(10ту)= х(10) – х(9) = 180 – 175,6 = 4,4м
4. Записати рівняння швидкості руху тіла та визначити цю швидкість через 10с
Оскільки при рівноприскореному русі v=v0+at, то в умовах нашої задачі (v0=12м/с,
а = –0,8м/с2) можна записати v=12 – 0,8t.
Якщо t=10c, то v(10)= 12 – 0,8(10) = 4м/с.
5. Визначити, де і коли тіло зупиниться: хзуп =? tзуп=?
Оскільки в момент зупинки швидкість тіла дорівнює нулю (v=0), то можна записати: якщо t=tзуп, то v = 12 – 0,8tзуп = 0, звідси tзуп = 12/0,8=15c
А це означає, що хзуп =х(15)= 100+12(15) – 0,4(15)2 = 100+180–90 = 190м.
Потрібно зауважити, що рівняння руху дає формально-математичні відповіді на всі запитання які стосуються цього рівняння. При цьому ви маєте розуміти, що в реальності, у відповідності з певним рівнянням, тіло рухається певний обмежений проміжок часу. Скажімо в процесі руху, автомобіль на певних ділянках набирає швидкість, на певних пригальмовує, на певних їде з постійною швидкістю, а на певних робить ті чи інші маневри. При цьому кожна ділянка описується своїм рівнянням руху і має свої часові обмеження. Та якби там не було, а не важко бачити, що на основі аналізу рівняння руху, можна розв’язувати величезну кількість кінематичних задач. І відтепер ви розумієте, чому це рівняння називають основним законом кінематики.
Задача 3. В заданій системі відліку, рівняння руху тіл мають вигляд х1=15t, х2=200+10t. Де і коли зустрінуться ці тіла?
Дано: Рішення.
х1=15t, На основі аналізу заданих рівнянь руху
х2=100+10t виконуємо відповідний малюнок, тобто
хзустр = ? задаємо систему координат на якій
tзустр = ? відображаємо наявну ситуацію.
. v01=15м/с v02=10м/с
——♦——————————♦—————————•———————→ х(м)
. 0 100 200
Оскільки в момент зустрічі, тіла 1 і 2 мають знаходитись в одному і тому ж місці, тобто в точці однаковою координатою, то можна стверджувати, що для моменту часу t = tзустр має виконуватись умова х1 = х2.
А це означає, що 15tзустр = 100 + 10tзустр , звідси 15tзустр – 10tзустр = 100,
звідси 5tзустр = 100, звідси tзустр = 100/5 = 20с.
Таким чином, дані тіла зустрінуться через 20с в точці з координатою
хзустр = х1(20) = 15(м/с)20с = 300м. Отриманий результат можна перевірити
за допомогою другого рівняння: хзустр = х2(20) = 100м +10(м/с)20с = 300м.
Відповідь: tзустр = 20с, хзустр = 300м.
Задача 4. За заданим графіком руху, записати рівняння руху на кожній ділянці шляху (вважати, що вісь 0ℓ є віссю координати, тобто віссю 0х).
Загальні зауваження. Якщо графіком руху є пряма (відрізок прямої), то відповідний рух є рівномірним (v=v0=const), тобто рухом з нульовим прискоренням (а=0). А це означає, що рівняння такого руху має вигляд х=х0+vt.
Рішення. На основі аналізу заданого графіку руху можна стверджувати, що даний рух складається з трьох ділянок. При цьому:
Ділянка №1: х0=0м, хк=50м, Δх=50м, Δt=10c, v=Δx/Δt=50м/10c=5м/с,
рівняння руху х = 5t.
Ділянка №2: х0=50м, хк=50м, Δх=0м, Δt=15c, v=Δx/Δt =0м/15c =0м/с,
рівняння руху х= 50.
Ділянка №3: х0=50м, хк=150м, Δх=100м, Δt=10c, v=Δx/Δt =100м/10c=10м/с,
рівняння руху х = 50 + 10t.
Задача 5. Відходячи від станції, потяг протягом однієї хвилини рухається з прискоренням 0,4м/с2. Визначте той шлях який проїхав потяг за цей час, і швидкість наприкінці цього шляху.
Дано: СІ Рішення:
v0 = 0м/с – Для пройденого шляху (s=х–х0) рівняння руху
t = 1хв 60с (х=х0+v0t+(а/2)t2) набуває вигляду s = v0t + (a/2)t2.
a = 0,4м/с2 – А зважаючи що в умовах нашої задачі v0=0,
s = ? можна записати s = (a/2)t2 = [(0,4м/с2)/2](60c)2 =
vк = ? 0,2(м/с2)3600с2=720м.
Оскільки при рівноприскореному русі
vк=v0+at, то
vк=0(м/с) + 0,4(м/с2)60с=24м/с.
Відповідь: s=720м; vк=24м/с.
Вправа 4.
1. За рівнянням руху дати загальну характеристику відповідного руху:
х1 = 100 + 10t + 0,5t2
х2 = –100 + 5t – 0,2t2
х3 = –10t – 0,3t2
х4 = 150 – 0,25t2
х5 = t2 .
2.За заданим рівнянням руху х = 100 –15t + 0,5t2:
1) дати загальну характеристику руху тіла;
2) визначити координати тіла через 10 і 20 секунд;
3) визначити швидкість тіла через 10 і 20 секунд;
4) визначити де і коли тіло зупиниться;
3. В заданій системі відліку рівняння руху тіл мають вигляд х1 =15t, х2= 200 +10t. Де і коли зустрінуться ці тіла?
4. Із пунктів А і В одночасно та в одному і тому ж напрямку виїхав автомобіль з швидкістю 22м/с та велосипедист з швидкістю 8м/с. Де і коли вони зустрінуться, якщо відстань між пунктами А і В 900м?
5. Із станції вийшов товарний потяг зі швидкістю 36км/год. Через 0,5год, в тому ж напрямку вийшов пасажирський потяг, швидкість якого 72км/год. Через який час і на якій відстані від станції пасажирський потяг наздожене товарний.
6. За заданими на малюнку графіками запишіть відповідні рівняння руху.
7. За заданим графіком швидкості руху тіла, визначити прискорення тіла на кожній ділянці шляху і записати відповідні рівняння швидкості та рівняння шляху.
Лекційне заняття №5.
Тема: Вільне падіння тіл. Рух тіла кинутого
вертикально, горизонтально та під кутом до горизонту.
Вільним падінням називають такий рух тіла, який відбувається під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу інших зовнішніх сил, зокрема сили опору повітря. В загальному випадку вільно падаючими вважають не лише ті тіла падіння яких починається з нулевою швидкістю (мал.17а), а й ті які з певною швидкістю кинули вертикально вниз, вертикально вгору, горизонтально або під кутом до горизонту (мал.17б,в,г,д). Адже в кожному з цих випадків, тіло після отримання певного початкового поштовху, рухається під дією лише однієї зовнішньої сили – сили тяжіння (звичайно за умови, що сила опору повітря є не суттєвою).
Мал.17. Рух тіла що відбувається під дією сили тяжіння та за відносності дії інших зовнішніх сил (зокрема суттєвого впливу опору повітря), називають вільним падінням тіла.
Характерною особливістю того руху який називається вільним падінням є те, що це падіння відбувається з певним постійним як за величиною так і за напрямком прискоренням, яке називається прискоренням сили тяжіння або прискоренням вільного падіння.
Мал.18. Під дією сили тяжіння та за відсутності суттєвого впливу опору повітря, всі тіла падають з однаковим прискоренням – прискоренням вільного падіння (експериментальний факт).
Підкреслюючи важливість та значимість прискорення вільного падіння (прискорення сили тяжіння), його позначають окремою літерою g (від лат. gravitas – тяжіння). Для Землі, усереднена величина цього прискорення становить g=9,8067 м/с2.
Потрібно зауважити, що величина та напрям прискорення вільного падіння не залежать від того в якому напрямку рухається тіло і з якою початковою швидкістю воно рухається. Наприклад, в незалежності від того чи вільно відпустили піднятий над землею камінь (мал19а), чи з певною швидкістю кинули вертикально вниз (мал.19б), вгору (мал.19в) чи під кутом до горизонту (мал.19г), цей камінь буде рухатись з прискоренням g=9,8м/с2. В незалежності від того рухається камінь вгору чи падає вниз, він рухається з прискоренням g=9,8м/с2 і це прискорення завжди направлено вертикально вниз. Навіть в точці максимального підйому тіла, де його швидкість дорівнює нулю, тіло має прискорення g=9,8м/с2. Іншими словами, на всій траєкторії вільного польоту, тіло рухається з прискоренням вільного падіння.
Мал.19. У всіх точках траєкторії вільного польоту, тіло рухається з прискоренням вільного падіння (g=9,8м/с2)
Як і будь-який рівноприскорений рух, вільне падіння тіла можна описати рівнянням виду х=х0+v0t+(a/2)t2. Відмінність лише в тому, що говорячи про вільне падіння матеріальної точки, її вертикальну координату (висоту) зазвичай позначають літерою h, а прискорення – літерою g. Іншими словами, рух вільно падаючого тіла можна описати формулою h=h0+v0t+(g/2)t2.
Ілюструючи закономірності того руху який називається вільним падінням тіла, а заодно ілюструючи практичну значимість того закону який називається рівнянням руху, розв’яжемо ряд конкретних задач.
Задача 1. Визначити глибину колодязя, якщо відомо, що випущений із руки камінь досягає води за 2с.
Дано : Рішення:
v0 = 0 м/с Виконуємо малюнок, задаємо систему координат
t = 2 с та записуємо рівняння руху тіла в цій системі, тобто
h = ? формулу яка має вигляд h=h0+v0t+(g/2)t2.
В умовах даної задачі h0=0м; v0=0м/с, це рівняння набуває вигляду: h=(g/2)t2, де
g=10м/с2. Враховуючи, що t=2c, виконуємо відповідні розрахунки.
Розрахунки: h=(10(м/с2)(2с)2/2=20м;
Відповідь: h=20м.
Загальні зауваження. Конкретний вигляд рівняння руху залежить не лише від самого руху, а й від вибору системи координат. Наприклад, якщо в умовах даної задачі за початок відліку обрати точку на дні колодязя, а вісь 0h направити вертикально вгору, то рівняння руху каменя матиме вигляд не h=(g/2)t2, а h = h0 – (g/2)t2, де h0 – висота каменя над поверхнею дна колодязі, а отже – глибина колодязі. Втім, результат розв’язку задачі буде одним і тим же. Дійсно, для рівняння h = h0 –(g/2)t2, в момент падіння камінь буде на рівні h=0 і тому h0–(g/2)t2=0. Звідси h0 = (g/2)t2 = (10(м/с2)(2с)2/2=20м.
Задача 2. Тіло вільно падає з висоти 45м. Визначте час падіння тіла.
Дано: Рішення:
h = 45м Виконуємо малюнок, задаємо систему координат
tпад= ? та записуємо відповідне рівняння руху тіла, тобто
. формулу яка має вигляд h=h0+v0t+(g/2)t2.
В умовах даної задачі (h0=0м; v0=0м/с), це рівняння набуває вигляду:
h=(g/2)t2. Звідси випливає t2 = 2h/g, звідси t = √(2h/g).
Розрахунки: t = √(2·45м/10(м/с2))= √(9с2) = 3с
Відповідь: tпад= 3с.
Задача 3. На яку максимальну висоту підніметься тіло. Якщо його кинули вертикально вгору з швидкістю 20м/с?
Дано : Рішення:
v0 = 20 м/с Виконуємо малюнок, задаємо систему координат
hmax = ? та записуємо відповідне рівняння руху тіла, тобто
. формулу яка має вигляд h=h0+v0t+(g/2)t2.
А оскільки в умовах даної задачі h0=0м; g=10м/с2,
то рівняння руху набуває вигляду: h = v0t – (g/2)t2, або h=20t–5t2.
Із аналізу рівняння руху ясно, що для визначення максимальної висоти підйому тіла (h=hmax) необхідно визначити час цього підйому t=tmax.
Оскільки на максимальній висоті, тобто в момент часу t=tmax, швидкість тіла дорівнює нулю, та зважаючи на те, що величина цієї швидкості визначається за формулою
v=v0–gt, можна записати: v0–gtmax=0. Звідси, tmax = v0/g = 20(м/с)/10(м/с2) =2с.
Таким чином: hmax=20tmax – 5tmax2 = 20(м/с)2с – 5(м/с2)(2с)2 = 40м – 20м =20м
Відповідь: hmax=20м.
Рух тіла кинутого горизонтально, або під кутом до горизонту.
Нагадаємо, в загальному випадку, для того поступального руху який називається вільним падінням, рівняння руху х=х0+v0t+(a/2)t2 набуває вигляду h=h0+v0t+(g/2)t2.
Рух тіла кинутого горизонтально, або під кутом до горизонту є криволінійним, причому таким, який завжди можна розкласти на дві складові: рівномірний (v=const) горизонтальний та рівноприскорений (a=const) вертикальний. А це означає, що описуючи такий криволінійний рух, можна записати два незалежних рівняння, аналіз яких дозволяє відповісти на практично будь які запитання кінематики. На підтвердження вище сказаного розглянемо декілька конкретних задач.
Задача 4. Тіло, що знаходиться на висоті 10м кинули горизонтально з швидкістю 20 м/с. Визначити горизонтальну дальність польоту тіла та його швидкість в момент падіння на землю.
Дано: Рішення:
h0 = 10 м Виконуємо малюнок який відображає наявну
v0 = 20 м/с ситуацію та задаємо відповідну систему координат.
ℓ = ? v = ? Криволінійний рух даного тіла по суті є результатом
двох незалежних рухів: рівномірного горизонтального та рівноприскореного вертикального. Зважаючи на ці обставини, задаємо систему координат і записуємо рівняння кожного окремого руху, тобто формулу яка має вигляд х=х0+v0t+(a/2)t2.
– горизонтальний рух: оскільки х=ℓ; х0=ℓ0=0м; a=0м/с2, то ℓ=v0t
– вертикальний рух: оскільки х=h; х0=h0; v0=0м/с; a=g=10м/с2, то h=h0 – gt2/2.
Таким чином даний рух описують два рівняння:
1) ℓ = v0t, або ℓ=20t;
2) h = h0 – gt2/2, або h=10 – 5t2.
Із аналізу рівнянь ясно, що для того щоб визначити дальність польоту тіла (ℓ=20t), необхідно визначити тривалість цього польоту (t=tпол). А оскільки в момент падіння тіла, h=0, то 10 – 5(tпол)2= 0, звідси (tпол)2=(10/5)=2с2, звідси tпол=√2=1,4с.
Розрахунки: ℓ=20tпол= 20(м/с)1,4с= 28м.
Визначаючи величину швидкості тіла в момент його падіння, потрібно зважити на те, що ця швидкість має дві складові:
– горизонтальну vx, значення якої залишається незмінною: vx=v0=20м/с
– вертикальну vy, величина якої змінюється за законом vy=gt.
Оскільки час польоту тіла відомий tпол=√2=1,4с, то для моменту падіння vy = gtпол =14м/с.
