Кінематика

§7. Загальні відомості про механіку. Механічний рух.

§8. Відносність руху. Система відліку.

§9. Просторово-часові параметри поступального руху.

§10. Швидкість поступального руху. Середня швидкість.

§11. Загальні відомості про методику розв’язування задач фізики.

§12. Загальні відомості про прискорення.

§13. Рівняння руху – основний закон кінематики.

§14. Розв’язування задач. Тема: Практичне застосування рівняння руху.

§15. Про графічний метод розв’язування задач кінематики.

§16. Розв’язування задач. Тема:

Графічний метод розв’язування задач кінематики.

§17. Рух матеріальної точки по колу. Доцентрове прискорення.

§18. Прості коливальні системи. Фізичний та пружинний маятники.

Розділ 1. Загальні основи ньютонівської механіки.

          Механіка (ньютонівська механіка) це розділ фізики, в якому вивчають параметри, закономірності та причини механічного руху тіл в усіх його проявах, за умови, що швидкість цього руху значно менша за швидкість світла в вакуумі (300 000 км/с). Іншими словами, механіка – це наука  про механічний рух.

Потрібно зауважити, що однією з різновидностей механічного руху є такий рух, швидкість якого дорівнює нулю (v=0). Цю різновидність руху називають механічним спокоєм. Крім цього, різновидністю механічного руху тіла є його механічна деформація, тобто та чи інша зміна форми (розмірів) тіла, що відбувається під дією певної сили. А це означає, що в механіці вивчають не лише параметри, закономірності та причини власне самого механічного руху (спокою) тіла, а й параметри, закономірності та причини всіх видів його механічної деформації.

Як правило, в механіці не вивчається глибинна суть тих процесів, результатом яких є механічний рух тіла. Наприклад, вивчаючи механіку, ми не будемо цікавитись тим, чому деформована пружина штовхає тіло? Чому повітряно-бензинова суміш в процесі згорання штовхає поршень двигуна? В чому причина появи сили тертя, сили опору повітря, сили пружності, сили тяги автомобіля, м’язової сили людини, тощо. В механіці просто констатується той факт, що причиною зміни швидкості руху тіла і причиною його пружної деформації є певна механічна дія на це тіло іншого фізичного об’єкту, і що мірою цієї дії є фізична величина, яка називається силою.

Ньютонівська механіка це надзвичайно великий розділ фізики базовими темами якого є:

– кінематика;

– статика;

– динаміка;

– механіка рідин і газів;

– механіка коливань та хвиль.

При цьому межах навчальної програми для 7-го класу, ми по суті будемо вивчати основи тієї частини ньютонівської механіки, яка називається механікою матеріальної точки. А це означає, що ми будемо вивчати параметри закономірності та причини тієї різновидності механічного руху, яка називається поступальним рухом тіла. Крім цього, у відповідності з тією ж програмою, ми ознайомились з деякими елементами механіки пружно-деформованого тіла, механіки рідин та газів, механіки тіла що має вісь обертання.

 

Тема 1.1. Основи кінематики поступального руху.

§7. Загальні відомості про механічний рух.

 

Кінематика (від грецького “kinematos” – рух)це розділ механіки, в якому вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл, без врахування їх мас та діючих на них сил. Іншими словами, в кінематиці вивчають параметри та закономірності механічного руху і не вивчають причини цього руху, а також не враховують фізичні властивості рухомого тіла.

Коли ми говоримо про механічний рух, то маємо на увазі такий процес (рух), при якому тіло як єдине ціле, або певні цілісні фрагменти цього тіла, переміщуються відносно інших тіл. Човен  пливе, автомобіль іде, вода тече, Земля обертається, колесо крутиться, газ розширюється, яблуко падає, собака біжить, дерево хитається, м’яч стрибає, стержень деформується – все це конкретні приклади механічного руху тих чи інших фізичних об’єктів (тіл).

До числа основних понять кінематики, тобто тих загальних термінів суть яких потрібно знати, відносяться: механічний рух, поступальний рух, обертальний рух, матеріальна точка, відносність руху, система відліку, траєкторія.

          Механічний рух – це такий рух (процес), при якому тіло як єдине ціле, або певні цілісні фрагменти цього тіла, переміщується відносно інших тіл. Розрізняють дві прості різновидності механічного руху: рух поступальний та рух обертальний. Поступальний рух – це такий механічний рух, при якому будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі. Наприклад, якщо книга рухається поверхнею стола таким чином, що будь яка з її бічних сторін залишається паралельними самі собі, то рух книги є поступальним (мал.15). Він буде поступальним навіть тоді, коли книга рухаючись по колу, або будь-якій іншій складній кривій, не змінюватиме своєї кутової орієнтації. Якщо в процесі руху будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі, то це тіло рухається поступально.

 

Мал.15. В процесі поступального руху тіла, будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі.

Характерною та практично важливою особливістю поступального руху тіла є факт того, що при такому русі, всі точки тіла рухаються однаково. Однаково в тому сенсі, що мають однакові траєкторії руху, за однакові проміжки часу проходять однакові відстані, мають однакові миттєві і середні швидкості, однакові прискорення, тощо. А це означає, що описуючи поступальний рух тіла, нема потреби описувати рух кожної його окремої точки. Достатньо охарактеризувати рух будь-якої з цих точок, наприклад, центру маси тіла. Зважаючи на ці обставини, описуючи поступальний рух тіла, це тіло зазвичай замінюють його спрощеною (ідеалізованою) моделлю, яку прийняти називати матеріальною точкою.

Матеріальна точка, це така умовна точка, якою теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли розмірами, формою та внутрішнім устроєм цього тіла можна знехтувати. Матеріальна точка зберігає лише одну механічну характеристику реального тіла – його масу. При цьому положення матеріальної точки практично завжди співпадає з положенням центру мас відповідного тіла. Представляючи реальне тіло у вигляді матеріальної точки, ми абстрагуємося від несуттєвих в умовах даної задачі характеристик тіла і зосереджуємо свою увагу на його суттєво важливих характеристиках. В кінематиці такими характеристиками є час руху, траєкторія руху, швидкість руху, прискорення, пройдений шлях, тощо.

Потрібно підкреслити, що визначаючись з тим, можна чи не можна дане тіло вважати матеріальною точкою, в першу чергу враховують не реальні розміри тіла, а характер його руху та характер тих запитань які поставлені в даній задачі. Наприклад, якщо книга поступально рухається поверхнею стола і ми говоримо про швидкість її руху, її прискорення, пройдений шлях, то цю книгу можна вважати матеріальною точкою. Адже при поступальному русі всі точки книги проходять однаковий шлях, рухаються з однаковими швидкостями та з однаковими прискореннями. Якщо ж описуючи положення книги, ми говоримо про її координати, то скоріш за все цю книгу не можна вважати матеріальною точкою. Адже в масштабах стола, різні точки мають суттєво різні координати. Та як би там не було, а зазвичай в кінематиці поступального руху, тіла представляють у вигляді відповідних матеріальних точок.

Обертальний рух – це такий механічний рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій, яка називається віссю обертання. Наприклад, обертально рухаються стрілка годинника, колесо автомобіля, двері класної кімнати, – звичайно за умови, що годинник “іде”, колесо крутиться, двері відчиняються.

    

Мал.16. В процесі обертального руху тіла, всі його точки описують кола, центри яких знаходяться на одній прямій (осі обертання).

При обертальному русі різновіддалені від осі обертання точки тіла, рухаються суттєво по-різному: мають різні траєкторії руху, різні пройдені шляхи, різні лінійні швидкості, різні прискорення, тощо. А це означає, що обертальний рух тіла не можна описати, охарактеризувавши рух його однієї точки. Описуючи обертальний рух тіла, це тіло зазвичай представляти у вигляді так званого абсолютно твердого тіла. Абсолютно тверде тіло, це таке умовне тіло, яким теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли його механічними деформаціями можна знехтувати.

В загальному випадку механічний рух тіла представляє собою певну комбінацію поступального і обертального рухів. Наприклад, коли ви кидаєте камінь, або б’єте футбольного м’яча, то скоріш за все рухи цих тіл будуть поступально-обертальними. Або, наприклад, якщо автомобіль їде прямолінійною дорогою, то його корпус рухається поступально, колеса – поступально-обертально, а рух поршнів двигуна є певною комбінацією двох поступальних рухів. Якщо ж рельєф дороги складний, то всі ці руху стають набагато складнішими. Але яким би складним не був механічний рух тіла, його завжди можна представити як певну комбінацію двох простих рухів: поступального і обертального. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності поступального і обертального руху можна описати та спрогнозувати будь-який найскладніший механічний рух.

  

Мал.17. В загальному випадку рух тіла є поступально-обертальним.

Зважаючи на ці обставини та реалізуючи базовий методологічний принцип науки – від простого до складного, від часткового до загального, кінематику розділяють на дві частини  кінематика поступального (кінематика матеріальної точки) та кінематика обертального руху. І потрібно зауважити, що у відповідності з навчальною програмою для 7-го класу ми по суті будемо вивчати основи кінематики поступального руху.

Контрольні запитання.

1.Яка з наук, механіка чи кінематика, є більш загальною? Чому?

2. Який рух називають механічним. Які різновидності механічного руху ви знаєте?

3. Що називають механічною деформацією? Чи є механічна деформація різновидністю механічного руху?

4. Який рух називають поступальним? Яка особливість цього руху?

5. За яких умов рух тіла по колу буде поступальним. Чи є рух Землі навколо Сонця поступальним? Чому?

6. Який рух називають обертальним? Чи можна описуючи обертальний рух тіла, представляти це тіло у вигляді матеріальної точки? Чому?

7. Що називають матеріальною точкою? Чи є розміри тіла визначальними при відповіді на питання: можна чи не можна вважати дане тіло матеріальною точкою?

8. Які критерії є визначальними при з’ясуванні того, можна чи не можна дане тіло вважати матеріальною точкою?

9. Чи можна вважати м’яч матеріальною точкою:

а) описуючи його поступальний рух по футбольному полю?

б) описуючи його обертальний рух відносно власної осі обертання ?

в) визначаючи об’єм м’яча?

г) визначаючи його координати на футбольному полі?

 

§8. Відносність руху. Система відліку.

 

Напевно ви чули про те, що будь-який механічний рух є відносним. Факт цієї відносності закарбовано в самому визначені механічного руху. Механічний рух, це такий рух при якому тіло переміщується відносно інших тіл. Автомобіль рухається відносно дороги. Поршень автомобільного двигуна рухається як відносно двигуна так і відносно тієї дороги якою їде автомобіль. Дорога разом з Землею рухається відносно Сонця, разом з Сонячною системою – відносно центру Галактики і т.д. При цьому рух поршня відносно двигуна автомобіля, суттєво відрізняється від руху того ж поршня відносно дороги.

По суті, твердження про те, що механічний рух є відносним означає, що різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж об’єкту можуть бачити суттєво різні рухи. Дійсно. Уявіть собі велосипед, який з певною постійною швидкістю рухається прямолінійною дорогою. Уявіть також, що за певним елементом цього велосипеда, наприклад, за штуцером колеса (мал.17) спостерігають три спостерігачі. При цьому перший сидить на рамі велосипеда, другий – на землі, а третій – на самому колесі.

Кожен із спостерігачів дивиться на один і той же об’єкт (штуцер колеса) та описує його поведінку. Аналізуючи побачене, перший буде стверджувати, що штуцер рухається по колу. Другий, буде запевняти, що штуцер рухається певною кривою, яку прийнято називати циклоїдою. Третій же буде наполягати на тому, що штуцер не рухається. І як це не дивно, але кожен з спостерігачів абсолютно правий. Адже відносно рами велосипеда штуцер дійсно рухається по колу, відносно дороги – по циклоїді, а відносно елементів колеса – не рухається взагалі.

  

Мал.18. Різні спостерігачі, спостерігаючи за рухом одного і того ж об’єкту бачать суттєво різні рухи.

Із вище сказаного ясно, що описуючи механічний рух тіла, необхідно чітко вказати, в якій системі відліку описується цей рух. Адже в різних системах відліку один і той же рух може виглядати по різному. Скажімо, якщо не вказати ту систему відліку в якій описується рух штуцера, то можна як завгодно довго та як завгодно запекло сперечатись стосовно того, як рухається штуцер – по колу, по циклоїді чи якось інакше. І кінця краю цій суперечці не буде.

Звичайно, якщо в тому чи іншому контексті, або в умові тієї чи іншої задачі не вказана система відліку, то скоріш за все, це означає що цією системою є та, що жорстко з’єднана з умовно нерухомою землею. Наприклад, коли ми говоримо, що будинок не рухається, то маємо на увазі що він не рухається відносно землі. Або, якщо ми стверджуємо, що автомобіль рухається з швидкістю 90 км/год, то скоріш за все маємо на увазі його швидкість відносно дороги. При цьому відносно іншого автомобіля ця швидкість може бути іншою.

