Динаміка

§41. Принцип відносності – базовий закон сучасної науки.

§42. Закони Ньютона – теоретична основа механіки.

§43. Загальні відомості про енергію.

§44. Механічна енергія. Закон збереження енергії.

§45. Розв’язування задач. Тема:

Енергетичний метод розв’язування задач.

§46. Робота. Механічна робота.

§47. Енергетичний та силовий методи визначення роботи.

§48. Потужність.

§49. Коефіцієнт корисної дії. К.к.д. простих механізмів.

§50. Розв’язування задач. Тема: Коефіцієнт корисної дії.

§51. Механіка. Узагальнююче повторення.

Тема 1.3. Основи динаміки.

 

Динаміка, це узагальнюючий розділ механіки, в якому ті знання які були отримані в процесі вивчення кінематики і статики, доповнюються новими знаннями та узагальнюються. Теоретичною основою механіки загалом і динаміки зокрема є принцип відносності та три закони Ньютона.

 

§41. Принцип відносності – базовий закон сучасної науки.

 

В 1630 році, в своїх знаменитих «Діалогах про дві системи світу – Птоломеєву та Копернікову» видатний італійський вчений Галілео Галілей (1564-1642) сформулював закон, який лежить в основі сучасної науки і який сьогодні називають принципом відносності або принципом Галілея.

Як відомо, заперечуючи факт обертання Землі навколо Сонця, прибічники середньовічної церкви стверджували: «Якби Земля дійсно рухалась, то ми б фізично відчували цей рух. Відчували б подібно до того, як відчуваємо рух карети, човна чи будь чого іншого». Відповідаючи на подібні аргументи, Галілей стверджував: «Дійсно, сидячи в кареті, ми безумовно відчуваємо, рухається вона чи не рухається. Відчуваємо тому, що карета їде не по ідеально рівній дорозі, її колеса не ідеально круглі, тягові зусилля коней постійно змінюються, дорога вкрита дрібними камінчиками, ямками, тріщинками, тощо. А це означає, що сидячи в кареті, ми постійно відчуваємо певні поштовхи, тобто різкі, короткотривалі зміни швидкості, які власне і вказують на те, що карета рухається. А от якби мене, вас чи кого завгодно посадити в закриту, ізольовану карету, яка б дійсно рухалась рівномірно, тобто без будь яких змін швидкості, то ні ви, ні я, ні хто завгодно, не змогли б визначити, рухається карета чи стоїть.

Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.»

Іноді думають, що в законі, який називається принципом відносності, стверджується що все в цьому світі відносне. Це не правда. Не правда по-перше тому, що не все у Всесвіті відносне. Скажімо, наскільки нам відомо,  абсолютно незмінними є ті співвідношення які називаються законами Природи і які відображають ті зв’язки що існують між об’єктами та явищами Всесвіту. В інерціальних системах відліку абсолютно незмінною є швидкість світлових фотонів. Абсолютно незмінною залишається загальна кількість зосередженого у Всесвіті електричного заряду, мас-енергії, спіну, тощо. По-друге, в законі який називається принципом відносності стверджується те що стверджується, а саме: Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.

Якщо вам потрібні докази того, що принцип відносності є безумовно правильним (достовірним), то ось один з них. Кожен з нас знаходиться в кабіні яка називається планета Земля. Ця кабіна з швидкістю 30км/с=108000км/год обертається навколо Сонця. При цьому, жоден з нас не відчуває того, що Земля мчить з такою шаленою швидкістю. Швидкістю, яка в 60 разів більша за швидкість кулі. І даний факт не є результатом певних особливостей людського організму. Адже в незалежності від наших відчуттів, всі фізичні процеси на Землі відбуваються так, ніби вона знаходиться в стані механічного спокою.

Мал.106. Земля з швидкістю 30км/с обертається навколо Сонця. Чи відчуваєте ви факт цього надшвидкого руху?

Щоправда, Земля рухається не зовсім рівномірно. Адже в процесі обертання навколо Сонця та своєї осі, напрям руху Землі, а отже і тіл на її поверхні постійно змінюється. А це означає, що факт обертального руху Землі можна експериментально зафіксувати, наприклад за допомогою спеціального маятника. А от якби Земля дійсно рухалась прямолінійно та рівномірно, то з якою б швидкістю вона не рухалась, ви б не змогли встановити, рухається вона чи не рухається.

Переоцінити значимість відкритого Галілеєм принципу відносності практично не можливо. Дійсно. Якби в кожній рухомій системі відліку, події відбувались по різному, то описуючи ці події, ми були б змушені досліджувати кожну конкретну ситуацію. І кожну конкретну ситуацію описувати своєю системою законів. При цьому, для кожної системи відліку ми б мали своє рівняння руху, свою умову рівноваги, свої закони Ньютона, свій закон всесвітнього тяжіння, свій закон Гука, свій закон Ома, свій закон електромагнітної індукції і т.д. Ясно, що в такій ситуації, наука про Природу представляла б собою сукупність безкінечно великої кількості експериментальних фактів. Фактів, які б описувались в мільйонах книжок і які було б не можливо представити у вигляді стислої, цілісної системи знань. І якщо така система знань існує, то це тільки тому, що в нерухомій (v=0) та в будь якій рівномірно рухомій (v=const) системах відліку всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності).

Значимість принципу відносності полягає не лише в тому, що він дозволяє створити стислу та цілісну систему знань про Природу, а й в тому, що дозволяє обгрунтовано розповсюдити ці знання на увесь Всесвіт. Дійсно. Чи задумувались ви над тим, чому вчені з такою впевненістю говорять про ті події, які відбуваються в практично недосяжних частинах Всесвіту? Чому вони впевнені в тому, що ті закони які відкривались на Землі, діють і в інших куточках Всесвіту. А можливо там, в інших галактиках, все відбувається по іншому? Можливо там, діють інші закони, існують інші атоми, інші молекули, інші біологічні структури? Хто був в тих далеких світах та перевіряв це?

Відповіді на ці та їм подібні запитання дає принцип відносності. Адже в ньому по суті стверджується: У всіх інерціальних системах відліку, тобто таких системах де виконується закон інерції (перший закон Ньютона) всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково. А це означає, що для з’ясування того, діють чи не діють в певному місці Всесвіту відкриті на Землі закони, фізики, хімії чи будь якої іншої природничої науки, зовсім не обов’язково вирушати в далеку космічну подорож. Достатньо з’ясувати, виконується чи не виконується у відповідному місці перший закон Ньютона (закон інерції). І якщо цей закон виконується, то це автоматично означає що у відповідному куточку Всесвіту всі інші відомі закони Природи гарантовано та безумовно виконуються.

І от ми вдивляємось в безмежні простори Всесвіту, аналізуємо ті події які відбуваються в ньому і бачимо, що у всіх його куточках, всі об’єкти рухаються у повній відповідності з законом інерції. А це означає, що у всіх частинах нашого Всесвіту діють одні і ті ж закони. І що ці закони співпадають з тими що діють на Землі. Не вірити цьому факту, це все рівно ніби не вірити тому, що Земля обертається навколо Сонця та своєї осі. Не вірити лише на тій підставі, що ми не відчуваємо відповідного руху.

Таким чином, коли ми стверджуємо, що принцип відносності є базовим законом сучасної науки, то маємо на увазі факт того, що по-перше, застосування цього принципу дозволяє представити відому інформацію про Природу у вигляді стислої та цілісної системи знань. А по-друге, обгрунтовано довести, що відкриті на Землі закони Природи діють і в інших частинах Всесвіту.

Контрольні запитання.

1.Що стверджували ті, хто заперечував факт обертання Землі навколо Сонця?

2. Чому, сидячи в реальній закритій кабіні (кареті, автомобілі, потязі, тощо) ми практично завжди можемо визначити рухається ця кабіна чи не рухається?

3. Чи відчуваєте ви, що Земля рухається? Чому?

4. Чи зустрічались у вашому житті ситуації, колив ви не відчували того що рухаєтесь? Опишіть ці ситуації.

5. Чи є правильним твердження: у Всесвіті все відносне?

6. Наведіть приклади тих речей які є абсолютно незмінними.

7. Що стверджується в принципі відносності (два формулювання)?

8. Яка роль принципу відносності в створенні цілісної системи знань про Природу?

9. Чому ми впевнені в тому, що відкриті на Землі закони діють і в інших місцях Всесвіту?

 

§42. Закони Ньютона – теоретична основа механіки.

 

В попередньому параграфі ми говорили про те, що теоретичним фундаментом механіки і всієї сучасної науки загалом є принцип відносності. Однак сам по собі цей принцип ще не є тим законом який пояснює широке коло явищ та дозволяє розв’язувати відповідно широке коло конкретних задач. Цю функцію виконує наукова теорія, тобто цілісна система достовірних знань про певну групу споріднених явищ.

В 1687 році видатний англійський фізик Ісаак Ньютон (1643-1727) опублікував свої знамениті «Математичні начала натуральної філософії», в яких виклав основи першої наукової теорії сучасного зразку. Теорії, яку прийнято називати механікою або ньютонівською механікою. В основі цієї теорії лежать три твердження, які називаються законами Ньютона. Сформулюємо ці твердження та проаналізуємо їх.

          Перший закон Ньютона (закон інерції). Будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан.

На перший погляд, даний закон не має суттєвого практичного значення. Його навіть важко записати у вигляді відповідної формули. Однак, насправді, мова йде про надзвичайно важливий, по суті базовий закон не лише механіки, а й всієї сучасної науки. Адже в рамках першого закону Ньютона по суті стисло сформульовано два фундаментальні закони: принцип відносності та закон інерції.

          Дійсно. В першому законі Ньютона стверджується: будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан. По суті це означає, що з фізичної точки зору, стан спокою (v=0) і стан прямолінійного рівномірного руху (v=const), це один і той же механічний стан системи (цей стан). Один і той же в тому сенсі, що всі фізичні процеси які відбуваються в кабіні що стоїть і  в кабіні що рівномірно рухається, відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності). Іншими словами: v=0  “ = “  v=const, де знак “ = “ вказує на те, що ті фізичні процеси які відбуваються в кабіні яка стоїть і в кабіні яка рівномірно рухається, відбуваються “однаково”.

          З іншого боку, в тому ж першому законі Ньютона  стверджується, що  безпричинних змін швидкості руху тіла не буває, і що цією причиною є дія зовнішньої сили (закон інерції). Наприклад, якщо Місяць обертається навколо Землі, тобто рухається таким чином, що напрям його швидкості постійно змінюється, то у відповідності з першим законом Ньютона така зміна не може бути безпричинною. І що цією причинною має бути дія певної зовнішньої сили. І як натепер відомо, цією силою є сила гравітаційної взаємодії між Землею та Місяцем.

В науці ті системи відліку в яких виконується перший закон Ньютона називаються інерціальними. Визначальною властивістю інерціальних систем відліку є факт того, що в кожній з них всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково (принцип відносності). А це означає, що в будь-якій інерціальній системі відліку виконується не лише перший закон Ньютона, а й всі інші відомі закони Природи. Власне цей факт і визначає виняткову практичну значимість першого закону Ньютона. Адже для того щоб з’ясувати виконуються чи не виконується в тому чи іншому місці Всесвіту відкриті на Землі закони фізики, хімії, біології та інших природничих наук, нема потреби вирушати в далеку космічну подорож. Достатньо з’ясувати виконується чи не виконується у відповідному місці перший закон Ньютона. І якщо цей закон виконується то відповідно виконуються і всі інші закони Природи.

І от коли ми бачимо що у всіх найвіддаленіших куточках Всесвіту без-причинних подій не буває, коли ми бачимо, що у повній відповідності з першим законом Ньютона, будь-які зміни швидкості, будь якого космічного об’єкту мають певну силову причину, то робимо обґрунтований висновок про те, що у  всіх куточках Всесвіту діють ті ж закони що і на Землі.