Таким чином, результуючий вектор швидкості має дві складові: vx=20м/с; vy=14м/с. Знаючи правила додавання векторів та теорему Піфагора не важко визначити величину (v) результуючої швидкості: v=vx + vy
v =√(vx2 +vy2) = √(202 + 142) = √596 = 26,4м/с
Відповідь: ℓ=28м, v = 26,4м/с.
Задача 5. З якою горизонтальною швидкістю потрібно кинути тіло, щоб дальність його польоту дорівнювала тій висоті з якої кинули це тіло?
Дано: Рішення:
h0 Виконуємо малюнок який відображає наявну ситуацію
ℓ = h0 та задаємо відповідну систему координат.
v0 = ? Записуємо рівняння горизонтальної та вертикальної
складової даного руху (тобто формулу яка має вигляд х=х0+v0t+(a/2)t2).
– горизонтальний рух: оскільки х=ℓ; х0=ℓ0=0м; a=0м/с2, то ℓ=v0t
– вертикальний рух: оскільки х=h; х0=h0; v0=0м/с; a=g=10м/с2, то
h=h0 – gt2/2. Таким чином даний рух описують два рівняння:
1) ℓ = v0t;
2) h = h0 – gt2/2.
Оскільки в момент падіння тіла (t=tx), h=0м, то h0 – gtx2/2=0, звідси tx= √(2h0/g).
Таким чином, дальність польоту тіла визначається за формулою
ℓ=v0√(2h0/g), звідси v0 =ℓ/√(2h0/g) = ℓ√(g/2h0).
Оскільки за умовою задачі ℓ=h0 то v0 = h0√(g/2h0) = √(h0g/2).
Відповідь: v0 = √(h0g/2).
Тепер, коли ви ознайомились з закономірностями руху тіла кинутого горизонтально, можна розглянути і більш загальний рух – рух тіла кинутого під кутом до горизонту.
Мал.19. Кінематика руху тіла кинутого під кутом до горизонту.
На перший погляд, такий рух здається значно складнішим за рух тіла кинутого горизонтально. Насправді ж відмінності між цими рухами не такі вже й суттєві. Дійсно. Якщо вектор початкової швидкості (v0) розкласти на дві складові:
– горизонтальну vx=v0 cosα
– вертикальну vy=v0 sinα,
то даний криволінійний рух можна представити як результуючу двох лінійних рухів: рівномірного горизонтального та рівноприскореного вертикального. При цьому, кожен з цих рухів можна описати відповідним рівнянням. Наприклад, представлений на мал.19 рух, можна описати системою двох рівнянь:
ℓ=(v0 cosα)t;
h=(v0 sinα)t – gt2/2.
Доречно зауважити, що в процесі руху тіла кинутого під кутом до горизонту, горизонтальна складова його швидкості (vx=v0cosα) залишається незмінною (звичайно за умови не суттєвості опору повітря), а вертикальна складова цієї швидкості, змінюється за законом vy = v0 sinα – gt (спочатку зменшується до нуля, а потім збільшується).
Загальні зауваження. Сподіваюсь ви бодай щось чули про синус та косинус кута. А якщо не чули, то на даному етапі просто запам’ятайте:
| кут α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| sinα | 0,00 | 0,50 | 0,71 | 0,87 | 1,00 |
| cosα | 1,00 | 0,87 | 0,71 | 0,50 | 0,00 |
Задача 6. Снаряд вилетів з дула гармати під кутом 30° до горизонту, з швидкістю 800м/с. Визначити дальність польоту снаряду та максимальну висоту його підйому.
Дано: Рішення:
v0 = 800м/с Виконуємо малюнок який відображає наявну ситуацію
α = 30° та задаємо відповідну систему координат.
ℓ = ? Розкладаємо вектор початкової швидкості (v0) на дві складові:
hм = ? vx=v0cosα = v0cos30° = 800(м/с)·0,87 = 696м/с;
. vy=v0sinα = v0sin30° = 800(м/с)·0,5 = 400м/с.
Записуємо рівняння горизонтальної та вертикальної складової руху снаряду:
ℓ = (v0cosα)t = 696t;
h = (v0sinα)t – gt2/2 = 400t – 5t2.
Виходячи з того, що в момент падіння h=0м, визначаємо час польоту снаряду:
якщо t=tпол то h = 400t – 5t2 = 0, або t(400 – 5t) = 0, звідси
1) t = 0
2) 400 – 5t = 0, або 5t = 400, або t = 400/5 = 80c.
Отримані результати говорять про те, що на нулевій висоті (h=0) снаряд побував двічі: в момент вильоту з дула гармати (t=0c); в момент падіння на землю (t=80с).
Оскільки, тривалість польоту снаряду визначається як проміжок часу між моментом його вильоту та моментом падіння, то ясно, що tпол = 80с.
Знаючи час польоту снаряду, не важко визначити дальність його польоту:
ℓ = 696tпол = 696(м/с)80с = 55680м = 55,68км.
Відповідь: ℓ = 55км; hм = 8км.
Потрібно зауважити, що для тих швидкостей з якими рухаються кулі та снаряди, опір атмосферного повітря є дуже великим. Тому реальні параметри траєкторії руху снаряду, дальності та висоти його польоту, будуть суттєво відрізнятись від тих, які отримані без врахування опору повітря.
Вправа 5.
1.Визначити глибину ущелини, якщо камінь, падаючи без початкової швидкості досягне її дна за 5с.
2. Тіло без початкової швидкості падає з висоти 30м. Визначити його швидкість в момент падіння.
3. Камінь кинули вертикально вниз з початковою швидкістю 7м/с. З якої висоти кинули камінь, якщо він падав 1,5с?
4. Тіло вільно падає з висоти 60м. Визначте пройдений тілом шлях за останню секунду його падіння.
5. Тіло, що знаходиться на висоті 15м кинули горизонтально з швидкістю 15м/с. Визначити горизонтальну дальність польоту тіла, та його швидкість в момент падіння.
6. Тіло, що знаходиться на висоті 15м кинули горизонтально з швидкістю 20 м/с. Визначите координати цього тіла через 1с польоту.
7. З вікна в горизонтальному напрямку кинули м’яч з швидкістю 10м/с. При цьому м’яч упав на землю через 2с. З якої висоти було кинуто м’яч і на якій відстані від будинку він упав?
8. Тіло кинули під кутом 60° до горизонту, з швидкістю 20м/с. Визначити дальність польоту та максимальну висоту підйому тіла.
Лекційне заняття №6. Тема. Алгебраїчний та графічний
методи розв’язування задач.
В фізиці є два базові методи розв’язування задач: алгебраїчний (аналітичний) та графічний (геометричний). Говорячи про сильні та слабкі сторони цих методів можна сказати наступне.
Суть алгебраїчного методу розв’язування задач полягає в тому, що виходячи з умов конкретної задачі та відомих базових формул, шляхом логічних міркувань (аналізу) та відповідних математичних перетворень, отримують алгебраїчне рішення задачі. Наприклад.
Задача.1. За заданими рівняннями руху х1=140 – 14t; х2= 4t, визначити де і коли тіла зустрінуться.
Рішення. Оскільки в момент зустрічі х1=х2, то можна записати 140 – 14t = 4t. Звідси
18t=140, звідси t=140/18=7,78с=tзустр. А це означає, що хзустр= х2(7,78)=4∙7,78=31,1м.
Відповідь: тіла зустрінуться через 7,78с в точці з координатою31,1м.
Суть графічного (геометричного) методу розв’язування задач полягає в тому, що на основі максимально точних геометричних побудов, з дотриманням вибраного масштабу та з застосуванням відповідних геометричних приладів (лінійка, транспортир, циркуль, тощо), отримують графічну відповідь на поставлене в задачі запитання. Наприклад.
Задача 2. За рівняннями руху х1 =140 – 14t; х2 = 4t побудувати відповідні графіки та виконати їх кінематичний аналіз.
Рішення:
На основі аналізу заданих рівнянь руху визначаємо координати базових точок:
х1=140 – 14t: якщо t = 0с то х = 140м, А1(0; 140)
. якщо t = 10с то х = 0м, А2(10; 0).
х2= 4t: якщо t = 0с то х = 0м, В1(0; 0)
. якщо t = 10с то х = 40м, В2(10; 40).
Задаємо систему координат і виконуємо необхідні геометричні побудови.
Побудувавши графіки заданих рухів та аналізуючи ці графіки, можна відповісти на безліч кінематичних запитань. Наприклад, визначити час та місце зустрічі тіл: зустрінуться приблизно через 7,8с в точці з координатою приблизно 30м. Можна встановити координати рухомих тіл в будь який момент часу. Скажімо, в момент часу t= 5с: х1≈50м; х2≈ 20м. Для будь якого моменту часу, визначити відстань між рухомими об’єктами. Наприклад: для t=5с, ℓ≈50м; для t=10с, ℓ=40м. Визначити швидкість тіла (v=∆x/∆t), його прискорення (a=∆v/∆t), напрям руху, тощо. Іншими словами, геометричний аналіз графіків руху, дозволяє відповісти на той же спектр запитань що і математичний аналіз відповідних рівнянь руху.
Головною перевагою графічного методу є його візуальна наочність. А основним недоліком – факт того, що точність графічного рішення залежить від точності геометричних побудов. Крім цього, графічне рішення задачі може бути ефективним лише в тому випадку, якщо досліджувані величини описуються лінійними функціями, тобто можуть бути представленими у вигляді певних прямих. Адже якщо наприклад, рівняння руху має вигляд х=40t–5t2, то графіком цього руху буде зображена на малюнку парабола для побудови якої потрібно визначити координати максимально великої кількості точок. Крім цього, за параболічним графіком важко визначити як величину тієї швидкості з якою рухається матеріальна точка в той чи інший момент часу, так і величину відповідного прискорення. Зважаючи на це, в подібних ситуаціях, графічний метод застосовується рідко.
Мал.16. Графічний метод розв’язування задач є ефективним лише в тому випадку, коли відповідні графіки є лінійними.
Задача 3. За заданим графіком руху матеріальної точки визначити її швидкість на кожній ділянці шляху та записати відповідне рівняння руху.
Рішення. Оскільки на кожній ділянці графік руху представляє певну пряму, то відповідні рухи є рівномірними (v=const). А це означає, що швидкість такого руху визначається за формулою v=Δх/Δt. Тому, на основі кількісного аналізу графіку можна записати:
1) ділянка 1: Δt = 10c, х0 = 20м, Δx = –40м, v1=Δx/Δt= –20м/10с= –4м/с,
x1 =20 – 4t;
2) ділянка 2: Δt = 5c, х0 = –20м, Δx = 0м, v2=Δx/Δt= 0м/5с = 0м/с;
x2 = – 20;
3) ділянка 3: Δt = 10c, х0 = – 20м, Δx = 30м, v3=Δx/Δt= 30м/10с= 3м/с,
x3 = –20 + 4t;
4) ділянка 4: Δt = 10c, х0 = 10м, Δx = –20м, v4=Δx/Δt= –20м/10с= –2м/с,
x4 = 10 –2t;
Задача 4. За заданим графіком руху, визначити швидкість руху тіла на кожній ділянці. Побудувати графік швидкості руху тіла.
Рішення. Оскільки на кожній ділянці графік руху представляє певну пряму, то відповідні рухи є рівномірними (v=const). А це означає, що швидкість такого руху визначається за формулою v=Δℓ/Δt. Тому, на основі кількісного аналізу графіку можна записати
v1=Δℓ1/Δt1=50м/5с=10м/с;
v2=Δℓ2/Δt2=25м/5с=5м/с.
Отримані результати представляємо у вигляді відповідного графіка швидкості.
Загальні зауваження. Аналіз графіку швидкості руху тіла дозволяє графічним способом визначати величину пройденого шляху як на певній ділянці руху так і на будь якій сукупності цих ділянок. А величина цього шляху дорівнює площі тієї фігури, яка з одного боку обмежена графіком швидкості та віссю 0–t, а з іншого – тими вертикальними лініями, які відповідають тому проміжку часу в межах якого визначається пройдений шлях. Наприклад в умовах нашої задачі s = (10м/с∙5c) + (5м/с∙5c) = 50м +25м = 75м.
Задача 5. За заданим графіком швидкості, описати рух тіла на кожній ділянці шляху. Визначити пройдений тілом шлях на кожній ділянці.
Оскільки задані рівняння швидкостей представляють собою певні прямі, то можна стверджувати, що відповідні рухи є рівноприскореними (а=соnst), тобто такими, які описуються формулами:
v = v0 + at – рівняння швидкості;
s = v0t + at2/2 – рівняння пройденого шляху;
для криволінійного руху: s = |s1| + |s2| + …
Кількісно аналізуючи графік швидкості на кожній ділянці, можна сказати наступне:
1.Ділянка №1: ∆t=20c; v=20м/c=const; a=0;
s=vΔt=20(м/с)∙20с=400м
2. Ділянка №2: ∆t=20c; v≠const; v0=20м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с2;
s = v0Δt + aΔt2/2 = 20(м/с)∙20с + 0,5(м/с2)∙(20с)2 = 600м.
3. Ділянка №3: ∆t=20c; v≠const; v0=40м/c; a=∆v/∆t=(–40м/с)/20с= –2м/с2;
s = v0Δt + aΔt2/2 = 40∙20 –1∙202 = 400м.
4. Ділянка №4: ∆t=20c; v≠const; v0=0м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с2;
s = v0Δt + aΔt2/2 = 0∙20 + 0,5∙202 = 200м.
Вправа №6
1.Рух тіл вздовж осі ох задано рівняннями х1=5t, х2=150 – 10t. Визначити час та місце їх зустрічі. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.
2. За заданими графіками руху записати відповідні рівняння руху. Визначити час та місце зустрічі тіл. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.
3. За заданими графіками руху записати відповідні рівняння руху.
4. За заданим графікам швидкості визначити прискорення тіла на кожній ділянці шляху, записати відповідні рівняння швидкості та рівняння пройденого шляху.
5. За заданими графіками швидкості руху матеріальної точки визначити її прискорення на кожній ділянці шляху, записати відповідні рівняння швидкості, визначити величину пройденого шляху на кожній ділянці.
а) 
б)
6. За заданим графіком визначити пройдені тілом шляхи на кожній ділянці руху та на всьому шляху. Задачу розв’язати геометричним та алгебраїчним методом.
Лекційне заняття №7. Тема: Рух матеріальної точки по колу.
Доцентрове прискорення. Період та частота обертання.
Довільний поступальний рух матеріальної точки (тіла) можна представити як певну сукупність прямолінійних та криволінійних ділянок. Наприклад, в процесі руху дорогами міста, траєкторія руху автомобіля зазвичай представляє собою певну сукупність прямолінійних та криволінійних ділянок (мал.20а).
В загальному випадку, криволінійна траєкторія руху матеріальної точки може бути надзвичайно складною. Однак будь яку криволінійну траєкторію, можна представити як певну сукупність фрагментів кіл (мал.20б). А це означає, що знаючи закономірності руху матеріальної точки по колу, можна описати будь який криволінійний рух.