Говорячи про систему відліку мають на увазі взаємопов’язану сукупність (систему) двох складових: системи координат та вимірювача часу (годинник, секундомір, тощо). Ця сукупність дозволяє однозначно описати просторово-часові параметри руху тіла. Це означає, що система відліку не лише визначає “адресу” (координати) рухомої точки, а й вказує на те в який момент часу ця “адреса”  зафіксована.

Система відліку – це взаємопов’язана сукупність системи координат та вимірювача часу, яка застосовується для того, щоб кількісно описати механічний рух матеріальної точки (тіла) в цій системі. Система координат – це взаємопов’язана сукупність точки відліку, осей системи координат та вказаного на цих осях масштабу вимірювань, яка застосовується для того щоб кількісно описати положення (розташування, місцезнаходження) матеріальної точки в цій системі. Точка відліку – це така умовно нерухома точка, яка є центром (нулевою точкою) відповідної системи координат.

Задати систему координат означає: 1) вказати точку відліку даної системи; 2) задати просторову орієнтацію осей системи координат; 3) на кожній осі координат вказати масштаб вимірювань.

Мал.19. Системи відліку, це сукупність системи координат та вимірювача часу.

Розташування (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат, однозначно визначається її координатами. При цьому, якщо мова йде про одновимірну (лінійну) систему координат (мал.19а), то в ній місцезнаходження матеріальної точки характеризується однією координатою М(х). В двовимірній (плоскій) системі координат (мал.19б), розташування точки характеризується двома координатами М(х;y), а в тривимірній (об’ємній, мал.19в) – трьома М(х;y;z).

Лінію яку описує матеріальна точка в процесі свого руху в вибраній системі відліку називають траєкторією. В різних системах відліку траєкторія руху однієї і тієї ж матеріальної точки може бути суттєво різною. Наприклад, в системі відліку пов’язаною з землею, траєкторією руху велосипедного штуцера (мал.18) є сукупність послідовних циклоїд. В системі ж відліку пов’язаною з рамою велосипеда, цієї траєкторією буде сукупність співпадаючих кіл. А в системі відліку пов’язаній з колесом велосипеда – нерухома точка.

За формою траєкторії, механічні рухи поділяються на прямолінійні та криволінійні. Прямолінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою пряму лінію. Криволінійним називають такий поступальний рух матеріальної точки, траєкторія якого представляє собою криву лінію. Наприклад рух вертикально падаючого тіла (мал.20б) є прямолінійним, а рух тіла кинутого під кутом до горизонту (мал.20г) – криволінійним. Криволінійним є і рух тіла кинутого вертикально вгору (мал.20в). Його криволінійність полягає в тому, що відповідна траєкторія представляє собою ламану яка складається з двох прямолінійних відрізків.

             Мал.20. За формою траєкторії, поступальні рухи поділяються на прямолінійні (б) та криволінійні (в; г)

Та якою б криволінійною не була траєкторія руху тіла, її завжди можна представити як певну сукупність послідовних прямолінійних відрізків. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності прямолінійного руху матеріальної точки, можна описати будь-який криволінійний рух. Виходячи з цього, вивченню параметрів та закономірностей прямолінійного руху ми будемо приділяти особливу увагу.

Контрольні запитання.

1.Що означає твердження: механічний рух є відносним? Наведіть приклади.

2. Які частини велосипеда підчас рівномірного руху описують прямолінійні, а які криволінійні траєкторії відносно дороги?

3. Що називають системою відліку?

4. Що означає задати систему координат?

5. Чим система відліку відрізняється від системи координат? Яка з цих систем є більш загальною?

6. Що називають траєкторією і чи є траєкторія руху матеріальної точки відносною? Наведіть приклади.

7. Траєкторії руху двох тіл перетинаються. Чи означає це що тіла зіштовхуються? Поясніть.

Вправа №3.

1.Задайте плоску прямокутну систему координат і побудуйте в ній точки з координатами А(20;20); В(-20;40); С(20;0); Д(10;-30); К(0;20); М(-10;-20); N(0;0); Р(30;-25).

2. Задайте лінійну систему координат і побудуйте в ній точки з координатами: А(200); В(-150); С(50);  Д(250);  К(-50);  М(0);  N(100).

3. На основі аналізу малюнку визначити координати точок А;В;С;D.

4. На основі аналізу графіку руху тіла, визначити його координати в момент часу 0с; 2с; 3с; 5с; 8с.

   

до задачі 3                                    до задачі 4

5. Човен пливе перпендикулярно лінії берегів річки. Намалюйте приблизний вигляд траєкторії руху човна відносно: а) берегів річки; б) плоту, що пливе за течією; в) іншого човна, що пливе поруч

6. Пасажир потягу, що рухається з постійною швидкістю, підкидає вертикально вгору яблуко і ловить його. Намалюйте траєкторію руху яблука відносно: а) пасажира який сидить поруч; б) людини, яка стоїть на пероні вокзалу.

 

§9. Просторово-часові параметри поступального руху.

 

До числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час (t), координата (x), пройдений шлях (s) швидкість (v), прискорення (a).

              Час – це фізична величина, яка характеризує тривалість подій (явищ, процесів, рухів, тощо) і яка дорівнює цій тривалості.

Позначається:  t

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [t] = с, (секунда)

Твердження про те, що час немає визначального рівняння по суті означає, що час відноситься до числа тих базових фізичних величин одиниці вимірювання яких за домовленістю прийнято вважати основними. В механіці такими базовими величинами є час (t), довжина (l) і маса (m).

Зважаючи на те, що координати та пройдений шлях, а за одно і переміщення, висота, ширина, товщина, діаметр, радіус, периметр, діагональ, тощо, є різновидностями тієї фізичної величини яка називається довжина, визначимо цю величину.

Довжина – це фізична величина, яка характеризує відстань між двома точками, виміряну вздовж певної лінії і яка дорівнює цій відстані.

Позначається: l

Визначальне рівняння: нема

Одиниця вимірювання: [l] = м, (метр).

Координата – це фізична величина, яка характеризує положення (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат і яка дорівнює відстані від точки відліку цієї системи до проекції даної точки на відповідну вісь координат.

Позначається: х

Визначальне рівняння: х =lх

Одиниця вимірювання: [х] = м, (метр)

Потрібно зауважити, що координата, це не просто число яке визначає положення матеріальної точки в вибраній системі координат. Координата, це відстань від точки відліку заданої системи координат до проекції даної точки на відповідну вісь координат. Наприклад, в зображеній на мал.21а лінійній системі координат, автобус має координату (300), а вантажний автомобіль (-100). Це означає, що відносно точки відліку системи координат, автобус знаходиться на відстані 300м в додатному напрямку, а автомобіль – на відстані 100м у від’ємному напрямку. Або наприклад, в зображеній на мал.20б плоскій системі координат, точка А має координати А(5;3). Це означає, що для потрапляння в точку А потрібно пройти 5м вздовж додатного напрямку осі х, а потім пройти 3м вздовж додатного напрямку осі y

 

Мал.21. Координата точки дорівнює відстані від точки відліку системи координат до даної точки, виміряній вздовж відповідної осі системи координат.

Пройдений шлях – це фізична величина, яка характеризує пройдений матеріальною точкою (тілом) шлях і яка дорівнює довжині тієї траєкторії яку описує ця точка в процесі відповідного руху.

Позначається: s

Визначальне рівняння: s = lтр

Одиниця вимірювання: [s] = м, (метр).

Реалізуючи базовий методологічний принцип науки – від простого до складного, від часткового до загального, та зважаючи на факт того, що будь який криволінійний рух можна представити як певну сукупність прямолінійних рухів, ми перш за все будемо вивчати кінематику прямолінійного руху. А в цій кінематиці, рівняння s = lтр набуває вигляду s = ∆х,  де ∆х = хк– хп.

 Зауваження. В науці загалом і в фізиці зокрема, символом ∆ – дельта (∆х, ∆t, ∆v, ∆m і т.д.) позначають різницю між кінцевим та початковим значенням відповідних величин:

∆х = хк – хп

∆t = tк – tп

∆v = vк – vп

∆m = mк – mп  і т.д.

Ілюструючи можливості та межі застосуванні формули s=∆х, розглянемо декілька простих ситуацій. Припустимо, що в заданій системі відліку точки А і В мають координати А(-300); В(200). Виходячи з цього, визначимо пройдений тілом шлях при його переміщенні: a) з точки А в точку В; б) з точки В в точку А; в) з точки А в точку В, а потім знову в точку А.

·      А                                                                    В                х(м)

—–•———————————|———————-•—————→

·  -300     -200        -100          0         100         200       300

Із аналізу малюнка ясно, що при переміщенні    А → В пройдений тілом шлях становить s1 = 500м, при переміщенні В → А: s2 = 500м, при переміщенні А → В → А: s3 = 500 + 500= 1000м.

Тепер, застосуємо формулу s = ∆х та отримаємо відповідні результати так би мовити теоретичним шляхом:

s1 = ∆x= хк– хп = (200) – (-300) = 500 м

s2 = ∆x= хк– хп = (-300) – (200) = -500 м

s3 = ∆x= хк– хп = (-300) – (-300) = 0 м

Не важко бачити, що останній результат явно суперечить реальному стану речей. Це пояснюється тим, що формула s = ∆x є справедливою лише для прямолінійних ділянок руху. Рух же тіла за маршрутом А→В→А є криволінійним. І тому пройдений тілом шлях потрібно визначати не за формулою s=∆х, а за формулою s = lтр = |s1| + |s2|  + …  + |sN| ,  де  N – кількість тих послідовних прямолінійних відрізків які утворюють відповідну криволінійну траєкторію. Наприклад, в умовах нашої задачі s = |s1| + |s2|  = |500| + |-500| = 1000 м 

Таким чином, застосовуючи визначальне рівняння s=∆х потрібно пам’ятати, що воно є справедливим лише для прямолінійної ділянки руху і лише за умови, що цей рух описується в лінійній системі координат. Втім, в котре наголошуємо, що будь-який криволінійний рух, завжди можна представити як певну сукупність прямолінійних відрізків, кожен з яких можна описати в певній лінійній системі координат.

Потрібно зауважити, що рівняння s=∆х не лише визначає величину пройденого тілом прямолінійного шляху, а й вказує на той напрямок в якому цей шлях пройдено. Наприклад, при переміщенні з точки А в точку В тіло рухається в додатному напрямку і тому s1= +500м. Коли ж тіло переміщується з точки В в точку А, то воно рухається у від’ємному напрямку і тому s2 = -500м.

В механіці наряду з пройденим шляхом, часто застосовують величину яка називається переміщення (позначається s). На відміну від пройденого шляху (s), переміщення (s) є величиною векторною, і таким що дорівнює тому направленому відрізку (вектору), який з’єднує точки початкового та кінцевого положення матеріальної точки. Наприклад від свого будинку до школи ви можете йти різними шляхами (мал.22). При цьому траєкторії вашого руху і пройдені шляхи, будуть різними. Натомість ваше переміщення від будинку до школи завжди буде однаковим, і таким що дорівнює виміряній по прямій відстані від будинку до школи.

Мал.22. При криволінійному русі числові значення пройденого шляху та переміщення є різними (s≠|s|), а при прямолінійному русі – однаковими (s=|s|).

Або якщо наприклад, ви вибігли поганяти з товаришами м’яча і через годину повернулися додому, то траєкторія вашого руху за цю годину буде дуже складною, а пройдений шлях – відповідно великим. При цьому ваше переміщення за вище вказану годину буде нульовим. Якщо ж мова йде про прямолінійний рух (мал.22б), то в цьому випадку пройдений шлях (s) і модуль (числове значення) переміщення (|s|) будуть чисельно рівними (s=|s|). Втім, навіть в цьому випадку не слід забувати, що пройдений шлях – це величина скалярна, тобто така яка характеризується лише числовою величиною, а переміщення – це величина векторна, тобто така що характеризується як величиною так напрямком.

Задача. Літак пролетів уздовж меридіана від полюса до екватора. Визначити модуль переміщення цього літака. Поверхню Землі вважати сферою радіусу R.

Рішення. Перелітаючи від полюса до екватора вздовж лінії меридіана (на малюнку лінія 2), літак фактично пролітає четверту частину від довжини кола радіусу R. А оскільки довжина кола визначається за формулою l=2πR, то пройдений літаком шлях дорівнює: s=2πR/4=2·3,14R/4=1,57R.

Якщо ж говорити про модуль переміщення літака |s|, то він дорівнює довжині того відрізку який зєднує географічний полюс Землі з точкою на екваторі Землі. А оскільки цей відрізок буде гіпотенузою прямокутного трикутника катети якого дорівнюють радіусу Землі, то у відповідності з теоремою Піфагора: |s|2=R2+R2=2R2, звідси |s|=(2R2)1/2=R(2)1/2=1,41R.