Другий закон Ньютона. Під дією зовнішньої сили F, тіло масою m отримує прискорення   а   величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі, тобто

F  →   a = F/m

Не важко бачити, що другий закон Ньютона, є логічним продовженням першого. Адже крім всього іншого, в першому законі Ньютона стверджується, що причиною зміни швидкості руху тіла, а по суті причиною прискореного руху тіла, є дія зовнішньої сили, тобто стверджується, що F → a. В другому ж законі Ньютона, це твердження формулюється в явному вигляді та конкретизується:  F →  a = F/m.

Потрібно зауважити, що другий закон Ньютона часто формулюють так: сила що діє на тіло, дорівнює добутку маси тіла на його прискорення, тобто F=ma. Як би то нам не подобалось, а таке формулювання і така формула не є другим законом Ньютона. Бо закон (фізичний закон), це не просто математична формула, яка відображає певні зв’язки між фізичними величинами. Закон, це відображення того причинно-наслідкового зв’язку, який існує між певними проявами Природи. А це означає, що в законі та йому відповідній математичній формулі, потрібно вказувати на те, що в даному зв’язку є причиною (незалежною величиною), а що наслідком (залежною величиною).

Наприклад закон другий закон Ньютона відображає той факт, що під дією зовнішньої сили F тіло масою m отримує прискорення а, і що величина цього прискорення залежить як від діючої на тіло сили (пряма залежність), так і від величини маси тіла (обернена залежність). Звідси ясно, що причиною прискореного руху тіла є діюча на нього зовнішня сила, і що саме прискорення тіла залежить від сили, а не навпаки. А відображенням цієї залежності є формула a=F/m, а не F=ma чи m=F/a.

Звичайно, формули F=ma та m=F/a є безумовно правильними. Однак вони не є математичними відображеннями другого закону Ньютона. Ці формули є прямими наслідками другого закону Ньютона. І як ці наслідки можуть застосовуватись як при розв’язуванні задач так і в якості визначальних рівнянь відповідних фізичних величин. Наприклад визначальним рівнянням сили є саме формула F=ma.

Третій закон Ньютона. Діюча на тіло сила F, завжди породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу F′, тобто

F → F′ = – F

Наприклад, якщо тіло з певною силою діє на опору, то опора з такою ж силою діє на тіло. Якщо нога футболіста діє на м’яч, то м’яч з такою ж силою діє на ногу футболіста. Якщо Місяць притягується до Землі, то Земля з такою ж силою притягується до Місяця.

  

Мал.107. Діюча F та протидіюча Fꞌ сили, завжди рівні за величиною, протилежні за напрямком і прикладені до різних тіл.

Говорячи про діючу та протидіючу сили, потрібно зауважити, що ці сили завжди чисельно рівні, однак результат їх дії може бути абсолютно різним. Наприклад, підняте над Землею тіло з певною силою F притягується до Землі, а Земля з такою ж силою F′ притягується до тіла. Однак, якщо для відносно легкого тіла сила F є значною, то для надмасивної Землі, така ж сила F′ є мізерно малою. Тому в системі Земля – тіло, тіло падає на Землю, а не Земля “підстрибує” до тіла.

Потрібно наголосити ще й на тому, що діюча та протидіюча сили, завжди прикладені до різних тіл. А це означає, що ці сили не можуть забезпечити механічну рівновагу системи діюче-протидіюче тіло. М’яч, в результаті взаємодії з ногою футболіста з певним прискоренням відлітає від ноги (мал.107б). Тіло, в результаті взаємодії з Землею з певним прискоренням падає на підлогу (мал.107а) і т.д. І якщо книга що лежить на столі, знаходиться в стані механічної рівноваги, то це не тому що діюча і протидіюча сили зрівноважують одна одну. Бо в системі опора-книга (мал.107в), книга діє на опору з силою яка називається вагою книги (Р), а опора діє на книгу з протидіючою силою яка називається реакцією опори (N). При цьому на книгу фактично діє лише одна з цих сил – реакція опори. Рівновага ж книги забезпечується не зрівноваженням діючої та протидіючої сил, а фактом того, що на книгу окрім реакції опори діє ще одна зовнішня сила – сила тяжіння.

Аналізуючи закони Ньютона, не важко бачити, що це не просто набір правильних тверджень, а струнка система взаємопов’язаних та взаємодоповнюючих законів. Законів, які в своїй сукупності дозволяють пояснити величезне різноманіття механічних явищ. Законів, в яких при ґрунтовному аналізі можна відшукати не лише формулювання принципу відносності та закону інерції, а й приховані формулювання інших законів, зокрема закону збереження механічної енергії та закону збереження імпульсу. Взаємопов’язаність та взаємодоповнюваність законів Ньютона з усією очевидністю випливає з їх наступних математичних формулювань:

1. а) v=0  “ = “  v=const

·   б)  F → a

2. F → a = F/m

3. F → Fꞌ = F

Контрольні запитання.

1.Якими словами в першому законі Ньютона стисло сформульовано принцип відносності?

2. В чому суть закону інерції?

3. Які системи відліку називають інерціальними?

4. Чому ми говоримо, що другий закон Ньютона є логічним продовженням першого?

5. Чому формула F=ma не є правильним математичним формулюванням другого закону Ньютона?

6. Чому діюча та протидіюча сили не можуть забезпечити механічну рівновагу тіла?

7. Тіло висить на мотузці. Які сили діють на тіло? Чи є ці сили діючою і протидіючою? Чому? Які сили в системі мотузка-тіло є діючою і протидіючою?

8. Двоє хлопців тягнуть мотузку в протилежні сторони з силою 150Н кожний. Чи розірветься мотузка, якщо вона витримує навантаження 200Н?

 

Вправа 34.

1.Визначте силу, під дією якої тіло масою 80г рухається з прискоренням 8м/с2?

2. Визначте масу футбольного м’яча, якщо після удару він набув прискорення 500м/с2, а сила удару дорівнює 420Н

3. Сила 40Н надає тілу прискорення 0,8м/с2. Яка сила надасть цьому ж тілу прискорення 2,0м/с2?

4. Два хлопчики розтягують динамометр, при цьому кожен прикладає силу 90Н. Що покаже динамометр?

5. На тіло масою 800г діють дві сили направлені в протилежні сторони: 12Н і 8Н. Визначте модуль та напрям прискорення тіла.

6. Снаряд масою 5кг при пострілі набуває швидкості 800м/с. Визначити середню силу тиску порохових зарядів, якщо довжина дула гармати 2м. Рух снаряду вважати рівноприскореним.

7. М’яч масою 400г в процесі удару який триває 0,02с набуває швидкості 15м/с. Яка середня сила удару?

8. Тіло масою 400г рухаючись прямолінійно та маючи деяку початкову швидкість, за 5с під дією сили 6Н набуло швидкості 10м/с. Визначити початкову швидкість тіла.

9. На мотузці що витримує натяг 100Н з стану спокою, вертикально вгору піднімають вантаж масою 6кг. На яку максимальну висоту можна підняти цей вантаж за 2с? Рух вантажу є рівноприскореним.

 

§43. Загальні відомості про енергію.

 

Левова частина тих нових знань якими динаміка доповнює вивчене в кінематиці і статиці, нерозривно пов’язані з фізичною величиною, яка називається енергія (Е) та похідними від неї роботою (А), потужністю (Р), коефіцієнтом корисної дії (η).

          Уявити сучасну науку без величини яку називають енергією (від грец. energeia – дія, діяльність) практично не можливо. Адже саме енергія є тією стержневою фізичною величиною яка об’єднує найрізноманітніші явища Природи в цілісну наукову картину. Сучасне розуміння суті того що називають енергією, це результат тривалого еволюційного розвитку науки, вінцем якого стала теорія відносності. Лише після створення цієї теорії, стало зрозумілим, що енергія є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій, і що будь який фізичний об’єкт масою m, представляє собою згусток енергії загальна кількість якої визначається за формулою Е=mс2, де с=3∙108м/с=соnst.

Твердження про те, що будь яке тіло масою m, представляє собою згусток енергії загальна кількість якої визначається за формулою Е=mс2, по суті означає, що перетворивши все те з чого складається дане тіло, а отже всі його молекули, атоми, атомні ядра, протони, нейтрони, електрони та всі ті процеси які відбуваються з ними і згустками яких вони є, в те що називається чистою енергією, а по суті в світло, ви отримаєте цієї енергії в кількості Е=mс2. Наприклад в будь якому тілі масою 1кг міститься Е=1кг(3м/с)2=1·1016Дж енергії. Щоб мати уявлення про величину цієї енергії, достатньо сказати, що аналогічну кількість енергії можна отримати повністю спаливши 500 000 тон кам’яного вугілля.

Втім, відразу ж зауважимо, що глибинну суть твердження: “енергія – загальна міра всіх видів рухів та взаємодій”, а за одно і фізичну суть всіх цих рухів і взаємодій, ми будемо розкривати поступово, в процесі вивчення не лише ньютонівської механіки, а й молекулярної фізики, термодинаміки, електродинаміки, оптики, фізики атома та атомного ядра, теорії відносності, космології. При цьому, кожен новий розділ буде збагачувати наші знання про енергію та розкривати все нові і нові її грані та прояви.

Твердження про те, що енергія це загальна міра всіх видів рухів і взаємодій, є загально прийнятою та вичерпною характеристикою того, що називають енергією. Однак воно має той суттєвий недолік, що не дозволяє визначати величину конкретного виду енергії в тій чи іншій конкретній ситуації. А потрібно зауважити, що на практиці говорячи про енергію тіла, мають на увазі не ту загальну енергію що зосереджена в даному тілі і кількість якої визначається за формулою Е=mс2, а певну, зазвичай мізерну частину цієї енергії яка пов’язана з тим чи іншим конкретним явищем. Наприклад, коли ми стверджуємо, що тіло масою m, рухаючись з швидкістю v має певну енергію, то маємо на увазі не повну енергію цього тіла (Е=mc2), а ту її мізерну частину яка обумовлена механічним рухом тіла і величина, якої визначається за формулою Е=mv2/2. Коли ми стверджуємо, що підняте над підлогою тіло має певну енергію, то маємо на увазі не повну енергію цього тіла (Е=mс2), а ту її мізерну частину яка, обумовлена взаємодією даного тіла з Землею і яка визначається за формулою Е=mgh. Коли ми стверджуємо, що деформована пружина має енергію, то маємо на увазі не повну енергію цієї пружини (Е=mс2), а ту її мізерну частину, яка обумовлена взаємодією атомів та молекул пружно деформованого тіла і яка визначається за формулою E=kΔl2/2.

По суті, коли ми стверджуємо, що той чи інший об’єкт має певну енергію, то маємо на увазі факт того, що відповідний об’єкт може виконати певну роботу, тобто певну енерго затратну дію. Власне енергія і є мірою здатності фізичного об’єкту виконати роботу. Наприклад, коли ми стверджуємо, що підняте над підлогою тіло (мал.107а) має енергію Е=mgh (де m – маса тіла, h – висота тіла над рівнем підлоги,  g – прискорення сили тяжіння), то це означає, що за певних умов (за умови падіння тіла) буде виконана певна робота: в процесі удару об підлогу, тіло деформується і деформує підлогу; в процесі падіння та удару, тіло, підлога та повітря нагріються; в процесі удару, тіло заб’є гвіздок, створить звукову хвилю, тощо. При цьому, загальна кількість виконаної тілом роботи, становитиме А=mgh. Коли ми стверджуємо, що тіло масою m, рухаючись з швидкістю v, має енергію Е=mv2/2 (мал.107б), то це означає, що за певних умов (за умови зустрічі тіла з перешкодою) буде виконана певна робота. При цьому, загальна кількість цієї роботи становитиме А=mv2/2. Коли ми стверджуємо, що деформована пружина (мал.107в) має енергію Е=kΔl2/2, де k – жорсткість пружини, Δl – її  абсолютна деформація, то це означає, що за певних умов (за умови випрямлення пружини), буде виконана певна робота і загальна кількість цієї роботи становитиме А= kΔl2/2.

  

Мал.107.  Коли ми стверджуємо, що певний фізичний об’єкт має певну енергію, то це означає, що цей об’єкт здатний виконати певну роботу (певну енергозатратну дію).

Зважаючи на вище сказане, можна дати наступне визначення:

Енергія – це фізична величина, яка є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій і яка характеризує здатність тіла, частинки або поля виконати роботу.