Мал.20. Довільний рух матеріальної точки, представляє собою певну сукупність прямолінійних та криволінійних ділянок. При цьому, будь який криволінійний рух, можна представити як певну сукупність фрагментів кіл.
Характерною особливістю руху матеріальної точки по колу є те, що в незалежності від швидкості руху, ця точка завжди рухається з певним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком. Дійсно, припустимо що матеріальна точка з певною незмінною за величиною (модулем) швидкістю (|v1| = |v2| = … = const), рухається по колу радіусу R (мал.21а). Не важко бачити, що в процесі такого руху, напрям швидкості постійно змінюється(v1 ≠ v2 ≠… ≠ const). А це означає, що відповідна точка рухається з певним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком. Це прискорення називають доцентровим (позн. ад). Така назва обумовлена фактом того, що в будь якій точці траєкторії, доцентрове прискорення направлено до центру того кола яке описує відповідна точка (мал.21б).
. v1 = v2 = const
. v1 ≠ v2 ≠ const
Мал.21. В процесі руху матеріальної точки по колу, напрям її швидкості постійно змінюється і тому вона рухається з відповідним прискоренням.
Виходячи з визначального рівняння прискорення (а=∆v/∆t), можна довести, що величина доцентрового прискорення визначається за формулою ад =v2/R, де v – швидкість тіла в даній точці траєкторії; R – радіус кривизни цієї траєкторії.
Доцентрове прискорення – це таке прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке дорівнює відношенню квадрату швидкості руху тіла (матеріальної точки) до радіусу кривизни його траєкторії у відповідній точці.
Позначається: ад
Визначальне рівняння: ад=v2/R
Одиниця вимірювання: [ад]= м/с2, метр за секунду в квадраті.
Таким чином, якщо тіло рухається по колу, то в незалежності від того змінюється модуль його швидкості, чи не змінюється, це тіло має певне доцентрове прискорення, величина якого визначається за формулою ад=v2/R, і яке завжди направлено до центру відповідного кола.
Не важко збагнути, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення неминуче дорівнює нулю. І це природньо. Адже на таких ділянках, напрям швидкості залишається незмінним і тому прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком має бути нулевим. Те, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення дорівнює нулю, випливає не лише з визначення цього прискорення, а й з його визначального рівняння. Дійсно. Будь-яку прямолінійну ділянку траєкторії, можна вважати частиною кола з безкінечно великим радіусом (R = ∞). А це означає, що для таких ділянок aд=v2/R=v2/∞= 0.
Рух по колу є надзвичайно поширеним як в природі загалом так і в штучно створеній техніці зокрема. По колу рухаються елементи коліс, шківів, валів та шестерень машин і механізмів. По колу рухаються точки секундних, хвилинних та годинникових стрілок годинників, лопатей вентиляторів, вітряків, турбін та корабельних двигунів. Практично по колу Місяць обертається навколо Землі, Земля – навколо Сонця, Сонце – навколо центру Галактики, а Галактика – навколо центру Метагалактики. Певною комбінації кіл рухаємся ми з вами в процесі обертання Землі навколо своєї осі, навколо Сонця, навколо центра Галактики та центра Метагалактики.
Мал. 23. Деякі приклади руху тіл та елементів тіл по колу.
Якщо в процесі руху по колу, модуль швидкості матеріальної точки залишається незмінним (v=const), то відповідний рух називають рівномірним рухом матеріальної точки по колу. Рівномірний рух матеріальної точки по колу характеризується не лише певною швидкістю (v) та певним доцентровим прискоренням (ад), а й певною повторюваністю (періодичністю). Цю повторюваність характеризують двома величинами: періодом обертання (Т) та частотою обертання (ν). Наприклад, період обертання секундної стрілки годинника становить 60с, період обертання Землі навколо своєї осі – одна доба (Т=доба=86400с); період обертання Місяця навколо Землі – 27,3доби (Т=27,3доби=2,36·106с); період обертання Землі навколо Сонця – один рік (Т=рік=3,2·107с); період обертання Сонячної системи навколо центру Галактики – 240 мільйонів земних років.
Мал.24. Рівномірний рух по колу, характеризується не лише певною швидкістю (v) та певним доцентровим прискоренням (ад), а й певною повторюваністю (періодичністю).
Період обертання (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) обертального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює один повний оберт.
Позначається: Т
Визначальне рівняння: Т = t/n, де n – кількість обертів системи здійснених за час t;
Одиниця вимірювання: [Т] = с, секунда.
Наприклад, якщо матеріальна точка в процесі рівномірного руху по колу за 5с здійснила 10 обертів, то період її обертання 0,5с: Т= t/n = 5с/10= 0,5с.
Частота обертання (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність обертального процесу і яка дорівнює тій кількості обертів системи, яку вона здійснює за одиницю часу.
Позначається: ν (ню)
Визначальне рівняння: ν = n/t
Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц, герц.
Наприклад, якщо матеріальна точка в процесі рівномірного руху по колу за 5с здійснила 10 обертів, то період її обертання 2Гц: ν=n/t=10/5c=2(1/с)=2Гц.
Із визначальних рівнянь періоду і частоти (T=t/n; ν=n/t) з усією очевидністю випливає, що ці фізичні величини взаємопов’язані, і що цю взаємопов’язаність відображають співвідношення: T=1/ν; ν=1/T. Тому якщо, наприклад, за умовою задачі задано період обертання системи Т=4с, то ви завжди можете визначити частоту цього обертання
ν=1/Т=1/4с=0,25Гц, і навпаки, якщо ν = 50Гц, то Т=1/50Гц=0,02с.
Задача 1. За 10с колесо автомобіля зовнішній радіус якого 25см, здійснює 100 обертів. Визначте період та частоту обертання колеса. Визначте швидкість руху автомобіля.
Дано: СІ Рішення:
t = 10с – Оскільки за визначенням T=t/n; ν=n/t, то
n = 100 – Т=10с/100=0,1с;
R=25см 0,25м ν=100/10с=10Гц.
T=?; ν=? Оскільки v=s/t, та зважаючи, що за один
vавт = ? оберт колеса (за t=Т), автомобіль
. переміщується на s=2πR, можна записати
vавт =s/t=2πR/T=2·3,14·0,25м/0,1с=15,7м/c=56,5км/год.
Відповідь: Т=0,1с; ν=10Гц; vавт=15,7м/с.
Задача 3. Відомо, що радіус Землі 6370км, а період її обертання навколо власної осі 1 доба. Визначити швидкість обертання тих тіл які знаходяться на екваторі Землі та величину їх доцентрового прискорення.
Дано: СІ: Рішення:
R = 6400км 6,4·106м Оскільки за визначенням v=s/t,
T = 1доба 8,64·104с та враховуючи, що за один повний
v = ? ад = ? оберт Землі (t=T), ті тіла які знаходяться
на її екваторі проходять шлях s=2πR, можна записати v =s/t=2πR/T.
Розрахунки: v =2πR/T = 2·3,14·6,4·106м/8,64·104с = 465м/с = 1670км/год.
Оскільки за визначенням aд=v2/R, то
aд=v2/R = (465(м/с))2/6,4·106м = 0,216·106/6,4·106 = 0,034м/с2.
Відповідь: v = 1670км/год; ад = 0,034м/с2.
Вправа №7.
1.Автомобіль рухається заокругленням дороги радіус якого 100м, зі швидкістю 36км/год. Чому дорівнює доцентрове прискорення автомобіля?
2. Якого радіусу має бути заокруглення дороги, щоб при швидкості 72км/год доцентрове прискорення автомобіля становило 1м/с2?
3. За 20 секунд колесо автомобіля здійснює 40 обертів. Визначити період та частоту обертання колеса.
4. Визначити період і частоту обертання секундної, хвилинної та годинникової стрілок годинника.
5. Вал діаметром 20см при обертанні робить один оберт за 0,4с. Визначте лінійну швидкість точок на поверхні вала.
6. Частота обертання коліс автомобіля 15Гц. З якою швидкістю рухається автомобіль, якщо зовнішній радіус його коліс 30см?
7. З якою лінійною швидкістю Земля обертається навколо Сонця, якщо радіус земної орбіти 1,5∙108км? Порівняйте цю швидкість зі швидкістю кулі 0,5км/с. Зробіть висновки.
Лекційне заняття №8.
Тема: Статика. Основні поняття, величини
та закони статики. Додавання векторних величин.
Статика (від грецького statike – рівновага) – це розділ механіки в якому вивчають параметри, закономірності та причини стану механічної рівноваги тіла. Механічною рівновагою тіла (матеріальної точки) називають такий механічний стан тіла, при якому воно знаходиться в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const). Зазвичай в статиці розглядають ті ситуації коли тіло знаходиться в стані механічного спокою.
Основною фізичною величиною статики є сила. Сила – це фізична величина, яка характеризує силову дію одного тіла на інше (є мірою взаємодії фізичних об’єктів) і яка дорівнює добутку маси тіла на величину того прискорення яке воно отримує під дією даної сили.
Позначається: F
Визначальне рівняння: F=ma
Одиниця вимірювання: [F]= кг∙м/с2= H, ньютон.
Ньютон – це одиниця вимірювання сили, що дорівнює такій силі, яка тілу масою 1кг надає прискорення 1м/с2: 1Н=1кг∙1м/с2. Іншими словами, якщо тіло масою 1кг рухається з прискоренням 1м/с2, то це означає, що на нього діє сила 1Н.
Таким чином, якщо ви візьмете в руку тіло масою 1кг, то відчуєте силу 9,8Н. Запитується: тіло якої маси потрібно взяти в руку, щоб вона відчула силу в один ньютон? Правильно, маса цього тіла має становити 102г :
m=F/a=1Н/9,8(м/с2)=0,102кг=102г.
Мал.28. Один Ньютон дорівнює тій силі, з якою тіло масою 102 грами притягується до Землі.
Динамометр, це прилад який дозволяє вимірювати величину діючої на нього сили. Основним елементом динамометра (мал.29) є певне пружне тіло (пружина), яке під дією зовнішньої сили певним чином деформується. Власне за величиною цієї деформації і визначають величину деформуючої сили.
Мал.29. Загальний вигляд деяких різновидностей динамометрів.
Сила – величина векторна, тобто така, яка характеризується не лише величиною (модулем) а й напрямком дії.
Зазвичай на тіло діє не одна сила, а їх певна сукупність. Сукупність тих сил що діють на дане тіло в даний момент часу називають системою сил. Наприклад, на представлене на мал.32 тіло, діє системи чотирьох сил: F1; F2; F3; F4. Систему сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці, називають збіжною системою сил. Скажімо, зображена на мал.32 система сил є збіжною. Адже лінії дії всіх чотирьох сил перетинаються в одній точці – точці К.
Якщо тверде тіло знаходиться під дією збіжної системи сил, то: по-перше, це тіло можна вважати матеріальною точкою, а по-друге, систему таких сил можна замінити однією рівнодійною силою (мал.32б). Рівнодійною силою (позначається R або Fр), називають таку силу, яка чинить на тіло (матеріальну точку) таку ж силову дію як і вся система реально діючих сил і яка дорівнює векторній сумі тих сил що реально діють на дане тіло, тобто R=F1+F2+ … +FN. Це означає, що заміна системи реально діючих на тіло сил, відповідною рівнодійною силою, не змінить механічну поведінку тіла. Потрібно підкреслити, що рівнодійною силою можна замінити лише систему збіжних сил, тобто таких сил лінії дії яких перетинаються в одній точці.
Мал.32. Систему діючих на тіло збіжних сил, можна замінити їх рівнодійною силою.
Механізм додавання векторів загалом і сил зокрема принципово простий і полягає в наступному. Від точки прикладання сил (точка К), з дотриманням обраного масштабу та відповідних напрямків, відкладають вектор F1, з кінця вектора F1 відкладають вектор F2, з кінця F2 відкладають F3 і т.д. Вектор який з’єднує початок першого вектора (F1) і кінець останнього (FN) і є відповідною рівнодійною силою R. При цьому величина рівнодійної сили пропорційна довжині вектора R, а її напрямок – збігається з напрямком вектора R.
Задача. Графічним методом визначити рівнодійну зображених на малюнку сил.
Нагадаємо. Суть графічного (геометричного) методу розв’язування задач полягає в тому, що на основі максимально точних геометричних побудов, з дотриманням вибраного масштабу та з застосуванням відповідних геометричних приладів (лінійка, транспортир, циркуль, тощо), отримують графічну відповідь на поставлені в задачі запитання. Головна перевага графічного методу, його наочність та загальна простота. Основний недолік – залежність точності отриманого результату від точності геометричних побудов. Втім, в умовах даної конкретної задачі, наявність масштабної сітки значно спрощує графічне рішення задачі.
Рішення. З кінця вектора F1 відкладаємо вектор F2 (чотири горизонтальні клітинки вліво), а з отриманого при цьому кінця вектора F2 відкладаємо вектор F3 (чотири клітинки вниз і одна клітинка вправо). Оскільки в даній ситуації початок першого вектора (F1) співпадає з кінцем останнього вектора (F3), то це означає, що величина результуючого вектора дорівнює нулю.
Відповідь: F1+ F2+ F3=0, рівнодійна сила дорівнює нулю.
Основний закон статики називається умовою механічної рівноваги тіла. В цьому законі стверджується: тіло (матеріальна точка) буде знаходитись в стані механічної рівноваги тоді і тільки тоді, якщо векторна сума діючих на нього зовнішніх сил дорівнює нулю. Іншими словами: якщо ∑Fi=0 то v=0, або v=const і навпаки.
Зауваження. В науці загалом і в фізиці зокрема знак Σ (сигма) є знаком суми. Наприклад запис ΣFі=0 означає: векторна сума всіх діючих на тіло сил, від першої до останньої дорівнює нулю: ΣFі = F1+F2+ … +FN =0
Фізичні величини поділяються на скалярні та векторні. Наприклад, час (t), маса (m), площа (S), об’єм (V), густина (ρ), температура (T), енергія (E), робота (A), потужність (N) – величини скалярні. Натомість, сила (F), швидкість (v), прискорення (a), імпульс (p) – величини векторні.
Скалярними називають такі фізичні величини, які характеризуються лише числовим значенням, тобто лише своєю абсолютною величиною. Векторними називають такі фізичні величини, які характеризуються як величиною так і напрямком у просторі (кутовою орієнтацією в вибраній системі координат). Наприклад маса тіла (m) характеризується лише числовим значенням (величиною) і тому є величиною скалярною. А та сила (F) що діє на тіло, характеризується як числовою величиною, так і напрямком дії і тому є величиною векторною.
Векторна величина позначається відповідною буквою з стрілкою над нею, або буквою написаною жирним шрифтом (F, v, a, p). При цьому, якщо в тій чи іншій ситуації, векторна величина позначається буквою без стрілки, або буквою написаною не жирним шрифтом (F, v, a, p), то це означає, що мова йде лише про числове значення відповідної величини.