Відповідь: s = 1,57R; |s|=1,41R.

Контрольні запитання.

1.Назвіть основні фізичні величини кінематики поступального руху.

2. Дайте визначення термінам довжина, координата та пройдений шлях. Чим схожі та чим відрізняються ці величини?

3. Чому довжина не має визначального рівняння?

4. Що в науці позначають символом Δ (дельта): Δх; Δt; Δm; тощо?

5. В яких випадках пройдений шлях визначають за формулою s=lтр, а в яких s=Δх?

6. Що означає твердження: переміщення – величина векторна?

7. Чи може модуль переміщення бути більшим за відповідний пройдений шлях? Дорівнювати пройденому шляху?

8. Пройдений тілом шлях становить 10км. При цьому його переміщення дорівнює нулю. Що це означає?

Вправа №4.

1.М’яч упав з висоти 4м і відбившись від підлоги був зловлений на висоті 1м. Визначити пройдений м’ячем шлях та його переміщення?

2. Гвинтокрил, пролетівши в горизонтальному польоті по прямій 40км, повернув на 90º і пролетів ще 30км. Визначити шлях і модуль переміщення гвинтокрила.

3. Група туристів пройшла спочатку 400м на північний захід, потім 500м на схід і ще 300м на північ. Визначити графічно модуль переміщення групи.

4. Мотоцикліст, рухаючись ареною цирку, проїжджає коло радіусу 13м за 8с. Визначте шлях і модуль переміщення мотоцикліста: а) за 4с руху; б) за 8с руху.

5. Літак пролетів уздовж меридіана від північного до південного полюса Землі. Визначити модуль переміщення цього літака. Поверхню Землі вважати сферою радіусу R.

6. Дівчина їде на велосипеді прямолінійною дорогою. Яка точка велосипеда (А, Б, В, Г) в зображений на фото момент часу, має найбільшу швидкість відносно дороги.

 

§10. Швидкість поступального руху. Середня швидкість.

 

Важливими характеристиками поступального руху є його швидкість.

Швидкість – це фізична величина, яка характеризує швидкість поступального руху тіла (матеріальної точки), і яка показує на скільки переміщується це тіло в заданій системі відліку, за одиницю часу.

Позначається: v

Визначальне рівняння: vx/Δt, де Δх – переміщення (зміна координати) тіла за час ∆t, за умови, що величина цього часу достатньо мала (наближається до нуля Δt→0)

Одиниця вимірювання: [v] = м/с,  (метр за секунду).

Швидкість – величина векторна, тобто така, що характеризується як певною величиною, так і певним напрямком. Напрям вектора швидкості співпадає з напрямком руху тіла (матеріальної точки) у відповідній точці траєкторії. А це означає, що вектор швидкості завжди направлений по дотичній до траєкторії руху тіла.

  

Мал.23. Напрям вектора швидкості завжди співпадає з напрямком руху тіла в заданій точці траєкторії, тобто направлений по дотичній до цієї траєкторії.

Зазвичай, терміном швидкість позначають швидкість тіла в даний момент часу, тобто його миттєву швидкість. Але окрім миттєвої швидкості, існує багато різновидностей певним чином усереднених швидкостей: середня шляхова швидкість, середня швидкість переміщення, середня арифметична швидкість, середня квадратична швидкість, тощо. В кінематиці поступального руху ми будемо говорити лише про одну різновидність усередненої швидкості – середню шляхову швидкість, яку будемо називати просто: середня швидкість.

          Середня швидкість (середня шляхова швидкість) – це та усереднена швидкість з якою тіло долає певну ділянку шляху і яка дорівнює відношенню пройденого тілом шляху s, до того проміжку часу t, за який цей шлях пройдено.

Позначається: vс

Визначальне рівняння: vс= s/t

Одиниця вимірювання: [vс] = м/с,  метр за секунду.

На відміну від швидкості тіла в даний момент часу (миттєвої швидкості), середня шляхова швидкість є величиною скалярною, тобто такою яка характеризується лише числовим значенням.

Найпростішою різновидністю прямолінійного руху є так званий прямолінійно-рівномірний рух. Тобто такий рух при якому величина і напрям швидкості залишаються незмінними (v=const). Для прямолінійного рівномірного руху визначальне рівняння v =∆x/∆t набуває вигляду v = s/t. А це означає, що для такого руху (v=const) відмінності між середньою та миттєвою швидкостями практично зникають. Відразу ж зауважимо, що зазвичай величина початкового значення часу дорівнює нулю (t0=0) і тому Δt = t-t0 = t. При цьому: v = Δx/Δt = Δx/t = s/t.

В умовах повсякденного життя і практичних задач, швидкість часто виражають в різних одиницях: км/год; км/хв; км/с; м/хв;  І ви повинні вміти від одних одиниць вимірювань переходити до інших і навпаки. Як правило, при розв’язуванні задач, швидкість виміряну в будь яких не основних або позасистемних одиницях потрібно виражати в основних одиницях СІ, тобто в метрах за секунду (м/с). Вирішуючи цю задачу, діють наступним чином. Виходячи з того, що

1км = 1000м;

1дм = 0,1м;

1см = 0,01м;

1мм = 0,001м;

1год = 3600с;

1хв = 60с,

можна записати :

v1= 72км/год=72·1000м/3600с=20м/с

v2= 120м/хв=120м/60с=2м/с;

v3= 60см/хв=60·0,01м/60с=0,01м/с.

Задача 1. Першу половину шляху автомобіль проїхав зі швидкістю 10м/с, а другу – з швидкістю 20м/с. Визначити середню швидкість автомобіля на  всьому шляху.

Загальні зауваження. Дана задача може слугувати класичним прикладом того, як на перший погляд очевидно проста задача, насправді виявляється не такою вже й простою. Дійсно. На перший погляд здається, що в даній задачі середню швидкість автомобіля потрібно визначати за формулою vc=(v1+v2)/2=15м/с. Насправді ж, таке рішення є неправильним. Не правильним, по-перше тому, що в якості розрахункового рівняння, ми абсолютно не обґрунтовано вибрали сумнівну формулу, яка не входить до числа базових формул кінематики і яка лише на перший погляд здається очевидно правильною. В принципі формула vc=(v1+v2)/2 має право на існування. Але це зовсім не означає, що в умовах даної задачі, середню швидкість потрібно визначати саме за цією формулою.

По-друге, навіть якби формула vc=(v1+v2)/2 виявилась правильною і такою що підходить для розв’язування даної задачі, її необґрунтоване застосування в якості розрахункового рівняння, все рівно потрібно було б визнати неправомірним. Адже розрахункове рівняння потрібно не придумувати і не списувати, а теоретично доводити на основі відомих базових формул та аналізу умов конкретної задачі.

Враховуючи вище сказане, розв’яжемо задачу так, як це потрібно, тобто дотримуючись загально прийнятого порядку розв’язування задач.

 

Дано:                СІ                           Рішення:

s1 = s2 = s/2   –                 s1=s/2                      s2=s/2

v1 = 10 м/с    –          |————————|———————-|–→х(м)

v2 =20 м/с    –                  v1=10м/с                v2=20м/с

vc = ?

За визначенням  vc=s/t ,  де s =?  t =?

На перший погляд здається, що в умовах даної задачі, визначити середню швидкість автомобіля за формулою vc=s/t  неможливо. Адже ми не знаємо ані довжини того шляху  s  який проїхав автомобіль, ані того часу  t, за який цей шлях було подолано. Однак, не будимо поспішати з висновками. А уважно проаналізуємо умову задачі і спробуємо виразити невідомі величини (s;t) через відомі (v1; v2).

За умовою задачі:   s = s1 + s2,  де    s1 = s/2;      s2 = s/2

t = t1 + t2,   де      t1 = ?         t2 =?

По суті це означає, що в умовах нашої задачі, величини t1 і t2 потрібно виразити через v та s. А оскільки, для рівномірного руху  v=s/t,  то

v1=s1/t1=s/2t1 ,  звідси   t1=s/2v1;

v2=s2/t2=s/2t2 , звідси   t2=s/2v2.

Враховуючи вище сказане, можна записати :

vc = s/t = s/(t1+t2) = s/(s/2v1+s/2v2) = 2v1v2/(v1+v2);

Таким чином: vc=2v1v2/(v1+v2).

Розрахунки:  vc= 2·10(м/с)20(м/с)/(10м/с+20м/с) =13,3м/с.

Відповідь:   vc=13,3м/с.

Зауваження. Виконуючи теоретичний аналіз задачі, ви повинні не лише записувати голі формули, а й робити відповідні письмові коментарі до них. Звичайно, ці коментарі мають бути максимально стислими, але такими, що чітко відображають логіку ваших міркувань. Наприклад :

Виходячи з того, що ….     та враховуючи, що……     можна записати ….

Або:     Оскільки …   ,    то …

Контрольні запитання.

1.Наведіть приклади того, що швидкість – це відносна величина.

2. Як відображено факт відносності швидкості у визначенні цієї величини?

3. Який напрямок має вектор швидкості?

4. За якої умови Δt = t ?

5. Відстань від Києва до Черкас автомобіль проїхав зі швидкістю 60км/год. Про яку швидкість іде мова? Поясніть.

6. Якщо тіло рухається прямолінійно і рівномірно, то чи відрізняються числові значення його миттєвої і середньої швидкостей?

7. Виразіть в метрах за секунду: 36км/год; 18км/год; 54км/год; 90км/год.

8. Виразіть в кілометрах за годину: 1м/с; 5м/с; 8м/с; 10м/с.

Вправа №5.

1.Яка швидкість більша 6м/с чи 18км/год?

2. Швидкість зайця 15м/с, а швидкість дельфіна 72км/год. Хто з них має більшу швидкість?

3. За 5год 30хв велосипедист подолав шлях 99км. З якою середньою швидкістю рухався велосипедист?

4. Один велосипедист протягом 12с рухався зі швидкістю 6м/с, а другий велосипедист проїхав ту саму ділянку шляху за 9с. Якою була швидкість другого велосипедиста?

5. Швидкість поширення світла у вакуумі 300 000км/с. За який час світло долітає від Сонця до Землі, якщо відстань між нами 150 млн.км?

6. Потяг довжиною 120м рівномірно рухається по мосту зі швидкістю 18км/год За який час він повністю перетне міст, якщо його довжина 240 м.

7. Першу половину шляху тіло рухалось зі швидкістю 15м/с а другу – з швидкістю 10м/с. Визначте середню швидкість тіла на всьому шляху.

 

§11. Загальні відомості про методику розв’язування задач фізики.

 

Знати фізику, визначальним чином означає, знати та розуміти фізичну суть тих термінів (понять, об’єктів, явищ, величин, законів, приладів, тощо) які складають термінологічно-теоретичну основу цієї науки. Однак якщо, навіть найдовершеніші теоретичні знання ви не вмієте застосовувати на практиці, то гріш ціна цим знанням. А в фізиці, вміти застосовувати знання на практиці по суті означає, вміти розв’язувати задачі. І маю вам сказати, що навчитись цьому вмінню, ой як не просто. Можливо, даний параграф стане першим вагомим кроком на цьому тернистому, але захоплююче цікавому шляху.

Відразу ж зауважу, що задачі фізики суттєво відрізняються від тих задач, з якими ви маєте справу, наприклад, в математиці. Скажімо, коли в математиці вам говорять, що рівняння виду ах2+bx+c=0 називається квадратним рівнянням, і що в загальному випадку воно має два рішення:

x1,2 = [- b ± (b2 – 4ac)1/2]/2a, то вчителю достатньо розв’язати два, три подібних рівнянь, щоб в подальшому ви змогли самостійно розв’язувати будь-яку їх кількість.

З задачами фізики ситуація значно складніша. Наприклад, ви розв’язуєте задачі на визначення середньої швидкості, тобто на застосування формули vс=s/t. Не важко бачити, що ця формула надзвичайно проста. У всякому разі, значно простіша за x1,2 = [- b ± (b2 – 4ac)1/2]/2a. Та от парадокс. Ви скільки завгодно можете знати цю формулу і не вміти розв’язувати задачі на визначення середньої швидкості. Навіть після того, як вчитель розв’яже вам п’ять,  десять ба навіть сто подібних задач, нема гарантії того, що задана вам сто перша задача буде розв’язана. І справа не в тому що ви забули формулу vс=s/t. Справа в іншому: в фізиці, головне не формули, а вміння логічно мислити. Ви можете скільки завгодно «зазубрювати» правильні формули і навіть зазубрити їх, але якщо за цими формулами ви не будете бачити реальних об’єктів і подій, то всі ваші зусилля будуть марними – ви не будете знати, розуміти і любити фізику.