Позначається: Е

Визначальне рівняння:  1) для загальної кількості енергії:   Е=mс2 ;

.                                         2) для конкретних видів енергії:   різні.

Одиниця вимірювання: [E] = Дж = Н∙м = кг∙м22,   джоуль.

Джоуль – це одиниця вимірювання енергії та роботи, яка дорівнює тій роботі (тим затратам енергії) яку виконує сила в один ньютон при переміщенні матеріальної точки (тіла) на один метр в напрямку дії сили: Дж=Н∙м=кг∙м22. Щоб мати уявлення про величину роботи в один джоуль, візьміть тіло масою 102г та підніміть його на висоту один метр. При цьому виконана вами робота, а відповідно і затрачена вами енергія, дорівнюватимуть одному джоулю. Або якщо наприклад, яблуко масою 102гр впаде з висоти 1м, то виконана силою тяжіння робота дорівнюватиме 1Дж.

Мал.108. При падінні тіла масою 102г з висоту 1м, виконується робота 1Дж.

Потрібно зауважити, що енергія невичерпно різноманітна у своїх проявах. Різноманітна в тій же мірі як і самі явища Природи. Наприклад говорять про енергію гравітаційних, електричних, електромагнітних та інших полів. Про енергію механічну, теплову, звукову, світлову, хімічну, біологічну, електричну, магнітну, електромагнітну, ядерну, внутрішню. Про енергію піднятого тіла та енергію пружно деформованого тіла, про енергію нагрітого тіла та енергію тіла що горить, про енергію хімічних реакцій та енергію термоядерного синтезу. І навіть те що не називають енергією, як то температура, кількість теплоти, робота чи маса, фактично характеризує ті чи інші прояви енергії.

Задача. Куля масою 6г має швидкість 300м/с. Порівняйте величину її кінетичної енергії з величиною тієї загальної енергії, що зосереджена в цій кулі.

Дано:            СІ                          Рішення:

m = 6г        6·10-3кг       Загальна кількість тієї енергії яка зосереджена в

v = 300м/с                      тілі масою m, визначається за формулою Езаг=mс2,

Ек = ?                              де с=3·108м/с=const. В нашому випадку:

Езаг=?                              Езаг=6·10-3кг(3·108м/с)2=6·10-3·9·1016Дж=27·1013Дж

Кінетична енергія кулі Ек=mv2/2=6·10-3кг(3·102м/с)2=6·10-39·104Дж= 54·101Дж=540Дж.

Порівняємо ці величини: Езагк=270·1012/540=0,5·1012=500 000 000 000 разів.

Контрольні запитання.

1.Що означає слово «енергія»?

2. Що означає твердження: «будь яке тіло масою m, представляє собою згусток енергії загальна кількість якої визначається за формулою Е=mс2»?

3. Згустком якої кількості енергії є тіло масою 1кг? Наскільки великою є ця кількість?

4. Який недолік визначення: «Енергія – це загальна міра всіх видів рухів та взаємодій»?

5. Коли ми стверджуємо, що той чи інший об’єкт має певну енергію, то маємо на увазі …?

6. Коли ми стверджуємо, що підняте над підлогою тіло має енергію Е=mgh, то це означає …?

7. Коли ми стверджуємо, що тіло масою m, рухаючись з швидкістю v, має енергію Е=mv2/2, то це означає …?

8. Коли ми стверджуємо, що деформована пружина має енергію Е=kΔl2/2, то це означає …?

9. Джоуль – це багато, чи мало?

Вправа №34.

1.Горизонтальною поверхнею котиться куля масою 400г з постійною швидкістю 0,8м/с. Яка кінетична енергія кулі?

2. На якій висоті потенціальна енергія вантажу масою 500кг дорівнює 1кДж?

3. Сталева деталь об’ємом 4дм3 знаходиться на висоті 2м. Визначте потенціальну енергію деталі.

4. Визначте величину потенціальної енергії пружини жорсткістю 5кН при її деформації на 10см.

5. Для нагрівання 1кг води на 1°С потрібно витратити 4200Дж енергії. Порівняйте цю енергію з кінетичною енергією кулі, маса якої 6г, а швидкість 300м/с. Зробіть висновок.

6. Для того щоб в процесі кипіння 1кг води перетворити на пару, необхідно витратити 2,6·106Дж енергії. Порівняйте цю енергію з енергією кулі (m=6г; v=300м/с). Зробіть висновок.

7. Під дією вантажу масою 300кг, пружина видовжилась на 10см. Визначте енергію деформованої пружини.

 

§44. Механічна енергія. Закон збереження енергії.

 

Не дивлячись на все різноманіття видів енергії, практично будь яку її різновидність можна представити як певну комбінацію двох складових: енергії руху або кінетичної енергії та енергії взаємодії або потенціальної енергії.

Кінетична енергія (енергія руху) – це та енергія, яку має фізичний об’єкт (тіло, частинка або поле) за рахунок того, що він рухається і яка дорівнює половині добутку маси об’єкту на квадрат його швидкості.

Позначається: Ек

Визначальне рівняння: Ек=mv2/2

Одиниця вимірювання: [Ек] = кг∙м22=Дж.

Якщо той чи інший фізичний об’єкт, будь то камінь, планета, атом чи фотон світла, рухається, то він має певну кінетичну енергію величина якої визначається за формулою Ек=mv2/2. Наприклад, якщо тіло масою 2кг рухається з швидкістю 4м/с, то величина його кінетичної енергії Ек=2кг(4м/с)2/2=16Дж.

    

Мал.109. Кінетична енергія – це та енергія, яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він рухається.

Кінетична енергія є явною, очевидною, активною формою енергії, наявність і величину якої легко встановити. Але окрім цією активної енергії, практично з кожним тілом нерозривно пов’язана певна кількість пасивної, прихованої енергії, яку прийнято називати потенціальною.

Потенціальна енергія (енергія взаємодії) – це та енергія, яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він так чи інакше взаємодіяє з іншими об’єктами, або за рахунок тих взаємодій які відбуваються в середині цього об’єкту.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння: Еп = ?, це означає, що єдиної універсальної формули для визначення потенціальної енергії не існує.

Одиниця вимірювання: [Еп] = Дж.

Потенціальна енергія, це дуже складний вид прихованої енергії, величину якої в загальному випадку ми не вміємо визначати. Не вміємо в тому сенсі, що на сьогоднішній день нема тієї універсальної формули, яка б дозволяла визначати потенціальну енергію системи в усьому різноманітті проявів цієї енергії. Однак це зовсім не означає, що ми не вміємо визначати величину потенціальної енергії в тих чи інших конкретних випадках. Наприклад, в механіці вивчають дві різновидності потенціальної енергії: потенціальна енергія сили тяжіння та потенціальна енергія сили пружності.

Потенціальна енергія сили тяжіння (піднятого тіла) –  це така енергія яку має тіло за рахунок його взаємодії з Землею і яка дорівнює добутку маси тіла (m) на прискорення сили тяжіння (g) та на ту висоту (h) на яку піднято тіло.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння: Еп =mgh,

Одиниця вимірювання: [Еп] = Н, ньютон.

Наприклад, якщо тіло масою 2кг піднято над підлогою на висоту 1,5м, то величина її потенціальної енергії відносно підлоги становить Еп=2кг·9,81м/с2·1,5м=29,4Дж.

Мал.110. Потенціальна енергія сили тяжіння – це та енергія яку має тіло за рахунок його взаємодії з Землею

Потенціальна енергія сили пружності (пружно деформованого тіла) – це та енергія яку має пружно деформоване тіло за рахунок тих внутрішніх взаємодій які відбуваються в ньому і яка дорівнює половині добутку жорсткості тіла (k) а величину його абсолютної деформації (Δl).

Позначається: Еп

Визначальне рівняння: Еп=kΔl2/2,

Одиниця вимірювання: [Еп] = Н, ньютон.

Наприклад, якщо пружину жорсткістю 400Н/м деформували на 0,1м, то величина їх потенціальної енергії Еп=400(Н/м)(0,1м)2/2=2Дж.

  

Мал.111. Потенціальна енергія сили пружності – це та енергія яку має тіло за рахунок тих взаємодій що відбуваються всередині пружно деформованого тіла.

Напевно, енергія не мала б такого фундаментального, загальнонаукового значення, якби не той закон який називається законом збереження енергії і в якому стверджується: при будь яких процесах, що відбуваються в замкнутій (енергоізольованій) системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною, тобто зберігається. Іншими словами:∑Едо = ∑Епісля  або  ∑Е = соnst.

Ілюструючи дію закону збереження енергії в механічних процесах, розглянемо конкретну ситуацію. Припустимо що тіло масою 1кг знаходиться на висоті 5м. Ясно, що в процесі вільного падіння тіла, величина його потенціальної енергії (Eп=mgh) буде зменшуватись (оскільки h↓ то Еп↓). З іншого боку, в процесі того ж падіння, кінетична енергія тіла (Ек=mv2/2) буде збільшуватись (оскільки v↑ то Ек↑). І не важко довести, що на всьому шляху вільного польоту тіла, загальна кількість його механічної енергії (Е=Епк) залишається незмінною. Дійсно. Виходячи з того, що в процесі вільного падіння, висота тіла над поверхнею землі зменшується за законом h=h0-gt2/2, а його швидкість – збільшується за законом v=v0+gt, визначимо параметри падаючого тіла (h, v, Еп, Ек, Е=Епк) через кожні 0,2с польоту. Результати обчислень запишемо у відповідну таблицю.

 

       t (c)              h (м)      v (м/с)   Ек (Дж)       Еп (Дж) Е=Екп(Дж)
      0,0      5,0      0,0    0,0    50,0        50,0
      0,2      4,8      2,0    2,0    48,0        50,0
      0,4      4,2      4,0    8,0    42,0        50,0
      0,6      3,2      6,0   18,0    32,0        50,0
      0,8      1,8      8,0   32,0    18,0        50,0
      1,0      0,0     10,0   50,0      0,0        50,0

 

Не важко бачити, що в процесі вільного падіння тіла, загальна кількість його механічної енергії залишається незмінною, тобто зберігається.

      

Мал.112. При будь яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною.

Ви можете заперечити в тому сенсі, що коли тіло впаде, то його кінетична і потенціальна енергії матимуть нулеві значення. Чи не означатиме це, що енергія зникла і що закон збереження енергії не виконується? Ні, не означатиме! Просто в процесі взаємодії з землею (підлогою, поверхнею стола, тощо), та механічна енергія яка спочатку була потенціальною, а потім кінетичною, перетворилась у відповідну кількість внутрішньої енергії, тобто в кінетичну та потенціальну енергію молекул взаємодіючих тіл.

А якщо ви не помітили цього перетворення, то це тільки тому, що енергоємність тіл є надзвичайно великою. Скажімо, для того щоб один літр води нагріти всього на 1ºС потрібно витратити 4200Дж енергії. А це означає, що енергія величиною в 50Дж спромоглась би нагріти літр води всього на 0,012ºС. Тому не дивно, що спостерігаючи за тими подіями які відбуваються в процесі падіння даного тіла, ви не помітили факту того, що навколишнє повітря, земля і саме тіло дещо нагрілись. Однак, якщо ви дійсно виконаєте необхідні вимірювання, то неодмінно з’ясуєте, що в процесі падіння тіла і в процесі його взаємодії з поверхнею землі, загальна кількість внутрішньої енергії взаємодіючих тіл дійсно збільшилась, і збільшилась рівно на 50Дж.

До речі, якщо в момент падіння тіла, його кінетична енергія становитиме не 50Дж, а скажімо 47Дж, то не поспішайте стверджувати, що закон збереження енергії не працює. Просто в процесі падіння тіла та в результаті його тертя об повітря, частина механічної енергії тіла (а саме 3Дж) перетворилась на відповідну кількість внутрішньої енергії тіла та повітря.

Незліченна кількість експериментальних досліджень та фактів доводять. Енергія не виникає безпричинно і не зникає безслідно. Вона лише перетворюється з одного виду в інший та переходить від одних фізичних обєктів до інших. При цьому, за будь яких перетворень та будь яких переходів загальна кількість енергії залишається незмінною, тобто зберігається.