Векторні та скалярні величини суттєво відрізняються в багатьох відношеннях і перш за все тим, що арифметичні дії над ними виконуються по різному. Наприклад, якщо до тіла масою 3кг (m1=3кг) додати тіло масою 2кг (m2=2кг), то в результаті ми отримаємо тіло загальною масою 5кг, тобто: m1+m2=3кг+2кг=5кг. Якщо ж на тіло діють дві сили F1=3H i F2=2H (мал.33), то результат їх загальної дії (F1+F2) буде залежати від того, як направлені ці сили. При цьому, якщо сили співнаправлені, то F1+F2 = 5Н, якщо сили протилежно направлені, то F1+F2 = 1Н, а якщо сили перпендикулярно направлені, то F1+F2 = 3,5Н.
Мал.33. Результат додавання векторів залежить не лише від їх величин, а й від їх відносної орієнтації. При цьому, в загальному випадку F1+F2≠F1+F2.
Розрізняють два способи додавання векторних величин: геометричний (графічний) та алгебраїчний (аналітичний). При геометричному способі, результат додавання векторів отримують шляхом відповідних геометричних побудов. Ці побудови здійснюють так званим методом багатокутника. Суть цього методу гранично проста. Якщо на точку К (мал.34) діє система N векторів, то величину і напрям результуючого вектора (R = F1+F2+ … +FN) визначають наступним чином. З точки К відкладають вектор F1, з кінця вектора F1 відкладають вектор F2, з кінця вектора F2 – вектор F3 і так до останнього вектора FN. Вектор, який з’єднує точку К з кінцем останнього вектора і буде результуючим вектором R = F1+F2+ … +FN.
Мал.34. При геометричному додаванні векторів величину та напрям результуючого вектору визначають методом багатокутника.
Геометричний метод додавання векторів виглядає досить простим та наочним. Однак, він має ряд суттєвих недоліків. Перший полягає в тому, що точність його результатів залежить від масштабу та точності геометричних побудов. При цьому, будь яка точність побудов, не гарантує безумовно точного результату. Другим суттєвим недоліком геометричного методу додавання векторів є факт того, що таке додавання погано поєднується з тими теоріями, в яких закони записують у вигляді певних математичних формул. А переважна більшість фізичних теорій є саме такими.
Ці недоліки відсутні в алгебраїчному методі додавання векторів, тобто такому методі при якому результат додавання векторів визначають не шляхом геометричних побудов, а шляхом алгебраїчних розрахунків. Реалізуючи цю ідею, вектор F розкладають на дві складові: проекції вектора на осі системи координат Fx та Fy. При цьому, якщо той кут α який характеризує кутову орієнтацію вектора F виміряно від осі 0х, то Fx=Fcosα; Fy=Fsinα.
Мал.35. Будь який вектор F(F,α) можна представити у вигляді двох по суті скалярних величин – проекцій цього вектора на осі системи координат Fx=Fcosα; Fy=Fsinα.
Практична реалізація алгебраїчного методу додавання векторів та розв’язування задач статики, не можуть бути успішними без розуміння фізичної суті того, що називають синусом і косинусом кута.
Косинус кута α (cosα) – це безрозмірна величина, яка дорівнює проекції відповідного цьому куту одиничного радіус-вектора на ту вісь від якої виміряно кут α.
Синус кута α (sinα) – це безрозмірна величина, яка дорівнює проекції відповідного цьому куту одиничного радіус-вектора на ту вісь, що є перпендикулярною до осі від якої виміряно кут α.
Ілюструючи суть даних визначень та механізм вимірювання синусів і косинусів кутів, розв’яжемо конкретну задачу.
Задача. Шляхом прямих вимірювань, визначити синуси та косинуси наступних кутів: 0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 120°; 135°; 150°; 180°.
Рішення. У вибраній системі координат, циркулем проводимо напівколо максимально великого радіусу і приймаємо величину цього радіусу за одиницю. З застосуванням транспортира та лінійки, почергово відкладаємо потрібні кути та проводимо відповідні одиничні радіус-вектори. З кінців цих векторів опускаємо перпендикуляри на осі системи координат і враховуючи масштаб побудов, вимірюємо довжини відповідних проекцій (мал.37). Величини та знаки цих довжин і є значеннями відповідних функцій. Результати вимірювань записуємо в таблицю. Порівнюємо ці результати з відповідними табличними (точними) значеннями. (Ясно, що точність отриманих вами результатів визначальним чином залежатиме від точності та масштабу геометричних побудов і вимірювань).
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
| сosα | 1,00 | 0,87 | 0,71 | 0,50 | 0,00 | –0,50 | –0,71 | –0,87 | –1,00 |
| sinα | 0,00 | 0,50 | 0,71 | 0,87 | 1,00 | 0,87 | 0,71 | 0,50 | 0,00 |
Мал.37. Синус та косинус довільного кута можна визначити як проекції відповідного цьому куту одиничного радіус-вектора на осі прямокутної системи координат.
Потрібно зауважити, що коли ми стверджуємо: проекції вектора F на осі прямокутної системи координат визначаються за формулами: Fx=Fcosα; Fy=Fsinα, то маємо на увазі, що кут α виміряно від осі 0х. Якщо ж положення вектора R (мал.38.а) охарактеризувати кутом φ який веде свій відлік від осі 0у, то в цьому випадку Rx=Rsinφ; Ry=Rcosφ. Адже за визначенням, віссю косинусів є та вісь від якої веде відлік відповідний кут. Втім, жодних суперечностей між даними формулами немає. Дійсно. Якщо кутова орієнтація вектора R характеризується виміряним від осі 0у кутом φ=30°, то Ry = Rcosφ = Rcos30° = 0,87R; Rx = Rsinφ = Rsin30° = 0,50R. Якщо ж кутова орієнтація вектора R характеризується виміряним від осі 0х кутом 90°– φ=60°, то Ry = Rsin(90°–φ) = Rsin60° = 0,87R;
Rx = Rcos(90°–φ) = Rcos60° = 0,50R.
Зауважимо також, що на практиці проекції тих векторів, що є паралельними або перпендикулярними осям системи координат, визначають із міркувань очевидності: наприклад, в ситуації мал.38г: Fx=0; Fy= –F. Крім цього, оскільки положення вектора F зазвичай характеризують кутом меншим за 90° (α<90º), то знак проекції визначають із міркувань очевидності. Наприклад в ситуації мал.38в, проекція вектора F на вісь 0х має знак «–».
. а) б) в) г)
Мал.38. Визначаючи параметри проекцій вектора, потрібно враховувати від якої осі і в якому напрямку виміряно той кут, що характеризує положення відповідного вектора.
Задача. За заданим малюнком визначити проекції (величину та знак) векторів F1, F2, F3 на осі системи координат, якщо величина кожної сили 10Н, а α=30°, β=60°.
Рішення. На основі аналізу малюнку та числових значень відповідних величин, можна записати:
Fx1 = F1cosα = F1cos30° = 10Н·0,87 = 8,7Н;
Fу1 = F1sinα = F1sin30° = 10Н·0,50 = 5,0Н;
Fx2 = –F2sinβ = –F2sin60° = –10Н·0,87 = –8,7Н;
Fy2 = F2cosβ = F1cos60° = 10Н·0,50 = 5,0Н;
Fx3 = 0,0Н, (Fx3 = F1cos270° = 10Н·0,00 = 0,0Н);
Fy3 = –Fy = –10,0Н, (Fу3 = –F3sin270° = –10Н·1,00 = 10,0Н.
Вправа №8.
1.Під дією якої сили тіло масою 400г отримає прискорення 3м/с2?
2. З яким прискоренням рухається під час розгону реактивний літак масою 60т, якщо сила тяги його двигунів 90кН?
3. Визначити масу футбольного м’яча, якщо в процесі удару він набув прискорення
500м/с2, а сила удару дорівнює 420Н.
4. М’яч масою 0,5кг після удару що триває 0,02с набуває швидкості 10м/с. Визначити силу удару.
5. На тіло масою 5кг вздовж однієї прямої діють дві сили: 12Н і 8Н. Визначити прискорення цього тіла, якщо: а) сили співнаправлені; б) сили протинаправлені.
6. Під дією якої сили тіло масою 20кг рухається за законом х=10t–0,4t2? Як направлена ця сила?
7. Шляхом геометричних побудов визначте косинуси та синуси кутів 20° і 70°. Порівняйте отримані результати з відповідними табличними значеннями.
8. Вектор сили F=5H орієнтований відносно осі 0х під кутом: а) 0º; б) 30º; в) 90º; г) 135º; д) 210º; е) 270º; є) 300º. Визначте проекції даних векторів на осі прямокутної системи координат. Задачу розв’яжіть геометрично та алгебраїчно. Результати порівняйте.
9. За заданим малюнком визначте проекції вектора F на осі системи координат, якщо величина вектора 5Н.
Лекційне заняття №9.
Тема: Сила тяжіння. Реакція опори. Сила Тертя.
Загальні відомості щодо розв’язування задач статики.
В фізиці розрізняють багато різновидностей сили. Лише в механіці ми будемо вивчати що найменше вісім таких різновидностей:
– сила тяжіння Fт
– реакція опори N
– сила тертя Fтер
– сила інерції Fi
– вага P
– сила пружності Fпр
– гравітаційна сила Fгр
– сила Архімеда Fa .
Втім, кожна з цих сил є різновидністю однієї і тієї ж фізичної величини, яка називається силою, яка є мірою взаємодії фізичних об’єктів і яка вимірюється в ньютонах. Якщо ж говорити про ті сили які найчастіше зустрічаються в задачах статики, то ними є сила тяжіння, реакція опори та сила терті.
Факт того, що на Землі тіла падають з певним прискоренням, безумовно вказує на те, що на них в напрямку прискореного руху діє певна сила. І як будь яку силу, її можна визначити за формулою F=ma. А оскільки величина того прискорення з яким падають земні тіла і яке називається прискоренням вільного падіння (прискоренням сили тяжіння), становить a=g=9,8м/с2, то діюча на них сила має визначатись за формую F=mg. Цю силу називають силою тяжіння.
Мал.39. На всі земні тіла діє певна сила тяжіння, величина та напрям якої визначаються за формулою F=mg.
Сила тяжіння – це та сила, з якою тіло притягується до Землі і яка дорівнює добутку маси тіла на прискорення його вільного падіння.
Позначається: Fт
Визначальне рівняння: Fт = mg, де g=9,8м/с2
Одиниця вимірювання: [Fт] = кг·м/с2 = H, ньютон.
Сила тяжіння прагне перемістити будь яке тіло в центр Землі. А оскільки земні тіла не опиняються в цьому центрі, то ясно, що на своєму шляху вони неминуче зустрічають певні перешкоди. Цими перешкодами часто є ті об’єкти які прийнято називати опорами. Ту ж силу з якою опора діє на тіло називають реакцією опори.
Опорою називають будь яку механічну перешкоду, яка так чи інакше жорстко обмежує рух тіла. Наприклад, та підлога на якій ви стоїте, обмежує ваш рух в напрямку до центру Землі. Гнучка опора (канат, ланцюг, дріт, тощо), обмежує рух тіла в напрямку розтягування цієї опори. Шарнірно закріплений стержень, обмежує рух тіла як в напрямку розтягування стержня так і в напрямку його стискання.
Реакція опори – це та сила, з якою опора діє на тіло та жорстко протидіє переміщенню цього тіла.
Позначається: N
Визначальне рівняння: величина і напрям реакції опори визначається з умов конкретної задачі.
Одиниця вимірювання: [N] = H, ньютон
Мал.40. Опора – це та перешкода яка жорстко обмежує рух тіла. Реакція опори – це та сила з якою опора діє на тіло.
Найпростішими і в той же час дуже поширеними опорами є плоска опора, гнучка опора та шарнірно закріплений стержень. Плоска опора – тверда рівна поверхня, яка протидіє переміщенню тіла в напрямку перпендикулярному до площини цієї поверхні. Реакція плоскої опори перпендикулярна до площини опори (мал.41а). Гнучка опора – тонка гнучка опора (трос, канат, нитка, мотузка, тощо), яка протидіє переміщенню тіла в напрямку розтягування цієї опори. Реакція гнучкої опори направлена вздовж опори в напрямку точки її закріплення (мал.41б). Реакцію гнучкої опори часто позначають буквою Т і називають силою натягу нитки, канату, троса, тощо. Шарнірно закріплений стержень – жорсткий стержень, який шарнірно (обертально рухомо) з’єднаний з відносно нерухомою поверхнею і який протидіє переміщенню тіла як в напрямку стискання стержня, так і в напрямку його розтягування. Реакція шарнірно закріпленого стержня направлена вздовж стержня мал.41в). При цьому: якщо стержень розтягується, то реакція опори направлена до точки закріплення стержня, а якщо стержень стискається – то від точки закріплення.
. а) б) в)
Мал.41. Напрямки реакцій опор: а) плоска опора, б) гнучка опора, в) шарнірно закріплені стержні.
В механіці, сили які так чи інакше протидіють взаємному переміщенню контактуючих поверхонь, називають силами тертя.
Розрізняють дві основні різновидності тертя: сухе і в’язке. Сухим називають таке тертя, яке виникає при взаємодії твердих поверхонь і яке протидіє їх взаємному переміщенню. В’язким називають таке тертя, яке виникає при взаємодії твердих поверхонь з рідинами або газами, а також між внутрішніми шарами цих середовищ, і яке протидіє їх взаємному переміщенню.
В свою чергу, сухе тертя прийнято розділяти на тертя ковзання та тертя кочення. Наприклад, якщо важкий предмет ви намагаєтесь зсунути відносно підлоги, то вам протидіє сила тертя ковзання (мал.43а). А якщо той же предмет стоятиме на платформі з коліщатами (мал.43б), то переміщенню цієї системи протидіятиме сила тертя кочення. І напевно ви знаєте, що за схожих умов, тертя кочення значно менше за тертя ковзання.
Мал.43. Тертя яке виникає між твердими поверхнями прийнято розділяти на тертя ковзання (а) та тертя кочення (б).
В межах програми загальноосвітньої школи, говорячи про силу тертя, зазвичай мають на увазі силу тертя ковзання.
Сила тертя (сила тертя ковзання) – це та сила, з якою поверхні взаємодіючих твердих тіл протидіють їх взаємному поступальному (ковзальному) переміщенню, або можливості такого переміщення і яка дорівнює добутку коефіцієнту тертя ковзання (μ) та тієї сили з якою взаємодіючі поверхні тиснуть одна на одну (реакції опори N)
Позначається: Fтер
Визначальне рівняння: Fтер =µN
Одиниця вимірювання: [Fтер] = Н, ньютон.
Коефіцієнт тертя ковзання – це фізична величина, яка характеризує здатність певної пари твердих поверхонь протидіяти їх відносному ковзальному переміщенню і яка дорівнює відношенню виникаючої між цими поверхнями сили тертя, до величини тієї сили з якою поверхні притискаються одна до одної.
Позначається: μ
Визначальне рівняння: μ = Fтер/N
Одиниця вимірювання: [μ] = Н/Н = – , безрозмірна величина.
Коефіцієнт тертя складним чином залежить від багатьох обставин і визначається експериментально.
Мал.45. Сила тертя завжди направлена в сторону протилежну від напрямку руху тіла, або напрямку його можливого руху.