Якщо ж ви дійсно хочете навчитися розв’язувати задачі фізики, а по суті навчитися логічно мислити, то маєте усвідомити: це не можливо зробити просто спостерігаючи за тим як розв’язує задачі вчитель. Скажімо, ви хочете навчитися грати в хокей. Для цього ви наймаєте тренера і він пояснює вам всі нюанси цієї гри. Пояснює день, два,…., місяць,….рік. Ви схвально киваєте головою і вам все зрозуміло. Але якщо ви думаєте, що через рік такого навчання, ви станете класним хокеїстом, то неминуче помиляєтесь. Навчитися грати в хокей, просто спостерігаючи за тим як це роблять інші – неможливо. Для того, щоб стати хокеїстом, потрібно взувати ковзани, брати в руки ключку, виходити на лід і …. падати, вставати, знову падати і знову вставати, тобто вчитися грати в хокей. І якщо поруч буде фаховий тренер, то процес навчання буде успішним та ефективним.

Вчитель, це той же тренер. Без його допомоги навчитися розв’язувати задачі надзвичайно важко, але можливо. А от що дійсно неможливо, так це навчитися розв’язувати задачі не розв’язуючи їх самостійно. І якщо на шляху опанування мистецтвом розв’язування задач, вас будуть переслідувати труднощі і помилки, знайте, ще нікому не вдавалось пройти цей шлях без труднощів і помилок. Але якщо ви будете наполегливими і кмітливими, то вас неминуче очікує успіх. І ви не лише будете знати фізику, а й безумовно полюбите цю найвеличнішу і найпрекраснішу з наук.

Різноманіття фізичних задач настільки велике, що практично не можливо сформулювати такі універсальні рекомендації, реалізація яких гарантовано забезпечувала б правильне рішення будь-якої задачі. І тим не менше існує певний загально прийнятий порядок (алгоритм) розв’язку задач, який є тією методологічною основою, на базі якої можна розв’язувати переважну більшість задач фізики. Цей алгоритм наступний.

1.Уважно (бажано декілька разів) прочитати умову задачі і детально розібратися в її (задачі) суті. Не буде перебільшенням сказати, що успішне рішення задачі що найменше на 50% залежить від того, настільки уважно ви прочитали її умову, настільки точно зрозуміли фізичну суть цієї умови, настільки правильно зрозуміли суть поставлених в задачі запитань.

2. Зробити стислий запис умови задачі, зазначивши в ньому всі суттєві моменти цієї умови.

3. Проаналізувати розмірності заданих фізичних величин і при необхідності привести ці розмірності до загальноприйнятої системи одиниць (СІ).

4. Виконати малюнок, який графічно відображає умову задачі і допомагає представити її фізичну суть. Для очевидно простих задач, виконання цього пункту не є обов’язковим. Але в будь-якому випадку, графічне представлення умов конкретної задачі є надзвичайно корисним.

5. Провести теоретичний аналіз задачі. Суть цього аналізу полягає в тому, що на основі відомих базових формул (зазвичай цими базовими формулами є визначальні рівняння фізичних величин та математичні формулювання фізичних законів) та на основі логічного аналізу умов конкретної задачі, отримують відповідне розрахункове рівняння, тобто формулу, в якій з одного боку знаходиться величина, значення якої потрібно визначити, а з іншого – відомі величини. Потрібно підкреслити: Розрахункове рівняння це та формула, яку ви повинні не списати, наприклад з аналогічної задачі, а теоретично вивести на основі аналізу умов даної задачі та відомих базових формул. Звичайно, в дуже простих задачах, розрахункове рівняння може співпадати з базовою формулою. Наприклад.

Дано:                                Рішення:

s = 20 м                               vс=s/t

t = 10 c                              Розрахунки

vc=?                                  vс=20м/10с=2м/с.

Відповідь:  vс=2м/с

Однак, якщо ви будете орієнтуватись на розв’язування лише таких гранично простих задач, то користі від такого навчання буде не багато.

6. Методом аналізу розмірностей, перевірити правильність розрахункового рівняння. Необхідність такої перевірки обумовлена тим, що в процесі теоретичного аналізу, ви можете зробити певні помилки і отримати відповідно неправильне розрахункове рівняння. Наприклад, якщо ваше розрахункове рівняння має вигляд vс=(v1+v2)/v1v2, то це рівняння принципово не правильне. Не правильне тому, що в ньому, розмірність тієї величини яка зліва [vc]=м/с не співпадає з розмірністю тієї величини яка справа [(v1+v2)/v1v2]=с/м. Висновок: формула vc=(v1+v2)/v1v2 принципово неправильна. А це означає, що в процесі виведення цієї формули (розрахункового рівняння) ви припустились певних помилок. Якщо ж ваше розрахункове рівняння має вигляд vc=v1v2/(v1+v2), то таке рівняння принципово правильне, адже [v1v2/(v1+v2)]= м/с =[vc]

Звичайно, метод аналізу розмірностей не дає сто відсоткової гарантії того, що отримане вами розрахункове рівняння є безумовно правильним. Наприклад, цей метод не дозволяє відрізнити формулу vc=v1v2/(v1+v2), від формули vc=2v1v2/(v1+v2). Однак, як правило, практичне застосування методу аналізу розмірностей є надзвичайно ефективним і корисним.

7. Виконати математичні розрахунки, тобто підставити числові значення відомих величин в розрахункове рівняння і, виконавши відповідні розрахунки, отримати числове значення невідомої величини. На практиці, етап перевірки правильності розрахункового рівняння часто поєднують з етапом математичних розрахунків. Для цього в процесі розрахунків виконують відповідні дії не лише над числовими значеннями величин, а й над одиницями їх вимірювання. Але, якщо визначальне рівняння складне, або складається з багатьох різновимірних одиниць, то перевірку правильності цього рівняння доцільно виконувати окремо.

8. Проаналізувати правильність отриманої відповіді. Це означає, що отриману відповідь потрібно проаналізувати на предмет її відповідності очікуваному результату. Справа в тому, що вже на першому етапі розв’язку задачі, тобто на етапі «Уважно прочитати умову задачі», ви повинні мати певне уявлення про очікуваний результат її розв’язку. Наприклад, якщо за умовою задачі на першій ділянці шляху, тіло  рухалось з швидкістю 10м/с, а на другій – зі швидкістю 20м/с, то абсолютно очевидно, що середня швидкість тіла на всьому шляху не може бути меншою за 10м/с, і більшою за 20м/с. Тому якщо в результаті рішення задачі ви отримали vс =8м/с, або vс =23м/с, то ясно, що така відповідь є неправильною. А це означає, що на певному етапі розв’язку задачі ви зробили помилку. До речі, та формула, яку ми аналізували  vс=v1v2/(v1+v2) і яка успішно пройшла перевірку методом аналізу розмірностей, на справді є не правильною. Адже для v1=10м/с;  v2=20м/с, вона дає результат vс=6,67м/с.

Якщо на тому чи іншому етапі розв’язку задачі з’ясується, що отриманий результат є неправильним, то ви повинні ще раз уважно проаналізувати попередні етапи та з’ясувати на якому з них зроблена помилка і виправити її.

9.Записати відповідь.

Таким чином, алгоритм розв’язку задачі коротко можна представити у вигляді наступної послідовності дій:

1.Уважно прочитати умову задачі.

2. Зробити стислий запис цієї умови.

3. Проаналізувати розмірності заданих фізичних величин.

4. Виконати малюнок, який відображає фізичну суть задачі.

5. На основі теоретичного аналізу умови задачі і базових формул, вивести розрахункове рівняння.

6. Перевірити правильність розрахункового рівняння.

7. Виконати розрахунки.

8. Проаналізувати правильність отриманої відповіді.

9. Записати відповідь.

Звичайно, далеко не кожну задачу можна і потрібно розв’язувати строго дотримуючись вище заданого алгоритму. Але в загальних рисах, цей алгоритм є достатньо універсальним та ефективним. І якщо розв’язуючи конкретні задачі ви будете його дотримуватись, то рано чи пізно переконаєтесь в цьому.

Контрольні запитання.

1.Що в фізиці означає вміти застосовувати знання на практиці?

2. Що треба робити, щоб навчитися розв’язувати задачі?

3. З чого починається рішення будь якої задачі?

4. Які формули при проведенні теоретичного аналізу є базовими?

5. Що називають розрахунковим рівнянням?

6. В чому суть методу аналізу розмірностей?

7. В чому полягає аналіз правильності отриманої в результаті розв’язування задачі відповіді?

8. Чи може розрахункове рівняння мати вигляд vс =(v1+v2)/v1v2? Поясніть.

9. Чи може розрахункове рівняння мати вигляд vc=v1v2/(v1+v2)? Чи правильне це рівняння для v1=10м/с; v2=15м/с?

Вправа №6.

1. Турист за 25 хв пройшов 2 км, потім пів години відпочивав, а потім пробіг ще 800 м за 5 хв. Визначити середню швидкість туриста на всьому шляху.

2. Велосипедист проїхав 40 км зі швидкістю 20 км/год, а потім ще 30 км проїхав за 3 год. Яка середня швидкість велосипедиста на всьому шляху?

3. Рухаючись по шосе, велосипедист проїхав 900 м зі швидкістю 10 м/с, а потім грунтовою дорогою 400 м зі швидкістю 5 м/с. З якою середньою швидкістю він проїхав увесь шлях?

4. Мандрівник піднімався на гору зі швидкістю 3 км/год, а потім спускався назад зі швидкістю 6 км/год. Яка середня швидкість мандрівника на всьому шляху?

5. Швидкість потягу на підйомі 30 км/год, а на спуску 90 км/год. Визначити середню швидкість потягу на всьому шляху, якщо спуск в два рази довший за підйом .

 

§12. Загальні відомості про прискорення.

 

          Якщо швидкість тіла так чи інакше змінюється, то говорять що воно рухається з прискоренням. Прискорення – це фізична величина, яка характеризує зміну швидкості за величиною, і яка показує на скільки змінюється ця швидкість за одиницю часу.

Позначається: а

Визначальне рівняння: а=Δv/Δt,

Одиниця вимірювання: [a] = м/с2,  метр за секунду в квадраті.

Потрібно зауважити, що вище наведене визначення по суті є визначенням того прискорення яке характеризує зміну швидкості за величиною. Справа в тому, що швидкість – це величина векторна. А це означає, що вона може змінюватись як за величиною, так і за напрямком. Зважаючи на ці обставини, розрізняють дві різновидності прискорення:

1) Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за величиною і яке визначається за формулою а=∆v/∆t, або а=(vк–v0)/t. Це прискорення, за необхідності, називають тангенціальним прискоренням. Однак зазвичай його називають просто – «прискорення».

2) Прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яке визначається за формулою ад=v2/R. Це прискорення називають доцентровим і про нього ми поговоримо вивчаючи тему «Рух матеріальної точки по колу».

Те прискорення яке характеризує зміну швидкості за величиною і яке ми будемо називати «прискорення», завжди направлено вздовж лінії швидкості руху тіла. При цьому, якщо величина швидкості зростає (v↑), то вектори швидкості та прискорення співнаправлені, а якщо швидкість зменшується (v↓) – то ці напрямки протинаправлені. Наприклад, коли автомобіль рушає з місця (мал.24а), то його швидкість збільшується  (v↑) і тому напрям того прискорення з яким рухається автомобіль, співпадає з напрямком його руху (з напрямком швидкості). Якщо ж автомобіль гальмує (мал.24б), то його швидкість зменшується (v↓) і тому напрям того прискорення з яким рухається автомобіль, протилежний до напрямку його руху (протилежний до напрямку швидкості руху автомобіля).

Мал.24. Якщо швидкість автомобіля збільшується (мал.а), то вектори a і v співнаправлені, а якщо зменшується (мал.б) – то протинаправлені.

Крім цього, потрібно мати на увазі, що коли рухаючись з постійним прискоренням (а=соnst), тіло збільшує свою швидкість, то відповідний рух називають рівноприскореним. При цьому говорять, що тіло має додатне прискорення (а>0). Якщо ж швидкість тіла зменшується, то відповідний рух називають рівносповільненим, а відповідне прискорення – від’ємним (а<0).

Мал.25. При рівноприскореному русі тіло має додатне прискорення (а>0), а при рівносповільненому русі – від’ємне (а<0).

Із визначального рівняння прискорення а=(vк–v0)/t, з усією очевидністю випливає, що при рівноприскореному русі (а=соnst) швидкість тіла можна визначити за формулою vк=v0+at або v=v0+at. Зазвичай формулу v=v0+at називають рівнянням швидкості.

          Таким чином, на практиці швидкість прямолінійного руху тіла визначають за формулами:

1.для v = const: v = s/t;

2. для v ≠ const: v = v0+at.

Можна довести, що при рівноприскореному (рівносповільненому) русі тіла, величина пройденого ним шляху s визначається за формулою s=v0t+(a/2)t2. Дійсно. Виходячи з того, що s=vct, де vc – середня швидкість руху тіла на заданій ділянці s, та враховуючи, що vc=(vk–v0), де vk=v0+at, можна записати s=vct=[(v0+vk)/2]t=[(v0+v0+at)/2]t=[(2v0+at)/2]t=(v0+at/2)t=v0t+(a/2)t2.