Задача. Тіло масою 500г, що рухається з швидкістю 15м/с, при взаємодії з горизонтально розташованою пружиною деформує її на 10см. Визначити жорсткість пружини.

Дано:           СІ                      Рішення:

m=500г       0,5кг         На основі аналізу умови задачі виконуємо відповідний

v = 15м/с       –              малюнок, на якому вказуємо енергетичні параметри

Δl=10см     0,1м           системи до та після взаємодії.

k = ?

Оскільки в процесі взаємодії тіла з пружиною, його кінетична енергія Ек=mv2/2 повністю перетворюється на потенціальну енергію деформованої пружини Еп=kΔl2/2, то у відповідності з законом збереження енергії mv2/2= kΔl2/2. Звідси випливає k=mv2/Δl2.

Розрахунки: k=0,5кг(15м/с)2/(0,1м)2=112,5Н/0,01м=11250Н/м.

Відповідь: k=11250Н/м.

Контрольні запитання.

1.Як ви розумієте твердження: енергія є мірою здатності фізичного об’єкту виконати роботу?

2. Коли ми стверджуємо, що шматок вугілля має певну енергію, то що це означає? Якою (кінетичною чи потенціальною) є ця енергія?

3. Які різновидності потенціальної енергії вивчають в механіці? Які визначальні рівняння цих величин?

4. Результатом взаємодії яких об’єктів є потенціальна енергія сили тяжіння та сили пружності?

5. Камінь кинули вертикально вгору. Які перетворення енергії відбуваються в процесі його польоту? Чи буде кінетична енергія каменя в момент його вильоту та момент падіння абсолютно однаковою? Чому?

6. Які перетворення енергії відбуваються в зображених на малюнку ситуаціях?

 

Вправа №35.

1.Куля масою 8г летить з швидкістю 500м/с. Порівняйте величину кінетичної енергії кулі з величиною тієї загальної енергії згустком якої є ця куля?

2. Під дією вантажу 200кг пружина деформувалась на 5см. Визначте енергію деформованої пружини.

3. Тіло кинули вертикально вгору з швидкістю 20м/с. На якій висоті, його кінетична енергія дорівнюватиме потенціальній?

4. Камінь масою 5кг впав з певної висоти. Визначте кінетичну та потенціальну енергію каменя в середній точці його шляху, якщо він падав 2с.

5. Відомо, що для стискання пружини на 1см, треба прикласти силу 5кН. Яку енергію отримає ця пружина при її стисненні на 6см?

6. Визначте потенціальну і кінетичну енергію тіла масою 4кг, що вільно падає з висоти 6м, на відстані 2м від поверхні землі.

7. Якої швидкості може надати тілу масою 500г стиснута на 20см пружина жорсткістю 100Н/м?

 

 §45. Розв’язування задач. Тема: Енергетичний метод розв’язування задач.

 

Чітко класифікувати різноманіття тих задач які вирішуються в механіці, практично не можливо. І тим не менше можна виділити три базові методи розв’язування цих задач: кінематичний, силовий та енергетичний (точніше імпульсно-енергетичний).

Суть кінематичного методу розв’язування задач полягає в тому, що невідомі величини визначають на основі аналізу кінематичних параметрів руху тіла (час, координата, пройдений шлях, швидкість, прискорення) та їм відповідних визначальних рівнянь, і на базі того закону, який називається рівнянням руху. Закону в якому стверджується: в загальному випадку прямолінійний рух тіла (матеріальної точки) описується рівняння x=x0+v0t+(a/2)t2.

Суть силового методу розв’язування задач полягає в тому, що невідомі величини визначають на основі аналізу діючих на тіло сил та визначальних рівнянь цих сил, і на базі того закону який називається умовою рівноваги тіла. Закону в якому стверджується: тіло (матеріальна точка) буде знаходитись в стані механічної рівноваги, якщо векторна сума діючих на нього сил дорівнює нулю, тобто ∑F=0.

Суть енергетичного методу розв’язування задач полягає в тому, що невідомі величини визначають на основі аналізу енергетичних параметрів руху тіла (енергія, робота, потужність, к.к.д.) та їм відповідних визначальних рівнянь і на базі того закону який називається законом збереження енергії. Закону в якому стверджується: при будь-яких процесах що відбуваються в замкнутій системі, загальна кількість енергії цієї системи залишається незмінною, тобто ∑Е=const.

Звичайно, подібна класифікація є досить умовною. Умовною по-перше тому, що рішення багатьох задач передбачає застосування певної комбінації двох, а то і трьох методів. По-друге тому, що в багатьох випадках одну і ту ж задачу можна розв’язати двома, а то й трьома методами. По-третє тому, що рішення багатьох задач грунтується на визначальних рівняннях тих фізичних величин які не є ні кінематичними, ні силовими, ні енергетичними параметрами фізичного об’єкту. Скажімо рішення задач на визначення густини зазвичай базується на визначальному рівнянні густини ρ=m/V.

Та як би там не було, а рішення переважної більшості задач механіки грунтується на застосуванні трьох базових методів: кінематичний, силовий, енергетичний. З основами кінематичного та силового методів розв’язування задач, в загальних ви вже ознайомились. На разі ж прийшов час познайомитись з основами та можливостями енергетичного методу. А оскільки нема кращого способу навчитися розв’язувати задачі, як практично розв’язувати їх, то власне цим і займемося.

Загальне зауваження. Вище описані кінематичний, силовий та енергетичний методи розв’язування задач, описані з точки зору механіки поступального руху (механіки матеріальної точки). В загальному ж випадку механіка поділяється на механіку поступального та механіку обертального руху. При цьому в механіці обертального руху існує своя система фізичних величин та законів. Втім, це не змінює загальної суті кінематичного, силового та енергетичного методів розв’язування задач. Скажімо, вивчаючи тему «Рівновага тіла, що має вісь обертання», ви ознайомились з певними елементами механіки обертального руху. При цьому силовий метод розв’язування задач ви доповнили додатковою фізичною величиною – моментом сили (М=F·d), та додатковою умовою рівноваги – умовою обертальної рівноваги тіла (∑М=0).

Задача 1. З якою початковою швидкістю v0 потрібно кинути вниз м’яч з висоти h0, щоб він відбившись від пружної поверхні, підскочив на вдвічі більшу висоту h=2h0? Опором повітря та втратами енергії в момент удару знехтувати.

Як і багато інших задач, дану задачу можна розв’язати по різному. Скажімо, якби ця задача була задана в кінематиці, то скоріш за все ви б розв’язували її кінематичним методом, тобто на основі аналізу кінематичних параметрів руху та закону який називається рівнянням руху: x=x0+v0t+(a/2)t2.

І потрібно сказати, що з кінематичної точки зору дана задача є дуже складною. Адже розв’язуючи цю задачу, ви мали б розглянути кінематичну ситуацію на трьох ділянках руху. На основі аналізу цієї ситуації записати чотири незалежних рівняння з чотирма невідомими. При цьому два з цих рівнянь були б квадратними рівняннями. Розв’язати цю не просту систему рівнянь. І зрештою отримати відповідь v0=(2gh0)1/2.

Натомість енергетичне рішення даної задачі гранично просте. Дійсно.

Дано:                                      Рішення:

h0                     На основі аналізу умови задачі виконуємо малюнок на

h=2h0                якому вказуємо енергетичні параметри тіла на висоті h0

v0=?                   (Ek=mv02/2; Eп =mgh0) та на висоті h=2h0 (Ek=0; Eп=2mgh0).

Оскільки в умовах даної задачі втратами енергії можна знехтувати, то у відповідності з законом збереження енергії mgh0+mv02/2=2mgh0. Звідси mv02/2=2mgh0 – mgh0 = mgh, звідси v02=2gh0, звідси v0=(2gh0)1/2.

Відповідь: v0=(2gh0)1/2.

Задача 2. Тіло масою 1кг починає падати на поверхню землі з висоти 20м. На якій висоті кінетична енергія тіла дорівнюватиме 100Дж? Опором повітря знехтувати.

Дано:                                   Рішення:

m = 1кг             На основі аналізу умови задачі виконуємо малюнок на

h0=20м              якому вказуємо енергетичні параметри тіла на висоті h0

v0=0м/с             (Ek=0; Eп=mgh0) та на висоті h (Ek=100; Eп=mgh=?)

Ek=100Дж        Оскільки згідно з законом збереження енергії, загальна

h = ?                  кількість цієї енергії на будь якій висоті залишається

незмінною, то можна записати mgh0 = Ek + mgh. Звідси mgh = mgh0 – Ek.

Звідси h = (mgh0 – Ek)/mg = h0 – Ek/mg.

Розрахунки: h = 20м – 100Дж/1кг10м/с2 = 20м – 10м = 10м.

Відповідь: h = 10м.

Задача 3. Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 20м/с. На якій висоті його кінетична енергія дорівнюватиме потенціальній?

Дано:                                   Рішення:

v0=20м/с           На основі аналізу умови задачі виконуємо малюнок на якому

Ek = Eп              вказуємо енергетичні параметри тіла на нульовій висоті,

h = ?                   за яку приймаємо висоту на рівні поверхні землі

п=0; Ек=mv02/2), та на тій висоті де кінетична і потенціальна енергія тіла однакова (Еп=mgh; Ek=mv2/2).

Оскільки згідно з законом збереження енергії загальна кількість цієї енергії на будь якій висоті залишається незмінною, та враховуючи що на висоті h:  mgh=mv2/2=2mgh, можна записати 2mgh=mv02/2. Звідси h=v02/4g.

Розрахунки h= (20м/с)2/4·10м/с2 = 10м.

Відповідь: h = 10м.

Задача 4. Визначити швидкість вильоту кульки масою m з дула пружинного пістолета при горизонтальному пострілі, якщо жорсткість пружини k, а її деформація Δl.

Дано:                                         Рішення:

m               На основі аналізу умови задачі, виконуємо малюнок на

k               якому вказуємо енергетичні параметри тіла в момент

Δl               максимального стиснення пружини (Ек=0; Еп=kΔl2/2),

v= ?              та в момент її випрямлення (Ек=mv2/2; Еп=0)

Будемо виходити з того, що в процесі пострілу, потенціальна енергія пружно деформованого тіла Еп=kΔl2/2 йде на збільшення кінетичної енергії кульки Ек=mv2/2. При цьому, згідно з законом збереження енергії можна записати:  kΔl2/2 = mv2/2, звідси v = (kΔl2/m)1/2.

Відповідь: v = (kΔl2/m)1/2.

Задача 5. Тіло без тертя зісковзує з похилої площини, яка переходить у так звану «мертву петлю». З якої мінімальної висоти Н має зісковзувати тіло, щоб бути здатним описати «мертву петлю» радіусом R.

Рішення:

Оскільки за умовою задачі, в процесі руху тіла втратами енергії можна знехтувати, то та потенціальна енергія яку має тіло на висоті Н (Еп1=mgH), в нижній точці спуску перетвориться на відповідну кількість кінетичної енергії Ек1п1. При цьому, цієї енергії має вистачити на те, щоб по перше підняти тіло на висоту h=2R, тобто щоб надати тілу потенціальної енергії Еп2=mg2R. А по друге, забезпечити таку швидкість руху тіла у верхній точці петлі, при якій діюча на нього сила тяжіння (Fт=mg), буде зрівноваженою відповідною силою інерції (Fi=maд=mv22/R). А це означає, що у верхній точці петлі, тіло повинно мати певний запас кінетичної енергії Ек2=mv22/2, де v22 визначається із співвідношення mv22/R = mg. Звідси v22=gR. При цьому Ек2=mgR/2

Таким чином, для тієї мінімальної висоти Н, яка за відсутності енергетичних втрат забезпечує виконанням тілом «мертвої петлі», має виконуватись співвідношення mgH = 2mgR + mgR/2. Звідси H = 2R+R/2=2,5R.

Відповідь: H = 2,5R.

Вправа №36.

1.Тіло масою 400г кинули вертикально вгору зі швидкістю 20м/с. Визначте кінетичну і потенціальну енергію тіла на висоті 10м.