Задачі статики мають ту перевагу, що порядок (алгоритм) їх розв’язку є досить чітко визначеним. І цей порядок є наступним:
1.На основі аналізу умови задачі виконують малюнок (обов’язково), на якому чітко вказують всі діючі на дане тіло (точку рівноваги) сили .
2. Задають систему координат та вказують кутову орієнтацію сил в ній.
3. Записують умову рівноваги тіла, тобто систему рівнянь: ∑Fx=0; ∑Fy=0.
4. Розв’язавши цю систему, визначають невідомі величини.
Дотримуючись вище наведеного алгоритму розв’яжемо декілька конкретних задач.
Задача 1. На гнучких опорах, тіло масою 20кг підвішено так, як показано на малюнку (α=30º). Визначити реакції опор (зусилля в дротах 2 і 3).
Загальні зауваження. При розв’язуванні задач статики, діючу на абсолютно тверде тіло (в тому числі і гнучку опору) силу, можна переносити вздовж лінії дії цієї сили. Наприклад в умовах нашої задачі, діюча на тіло сила тяжіння, вздовж гнучкої опори 1, переноситься в точку дії трьох сил: Fт, N2, N3.
Дано: Рішення:
m = 20кг Виконуємо малюнок, на якому вказуємо діючі на точку
α = 30º рівноваги сили та задаємо систему координат.
N2=? Записуємо умову рівноваги системи.
N3=? ∑Fx = –N2 + N3sin30º= 0
. ∑Fy = –FT + N3cos30º= 0.
Розв’язавши систему рівнянь, визначаємо невідомі величини:
із (2) → N3cos30º = Fт = mg; → N3 = mg/cos30º = 20∙10/0,87= 230H;
із (1) → N2 = N3sin30º = 230∙0,5= 115H.
Відповідь: N2 = 115H; N3 = 230H.
Задача 2. До кронштейну АВС в т.В підвішено вантаж масою 60кг, так як це показано на малюнку (α=30º). Визначити зусилля в стержнях АВ і СВ.
Загальні зауваження. В задачах статики, часто зустрічаються ситуації коли точний напрямок реакції опори невідомий або сумнівний. Наприклад, в нашій задачі стержень СВ явно «працює» на стиснення і тому його реакція NC має бути направленою вздовж лінії СВ в напрямку від точки С. Однак припустимо, що ви сумніваєтесь стосовно того в яку сторону направлена ця реакція. В такому випадку сміливо направляйте сумнівну реакцію в будь яку можливу сторону (вздовж лінії стержня) і розв’язуйте задачу. При цьому, якщо в результаті рішення задачі, невідома реакція матиме знак «+», то це означатиме, що вибраний вами напрямок є правильним. Якщо ж ця реакція виявиться зі знаком «–» то це означатиме, що в реальності відповідна реакція має протилежний (протилежний від вибраного) напрямок. Перевіряючи вище сказане направимо реакцію NС в гарантовано неправильному напрямку.
Дано: Рішення:
m = 60кг Виконуємо малюнок на якому: вказуємо діючі на т.В сили;
NА= ? задаємо систему координат; вказуємо кутову орієнтацію сил.
NС= ? Оскільки кут α=30º безпосередньо не прилеглий до т.В,
то із геометричних міркувань визначаємо йому відповідний та прилеглий до т.В кут. Наприклад із факту того, що в прямокутному трикутнику АВС сума кутів дорівнює 180º, випливає, що прилеглий до т.В кут β=60º
Записуємо умову рівноваги точки В і, розв’язавши систему відповідних рівнянь, визначаємо невідомі величини.
∑ Fx = NA + NC cos60º = 0 (1)
∑ Fy = NC sin60º + mg = 0 (2)
із (2)→ NC = –mg/sin60º = –(60∙10/0,87)= –690 Н
із (1)→ NA = –NCcos60º = – (–690)0,5 = 345 Н
Знак «–» вказує на те, що реакція NC фактично направлена в протилежну (протилежну від зображеної на малюнку) сторону.
Задача 3. Для того щоб зрушити з місця тіло масою 40кг потрібно прикласти горизонтальну силу 200Н. Визначити коефіцієнт тертя.
Дано: Рішення:
m = 40кг Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на
F = 200Н тіло сили та задаємо відповідну систему координат.
μ = ? (на малюнку Fтер позначено ƒ)
Записуємо умову механічної рівноваги даного тіла:
1) ∑Fx = F – Fтер = F – μN = 0;
2) ∑Fy = N – Fт = N – mg.
Із (2) випливає N = mg.= 40кг·10м/с2 = 400Н.
Із (1) випливає F = μN, звідси μ = F/N = 200Н/400Н = 0,5.
Відповідь: μ = 0,5.
Задача 4. Тіло масою 10кг знаходиться в стані механічного спокою на похилій площині. Визначити величину діючої на тіло сили тертя та коефіцієнт тертя, якщо кут нахилу площини до лінії горизонту 30°.
Зауваження. Рішення будь якої задачі механіки, в тій чи іншій мірі ідеалізоване. Наприклад в умовах нашої задачі, ті сили які ми називаємо реакцією опори та силою тертя, виникають в місті контакту тіла з відповідною поверхнею і є розподіленими по цій поверхні. Ми ж зображаємо ці сили такими, що сконцентровано прикладені до центру мас тіла. До речі, те ж стосується і сили тяжіння, дія якої фактично розподілена по всьому об’єму тіла і яку ми зображаємо такою, що діє в центрі мас цього тіла.
Дано: Рішення:
m = 10кг Виконуємо малюнок на якому: вказуємо діючі на тіло
α =30° (на центр мас тіла) сили; задаємо систему координат;
Fтер = ? вказуємо кутову орієнтацію сил (кут між напрямком сили
μ = ? тяжіння та віссю 0у, визначаємо із геометричних міркувань,
а згідно з цими міркуваннями, цей кут дорівнює куту нахилу площини α=30°). Записуємо умову рівноваги тіла і, розв’язавши систему відповідних рівнянь, визначаємо невідомі величини. (Fт = mg = 10кг·10м/с2 =100H).
∑ Fx = –Fтер + Fт sinα = 0 (1)
∑ Fy = N – Fт cosα = 0 (2).
Із (1) → Fтер = Fт sinα .
Із (2) → N = Fт cosα .
Розрахунки: Fтер = 100∙0,5 = 50Н
. N = 100∙0,87 = 87H
Оскільки за визначенням μ = Fтер/N, то μ =50Н/87Н = 0,57
Відповідь: N = 87H; Fтер = 50H; μ = 0,57.
Вправа 9.
1. Яка сила тяжіння діє на зайця, вовка, ведмедя, носорога та слона, якщо їх маси відповідно дорівнюють 6кг; 40кг; 400кг; 2т; 4т?
2. Тіло масою 8кг лежить на горизонтальній поверхні. Визначте діючі на тіло сили.
3. Визначте реакції опори в зображених на малюнках а) і б) ситуаціях. Маса вантажу в обох випадках 3кг.
а)
б) 
4. Для того щоб зрушити з місця тіло масою 40кг потрібно прикласти горизонтальну силу 200Н. Визначити коефіцієнт тертя.
5. Тіло масою 5кг знаходиться в стані механічного спокою на похилій площині. Визначити величину діючої на тіло сили тертя та коефіцієнт тертя, якщо кут нахилу площини до лінії горизонту 30°.
6. Яку силу треба прикласти до тіла масою 7кг, щоб воно рівномірно рухалось похилою поверхнею, кут нахилу якої до лінії горизонту 30°? Коефіцієнт тертя між тілом та поверхнею 0,5.
7. З якою силою потрібно притиснути книгу масою 0,5кг до вертикальної стіни, щоб книга не зісковзувала вниз? Коефіцієнт тертя між книгою та стіною 0,45.
Лекційне заняття №10.
Тема: Силовий метод розв’язування задач.
Суть силового методу розв’язування задач полягає в тому, що невідомі величини визначають на основі векторного аналізу діючих на тіло сил та на базі умови його механічної рівноваги: якщо v=0 або v=const то ∑F=0, або в проекціях на осі системи координат ΣFx=0; ΣFy=0. По суті це означає, що силовий розв’язку задач має чітко визначений порядок дій. І цей порядок є наступним:
1. На основі аналізу умови задачі виконують малюнок (обов’язково), на якому чітко вказують всі діючі на дане тіло (точку рівноваги) сили .
2. Задають систему координат та вказують кутову орієнтацію сил в ній.
3. Записують умову рівноваги тіла, тобто систему рівнянь: ∑Fx=0; ∑Fy=0.
4. Розв’язавши цю систему, визначають невідомі величини.
Втім, не будемо забувати, що фізика, це цілісна система взаємопов’язаних та взаємодоповнюючих знань. І тому в фізиці, як і в житті, часто доводиться розв’язувати задачі, які передбачають застосування різних методів розв’язку зокрема кінематичного, силового та імпульсно-енергетичного.
Загальні зауваження. В механіці матеріальної точки, а саме таку механіку ми і вивчаємо, прийнято вважати, що всі діючі на тіло сили, діють на його центр мас. Тому, якщо в умові задачі нема конкретних вказівок щодо точки прикладання конкретної сили, вважається що ця сила діє на цент мас відповідного тіла.
Дотримуючись вище наведеного алгоритму та зважаючи на зроблене зауваження, розв’яжемо декілька конкретних задач.
Задача 1. З якою мінімальною силою потрібно притиснути книгу масою 0,8кг до вертикальної стіни, щоб книга не зісковзувала вниз? Коефіцієнт тертя між книгою та стіною 0,4.
Дано: Рішення:
m=0,8кг Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на
μ = 0,4 тіло сили та задаємо відповідну систему координат.
F = ?
Записуємо умову рівноваги даного тіла:
ΣFx = N – F = 0;
ΣFy = Fтер – Fт = μN – mg = 0.
Із рівняння (1) випливає F = N, де N=?
Із рівняння (2) випливає μN = mg, звідси N = mg/μ.
Таким чином F = N = mg/μ = 0,8кг·9,8(м/с2)/0,4 = 19,8Н
Відповідь: F = 19,8Н.
Задача 2. Визначити силу тяги, яку розвиває тепловоз при рівномірному русі на горизонтальній ділянці шляху, якщо коефіцієнт тертя 0,03, а сила тиску на рейки 25∙106Н?
Загальні зауваження. При розв’язуванні задач фізики, надзвичайно важливим вмінням, є вміння виділяти суттєве (важливе) і не звертати особливу увагу на несуттєве (другорядне, неважливе). Наприклад в умовах даної задачі неважливо чи знаєте ви як влаштований тепловоз і як він створює ту силу яка називається силою тяги. Неважливо скільки коліс в цьому тепловозі і яким чином вони взаємодіють з рейками залізниці. Важливим є те, що на певній горизонтальній поверхні (опорі), є певне тіло, яке під дією певної горизонтальної сили (сили тяги Fтяги) з певною вертикальною силою (силою тиску Fт, а по суті силою тяжіння) діє на опору (рейки залізниці). Важливим є те, що руху тіла протидіє певна узагальнена сила тертя (сила протидії руху тепловоза), основною характеристикою якої є відповідний коефіцієнт тертя. Важливим є те, що тепловоз рухається з певною постійною швидкістю (v=const), бо це означає, що дана задача є задачею статики і що тому мають виконуватись співвідношення: ∑Fx=0; ∑Fy=0. Власне таке розуміння суті задачі і дозволяє отримати відповідне рішення.
Дано: Рішення:
μ = 0,03 Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на
Fт = 25·106Н тіло сили та задаємо відповідну систему координат.
Fтяги= ? (на малюнку Fтяги позн. F; Fт позн. mg; Fтер позн. ƒ)
Записуємо умову рівноваги даного тіла:
ΣFx = Fтяги – Fтер = Fтяги – μN = 0;
ΣFy = N – Fт = 0.
Із рівняння (1) випливає Fтяги = μN, де N=?
Із рівняння (2) випливає N = Fт = 25·106Н .
Таким чином Fтяги = μN = 0,03·25·106Н = 0,75·106Н = 750кН
Відповідь: F = 750кН.
Задача 3. Тіло масою 15кг знаходиться на похилій площині, кут нахилу якої до горизонту 30°. Яку направлену вздовж площини силу треба прикласти до тіла, щоб воно піднімалось вгору з постійною швидкістю? Коефіцієнт тертя 0,35.
Дано: Рішення:
m = 15кг Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі на тіло
α = 30° сили; задаємо систему координат; вказуємо кутову
v = const орієнтацію сил (кут між силою тяжіння та віссю 0у
μ = 0,35 ( α=30°) визначаємо із геометричних міркувань).
F = ? Записуємо умову механічної рівноваги тіла.
Розв’язавши систему відповідних рівнянь, визначаємо невідому величину.
∑Fx = F – Fтsinα – Fтер = F – mgsin30° – μN = 0;
∑Fy = N – Fтcosα = N – mgcos30° = 0.
Із рівняння (2) випливає N = mgcos30° = 15кг10(м/с2)0,87 = 130Н,
Із рівняння (1) випливає F = mgsin30° + μN = 15кг·10(м/с2)0,5 + 0,35·130Н = 120Н.
Відповідь: F = 120Н.
Вправа №10.
1. Тіло під дією горизонтальної сили 6Н рухається з постійною швидкістю. Яка маса тіла, якщо коефіцієнт тертя між тілом і поверхнею 0,4?
2. На горизонтальній поверхні лежать три покладені одна на одну однакові книги, маса кожної з яких 1кг. Яку мінімальну силу потрібно прикласти щоб витягнути середню книгу? (Верхню і нижню книги вважати нерухомими). Коефіцієнт тертя між поверхнями книг 0,3.
3. Коефіцієнт тертя ковзання ящика масою 100кг об підлогу 0,3. Ящик тягнуть за мотузку, що утворює кут 45º з горизонтом. Яку силу треба прикласти, щоб ящик рухався рівномірно?
4. В зображених на мал. а, б, в ситуаціях, визначити реакції опор. а) m=20кг, α=30º, β=60º; б) m=40кг, α=30º; в) m=30кг, β=45º;
5. Тіло масою 12кг знаходиться на похилій площині, кут нахилу якої до горизонту 30°. Яку направлену вздовж площини силу треба прикласти до тіла, щоб воно піднімалось вгору з постійною швидкістю? Коефіцієнт тертя 0,3.
6. На двох тросах однакової довжини висить вантаж масою 10кг. При цьому кут між тросами 90º. Визначити сили натягу тросів.
7. Куля масою m і радіусом R підвішена на нитці довжиною ℓ до гладенької вертикальної стіни. Визначити силу натягу нитки та силу тиску кулі на стіну (тертям між кулею та стіною знехтувати).
Лекційне заняття №11.
Тема: Сила інерції. Силовий метод розв’язування задач динаміки.
Сила інерції – це така сила, поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і яка завжди протидіє появі та зростанню цього прискорення.
Позначається: Fі
Визначальне рівняння: Fі = –ma
Одиниця вимірювання: [Fі] = Н, ньютон.