Таким чином, якщо тіло маючи початкову швидкість v0 рухається з прискоренням a, то за час t величина пройденого ним шляху становитиме s=v0t+(a/2)t2. І не важко збагнути, що для ситуації коли v0=0, дана формула набуває вигляду s=(a/2)t2.

Потрібно зауважити, що для рівносповільненого руху (v↓), рівняння vk=v0+at, s=v0t+(a/2)t2, набувають вигляду vk=v0–at; s=v0t–(a/2)t2.

Задача 1. Електропоїзд, відходячи від станції, протягом 0,5хв рухається з прискоренням 0,8м/с2. Визначте шлях який він проїхав за цей час, і швидкість наприкінці цього шляху.

Дано:             СІ                      Рішення:

v0 =0 м/с         –            Оскільки при рівноприскореному русі s=v0t+(a/2)t2,

t = 0,5хв       30с           та зважаючи що v0=0, можна записати

a = 0,8м/с2      –             s=(a/2)t2=[(0,8м/с2)/2](30c)2=0,4(м/с2)900с2=360м.

s = ?                             Оскільки при рівноприскореному русі vk=v0+at, то

vk = ?                            vk=0(м/с) + 0,8 (м/с2)30с=24м/с.

Відповідь: s=360м; vk=24м/с.

Задача 2. На під’їзді до станції електропоїзд рухався зі швидкістю 86,4км/год. Гальмуючи він зупинився через 0,5хв. З яким прискоренням рухався електропоїзд та який пройдений ним шлях до зупинки?

Дано:                     СІ                      Рішення:

v0 = 86,4км/год    24м/с         Оскільки за визначенням а=(vk – v0)/t, то

t = 0,5хв                30с             а=(0(м/с) – 24(м/с))/30с=0,8м/с2.

vk = 0м/с                 –               Оскільки при рівносповільненому русі

a = ?                                           s=v0t – (a/2)t2, то

s = ?                                           s=24(м/с)30с – 0,4(м/с2)(30с)2= 720м – 360м=360м.

Відповідь: а = 0,8м/с; s = 360м.

Контрольні запитання.

1.Чому розрізняють дві різновидності прискорення?

2. В якому випадку вектори швидкості і прискорення є співнаправленими, а в якому протинаправленими?

3. Початкова і кінцева швидкості руху тіла відповідно дорівнюють 2м/с і 4м/с. Як рухається це тіло?

4. Початкова і кінцева швидкості руху тіла відповідно дорівнюють 5м/с і 1м/с. Як рухається це тіло?

5. Прискорення тіла дорівнює -2м/с2. Що це означає?

6. Потяг відходить від станції. Як направлене його прискорення?

7. Потяг починає гальмувати. Як направлене його прискорення?

8. Прискорення тіла дорівнює 2м/с2. На скільки зміниться швидкість цього тіла за 1с?

Вправа №7.

1.Через 20 с після початку руху спідометр автомобіля показував 72 км/год. З яким середнім прискоренням рухався автомобіль

2. Яку швидкість матиме тіло через 20с від початку руху, якщо воно рухається з прискоренням 0,2 м/с2?

3. За який час автомобіль, рухаючись з прискореннями 0,2 м/с2 збільшить свою швидкість від 10м/с до 20м/с ?

4. Велосипедист рухається під ухил з прискоренням 0,2м/с2. Яку швидкість матиме велосипедист через 10с, якщо його початкова швидкість 5м/с2?

5. Який шлях проїде тіло за 5с, якщо його початкова швидкість 0м/с, а прискорення 2м/с2?

6. За який час автомобіль, рухаючись зі стану спокою з прискоренням 0,6м/с2, подолає шлях 30м?

7. Автомобіль, зупинившись перед світлофором, набирає потім швидкість 54км/год на шляху 50м. З яким прискоренням рухався автомобіль? Скільки часу тривав його розгін?

 

§13. Рівняння руху – основний закон кінематики.

 

          Нагадаємо, до числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час (t), координата (х=lх), пройдений шлях (s=Δx), швидкість (v=Δx/Δt) та прискорення (а=∆v/∆t). Якщо ж говорити про основний закон кінематики поступального руху, то він називається рівнянням руху. Рівняння руху – це закон, в якому стверджується: в загальному випадку, прямолінійний рух матеріальної точки можна описати рівнянням:

х = х0 + v0t + (а/2)t2

де     х – координата матеріальної точки в момент часу t,

х0  – початкова координата точки, тобто її координата в момент часу t=0

v0 – початкова швидкість матеріальної точки

а – прискорення матеріальної точки.

По суті, рівняння х=х0+v0t+(а/2)t2 випливає із визначальних рівнянь базових фізичних величин кінематики (s=Δx; v=Δx/Δt; a=Δv/Δt). Дійсно, в попередньому параграфі, виходячи з цих рівнянь ми довели, що s=v0t+(a/2)t2. А враховуючи, що за визначенням s=Δx=xk–x0, а отже xk=x0+s, можна записати х=х0+v0t+(а/2)t2.

Потрібно зауважити, що в загальному випадку поступальний рух матеріальної точки може мати неймовірно складну траєкторію. Але якою б складною не була ця траєкторія, її завжди можна розкласти на прямолінійні відрізки. А це означає, що вивчивши параметри та закономірності прямолінійного руху матеріальної точки, можна пояснити будь-який її рух.

Не буде перебільшенням сказати, що знаючи рівняння руху х=х0+v0t+(a/2)t2 та визначальні рівняння базових фізичних величин кінематики (s=Δx, v=Δx/Δt, а=Δv/Δt), можна розв’язати практично будь-яку задачу кінематики. У всякому разі ті задачі, складність яких не виходить за межі програми загальноосвітньої школи.

Втім, в фізиці не достатньо знати формули. В фізиці набагато важливіше бачити за цими формулами реальні події та їх параметри. Наприклад, в математиці рівняння х = 200 –10t + 0,2t2 це просто квадратне рівняння, яке в загальному випадку має два рішення і яке графічно можна представити у вигляді відповідної параболи. В фізиці, все те що вивчалося в математиці ви маєте знати та вміти застосовувати на практиці. Однак цього зовсім не достатньо для того щоб розв’язувати фізичні задачі. Адже в фізиці за кожним рівнянням, за кожною цифрою за кожною буквою та за кожним знаком, ви маєте бачити реальні події та їх характеристики. Скажімо, просто поглянувши на рівняння х = 200 –10t + 0,2t2, та розуміючи що це рівняння руху, тобто рівняння вигляду х=х0+v0t+(а/2)t2, ви відразу ж уявляєте наступну ситуацію. В момент часу t=0, дане тіло знаходиться в точці з координатою 200м і рухається у від’ємному напрямку з швидкістю 10м/с. При цьому величина цієї швидкості зменшується (зменшується тому, що знаки (напрямки) швидкості та прискорення є протилежними), а числове значення прискорення становить 0,4м/с2. (Сподіваюсь, ви розумієте, що з факту а/2=0,2 випливає а=0,4). Іншими словами, із аналізу заданого рівняння руху ясно:

х0= 200м;   v0= -10м/с;   а = 0,4м/с2;   v↓

Таким чином, вже першого погляду на рівняння руху, має бути достатньо для того, щоб дати загальну характеристику цього руху. Наприклад:

x1 = -200 +15t – 0,4t2:    х0 = -200м;  v0 = 15м/с;  а = -0,8м/с2;  v↓

x2 = 100 – 8t – 0,1t2:       х0 = 100м;   v0 = -8м/с;   а = -0,2м/с2;  v↑

x3 = -5t:                           х0 = 0м;       v0 = -5м/с;   а = 0м/с2;  v = const

x4 = 200 – t2:                   х0 = 200м;   v0 = -0м/с;   а = -2м/с2;   v↑

x5 = -100:                        х0 = -100м;  v0 = 0м/с;  а = 0м/с2;  не рухається

Зауважимо. Якщо в поясненнях до рівняння руху не вказані одиниці вимірювання відповідних величин, то потрібно вважати що цими одиницями є основні одиниці міжнародної системи (СІ):  [x]=м;  [v]=м/с;  [a]=м/с2.

Зверніть увагу, ми просто дивимося на рівняння руху і отримуємо з нього достатньо велику кількість інформації. Тепер же уявіть, скільки інформації можна отримати на основі математичного та логічного аналізу цього рівняння. Ілюструючи лише невеличку частину цих інформаційних можливостей, розглянемо конкретну задачу.

Задача 1. За заданим рівнянням руху  х = 100 + 10t – 0,4t2:

1) дати загальну характеристику руху тіла;

2) визначити пройдений тілом шлях за десять секунд;

3) визначити пройдений тілом шлях за десяту секунду;

4) визначити швидкість тіла через 10 та 20 секунд;

5) визначити де і коли тіло зупиниться;

Відповідаючи на кожне з поставлених запитань можна сказати наступне.

1.Дати загальну характеристику руху тіла: х0 =? v0=? а=? малюнок

Із аналізу рівняння х=100+10t –0,4t2 ясно:

х0 =100м; v0 = 10м/с; а = – 0,8м/с2;  v↓.

-|————————————|————————————|-→х(м)

0                                          100                                         200

2. Визначити пройдений тілом шлях за десять секунд: s(10)=?

Оскільки за визначенням s=Δх=хк – хп, та враховуючи що в умовах даної задачі    хк = х(10) = 100 + 10(10)- 0,4(10)2 = 160м,  хп= х0= 100м, можна записати

s(10)= х(10) – х0 = 160 – 100 = 60м.

3. Визначити пройдений тілом шлях за десяту секунду: s(10ту)=?

Сподіваюсь ви розумієте, що в даному випадку потрібно визначити той шлях, який пройде тіло за одну, а саме за десяту секунду. При цьому не важко збагнути, що десятою секундою є та, що між дев’ятою і десятою (за першу секунду: від нульової до першої; за другу секунду: від першої до другої; і т.д.). А оскільки хк=х(10)=160м,   хп=х(9)=100+10(9)–0,4(9)2 =157,6м,

то: s(10ту) = х(10)–х(9) = 160 -157,6=2,4м.

4. Визначити швидкість тіла через 10 та 20 секунд: v(10)=? v(20)=?

Оскільки при рівноприскореному русі v=v0+at, то в умовах нашої задачі (vo=10м/с, а = – 0,8м/с2) рівняння швидкості набуває вигляду v=10-0,8t

Зважаючи на ці обставини можна записати:

v(10)= 10 – 0,8(10) = 2м/с

v(20)= 10 – 0,8(20) = – 6м/с

Знак “-“ вказує на те, що у відповідний момент часу, тіло рухається у від’ємному напрямку. Факт того, що між десятою так двадцятою секундами напрям швидкості змінився на протилежний, безумовно вказує на те, що у відповідному часовому інтервалі напрям руху тіла змінився на протилежний.

5. Визначити, де і коли тіло зупиниться: хзуп =? tзуп=?

Оскільки в момент зупинки швидкість тіла дорівнює нулю (v=0), то можна записати: якщо t=tзуп, то  v = 10 – 0,8tзуп = 0, звідси   tзуп = 10/0,8=12,5c

А це означає, що  хзуп =х(12,5)= 100+10(12,5) – 0,4(12,5)2  = 162,5м

Потрібно зауважити, що в умовах переважної більшості задач, кінематична ситуація задається не певними рівняннями руху, а описується відповідними словами. Тому ви повинні не лише вміти за заданими рівняннями руху уявляти відповідну ситуацію, а й навпаки – за заданою ситуацією записувати відповідні рівняння руху. А це вміння формується в процесі розв’язування конкретних задач.

Задача 2. Із пункту А в пункт В відстань між якими 1км, виїхав автомобіль зі швидкістю 25м/с. Одночасно на зустріч йому із пункту В виїхав другий автомобіль зі швидкістю 15м/с. Де і коли ці автомобілі зустрінуться?

          Зауваження. Якщо в умові задачі фізичний зміст того чи іншого параметру чітко не визначений то завжди обирають таке значення цього параметру яке є найпростішим та дозволяє розв’язати дану задачу. Наприклад, в умові даної задачі чітко не сказано якою (прямолінійною чи криволінійною) є та дорога що з’єднує пункти А і В. В подібних ситуаціях завжди обирають найбільш простий варіант. А цим варіантом є прямолінійна дорога. Крім цього, в умові даної задачі не визначена початкова координата жодного з автомобілів. Тому будемо вважати, що в початковий момент часу один з автомобілів знаходиться в нульовій точці нашої системи координат.

Дано :             СІ                          Рішення:

v1 = 25м/с         –                        v1                                                   v2

v2 = 15м/с          –           –|——————————-|———————————|-→ x

l = 1км         1000м         0                                   500                                   1000

t = ?