2. З якою вертикальною швидкістю потрібно кинути тіло, щоб воно піднялось на висоту 10м?

3. Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 12м/с. На якій висоті швидкість руху тіла зменшиться вдвічі?

4. В пружинному пістолеті жорсткість пружини 100Н/м. З якою швидкістю вилітатиме з нього кулька масою 3г, якщо пружина стиснута на 10см?

5. Тіло масою 500г, кинуте вертикально вгору зі швидкістю 20м/с, впало на землю зі швидкістю 16м/с. Визначити величину енергетичних втрат в процесі польоту тіла.

6. На якій висоті кінетична енергія вільно падаючого тіла дорівнює його потенціальній енергії, якщо на висоті 10м швидкість цього тіла 8м/с?

7. Кулька підвішена на невагомій нерозтяжній нитці довжиною 0,5м. Яку мінімальну швидкість потрібно надати кульці, щоб вона описала коло у вертикальній площині?

Опором повітря знехтувати.

 

§46. Робота. Механічна робота.

 

В науковій практиці термін “робота” має два значення: робота, як певна енергозатратна подія і робота, як певна фізична величина. Наприклад, коли ми стверджуємо, що піднімаючи стілець учень виконує роботу, то маємо на увазі певну подію. А коли говоримо, що піднімаючи стілець учень виконав роботу величиною 40Дж, то маємо на увазі фізичну величину яка певним чином характеризує виконану роботу.

Загалом, виконання роботи нерозривно пов’язано по-перше з передачею енергії від одного тіла до іншого, а по-друге, з перетворенням цієї енергії з одного виду в інший. Наприклад, в процесі вільного падіння тіла (мал.113а), гравітаційна енергія Землі передається тілу. При цьому, потенціальна енергія системи Земля-тіло перетворюється на кінетичну енергію тіла. В процесі взаємодії того тіла що рухається з тим тілом яке не рухається (мал.113б), кінетична енергія першого тіла спочатку перетворюється в потенціальну енергію пружної взаємодії тіл, а потім – в кінетичну енергію другого тіла. В процесі стиснення пружини (мал.113в), м’язова енергія руки перетворюється на потенціальну енергію пружини. Коли ж пружина випрямляється і штовхає тіло, то її потенціальна енергія перетворюється на кінетичну енергію тіла.

  

Мал.113. Виконання роботи нерозривно пов’язане з переходом енергії від одного тіла до іншого та з перетворенням одного виду енергії в інший.

В подальшому, терміном “робота” ми будемо позначати відповідну фізичну величину. Виходячи з цього дамо лише одне визначення терміну “робота”.

Робота – це фізична величина, яка характеризує затрати енергії на виконання роботи, тобто певної енергозатратної дії і яка дорівнює цим затратам.

Позначається: А

Визначальне рівняння: А=ΔЕ

Одиниця вимірювання: А=Дж,   джоуль.

Формула А=ΔЕ=Екінц – Епоч, по-перше вказує на універсальний спосіб визначення (вимірювання) роботи, а по-друге, на факт того, що процес виконання будь якої роботи нерозривно пов’язаний з затратами енергії.

Із аналізу визначень, енергія – характеризує здатність виконати роботу; робота – характеризує затрати енергії на виконання роботи, з усією очевидністю випливає, що ці величини є дуже схожими та взаємопов’язаними.

Якщо ж говорити про ті відмінності які існують між роботою та енергією, то основна з них полягає в тому, що робота характеризує лише ту частину енергії яка йде на виконання певної конкретної дії (певної роботи). І в цьому сенсі енергія є більш загальною та ємкою величиною. Адже вона характеризує загальну здатність фізичного об’єкту до виконання енергозатратної дії, не вказуючи при цьому яким чином ця здатність буде реалізована. Крім цього, робота характеризує дію яка вже виконана або буде виконана. Енергія ж характеризує саму здатність виконати роботу, не вказуючи при цьому де, коли і як ця здатність буде реалізована.

Формула А=ΔЕ є базовим, визначальним рівнянням роботи. Однак, якщо мова йде про механічну роботу, то її часто визначають за формулою А=Fscosα, де F – усереднена величина тієї сили що виконує роботу, s – величина того переміщення яке відбувається під дією даної сили, α – кут між напрямком вектора сили (F) та напрямком вектора переміщення (s). Якщо ви не знаєте, що називають косинусом кута (сosα), то просто запам’ятайте: cos0°=1;  cos90°=0; cos180°=-1.

Мал.114. Якщо під дією сили F тіло перемістилось на відстань s то виконана цією силою робота дорівнює А=Fscosα.

Аналіз формули А=Fscosα вказує на те, що механічна робота виконується за умови виконання трьох вимог: наявність діючої на тіло сили (F); наявність переміщення тіла (s); кут між напрямком дії сили та напрямком переміщення не повинен дорівнювати 90° (бо для α=90°, соsα=0 і тому А=Fscosα=0). Наприклад, якщо ви штовхаєте важке тіло, а воно залишається на місці (мал.115а), то роботу по механічному переміщенню тіла ви не виконуєте. Не виконуєте тому, що переміщення тіла дорівнює нулю (s=0), а отже А=Fscosα=0. Можливо ви виконуєте якусь іншу роботу, скажімо роботу по деформації поверхні тіла, або роботу по розігріву своїх м’язів, але роботу по механічному переміщенню тіла ви не виконуєте.

Механічна робота не виконується і в тому випадку, коли тіло не зустрічаючи жодного опору з боку зовнішніх сил рухається за інерцією (мал.115б). Адже в цьому випадку рух тіла фактично відбувається без дії зовнішньої сили (F=0) і тому А=Fscosα=0. Звичайно, таке тіло має певний запас кінетичної енергії. Однак в процесі рівномірного руху ця енергія не змінюється і не передається іншим тілам, а отже і не призводить до виконання певної роботи. Лише в тому випадку коли рухоме тіло відчує протидію зовнішніх сил, наприклад сили тертя чи сили пружності зустрічної перешкоди, воно виконає певну роботу.

Механічна робота не виконується і в тому випадку, коли діюча на тіло сила є перпендикулярною до напрямку переміщення тіла. Наприклад, в процесі обертання штучного супутника навколо Землі (мал.115в), діюча на нього гравітаційна сила не виконує механічної роботи. Не виконує тому, що кут між напрямком дії цієї сили і напрямком руху супутника становить 90°, а сos90°=0, і тому А=Fscosα=0

Мал.115. Ситуації в яких механічна робота не виконується.

Механічна робота може бути як додатною так і від’ємною. При цьому, якщо напрям діючої на тіло сили співпадає з напрямком переміщення тіла, то робота відповідної сили є додатною (сила сприяє переміщенню тіла). Якщо ж напрям діючої на тіло сили протилежний до напрямку його переміщення, то робота відповідної сили є від’ємною (сила протидіє переміщенню тіла). Наприклад робота сили тертя завжди від’ємна. І потрібно зауважити, що робота однієї і тієї ж сили може бути як додатною, так і від’ємною. Наприклад, коли ви відпускаєте яблуко і воно під дією сили тяжіння падає на землю, то сила тяжіння виконує додатню роботу (сприяє переміщенню яблука). Якщо ж ви піднімаєте яблуко, то сила тяжіння протидіє переміщенню яблука і тому виконує від’ємну роботу. Власне аналогічні результати випливають не лише з логічних міркувань, а й з формули А=Fscosα. Дійсно, якщо під дією сили тяжіння яблуко падає вниз, то α=0º, cos0º=1 і тому A=mghcos0º=mgh. Якщо ж всупереч дії сили тяжіння яблуко піднімається вгору, то α=180º, cos180º= -1 і тому A=mghcos180º= -mgh.

  

Мал.116. Механічна робота може бути як додатною так і від’ємною.

На завершення зауважимо, що в формулі A=Fscosα символом F позначають середнє значення діючої на тіло сили (середнє на ділянці переміщення s). Тому, якщо наприклад, на ділянці виконання роботи, величина діючої на тіло сили лінійним чином змінюється від F1 до F2, то визначаючи виконану роботу, в якості діючої на тіло сили потрібно обирати F=(F1+F2)/2.

Задача. У воді з глибини 5м піднімають на поверхню камінь, об’єм якого 0,2м3. Густина каменя 2500кг/м3. Визначте роботу, затрачену на піднімання каменя.

Дано:                                  Рішення:

h = 5м                     Виконуємо малюнок на якому вказуємо діючі на камінь

Vк = 0,2м3                сили. А цими силами є: сила тяжіння Fт=mкg, сила

ρк=2500кг/м3          Архімеда FAвVкg і та сила F яка виконує роботу по

A = ?                       підніманню каменя з води, і яку можна визначити як

різницю між діючою на камінь силою тяжіння та виштовхувальною силою Архімеда: F=Fт – FA=mкg – ρвVкg, де mк=? Оскільки об’єм каменя та його густина (ρк=mк/Vк) відомі, то mккVк=2500кг/м3·0,2м3=500кг.

Враховуючи вище сказане, а також факт того, що густина води відома і дорівнює 1000кг/м3, визначаємо величину тієї роботи A яку виконує сила F піднімаючи камінь на висоту h.

А=F·h=(mкg – ρвVкg)h=(500кг10м/с2 – 1000кг/м30,2м310м/с2)5м=

= (5000Н – 2000Н)5м= 15000Дж=15кДж.

Відповідь: А = 15кДж.

Контрольні запитання.

1.Які значення має термін «робота» у фізиці?

2. Які ознаки того, виконується робота чи не виконується?

3. Які енергетичні перетворення відбуваються в процесі: а) вільного падіння тіла; б) стиснення пружини; в) непружного удару тіла.

4. Чим схожі та чим відрізняються терміни «робота» і «енергія»?

5. Наведіть приклади того, коли діюча на тіло сила не призводить до виконання механічної роботи.

6. В якому випадку робота сили є додатною, а в якому від’ємною?

7. Робота якої сили завжди від’ємна?

8. Тіло підкинули вертикально вгору і піймали в тій же точці. Яку загальну роботу виконала при цьому сила тяжіння?

9. На основі аналізу малюнку визначте, яка частина діючої на візок сили F, виконує роботу по переміщенню візка, а яка не виконує. Як ви думаєте, чому дорівнює величина тієї частини сили яка виконує роботу?

Вправа №37.

1.Яка робота виконується при підніманні тіла масою 4кг на висоту 150см?

2. Автокран, піднімаючи вантаж масою 1,5т, виконав роботу 22,5кДж. На яку висоту піднято при цьому вантаж?

3. Яку роботу виконує сила тяжіння в процесі падіння дощової краплі масою 20мг з висоти 2км?

4. З греблі щохвилини падає 18000м3 води з висоти 20м. Яка при цьому виконується робота?

5. Визначте роботу сили тертя, якщо автомобіль масою 2т переміщується по горизонтальній дорозі на 500м. Коефіцієнт тертя дорівнює 0,02.

6. Хлопчик веде велосипед, прикладаючи горизонтальну силу 40Н. При цьому велосипед рухається рівномірно. Визначте швидкість руху велосипеда, якщо за 5хв хлопчик виконав роботу 12кДж.

7. Яку роботу треба виконати, щоб підняти з дна на поверхню озера камінь масою 20кг? Глибина озера 2,5м, густина каменя 3000кг/м3. Опором води знехтувати.

 

§47. Енергетичний та силовий методи визначення роботи.

 

На перший погляд, формули А=ΔЕ і А=Fscosα є абсолютно різними. Насправді ж мова йде про споріднені і в певному сенсі тотожні формули. Різниця між ними лише в тому, що перша (А=ΔЕ) дозволяє визначати роботу енергетичним методом, а друга (А=Fscosα) – силовим. Ілюструючи та перевіряючи фізичну тотожність формул А=ΔЕ і А=Fscosα, а заодно і порівнюючи силовий та енергетичний методи розв’язування задач, розглянемо декілька конкретних прикладів.