Подібно до того як сила тертя протидіє переміщенню контактуючих поверхонь, як сила пружності протидіє пружній деформації тіла, сила інерції протидіє прискореному руху тіла. А це означає, що як тільки тіло починає рухатись з певним прискоренням, автоматично з’являється сила інерції напрям якої протилежний до напрямку прискорення. Наприклад якщо в момент розгону, прискорення ракети направлено вгору, то діюча на ракету сила інерції направлена вниз. Якщо в процесі вільного падіння прискорення тіла направлено вниз, то діюча на тіло сила інерції направлена вгору. Якщо в процесі гальмування прискорення автомобіля направлено назад (в сторону протилежну від напрямку руху), то діюча на автомобіль сила інерції буде направлена вперед. Якщо в процесі обертання навколо Землі, Місяць рухається з доцентровим прискоренням, то діюча на нього сила інерції є відцентровою. Якщо прискорення тіла направлено вправо, то діюча на тіло сила інерції направлена вліво. Якщо прискорення вліво – сила інерції вправо, прискорення вперед – сила інерції назад і т.д.
Мал.51. Якщо тіло рухається з прискоренням, то на нього неминуче діє певна сила інерції, направлена в сторону протилежну від напрямку прискорення.
Динамічною рівновагою називають такий механічний стан тіла, при якому воно, під дією зовнішніх сил та сили інерції, знаходиться в стані рівноприскореного руху (а=const).
Потрібно зауважити, що ті задачі, в яких тіло під дією певної системи сил рухається з постійним прискоренням є задачами динаміки. Однак, алгоритм рішення цих динамічних задач практично не відрізняється від алгоритму рішення задач статики. В основі цього рішення лежить твердження (закон) яке називається умовою динамічної рівноваги тіла. Тіло (матеріальна точка) буде знаходитись в стані динамічної рівноваги (а=const) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил та сили інерції дорівнює нулю. Іншими словами:
якщо Σ F + Fi = 0, то а=const і навпаки: якщо а=const, то Σ F + Fi = 0.
Задача 1. При аварійному гальмуванні, автомобіль масою 3т рухається з прискоренням 3м/с2. Яка сила інерції діє на цей автомобіль. Як направлена ця сила відносно напрямку руху (напрямку швидкості) автомобіля?
Дано: СІ Рішення:
m = 3т 3000кг За визначенням Fі = –ma. Це означає, що
a = 3м/с2 – величина сили інерції визначається за формулою
Fі = ? Fі=ma= 3000кг·3м/с2=9000Н, а напрям цієї сили
є протилежним до напрямку прискорення тіла. А оскільки в процесі гальмування (зменшення швидкості), прискорення тіла направлено в сторону протилежну від напрямку швидкості, то сила інерції буде направлена в ту ж сторону що і швидкість, тобто в сторону руху автомобіля.
Відповідь: Fі = 9000Н. При гальмуванні, сила інерції направлена в напрямку руху автомобіля.
Є два базові методи розв’язування задач динаміки: силовий та імпульсно-енергетичний. Про суть та можливості імпульсно-енергетичного методу ми поговоримо в найближчому майбутньому. Наразі ж, мова піде про силовий метод розв’язування задач динаміки. Суть цього методу дуже проста: на основі аналізу діючих на тіло сил (втому числі і сили інерції), та на базі умови його динамічної рівноваги (якщо а=const, то ∑F+Fi=0) визначаються невідомі величини. За такого підходу задачі динаміки (а≠0), стають абсолютними аналогами задач статики (а=0). А це означає, що ці задачі розв’язуються за універсальним, чітко визначеним алгоритмом:
1.Виконуємо малюнок, на якому вказуємо всі діючі на тіло сили, в тому числі і силу інерції.
2. Задаємо систему координат та вказуємо кутові орієнтації сил.
3. Записуємо відповідну малюнку систему рівнянь, які відповідають умові динамічної рівноваги тіла (∑F+Fi=0): ∑Fx = 0; ∑Fy = 0.
4. Розв’язавши наявну систему рівнянь, визначаємо невідомі величини.
Ілюструючи суть та можливості вище описаного силового методу розв’язування задач динаміки, розглянемо декілька конкретних прикладів. (Відразу ж зауважу, що віднайти малюнок з позначеною на ньому силою інерції практично не можливо. Тому в графічних поясненнях до задач, зображення сили інерції відсутнє).
Задача 1. Автомобіль масою 900кг, маючи тягову силу 2кН, рухається з прискоренням
1м/с2. Визначити загальну силу опору руху автомобіля (загальну силу тертя).
Дано: СІ Рішення:
m = 900кг – Виконуємо малюнок на якому вказуємо всі діючі
Fтяги = 2кН 2000Н на автомобіль сили в тому числі і направлену в
a = 1м/с2 – протилежну сторону від прискорення, силу інерції.
Fтер = ? Задаємо відповідну систему координат.
Записуємо умову рівноваги тіла вздовж осі 0х:
ΣFx = Fтяги – Fтер – Fi = Fтяги – Fтер – mа = 0. Звідси випливає
Fтер = Fтяги – mа.
Розрахунки: Fтер = 2000Н – 900кг1м/с2 = 2000Н – 900Н = 1100Н
Відповідь: Fтер = 1100Н.
Задача 2. Автомобіль масою 2т проходить по опуклому мосту з радіусом кривизни 40м зі швидкістю 36км/год. З якою силою автомобіль тисне на середину моста?
Дано: СІ Рішення:
m = 2т 2·103кг Оскільки та сила з якою автомобіль тисне на опору
R = 40м – (міст), чисельно дорівнює тій силі з якою опора
v = 36км/год 10м/с тисне на автомобіль (реакція опори N), то рішення
P = ? задачі зводиться до визначення діючої на автомобіль
реакції опори. Визначаючи цю реакцію, виконуємо малюнок на якому вказуємо ті сили які діють на автомобіль у верхній точці моста. А враховуючи факт того, що автомобіль з швидкістю v рухається по колу, а отже рухається з доцентровим прискоренням a=v2/R, можна стверджувати, що вздовж вертикальної осі на автомобіль окрім сили тяжіння та реакції опори діє сила інерції Fi=ma=mv2/R, і що у верхній точці моста вона направлена вертикально вгору.
Записуємо умову динамічної рівноваги даного тіла в напрямку вертикальної осі (оскільки на малюнку ця вісь направлена вниз, то і знаки сил є відповідними):
ΣFx = Fт – Fi – N = mg – mv2/R – N = 0. Звідси випливає:
N = mg – mv2/R = m(g – v2/R)
Розрахунки: N=2·103кг(10м/с2 – (10м/с)2/40м)=2·103кг7,5м/с2 =15·103Н=15кН
Відповідь: Р = 15кН.
Задача 3. Літак виконує так звану «мертву петлю», яка представляє собою вертикальну колову траєкторію. З якою силою пілот тисне на сидіння літака (на опору) у верхній та нижній точках «мертвої петлі», якщо швидкість літака 360км/год, а радіус петлі 200м? Маса пілота 80кг.
Дано: СІ Рішення:
m = 80кг – Виконуємо малюнок на якому вказуємо
v = 360км/год 100м/с всі діючі на пілота літака сили у верхній та
R = 200м – нижній точках «мертвої петлі».
N1 = ? А цими силами є:
N2 = ? 1) Сила тяжіння Fт = mg.
2) Реакція опори N тобто та сила з якою опора діє на пілота і яка чисельно дорівнює тій силі з якою пілот діє на опору.
3) Сила інерції, тобто та сила поява якої обумовлена фактом того, що рухаючись по колу, тіло рухається з певним доцентровим прискоренням а=v2/R, якому відповідає певна сила інерції: Fi = mv2/R.
При цьому, у верхній та нижній точках траєкторії, вище згадані сили діють вздовж вертикалі 0у. Зважаючи на це, запишемо умову рівноваги тіла (пілота) для верхньої (1) і нижньої (2) точок траєкторії та визначимо з цієї умови невідому величину Р1 = N1; P2 = N2.
1) ∑Fy = Fi – Fт – N1= 0, звідси випливає:
N1 = Fi – Fт = mv2/R – mg = 80(1002/200 – 10) =3200Н
2) ∑Fy = –Fi – Fт + N2= 0, звідси випливає:
N2 = Fi + Fт = mv2/R + mg = 80(1002/200 + 10) =4800Н
Відповідь: N1 = 3200Н; N2 = 4800Н.
Потрібно зауважити, що ту силу Р з якою тіло діє на опору, називають вагою тіла. Про суть та особливості цієї сили ми поговоримо в наступному параграфі. Наразі ж зауважимо, що за звичайних умов, вагу тіла прийнято визначати за формулою Р = mg. Скажімо за звичайних умов вага тіла масою 80кг становить 800Н. А це означає, що в умовах попередньої задачі, вага того пілоту який виконує «мертву петлю» у верхній точці петлі збільшується у 3200/800=4 рази, а в нижній точці, збільшується в 4800/800=6 разів.
Задача 4. З яким прискоренням рухається брусок похилою площиною кут нахилу якої 30°, якщо коефіцієнт тертя 0,2?
Дано: Рішення:
α=30° Виконуємо малюнок на якому: вказуємо всі діючі на тіло
µ=0,2 сили (сила тяжіння, реакція опори, сила тертя, сила інерції);
а=? задаємо систему координат; вказуємо кутову орієнтацію сил
(на малюнку сила інерції не вказана).
Записуємо умову динамічної рівноваги тіла і, розв’язавши систему відповідних рівнянь, визначаємо невідому величину.
∑ Fх = –Fтер –Fі + Fтsinα = 0 (1)
∑ Fу = N – Fтcosα = 0 (2)
Враховуючи, що: Fтер =µN, Fі = ma, Fт = mg, можна записати
–µN – ma + mgsinα = 0, звідси ma = mgsinα – µN .
Враховуючи, що згідно з рівнянням (2) N = Fт cosα = mgcosα, отримаємо
ma = mgsinα – µmgcosα, звідси a = g(sinα – µcosα).
Розрахунки: a = g(sin30° – µcos30°) = 9,8(м/с)2(0,50 – 0,2·0,87) = 3,2м/с2.
Відповідь: а = 3,2м/с2.
Вправа №11.
1.При аварійному гальмуванні, автомобіль масою 2,5т рухається з прискоренням 4м/с2. Яка сила інерції діє на цей автомобіль. Як направлена ця сила відносно напрямку руху (напрямку швидкості) автомобіля?
2. Гоночний автомобіль розганяється до швидкості 108км/год за 5с. Яка сила інерції діє при розгоні на водія автомобіля, якщо маса водія 80кг?
3. Автомобіль з швидкістю 72км/год рухається заокругленням дороги радіус якого 400м. Яка сила інерції діє при цьому на водія автомобіля, якщо маса водія 80кг? Який напрям цієї сили?
4. З якою силою тіло масою 50кг тисне на опору в ситуаціях:
а) система опора-тіло знаходиться в стані механічного спокою;
б) система опора-тіло рухається з направленим вгору прискоренням 5м/с2;
в) система опора-тіло рухається з направленим вниз прискоренням 5м/с2?
5. В процесі аварійного гальмування, автомобіль масою 1,5т рухається з прискоренням 4м/с2. Визначити діючу на автомобіль силу тертя та коефіцієнт тертя
6. З яким прискоренням рухатиметься брусок похилою площиною, якщо кут нахилу площини 30°, а коефіцієнт тертя 0,15?
7. З якою швидкістю має рухатись автомобіль опуклою ділянкою дороги радіус кривизни якої 40м, щоб в верхній точці опуклості, тиск на дорогу дорівнював нулю?
8. Літак виконує “мертву петлю” радіусом 480м і рухається по ній з швидкістю 432км/год. З якою силою льотчик масою 85кг буде тиснути на сидіння літака: а) у верхній точці петлі, б) в нижній точці петлі?
Лекційне заняття №12.
Тема: Про вагу, невагомість та силу Архімеда. Або про те,
що важче кілограм заліза чи кілограм вати?
Однією з найбільш суперечливих фізичних величин механіки є вага. В науковій літературі її часто плутають з силою тяжіння, а у побуті – з масою. Насправді ж вага, це та сила з якою тіло діє на опору. Скажімо та сила з якою ви тиснете на підлогу є вашою вагою. Виходячи з того, що вага (Р) – це та сила з якою тіло діє на опору, а реакція опори (N) – це та сила з якою опора діє на тіло, та враховуючи що ці сили є діючою і протидіючою силами, а отже рівними за величиною і протилежними за напрямком, можна дати наступне визначення.
Вага – це та сила з якою тіло діє на опору і яка чисельно дорівнює реакції цієї опори.
Позначається: Р
Визначальне рівняння: Р = – N, де N – реакція опори
Одиниця вимірювання: [P] = H, ньютон.
Мал.53. Вага – це та сила з якою тіло діє на опору.
Мал.54. Оскільки на практиці масу тіла, тобто те що вимірюється в кілограмах визначають шляхом зважування, то в свідомості пересічної людини, термін зважування а отже «вага» асоціюється з тим, що вимірюється в кілограмах.
Ще однією загально розповсюдженою помилкою є думка про те, що вага тіла дорівнює тій силі з якою тіло притягується до Землі і що тому вага визначається за формулою P = mg. Насправді ж, вага – це та сила з якою тіло діє на опору і яка чисельно дорівнює тій силі з якою опора діє на тіло P = N, а з урахуванням напрямку цих сил P = –N.
Загалом, на відміну від маси тіла, яка за будь яких обставин залишається незмінною (звичайно, якщо не враховувати ті практично не помітні ефекти про які ви дізнаєтесь вивчаючи теорію відносності), вага тіла в різних обставинах може бути абсолютно різною. Скажімо, на Землі (g=9,81м/с2) вага тіла масою 10кг становить 98,1Н. На Місяці (g=1,6м/с2) ця вага дорівнюватиме 16Н; на Марсі (g=3,7м/с2) – 37Н; на Юпітері (g=25,9м/с2) – 259Н; а на Сонці (g=274,1м/с2) – 2741Н. Тому наприклад на Місяця, тіло масою 600кг, важитиме стільки ж як на Землі тіло масою 98кг.
Мал.55. На Місяці вага тіла у шість разів менша ніж на Землі.
Більше того, вага тіла залежить не лише від параметрів того гравітаційного поля яке створює відповідна планета, а й від багатьох інших обставин. Зокрема від того, з яким прискоренням і в якому напрямку рухається система опора-тіло. Ілюструючи цю залежність розглянемо конкретну задачу.
Задача 1. Тіло масою 70кг знаходиться в ліфті. Визначити вагу цього тіла в наступних ситуаціях: а) ліфт знаходиться в стані механічної рівноваги (v=0 або v=const, тобто
а=0м/с2); б) ліфт рухається з прискоренням а=5м/с2 і це прискорення направлене вгору; в) ліфт рухається з прискоренням а=5м/с2 і це прискорення направлене вниз; г) ліфт знаходиться в стані вільного падіння тобто падає з прискоренням а=g=10м/с2.