х = ?           Представивши рух автомобілів у відповідній системі координат запишемо рівняння руху кожного з них: х1 = 25t;  х2 = 1000 – 15t;

Оскільки в момент зустрічі автомобілів  х1 = х2,  то

25t = 1000 – 15t,   звідси  25t + 15t = 1000,  звідси    t =25 с

Для    t = 25с;   х1(25)= 25(25)=625 м;     х2 (25) = 1000-15(25) = 625 м

Відповідь: автомобілі зустрінуться через 25  секунд в точці з координатою 625м, тобто на відстані 625м від пункту А.

Звичайно, дану задачу можна розв’язати й по-іншому, наприклад так. Оскільки автомобілі їдуть назустріч один одному з швидкостями v1 і v2 то швидкість їх взаємного наближення становить v=v1+v2. Оскільки до моменту зустрічі автомобілі мають проїхати шлях s = 1000 м, та зважаючи на те, що при рівномірному русі s=vt, можна записати: t=s/v=s/(v1+v2)=25с. Таким чином автомобілі зустрінуться через 25 секунд. При цьому за ці 25с перший автомобіль проїде відстань s1=v1∙t=625м. А це означає, що автомобілі зустрінуться через 25с в точці віддаленій від пункту А на 625м.

Вище наведене рішення є правильним і має право на існування. Однак подібний розв’язок має ряд суттєвих недоліків. По-перше, його практично не можливо зробити органічною частиною більш-менш універсальної системи розв’язку задач. По-друге. Такий спосіб дозволяє розв’язувати лише очевидно прості задачі. Тому, якщо ви хочете кваліфіковано та системно розв’язувати задачі кінематики то повинні максимально широко застосовувати рівняння руху.

Задача 3. На основі аналізу малюнку, записати відповідні рівняння руху.

Рішення. Аналізуючи представлену на малюнку ситуацію, записуємо рівняння руху мотоцикліста та велосипедиста:

мотоцикліст: х = -300 + 28t – 0,5t2;

велосипедист: х = 600 – 2t – 0,25t2.

Контрольні запитання.

1.Чи можна стверджувати, що рівняння х=х0+v0t+(a/2)t2 описує не лише рівноприскорений (а =const), а й рівномірний рух (v=const; а=0) ?

2. Якого вигляду набуває рівняння руху для рівномірного руху?

3. Якого вигляду набуває рівняння руху в ситуації коли х0=0; v0=0 ?

4. Виходячи з того що s = Δх = х – х0, запишіть рівняння пройденого шляху.

5. Якого вигляду набуває рівняння пройденого шляху за умови v0= 0м/с?

6. За рівнянням руху дати загальну характеристику відповідного руху:

х= 100 + 10t + 0,5t2

х= – 100 + 5t – 0,2t2

х= – 10t – 0,3t2

х= 150 – 0,25t2

х= t2

Вправа №8.

1.За заданим рівнянням руху х = 100 – 15t + 0,5t2:

1) дати загальну характеристику руху тіла;

2) визначити координати тіла через 10;

3) визначити швидкість тіла через 10;

4) визначити де і коли тіло зупиниться;

5) визначити пройдений тілом шлях за десять секунд, за десяту секунду.

2. Який шлях проїде тіло за 5с, якщо його прискорення 2м/с2?

3. За який час автомобіль, рухаючись з прискоренням 0,6 м/с2 проїде шлях 30м? Початкова швидкість автомобіля 0м/с .

4. В заданій системі відліку рівняння руху тіл мають вигляд х1 =15t, х2= 200 +10t. Де і коли зустрінуться ці тіла?

5. На основі аналізу малюнку, записати відповідні рівняння руху.

6. На основі аналізу малюнку, записати відповідні рівняння руху.

 

§14. Розв’язування задач. Тема: Практичне застосування рівняння руху.

 

Загальні зауваження. Дуже часто сучасні вітчизняні підручники з фізики просто лякають величезним різноманіттям наявних формул. І всі ці формули представляються як важливі та надважливі. І вже точно такі, кожну з яких потрібно знати та вміти застосовувати на практиці. Зважаючи на ці обставини вкотре наголошую – фізика, це не формули, а вміння логічно мислити. А що стосується формул, то в фізиці (справжній фізиці) їх не так вже й багато. Скажімо в кінематиці поступального руху, ви маєте знати визначальні рівняння п’яти базових величин (t, x, s, v, a) та основний закон цієї кінематики х=х0+v0t+(а/2)t2 – рівняння руху.

Звичайно, говорячи про визначальні рівняння фізичних величин, маю на увазі і ті похідні формули які характеризують відповідну величину в тій чи іншій ситуації. Наприклад:

пройдений шлях  s=lтр              а) прямолінійний рух          s=Δx

б) криволінійний рух          s=|s1|+|s2|+…+|sn|

швидкість           vx/Δt          а) середня швидкість           vc=s/t

б) рівномірний рух               v=s/t

в) рівноприскорений рух      v=v0+at.

Подібне можна сказати і про рівняння руху (х=х0+v0t+(а/2)t2), яке в різних ситуаціях може набувати різного вигляду, зокрема:

якщо  х0=0              то     х =v0t+(а/2)t2

якщо  а=0                то     x=x0+v0t

якщо  v0=0               то     x=x0+(a/2)t2

якщо  х0=0 і v0=0    то     х =(а/2)t2

якщо  s=∆x              то     s=v0t+(a/2)t2

якщо  a=0                то     s=v0t

якщо  v0=0               то    s=(a/2)t2          і т.д.

Ясно, що зазубрювати ці та їм подібні формули нема жодної потреби. Рівно як і нема підстав вважати ці формули самостійними базовими законами кінематики. Адже всі ці та їм подібні формули, є прямими та очевидними наслідками рівняння руху.

Втім, є одна формула, яка не є визначальним рівнянням певної фізичної величини і яку варто запам’ятати. В цій формулі стверджується: якщо тіло рухаючись з постійним прискоренням а, змінює свою швидкість від vп до vк, то величину пройденого ним шляху s можна визначити за формулою

s=(vk2–vп2)/2а. Можна довести, що формула s=(vk2–vп2)/2а є похідною від рівняння руху. Однак це доведення відносно складне. І тому просто запам’ятайте  s=(vk2–vп2)/2а.

          Задача 1.  Куля, що летить зі швидкістю 400 м/с потрапляючи в земляний вал проникає в нього на глибину 40 см. З яким прискоренням рухалась куля в земляному валу?

 

Дано:                СІ                      Рішення:

v0 = 400 м/с       –

vк = 0 м/с            –                      малюнок

s = 40 см       0,4 м

a= ?

Будемо виходити з того, що рух кулі в земляному валу є рівноприскореним, тобто таким для якого а=const. Оскільки для рівноприскореного руху s=(vk2-v02)/2a,  та  зважаючи на те, що  vк = 0 м/с, можна записати:    s = – v02/2a,   звідси     a = – v02/2s

Розрахунки:   a = -(400м/с)2/2∙0,4м= – 200 000м/с2

де знак “-“ вказує на те що рух кулі є рівносповільненим.

Відповідь:  a = -200 000м/с2.

          Задача 2. Велосипедист що рухається зі швидкістю 3м/с почав спускатися з гори з прискоренням 0,8м/с2. Визначити довжину гори, якщо спуск тривав 6с.

Дано:                                              Рішення:

v0 = 3м/с

a = 0,8м/с2

t = 6с                                              Малюнок

l = ?

Зважаючи на те, що довжина гори l фактично дорівнює тому шляху s який проїде велосипедист в процесі спуску, запишемо рівняння цього пройденого шляху, та визначимо цей шлях для t = 6c.

l = s = v0t + (a/2)t2 = 3t +(0,8/2)t2 = 3t + 0,4t2.

Для t = 6c, l = 3∙(6) + 0,4∙(6)2 = 18 + 14,4 = 32,4м.

Відповідь: ℓ = 32,4м.

Задача 3. Використовуючи дані малюнка, визначте через який час і в якій точці зустрінуться автомобілі?

·                ⇒ v1=20м/с                                                           v2=36км/год  ⇐

· |     |          |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     ●     |  х(м)

-100                           -50                          0                          50

Дано:                СІ                         Рішення:

х01 = -80м                    На основі аналізу заданого малюнку, запишемо

х02 = 70м                     рівняння руху даних тіл:

v1 = 20м/с                    х1 = -80 +20t;

v2 = 36км/год 10м/с    x2 = 70 – 10t.

tзустр = ?                        Оскільки в момент зустрічі х1 = х2, то

xзустр = ?                        -80 + 20t = 70 – 10t. Звідси 20t + 10t = 70 + 80, або

30t = 150, а отже  t = tзустр= 150/30 = 5с.

При цьому хзустр= х(5)= -80 + 20∙(5) = 20м.

Відповідь:  tзустр= 5с; хзустр= 20м.

Звичайно, рішення далеко не кожної задачі кінематики передбачає застосування рівняння руху. Наприклад.

Задача 4. Потяг їде зі швидкістю 20м/с, а назустріч йому по сусідній колії рухається другий потяг зі швидкістю 54км/год. Скільки часу потяги будуть проїжджати один повз одного, якщо довжина першого потягу 800м, а другого – 600м ?

Дано:                 СІ                           Рішення:

v1 = 20м/с            –                                            v2

v2 = 54км/год   15м/с                                                              v1

l1 = 800м              –         Із аналізу ситуації випливає, що початок відліку

l2 = 600м              –        того часу протягом якого потяги проїжджають один

t = ?                                повз одного, має співпадати з моментом зустрічі

передніх точок «голів» потягів, а кінець цього відліку

має співпадати з моментом зустрічі крайніх точок «хвостів» цих потягів. А це означає, що потяги будуть в «контакті» на відрізку l = l1 + l2 = 800м + 600м = 1400м. А оскільки швидкість руху потягів один відносно одного становить v = v1 + v2 = 20м/с + 15м/с = 35м/с, то можна стверджувати, що той час протягом якого потяги будуть проїжджати один повз одного, становить

t = l/v = 1400(м)/35(м/с) = 40с.

Відповідь: t = 40c.

Вправа №9.

1.Який шлях подолає тіло за 10с, рухаючись з прискорення 2м/с2? Початкова швидкість тіла дорівнює нулю

2. За який час автомобіль, рухаючись зі стану спокою з прискоренням 0,6м/с2, подолає шлях 30м.

3. За який час тіло долетить до землі з висоти сьомого поверху (20м),якщо відомо, що прискорення його вільного падіння 10м/с2?

4. З яким прискоренням рухався автомобіль під час аварійного гальмування, якщо його швидкість перед гальмуванням становила 72км/год, а гальмівний шлях дорівнює 20м? Скільки часу пройшло до його зупинки?

5. З пунктів А і Б відстань між якими 2км, одночасно та в одному і тому ж напрямку вирушили мотоцикліст і велосипедист, з швидкостями відповідно 20м/с і 8м/с. На якій відстані від пункту Б мотоцикліст наздожене велосипедиста?

6. Автомобіль рухаючись рівномірно проїхав за 5с шлях 25м. Після цього він, рухаючись рівноприскорено проїхав 150м за 10с. З яким прискоренням рухався автомобіль на другій ділянці?

 

§15. Про графічний метод розв’язування задач кінематики.

 

В фізиці існує два базових методи розв’язування задач: алгебраїчний (аналітичний) та графічний (геометричний). До сих пір, задачі кінематики ми розв’язували алгебраїчним методом. Суть цього методу полягає в тому, що виходячи з умов конкретної задачі та відомих базових формул, шляхом логічних міркувань (аналізу) та відповідних математичних перетворень, отримують алгебраїчне рішення задачі, тобто те розрахункове рівняння яке і дозволяє визначити невідому величину. Наприклад.

          Задача.1. За заданими рівняннями руху х1=140 – 14t; х2= 4t, визначити де і коли тіла зустрінуться.

Рішення. Оскільки в момент зустрічі х12, то можна записати 140 – 14t = 4t. Звідси 18t =140, звідси t=140/18=7,78с=tзустр. А це означає, що хзустр= х2(7,78)=4∙7,78=31,1м.

Відповідь: тіла зустрінуться через 7,78с в точці з координатою31,1м.

Алгебраїчний метод є основним методом розв’язування задач фізики. Однак, фізика влаштована таким чином, що в ній одну і ту ж задачу можна розв’язати по різному, скажімо не шляхом математичного аналізу, а шляхом відповідних геометричних побудов. При цьому, геометричне (графічне) рішення задачі часто є більш простим та ефективним за відповідне алгебраїчне рішення.

Суть графічного (геометричного) методу розв’язування задач полягає в тому, що на основі максимально точних геометричних побудов, з дотриманням вибраного масштабу та з застосуванням відповідних геометричних приладів (лінійка, транспортир, циркуль, тощо), отримують графічну відповідь на поставлене в задачі запитання. Головною перевагою графічного методу є його візуальна наочність. А основним недоліком – факт того, що точність графічного рішення залежить від точності геометричних побудов. Крім цього, графічне рішення задачі може бути ефективним лише в тому випадку, коли досліджувані величини описуються лінійними функціями, тобто можуть бути представленими у вигляді певних прямих.