          Задача 1. Під дією сили тяжіння тіло масою m падає з висоти h на землю. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

Дано:                          Рішення:

m

h                             Малюнок

g

А=?               Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи (в процесі падіння тіла) величина потенціальної енергії тіла змінилась від Еп=mgh  до Еп=0, то

А=ΔЕ=0-mgh = -mgh, де знак  “ – “ вказує на те, що в процесі виконання роботи потенціальна енергія тіла зменшилась.

Відповідь: А=mgh.

Силове рішення.

Виходячи з того що дану роботу виконує постійна за величиною сила тяжіння F=mg, та враховуючи що напрям цієї сили співпадає з напрямком переміщення тіла (α=0°; соs0°=1) можна записати: А=Fscosα=mgh.

Відповідь: A=mgh.

Задача 2. Горизонтально розташована та деформована на величину Δl пружина жорсткістю k, штовхає тіло. Визначити величину виконаної при цьому роботи.

Дано:                              Рішення:

Δl

k                                 Малюнок

А=?

Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи, величина потенціальної енергії пружини змінилась від Еп=kΔl2/2  до  Еп=0,  то А=ΔЕ=0 – kΔl2/2= – kΔl2/2, де знак “ – “ вказує на те, що в процесі виконання роботи, величина потенціальної енергії пружини зменшилась.

Відповідь:  А= kΔl2/2 .

Силове рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи величина діючої на тіло сили пружності лінійним чином змінюється від максимального значення (F=kΔl) до нуля (F=0), то усереднена величина цієї сили становитиме Fc=kΔl/2. А враховуючи що напрям сили пружності співпадає з напрямком переміщення (α=0°; соs0°=1), можна записати: A=Fcscosα=(kΔl/2)Δl=kΔl2/2.

Відповідь:   A=kΔl2/2 .

Задача 3.  Тіло масою m, рухається з горизонтальною швидкістю v . При взаємодії з горизонтально розташованою пружиною тіло деформує її і зупиняється. Визначити величину виконаної при цьому механічної роботи.

Дано:                        Рішення:

m

v                           Малюнок

А=?

Енергетичне рішення.

Оскільки в процесі виконання роботи величина кінетичної енергії тіла змінюється від Ек=mv2/2  до Ек=0, то А=ΔЕ=0 – mv2/2 = – mv2/2,

де знак “ – “ вказує на те, що в процесі виконання роботи, величина кінетичної енергії тіла зменшилась.

Відповідь:  А=mv2/2.

Силове рішення.

По суті, тією силою яка виконує роботу по деформації пружини є сила інерції, тобто та сила поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і величина якої визначається за формулою Fi=ma.

Величину того прискорення з яким рухається тіло в процесі деформації пружини, можна визначити із кінематичних міркувань: оскільки при рівноприскореному русі між пройденим шляхом (s=Δl), кінцевою (vk) та початковою (v0) швидкостями і прискоренням (a) тіла існує співвідношення Δl=(vk2-v02)/2a та враховуючи, що v0=v; vk=0, можна записати

Δl= -v02/2a= -v2/2a;  звідси  a= -v2/2Δl, де знак “ – “ вказує на те, що рух тіла є рівносповільненим.

Враховуючи, що напрям тієї сили яка виконує роботу (сили інерції) співпадає з напрямком деформації пружини, тобто що α=0º; соs0°=1, можна записати:  A=Fscosα=m(v2/2Δl)Δl=mv2/2 .

Відповідь:  A=mv2/2.

Висновок. Таким чином, визначаючи величину виконаної механічної роботи, практично з однаковим успіхом можна застосовувати як формулу А=ΔЕ так і формулу А=Fscosα. Однак потрібно мати на увазі, що в формулі А=Fscosα  знак результату вказує на те яку роботу (додатню чи від’ємну) виконує відповідна сила. В формулі ж А=ΔЕ, знак результату говорить про те, як змінюється (збільшується чи зменшується) відповідна енергія в процесі виконання роботи.

Вправа №38.

1.Яку роботу виконує сила тяжіння в процесі падіння тіла масою 2кг з висоти 3м? Задачу розв’язати енергетичним та силовим методом.

2. Яку роботу виконує сила тяжіння в процесі піднімання тіла масою 2кг на висоту 3м? Задачу розв’язати енергетичним та силовим методом.

3. Яку роботу виконує сила пружності при розтягуванні пружини жорсткістю 1000Н/м на 6см? Задачу розв’язати енергетичним та силовим методом.

4. Яку роботу виконує сила пружності при стисненні пружини жорсткістю 1000Н/м на 6см? Задачу розв’язати енергетичним та силовим методом.

5. Яку роботу треба виконати, щоб підняти вантаж масою 30кг на висоту 10м з прискоренням 0,5м/с2?

6.Вантаж масою 50кг вільно падає протягом 3с. Яку роботу виконує при цьому сила тяжіння?

7. Тіло масою 2кг падає з висоти 10м, при цьому в момент падіння на землю його швидкість становить 11м/с. Визначити роботу сили опору повітря.

 

§48. Потужність.

 

          Напевно ви погодитесь з тим, що одну і ту ж роботу можна виконувати з різною швидкістю. Скажімо екскаватор риє траншею набагато швидше за робітника з лопатою, трактор оре землю значно швидше аніж плуг запряжений конем, а той в свою чергу швидше за селянина який тягне соху. Характеризуючи швидкість виконання роботи, тобто кількість роботи виконану за одиницю часу, говорять про потужність.

Мал.117. Одну і ту ж роботу можна виконувати з різною швидкістю.

Потужність – це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи і яка дорівнює відношенню виконаної роботи (А) до того проміжку часу (t) за який ця робота була виконана.

Позначається: N (або Р)

Визначальне рівняння: N=А/t

Одиниця вимірювання: [N]=Дж/с=Вт,  ват.

Ват – це одиниця вимірювання потужності, яка дорівнює такій потужності при якій за одну секунду виконується робота в один джоуль. Скажімо, якщо ви візьмете в руку вантаж масою 102г то відчуєте силу в один ньютон. Якщо цей вантаж ви піднімете на один метр – то виконаєте роботу в один джоуль. А якщо цю роботу ви виконаєте за одну секунду – то розвинута вами середня потужність становитиме один ват.

Одиниця потужності (ват) названа на честь англійського винахідника Джеймса Ватта  (1736-1819), який в 1776 році створив перший автоматизований тепловий двигун (парову машину). До речі, саме Ватт в якості одиниці вимірювання потужності запропонував кінську силу – одиницю, яка і на сьогоднішній день застосовується як позасистемна міра потужності теплових двигунів та інших приладів. В перерахунку на мову сучасних одиниць 1к.с.=735,5Вт.

Мал.118. Кінська сила – позасистемна одиниця вимірювання потужності.

Потрібно зауважити, що потужність живих істот є величиною досить умовною. Наприклад, та потужність яку розвиває важкоатлет в момент підйому штанги, або спринтер в момент максимальної інтенсивності бігу, в десятки разів перевищує ту середню потужність з якою людина може виконувати довготривалу роботу і яка близька до 75 Вт. Загалом же потужність живих організмів є надзвичайно різноманітною. Скажімо, потужність хатньої мухи близька до 1мкВт, а потужність слона приблизно дорівнює 200кВт.

Потужність рукотворних приладів більш прогнозована і може становити від декількох нановат (нВт=10-9Вт) до сотень гігават (ГВт=109Вт). Наприклад, потужність пружинного механізму наручного годинника близька до 1∙10-7Вт, а загальна потужність двигунів ракетоносія “Енергія” – 125∙109Вт.

  

Мал.119. Масштаб потужностей деяких приладів.

Формула N=А/t є базовим визначальним рівнянням потужності. Однак, якщо мова йде про потужність тих приладів які виконують механічну роботу (А=Fscosα), то для них формула потужності набуває вигляду:

N=А/t=(Fscosα)/t=Fvcosα.  Тобто N=Fvcosα ,

де F – усереднене значення тієї сили що виконує роботу;

v – швидкість того тіла що рухається під дією сили F;

α – кут між напрямком дії сили та напрямком руху тіла.

Зазвичай α=0°, а отже соs0°=1 і тому N=Fv.

Таким чином, механічна потужність приладу, наприклад автомобіля, визначається добутком тієї тягової сили що змушує прилад рухатись на швидкість його руху. Знаючи даний факт, не важко збагнути, як це так виходить, що великий трактор і легковий автомобіль мають однакову потужність. Правильно, трактор – сильний але повільний, натомість легковик – слабкий але швидкий. Втім, той же трактор чи той же автомобіль, маючи один і той же двигун, на різних передачах можуть мати дуже різну величину як сили так і швидкості. Скажімо перша передача, забезпечує максимальну силову тягу при мінімальній швидкості руху. Четверта ж передача навпаки, забезпечує максимальну швидкість руху при мінімальній тяговій силі.

Задача. Гиря годинника має масу 0,8 кг і за добу опускається на 110см. Яка потужність годинникового механізму?

Дано:              СІ                     Аналіз:

m=0,8кг           –             За визначенням N=A/t.

t = 1доба    86400с        Будемо виходити з того, що джерелом тієї роботи

h = 110см     1,1м          яку виконує годинниковий механізм є та енергія

N = ?                               яку отримує цей механізм в процесі опускання гирі

і яка дорівнює А=Fтh=mgh.

Таким чином N=mgh/t.

Розрахунки: N=0,8кг10(м/с2)1,1м/86400с=0,0001Вт.

Відповідь N= 0,0001Вт.

Контрольні запитання.

1.Що характеризує величина яка називається потужність?

2. Великою чи малою є потужність в один ват?

3. З якою середньою потужністю людина виконує довготривалу роботу?

4. Якою є потужність людини виміряна в кінських силах?

5. Чи є потужність живих істот постійною величиною? Наведіть приклади.

6. Тягове зусилля гусеничного трактора майже в 10 разів більше за тягове зусилля легкового автомобіля. При цьому потужності їх двигунів практично однакові. Як це пояснити?

7. Чи однакову потужність розвиває двигун автобуса, коли він рухається з однаковою швидкістю без пасажирів і з пасажирами?

8. Що більше 1Вт чи 100Дж?

Вправа №39.

1.Кран рівномірно піднімає вантаж масою 5т на висоту 10м за 20с. Яку потужність розвиває кран?

2. Яку середню потужність розвиває людина піднімаючи відро води масою 12кг з криниці глибиною 15м за 15с?

3. Яка потужність насосу який щохвилини 1200л води подає на висоту 20м?

4. Тепловоз потужністю 3000кВт тягне потяг, прикладаючи силу 150кН. Який час потрібний для проходження потягом шляху 48км?

5. За 3 години рівномірного руху електровоз проходить відстань 216км. Визначте потужність електровоза, якщо він розвиває силу тяги 200кН.

6. Підйомний кран з двигуном потужністю 5кВт рівномірно піднімає вантаж зі швидкістю 0,1м/с. Яка маса вантажу?

 

§49. Коефіцієнт корисної дії. К.к.д. простих механізмів.

 

В процесі виконання роботи, в будь якому механічному, електричному, тепловому чи іншому приладі, частина наданої йому енергії неминуче і безповоротно втрачається, наприклад завдяки наявності сил тертя. Характеризуючи ці втрати, або, якщо хочете, характеризуючи ефективність використання енергії в приладі, говорять про його коефіцієнт корисної дії (к.к.д.).

Коефіцієнт корисної дії (к.к.д) – це фізична величина, яка характеризує ефективність використання енергії в тому чи іншому приладі і яка дорівнює відношенню тієї енергії, що йде на виконання корисної роботи (Екоркор), до загальної кількості наданої приладу енергії (Езагзаг).

Позначається: η (ета)

Визначальне рівняння: η=(Екорзаг)100%,  або   η=(Акорзаг)100%

Одиниця вимірювання: [η] = %,  відсотки.

Наприклад, якщо мова йде про електродвигуни, тобто ті прилади які перетворюють енергію електричного струму в механічну роботу (Еел→Амех), то їх к.к.д. близький до 95%. Якщо ж мова йде про теплові двигуни, тобто ті прилади які перетворюють теплову енергію палива в механічну роботу (Етепл→Амех), то їх к.к.д. близький до 35%. Це означає, що електричні двигуни більш ефективно використовують надану їм енергію. Адже в них із кожних 100Дж наданої енергії, в корисну роботу перетворюється 95Дж. Натомість в теплових двигунах – лише 35Дж.