Дано: Рішення:
m = 70кг Будемо виходити з того, що вага тіла – це та
а1 = 0м/с2 сила з якою тіло діє на опору, в нашому
а2 = 5м/с2↑ випадку – на підлогу ліфта, і що величина
а3 = 5м/с2↓ цієї сили дорівнює відповідній реакції опори
а4 =g=10м/с2↓ (Р=N). А це означає, що рішення задачі зводиться
Р1=?, Р2=?, до того, щоб визначити величину реакції опори в
Р3=?, Р4=? кожній з чотирьох ситуацій.
Розв’язуючи цю задачу, виконуємо відповідні малюнки на яких вказуємо ті сили що діють на дане тіло. А цими силами є: сила тяжіння Fт = mg, реакція опори N та, за наявності прискорення, сила інерції Fi = –ma. Зважаючи на вище сказане, проаналізуємо кожну з чотирьох ситуацій і визначаємо вагу тіла в кожній з них.
. а=0м/с2 а=5м/с2↑ а=5м/с2↓ а=g=10м/с2↓
P1 = N1 = Fт P2 = N2 = Fт + Fi P3 = N3 = Fт – Fi P4 = N4 = Fт – Fi
P1 = mg P2 = m(g+a) P3 = m(g–a) P4 = mg–mg=0
P1 =700H P2 =1050H P3 =350H P4 =0H
Мал.56. Маса тіла одна і таж, а вага – різна.
Не важко бачити, що вага тіла, тобто та сила з якою тіло тисне на опору, не є постійною величиною. При цьому, лише в тому випадку коли система опора-тіло знаходиться в стані механічної рівноваги (v=0 або v=const), вага тіла чисельно дорівнює діючій на нього силі тяжіння: Р1=mg. В інших випадках, вага тіла може бути як більшою так і меншою за цю силу: Р2=m(g+a); Р3=m(g–a). Якщо ж система опора – тіло знаходиться в стані вільного падіння (а=g), то тіло не тисне на опору і тому його вага дорівнює нулю: Р4=mg–mg=0. Характеризуючи дану ситуацію говорять про те, що тіло знаходиться в стані невагомості.
Зверніть увагу, тіло знаходиться в стані невагомості (має нульову вагу) не тому що на нього не діє сила тяжіння, а тому, що дія цієї сили зрівноважується відповідною силою інерції. Невагомість – це такий стан системи опора-тіло, при якому тіло та його окремі елементи не мають ваги, тобто не тиснуть на опору і одне на одне. Не мають ваги тому, що діюча на них сила тяжіння зрівноважується відповідною силою інерції.
Мал.57. Невагомість, це не тому що на тіло не діє сила тяжіння, а тому що діюча на тіло сила тяжіння зрівноважується силою інерції.
Загально відомим прикладом невагомості є невагомість на борту штучних супутників Землі. При цьому люди часто думають, що ця невагомість пояснюється відсутністю сили тяжіння. Насправді ж, на тих висотах де зазвичай літають наші пілотовані космічні кораблі (200км – 400км), сила тяжіння майже така ж як і на поверхні землі. А невагомість в космічному кораблі (штучному супутнику Землі) пояснюється не відсутністю сили тяжіння, а фактом того, що ця сила зрівноважується відповідною силою інерції.
Дійсно, як і на будь яке земне тіло, на штучний супутник Землі діє певна сила тяжіння (Fт = mg). Сила, яка прагне перемістити тіло до центру Землі. І якщо супутник всупереч дії сили тяжіння не опиняється на землі, то це тільки тому, що на нього, окрім сили тяжіння діє рівна їй за величиною і протилежна за напрямком сила інерції (Fi = –ma). Але для того щоб така сила з’явилась, супутник має з певною визначеною швидкістю обертатись навколо Землі. Адже в цьому випадку, супутник буде рухатись з певним доцентровим прискоренням (ад=v2/R), а отже на нього буде діяти відповідна відцентрова сила інерції (Fі=mv2/R). Що ж давайте визначимо ту швидкість, з якою тіло має обертатись навколо Землі і не падати на неї. Цю швидкість прийнято називати першою космічною швидкістю.
Задача 2. Відомо, що радіус Землі 6,37·106м, а прискорення вільного падіння на ній
9,8м/с2. Визначити ту швидкість з якою тіло (штучний супутник) має обертатись навколо Землі і не падати на неї.
. 
Дано: Рішення:
R = 6,37·106м Виконуємо малюнок на якому вказуємо наявну
g = 9,8м/с2 ситуацію та ті сили, що діють на супутник в
Fі = Fт процесі його обертання навколо Землі. А цими
v = ? силами є: сила тяжіння Fт = mg та сила інерції
Fі = mад = mv2/R (як завжди, сила інерції на малюнку не зображена).
Оскільки супутник не падає на Землю і не віддаляється від неї, то це означає, що діючі на нього сила тяжіння та сила інерції урівноважують одна одну (Fі = Fт) і тому mv2/R = mg. Звідси v2 = mgR/m, звідси v2 = gR, звідси v = √gR.
Розрахунки: v = √gR = √(9,8м/с2 6,37·106м) = √(62,4·106м2/с2) = 7,9·103м/с.
Відповідь: Для того щоб тіло не падало на Землю і не віддалялось від неї, тобто стало штучним супутником Землі, необхідно щоб воно рухалось з швидкістю v=7,9·103м/с=7,9км/с. Цю швидкість називають першою космічною швидкістю.
Ясно, що біля поверхні Землі змусити тіло тривалий час рухатись з швидкістю 7,9км/с практично не можливо. Не можливо по перше тому, що щільна атмосфера Землі шалено протидіє швидкому руху тіл і гальмує цей рух. А по друге, в процесі надшвидкого руху в атмосфері Землі, тіла надзвичайно швидко нагріваються і по суті згорають. Власне тому, штучні супутники потрібно виводити за межі щільних шарів атмосфери Землі, а це що найменше 100км над її поверхнею.
Іноді можна почути, як старші школярі провокативно запитують своїх молодших колег: «що важче, кілограм заліза чи кілограм вати?» І коли ті відповідають що залізо важче, дружно сміються, хизуючись своєю кмітливістю. І потрібно сказати, сміються абсолютно безпідставно. Адже кілограм заліза дійсно важчий за кілограм вати. Звичайно за умови, що мова йде саме про кілограм, тобто про масу в 1000,00г.
Обґрунтовуючи тезу про те, що кілограм заліза важчий за кілограм пір’я, вати, пінопласту чи дерева, розв’яжемо наступну задачу.
Задача 3. Визначити на скільки тона заліза (ρ1=7800кг/м3) важча за тону вати*) (ρ2=200кг/м3). Густина повітря ρ=1,3кг/м3. *) Звичайно, вата не має певної чітко визначеної густини, тому будемо умовно вважати, що густина вати дорівнює густині пробкового дерева, а ця густина становить 200кг/м3.
Дано: Рішення:
m1=m2=1000,00кг Оскільки за визначенням, вага тіла чисельно дорівнює
ρ1=7800кг/м3 реакції відповідної опори (Р1=N1; Р2=N2), то рішення
ρ2=500кг/м3 задачі полягає у визначенні цих реакцій. Виходячи з
ρ = 1,3кг/м3 цього, розглянемо ті сили що діють на залізне (1) та
g =9,81м/с2 ватне (2) тіло. А цими силами є: сила тяжіння Fт=mg,
ΔP = P1 – P2 = ? реакція опори яка і дорівнює вазі тіла (Р1=N1; Р2=N2),
. та сила Архімеда FA=ρVg.
Із аналізу діючих на тіло сил (із умови рівноваги тіл) випливає:
N1= Fт – Fa1 = m1g – ρV1g = m1g – ρm1g/ρ1 = m1g(1 – ρ/ρ1);
N2 = Fт – Fa2 = m2g – ρV2g = m2g – ρm2g/ρ2 = m2g(1 – ρ/ρ2) .
Таким чином: N1 = m1g(1 – ρ/ρ1); N2 = m2g(1 – ρ/ρ2) .
Розрахунки: P1 = N1 = … = 9808,4H;
. P2 = N2 = … = 9746,2H.
. ΔP = P1 – P2 = 62,2H
Відповідь: тона заліза на 62,2Н важча за тону вати, що відповідає додатковій масі вати Δm=6,3кг (за умови, що визначення ваги відбувається в повітряному середовищі).
Таким чином, теорія стверджує що тона заліза на 62,2Н важча за тону вати. Причина появи цієї різниці очевидна – на більш об’ємну вату діє більша сила Архімеда і тому його вага виявляється дещо меншою.
Чому ж ми вважаємо, що тона заліза і тона вати мають однакову вагу? Більше того, якщо ми дійсно зважимо реальну тону заліза і реальну тону вати, то скоріш за все ця вага виявиться однаковою. І справа не втому, що точність вимірювальних приладів не дозволяє зафіксувати наявну різницю ваги. Справа в іншому – цієї різниці просто не існує. Не існує тому, що масу вати ми зазвичай визначаємо шляхом її зважування і ясна річ, це зважування проводимо в повітряному середовищі. А це означає, що у визначеній таким чином тоні вати, фактично не 1000,0кг а приблизно 1006,3кг. Поява цієї різниці знову ж таки обумовлена дією сили Архімеда. Адже для того, щоб ватне тіло зрівноважило еталонну залізну гирю, маса цього тіла має бути дещо більшою за масу гирі. Більшою на ту величину яка дозволяє компенсувати надлишкову силу Архімеда (в умовах нашої задачі Δm=6,3кг).
Таким чином, якщо кілограм вати і кілограм заліза мають однакову вагу, то це тільки тому, що фактична маса вати дещо більша за кілограм. Якщо ж ми дійсно візьмемо кілограм заліза і кілограм вати, то вага заліза буде більшою за вагу вати. Звичайно за умови, що процес зважування відбувається у повітряному середовищі.
Вправа №12.
1. Визначте вагу тіла масою 70кг на Землі; на Місяці, на Марсі; на Юпітері.
2. Ракета піднімається вертикально вгору з прискоренням а=3g. Якою буде в цій ракеті вага тіла масою 50кг?
3. З якою силою людина масою 80кг тисне на підлогу ліфта, що рухається з прискоренням 2м/с2, направленим а) вгору; б) вниз?
4. Ліфт рівноприскорено розганяється до швидкості 7м/с за 5с. За такий же час він і зупиняється. Визначити вагу людини масою 80кг на ділянках розгону та зупинки ліфта.
5. З якою швидкістю має рухатись автомобіль по опуклому мосту, радіус кривизни якого 90м, щоб у верхній точці моста, тиск автомобіля на поверхню моста дорівнював нулю?
6. Відомо, що радіус Місяця 1,74·106м, а прискорення вільного падіння на ньому 1,6м/с2. Визначити ту швидкість з якою тіло (штучний супутник) має обертатись навколо Місяця і не падати на нього.
7. Парашутист, досягши в затяжному стрибку швидкості 55м/с, розкриває парашут, після чого за 2с його швидкість зменшується до 5м/с. Визначте вагу парашутиста під час гальмування, якщо його маса 80кг.
8. Якої тривалості має бути доба на Землі, щоб тіла на її екваторі були невагомі?
Лекційне заняття №13.
Тнма: Закон всесвітнього тяжіння. Механіка Сонячної системи.
В 1667 році аналізуючи поведінку Місяця та планет Сонячної системи видатний англійський фізик Ісаак Ньютон дійшов висновку: масивні тіла взаємно притягуються з силою, величина якої прямо пропорційна добутку взаємодіючих мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Однак, лише через двадцять років, цей висновок був офіційно опублікований у вигляді закону всесвітнього тяжіння. В цьому законі стверджується: дві матеріальні точки масою m1 і m2 взаємно притягуються з гравітаційною силою (Fгр), величина якої прямо пропорційна добутку взаємодіючих мас (m1∙m2) і обернено пропорційна квадрату відстані між ними (r2). Іншими словами: Fгр=Gm1m2/r2, де G – гравітаційна стала, постійна величина значення якої визначається експериментально. (Гравітаційна сила, гравітаційна стала, гравітаційне поле, тощо, походять від латинського gravitas – тяжіння).
Гравітаційна стала (G = 6,6720∙10–11Н∙м2/кг2) – це постійна величина, яка чисельно дорівнює тій гравітаційній силі з якою взаємодіють дві матеріальні точки масою по 1кг кожна, будучи розташованими на відстані 1м одна від одної. Іншими словами: якщо m1=m2=1кг; r=1м то Fгр= 6,67∙10–11Н = 0,0000000000667Н.
Із вище сказаного ясно, що за питомою (одиничною) величиною, сили гравітаційної взаємодії є надзвичайно слабкими. Тому ми абсолютно не помічаємо факту того, що з певною гравітаційною силою притягуємся до навколишніх предметів. Однак, коли мова заходить про тіла космічних масштабів, то для них питомо слабкі гравітаційні сили, набувають фантастично великих значень. Скажімо Місяць притягується до Землі (а відповідно й Земля до Місяця) з силою 2∙1020Н. Ілюструючи масштаб цієї сили, достатньо сказати, що для її передачі від Землі до Місяця знадобився б сталевий трос діаметром 5000км і масою яка дорівнює масі Землі.
. 1кг 1м 1кг Земля Місяць
Fгр=0,0000000000667Н Fгр=200 000 000 000 000 000 000Н
Мал.59. В масштабах земних тіл, сили гравітаційної взаємодії є гранично малими, а в масштабах космічних об’єктів – фантастично великими.
Оцінюючи значимість гравітаційних сил достатньо сказати, що саме ці сили об’єднують зірки, їх планети, супутники планет, астероїди та купу дрібніших об’єктів, у відповідні планетарні системи. Саме сили гравітаційної взаємодії об’єднують зірки в галактики, галактики – в метагалактики, метагалактики – у Всесвіт. Саме гравітаційні сили стискають та розігрівають надра зірок до таких тисків і температур при яких відбуваються ті термоядерні реакції які є джерелом світла, енергії та життя не тільки на Землі, а і у всьому Всесвіті.
Мал.63 Схема загального устрою Сонячної системи.
Сонячна система, це складний, злагоджений механізм. Однак, якщо говорити про загальний принцип дії цього механізму, то він досить простий і полягає в наступному. Кожен елемент системи, під дією сили гравітаційної взаємодії та сили інерції, обертається навколо центрального тіла. При цьому, швидкість обертання є такою, що забезпечує динамічну рівновагу між силою гравітаційної взаємодії та силою інерції. Наприклад, Місяць (мал.54) обертається навколо Землі з такою швидкістю при якій діюча на нього гравітаційна сила (Fгр=GMm/ℓ2) динамічно зрівноважується відповідною силою інерції (Fi=mv2/ℓ), тобто з швидкістю v=√(GM/ℓ)= √[6,67·10–11(м3/кг·с2)6·1024кг/(3,84·108м)2] = 1,02·103м/с = 1,02км/с;
(де М=6,0∙1024кг – маса Землі, ℓ=3,84∙108м – відстань між центрами мас Землі та Місяця).
Мал.64. При обертальному русі Місяця навколо Землі, та планет навколо Сонця, виконується умова їх динамічної рівноваги: Fгр = Fi.