Ілюструючи можливості, переваги та недоліки графічного методу розв’язування задач кінематики, розглянемо декілька конкретних прикладів.

Задача 2. За рівняннями руху х1 =140 – 14t; х2 = 4t побудувати відповідні графіки та виконати їх кінематичний аналіз.

Загальні зауваження. З курсу математики відомо, що рівняння виду

y=ax+b, це лінійне рівняння, графіком якого є пряма. Для побудови цієї прямої достатньо знати координати двох її довільних точок. Обираючи ці точки керуються наступними правилами: 1) вибрані точки мають бути зручними для математичних розрахунків та геометричних побудов; 2) вибрані точки мають бути максимально віддаленими одна від одної (це забезпечує максимальну точність геометричних побудов).

Дано:                            Рішення:

х1 = 140 – 14t                     На основі аналізу заданих рівнянь руху визначаємо

х2 = 4t                                 координати базових точок:

побудувати                       х1=140 – 14t:  якщо t = 0с   то  х = 140м,   А1(0; 140)

графіки x=ƒ(t)                                            якщо t = 10с  то  х = 0м,     А2(10; 0).

·                                            х2= 4t:             якщо t = 0с   то   х = 0м,  В1(0; 0)

·                                                                     якщо t = 10с  то  х = 40м,   В2(10; 40).

Задаємо систему координат і виконуємо необхідні геометричні побудови.

Побудувавши графіки заданих рухів та аналізуючи ці графіки, можна відповісти на безліч кінематичних запитань. Наприклад, можна встановити координати рухомих тіл (матеріальних точок) в будь який момент часу. Скажімо, в момент часу t= 5с: х1≈50м;  х2≈ -20м. Для будь якого моменту часу, визначити відстань між рухомими об’єктами. Наприклад: для t=10с, ℓ=40м; для t=5с, ℓ≈50м. Визначити час та місце зустрічі тіл: зустрінуться приблизно через 7,8с в точці з координатою приблизно 30м. Визначити швидкість тіла (v=∆x/∆t), його прискорення (a=∆v/∆t), напрям руху, тощо. Іншими словами, геометричний аналіз графіків руху, дозволяє відповісти на той же спектр запитань що і математичний аналіз відповідних рівнянь руху.

Зазвичай, графічний метод розв’язування задач є ефективним лише в тих випадках, коли досліджувана величина (координата, пройдений шлях, швидкість, тощо) змінюється лінійним чином. Адже якщо, наприклад, рух матеріальної точки описується рівнянням х = 100 – 10t + 0,2t2, то графіком цього руху буде відповідна парабола, тобто певна крива. А як відомо, для побудови такої кривої потрібно визначити координати максимально великої кількості точок. В такій ситуації графічний метод розв’язування задач стає занадто громіздким, занадто не точним та занадто не ефективним.

Задача 3. За заданим графіком пройденого шляху (дивись мал.), визначити швидкість руху тіла.

Рішення. Оскільки при рівномірному (v=const) русі тіла (а саме графіки такого руху приставлені на малюнку) v=s/t, то на основі кількісного аналізу заданих графіків, можна записати:

vA= 10км/2год = 5км/год;

vB= 30км/2год = 15км/год.

Зверніть увагу на факт того, що кут нахилу тієї прямої яка описує прямолінійний рух, зжить від швидкості руху тіла: чим більша швидкість, тим більший кут нахилу (відносно осі часу).

Задача 4. За заданими графіками руху матеріальної точки, записати відповідні рівняння руху.

Оскільки задані графіки руху представляють собою певні прямі, то можна стверджувати, що відповідні рухи є такими що відбуваються з постійною швидкістю, тобто такими які описуються формулою x=x0+vt . При цьому, із кількісного аналізу заданих графіків можна записати:

1) x0=10м; v=∆x/∆t=(0-10)/(4-0)= -2,5м/c;  тому x1= 10 – 2,5t;

2) x0=0м; v=∆x/∆t=(10-0)/(4-0)= 2,5м/c;  тому x1= 0 + 2,5t;

3) x0=5м; v=∆x/∆t=(0-5)/(1-0)= -5м/c;  тому x1= 5 – 5t;

4) x0=-10м; v=∆x/∆t=(0-(-10))/(2-0)= 5м/c;  тому x1= -10 + 5t;

Не важко збагнути, що визначаючи швидкість руху матеріальної точки v=∆x/∆t, значення величин ∆x, ∆t  вибирають виходячи з міркувань практичної доцільності.

Вправа №10.

1.За заданими графіками руху, описати поведінку відповідно зайця і птаха.

  

2. За заданими графіками руху тіл Ⅰ і Ⅱ визначити час та місце зустрічі цих тіл. Задачу розв’язати графічним та алгебраїчним методом.

3. За заданими графіками визначити швидкості руху відповідних тіл.

4. За заданим графіком записати рівняння швидкості відповідного тіла.

  

до задачі 3                                                 до задачі 4

5. Рух тіл вздовж осі ох задано рівняннями х1=100 – 5t; х2= -50 + 5t. Визначити час та місце їх зустрічі. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.

6. З пунктів А і В, відстань між якими 200м одночасно і в одному напрямку почали рухатись два тіла з швидкостями 20м/с і 10м/с відповідно. Де і коли зустрінуться ці тіла? Задачу розв’язати алгебраїчно та графічно.

 

§16. Розв’язування задач. Тема: Графічний метод розв’язування задач кінематики.

 

Задача 1. За заданим графіком руху, визначити швидкість руху тіла на кожній ділянці. Побудувати графік швидкості руху тіла.

Рішення. Оскільки на кожній ділянці графік руху представляє певну пряму, то відповідні рухи є рівномірними (v=const). А це означає, що швидкість такого руху визначається за формулою v=Δl/Δt. Тому, на основі кількісного аналізу графіку можна записати

v1=Δl1/Δt1=50м/5с=10м/с;

v2=Δl2/Δt2=25м/5с=5м/с.

Отримані результати представляємо у вигляді відповідного графіка швидкості.

Зауваження. Аналіз графіку швидкості руху тіла дозволяє графічним способом визначати величину пройденого шляху як на певній ділянці руху так і на будь якій сукупності цих ділянок. А величина цього шляху дорівнює площі тієї фігури, яка з одного боку обмежена графіком швидкості та віссю 0-t, а з іншого – тими вертикальними лініями, які відповідають тому проміжку часу в межах якого визначається пройдений шлях. Наприклад в умовах нашої задачі s = (10м/с∙5c) + (5м/с∙5c) = 50м +25м = 75м.

Задача 2. За заданими графіками швидкостей матеріальних точок, записати відповідні рівняння швидкостей та рівняння пройденого шляху.

На основі кількісного аналізу заданих графіків можна записати:

1) v0=2м/c; a=∆v/∆t=(5-2)/(2-0)= 1,5м/c, тому  v=2+1,5t;  s=2t+0,75t2;

2) v0= -3м/c; a=∆v/∆t=(0-(-3))/(3-0)= 1м/c, тому  v=-3+1t;  s=-3t+0,5t2;

3) v0= 1м/c; a=∆v/∆t=(1-1)/(2-0)= 0м/c, тому  v=1м/с=const;  s=1t;

4) v0= 5м/c; a=∆v/∆t=(0-5)/(2,5-0)= -2м/c, тому  v=5- t;  s=2t – t2.

Задача 3. За заданим графіком швидкості, описати рух тіла на кожній ділянці шляху. Визначити пройдений тілом шлях на кожній ділянці. Побудувати відповідний графік прискорення.

Оскільки задані рівняння швидкостей представляють собою певні прямі, то можна стверджувати, що відповідні рухи є рівноприскореними (а=соnst), тобто такими, які описуються формулами:

v = v0 + at – рівняння швидкості;

s = v0t + at2/2 – рівняння пройденого шляху;

для криволінійного руху: s = |s1| + |s2| + …

Кількісно аналізуючи графік швидкості на кожній ділянці, можна сказати наступне:

1.Ділянка №1: ∆t=20c; v=20м/c=const; a=0; s=vΔt=20(м/с)∙20с=400м

2. Ділянка №2: ∆t=20c; v≠const; v↑; v0=20м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с2;

s = v0Δt + aΔt2/2 = 20(м/с)∙20с + 0,5(м/с2)∙(20с)2 = 600м.

3. Ділянка №3: ∆t=20c; v≠const; v↓; v0=40м/c; a=∆v/∆t=(-40м/с)/20с= -2м/с2;

s = v0Δt + aΔt2/2 = 40∙20 – 1∙202 = 400м.

4. Ділянка №4: ∆t=20c; v≠const; v↑; v0=0м/c; a=∆v/∆t=(20м/с)/20с=1м/с2;

s = v0Δt + aΔt2/2 = 0∙20 + 0,5∙202 = 200м.

Для кожної ділянки графіку швидкості будуємо відповідний графік прискорень.

1  a(м/с2)

 

 

Вправа №11.

1.За заданим графіком руху, визначити швидкість руху тіла на кожній ділянці. Побудувати графік швидкості руху тіла.

2. За заданими графіками руху матеріальної точки, дайте загальну характеристику її руху та запишіть відповідне рівняння руху.

   

3. За заданими графіками швидкості, записати відповідні рівняння швидкості та пройденого шляху. Визначити пройдені тілами шляхи на кожній ділянці руху.

4. Рух тіл вздовж осі ох задано рівняннями х1=5t, х2=150 -10t. Визначити час та місце їх зустрічі. Задачу розв’язати алгебраїчно і графічно.

5. З пунктів А і В, відстань між якими 160м одночасно і в одному напрямку почали рухатись два тіла з швидкостями 10м/с і 6м/с відповідно. Де і коли зустрінуться ці тіла? Задачу розв’язати алгебраїчно та графічно.

 

§17. Рух матеріальної точки по колу. Доцентрове прискорення.

 

          Поділ механічних рухів на поступальні та обертальні, значною мірою умовний. Наприклад кабіна “оглядового колеса” (мал.26а), з одного боку, рухається поступально (в процесі руху будь яка приналежна кабіні пряма залишається паралельною сама собі), а з іншого – обертально (в процесі руху, всі точки кабіни описують практично концентричні кола). Загалом, рух будь якої матеріальної точки по колу, з одного боку можна вважати обертальним, а з іншого – поступальним.

  

Мал.26. Рух кабіни “оглядового колеса” (а) та рух матеріальної точки по колу (б), одночасно є як поступальним так і обертальним.

Характерною особливістю руху матеріальної точки по колу є те, що в незалежності від швидкості руху, ця точка завжди рухається з певним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком. Дійсно, припустимо що матеріальна точка з певною незмінною за величиною (модулем) швидкістю (|v1| = |v2| = … = const), рухається по колу радіусу R (мал.27а). Не важко бачити, що в процесі такого руху, напрям швидкості постійно змінюється(v1v2 ≠… ≠ const). А це означає, що відповідна точка рухається з певним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком. Це прискорення називають доцентровим (позн. ад). Така назва обумовлена фактом того, що в будь якій точці траєкторії, доцентрове прискорення направлено до центру того кола яке описує відповідна точка (мал.27б).

             

v1 = v2  = const

v1v2  ≠ const

Мал.27. В процесі руху тіла по колу, напрям його швидкості постійно змінюється і тому воно рухається з відповідним прискоренням.

Виходячи з визначального рівняння прискорення (а=∆v/∆t), можна довести, що величина доцентрового прискорення визначається за формулою ад =v2/R, де v – швидкість тіла в даній точці траєкторії; R – радіус кривизни цієї траєкторії.

Доцентрове прискорення – це таке прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком і яка дорівнює відношенню квадрату швидкості руху тіла (матеріальної точки) до радіусу кривизни його траєкторії у відповідній точці.

Позначається: ад

Визначальне рівняння: ад=v2/R

Одиниця вимірювання: [ад]= м/с2,  метр за секунду в квадраті.

Таким чином, якщо тіло рухається по колу, то в незалежності від того змінюється модуль його швидкості, чи не змінюється, це тіло має певне доцентрове прискорення, величина якого визначається за формулою  ад=v2/R, і яке завжди направлено до центру відповідного кола.

Не важко збагнути, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення неминуче дорівнює нулю. І це природньо. Адже на таких ділянках, напрям швидкості залишається незмінним і тому прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямком має бути нулевим. Те, що на прямолінійних ділянках траєкторії доцентрове прискорення дорівнює нулю, випливає не лише з визначення цього прискорення, а й з його визначального рівняння. Дійсно. Будь-яку прямолінійну ділянку траєкторії, можна вважати частиною кола з безкінечно великим радіусом (R = ∞) А це означає, що для таких ділянок aд=v2/R=v2/∞= 0.