До речі, факт того, що к.к.д. сучасних теплових двигунів (тобто тих двигунів які стоять на сучасних автомобілях, літаках, ракетах, кораблях, мотоциклах, тощо) є відносно низьким (≈35%), зовсім не означає, що ці двигуни є поганими чи не досконалими. Просто теплова енергія (енергія хаотичного руху молекул речовини) погано та неохоче перетворюється в механічну роботу. Втім, про причини такого стану речей, ви дізнаєтесь вивчаючи закон який називається другим началом термодинаміки. Наразі ж зауважимо, що в будь якому приладі неминуче присутні певні енергетичні втрати і тому к.к.д. не може бути не те що більшим за 100%, а навіть дорівнювати цим 100%. Іншими словами, к.к.д. будь якого приладу завжди менший за 100%.

Певний час люди намагалися, а деякі намагаються і до тепер, обдурити Природу та створити так званий «вічний двигун», тобто прилад к.к.д. якого більший за 100%. І яких тільки проектів, яких тільки механізмів, яких тільки схем вони не вигадували. От тільки результат всіх цих вигадок був один – пшик. Нарешті в 1775 році Паризька академія наук прийняла історичне рішення – не приймати до розгляду будь які проекти, автори яких стверджують що винайшли «вічний двигун». Бо вже тоді, думаючі люди зрозуміли – обдурити закони Природи не можливо. А згідно з цими законами на виході приладу не може бути більше енергії аніж на його вході.

Певний коефіцієнт корисної дії мають не лише двигуни, генератори, автомобілі та інші складні прилади які власне і виконують роботу, а й прості механізми, які самі по собі роботу не виконують, а являються лише певними посередниками при її виконанні (важелі, блоки, похилі площини, тощо).

Напевно найпростішим простим механізмом є похила площина. Принцип дії цього механізму розглянемо на конкретному прикладі. Припустимо, що вантаж масою 80кг вам потрібно підняти на кузов автомобіля висота якого 1,2м (мал.120). Звичайно, якщо габарити вантажу та ваші силові можливості дозволяють, що називається запросто підняти вантаж масою 80кг на висоту 1,2м, то ви з легкістю виконаєте дану роботу і ваші енергетичні затрати становитимуть А=Fтh=mgh=960Дж. Однак на практиці далеко не кожен з нас важкоатлет, та й вантаж не є зручною гирею з руків’ям. Тому, будучи людиною розумною, ви застосовуєте…, правильно – похилу площину. Адже в цьому випадку для піднімання вантажу вам знадобиться значно менше силове зусилля. Реалізуючи свій задум, ви неминуче з’ясуєте, що  вантаж потрібно переміщувати на значно більшу довжину, скажімо не на 1,2м а на 2,4м. І тут нічого не вдієш – виграєш в силі, програєш у пройденому шляху (золоте правило механіки).

Мал.120. Виграєш в силі, програєш у пройденому шляху.

Звичайно, якби вантаж переміщувався похилою площиною без жодних проявів сили тертя, то для його переміщення було б достатньо сили 400Н (у відстані програли вдвічі, у силі вдвічі виграли). Однак, як ви розумієте, сила тертя між поверхнею вантажу та поверхнею похилої площини неминуче присутня, і тому для підйому вантажу вам знадобиться сила не 400Н, а скажімо 500Н. При цьому ваші енергетичні затрати становитимуть А=F2l=500Н·2,4м= 1200Дж.

Таким чином, застосування похилої площини, дозволило прикладаючи менше зусилля виконати важку роботу. Платою ж за виконання цієї роботи став факт того, що замість мінімально необхідних енергетичних затрат величиною 960Дж, ми витратили 1200Дж енергії. При цьому к.к.д. похилої площини становить η=Акорзаг= =mgh/F2l=960Дж/1200Дж=0,8=80%.

Потрібно зауважити, що за визначенням 1%=0,01 і тому 100%=1. А це означає, що формули η=(Акорзаг)100% та η=Акорзаг є тотожними. Відповідно тотожним є і записи η=80% та η=0,8. Втім, зазвичай к.к.д. приладу визначають у відсотках (процентах).

Задача. Вантаж масою 65кг рівномірно піднімають за допомогою системи рухомого та не рухомого блоків (дивись мал.). Визначити к.к.д. цієї системи, якщо до вільногокінця мотузки прикладають силу 350Н.

Дано:                               Рішення:

m = 65кг            За визначенням η=(Акорзаг)100%

F = 350Н           В умовах нашої задачі, корисною є та робота яка йде на

η = ?                   піднімання вантажу на певну висоту і яка дорівнює Акор=mgh.

Зальною (затраченою) роботою є та робота яку витрачає робітник тягнучи з силою F мотузку та переміщуючи її на довжину l: Aзаг=Fl. А оскільки веливина цієї довжини вдвічі більша за ту висоту на яку піднімається вантаж (l=2h), то можна записати Азаг= Fl = F2h.

Таким чином к.к.д. даної системи блоків можна визначити за формулою

η=(Акорзаг)100%=(mgh/2Fh)100%=(mg/2F)100%.

Розрахунки: η = (65кг10(м/с2)/2350Н)100%=(650Н/700Н)100%=93%

Відповідь: η = 93%.

Контрольні запитання.

1.Що характеризує к.к.д. приладу?

2. Чому дорівнює к.к.д. приладу?

3. Що означає η = 75%?

4. Електричні чи теплові двигуни більш ефективно використовують надану їм енергію?

5. Яке рішення прийняла у 1775 році Паризька академія наук?

6. Чому було прийнято таке рішення?

7. Поясніть загальний устрій та принцип дії похилої площини.

8. Що стверджується у золотому правилі механіки і як це стосується похилої площини?

9. Як визначається к.к.д. похилої площини?

Вправа №40.

1.Підйомний кран піднімає вантаж 5т на висоту 15м зі сталою швидкістю. За який час піднімається цей вантаж, якщо потужність двигуна 10кВт, а к.к.д. крана 80%?

2. Який опір долає трактор при розрівнювання ґрунту, якщо він рухається зі швидкістю 3,6км/год і розвиває потужність 100кВт. При цьому к.к.д. двигуна трактора 60%

3. Двигун насосу, розвиваючи певну потужність піднімає 200м3 води на висоту 10м за 5хв. К.к.д двигуна 40%. Визначте потужність двигуна.

4. Автомобіль масою 2т рушаючи з місця і рухаючись рівноприскорено проходить 20м шляху за 4с. При цьому коефіцієнт опору рухові становить 0,2. Яку потужність розвиває двигун цього автомобіля?

5. Вантаж масою 150кг за допомогою важеля піднімають на висоту 0,2м. При цьому, до довшого плеча важеля прикладають силу 600Н, під дією якої кінець цього плеча опускається на 0,6м. Визначте к.к.д важеля.

6. Визначте к.к.д похилої площини довжиною 2м і висотою 0,5м, якщо коефіцієнт тертя 0,2.

7. Робітник за допомогою показаної на малюнку системи блоків піднімає вантаж масою 100кг. Визначити к.к.д. цієї системи, якщо до вільного кінця мотузки прикладається зусилля 400Н.

 

§50. Розв’язування задач. Тема: Коефіцієнт корисної дії.

 

          Загальні зауваження. Рішення тих задач в яких так чи інакше фігурує коефіцієнт корисної дії, практично завжди починається з визначального рівняння к.к.д тобто з формули η=(Акорзаг)100%. При цьому в подальшому дотримуються наступної послідовності дій.

1.На основі аналізу умов конкретної задачі визначаються з тим, яка робота в цих умовах є корисною (Акор), а яка загальною (затраченою) (Азаг).

2.На основі аналізу умов задачі, виражають Акор та Азаг через відомі величини та ту величину яку треба зайти:

Акор = ….

Азаг = ….

3. Підставляють отримані результати в базову формулу: η=(Акорзаг)100% = …

4. Із отриманої формули визначають невідому величину.

Задача 1. Насос, двигун якого розвиває потужність 5кВт, за 8хв піднімає певний об’єм води на висоту 6м. Визначте цей об’єм, якщо к.к.д установки 40%.

Дано:            СІ                           Рішення:

P=5кВт      5∙10Вт           За визначенням η = (Акорзаг)100%.

t= 8хв           480с            За умовами даної задачі, корисною є та робота що

h= 6м               –                йде на піднімання води на висоту h. Цю роботу

η=40%             –             можна визначити за формулою Акор=mgh=ρVgh ,

V=?                              де ρ=1∙103кг/м3 – густина води; g=9,8м/с2 – прискорення вільного падіння. Оскільки корисну роботу виконує двигун насосу потужність якого Р, то величину загальної роботи, можна визначити за формулою Азаг=Рt.

Таким чином η=(Акорзаг)100% = (ρVgh/Pt)100%.

Звідси V = (ηPt)/(ρgh100%).

Розрахунки:  V = … = 16,3м3 .

Відповідь:  V = 16,3м3 .

Задача 2.  Електровоз рухаючись з швидкістю 54км/год споживає потужність 600Вт. Визначити силу тяги електровоза, якщо його к.к.д 75%.

Дано:                    СІ                        Рішення:

v=54км/год       15м/с         За визначенням   η = (Акорзаг)100% .

P=600кВт       6∙105Вт        Із аналізу умови задачі ясно, що корисною

η=75%                  –              роботою є та механічна робота яку виконує

Fтяг=?                                   сила тяги електровозу і яку можна визначити

·                                            за формулою    Акор=Fтягl .

Оскільки, величина тієї загальної потужності яку споживає електровоз визначається за формулою Р=Азаг/t  то Азаг= Рt .

Таким чином  η = (Акорзаг)100% =(Fтягl100%)/Pt .

Враховуючи що при рівномірному русі електровоза l/t=v , можна записати

η=(Fтягv100%)/P ,  звідси   Fтяг=ηР/v100%

Розрахунки:   Fтяг = … =30∙103Н=30кН.

Відповідь:     Fтяг = 30кН .

Задача 3.  Вантаж масою 120кг піднімають за допомогою зображеної на малюнку системи блоків, діючи на мотузку з силою 350Н. Визначити к.к.д. системи.

Дано:                           Рішення:

m=120кг

F=350Н                       Малюнок

η=?

За визначенням η = (Акорзаг)100%.

Із аналізу умови задачі ясно, що корисною є та робота яка йде на піднімання вантажу. Цю роботу можна визначити за формулою Акор=mgh.

Оскільки загальну роботу виконує прикладена до мотузки сила F, та зважаючи на те що для переміщення рухомого блоку на висоту h переміщення мотузки має становити l=4h, можна записати: A = Fl = F4h.

Таким чином  η = (Акорзаг)100% =(mgh100%)/4Fh.

Звідси  η = (mg/4F)100%.

Розрахунки:  η = (120кг10(м/с2)/4·350Н)100%= 86%.

Відповідь:  η = 86%.

Вправа №41.

1.Відро з піском масою 24кг піднімають за допомогою нерухомого блока, діючи на мотузку з силою 260Н. Визначити к.к.д процесу.

2. Висота похилої площини 1,2м а її довжина 10,8м. Для рівномірного підйому по цій площині вантажу масою 180кг знадобилась сила 250Н. Визначити к.к.д похилої площини.

3. Тіло піднімають похилою площиною, прикладаючи в напрямку руху силу 60Н. Визначте масу тіла, якщо довжина похилої площини 2м, її висота – 60см, а к.к.д. 80%

4. Вантаж масою 150кг піднімають за допомогою зображеної на малюнку системи блоків, діючи на мотузку з силою 400Н. Визначити к.к.д. системи.

5. Вантаж масою 20кг за допомогою перекинутої через нерухомий блок мотузки піднімають на висоту 8м. Визначити величину тягової сили, величину загальної та корисної роботи, силу тиску на вісь блоку. К.к.д процесу 80%.

6. Ящик із цвяхами, маса якого 54кг піднімають на п’яти поверх за допомогою рухомого блока діючи на мотузку з силою 360Н. Визначте к.к.д. установки.