Переконатись в тому, що Місяць дійсно обертається з швидкістю 1,02км/с не важко. Дійсно. Оскільки за один оберт навколо Землі, який, як відомо, триває t=Т=27,3доби=23,6∙105с, Місяць проходить відстань L=2πℓ=24,1∙108м, то його швидкість становить v=L/T= 24,1·108м/23,6·105с = 1,02·103м/с =1,02км/с.
Задача 1. Знаючи прискорення вільного падіння (g=9,8м/с2) та радіус Землі
(R=6,4∙106м), визначити масу Землі та її середню густину.
Дано: Рішення:
g = 9,81м/с2 Виходячи з того, що ту силу з якою земне тіло масою m
R = 6,4·106м притягується до Землі, з одного боку можна визначити як
М = ? силу тяжіння Fт = mg, Fгр = GMm/R2 і що ці сили є
ρ =? практично рівними (Fт = Fгр), можна записати:
mg = GMm/R2, звідси M = gR2/G = 9,81(м/с2)(6,4·106м)/6,67·10–11(м3/кг·с2) = 60·1023кг = 6·1024кг.
Оскільки за визначенням ρ = М/V, та враховуючи що об’єм кулі V=4πR3/3, можна записати ρ = М/V= 3M/4πR3 = 3·6·1024кг/4·3,14(6,4·106м)3 = 5,5·103кг/м3.
Відповідь: М = 5,96·1024кг; ρ = 5,5·103кг/м3.
Задача 2. Знаючи період обертання Землі навколо Сонця (365 днів) та відстань між їх центрами (1,49∙1011м) визначити масу Сонця та швидкість обертання Землі навколо Сонця.
Дано: СІ Рішення:
Т=365 днів 31,54∙106с Виконуємо малюнок на якому вказуємо ті сили
ℓ=1,49∙1011м – які діють на Землю в процесі її обертання навколо
v = ? Сонця. А цими силами є: 1) сила гравітаційної
М=? взаємодії між Землею та Сонцем (Fгр = GMm/ℓ2);
2) виникаюча в процесі обертального руху Землі сила інерції (Fi =mv2/ℓ). А оскільки Земля обертається навколо Сонця по майже круговій орбіті, то можна стверджувати, що ці дві сили є рівні за величиною і протилежні за напрямком, тобто що: GMm/ℓ2=mv2/ℓ. Звідси випливає, що М=v2ℓ/G, де G=6,67·10–11м3/кг·с2; v – швидкість обертання Землі навколо Сонця.
Величину тієї швидкості з якою Земля обертається навколо Сонця, можна визначити із наступних міркувань. Оскільки за рік (Т=365 днів = 31,54∙106с) Земля проходить відстань L=2πℓ, то швидкість її руху v = 2πℓ/T.
Таким чином, швидкість обертання Землі навколо Сонця та масу Сонця, можна визначити за формулами v = 2πℓ/T; М=v2ℓ/G.
Розрахунки:
v = 2πℓ/T = 2·3,14·1,49·1011м/31,54·106с = 3∙104м/с = 30км/с
М = v2ℓ/G = 3·104м/с)21,49·1011м/6,67·10–11(м3/кг·с2) = 2,0∙1030кг.
Відповідь: v = 30км/с; M =2,0·1030кг.
Вправа 13.
1. Знаючи прискорення вільного падіння (g=1,6м/с2) та радіус Місяця (R=1,74∙106м), визначити масу Місяця.
2. Визначте прискорення вільного падіння на висоті, що дорівнює радіусу Землі.
3. Визначте силу гравітаційної взаємодії між Землею та Сонцем, якщо відомо що відстань між ними 1,5∙1011м, а їх маси відповідно 6∙1024кг і 2∙1030кг.
4. Космонавт масою 75кг знаходиться на висоті 300км над поверхнею Землі. З якою силою він притягується до Землі? Порівняйте цю силу з тією яка діяла б на нього на поверхні Землі. Радіус Землі 6400км.
5. Знаючи період обертання Місяця (27,3доби) та відстань до нього (3,84∙108м), визначити масу Землі.
6. Знаючи радіус Землі (6,37·106м) та прискорення вільного падіння на ній (9,8м/с2) визначте масу Землі. Порівняйте отриманий результат з результатом попередньої задачі. Зробіть висновок.
7. Визначити першу космічну швидкість для Юпітера (М=19∙1026кг; R=7∙104км).
8. Одна з периферійних зірок нашої Галактики віддалена від її центру на відстань 5∙1020м, обертається з швидкістю 2,8∙105м/с. Яка загальна маса Галактики? У скільки разів ця маса перевищує масу Сонця?
Лекційне заняття №14.
Тема: Механічні деформації. Сила
пружності. Механічна напруга. Закон Гука.
Нагадаємо, механіка, це розділ фізики в якому вивчають параметри, закономірності та причини механічного руху тіл в усіх його проявах. А одним з проявів механічного руху є механічна деформація тіла, тобто будь яка зміна форми або розмірів тіла, що відбувається під дією зовнішніх сил (від лат. deformatio – викривлення). З загальними основами тієї частини механіки яка вивчає параметри, закономірності та причини механічних деформацій тіла ми стисло ознайомимся в цьому параграфі.
За реакцією тіла на припинення дії деформуючої сили, механічні деформації поділяються на пружні та пластичні. Пружною називають таку механічну деформацію, яка повністю зникає після припинення дії деформуючої сили. Пластичною називають таку механічну деформацію, яка після припинення дії деформуючої сили зберігається (залишається). Іншими словами, якщо після припинення дії деформуючої сили, тіло повністю відновлює свою попередню форму, то його деформація є пружною. Якщо ж, після припинення дії деформуючої сили, тіло зберігає надану йому форму, то його деформація є пластичною. На практиці часто зустрічаються ситуації в яких, після припинення дії деформуючої сили, тіло відновлює попередню форму (розміри) лише частково. В цьому випадку говорять про пружно-пластичну деформацію тіла.
Мал.66. Приклади пружної (а, б) та пластичної (в, г) деформації.
За характером діючих на тіло деформуючих сил та за характером тих геометричних змін які відбуваються в деформованому тілі, все різноманіття пружних механічних деформацій прийнято розділяти на чотири різновидності:
− деформація розтягнення-стиснення (мал.67а,б);
− деформація згинання (мал. 67д);
− деформація кручення (мал. 67г);
− деформація зсуву (мал. 67в).
Мал.67. Геометрична суть основних видів механічних деформацій.
В межах програми загальноосвітньої школи, стисло вивчають параметри та закономірності лише однієї різновидності пружної деформації – деформації розтягнення-стиснення. Однак ви маєте знати, що з певними термінологічними поправками, ці параметри і закономірності притаманні будь якій різновидності пружної деформації та для будь якої комбінації цих різновидностей.
Характеризуючи геометричні та силові параметри не деформованого та пружно деформованого тіла, говорять про наступні величини:
– початкова довжина тіла ℓ0 (м);
– абсолютна деформація тіла ∆ℓ= ℓ – ℓ0 (м);
– відносна деформація тіла ε = ∆ℓ/ℓ0 (–);
– деформуюча сила F (Н);
– сила пружності Fпр = –k∆ℓ (Н);
– жорсткість тіла k = F/∆ℓ (Н/м);
– механічна напруга σ = Fпр/S (Н/м2=Па);
– модуль пружності E = σ/ε (Па);
Мал. 68. Пружно деформоване тіло та його характеристики.
Абсолютна деформація – це фізична величина, яка характеризує абсолютну деформацію тіла і яка дорівнює різниці між довжиною тіла після деформації (ℓ) та його довжиною до деформації (ℓ0).
Позначається: ∆ℓ
Визначальне рівняння: ∆ℓ=ℓ – ℓ0
Одиниця вимірювання: [∆ℓ] = м.
Відносна деформація – це фізична величина, яка характеризує відносну (порівняльну) деформацію тіла і яка дорівнює відношенню абсолютної деформації тіла Δℓ до його початкової довжиниℓ0.
Позначається: ε
Визначальне рівняння: ε=∆ℓ/ℓ0
Одиниця вимірювання: [ε]= м/м= – , (рази)
Наприклад якщо під дією деформуючої сили, довжина стержня збільшилась від ℓ0=20см до ℓ=21см, то його абсолютна деформація ∆ℓ=ℓ – ℓ0 = 21см – 20см = 1см, а відносна деформація ε=∆ℓ/ℓ0 = 1см/20см = 0,05.
Ту зовнішню силу F, дія якої спричиняє пружну деформацію тіла, називають деформуючою силою. Діюча на тіло деформуюча сила (F), породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу, яку називають силою пружності (Fпр).
Сила пружності – це та внутрішня сила, яка виникає в пружно деформованому тілі і яка завжди протидіє появі та зростанню цієї деформації.
Позначається: Fпр
Визначальне рівняння: Fпр = –k∆ℓ, де k – жорсткість тіла; Δℓ – абсолютна деформація тіла; знак «–» вказує на те, що напрям сили пружності протилежний до напрямку деформації Δℓ;
Одиниця вимірювання: [Fпр] =H, ньютон.
Мал.69. Сила пружності завжди протидіє деформуючій силі.
Жорсткість тіла – це фізична величина, яка характеризує здатність тіла протидіяти його пружній деформації і яка дорівнює відношенню тієї сили що деформує тіло, до величини отриманої при цьому абсолютної деформації.
Позначається: k
Визначальне рівняння: k=F/∆ℓ
Одиниця вимірювання: [k]=H/м, ньютон на метр.
Потрібно зауважити, що жорсткість тіла, тобто та величина яка визначається за формулою k=F/∆ℓ, фактично не залежить ні від величини деформуючої сили F, ні від величини отриманої при цьому абсолютної деформації ∆ℓ. Жорсткість тіла, залежить від параметрів самого тіла. Зокрема, якщо мова йде про тіла простої геометричної форми (стержні, балки, дроти, тощо), то їх жорсткість залежить від: 1) площі поперечного перерізу тіла S (чим більша площа – тим більша жорсткість); 2) початкової довжини тіла ℓ0 (чим більша довжина – тим менша жорсткість); 3) пружних властивостей того матеріалу, з якого виготовлено тіло. Цю залежність, можна записати у вигляді k=ES/ℓ0, де Е – модуль пружності, величина яка характеризує пружні властивості матеріалу даного тіла і значення якої визначається експериментально та записується у відповідну таблицю.
Важливою характеристикою пружно деформованого тіла, є величина яка називається механічною напругою. Механічна напруга – це фізична величина, яка характеризує внутрішній механічний стан пружно деформованого тіла і яка дорівнює відношенню виникаючої в тілі сили пружності до величини його площі поперечного перерізу.
Позначається: σ
Визначальне рівняння: σ=Fпр/S
Одиниця вимірювання: [σ]=H/м2=Па, (паскаль).
Основний закон механіки пружно деформованого тіла був експериментально встановлений в 1660 році англійським фізиком Робертом Гуком (1635–1703). В цьому законі (законі Гука) стверджується: при пружних деформаціях тіла, величина його абсолютної деформації (∆ℓ), пропорційна діючій на нього деформуючій силі F. Іншими словами: ∆ℓ=F/k, де k – жорсткість тіла.
а) 
б) 
Мал.71. Абсолютна деформація тіла (ΔƖ), прямо пропорційна деформуючій силі (F) – закон Гука.
Вище наведене формулювання закону Гука є безумовно правильним, очевидно простим та історично автентичним. Однак в сучасній науці цей закон прийнято формулювати по іншому: при пружних деформаціях тіла, величина виникаючої в ньому механічної напруги σ, пропорційна його відносній деформації ε. Іншими словами: σ=Еε, де Е – модуль пружності (модуль Юнга), постійна для даного матеріалу величина, значення якої визначається експериментально і записується у відповідну таблицю.
На перший погляд, формули ∆ℓ=F/k і σ=Еε абсолютно різні. Насправді ж, ці формули математично тотожні. Дійсно. Враховуючи що k=ES/ℓ0; ε=∆ℓ/ℓ0; σ=Fпр/S; Fпр=F, можна записати: ∆ℓ= F/k = Fпр/(ES/ℓ0) = Fпрℓ0/ES = σℓ0/E. Звідси σ=E∆ℓ/ℓ0 = Eε .
Завершуючи розмову про силу пружності та сили загалом, буде не зайвим сказати декілька слів про чотири сили, які часто плутають одна з одною та застосовують не за призначенням. Ситуація ускладнюється тим, що в багатьох випадках числові значення цих сил є однаковими. Тому, фактично неправильно застосувавши сили, ви можете отримати формально правильну відповідь і заслужено незадовільну оцінку.
Мова йде про силу тяжіння (Fт), вагу (P), реакцію опори (N) та силу пружності (Fпр). Нагадаємо. Сила тяжіння (Fт) – це та сила з якою тіло притягується до Землі. Вага (P) – це та сила з якою тіло діє на опору. Реакція опори (N) – це та сила з якою опора діє на тіло. Сила пружності (Fпр) – це та сила яка виникає в пружно деформованому тілі і яка протидіє його деформації. Із визначень ясно, що коли ми говоримо про ті сили які діють на тіло, то ними є сила тяжіння (Fт) та реакція опори (N). Якщо ж мова йде про ті сили які діють на поверхню опори, то ними є вага тіла (P) та виникаюча в опорі сила пружності (Fпр).
Мал.74. На тіло діє сила тяжіння та реакція опори. На поверхню опори діє вага тіла та виникаюча в опорі сила пружності.
Зважаючи на вище сказане та дотримуючись загально прийнятих визначень, неправильно говорити і писати, що на те тіло яке лежить чи висить на опорі діє вага тіла та виникаюча в опорі сила пружності. Бо на тіло діє сила тяжіння та реакція опори. Неправильно говорити і писати, що на поверхню опори діє сила тяжіння тіла та реакція опори. Бо на поверхню опору діє вага тіла та виникаюча в опорі сила пружності. Неправильно говорити і писати, що тіло падає під дією своєї ваги. Бо тіло падає під дією сили тяжіння.
Вправа №14.
1.Відносна деформація дроту 0,001. Визначити абсолютну деформацію цього дроту, якщо його початкова довжина 80см.
2. Якої довжини має бути сталевий дріт, щоб при відносній деформації 0,0005 його абсолютна деформація дорівнювала 1см?
3. Жорсткість кожної з двох пружин 50Н/м. Визначте загальну жорсткість системи цих пружин при їх паралельному та послідовному з’єднанні. Зробіть висновки.
4. Під дією сили 1кН стержень діаметром 1см подовжився на 1мм. Яка жорсткість цього стержня та виникаюча в ньому механічна напруга?
5. До закріпленої одним кінцем дротини діаметром 2мм підвісили вантаж масою 10кг. Визначити виникаючу в дротині силу пружності та механічну напругу.
6. Жорсткість дротини k. Чому дорівнюватиме жорсткість половини цієї дротини?
7. Яка максимальна механічна напруга виникає в вертикально висячому мідному стержні під дією власної ваги? Як залежить ця напруга від а) діаметру стержня; б) маси стержня; в) довжини стержня?
8. На дротині довжиною ℓ висить вантаж масою m. Дротину склали вдвічі і підвісили той же вантаж. Порівняйте абсолютні та відносні деформації дротин в цих двох випадках. Порівняйте їх жорсткості.