Якщо в процесі руху по колу, модуль швидкості матеріальної точки залишається незмінним, то відповідний рух називають рівномірним рухом матеріальної точки по колу. Такий рух характеризується не лише певною швидкістю (v) та певним доцентровим прискоренням (ад), а й певною повторюваністю (періодичністю). Цю повторюваність характеризують двома величинами: періодом обертання (Т) та частотою обертання (ν).

Період обертання (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) обертального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює один повний оберт.

Позначається: Т

Визначальне рівняння: Т = t/n, де n – кількість обертів системи здійснених за час t;

Одиниця вимірювання: [Т] = с,  секунда.

Наприклад, якщо матеріальна точка в процесі рівномірного руху по колу за 5с здійснила 10 обертів, то період її обертання 0,5с:  Т= t/n = 5с/10= 0,5с.

Частота обертання (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність обертального процесу і яка дорівнює тій кількості обертів системи, яку здійснює ця система за одиницю часу.

Позначається: ν (ню)

Визначальне рівняння: ν = n/t

Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц,  герц.

Наприклад, якщо матеріальна точка в процесі рівномірного руху по колу за 5с здійснила 10 обертів, то період її обертання 2Гц:  ν=n/t=10/5c=0,5(1/с)=0,5Гц.

Із визначальних рівнянь періоду і частоти (T=t/n; ν=n/t) з усією очевидністю випливає, що ці фізичні величини взаємопов’язані, і що цю взаємопов’язаність відображають співвідношення: T=1/ν; ν=1/T. Тому якщо, наприклад, за умовою задачі задано період обертання системи Т=4с, то ви завжди можете визначити частоту цього обертання ν=1/Т=1/4с=0,25Гц, і навпаки.

Можна довести, що між періодом обертання Т, радіусом кола R та тією лінійною швидкістю v з якою матеріальна точка рухається по колу, існує співвідношення v=2πR/T. Дійсно. Оскільки за визначенням v=s/t, та враховуючи, що за один повний оберт (n=1) матеріальна точка рухаючись по колу проходить шлях s=2πR, і що при цьому T=t/n=t, можна записати v=s/t=2πR/T.

Задача. За 10с колесо автомобіля зовнішній радіус якого 25см, здійснює 100 обертів. Визначте період та частоту обертання колеса, доцентрове прискорення його крайніх точок, швидкість руху автомобіля.

Дано:                                  Рішення:

t = 10с                      Оскільки за визначенням T=t/n; ν=n/t, то

n = 100                     Т=10с/100=0,1с;  ν=100/10с=10Гц.

R = 0,25м                 За визначенням ад=v2/R, де v – швидкість зовнішніх

T=?; ν=?                   точок колеса радіусу R. А оскільки ці точки за час Т

aд = ?                         (за один оберт) проходять відстань s=2πR, то

vавт=?                         v=s/t=2πR/T=2·3,14·0,25м/0,1с=15,7м/c.

Таким чином ад=v2/R=(15,7м/с)2/0,25м=986м/с2.

Оскільки vавт=s/t, та зважаючи, що за один оберт колеса (за t=Т), автомобіль переміщується на s=2πR, можна записати

vавт =s/t=2πR/T=2·3,14·0,25м/0,1с=15,7м/c.

Відповідь: Т=0,1с; ν=10Гц; ад=986м/с2; vавт=15,7м/с.

Контрольні запитання.

1.Чи є рух кабіни оглядового колеса (мал.24) поступальним? Чому?

2. Чи є рух кабіни оглядового колеса (мал.24) обертальним? Чому?

3. Чому матеріальна точка, яка з постійною за модулем швидкістю рухається по колу, рухається з прискоренням? Як називається це прискорення? Чому воно має таку назву?

4. Що характеризує доцентрове прискорення?

5. Доведіть, що на прямолінійних ділянках траєкторії, доцентрове прискорення завжди дорівнює нулю.

6. Які величини характеризують повторюваність обертального руху? Як пов’язані ці величини?

7. Доведіть, що між періодом обертання Т, радіусом кола R та тією лінійною швидкістю v з якою матеріальна точка рухається по колу, існує співвідношення ν=2πR/T.

Вправа №12.

1.Автомобіль рухається по заокругленню дороги радіусом 100м зі швидкістю 36км/год. Чому дорівнює доцентрове прискорення автомобіля?

2. Якого радіусу має бути заокруглення дороги, щоб при швидкості 72км/год доцентрове прискорення автомобіля становило 1м/с2?

3. За 20 секунд колесо автомобіля здійснює 40 обертів. Визначити період та частоту обертання колеса.

4. Визначити період і частоту обертання секундної та годинникової стрілок годинника.

5. Вал діаметром 20см при обертанні робить один оберт за 0,4с. Визначте лінійну швидкість точок на поверхні вала.

6. З якою лінійною швидкістю (в км/год) рухаються ті тіла які розташовані на екваторі Землі, при її добовому обертанні навколо своєї осі? Радіус Землі 6400км.

7. З якою лінійною швидкістю (в км/с) Земля обертається навколо Сонця, якщо радіус земної орбіти 1,5∙108км? Порівняйте цю швидкість з швидкістю кулі 0,5км/с. Зробіть висновки.

 

§18. Прості коливальні системи. Фізичний та пружинний маятники.

 

         Однією з найпростіших коливальних систем є так званий фізичний маятник. Фізичний маятник, це механічна коливальна система, яка представляє собою тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо осі, що не проходить через центр маси тіла. Наприклад, якщо ви візьмете будь яке тверде тіло, скажімо лінійку, виделку, ножиці чи молоток і закріпите його так щоб воно могло вільно обертатись навколо осі яка не проходить через центр маси тіла, то отримаєте відповідний фізичний маятник. Однією з різновидностей фізичного маятника є так званий нитяний маятник, який представляє собою масивне тіло що висить на тонкій нитці (мотузці, дротині, тощо).

        

Мал.28. Приклади фізичних маятників.

Параметри коливального руху реального фізичного маятника, залежать від багатьох обставин: геометричних і вагових характеристик тіла, величини сили опору повітря, величини виникаючих в осі обертання тіла сил тертя, деформаційно-енергетичних втрат, тощо. Тому, при теоретичних дослідженнях, реальний фізичний маятник замінюють відповідною ідеалізованою моделлю, яка називається математичним маятником.

Математичний маятник, це ідеалізована модель фізичного маятника, яка представляє собою масивну матеріальну точку що висить на надтонкій, невагомій та нерозтяжній нитці і в процесі коливань якої відсутні будь які втрати енергії. Якщо нитка реального нитяного маятника достатньо тонка, міцна та легка, а прикріплене до неї тіло достатньо масивне і таке що виготовлено з щільного матеріалу (залізо, мідь, свинець, тощо), то фізичні властивості цього реального маятника майже не відрізнятимуться від властивостей відповідного за довжиною математичного маятника.

По суті, основна відмінність фізичного маятника від відповідного математичного маятника полягає в тому, що вільні коливання реального фізичного маятника в тій чи іншій мірі згасаючі, а коливання математичного маятника – незгасаючі. Крім цього, нитяний маятник – це маятник реальний, а математичний маятник – це маятник віртуально-теоретичний.

Подібно до того як періодичність обертального руху характеризують періодом (T=t/n) та частотою (ν=n/t) обертання, періодичність всіх коливальних систем загалом і фізичного (математичного) маятника зокрема, характеризують періодом та частотою коливань.

Період коливань (період) – це фізична величина, яка характеризує часову періодичність (повторюваність) коливального процесу і яка дорівнює тому проміжку часу за який система здійснює одне повне коливання.

Позначається: Т

Визначальне рівняння: Т = t/n, де n – кількість коливань системи здійснених за час t;

Одиниця вимірювання: [Т] = с,  секунда.

Наприклад, якщо нитяний маятник за 20 секунд здійснює 16 повних коливань, то період цих коливань 1,25с:  Т= t/n = 20с/16 = 1,25с.

Частота коливань (частота) – це фізична величина, яка характеризує частотну періодичність коливального процесу і яка дорівнює тій кількості коливань системи, яку здійснює ця система за одиницю часу.

Позначається: ν

Визначальне рівняння: ν = n/t

Одиниця вимірювання: [ν] = 1/c = Гц,  герц.

Наприклад, якщо за 20 секунд нитяний маятник здійснює 16 коливань, то частота цих коливань 0,8Гц:  ν = n/t = 16/20c = 0,8Гц.

По суті обертальний рух тіла (рух матеріальної точки по колу), є однією з різновидностей фізичних коливань – процесів, які так чи інакше повторюються. Суттєва відмінність між обертальним рухом тіла та коливаннями фізичних, математичних, пружинних, крутильних та інших маятників, полягає лише в тому, що останні (маятники) характеризуються не лише періодом та частотою, а й амплітудою коливань.

Амплітуда коливань (амплітуда) – це фізична величина, яка характеризує максимальне за величиною (амплітудне) відхилення коливальної системи від нульового положення (положення рівноваги) і яка дорівнює цьому відхиленню. Позначається символом відповідної змінної величини з індексом «м»: хм, vм, Ім, Uм, тощо. Визначається як параметр конкретного коливального процесу. Вимірюється в одиницях відповідної фізичної величини: [xм]=м; [vм]=м/с; [Iм]=А; [Uм]=В і т.д.

Наприклад нитяний маятник здійснює механічні коливання, в процесі яких певним чином змінюється координата тієї матеріальної точки яка є тілом маятника. При цьому максимальне відхилення цієї точки від положення рівноваги (хм) і є амплітудою коливань маятника.

Мал.29. Амплітуда коливань – це максимальне відхилення коливальної системи від нульового положення (положення рівноваги)

Можна довести, що період коливань математичного маятника визначається за формулою Т=2π(l/g)1/2, де l – довжина маятника, g – прискорення сили тяжіння. При цьому довжиною фізичного маятника називають відстань від осі обертання тіла фізичного маятника, до центру мас цього тіла.

Із аналізу формули Т=2π(l/g)1/2 видно, що період коливань математичного маятника не залежить ні від маси тіла, ні від кута його відхилення. Цей період визначальним чином залежить лише від довжини маятника та прискорення сили тяжіння.

Ще однією простою коливальною системою є так званий пружинний маятник. Пружинний маятник – це така механічна коливальна система, яка складається з легкої пружини та масивного тіла і в якій це тіло здійснює поступальні коливання вздовж осі пружини (мал.30).

  

Мал.30.  Загальний вигляд пружинного маятника.

Можна довести, що період коливань ідеального пружинного маятника визначається за формулою Т=2π(m/k)2, m – маса тіла маятника, k – жорсткість пружини маятника.

Задача. Порівняйте періоди коливань математичного маятника довжиною 1м на Землі (g=9,8м/с2), на Місяці (g=1,6м/с2) та на Марсі (g=3,7м/с2).

Дано:                                   Рішення:

ℓ = 1м                   Оскільки період коливань математичного маятника

g1 =9,8м/с2            визначається за формулою Т=2π(ℓ/g)1/2, то:

g2=1,6м/с2             Т1=2·3,14(1м/9,8м/с2)1/2=6,28(0,102с2)1/2=2,0с;

g3=3,7м/с2             Т2=2·3,14(1м/1,6м/с2)1/2=6,28(0,625с2)1/2=5,0с;

T1=?                       Т1=2·3,14(1м/3,7м/с2)1/2=6,28(0,270с2)1/2=3,3с;

T2=?                      Таким чином на Місяці і на Марсі періоди коливань

T3=?                       математичного маятника більші аніж на Землі у

відповідно 2,5 та 1,65 рази.

Контрольні запитання.

1.Що називають фізичним маятником? Наведіть приклади таких маятників.

2. Що називають математичним маятником?

3. Чим відрізняється нитяний маятник від маятника математичного?

4. Чим схожі і чим відрізняються коливання маятників від обертального руху тіла?

5. Чому дорівнює довжина фізичного маятника?

6. Чи залежить період коливань нитяного (математичного) маятника від: маси тіла маятника; амплітуди коливань маятника; довжини маятника; параметрів гравітаційного поля Землі?

7. Що називають пружинним маятником?

8. Від чого залежить період коливань пружинного маятника?

Вправа №13.

1.За хвилину маятник здійснює 20 коливань. Визначити період та частоту цих коливань.

2. Скільки коливань здійснює маятник за 3 хвилини, якщо частота його коливань 5Гц?

3. Пружинний маятник за 8с здійсню 32 коливання. Визначити період і частоту цих коливань.

4. Частота коливань крил комара 600Гц, а період коливань крил джмеля 5мс. Яка з комах і на скільки більше зробить помахів крил за 1хв?

5. Визначити період і частоту коливань математичного маятника, якщо його довжина 1м, g=10м/с2.

6. Період коливань математичного маятника 1с. Яка довжина цього маятника?

 

Подобається