7. За допомогою важеля підняли вантаж масою 50кг на висоту 0,2м. Плечі важеля відносяться між собою як 1:5. Яку силу треба прикласти до більшого плеча важеля і на скільки опуститься кінець цього плеча, якщо к.к.д важеля 80%?

 

§51. Механіка. Узагальнююче повторення.

 

          Механіка (ньютонівська механіка)це розділ фізики, в якому вивчають параметри,  закономірності та причини механічного  руху тіл в усіх його проявах, за умови що швидкість цього руху значно менша за швидкість світла (3·108м/с).

Теоретичною основою механіки є принцип відносності та три закони Ньютона.           Принцип відносності (перше формулювання) – це закон, в якому стверджується: Ніякими експериментами, які проводяться в середині закритої ізольованої кабіни, не можливо встановити стоїть ця кабіна чи рівномірно рухається. Не можливо тому, що всі фізичні процеси, які відбуваються в кабіні що стоїть (v=0) і в кабіні що рівномірно рухається (v=const), відбуваються абсолютно однаково.

Принцип відносності (друге формулювання) – це закон, в якому стверджується: У всіх інерціальних системах відліку, тобто таких системах де виконується закон інерції (перший закон Ньютона) всі фізичні процеси відбуваються абсолютно однаково.

Перший закон Ньютона – це закон, в якому стверджується: Будь-яке тіло буде знаходитись в стані механічного спокою (v=0), або в стані прямолінійного рівномірного руху (v=const), до тих пір поки на нього не подіє зовнішня сила, яка і змусить тіло змінити цей стан.

Другий закон Ньютона – це закон, в якому стверджується: Під дією зовнішньої сили F, тіло масою m отримує прискорення а величина якого прямо пропорційна діючій на тіло силі і обернено пропорційна його масі, тобто

F  →   a = F/m.

Третій закон Ньютона – це закон, в якому стверджується: Діюча на тіло сила F, завжди породжує рівну їй за величиною і протилежну за напрямком протидіючу силу F′, тобто

F → F′ = – F.

Базовими частинами механіки матеріальної точки є кінематика матеріальної точки, статика матеріальної точки та динаміка матеріальної точки. При цьому зазвичай ці частини називають просто: кінематика, статика, динаміка

Кінематика – це розділ механіки, в якому вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл, без врахування їх  мас і діючих на них сил. Іншими словами, в кінематиці вивчають параметри та закономірності механічного руху тіл і не вивчають причини цього руху.

До числа основних понять кінематики відносяться: механічний рух, поступальний рух, матеріальна точка. Механічний рух –  це такий процес (рух), при якому тіло як єдине ціле, або певні цілісні фрагменти цього тіла, переміщується відносно інших тіл Поступальний рух – це такий рух, при якому будь-яка приналежна тілу пряма залишається паралельною сама собі. Матеріальна точка – це така умовна точка, якою теоретично замінюють певне реальне тіло, в ситуаціях коли розмірами, формою та внутрішнім устроєм цього тіла можна знехтувати. Матеріальна точка зберігає лише одну динамічну характеристику реального тіла – його масу.

До числа основних фізичних величин кінематики поступального руху відносяться: час, координата, пройдений шлях, швидкість, прискорення.

Час  – це фізична величина,  яка характеризує  тривалість подій ( явищ, процесів, рухів, тощо) і яка дорівнює цій тривалості.

Позначається:  t

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:   [t] = с, (секунда)

Координата – це фізична величина, яка характеризує положення (місцезнаходження) матеріальної точки в заданій системі координат і яка дорівнює відстані від  точки відліку цієї системи до проекції даної точки на відповідну вісь координат.

Позначається: х

Визначальне рівняння: х =lх

Одиниця вимірювання: [х] = м, (метр)

Пройдений  шлях – це фізична величина, яка характеризує пройдений матеріальною точкою (тілом) шлях і яка дорівнює довжині тієї траєкторії яку описує ця точка в процесі відповідного руху.

 Позначається: s

Визначальне  рівняння: s = lтр   або   s =Δх

Одиниця вимірювання: [s] = м.

Швидкість – це  фізична величина, яка характеризує швидкість поступального  руху тіла (матеріальної точки) в заданій системі відліку і яка показує на скільки переміщується тіло в цій системі, за одиницю часу.

Позначається:  v

Визначальне рівняння: vx/Δt

Одиниця вимірювання:[v] = м/с,  метр за секунду.

Прискорення – це  фізична величина, яка характеризує  зміну швидкості руху тіла,  і яка  показує на скільки змінюється ця швидкість за одиницю часу.

Позначається:  а

Визначальне рівняння:  аv/Δt

Одиниця вимірювання:  [a]  = м/с2,  метр за секунду в квадраті.

Основний закон кінематики поступального руху називається рівнянням руху. Рівняння руху – це закон, в якому стверджується: в загальному випадку, прямолінійний рух матеріальної точки можна описати рівнянням:

х = х0 + v0t + (а/2)t2

де     х – координата матеріальної точки в момент часу t,

х0  – початкова координата точки, тобто її координата в момент часу t = 0

v0 – початкова швидкість матеріальної точки

а – прискорення матеріальної точки.

Статика – це розділ механіки в якому вивчають параметри, закономірності та причини стану механічної рівноваги тіл. Основним поняттям статики є механічна рівновага. Механічна рівновага тіла – це такий механічний стан тіла, при якому воно під дією системи зовнішніх сил знаходиться в стані механічного спокою (v=0;) або в стані рівномірного руху (v=const). Основною фізичною величиною статики є сила.

Сила – це фізична величина, яка характеризує силову дію одного тіла на інше (є мірою взаємодії фізичних об’єктів) і яка дорівнює добутку маси тіла на величину того прискорення яке воно отримує під дією даної сили.

Позначається:  F

Визначальне рівняння:  F=ma

Одиниця вимірювання:  [F]=H,   ньютон.

До числа основних сил статики і механіки загалом, відносяться:

сила інерції               Fi = -ma

сила тяжіння            Fт = mg

реакція опори           N

вага                             P = – N

сила пружності         Fпр = k(Δl)

сила тертя                  Fтер = µN

сила Архімеда           FA= ρVg

Сила інерції  – це та сила, поява якої обумовлена прискореним рухом тіла і яка завжди протидіє появі та зростанню цього прискорення.

Позначається: Fі

Визначальне рівняння:     Fі =  – ma

  Одиниця вимірювання:   [Fі] = Н

Сила тяжіння – це та сила,  з якою тіла притягуються до Землі.

Позначається:  Fт

Визначальне рівняння:  Fт= mg

Одиниця вимірювання:  [Fт]= H .

Реакція опори – це та сила, з якою опора діє на тіло.

Позначається:  N

Визначальне рівняння:  визначається з умов конкретної задачі.

Одиниця вимірювання:  [N]=H .

Вага – це та сила з якою тіло діє на опору.

Позначається: Р

Визначальне рівняння: Р = – N,  де N – реакція опори

Одиниця вимірювання: [P] = H ,          (ньютон).

Сила пружності – це та внутрішня сила, яка виникає в пружно деформованому тілі і яка завжди протидіє появі та зростанню цієї деформації.

Позначається:  Fпр

Визначальне рівняння:  Fпр = -kΔl

Одиниця вимірювання:  [Fпр] =H

Сила тертя (сила тертя ковзання) – це та сила, з якою поверхні взаємодіючих твердих тіл протидіють їх взаємному поступальному (ковзальному) переміщенню, або можливості такого переміщення.

Позначається:  Fтер

Визначальне рівняння:  Fтер =μN

Одиниця вимірювання: [Fтер] = Н

          Сила Архімеда – це та сила, з якою тіла виштовхуються з рідин та газів і яка дорівнює вазі виштовхнутої тілом рідини або газу.

Позначається: Fa

Визначальне рівняння:  Fa=ρVg ,

Одиниця вимірювання: [Fa] = H.

Основний закон статики називається умовою механічної рівноваги тіла.

Умова механічної рівноваги тіла (матеріальної точки) – це закон, в якому стверджується: тіло буде знаходитись в стані механічної рівноваги (v=0; або v=const) тоді і тільки тоді, коли векторна сума діючих на нього зовнішніх сил дорівнює нулю. Іншими словами:  якщо ∑F =0 то v=0; v=const  і навпаки.

Динаміка – це розділ механіки, в якому вивчають параметри, закономірності та причини стану динамічної рівноваги тіла. Динаміка, це узагальнюючий розділ механіки, в якому ті знання які були отримані при вивченні кінематики та статики, доповнюються новими знаннями і узагальнюються. До числа основних понять динаміки відносяться: динамічна рівновага тіла, інерція та гравітація.

Динамічна рівновага тіла – це такий механічний стан тіла, при якому воно, під дією зовнішніх сил та сили інерції, знаходиться в стані рівноприскореного руху (а=соnst).  Інерція, це універсальна властивість тіла, яка полягає в тому, що відповідне тіло протидіє будь якій зміні його швидкості. Кількісною мірою інерційних властивостей тіла є його маса. Гравітація, це універсальна властивість тіла, яка полягає в здатності цього тіла до тих взаємодій які описуються законом всесвітнього тяжіння. Кількісною мірою гравітаційних властивостей тіла є його маса.

До числа основних фізичних величин динаміки, а точніше динаміки матеріальної точки, відносяться: маса (m), енергія (Е), робота (А), потужність (Р) та коефіцієнт корисної дії (η).

          Маса – це фізична величина яка є мірою :

1) інерціальних властивостей тіла;

2) гравітаційних властивостей тіла;

3) енергетичних властивостей тіла;

4) кількості речовини в тілі, виміряну в кілограмах.

Позначається:  m

Визначальне рівняння:  нема

Одиниця вимірювання:  [m]= кг,  кілограм.

Енергія – це фізична величина, яка є загальною мірою всіх видів рухів та взаємодій і яка характеризує здатність тіла, частинки або поля виконати роботу.

Позначається:  Е

Визначальне рівняння:  1) для загальної кількості енергії:   Е=mс2;

2) для конкретних видів енергії:     різні.

Одиниця вимірювання: [E] = Дж,  джоуль.

Кінетична енергія (енергія руху) – це та енергія, яку має фізичний об’єкт (тіло, частинка або поле) за рахунок того що він рухається.

Позначається:  Ек

Визначальне рівняння:  Ек=mv2/2,

Одиниця вимірювання:  [Ек] =Дж.

          Потенціальна енергія (енергія взаємодії) – це та енергія яку має фізичний об’єкт за рахунок того, що він так чи інакше взаємодіяє з іншими об’єктами, або за рахунок тих взаємодій які відбуваються в середині цього об’єкту.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = ?

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Потенціальна енергія сили тяжіння (піднятого тіла) – це та енергія яку має підняте над землею тіло за рахунок його взаємодії з Землею.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = mgh

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Потенціальна енергія сили пружності (деформованого тіла) – це та енергія, яку має пружно деформоване тіло за рахунок тих міжмолекулярних взаємодій які відбуваються всередині цього тіла.

Позначається: Еп

Визначальне рівняння:  Еп = kΔl2/2

Одиниця вимірювання:  [Еп] = Дж.

Робота – це фізична величина, яка характеризує затрати енергії на виконання роботи і яка дорівнює цим затратам.

Позначається:  А

Визначальне рівняння:  А=ΔЕ

Одиниця вимірювання:  А=Дж,   джоуль.

Потужність – це фізична величина, яка характеризує роботу виконану за одиницю часу і яка дорівнює цій роботі (роботі виконаній за одиницю часу).

Позначається:  Р

Визначальне рівняння:  Р=А/t

Одиниця вимірювання:   [Р]=Дж/с=Вт,  ват.

Коефіцієнт корисної дії (к.к.д) – це фізична величина, яка характеризує ефективність використання енергії в тому чи іншому приладі і яка дорівнює відношенню тієї енергії що йде на виконання корисної роботи (Екоркор), до загальної кількості наданої приладу енергії (Езагзаг).

Позначається: η

Визначальне рівняння:  η=(Екорзаг)100%,  або   η=(Акорзаг)100%

Одиниця вимірювання:  [η] = %,    відсотки.

 

 

Подобається